1 [30] Dada a equação de difusão-advecção

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1 TT1 Matemática Aplicada II Curso de Egeharia Ambietal Departameto de Egeharia Ambietal, UFPR P1, 7 set 13 Prof. Nelso Luís Dias NOME: GABARITO Assiatura: 1 [3] Dada a equação de difusão-advecção ϕ t + u ϕ x D ϕ x, ode u e D são costates, faça uma aálise de estabilidade de vo Neuma para o esquema explícito a seguir: ϕ +1 i ϕ i t + u ϕ i+1 ϕ i 1 x D ϕ i+1 ϕ i + ϕ i 1 x. Ecotre uma relação etre os úmeros de Courat, Co u t/ x, e de Fourier, Fo D t/ x, da forma (a + bfo) + (c + dco) < 1; os valores de a, b, c e d são proveietes da aálise de estabilidade, e são por sua cota. A solução origial da questão estava errada. A solução correta é a seguite (corrigida em T18:58:19): ϵi +1 ϵi + u t ( ϵ x i+1 ϵi 1) D t ( ϵ x i+1 ϵi + ϵi 1 ), ϵi +1 ϵi Co ( ϵ i+1 ϵi 1 ) ( + Fo ϵ i+1 ϵi + ϵi 1 ), ξ l e a(t + t ) e ik l i x ξ l e at e ik l i x Co ( ξl e at e ik l (i+1) x ξ l e at e ) ik l (i 1) x + Fo ( ξ l e at e ik l (i+1) x ξ l e at e ik l i x + ξ l e at e ) ik l (i 1) x,ξ l e at, e a t e ik l i x e ik l i x Co ( e ik l (i+1) x e ) ik l (i 1) x + Fo ( e ik l (i+1) x e ik l i x + e ) ik l (i 1) x, e a t 1 Co ( e ik l x e ) ik l x + Fo ( e ik l x + e ) i x, 1 ico se(k l x) + Fo (cos(k l x) 1) ( ) ( ) ( ) 1 4Fo se kl x kl x kl x ico se cos. Faça θ k l x/; a codição para que o esquema seja estável é que ea t < 1, (1 4Fo se θ ) + (Co se θ cos θ ) < 1, 1 (8 se θ ) Fo + (16 se 4 θ ) Fo + se (θ ) Co < 1, } {{ }} {{ }} {{ } α α γ αfo + α Fo + γ Co <, γ Co < αfo α Fo dode Para cada θ, as fuções [ αfo Co < γ ] 1/ ( αfo). (1) α (θ ) 4 se (θ ) e γ (θ ) se (θ ) Cotiue a solução o verso

2 1 Co π/ 15π/3 7π/16 11π/3 π/3 π/16 3π/3 3π/16 5π/3 π/8 π/4 7π/ Fo Figura 1: Varredura dos valores de θ que matém cada modo estável segudo a equação (??). defiem, jutamete com a equação (??), uma região diferete o plao Fo Co. É preciso portato varrer os valores de θ e ecotrar a região do plao em que o esquema é estável idepedetemete de θ (lembre-se de que θ idica o modo de Fourier que se desestabilizará. Basta que um desses modos se desestabilize para que o sistema seja istável). A figura?? mostra essa varredura sistemática (feita umericamete, para valores discretos de θ, em icremetos de π/3). Os valores começam em π/3 e avaçam até π/. Neste último valor, a região colapsa para a semireta Fo, Co. Icremetos adicioais voltam a produzir as mesmas regiões. Por exemplo, a curva para 18π/3 9π/16 coicide com a curva para 14π/3 7π/16, e a curva para 7π/3 coicide com a curva para 5π/3 (ote em ambos os casos a equidistâcia para π/). Cocluímos que é suficiete parar a varredura em π/. Fialmete, costatamos (por ispeção visual) que a iterseção de todas as regiões correspode à região debaixo de (??) para θ π/8. A solução desejada, portato, correspode a (1 4 se (π/8)fo) + (se(π/4)co) < 1 Cotiue a solução o verso

3 [3] Se f (x) x, д(x) se(x), e sabedo que x 4 dx 1/5, use uma desigualdade para obter um limite superior para se (x) dx ( se())/4,77, x se(x) dx com 4 algarismos sigificativos, e SEM CALCULAR A INTEGRAL. f,д f д f (x) dx,,77,5454 д(x) dx Cotiue a solução o verso

4 3 [4] Dada a equação da oda com as codições iiciais abaixo, ϕ t ϕ x, ϕ(x,) x (1 x), ϕ(x,) 1, x 1, t 1, t a) [] Obteha uma discretização de difereças fiitas totalmete implícita. b) [] Sua discretização certamete evolve ϕi 1, ϕi, e ϕ+1 i simultaeamete. Portato, se N 1/ x é o úmero de itervalos discretizados em x, você obviamete precisa alocar o míimo uma matriz 3 (N + 1) para marchar o tempo os valores de ϕ (certo?). À medida que você marcha o tempo t, os ídices das 3 lihas dessa matriz (que vamos chamar de m,, p) devem ser como se segue: t (m,,p), 1, t 1,, t,, 1 3 t, 1,.. Escreva um trecho de programa em Pytho que trasforma a velha tripla (m,,p) a ova tripla (m,,p) segudo o esquema acima... a) b) Por exemplo, #!/usr/bi/pytho def troca(x) : m x[] x[1] p x[] retur(,p,m) (m,,p) (,1,) (m,,p) troca((m,,p)) prit (m,,p) (m,,p) troca((m,,p)) prit (m,,p) Mas até mesmo isto fucioa: (m,,p)(,1,) (m,,p)(,p,m) prit (m,,p) (m,,p)(,p,m) prit (m,,p) ϕ +1 i ϕ i + ϕ 1 i t ϕ+1 i+1 ϕ+1 i + ϕi 1 +1 x. Cotiue a solução o verso

5 TT1 Matemática Aplicada II Curso de Egeharia Ambietal Departameto de Egeharia Ambietal, UFPR P1, 7 set 13 Prof. Nelso Luís Dias NOME: GABARITO Assiatura: 1 [5] Se f (x) e x, д(x) se(x), < x < +, calcule [f д](x) (o setido de covolução de Fourier). Sugestão: [f д](x) e ξ se(x ξ ) dξ e ξ se(x ξ ) dξ + e ξ se(x ξ ) dξ. } {{ } } {{ } I 1 I Note que ξ ão muda de sial em I 1 (ode ξ ) em em I (ode ξ > ): portato, remova o módulo e trabalhe os siais. Cotiue, reuido ovamete a expressão resultate em uma úica itegral, e itegre, lembrado que miha terra tem palmeiras ode cata o sabiá, seo a cosseo b, seo b cosseo a. Na parte fial, você pode usar e ξ cos(ξ ) dξ 1. [f д](x) se(x) se(x) e ξ se(x ξ ) dξ e ξ se(x ξ ) dξ + e +ξ se(x ξ ) dξ + e u se(x + u) d( u) + e u se(x + u) du + e ξ [se(x + ξ ) + se(x ξ )] dξ e ξ se(x ξ ) dξ e ξ se(x ξ ) dξ e ξ se(x ξ ) dξ e ξ se(x ξ ) dξ e ξ [se(x) cos(ξ ) + se(ξ ) cos(x) + se(x) cos(ξ ) se(ξ ) cos(x)] dξ e ξ se(x) cos(ξ ) dξ e ξ cos(ξ ) dξ Cotiue a solução o verso

6 [5] Calcule a série de Fourier complexa de f (x) e x, x [,1]. f (x) c + c 1 1/e πi + 1 π ix c e L, e πix e x dx, Cotiue a solução o verso

7 3 [5] Sabedo que a x + a a e ka formam um par de trasformada-atitrasformada de Fourier, ecotre { } a F 1 4 e ka. Deixe sua resposta a forma de uma itegral de covolução. F { f f } π f (k) f (k), F 1 { [ f (k)] } 1 π f f, [ F 1 { a } 4 e ka 1 π a ξ + a ] [ a ] (x ξ ) + a dξ Cotiue a solução o verso

8 4 [5] Ecotre a fução de Gree da equação diferecial Se ão souber de cor dx/(1 + x ), tete x tg θ. Etão, G(x,ξ )y(ξ ) G(x, )y( ) G(x,)y() Resta uma quadratura simples em u: Mas ξ ξ ξ dy dx xy f (x). G(x,ξ ) dy dξ G(x,ξ ) xy G(x,ξ )f (ξ ), G dy dξ dξ ξ Gy dξ G f dξ y(ξ ) dg dξ dξ ξ Gy dξ y(ξ ) dg dξ dξ ξ Gy dξ [ ] dg ξ dξ ξ } {{ G y(ξ ) dξ } δ (ξ x) dg dξ ξ G δ (ξ x), [ u dv dξ + v du ] 1 + dξ 1 + ξ uv δ (ξ x), [ ] dv u dξ ξ v + v du δ (ξ x), dξ dv dξ ξ v, v(x,ξ ) v(x,) dv v ξ dξ, dv v ξ τ dτ, G f dξ G f dξ [ G(x,)y() + l v(x,ξ ) v(x,) [ arctg(ξ ) arctg() ] arctg(ξ ), v(x,ξ ) v(x,) exp [ arctg(ξ ) ]. v du δ (ξ x), dξ v(x,) exp [ arctg(ξ ) ] du δ (ξ x), dξ du dξ 1 v(x,) exp [ arctg(ξ ) ] δ (ξ x), ξ 1 u(x,ξ ) u(x,) exp [ arctg(τ ) ] δ (τ x)dτ, v(x,) τ H (ξ x) u(x,ξ ) u(x,) + exp(arctg x); v(x,) [ G(x,ξ ) u(x,) + exp(arctg x) H (ξ x) v(x,) ] v(x,) exp [ arctg(ξ ) ] [ G(x,) + H (ξ x) exp(arctg x) ] exp [ arctg(ξ ) ]. G(x, ) G(x,) exp(arctg x); G(x,ξ ) [H (ξ x) 1] exp(arctg ξ arctg x) ] G f dξ Cotiue a solução o verso

9 TT1 Matemática Aplicada II Curso de Egeharia Ambietal Departameto de Egeharia Ambietal, UFPR P3, ov 13 Prof. Nelso Luís Dias NOME: GABARITO Assiatura: 1 [3] A codição iicial do método das características ão precisa ser em t. Cosidere o seguite problema: t u t + x u x xt com u 1 a curva Γ : x + t 1. Mostre que a solução é U (s) 1 + X T por X (s) X e s, T (s) T e s, X + T 1. [ e s 1 ] sobre cada curva característica dada Havia um erro o euciado da questão. A questão está aulada, e todos os aluos receberam o valor itegral da questão. A solução é a seguite: Supoha X X (s), T T (s) partido de um poto qualquer da curva X + T 1 em uma direção trasversal à mesma. Sobre a curva característica, U U (s), e comparamos: Obtemos: dt ds t u t + x u x xt, u t + dx u ds x du ds. dx ds X X (s) X e s, dt ds T T (s) T e s, du ds XT X T e s U (s) U X T [ e s / 1/ ] ; U () 1 U 1; U (s) 1 + X T [ e s / 1/ ], com X + T 1 Cotiue a solução o verso

10 [3] Cosidere o problema d y + y f (x), f (x) x (1 x), y() y(1). dx Expadido iicialmete x (1 x) 1 B e (x), ecotre uma solução em série y(x) ode e (x) são as autofuções do problema de Sturm-Liouville A e (x), 1 Você pode usar: d y + λy, y() y(1). dx se (πx) dx 1/, x (1 x) se(πx) dx 3 π 3 [1 ( 1) ]. A solução do problema de Sturm-Liouville é Por outro lado, λ π, e (x) se(πx). f (x) f (x) se(mπx) B se(πx), 1 B se(πx) se(mπx), 1 x (1 x) se(mπx) dx B m [se(mπx)] dx, x (1 x) se(mπx) dx B m /, 4 π 3 m 3 [1 ( 1)m ] B m. Tete agora y(x) 1 A e (x) e substitua a equação diferecial: [ A 1 π ] 4 se(πx) 3 π 3 [1 ( 1) ] se(πx), 1 A 1 4 π 3 3 (1 π ) [1 ( 1) ] Cotiue a solução o verso

11 3 [4] Para o quadrado hachuriado da figura ao lado, resolva a equação de Laplace com as codições de cotoro idicadas: ϕ, ϕ(x,), ϕ(x,1) 1, ϕ(,y), x ϕ(1,y). x y ϕ x ϕ 1 ϕ ϕ x ϕ x Usado o método de separação de variáveis, ϕ(x,y) X (x)y (y), YX + XY, X X Y Y λ. Nós imediatamete vemos um problema de Sturm-Liouville em x: X λx, X () X (1). Se λ >, e λ > ão pode ser autovalor. Se λ, X (x) A cosh( λx) + B seh( λx), X (x) λ [ A seh( λx) + B cos( λx) ], X () B, X (1) A, X (x), X (x) Ax + B, X () X (1) A. Etão, λ é autovalor, e X (x) 1 é a autofução associada. Se λ <, X (x) A cos( λx) + B se( λx), X (x) λ [ A se( λx) + B cos( λx) ], X () B, X (1) λa se( λ), λ π, As autofuções associadas são X (x) cos (πx). Os Y (y) s associados são Y (y) C + D y, λ π, 1,,... Y (y) C cosh (πy) + D seh (πy), 1,,... Cotiue a solução o verso

12 A solução é da forma [ ϕ(x,y) C + D y + C cosh (πy) + D seh (πy) ] cos (πx). Aplicado as codições de cotoro, ϕ(x,) C + C cos (πx), 1 1 C C 1... ; ϕ(x,1) 1 D + D seh (π ) cos (πx) 1, 1 D 1, D, 1,,... Portato, a solução quase baal, e que poderia ter sido obtida por ispeção, é ϕ(x,y) y Cotiue a solução o verso

13 TT1 Matemática Aplicada II Curso de Egeharia Ambietal Departameto de Egeharia Ambietal, UFPR P4, 13 dez 13 Prof. Nelso Luís Dias NOME: GABARITO Assiatura: 1 [] a) [1] Prove que x 1/ dx < (calcule a itegral). b) [1] Prove que 1 x 1/ dx (calcule a itegral). A atiderivada (primitiva) é x 1/ dx x 1/. Segue-se que a) b) x 1/ dx x 1/ 1 < ; 1 x 1/ dx x 1/ 1 lim u ( u 1/ 1 ) Cotiue a solução o verso

14 [] No etato, x 1/ cos(x) dx π. Em sua opiião, a multiplicação de x 1/ pelo cos(x) torou a itegral covergete porque... SOLUÇÃO DA QUESTÃO (COM LETRA DE FORMA E APENAS NO ESPAÇO DESIGNADO!) : x 1/ é sempre positivo; x 1/ cos(x) oscila produzido áreas positivas e egativas que se compesam em média, fazedo com que a itegral imprópria covirja 3 [3] Usado o valor da itegral dada a questão acima, calcule a trasformada de Fourier f (k) de f (x) x 1/. Use: f (k) 1 f (x)e ikx dx. π f (k) 1 f (x)e ikx dx π 1 x 1/ e ikx dx π 1 x 1/ cos(kx) dx π 1 π k 1/ π 1 πk 1/ x x 1/ cos(kx) dx (kx) u (kx) 1/ cos(kx) d(kx) u 1/ cos(u) du 1 π πk 1/ 1. πk A ameixa o pudim: mas é claro que isso só vale para k >! Como sabemos que a trasformada de Fourier de uma fução par é par, o resultado para k deve ser f (k) 1 π k Cotiue a solução o verso

15 4 [3] Usado obrigatoriamete o método das características, resolva u t + xt u x, u(x,) f (x). Sua resposta deve ser a forma u(x,t) f (...), ode... é uma expressão evolvedo x e t. Faça x X (s), t T (s); etão, u(x,t) u(x (s),t (s)) U (s). Derive: Compare com a equação diferecial: devemos ter du ds u dt t ds + u dx x ds. du ds, dt ds 1, dx X (s)t (s). ds Sem perda de geeralidade, faça T (), dode T (s) s. Para x, dx ds Xs, A equação diferecial para U produz U (s) U (); portato, X X ()e s /. u(x,t) U (s) U () u(x (),T ()) f (X ()) f ( X e s / ) f ( xe t / ) Cotiue a solução o verso

16 TT1 Matemática Aplicada II Curso de Egeharia Ambietal Departameto de Egeharia Ambietal, UFPR F, dez 13 Prof. Nelso Luís Dias NOME: GABARITO Assiatura: 1 [] Dado o esquema umérico de Lax para a solução de u t + c u x, ui +1 1 [ (u i+1 + ui 1 ) Co(u i+1 u i 1 )], ode i é o subscrito para o espaço, é o sobrescrito para o tempo, e Co c t/ x é o úmero de Courat, reescreva-o explicitado o termo de difusão umérica. Sugestão: subtraia u i de ambos os lados, e prossiga. ui +1 ui 1 [ (u i+1 u i + ui ) c t ( 1 u x i+1 ui ) ] 1 ui +1 ui ( u i+1 u i + ui 1) t c ( u t x i+1 u ) i 1 ( ( u i+1 u i + ui 1) u i+1 ui 1) u +1 i u i t x } t {{ x c } termo difusivo x Cotiue a solução o verso

17 [] O aluo Arlidoi Tero deseja escrever a fução f (x) x, 1 x 1 em uma série usado as fuções P (x), que são os poliômios de Legegre de ordem par. Lembrado-se de que os P s são mutuamete ortogoais, Arlidoi fez x xp m xp m (x) dx c P (x), c P m (x)p (x), +1 1 xp m (x) dx c m +1 1 c P m (x)p dx, Pm (x) dx. A questão que você deve resolver é: sabedo que P (x) é par se é par; é ímpar se é ímpar; e que +1 1 P (x)p m (x) dx f (x) x P 1 (x), + 1 δ m a) [1] Quais foram os c m s que Arlidoi ecotrou? (δ m é o delta de Kroecker), b) [1] Com base em sua resposta do item a): o cojuto {P (x)};,1,,..., é uma base a qual f (x) pode ser escrita? Por quê? (Dê uma resposta clara, cocisa, e completa.) Por ispeção, c m. Logo, é impossível escrever f (x) em toro desses P (x) (pois x), e eles ão costituem uma base: uma base é um cojuto LI de vetores em termos dos quais qualquer vetor do espaço vetorial pode ser escrito. Cotiue a solução o verso

18 3 [3] Calcule a série trigoométrica de Fourier de f (x) x, 1 x +1. f (x) A ( πx ) + A cos L 1 A b ( πx ) f (x) cos dx L L a 1 x cos (πx) dx x cos (πx) dx /3, ( 1) 4 π > (pois f (x) é par), Cotiue a solução o verso

19 4 [3] Usado o método de separação de variáveis, resolva u t + t u x, x, t, u(x,) u, u(,t) u. Ateção: A solução u(x,t) X (x)t (t) evolve um úico termo (exatamete como escrito aqui), e ão uma série, e ão há ehum problema de Sturm-Liouville para resolver. Faça u(x,t) X (x)t (t), e substitua: X dt dx + tt dt dx, 1 dt T dt + t dx X dx, 1 dt tt dt + 1 dx X dx, 1 dt tt dt 1 X dx dx λ Ataquemos separadamete cada um dos dois problemas: para T, Para X, Segue-se que dt T λtdt, l T (t) T λt /, T (t) T exp ( λt / ). dx X λdx, l X X λx, X (x) X exp (λx). u(x,t) X T exp [ λ ( x + t / )], U exp [ λ ( x + t / )] Note que há apeas dois parâmetros idepedetes, U e λ. Para ecotrá-los, é preciso resolver o sistema u(x,) u U exp [λx], u(,t) u U exp [ λt / ]. Portato, U u, λ, e u(x,t) u Cotiue a solução o verso