1 [35] (O jogo dos 7 erros.) Considere a equação de advecção-difusão unidimensional

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1 TT1 Matemática Aplicada II Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P1, 23 nov 212 Prof. Nelson uís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 1 [35] (O jogo dos 7 erros.) Considere a equação de advecção-difusão unidimensional com condições iniciais e de contorno φ t + U φ x = D 2 u Kφ, x, t >, x2 φ(x, ) =, φ(, t) = Φ M, φ(, t) =. A solução analítica é φ(x, t) = Φ [ ( ) ( ) M Ux x + Ut(1 + 2H) 1/2 exp 2 2D (1 + (1 + 2H)1/2 ) erfc + 4Dt ( ) ( ) Ux x Ut(1 + 2H) 1/2 exp 2D (1 (1 + 2H)1/2 ) erfc ], 4Dt onde H = 2KD/U 2. O programa abaixo, que calcula a solução analítica e imprime um arquivo binário com resultados da solução em função de x, para intervalos t =.1 e para U = 1, D = 2, K = 1 e Φ M = 1 (em unidades arbitrárias), possui 7 erros. Identifique-os, e explique o que precisa ser feito para consertar cada um. Cada erro corretamente identificado e consertado vale 5 pontos. 1 #!/ usr / bin / python 2 # -*- coding : iso *- 3 from future import print_function 4 from future import division 5 fou = open ( 'difadv - ana. dat ','wb ') 6 dx =.1 7 dt =.1 8 print ('# dx = %9.4 f ' % dx) 9 print ('# dt = %9.4 f ' % dt) 1 nx = int (1./ dx) 11 nt = int (1./ dt) 12 print ('# nx = %9d' % nx) 13 print ('# nt = %9d' % nt) 14 from math import sqrt, erfc # <1 FATOU IMPORTAR exp 15 U = D = K = FIM = a = U /(2* D) 2 h = 2* K*D/U **2 21 s = sqrt (1 + h) # <2 s = sqrt (1 + 2* h) 22 def ana (x,t): 23 a = a*x 24 e1 = (x + U*t*s )/( sqrt ( -4* D*t)) # <3 e1 = (x + U*t*s )/( sqrt (4* D*t)) 25 e2 = (x - U*t*s )/( sqrt (4* D*t)) 26 fi = FIM *.5*( exp (a *(1 + s ))* erfc ( e1) + exp (a*(1 - s ))* erfc ( e2 )) 27 return fi 28 # <4 from numpy import zeros 29 u = zeros ( nx +1, float ) 3 u. tofile ( fou ) 31 for n in range (1, nt +1): 32 t = n* dt 33 print t # <5 print (t) 34 for i in range ( nx ): # <6 for i in range ( nx +1) 35 xi = i* dx 36 u[i] = ana (xi,t) 37 write (u. tofile ( fou )) # <7 u. tofile ( fou ) 38 fou. close () 1

2 2 [3] Se f(t) f(s) = {f(t)} são um par função transformada de aplace, calcule {tf(t)}. Sugestão: escreva f(s) em termos de sua integral definidora. Derive em relação a s, observando que os limites da integral são fixos, e que portanto é possível comutar a derivada em relação a s com a integral em t. f(s) = df ds = {tf(t)} = df ds e st f(t) dt; e st tf(t) dt = {tf(t)};

3 3 [35] Dada a equação da onda, u t + c u x =, considere o esquema upwind u n+1 i u n i = c un i un i 1 t x e suponha que ele induza difusão numérica: isso significa que ele deve ser algebricamente idêntico a uma expressão do tipo u n+1 i u n i = c u t x + D un i+1 2un i + un i 1 x 2, onde u/ x representa alguma aproximação numérica da derivada u/ x, e D é o coeficiente de difusão numérica. Partindo da identidade u n i u n i 1 u n i u n i 1 + (u n i+1 u n i+1) + (u n i 1 u n i 1) + (2u n i 2u n i ), a) [25] obtenha as expressões para D e u/ x; b) [1] interprete a expressão obtida para u/ x como uma ponderação (com pesos e sinais diferentes!) de uma derivada progressiva e uma derivada regressiva no espaço. O enunciado de (b) estava confuso e essencialmente errado. O item (a) teve peso reduzido para 2. O item (b) teve peso aumentado para 15, e foi dado integralmente para todos os alunos. (a): Portanto: u n+1 i u n+1 i u n+1 i u n i t u n i t u n i t + c x + c x + c x u n i + c un i un i 1 = t x [ (u n i u n i 1) + (u n i+1 u n i+1) + (u n i 1 u n i 1) + (2u n i 2u n i ) ] = u n+1 i u n+1 i [ (u n i u n i 1) + (u n i+1 2u n i + u n i 1) + ( u n i+1 + 2u n i u n i 1) ] = [ (u n i u n i 1) + (u n i+1 2u n i + u n i 1) (u n i+1 2u n i + u n i 1) ] = u n i t + c un i+1 un i x = (c x) un i+1 2un i + un i 1 x 2 u x = un i+1 un i, x D = c x. (b): anulado.

4 TT1 Matemática Aplicada II Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P2, 21 dez 212 Prof. Nelson uís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 1 [25] Obtenha onde H(x) é a função de Heaviside. x H(x a) sen x dx, Este é um problema mais ou menos clássico : sejam F (x) e f(x) = F (x): x x H(x a) f(x) dx = H(ξ a)f (ξ) }{{}}{{} u dv x x F (x)δ(x a) dx = H(x a)f (x) H(x a)f (a) = H(x a) [F (x) F (a)] H(x a) sen x dx = H(x a) [cos(x) cos(a)]

5 2 [25] Dados dois vetores x C n, y C n, define-se: g : C n C n C, (x, y) z = [ n k=1 verifique se g(x, y) é um produto interno legítimo. Justifique! Não: [g(y, x)] = n k=1 ] (k)(x k y k ) ; x k y k n (k)y k x k y k x k = (k)x k y k x k y k [g(x, y)]. k=1

6 3 [25] Obtenha a série de Fourier de 1 x <, f(x) = 1/2 x =, 1 < x 1 f(x) = A 2 + ( ) ( ) 2nπx 2nπx A n cos + B n sen ; A n = 2 +1 ( ) 2nπx f(x) cos dx ( ) 2nπx = cos dx = 1 (n = ) ou (n > ); 2 B n = 2 +1 ( ) 2nπx f(x) sen dx ( ) 2nπx = sen dx 2 = 1 nπ [1 ( 1)n ] ; f(x) = nπ [1 ( 1)n ] sen (nπx)

7 4 [25] Calcule a transformada de Fourier de f(x) = [H(x 1) H(x + 1)] sen(x), onde H(x) é a função de Heaviside. f(k) = = = = i = i 1 +1 [H(x + 1) H(x 1)] sen(x)e ikx dx sen(x)e ikx dx sen(x) [cos(kx) i sen(kx)] dx 1 sen(x) sen(kx) dx (k 1) sen(k + 1) (k + 1) sen(k 1) k 2 1

8 TT1 Matemática Aplicada II (212-2) Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P3, 8 fev 213 Prof. Nelson uís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 1 [5] Obtenha a função de Green da equação diferencial dy + xy = f(x); y() = 1. dx Faça Faça G(x, )y( ) G(x, )y() G(x, )y() + G(x, ξ) dy dξ dξ + y(ξ) dg dξ dξ + G(x, ) = G(x, ξ)ξy(ξ) dξ = G(x, ξ)ξy(ξ) dξ = [ y(ξ) dg ] + G(x, ξ)ξ dξ = G(x, ξ)f(ξ) dξ; dξ dg + G(x, ξ)ξ = δ(ξ x). dξ G(x, ξ) = u(x, ξ)v(x, ξ) : G(x, ξ)f(ξ) dξ G(x, ξ)f(ξ) dξ u dv dξ v du + uvξ = δ(ξ x); dξ [ u dv ] dξ + vξ + v du = δ(ξ x); dξ dv + vξ = ; dξ dv v = ξ dξ; v(x,ξ) v(x,) ln dv v = ξ v(x, ξ) v(x, ) = 1 2 ξ2 ; η dη; v(x, ξ) = v(x, ) exp ( ) 1 2 ξ2. Procure u(x, ξ): v(x, )e ξ2 /2 du dξ = δ(ξ x), du dξ = 1 2 v(x, ) e ξ /2 δ(ξ x), du dη = 1 2 v(x, ) e η /2 δ(η x), u(x, ξ) u(x, ) = 1 v(x, ) u(x, ξ) = u(x, ) ξ η= e η2 /2 δ(η x) dη, H(η x) 2 v(x, ) e x /2

9 Recompondo a G, G(x, ξ) = u(x, ξ)v(x, ξ) [ = u(x, ) = H(η x) 2 v(x, ) e x /2 [ G(x, ) H(ξ x)e x2 /2 ] e ξ2 /2. ] ( ) 1 v(x, ) exp 2 ξ2 Mas G(x, ) = G(x, ) = e x2 /2, G(x, ξ) = [1 H(ξ x)] e 1 2 (ξ2 x 2 )

10 2 [5] Ache os autovalores e autofunções do problema de Sturm-iouville y + λy =, y () = y (1) =. Somente λ s positivos serão autovalores. A solução geral é Portanto, y(x) = A cos( λx) + B sen( λx), y (x) = [ λ A sen( λx) + B cos( ] λx), y () = B =, y (1) = sen( λ) =. λ = nπ, λ n = n 2 π 2, y n (x) = cos(nπx)

11 TT1 Matemática Aplicada II (212-2) Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P4, 15 mar 213 Prof. Nelson uís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 1 [5] Obtenha φ(x, t) pelo método das características: φ t + e t φ x = x, φ(x, ) = f(x). Faça φ(x, t) = F (s) sobre x = X(s) e t = T (s): φ(x(s), T (s)) = F (s); X(s) X() df ds = φ dt t ds + φ dx x ds ; dt = 1 T (s) = T () +s, ds }{{} dx ds = e t = e s, dξ = s e τ dτ, X(s) X() = 1 e s X() = X(s) 1 + e s. Mas φ t φ + e t x = x, df ds = X() + 1 e s, s [ X() + 1 e tau ] dτ F (s) F () = τ= F (s) = F () + (X() + 1)s + (e s 1) F () = f(x()) = f(x 1 + e t ); φ(x, t) = F (s) = f(x 1 + e t ) + (x 1 + e t + 1)t + (e t 1) φ(x, t) = f(x 1 + e t ) + (x + e t )t + (e t 1)

12 2 [5] Resolva a equação de Schrödinger 2 Ψ 2m x 2 = i Ψ t, Ψ(, t) = Ψ(, t) =, x Ψ(x, ) = Ψ, 2 (onde e m são constantes, e i = 1), utilizando o método de separação de variáveis. Observação: 1 x sen(ax) dx = sen(a) a cos(a) a 2. 2im Ψ t = Ψ 2 x 2, 2im X dt dt = T d2 X dx 2, 2im dt T dt = 1 d 2 X X dx 2 = λ. As condições de contorno sugerem um problema de Sturm-iouville em X, donde A equação em T será d 2 X + λx =, X() = X() =, dx2 X n (x) = sen ( nπx ), λ n = n 2 π 2 / 2. 2im dt T dt = n2 π 2 2, dt n = n2 π 2 T n 2im 2, T n (t) = A n e n2 π 2 t 2im 2, T n (t) = A n e i n2 π 2 t 2m 2. Procure a solução por superposição, como sempre: ( Ψ(x, t) = A n e i n2 π 2 t nπx ) 2m 2 sen, Portanto, Ψ Ψ Ψ x sen x sen x sen x Ψ(x, ) = Ψ = ( nπx ) A n sen, ( ) kπx ( nπx ) ( ) kπx = A n sen sen, ( ) [ kπx ( nπx ) ( ) ] kπx dx = A n sen sen dx, ( ) kπx dx = A k 2, Ψ(x, t) = A k = 2Ψ x sen = 2Ψ ( 1) k+1. πk 2Ψ ( 1) n+1 πn e i n2 π 2 t 2m 2 ( ) kπx dx, sen ( nπx )

13 TT1 Matemática Aplicada II Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR F, 22 mar 213 Prof. Nelson uís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 1 [25] Calcule a transformada de aplace de cos 2 (t). Sugestão: encare a integral definidora. cos 2 (t)e st dt = s2 + 2 s 3 + 4s

14 2 [25] Calcule a transformada de aplace de e t δ(t b), onde b > e δ( ) é a distribuição delta de Dirac. e t δ(t b)e st dt = = e s+1 b e ( s+1)t δ(t b) dt

15 3 [25] Se f(x) = x 2, < x < π, obtenha uma série de Fourier para f(x) contendo apenas cossenos. É mais ou menos óbvio que se trata da série de Fourier da expansão par de f(x): com f p (x) = A 2 + ( ) 2nπx A n cos, 2π A n = 2 2π π π π ( ) 2nπx x 2 cos dx 2π = 2 x 2 cos(nx) dx π { 2π 2 = 3, n =, ( 1) n 4 n, n >. 2

16 4 [25] Resolva a equação de aplace 2 φ x φ y 2 = no retângulo < x <, < y < M, com condições de contorno φ(, y) = φ(, y) =, φ(x, M) =, Deixe sua resposta em termos de integrais envolvendo f(x). φ(x, ) = f(x). Este é um problema clássico de separação de variáveis. A maior parte dos passos já foi feita em sala, para um problema muito parecido (senão igual!). Fazendo φ(x, y) = X(x)Y (y) encontramos um problema de Sturm-iouville em x, com X n (x) = sen nπx, λ n = n 2 π 2 / 2. Resolvendo para Y (y) e impondo as condições de contorno, ( nπ ) Y n (y) = senh (M y). A solução geral é do tipo φ(x, y) = Os coeficientes de Fourier A n são a solução de A n sen nπx senh ( nπ (M y) ). A n senh nπm = 2 f(x) sen nπx dx