TT009 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P01, 20 mar 2015 Prof.

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1 TT009 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P0, 20 mar 205 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 0 [25] Em um trecho de rio de comprimento L com velocidade média constante U verifica-se uma descarga de esgoto a montante que produz uma concentração volumétrica de matéria orgânica C 0 (t) (após a diluição no rio), onde t é o tempo. Um engenheiro ambiental mede a concentração volumétrica de matéria orgânica no fim do trecho ao longo do tempo, C L (t), e pretende fazer uma análise dimensional com as variáveis C 0, C L, L, U e t. As dimensões físicas em questão são a massa de matéria orgânica M, o comprimento L e o tempo T. Ele escolhe C 0, U e L para as variáveis que comparecerão em ambos os grupos adimensionais. Um dos grupos deve conter C L, e o outro t. Encontre os grupos Π e Π 2. Π = C L C0 a U b L c, = ML 3 (ML 3 ) a (LT ) b (L) c = M +a L 3 3a+b+c (T) b a =, b = 0, c = 0. Portanto, Π 2 = tc a 0 U b L c, = T(ML 3 ) a (LT ) b (L) c = (M) a (L) 3a+b+c (T) b a = 0, b =, c =. Π = C L C 0, Π 2 = Ut L

2 2 [25] A função sxs na listagem a seguir calcula a série de Taylor de uma função f (x). (i) Identifique a série. (ii) Descubra quem é f (x) em forma fechada. def sxs (x) : eps =.0 e -6 # acurácia num = x* x # numeradores den =.0 # e denominadores termo = num / den # de cada termo n = # n até aqui sinal = # sinais alternados soma = termo # soma até aqui while abs ( termo ) > eps : sinal *= - n += 2 num *= (x*x) den *= (n*(n -)) termo = num / den soma = soma + sinal * termo return soma A série é A função em forma fechada é f (x) = [x 2 x4 3! + x6 = x ] 5!... ] [x x3 3! + x5 5!... f (x) = x sen x.

3 3 [25] Expandindo a função e t dentro da integral abaixo em uma série de Taylor em torno de t = 0, e em seguida integrando termo a termo, encontre uma série para F (x), onde F (x) x 0 e t t dt. F (x) = x 0 x t /2 e t dt = t /2 ( ) n tn 0 n! x = ( ) n t n /2 dt 0 n! = ( ) n x n+/2 (n + /2)n! dt

4 4 [25] Utilizando o método mais simples do mundo (o método de Euler de ordem ), obtenha um esquema de diferenças finitas para resolver a EDO ( ) dy 2 + y = x. dx dy dx = (x y)/2, y n+ y n = (x n y n ) /2, x y n+ = y n + (x n y n ) /2 x

5 TT009 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P02, 27 abr 205 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 0 [25] Dado o vetor v = (40,30,20,0), obtenha sua componente na direção de t = (,2,3,4) (cuidado: esse último não é um vetor unitário). O vetor unitário u correspondente a t é u = t t = (,2,3,4) = 30 (,2,3,4). A componente de v na direção de u, agora, é v u = (40,30,20,0) 30 (,2,3,4) = ( ) 30 = =

6 2 [25] Esta questão se refere a transformações lineares de R 3 em R 3. Uma matriz [A ij ] é anti-simétrica quando A ij = A ji. Considere a matriz anti-simétrica 0 ω 3 ω 2 [A] = ω 3 0 ω : ω 2 ω 0 calcule o determinante de [A]. (% i) batch (" p02 -b. max ") (% i2) A: matrix ([0,w3,-w2 ],[-w3,0, w ],[w2,-w,0]) [ 0 w3 - w2 ] (% o2) [ - w3 0 w ] [ w2 - w 0 ] (% i3) determinant (A) (% o3) 0 (% i4) B: transpose (A) [ 0 - w3 w2 ] (% o4) [ w3 0 - w ] [ - w2 w 0 ] (% i5) determinant (B) (% o5) 0

7 3 [25] Obtenha os autovalores e os autovetores da matriz 3/6 /3 5/6 /3 5/3 /3. 5/6 /3 3/6 The function bug_report () provides bug reporting information. (% i) batch (" p02 -c. max ") read and interpret file : #p/ home / nldias / Dropbox / graduacao / matap / provas /205 -/ p02 -c. max (% i2) f :[,,]/ sqrt (3) (% o2) [ , , ] sqrt (3) sqrt (3) sqrt (3) (% i3) f2 :[ -,2, -]/ sqrt (6) 2 (% o3) [ , , ] sqrt (6) sqrt (6) sqrt (6) (% i4) f3 :[ -3,0,3]/ sqrt (8) (% o4) [ , 0, ] sqrt (2) sqrt (2) (% i5) e :[,0,0] (% o5) [, 0, 0] (% i6) e2 :[0,,0] (% o6) [0,, 0] (% i7) e3 :[0,0,] (% o7) [0, 0, ] (% i8) c : e. f (% o8) sqrt (3) (% i9) c2 : e2. f (% o9) sqrt (3) (% i0 ) c3 : e3. f (% o0 ) sqrt (3) (% i ) c2 : e. f2 (% o ) sqrt (6) (% i2 ) c22 : e2. f2 2 (% o2 ) sqrt (6) (% i3 ) c23 : e3. f2 (% o3 ) sqrt (6) (% i4 ) c3 : e. f3 (% o4 ) sqrt (2) (% i5 ) c32 : e2. f3 (% o5 ) 0 (% i6 ) c33 : e3. f3 (% o6 ) sqrt (2) (% i7 ) C: matrix ([ c,c2, c3 ],[ c2,c22, c23 ],[ c3,c32, c33 ]) [ ] [ ] [ sqrt (3) sqrt (3) sqrt (3) ] [ 2 ] (% o7 ) [ ] [ sqrt (6) sqrt (6) sqrt (6) ] [ ] [ ] [ sqrt (2) sqrt (2) ] (% i8 ) CT: transpose (C) [ ] [ ] [ sqrt (3) sqrt (6) sqrt (2) ] [ 2 ] (% o8 ) [ ] [ sqrt (3) sqrt (6) ] [ ] [ ] [ sqrt (3) sqrt (6) sqrt (2) ]

8 (% i9 ) bfloat (C) [ b b b - ] (% o9 ) [ b b b - ] [ b- 0.0 b b- ] (% i20 ) A: matrix ([,0,0],[0,2,0],[0,0,3]) [ 0 0 ] (% o20 ) [ ] [ ] (% i2 ) B: CT. A. C [ 3 5 ] [ ] [ ] [ 5 ] (% o2 ) [ ] [ ] [ 5 3 ] [ ] [ ] (% i22 ) load ( eigen ) (% o22 ) / usr / share / maxima /5.32./ share / matrix / eigen. mac (% i23 ) eigenvectors (B) (% o23 ) [[[, 2, 3], [,, ]], [[[,, ]], [[, - 2, ]], [[, 0, - ]]]] (% o23 ) p02 -c. max

9 4 [25] Dadas as funções f (x,y,u,v) = x 2 + y 3 + sen(uv), д(x,y,u,v) = x 3 + y 2 + cos(uv), calcule o jacobiano ( f,д)/ (u,v). (f,д) f f (u,v) = u v д д u v = v cos(uv) u cos(uv) v sen(uv) u sen(uv) = uv sen(uv) cos(uv) + uv sen(uv) cos(uv) = 0

10 TT009 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P03, 29 mai 205 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 0 [25] Em um fluido, o campo de velocidade u = 2xi + 2yj 4zk atravessa região esférica do espaço x 2 + y 2 + z 2. Calcule (n u) ds, S onde S é a superfície da esfera, e n é o vetor unitário normal apontando para fora da superfície em cada ponto de S. Usamos o Teorema da divergência: (n u) ds = S = = = 0 V V V ( u) dv ( u x + v y + w ) z ( ) dv dv

11 2 [25] Obtenha a solução geral da equação diferencial dy dx + y x = x. Com Maxima, (% i) edo : diff (y,x) + y/x = x ; dy y (% o) = x dx x (% i2) ode2 (edo,y,x); 3 x -- + %c 3 (% o2) y = x (% i3) ratsimp (%); 3 x + 3 %c (% o3) y = x y = x2 3 + c x

12 3 [25] Obtenha a solução geral da equação diferencial d 2 y dx 2 2 dy + 5y = 0. dx Com Maxima, (% i) edo : diff (y,x,2) - 2* diff (y,x) + 5* y = 0 ; 2 d y dy (% o) y = 0 2 dx dx (% i2) ode2 (edo,y,x); x (% o2) y = %e (% k sin (2 x) + % k2 cos (2 x)) y = e x (A cos(2x) + B sen(2x))

13 4 [25] Calcule a série de Laurent de f (z) = (z 2)(z 3i) em torno de z = 0 para a região anular 2 < z < 3 do plano complexo. Nós vemos claramente que z /3 < z/(3i) <, e que z /2 > 2/ z <. Separamos em frações parciais: (z 2)(z 3i) = [ 3i 2 z 3i ] z 2 = 3i 2 ( 3i) ( ) z 3i z ( ) 2 z = 3i 2 ( 3i) ( z ) n 3i z ( 2 ) m z m=0

14 TT009 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P04, 26 jun 205 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 0 [20] Em um futuro distante, você é um ser muito evoluído que vive no planeta Berra, que é muito parecido com o antigo planeta Terra, que foi destruído em uma catástrofe ambiental. Você já viveu anos em Berra com clima e hidrologia estatisticamente estacionários (mas não constantes!). Você coletou valores de vazão média anual do rio Biguaçu em uma lista de Python contendo floats. O nome da lista é vazao. Considere o seguinte trecho de programa: vazao. sort () q50 = vazao [ ] Qual é o significado estatístico da variável q50? q50 é a mediana.

15 2 [20] Prove a identidade de Jacobi: [a [b c]] = (a c)b (a b)c. Você pode usar, se quiser: ϵ ijk ϵ lmk = δ il δ jm δ im δ jl. [a [b c]] = ϵ mkl a m [ ϵijk b i c j ] el = ϵ mkl ϵ ijk a m b i c j e l = ϵ lmk ϵ ijk a m b i c j e l = [ δ li δ mj δ l j δ mi ] am b i c j e l = a j b i c j e i a i b i c j e j = (a j c j )b i e i (a i b i )c j e j = (a c)b (a b)c

16 3 [20] Com o método de Frobenius, obtenha uma solução da EDO da forma onde r é a maior raiz da equação indicial. Fazemos y = y = y = xy + xy + y = 0 y (x) = a n x n+r, a n x n+r, (n + r )a n x n+r, (n + r )(n + r )a n x n+r 2. Substituindo na equação diferencial, encontramos (n + r )(n + r )a n x n+r + (n + r )a n x n+r + a n x n+r = 0. Fazemos agora no primeiro somatório: e obtemos m= m + r = n + r, m = n, n = m +, (m + r )(m + r + )a m+ x m+r + (n + r )a n x n+r + a n = 0, (r )ra 0 x r + (r )ra 0 x r + [(n + r )(n + r + )a n+ + (n + r )a n + a n ] x n+r = 0, [(n + r )(n + r + )a n+ + (n + r + )a n ] x n+r = 0. É evidente que, com a 0 0, a equação indicial é r (r ) = 0 r 2 = 0 ou r =. As raízes diferem por um inteiro; ou a menor raiz leva a 2 soluções, ou não leva a nenhuma. Tentemos com a menor raiz (r 2 = 0): n(n + )a n+ + (n + )a n = 0, a n+ = n a n. Note que é impossível obter a a partir de a 0 : a recursão falha, e a menor raiz não leva a nenhuma solução. Uma única solução ainda é possível com a maior raiz r = : (n + )(n + 2)a n+ + (n + 2)a n = 0, a n+ = n + a n. Fazendo a 0 = sem perda de generalidade, não é difícil encontrar o termo geral: e uma solução y(x) = a n = ( )n n! ( ) n n! x n+

17 4 [20] Com o método de Frobenius, obtenha outra solução da EDO da forma xy + xy + y = 0 y 2 (x) = y (x) ln(x) + c n x n+r 2, onde y (x) é a solução da questão 3, e r 2 é a menor raiz da equação indicial. Sugestão: para simplificar um pouco suas contas faça, sem perda de generalidade, c = 0 (quando precisar). Já sabemos que a equação indicial é r (r ) = 0, e que a menor raiz, r = 0, não leva a nenhuma solução; temos também uma solução com a forma y (x) = Procuramos então uma segunda solução com a forma: Substituindo na equação diferencial, xy y 2 (x) = y (x) ln(x) + ( ) n x n+. n! c m x m+s, m=0 y 2 = y ln x + y x + (m + s)c m x m+s, m=0 y 2 = y ln x + 2y x y x 2 + (m + s )(m + s)c m x m+s 2. m=0 ln x + 2y y x + (m + s )(m + s)c m x m+s + m=0 O lado direito da equação acima é calculado como: xy + y + (m + s)c m x m+s + y ln(x) + c m x m+s = 0; m=0 m=0 (s )sc 0 x s + [(m + s)(m + s + )c m+ + (m + s + )c m ] x m+s = y x 2y. m=0 y x = 2y = y x 2y = ( ) n x n, n! 2 ( )n n! (n + )x n ( ) n [2n + ] x n n! Ficamos com (s )sc 0 x s + [(m + s)(m + s + )c m+ + (m + s + )c m ] x m+s ( ) n = [2n + ] x n. n! m=0 Os dois lados da equação acima são compatíveis se escolhermos s = 0. Então, podemos igualar termo a termo os lados esquerdo (restante) e direito. Para n = 0, n(n + )c + (n + )c 0 =, c 0 =.

18 Observe que não é possível calcular c : ele precisa receber um valor arbitrário: c = λ. Para n : A listagem mostra o cálculo dos primeiros c n s. n(n + )c n+ + (n + )c n = ( )n n! [2n + ], nc n+ + c n = ( )n+ (2n + ), (n + )! c n+ = c n n + ( )n+ (2n + ), n(n + )! c n = c n n + ( )n (2n ). (n )n! /* vamosac. max */ 2 c [0] : 0$ 3 c [] : lambda$ 4 c[n] := -c[n -]/(n -) + (( -)** n )/((n -)* n!)*(2* n -) $ 5 for n : thru 8 step do ( 6 print ("n = ", n, "c[n] = ", expand ( expand (c[n ]))) 7 ); Listing : Valores iniciais de c n A listagem 2 mostra a saída. Listing 2: Saída de vamosbd.max (% i) batch (" vamosac. max ") (% i2) c [0]:0 (% i3) c []: lambda (% i4) c[n ]:=( -)^ n *(2*n -)/(( n -)* n!)+( - c[n -])/( n -) (% i5) for n thru 8 do print (" n = ",n," c[n] = ", expand ( expand (c[n ]))) n = c[n] = lambda 3 n = 2 c[n] = - - lambda 2 lambda 7 n = 3 c[n] = lambda n = 4 c[n] = lambda 0 n = 5 c[n] = lambda n = 6 c[n] = lambda 283 n = 7 c[n] = lambda n = 8 c[n] = Com ela, podemos escrever: Mas y 2 (x) = y (x) ln(x) + λ y (x) = ] [x x 2 + x3 2 x4 3! + x5 4! x2 7 6 x x x ( ) n x n+ = x x 2 + x3 n! 2 x4 3! + x5 4!..., donde y 2 (x) = y (x) ln(x) + λy (x) x2 7 6 x x x Como antes, toda a série que multiplica λ é linearmente dependente da primeira solução: qualquer valor de λ, e em particular λ = 0, produz a segunda solução linearmente independente da primeira

19 5 [20] Resolva como quiser o problema de valor inicial Se você quiser, pode usar o fato de que dy dt + y = tet, y(0) =. L { te t } = (s ) 2. (% i) edo : ' diff (y,x) + y = x* exp (x) ; 2 dy x 3 (% o) -- + y = x %e 4 dx 5 (% i2) ode2 (edo,y,x); 6 2 x 7 - x (2 x - ) %e 8 (% o2) y = %e ( %c) (% i3) %, y =, x = 0 ; 2 (% o3) = %c ou seja: y(t) = 2 tet 4 et e t

20 TT009 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR F, 6 jul 205 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 0 [20] A função misterio definida no trecho de Python abaixo calcula uma função bem conhecida em Matemática. Que função é essa? def misterio (x): eps =.0e -6 tv =.0 n = 0 s = tv tn = 2* eps while abs (tn) > eps : n += tn = x*tv/n s += tn tv = tn pass return s e x.

21 2 [20] Se ϕ(x,y,z) é um campo escalar infinitamente diferenciável, prove que ϕ = 0. ϕ ϕ = ϵ ijk e k x i x j [ = 2 ϵ ϕ ijk + ] x i x j 2 ϵ ϕ jik e k x j x i = ( ) ϵijk + ϵ jik ek 2 = 0

22 3 [20] Resolva (encontre a solução geral) d 2 y dx 2 2 dy dx + y = ex. y(x) = (c + c 2 x)e x + x2 e x 2.

23 4 [20] Encontre a solução geral (em série) da equação diferencial y + x 2 y = 0. Como sempre, Alinhando os expoentes, Então, y = y = y = (n + r )(n + r )a n x n+r 2 + a n x n+r +2 = 0. m= 4 a n x n+r, (n + r )a n x n+r, (n + r )(n + r )a n x m + r + 2 = n + r 2, m = n 4, n = m + 4. n+r 2 (m + r + 3)(m + r + 4)a m+4 x m+r +2 + a n x n+r +2 = 0, (r )ra 0 x r 2 + r (r + )a x r + (r + )(r + 2)a 2 x r + (r + 2)(r + 3)a 3 x r + + [(n + r + 3)(n + r + 4)a n+4 + a n ] x n+r +2 = 0 A menor raiz da equação indicial (r )r = 0, r = 0, levará a duas soluções: A partir daí, As duas soluções LI partindo de a 0 = e de a = serão: y (x) = 2 x x8 y 2 (x) = x 20 x x9 a 0 0, a 0, a 2 = 0, a 3 = 0. a n a n+4 = (n + 3)(n + 4), a n 4 a n = (n )n x x x x7...

24 5 [20] Dado problema de valor inicial dy dt + y = t 0 (t τ ) sen(τ ) dτ, y(0) =, encontre a transformada de Laplace de y(t), y(s). Não é preciso inverter y(s). Reconheço do lado direito a convolução das funções f (t) = t e д(t) = sen(t), cujas transformadas de Laplace são L [t] = s 2, L [sen(t)] = s 2 + Portanto, pelo Teorema da Convolução, a transformada de Laplace do lado direito é o produto: s 2 (s 2 + ) = A s + B s 2 + Cs + D s 2 +. Obtemos: A = 0, B =, C = 0, D =. Transformando também o lado esquerdo, e reunindo tudo, sy + y = s 2 s 2 +, y(s + ) = s 2 s 2 + y(s + ) = + s 2 y = s + = s 2 + s 2 ] s 2 + [ + s 4 + s 2 + s 5 + s 4 + s 3 + s 2