1 [20] O problema difusivo

Transcrição

1 TEA13 Matemática Aplicada II Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental UFPR F 1 Dez 218 Prof. Nelson Luís Dias Declaro que segui o código de ética do Curso de Engenharia Ambiental ao realizar esta prova NOME: GABARITO Assinatura: 1 2] O problema difusivo possui discretização i 1 ϕ t = D 2 ϕ 2 ϕ( t) = ϕ ϕ(l t) = ϕ(x ) = f (x) + (1 + 2Fo)ϕn+1 i Foϕi+1 n+1 = ϕn i ( ) onde Fo = D t x 2 e i = 1... N 1 (i é o índice do eixo x). Modifique ( ) para levar em conta as condições de contorno e mostre como ficam as 1 a e última linhas da matriz do sistema de equações que deve ser resolvido a cada passo. 1 o caso: 2 o caso: Foϕ + (1 + 2Fo)ϕ1 n+1 Foϕ 2 n+1 = ϕ1 n (1 + 2Fo)ϕ1 n+1 Foϕ 2 n+1 = ϕ1 n + Foϕ. N 2 + (1 + 2Fo)ϕn+1 N 1 Foϕn+1 N = ϕ n N 1 N 2 + (1 + 2Fo)ϕn+1 N 1 Foϕn+1 N 1 = ϕn N 1 N 2 + (1 + Fo)ϕn+1 N 1 = ϕn N 1

2 2 2] Considere a série complexa de Fourier de f (x) = x 2 no intervalo 1]. Os seus coeficientes de Fourier são Usando a igualdade de Parseval calcule c = c n = x 2 dx = 1 3 ; x 2 e (2πinx ) dx = 1 + iπn 2π 2 n. n2 f (x) 2 dx = + n= 1 + π 2 n 2 4π 4 n 4. c n 2 f (x) 2 dx = + n= c n 2 x 4 dx = 1 5 = c n 2 ; 2 45 = 1 + π 2 n 2 4π 4 n 4

3 3 2] Se x (t) e y(t) são duas funções relacionadas por dy dt + 1 T y = 1 T x com T > e obtenha ŷ(ω) em funcão de x (ω). x (ω) = 1 2π + x (t)e iωt dt iωŷ + 1 T ŷ = 1 T x (1 + iωt )ŷ = x ŷ = x 1 + iωt.

4 4 2] Um problema difusivo envolve o cálculo da concentração c(x t) de uma espécie química regida pela equação t = v x ] c(x ) = c( t) = c c( t) =. Sabendo que as dimensões físicas do problema são tais que c = c ; x = L; t = T e v = L T 1 e que as variáveis envolvidas são x t v c(x t) e c a) 1] Encontre as duas variáveis adimensionais ϕ e ξ que governam o problema de tal maneira que ϕ = ϕ(ξ ). b) 1] Agora utilizando o método de transformação de similaridade encontre a equação diferencial ordinária de ϕ em ξ e suas condições de contorno. NÃO É PRECISO RESOLVER A EQUAÇÃO. a) ϕ = c(x t) ; ξ = x c v t. b) As derivadas que aparecem na equação diferencial parcial são t = c dϕ ξ dξ t = c dϕ x ] dξ v t 2 ; = c dϕ ξ dξ = c dϕ 1 dξ v t ; 2 ] c 2 = c dϕ 1 1 d 2 ϕ 1 = c dξ v t v t dξ 2 v t = c d 2 ϕ (v t) 2 dξ 2. Substituindo na equação orignal obtemos A EDO portanto será t = c x 2 c 2 + c x ] dϕ v t 2 dξ = v c x x t dϕ dξ = v ] 1 d 2 ϕ (v t) 2 dξ v t ] x d 2 ϕ v t dξ 2 + dϕ dξ ξ d2 ϕ dϕ + (1 + ξ ) dξ 2 dξ = ϕ() = 1 ϕ( ) =. ] dϕ dξ

5 5 2] Utilizando o método de separação de variáveis resolva ϕ t = α 2 2 ϕ 2 ϕ( t) = ϕ ϕ(l t) = ϕ(x ) = f (x). Observação: você pode usar o fato de que L ( ) (2n + 1)πx sen 2 dx = L 2. As condições de contorno não são homogêneas. Isso pode ser resolvido com a transformação Fazemos agora ψ (x t) = X (x)t (t); a equação fica O problema de Sturm-Liouville é ψ (x t) = ϕ(x t) ϕ ψ = ϕ ψ t = ϕ t ψ t = α 2 2 ψ 2 ψ ( t) = ψ (L t) = ψ (x ) = f (x) ϕ. X dt dt = α 2 d2 X dx 2 ; dt dt = 1 X 1 α 2 T d 2 X dx 2 = λ. d 2 X dx 2 λx = X () = X (L) =. O problema é difusivo. É razoável proibir λ >. Sempre vale a pena entretanto testar λ = : a solução é do tipo X (x) = A + Bx; X () = A = X (L) = B =. Portanto λ = não pode ser autovalor. Para λ = k 2 < com k > a solução é do tipo Impondo as condições de contorno X (x) = A cos(kx) + B sen(kx) X (x) = k A sen(kx) + B cos(kx) ] X () = A = X (L) = kb cos(kl) = ; cos(kl) = kl = π (2n + 1)π + nπ = ; 2 λ n = (2n + 1)2 π 2 4L 2.

6 A equação em T n (t) é A solução geral é da forma Em t = : L 1 dt n α 2 T n dt ψ (x t) = = (2n + 1)2 π 2 4L 2 ; dt n = (2n + 1)2 π 2 T n 4L 2 dt; T n (t) = T exp (2n + 1)2 π 2 ] 4L 2 t. B n e (2n+1)2 π 2 4L 2 t sen ( ) (2n + 1)πx. ( ) (2n + 1)πx f (x) ϕ = B n sen ( ) (2m + 1)πx ( ) ( (2n + 1)πx (2m + 1)πx f (x) ϕ ] sen = B n sen sen ( ) (2m + 1)πx L ( ) (2m + 1)πx f (x) ϕ ] sen dx = B m sen 2 dx B m = 2 L ( ) (2m + 1)πx f (x) ϕ ] sen dx L )