AULA DE APOIO - 1 FÍSICA MATEMÁTICA I. A transformada de Fourier

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1 AULA DE APOIO - 1 FÍSICA MATEMÁTICA I A transformada de Fourier

2 Assuntos da aula 1 Visão geral Motivações Linearidade e limitação uniforme 2 3 Translações, modulações, continuidade e etc. Física-Matemática. Aula 2 / 15

3 Visão geral Motivações Linearidade e limitação uniforme Denotamos por L 1 o conjunto das funções f : R C, a valores complexos, tais que as integrais impróprias de f e f existam. Isto requer que f e f sejam (Riemann) integráveis em cada intervalo [ M, N] e que os limites N N lim f (x)dx e lim f (x) dx M,N M M,N M existam. A integral f (x) dx é a norma f 1 de f em L 1. A tranformada de Fourier ˆf de f L 1 é definida pela integral ˆf (ξ) = 1 f (x)e iξx dx (1) Física-Matemática. Aula 3 / 15

4 Visão geral Motivações Linearidade e limitação uniforme e a anti-transformada de Fourier de g L 1 é, analogamente, dada por ǧ(x) = 1 g(ξ)eiξx dξ (2) Pretendemos nesta, e na próxima aula, estabelecer a inversa de Fourier de forma que f possa ser representada por uma integral (análoga a expansão de Fourier) f (x)? = 1 ˆf (ξ)e iξx dξ = (ˆf ˇ)(x). Com esta ferramenta complementaremos nosso estudo das equações diferenciais parcias que descrevem a condução do calor e a propagação de ondas em meios contínuos. Física-Matemática. Aula 4 / 15

5 Visão geral Motivações Linearidade e limitação uniforme Podemos pensar a transformada de Fourier como o limite de L tendendo a de uma série de Fourier de f em [ L, L]: f (x) =? a (a n cos nπ L x + b n sin nπ ) L x n=1 onde, pela fórmula de Euler: e ±iξx = cos ξx ± i sin ξx, (ˆf (ξ n ) = (L/ )(a n + ib n )) ˆf (ξ n ) = 2 π La n ib n 2 Física-Matemática. Aula 5 / 15

6 Visão geral Motivações Linearidade e limitação uniforme Podemos pensar a transformada de Fourier como o limite de L tendendo a de uma série de Fourier de f em [ L, L]: f (x) =? a ( an ib n e inπx/l + a ) n + ib n e inπx/l 2 2 n=1 onde, pela fórmula de Euler: e ±iξx = cos ξx ± i sin ξx, (ˆf (ξ n ) = (L/ )(a n + ib n )) ˆf (ξ n ) = 2 π La n ib n 2 Física-Matemática. Aula 5 / 15

7 Visão geral Motivações Linearidade e limitação uniforme Podemos pensar a transformada de Fourier como o limite de L tendendo a de uma série de Fourier de f em [ L, L]: f (x)? = 1 n= ˆf (ξ n ) e iξ nx ξ n, ξ n = nπ L e ξ n = π L onde, pela fórmula de Euler: e ±iξx = cos ξx ± i sin ξx, (ˆf (ξ n ) = (L/ )(a n + ib n )) ˆf (ξ n ) = 2 π La n ib n 2 Física-Matemática. Aula 5 / 15

8 Visão geral Motivações Linearidade e limitação uniforme Podemos pensar a transformada de Fourier como o limite de L tendendo a de uma série de Fourier de f em [ L, L]: f (x)? = 1 n= ˆf (ξ n ) e iξ nx ξ n, ξ n = nπ L e ξ n = π L onde, pela fórmula de Euler: e ±iξx = cos ξx ± i sin ξx, (ˆf (ξ n ) = (L/ )(a n + ib n )) ˆf (ξ n ) = 2 π La n ib n 2 = 2 π L L f (x) cos ξ nx i sin ξ n x 2 dx Física-Matemática. Aula 5 / 15

9 Visão geral Motivações Linearidade e limitação uniforme Podemos pensar a transformada de Fourier como o limite de L tendendo a de uma série de Fourier de f em [ L, L]: f (x)? = 1 n= ˆf (ξ n ) e iξ nx ξ n, ξ n = nπ L e ξ n = π L onde, pela fórmula de Euler: e ±iξx = cos ξx ± i sin ξx, (ˆf (ξ n ) = (L/ )(a n + ib n )) ˆf (ξ n ) = 2 π La n ib n 2 = 1 L L f (x) e iξ nx dx. Física-Matemática. Aula 5 / 15

10 Visão geral Motivações Linearidade e limitação uniforme Os ˆf (ξ) s desempenham o mesmo papel dos coeficientes de uma série de Fourier. Ao desenvolver a transformada de Fourier, vamos encontrar muitas similaridades com as séries mas há também algumas surpresas, não todas bem-vindas. Aos alunos que procuram motivações em Matemática e Física para o estudo de transformada de Fourier (o que é e para que serve), faço referência ao sítio de perguntas e respostas Mathematics Stack Exchange Física-Matemática. Aula 6 / 15

11 Visão geral Motivações Linearidade e limitação uniforme A transformada de Fourier é uma transformação linear: se f, g L 1 e a, b C, então h(x) = af (x) + bg(x) L 1 e ĥ(ξ) = aˆf (ξ) + bĝ(ξ). A transformação leva funções de L 1 em funções limitadas (que tendem a 0 em ± por Riemann-Lebesgue): como e iξx = 1, ˆf (ξ) 1 f (x) dx = f 1 <. Afim de apreciar estas propriedades de ˆf, daremos alguns exemplos antes de prosseguir Física-Matemática. Aula 7 / 15

12 Suponha a > 0. Seja f (x) = (2a) 1 se x a e f (x) = 0 se x > a. Então, usando a fórmula de Euler e a paridade de f, ˆf (ξ) = = a a a a a 1 2a e iξx dx 1 (cos ξx i sin ξx) dx 2a = 1 cos ξx dx a 0 sin aξ =. aξ Física-Matemática. Aula 8 / 15

17 Se f (x) = e c x, c > 0, então ˆf (ξ) = 1 ( 0 = 1 = 1 ( 1 = 2 π ecx e iξx dx + 0 e(c iξ)x 0 e (c+iξ)x c iξ c + iξ 0 ) c iξ + 1 c + iξ c c 2 + ξ 2. ) e cx e iξx dx Física-Matemática. Aula 9 / 15

22 a = 1/2, 1, 2 f(x) x Física-Matemática. Aula 10 / 15

23 a = 1/2, f 1, 2 (ξ) ξ -0.2 Física-Matemática. Aula 10 / 15

24 c = 1/2, 1, 2 f(x) x Física-Matemática. Aula 10 / 15

25 c = 1/2, f 1, 2 (ξ) ξ Física-Matemática. Aula 10 / 15

26 Translações, modulações, continuidade e etc. Provas Denote por τ a f (x) = f (x a) a translação de f por a R, e e b f (x) = e ibx f (x) a modulação de f por e b (x) = e ibx. Suponha f L 1 e a e b reais. Então a. τ a f (ξ) = e aˆf (ξ) ; b. êbf (ξ) = τ bˆf (ξ) ; c. f (ξ) = ˆf ( ξ) ; d. ˆf (ξ) é uniformemente contínua ; e. Suponha f diferenciável e f L 1. Então f (ξ) = iξˆf (ξ). Física-Matemática. Aula 11 / 15

27 Translações, modulações, continuidade e etc. Provas a. Mudando a variável x para y = x a, temos τ a f (ξ) = 1 f (x a)e iξx dx b. Claramente, ê b f (ξ) = 1 f (x)e i(ξ b)x dx = τ bˆf (ξ). c. Tomando o complexo conjugado da integral ˆf ( ξ), obtemos ˆf ( ξ) = 1 f (x)e iξx dx = f (ξ). Física-Matemática. Aula 12 / 15

28 Translações, modulações, continuidade e etc. Provas a. Mudando a variável x para y = x a, temos b. Claramente, τ a f (ξ) = e iaξ 1 ê b f (ξ) = 1 f (y)e iξy dy = e aˆf (ξ). f (x)e i(ξ b)x dx = τ bˆf (ξ). c. Tomando o complexo conjugado da integral ˆf ( ξ), obtemos ˆf ( ξ) = 1 f (x)e iξx dx = f (ξ). Física-Matemática. Aula 12 / 15

29 Translações, modulações, continuidade e etc. Provas d. Como f 1 <, dado ε existe K > 0 tal que 2 π K Consequentemente, f (x) dx < ε e 2 π ˆf (ξ) ˆf (η) = 1 f (x) ( e iξx e iηx ) dx K f (x) dx < ε. (3) onde I 1 Física-Matemática. Aula 13 / 15

30 Translações, modulações, continuidade e etc. Provas d. Como f 1 <, dado ε existe K > 0 tal que 2 π K f (x) dx < ε e 2 π K f (x) dx < ε. (3) Consequentemente, ˆf (ξ) ˆf (η) = 1 ( K + K ) + f (x) ( e iξx e iηx ) dx K K onde I 1 1 K f (x) ( e iξx e iηx ) dx Física-Matemática. Aula 13 / 15

31 Translações, modulações, continuidade e etc. Provas d. Como f 1 <, dado ε existe K > 0 tal que 2 π K f (x) dx < ε e 2 π K f (x) dx < ε. (3) Consequentemente, ˆf (ξ) ˆf (η) = 1 ( K + K ) + f (x) ( e iξx e iηx ) dx K K onde I 1 2 π K f (x) dx < ε, Física-Matemática. Aula 13 / 15

32 Translações, modulações, continuidade e etc. Provas e, analogamente a I 1, I 2 1 K f (x) ( e iξx e iηx ) dx K I 3 < ε. Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η R tais que ξ η δ, ˆf (ξ) ˆf (η) 2ε + K f 1 δ < 3ε Física-Matemática. Aula 14 / 15

33 Translações, modulações, continuidade e etc. Provas e, analogamente a I 1, I 2 = 1 K f (x) K I 3 < ε. ξ η ixe isx ds Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η R tais que ξ η δ, ˆf (ξ) ˆf (η) 2ε + K f 1 δ < 3ε dx Física-Matemática. Aula 14 / 15

34 Translações, modulações, continuidade e etc. Provas e, analogamente a I 1, I 2 1 K x f (x) K I 3 < ε. ξ η e isx ds dx Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η R tais que ξ η δ, ˆf (ξ) ˆf (η) 2ε + K f 1 δ < 3ε Física-Matemática. Aula 14 / 15

35 Translações, modulações, continuidade e etc. Provas e, analogamente a I 1, I 2 K ξ η f (x) dx I 3 < ε. Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η R tais que ξ η δ, ˆf (ξ) ˆf (η) 2ε + K f 1 δ < 3ε Física-Matemática. Aula 14 / 15

36 Translações, modulações, continuidade e etc. Provas e, analogamente a I 1, I 2 = K f 1 ξ η I 3 < ε. Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η R tais que ξ η δ, ˆf (ξ) ˆf (η) 2ε + K f 1 δ < 3ε Física-Matemática. Aula 14 / 15

40 Translações, modulações, continuidade e etc. Provas e. Para um K > 0 finito, a integral K f (x)e iξx dx = f (x)e iξx K + iξ K f K K K (x)e iξx dx com a igualdade obtida por integração por partes. Como f, f L 1, f (±K) tende a 0 quando K (a rigor, segue da desigualdade de Sobolev). Tomando K obtemos desta expressão vezes 1 a igualdade desejada: f (ξ) = iξˆf (ξ). Física-Matemática. Aula 15 / 15

41 Translações, modulações, continuidade e etc. Provas e. Para um K > 0 finito, a integral K K f (x)e iξx dx = f (K)e iξk f ( K)e iξk + iξ K K f (x)e iξx dx com a igualdade obtida por integração por partes. Como f, f L 1, f (±K) tende a 0 quando K (a rigor, segue da desigualdade de Sobolev). Tomando K obtemos desta expressão vezes 1 a igualdade desejada: f (ξ) = iξˆf (ξ). Física-Matemática. Aula 15 / 15

42 Translações, modulações, continuidade e etc. Provas e. Para um K > 0 finito, a integral K K f (x)e iξx dx = f (K)e iξk f ( K)e iξk + iξ K K f (x)e iξx dx com a igualdade obtida por integração por partes. Como f, f L 1, f (±K) tende a 0 quando K (a rigor, segue da desigualdade de Sobolev). Tomando K obtemos desta expressão vezes 1 a igualdade desejada: f (ξ) = iξˆf (ξ). Física-Matemática. Aula 15 / 15