Processamento Imagens. Transformada de Fourier 1D e 2D

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1 Processamento Imagens Transformada de Fourier 1D e 2D

2 Agenda Motivação / Introdução Série de Fourier e fundamentos Transformada de Fourier 1D & 2D contínua & discreta Principais propriedades 2

3 Motivação Transformações matemáticas são aplicadas a sinais para obter informações não disponíveis (ou não visíveis) diretamente no sinal original. Realizam um mapeamento entre domínios diferentes. Os valores nos diferentes domínios são diferentes, porém representam o mesmo dado. Trem Bão Rua Dr Carlos Camargo Sales, 500 ( , ) 4

4 Motivação Um sinal unidimensional está geralmente descrito no domínio do tempo em sua forma original. quando exibimos o sinal temos uma representação tempo-amplitude. 5

5 Motivação Uma imagem (sinal bidimensional) está no domínio do espaço quando exibimos a imagem tempos uma representação espaçoamplitude (ou espaçointensidade) 6

6 Motivação Matematicamente, um sinal pode ser definido como uma função Há informação importante (e não óbvia) sobre o comportamento da função no conteúdo em frequência do sinal 7

7 O que é freqüência de uma função? Em processos cíclicos (p.ex., descritos por uma função periódica), a frequência é definida como um número de ciclos por unidade de tempo/espaço 8

8 Funções periódicas 9

9 O que é freqüência de uma função? a b 11

10 O que é freqüência de uma função? Qual a região contém mais componentes de alta freqüência? 12

11 Introdução Matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Teoria publicada em 1822: qualquer função periódica pode ser representada como uma soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequencias, cada uma multiplicada por um coeficiente diferente (Série de Fourier) Funções não periódicas (porém tendo um valor finito de área sob a curva) também podem ser representadas por integrais de senos e/ou cossenos multiplicadas por uma função peso (Transformada de Fourier) Ambas as representações permitem reconstruir a função original completamente por um processo inverso, sem perda de informação 13

12 Análise de Fourier Dois aspectos: Análise: dividir um sinal (ou função) em partes constituintes mais simples (e possivelmente modicá-las). Síntese: reconstruir um sinal (ou função) a partir de suas partes constituintes. Ambas podem ser realizadas por meio de operações lineares, i.e. integrais e séries. 14

13 Representação de sinais complexos 15

14 Série de Fourier f(x) = sen(x) + cos(x) 16

15 Série de Fourier Fourier propôs uma forma simples e elegante de calcular os coeficientes... 17

16 Série de Fourier Valores médios de uma função S = A Y 18

17 Série de Fourier Valores médios de uma função 19

18 Série de Fourier Valores médios de uma função S = S 1 S 2 = <Y> * A <Y> = (S 1 S 2 )/A 20

19 Série de Fourier Valores médios de uma função Valor médio da função sen(x) em um período é zero! <sen(x)> = 0 (idem para cosseno) Valor médio da função sen 2 (x) é ½! <sen 2 (x)> =½ 21

20 Série de Fourier Calculando coeficientes f(x) = a 0 + a 1 sen(x) +a 2 sen(2x) +a 3 sen(3x) b 1 cos(x) + b 2 cos(2x) +... Suponha que queremos calcular a 3. Multiplicando os dois lados por sen(3x) f(x)sen(3x) = a 0 sen(3x) + a 1 sen(x) sen(3x) + a 2 sen(2x) sen(3x) + a 3 sen 2 (3x) b 1 cos(x) sen(3x) +... Tomando as médias de cada termo da equação: < f(x)sen(3x) > = < a 0 sen(3x) > + < a 1 sen(x) sen(3x) > +< a 2 sen(2x) sen(3x) > + <a 3 sen 2 (3x) > < b 1 cos(x) sen(3x) > +... O que acontece? 22

21 Série de Fourier Calculando coeficientes Tomando as médias de cada termo da equação: < f(x)sen(3x) > = < a 0 sen(3x) > + < a 1 sen(x) sen(3x) > + < a 2 sen(2x) sen(3x) > + < a 3 sen 2 (3x) > < b 1 cos(x) sen(3x) > +... < f(x)sen(3x) > = ½* a 3 a 3 = 2* < f(x)sen(3x) > 23

22 Série de Fourier Calculando coeficientes f(x) = a 0 + a 1 sen(x) +a 2 sen(2x) +a 3 sen(3x) b 1 cos(x) + b 2 cos(2x) +... Fazendo o mesmo para todos os valores de n em sen(nx) e cos(nx), verificamos que: a 0 = < f(x) > = média de f(x) a n = 2 * < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx) b n = 2 * < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx) 24

23 Série de Fourier Exemplo Onda Quadrada f(x) = a 0 + a 1 sen(x) +a 2 sen(2x) +a 3 sen(3x) b 1 cos(x) + b 2 cos(2x) +... a 0 = < f(x) > a n = 2 < f(x) sen(nx) > b n = 2 < f(x) cos(nx) > 1 período: 0 a 2π f(x) = 1 (de 0 a π) f(x) = 0 (de π a 2π) a 0 = 1/2 25

24 Série de Fourier Exemplo Onda Quadrada a 1 = 2 < f(x) sen(x) > = 2/π a 2 = 2 <f(x) sen(2x)> a 2 = 0 26

25 Série de Fourier Exemplo Onda Quadrada a 3 = 2 < f(x) sen(3x) > = 2/3π a 0 = 1/2; a n = 0 - para todo n PAR; a n = 2/nπ - para todo n ÍMPAR. Verifique que todos os termos b n são nulos! 27

26 Série de Fourier Exemplo Onda Quadrada f(x) = 1/2 + (2/π) sen(x) + (2/(3π)) sen(3x) + (2/(5π)) sen(5x) + (2/(7π)) sen(7x) +... Onda quadrada: 5 termos Onda quadrada: 15 termos 28

27 Série de Fourier 29

28 Série de Fourier f(x) é periódica de período T se f(x) = f(x +nt), para qualquer n inteiro e positivo Seja f(x) uma função periódica de período 2n. A série de Fourier para esta função é dada por: f ( x) = a + a cos kx + b sin kx 2 1 k 1 k Observe que b 0 não é indicado, pois sen( 0) = 0 30

29 Série de Fourier Casos particulares f(x) = função par, isto é, f(-x) = f(x), então os coeficientes b k são nulos f(x) = função ímpar, isto é, f(-x) = -f(x), então os coeficientes a k são nulos 31

30 Série de Fourier Na prática utiliza-se um número finito de componentes (sin/cos) para representar as funções Ex.: representação de uma onda quadrada f x) = 5 + 4sin x + 4 sin 3x + 4 sin 5x + 4 sin 7x ( Com apenas 5 componentes já se consegue uma boa approximação 32

31 Série de Fourier f x) = 5 + 4sin x + 4 sin 3x + 4 sin 5x + 4 sin 7x (

32 Série de Fourier 1a. componente: constante. Se não existisse (se fosse nula), o sinal estaria centrado no zero do eixo y. Em Eng. Elétrica esse termo corresponderia a componente de corrente contínua 2a. componente: (4sinx) tem o mesmo período ( T = 2π ) do sinal. Portanto, é chamado de oscilação fundamental As demais parcelas correspondem às oscilações harmônicas do sinal Os coeficientes a k e b k são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico 34

33 Transformada de Fourier (sinal contínuo 1D) 35

34 Definições matemáticas importantes Número complexo C = R + ji Conjugado complexo C * = R ji Módulo 2 C = R + I 2 Fase φ = arctan I R Fase deve ser calculada usando a função atan2, que considera os 4 quadrantes do plano complexo 36

35 Definições matemáticas importantes Fórmula de Euler e j2πut = cos(2πut) j sin(2πut) Função impulso (delta de Dirac) δ (t) δ ( t) = 0 se se t t = 0 0 Interpretação física: pulso de amplitude infinita e duração zero 37

36 Definições matemáticas importantes Função impulso (propriedades) δ ( t) = lima 0 1 a Π x a = ε δ ( t ) dt ( t ) dt = 1 δ ε Π( x) 1/a -a/2 a/2 38

37 Definições matemáticas importantes Função impulso: propriedade do peneiramento (sift) f ( t) δ ( t t0) dt = f ( t + t0) δ ( t) dt = f ( t0) A Aδ x x ) ( 0 1/a -a/2 a/2 x 0 39

38 Definições matemáticas importantes Trem de impulsos T n= s ( t) = δ ( t n T ) 40

39 Transformada de Fourier (sinal contínuo) onde s é a função no espectro e t no tempo Transformada Inversa Observe que estamos trabalhando com números complexos!!! 41

40 Transformada de Fourier Exemplo ff tt = A se ww 2 tt ww 2, 0 c.c. 1 e ax dx = a e sin x = jx e ax e j2 jx 42

41 Transformada de Fourier - Exemplo ff tt = A se ww 2 tt ww 2, 0 c.c. Ex. 4.1 Gonzales: transformada de uma onda quadrada 43

42 Transformada de Fourier 44

43 Transformada de Fourier Ex. 4.2 Gonzales: transformada de um impulso e de um trem de impulsos FF 0 = 1 TT 0 45

44 Transformada de Fourier Nota 1) A FT existe se f(t) for contínua e integrável e F(s) for integrável. Essas duas condições são quase sempre satisfeitas na prática. Nota 2) da linearidade da integral, segue que a FT também é um operador linear, ou seja, FT(f+g) = FT(f) + T(g) ; FT(αf) = αft(f) Nota 3) F(s) é uma isometria em 2 L, ou seja < f, g > = < fˆ, gˆ >, f, g 2 L

45 Transformada de Fourier Como conseqüência da Nota 3, 2 ˆf f = 2 - teorema de Plancherel A energia da função é preservada na transformação. 47

46 Convolução de 2 sinais 49

47 Convolução Uma das propriedades mais importantes da FT h(t) H( f ) e g(t) G( f ) (h*g)(t) H( f )G( f ) h(t)g(t) (H * G)( f ) 50

48 Amostragem de um sinal 51

49 Transformada de funções amostradas Seja FF μμ = I{ff(tt)} Seja ff tt = ff tt SS ΔTT (tt) a função amostrada Pelo Teorema da Convolução FF μμ = I ff tt = I ff tt SS ΔTT tt = FF μμ SS μμ 52

50 Transformada de funções amostradas FF μμ = FF μμ SS μμ = 1 ΔTT nn FF(μμ ΔTT ) nn= A transformada de Fourier de uma função amostrada é uma sequencia infinita e periódica de cópias de FF(μμ), que é a transformada da função original contínua. O intervalo entre as cópias é determinado pelo valor de 1 ΔTT. 53

51 54

52 Teorema da amostragem É possível recuperar ff tt a partir de sua versão amostrada se pudermos isolar uma cópia de FF μμ a partir da sequência periódica de cópias contida na transformada da função amostrada basta um período completo para caracterizar toda a transformada FF μμ tendo FF μμ podemos recuperar ff tt pela transformada inversa 55

53 Teorema da amostragem Para recuperar um período, deve haver separação suficiente entre as cópias, o que depende da taxa de amostragem... qual a taxa de amostragem mínima? 56

54 Teorema da amostragem 57

55 Teorema da amostragem Para recuperar um período, deve haver separação suficiente entre as cópias Separação suficiente é garantida se 1 2ΔTT > μμ mmmmmm ou 1 ΔTT > 2μμ mmmmmm 58

56 Reconstrução da função a partir das amostras 59

57 60

58 Reconstrução da função a partir das amostras Se uma função de banda limitada é amostrada a uma taxa inferior à mínima os períodos se sobrepõem, e passa a ser impossível isolar um único período da transformada => aliasing de frequência. 61

59 Reconstrução da função a partir das amostras Aliasing: componentes de alta frequência de uma função se mascaram como frequências mais baixas na função amostrada 62

60 Reconstrução da função a partir dos dados amostrados: ff tt = ff nn TT ssssssss nn= tt nn TT TT i.e., a função perfeitamente reconstruída é uma soma infinita de funções sinc ponderadas pelos valores da amostra 63

61 Transformada Discreta de Fourier 1D-DFT 64

62 Transformada Discreta de Fourier A função contínua f(t) é discretizada numa seqüência { f 0 ( t0), f ( t0 + T ), f ( t0 + 2 T ),, f ( t + [ M 1] T )} 65

63 Transformada Discreta de Fourier onde t assume valores discretos (0,1,2,,M-1), então f ( t) == f ( t + [ M 1] T 0 ) A seqüência {f(0}, f(1), f(2),, f(m-1)} denota qualquer amostragem de M valores uniformemente espaçados de uma função contínua correspondente 66

64 Transformada Discreta de Fourier O par de transformadas discretas de Fourier que se aplica a funções amostradas é dado por: MM 1 FF mm = ff nn ee jjππππππ/mm, mm = 0, 1, 2,, MM 1 nn=0 MM 1 ff nn = 1 MM FF mmee jjjππππππ/mm, nn = 0, 1, 2,, MM 1 mm=0 67

65 Transformada Discreta de Fourier as transformadas direta e inversa de Fourier existem para qualquer conjunto de amostras cujos valores são finitos não dependem do intervalo de amostragem TT, nem dos intervalos de frequência Notação: (x,y) para coordenadas (discretas) de imagem (domínio espacial) e (u,v) para variáveis (inteiras) de frequência 68

66 Transformada Discreta de Fourier O par de transformadas discretas de Fourier que se aplica a funções amostradas: MM 1 FF(uu) = ff(xx)ee jjjππππππ/mm, uu = 0, 1, 2,, MM 1 xx=0 MM 1 ff(xx) = 1 MM FF(uu)eejjjππππππ/MM, xx = 0, 1, 2,, MM 1 uu=0 69

67 Transformada Discreta de Fourier Gonzales, ex

68 Transformada Discreta de Fourier Para calcular F(u), substituímos u=0 no termo exponencial e somamos para todos os M valores de x Repetimos para todos os M valores de u Teremos então M x M adições e multiplicações, logo a complexidade computacional é O(M 2 ) 71

69 Transformada de Fourier (sinal contínuo 2D) 72

70 Função impulso 2D 73

71 Transformada de Fourier 2D O par de transformada de Fourier para função f(x,y) de duas variáveis: e FF μμ, vv = ff(tt, zz)ee jjjjj(μμμμ+vvvv) dddddddd ff tt, zz = FF(μμ, vv)ee jjjjj(μμμμ+vvvv) dddddddd onde μμ ee vv são variáveis de frequencia, t e v são as variáveis espaciais contínuas 74

72 Transformada de Fourier 2D 75

73 Transformada de Fourier 1D 76

74 Amostragem 2D 77

75 Amostragem 2D 78

76 Aliasing em imagens 79

77 Aliasing em imagens 80

78 Aliasing em imagens 81

79 Transformada Discreta de Fourier 2D-DFT 82

80 Transformada Discreta de Fourier No caso de duas variáveis, o par DFT é: F(u,v)= M 1 N 1 j2π(ux / M +vy / N) x= 0 y= 0 f(x, y)e, u = 0,1,..., M 1; v = 0,1,..., N 1 f(x, y)= M N j2π(ux / M +vy / N) F(u,v)e y N MN u= 0 v= 0, x = 0,1,..., M 1; = 0,1,..., 1 onde f(x,y), F(u,v) são imagens digitais de tamanho MxN. 83

81 84

82 Transformada Discreta de Fourier A amostragem da função contínua agora é feita em uma grade bidimensional, com divisões de largura x e y nos eixos x e y, respectivamente Como no caso unidimensional, a função discreta f(x,y) representa amostras da função f ( x + x x, y0 0 + y y ) para x = 0,1,2,,M-1 e y = 0,1,2,, N-1 u = 1 M x, v = 1 N y 85

83 Amplitude e Fase As funções complexas podem ser decompostas em suas magnitudes e fases. FF uu, vv = (FF(uu, vv) ee jjφφ(uu,vv) FF(uu, vv) = RR 2 uu, vv + II 2 (uu, vv) 1 2 φφ uu, vv = aaaaaaaaaaaa II(uu, vv) RR(uu, vv) v. fft demo, HIPR... 86

84 Propriedades DFT Linearidade Translação e rotação Periodicidade Questões de implementação Simetria 87

85 Combinação Linear (soma) + = + = 88

86 Expansão 89

87 Relação de freqüência espaço/espectro 90

88 Alguns pares... 91

89 Propriedades DFT - Translação F(u,v) φ F(u,v) 92

90 Rotação 93

91 94

92 DFT - shifting Quando realizado a DFT de uma onda quadrada obtemos: Observe houve um deslocamento

93 DFT shifting, (fftshift-matlab) A FT é centralizada na origem, mas a DFT é centralizada em N/2 É necessário realizar um deslocamento para corrigir o resultado

94 DFT shifting, (fftshift-matlab) Lembrando que: e fazendo u 0 = N / h(t) e j2πu 0 H(f -u 0 ) 2 e j2πu0t / N = e j2π ( N / 2) t / N = e jπt = ( e jπ ) t = [cosπ + j sinπ ] t = ( 1) t f x+ y ( x, y) 1) ( F( u M / 2, v N / 2) A multiplicação desloca o sinal tal que F(0,0) fique no centro do retângulo de frequência definido pelos intervalos [0,M-1] e [0,N-1]. 97

95 Propriedades DFT - Translação 98

96 Espectro de Fourier 2D 99

97 Após translação/rotação 100

98 Ajuste da escala dinâmica do espectro de Fourier 101

99 Combinando Amplitude e Fase As funções complexas podem ser decompostas em suas magnitudes e fases. FF uu, vv = (FF(uu, vv) ee jjφφ(uu,vv) FF(uu, vv) = RR 2 uu, vv + II 2 (uu, vv) 1 2 φφ uu, vv = aaaaaaaaaaaa II(uu, vv) RR(uu, vv) Com estas propriedades podemos combinar a amplitude e a fase em imagens. 102

100 Ângulos de fase são distintos

101 Amplitude e Fase F(u,v) amplitude fase original φ F(u,v) 104

102 105

103 Combinando Amplitude e Fase Rick Linda Pictures reconstructed using the Fourier phase of another picture Mag{Linda} Phase{Rick} Mag{Rick} Phase{Linda} The phase of the Fourier transform is much more important than the magnitude in reconstructing an image. 106

104 Simetria função par (simétrica) f(t) = f(-t) função ímpar (antissimétrica) f(t) = -f(-t) 108

105 Simetria Figure 3.4a. Symmetry properties of Fourier transform pairs when a real signal, s(t) is arbitrary, neither even nor odd. The Fourier transforms are: Hermitian. Double-ended arrows indicate Fourier transform pairs. Fonte: 109

106 Simetria Figure 3.4b. Symmetry properties of Fourier transform pairs when a real signal, s(t) is an even function. The Fourier transforms are: real, even. Double-ended arrows indicate Fourier transform pairs. 110

107 Simetria Figure 3.4c. Symmetry properties of Fourier transform pairs when a real signal, s(t) is an odd function. The Fourier transforms are: imaginary, odd; respectively. Double-ended arrows indicate Fourier transform pairs. 111

108 A expressão para convolução circular 2-D é dada por que fornece um período de uma sequência periódica 2-D. O teorema da convolução 2-D é dado por ), ( ), ( ), ( ), ( v u H v u F y x h y x f = = = ), ( ), ( ), ( ), ( M m N n n y m x h n m f y x h y x f ), ( ), ( ), ( ), ( v u H v u F y x h y x f Teorema da convolução 2D

109 Teorema da convolução 2D Natureza periódica do sinal e erro de wrap-around (ex. 1D) Solução: preenchimento com zeros (zeropadding) 113

110 114

111 Efeito wrap-around A Fig.4.28 mostra um exemplo 1-D onde a convolução resulta em erro (wraparound error) devido á periodicidade das funções no DFT. A solução para esse problema é fazer o padding com zeros em ambas as funções f(x) e h(x) compostas por A e B amostras respectivamente, de tal forma que as funções tenham o mesmo comprimento P, tal que P A + B 1 115

112 116

113 117

114 Próxima aula: Filtragem no domínio da freqüência 118

115 Bibliografia Digital Image Processing, 3 rd. Edition, Rafael C. Gonzalez, Richard E. Woods,