Curso de Complementos de Física

Transcrição

1 Solução da Orientações Gerais Curso de Engenharia Civil Faculdade Campo Grande 7 de Agosto de 2015

2 Solução da Plano de Aula 1 Oscilações Simples 2 3 Solução da 4 5

3 Introdução Oscilações Simples Solução da Oscilações Simples Movimento Harmônico Simples

4 Introdução Oscilações Simples Solução da Oscilações Simples Movimento Harmônico Simples Harmônico = cíclico

5 Introdução Oscilações Simples Solução da Oscilações Simples Movimento Harmônico Simples Harmônico = cíclico Exemplos: Figura: Diversos sistemas oscilantes.

6 Definição Oscilações Simples Solução da Um sistema se comporta como uma oscilação simples se está sujeito a ação de uma força restauradora: F = k x. Figura: Diagrama de corpo livre em um sistema oscilante.

7 Solução da Considere o sistema da Figura (3). Figura: Sistema massa mola suspensa. Apenas a força peso e a força da mola agem sobre a massa. Fonte: página da FisicaBr na internet.

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9 Solução da Figura: Posição de equilíbrio.

10 Solução da F k m g = m a.

11 Solução da F k m g = m a. F k mg = ma

12 Solução da F k m g = m a. F k mg = ma k (y y 0 ) mg = ma

13 Solução da F k m g = m a. F k mg = ma k (y y 0 ) mg = ma ky + ky 0 mg = ma.

14 Solução da F k m g = m a. F k mg = ma k (y y 0 ) mg = ma ky + ky 0 mg = ma. ky = ma.

15 Solução da Em sua forma matemática, ky = m d2 y dt 2 m d2 y dt 2 + ky = 0 d2 y dt 2 + k m y = 0.

16 Solução da Em sua forma matemática, ky = m d2 y dt 2 m d2 y dt 2 + ky = 0 d2 y dt 2 + k m y = 0. Essa é a equação diferencial de um movimento harmônico simples.

17 Solução da Plano de Aula 1 Oscilações Simples 2 3 Solução da 4 5

18 Solução Oscilações Simples Solução da Função incógnita: y = y(t).

19 Solução Oscilações Simples Solução da Função incógnita: Tentativa: y = y(t). y = cos(t).

20 Solução Oscilações Simples Solução da Função incógnita: Tentativa: Problema: d 2 cos(t) dt 2 y = y(t). y = cos(t). = d dt ( ) d cos(t) dt

21 Solução Oscilações Simples Solução da Função incógnita: Tentativa: Problema: d 2 cos(t) dt 2 y = y(t). y = cos(t). = d dt = d dt ( sin(t)) ( ) d cos(t) dt

22 Solução Oscilações Simples Solução da Função incógnita: Tentativa: Problema: d 2 cos(t) dt 2 y = y(t). y = cos(t). = d dt = d dt ( sin(t)) ( ) d cos(t) dt = cos(t)

23 Solução Oscilações Simples Solução da d2 cos(t) dt 2 k = m. + k m cos(t) = cos(t) + k ( ) k cos(t) = cos(t) m m 1 = 0 Não é o que precisamos!

24 Solução Oscilações Simples Solução da d2 cos(t) dt 2 k = m. + k m cos(t) = cos(t) + k ( ) k cos(t) = cos(t) m m 1 = 0 Não é o que precisamos! Mas há como resover! y = cos(ωt) dy dt = ω sin(ωt) d2 y dt 2 = ω2 cos(ωt).

25 Solução Oscilações Simples Solução da d2 cos(t) dt 2 k = m. + k m cos(t) = cos(t) + k ( ) k cos(t) = cos(t) m m 1 = 0 Não é o que precisamos! Mas há como resover! Daí, y = cos(ωt) dy dt = ω sin(ωt) d2 y dt 2 = ω2 cos(ωt). d 2 cos(ωt) dt 2 + k m cos(ωt) = ω2 cos(ωt) + k m cos(ωt)

26 Solução Oscilações Simples Solução da ( = ω 2 + k ) cos(ωt) m

27 Solução Oscilações Simples Solução da ( = ω 2 + k ) cos(ωt) m Isso vai implicar apenas que ω 2 = k m.

28 Solução Oscilações Simples Solução da ( = ω 2 + k ) cos(ωt) m Isso vai implicar apenas que ω 2 = k m. A solução mais geral é y(t) = Acos(ωt + φ).

29 Solução da Análise da solução A constante A é a amplitude do movimento. Figura: Ilustração do papel da amplitude na solução.

30 Solução da Análise da solução A constante ωt + φ é a fase.

31 Solução da Análise da solução A constante ωt + φ é a fase. Ela informa em que posição a massa estará, dentre as posições extremas, em um dado instante.

32 Solução da Análise da solução A constante ωt + φ é a fase. Ela informa em que posição a massa estará, dentre as posições extremas, em um dado instante. Já a constante φ é chamada de constante de fase. Ela indica qual a posição inicial do movimento. Figura: Ilustração da influência da constante de fase φ no movimento.

33 Solução da Plano de Aula 1 Oscilações Simples 2 3 Solução da 4 5

34 Solução da Análise da solução Vejamos o papel da constante ω.

35 Solução da Análise da solução Vejamos o papel da constante ω. Vamos, para isso, acrescer um período T ao intervalo de tempo.

36 Solução da Análise da solução Vejamos o papel da constante ω. Vamos, para isso, acrescer um período T ao intervalo de tempo. Como esses movimentos são cíclicos, após a decorrência de um período, Acos(ωt + φ) = Acos[ω (t + T) + φ].

37 Solução da Análise da solução Vejamos o papel da constante ω. Vamos, para isso, acrescer um período T ao intervalo de tempo. Como esses movimentos são cíclicos, após a decorrência de um período, Acos(ωt + φ) = Acos[ω (t + T) + φ]. Mas a função cosseno só se repete após um ciclo de 2π. Assim: ω (t + T) = ωt + 2π

38 Solução da Análise da solução Vejamos o papel da constante ω. Vamos, para isso, acrescer um período T ao intervalo de tempo. Como esses movimentos são cíclicos, após a decorrência de um período, Acos(ωt + φ) = Acos[ω (t + T) + φ]. Mas a função cosseno só se repete após um ciclo de 2π. Assim: ω (t + T) = ωt + 2π Logo, ωt = 2π ω = 2π T.

39 Solução da Plano de Aula 1 Oscilações Simples 2 3 Solução da 4 5

40 Oscilações Simples Solução da São representações gráficas dessas soluções. Figura:.