Π 1 = H a д b ν, Π 2 = H a д b T d. L 0 T 0 = L a (LT 2 ) b T a + b = 0, 2b + 1 = 0

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1 TT009 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P0, Abr 206 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 0 [25] Uma lata de óleo de raio de base R e altura H tem um furo no fundo, de raio r. As razões r/r e R/H são fixas, de modo que basta uma dessas variáveis na análise do problema (vamos usar H). O óleo tem viscosidade cinemática ν ( ν = L 2 T ). Se o tempo de drenagem do óleo da lata é T d, e considerando que (obviamente) a aceleração da gravidade д é importante, obtenha os 2 parâmetros adimensionais que governam o problema. As variáveis comuns aos dois parâmetros devem ser, obrigatoriamente, H e д. As duas dimensões fundamentais deste problema são L e T. Teremos 2 parâmetros adimensionais: A primeira equação gera o sistema: Π = H a д b ν, Π 2 = H a д b T d. L 0 T 0 = L a (LT 2 ) b L 2 T a + b + 2 = 0, 2b = 0 Então, b = /2, a = 3/2. donde A segunda equação gera o sistema: Π = H 3/2 д /2 ν = ν H дh. L 0 T 0 = L a (LT 2 ) b T a + b = 0, 2b + = 0 Então, donde b = /2; a = /2. Π 2 = T d д H. Temos agora a previsão de análise dimensional para um viscosímetro elementar: ν = H дh f ( ) д T d H

2 2 [25] A figura abaixo mostra o perfil do lago de um reservatório de abastecimento de água. As cotas, medidas na vertical, estão em m. As distâncias horizontais estão em hm (00 m). A região hachuriada é solo, enquanto que a região branca é água. A profundidade máxima do lago é de 2 m. Suponha por simplicidade que o reservatório tem uma largura constante (na direção y) e igual a 00 m. Determine, por integração numérica, o volume total do reservatório em m z x Basta aplicar a regra do trapézio aos elementos delimitados pelas linhas tracejadas: V = [4 6 + (4 + 8) 3 + (8 + 20) 2 + ( ) ] = m3.

3 3 [25] A série de exp(x) é exp(x) = x n n! = A n, B n com A n = x n e B n = n!. Qual é a relação de recursão entre A n e A n, e entre B n e B n? A n = x n = n x n = xa n ; B n = n! = n (n )! = nb n

4 4 [25] Sendo δ ij o delta de Kronecker, e ϵ ijk o símbolo de permutação, calcule o valor numérico de δ ii (ϵ lmn δ l δ m2 δ n3 ). δ ii (ϵ lmn δ l δ m2 δ n3 ) = (δ + δ 22 + δ 33 ) (ϵ 23 ) = 3

5 TT009 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P02, 29 Abr 206 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 0 [25] A matriz [C] = [ ] 0 0 é uma matriz de rotação? Por quê? Sugestão: Para [u] = [,] e [v] = [, ], Calcule [C][u] e [C][v]: o resultado parece uma rotação para você? Temos [C][u] = [ [C][v] = [ ] = [u], ] = [v]. Claramente, não se trata de uma rotação: enquanto que u não sai do lugar, v é rebatido em torno da reta y = x.

6 2 [25] Obtenha a solução geral do sistema de equações diferenciais acopladas dx dt = x + 4y, dy dt = x + y. O sistema tem a forma d dt [ x = y] [ [ ] 4 x. ] y A matriz do sistema possui 2 autovalores, λ = 3 e λ 2 =, e dois autovetores associados, v = (2,) e v 2 = ( 2,). Se (u,v) são as componentes da solução na base dos autovetores, teremos duas equações desacopladas: Na base canônica a solução será du = 3u u(t) = αe3t dt dv dt = v v(t) = βe t. [ ] [ x (t) 2 = α e y(t) ] 3t + β [ ] 2 e t

7 3 [25] Se Obtenha I (t) de forma explícita. I (t) = d dt 3t t (x 2 t) dx, Trata-se de uma aplicação direta da Regra de Leibnitz: d b (t ) dt a(t ) 3t d dt t f (x,t) dt = f (b,t) db da f (a,t) dt dt + (x 2 t) dx = 9t 3 3 t 3 + = 26t = 04 3 t 3 [ 27t 3 t 3] 3t t b (t ) a(t ) x 2 dx, f (x,t) t dx;

8 4 [25] Um campo de velocidade uniforme v = (,0,0) m s atravessa a superfície S : x = y 2, y, 0 z m. Calcule a vazão total Q = S (n v) da. A parametrização óbvia mais uma vez é x = ( u 2 ) /2 y = u, z = v. Então, Agora, Q = S (n v) da = v R uv [ r u r ] du dv. v r u = ( u( u2 ) /2,,0), r v = (0,0,), r u r v = (u( u2 ) /2,,0) (0,0,) = [ r v u r ] = ; v Q = u= v=0 du dv = 2 m 3 s (, ) u ( u 2,0 ; ) /2

9 TT009 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P03, 03 Jun 206 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 0 [25] Para a região hachuriada do plano complexo mostrada na figura ao lado, obtenha a série de Laurent em torno de z 0 = a + ia (a R, a > 0) de f (z) = z 0 z. Deixe o resultado final em função de z z 0 e de z 0 (ou seja: não substitua z 0 = a + ia). Sugestão: reescreva z z 0 + z 0 no denominador. y a z 0 =a+ia a x Observe que em qualquer ponto do disco cinza, Agora, z z 0 < z 0 z z 0 z 0 <. f (z) = z 0 z = z 0 z z 0 + z 0 = z 0 z 0 + z z 0 z 0 ( z = ( ) n z0 z 0 ) n

10 2 [25] Calcule a transformada de Laplace de f (t) = e t cosh(t). L {e t cosh(t)} = 0 e st e t 2 (et + e t ) dt = e st [ e 2t + ] dt 0 2 = [ ] L {e 2t } + L {} 2 = [ 2 s 2 + ] s = s s 2 2s

11 3 [50] Utilizando o método de Frobenius, obtenha duas soluções LI de x 2 y + x (x )y + ( x)y = 0. Inicialmente, verificamos se x = 0 é um ponto singular regular. Reescrevemos a EDO em forma normal: e verificamos y + e de fato o ponto é singular regular. Fazemos então y = y = y = ( ) ( y + x x 2 ) y = 0 x xp(x) = (x ), x 2 q(x) = x, a n x n+r, (n + r )a n x n+r, (n + r )(n + r )a n x n+r 2, É sempre preferível substituir essas expressões na forma não-normal! x 2 (n + r )(n + r )a n x n+r 2 + x (x ) (n + r )a n x n+r + ( x) a n x n+r = 0. Então, (n + r )(n + r )a n x n+r + (n + r )a n x n+r + (n + r )a n x n+r + a n x n+r a n x n+r + = 0. Reunindo os expoentes de x em comum, temos {[(n + r )(n + r ) (n + r ) + ] a n } x n+r + {[(n + r ) ] a n } x n+r + = 0. É possível simplificar: Neste ponto, fazemos {[(n + r )(n + r 2) + ] a n } x n+r + {[(n + r ) ] a n } x n+r + = 0 n + r + = m + r, n + = m, n = m e substituímos: {[(n + r )(n + r 2) + ] a n } x n+r + {[(m + r ) ] a m } x m+r = 0. m= Renomeando agora m = n no segundo somatório, e separando o caso n = 0, teremos: [r (r 2) + ] a 0 x r + {[(n + r )(n + r 2) + ] a n + [(n + r 2)] a n } x n+r = 0.

12 A equação indicial é A raiz é dupla. Uma solução é r 2 2r + = 0, y = (r ) 2 = 0, r =. a n x n+. Procuramos os a n s, a partir de a 0 = (sem perda de generalidade, como sempre): [(n + )(n ) + ]a n + [(n )a n ] = 0, (n ) a n = (n + )(n ) + a n = n n 2 a n. Partindo de a 0 =, teremos a = 0, e a partir da equação acima, a n = 0 para n >. A nossa primeira solução é simplesmente y (x) = x. De fato, y =, e (substituindo na EDO) x (x ) + ( x)x 0. Precisamos agora de uma segunda solução, e o Teorema de Frobenius nos sugere y 2 (x) = x ln x + c n x n+, y 2 (x) = x x + ln x + (n + )c n x n, y 2 (x) = x + n(n + )c n x n. Então, x 2 x + n(n + )c n x n + x (x ) x x + ln x + (n + )c n x n + ( x) x ln x + c n x n+ = 0. Como se espera, todos os termos envolvendo ln x se cancelam. Prosseguindo, x 2 x + n(n + )c n x n + x (x ) + (n + )c n x n + ( x) c n x n+ = 0. Simplificamos: x + n(n + )c n x n+ + x (x ) + x (x ) (n + )c n x n + ( x) c n x n+ = 0; x 2 + n(n + )c n x n+ + (n + )c n x n+2 (n + )c n x n+ + c n x n+ c n x n+2 = 0. Reunimos agora os termos nos mesmos expoentes de x: [n(n + ) (n + ) + ]c n x n+ + [(n + ) ]c n x n+2 = x 2. Simplificamos novamente: [(n + )(n ) + ]c n x n+ + ncn n+2 = x 2.

13 Parece bem evidente que devemos fazer m + = n + 2, m = n +, n = m. Obtemos: [(n + )(n ) + ]c n x n+ + (m )c m x m+ = x 2. m=2 Separamos o caso n = (que corresponde ao expoente x 2!): c x 2 + {[(n + )(n ) + ]c n + [(n )]c n } x n+ = x 2. n=2 Isso nos dá, imediatamente, Prosseguindo, c =. [(n + )(n ) + ]c n = (n )c n, n c n = (n + )(n ) + c n, = n n 2 + c n = n n 2 c n (n )(n 2) = ( )( ) n 2 (n ) 2 c n 2 Portanto, y 2 (x) = x ln x +. n (n )(n )... 2 = [( )] [n(n )... 2] 2 n (n )! = ( ) [n!] 2 = ( ) n (n )! [n (n )!][n!] = ( ) n n n!. ( ) n n n! xn+ c

14 TT009 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P03, 03 Jun 206 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 0 [25] Considere o programa em Python a seguir: #!/usr/bin/python3 # -*- coding: iso *- def f(x): return x def trapezio (n,a,b, f ): trapezio (n,a,b, f ): integra f entre a e b com n trapézios deltax = (b - a )/ n Se = f ( a ) + f ( b ) # define Se Si = 0.0 # inicializa Si for k in range (, n ): # calcula Si xk = a + k * deltax Si += f ( xk ) I = Se + 2* Si # cálculo de I I *= deltax I /= 2 return I Inumer = trapezio(2,0.0,.0,f) Iexata = 0.5 print(abs(inumer - Iexata)) Qual o valor que o programa imprime na tela? A função f (x) = x é linear; para ela, a regra do trapézio é exata. O programa imprime 0.

15 2 [25] Dados os vetores u = (,2,3), v = (3,2,) e w = (,3,2), calcule u v w. u v w = (28,4, 20).

16 3 [25] Calcule x H (ξ a)δ (ξ a) dξ. u(ξ ) = H (ξ a) du = δ (ξ a) dξ ; dv(ξ ) = δ (ξ a) dξ v(ξ ) = H (ξ a). x x 2 x H (ξ a) δ (ξ a) dξ = H (ξ a)h (ξ a) x } {{ }} {{ } u dv H (ξ a) δ (ξ a) dξ = [H (x a)] 2 ; } {{ }} {{ } u dv H (ξ a) δ (ξ a) dξ } {{ }} {{ } u dv = 2 [H (x a)]2 = H (x a) 2 x H (ξ a)δ (ξ a) dξ ;

17 4 [25] Obtenha uma expressão para a transformada de Laplace y(s) da solução da equação diferencial ordinária Pode ser útil saber que y + 3y 4y = x 2 x 2 ; y(0) = ; y (0) = 0. L [ x 2 x ] = 2 2 s 3 2s 2. ATENÇÃO: LEVE O CÁLCULO DE SUAS FRAÇÕES PARCIAIS ATÉ O FIM. A transformada de Laplace da EDO produz s 2 y sy(0) y (0) + 3[sy y(0)] 4y = 2 s 3 2s 2, s 2 y s + 3sy 3 4y = 2 s 3 2s 2, (s 2 + 3s 4)y = 3 + s + 2 s 3 2s 2, (s 2 + 3s 4)y = 3 + s + 2 s 3 2s 2 ; y = 2s4 + 6s 3 s + 4 2s 3 (s 2 + 3s 4) 7 = 80(s + 4) 5 6s 4s 2 2s 3 + 0(s )

18 TT009 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR F, Jul 206 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 0 [25] A Engenheira Ambiental Kanaliza Dôra está estudando escoamentos em canais cuja largura é muito maior que a profundidade. Kanaliza concluiu que as variáveis intervenientes no problema são: (a) a velocidade média V do canal; (b) a profundidade média h; (c) a componente da aceleração da gravidade ao longo do canal дs 0, onde д é a aceleração da gravidade e S 0 é a declividade do canal (ATENÇÃO: KANALIZA E VOCÊ DEVEM USAR дs 0 COMO UMA ÚNICA VARIÁVEL); e (d) o comprimento de rugosidade do fundo z 0. Obtenha os dois grupos adimensionais que descrevem o problema. OBRIGATORIAMENTE, UM DELES DEVE CONTER (NO MÁXIMO) V 0, дs 0 E h, E O OUTRO DEVE CONTER (NO MÁXIMO) z 0, дs 0 E h. Há quatro variáveis e apenas duas dimensões fundamentais (L e T), uma vez que nenhuma das 4 variáveis da lista envolve a massa. Os parâmetros adimensionais são Π = Π 2 = z 0 h V hдs0,

19 2 [25] Sabendo que a vorticidade de um escoamento é ω = u, onde u é a velocidade do escoamento, obtenha ϵ ijk ω k em função de u j x i e u i x j (ϵ ijk é o símbolo de permutação; u i é a i-ésima componente do vetor u na base canônica; e ω k é a k-ésima componente do vetor ω na base canônica). ω k = ϵ mnk u n x m ; ϵ ijk ω k = ϵ ijk ϵ mnk u n x m = ( δ im δ jn δ in δ jm ) un x m = u j x i u i x j

20 3 [25] Obtenha a solução geral de xy + y = x 2. y(x) = c x + x2 3.

21 4 [25] Seja f (z) = (z a)(z b) 2 (z c) 3, onde a = ( + i), b = ( i) e c = i. Obtenha o coeficiente c 3 da série de Laurent de f (z) em torno de z = c. FAÇA AS CONTAS ATÉ O FIM. SUA RESPOSTA DEVE SER UM NÚMERO. Próximo de z = c, f (z) (c a)(c b) 2 (z c) 3 c 3 = (c a)(c b) 2 = (i ( + i))(i ( i)) 2 = ( )( + 2i) 2 = ( )( 4i 4) = (3 + 4i) (3 4i) = 25