Secção 9. Equações de derivadas parciais

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1 Secção 9 Equações de derivadas parciais (Farlow: Sec 9 a 96) Equação de Derivadas Parciais Eis chegado o mometo de abordar as equações difereciais que evolvem mais do que uma variável idepedete e, cosequetemete, apresetam derivadas parciais A sua forma geral pode ser dada por: u u u F xy,,, uxy (,,),,,,,,,, =, y y xy em que x, y, etc, são as variáveis idepedetes e u é a variável depedete A ordem de uma equação de derivadas parciais (EDP) correspode à ordem da maior derivada parcial presete a equação De forma a simplificar a escrita, podemos recorrer a uma otação mais compacta para desigar as derivadas parciais Por exemplo: u x u = uxy = xy EDP liear de seguda ordem Tal como sucedia as EDOs, as EDPs também podem ser classificadas em termos da sua liearidade Assim, uma EDP liear deverá ser liear relativamete à variável depedete e às suas derivadas No caso de uma EDP liear de seguda ordem, teremos o caso geral: auxx + buxy+ cuyy+ dux+ euy + fu = g, em que u é fução de x e y e em que a, b, c, d, e, f são coeficietes que podem ser fução de x e y (mas ão de u) Se esses coeficietes ão forem fução de x e y, a EDP diz-se de coeficietes costates Se g =, a EDP diz-se homogéea Esta EDP pode ser aida classificada de acordo com a atureza dos coeficietes que multiplicam as derivadas de seguda ordem: b b b 4ac = EDP parabólica 4ac > EDP hiperbólica 4ac < EDP elíptica Resolução aalítica de EDPs Vamos estudar três formas de obter a solução aalítica de uma EDP Em muitos casos, porém, tal ão é possível, sedo etão ecessário optar pela resolução umérica Págia da Secção 9

2 I Itegração directa Este método só é aplicável se a EDP apresetar apeas uma derivada parcial ogo, é de iteresse bastate restrito Vejamos dois exemplos: Exemplo Cosideremos a seguite EDP: u = y A derivada parcial que surge a equação desiga a derivada de u em ordem a x com y costate Podemos etão imediatamete itegrar ambos os lados da equação em ordem a x matedo y costate: u = ydx+ f( y) = yx+ f( y) xcost Note-se que tivemos que adicioar uma parcela que pode ser fução de y! De facto, esta costate de itegração tem que ser costate apeas relativamete a x Obtivemos assim uma solução geral que tem a forma: u = yx+ f( y) A fução f(y) é descohecida Evetualmete, se fosse cohecida uma codição iicial do problema, talvez fosse possível tetar idetificar essa fução Por exemplo, se os fosse dado que: etão viria que: ux ( =, y) = si( y), ux ( =, y) = y + f( y) = si( y) f( y) = si( y) Exemplo Cosideremos agora a EDP: u = x + y xy Tratado-se de uma derivada cruzada, teremos que itegrar duas vezes a equação, primeiro sobre y (com x costate) e depois sobre x (com y costate): Págia da Secção 9

3 3 u y = + + = + + xcost ( ) x y dy f ( x) xy f( x) 3 ( ) ( ) ( ) 3 3 3, y xy yx u = xy+ + f x dy = + + hx + g y ycost em que hx ( ) = f( x) dx Assim, a solução obtida é: 3 3 xy yx u = + + hx ( ) + gy ( ) 3 3 II Separação de variáveis Este método é apeas aplicável em algus casos Normalmete, temos que testar a equação para verificar se a separação de variáveis é realmete possível No caso geral de uma EDP cuja variável depedete é u(x,y), o método de separação de variáveis baseia-se a possibilidade de a depedêcia de u relativamete à variáveis idepedetes x e y poder ser expressa em termos do produto de duas fuções: X(x) e Y(y), ou seja: uxy (, ) = X( x) Y( y) Vamos ver um exemplo prático de como o método pode ser implemetado Exemplo Cosideremos uma EDP de primeira ordem que evolve duas derivadas parciais: + = ( x+ yu ) y O método de separação de variáveis parte da hipótese de u(x,y) poder ser represetada como uxy (, ) = X( x) Y( y) Vamos substituir esta expressão a EDP e verificar se podemos depois proceder à separação das variáveis x e y: dx dy Y + X = ( x+ yxy ) dx dy Dividido a equação por XY : Note-se que os operadores de derivação parcial,, foram substituídos por difereciais totais, uma vez que X e Y são apeas fução de x e y, respectivamete Págia 3 da Secção 9

4 dx dy + = ( x+ y) X dx Y dy Rearrajado: dx dy x= + y X dx Y dy Ou seja, coseguimos de facto separar as variáveis Reparemos agora que, sedo o lado esquerdo desta equação apeas fução da variável idepedete x e o lado direito apeas fução da variável idepedete y, etão a igualdade só poderá ser válida se ambos os lados forem iguais a uma mesma costate! De cotrário seria impossível que, variado idepedetemete x e y, a igualdade se mativesse Ou seja: dx dy x= k + y= k X dx Y dy A costate k é desigada de costate de separação Obtivemos etão duas EDOs de primeira ordem, facilmete resolúveis para X(x) e Y(y), respectivamete: dx dy = ( x+ kdx ) = ( y kdy ) X Y l X = x + kx+ C l Y = y ky+ C x + kx + C y ky + C X = e Y = e Podemos agora obter a solução para u(x,y): u XY e Ce x + y + k( x y) + C+ C x + y + k( x y) = = = Aalisemos agora um exemplo um pouco mais complexo, associado a uma EDP de seguda ordem Exemplo A seguite EDP é por vezes desigada como equação de calor uidimesioal, pois descreve a variação da temperatura de um corpo, ao logo da direcção x, em fução do tempo t: t u, = α x t Ou seja, u(x,t) pode represetar a temperatura de uma barra metálica a posição x e o istate t α é a codutividade térmica do metal Se pretedermos obter uma solução Págia 4 da Secção 9

5 particular do problema, teremos que cohecer uma codição iicial sobre t e duas codições froteira sobre x, uma vez que a EDP evolve uma derivada de primeira ordem e uma derivada de seguda ordem sobre cada uma das variáveis idepedetes, respectivamete A codição iicial correspoderá à forma como a temperatura se distribui ao logo da barra o istate t = : ux (,) = f( x) Vamos assumir que a fução f(x) é cohecida As codições froteira correspodem ormalmete à temperatura da barra em cada extremidade, ou seja, para x = e x = Vamos assumir, por simplicidade, que essas são costates e iguais a zero: u(, t) = u(,) t = Iiciemos etão a aplicação do método de separação de variáveis Tal como ateriormete, vamos procurar represetar u(x,t) como: uxy (, ) = XxTt ( ) () Substituido a EDP: dt X dt d X = α T dx Separado as variáveis obtemos: dt d X = α T dt X dx Esta igualdade só poderá ser válida para qualquer t e qualquer x se ambos os lados forem idêticos a uma mesma costate: dt d X = k = k α T dt X dx Veremos a seguir que a costate de separação será determiada a partir das codições froteira do problema Compreederemos essa altura porque razão é mais cómodo desigar, este problema, a costate por k e ão simplesmete por k, como o problema aterior Podemos agora resolver as duas EDOs obtidas Para a primeira temos: Págia 5 da Secção 9

6 α dt T = kdt, l T kα t C = +, T k t = Ce α E para a seguda: d X kx dx + = Esta é uma EDO liear homogéea de seguda ordem Como sabemos, a sua solução geral será a combiação liear de duas soluções particulares, as quais deverão ser do tipo e rx O parâmetro r é obtido das raízes da equação característica: r kx r k + = =± Chegamos agora a um pequeo problema: coforme a costate de separação k seja egativa, ula ou positiva, iremos ter diferetes possibilidades para a solução desta EDO E qual delas é a adequada para a solução do osso problema? Vamos cosiderar todas as hipóteses e depois verificar qual delas é compatível com as codições froteira impostas, as quais são: u(, t) = X() Tt () = X() = u(,) t = X() T() t = X() = Assim, segudo a atureza de k, teremos: o k < implica que k é um úmero real, logo teremos soluções particulares dadas por expoeciais: kx kx X( x) = Ae + Be E aplicado as codições froteira: X() = A+ B = A= k k X() = Ae + Be = B= Ou seja, teríamos u(x,t) =, o que é a solução trivial e ão é defiitivamete aquilo de que estamos à procura! o k = implica r =, ou seja, temos uma raiz real dupla A primeira solução particular será Ae kx = A e a seguda será (pelo método d Alembert): Bxe kx = Bx Assim: Págia 6 da Secção 9

7 X( x) = A+ Bx Aplicado as codições froteira: X() = A= A= X() = A+ B = B= Mais uma vez, obtemos apeas a solução trivial u(x,t) = o k > implica que k = i k é um úmero complexo, logo teremos que recorrer à fórmula de Euler por forma a obter a solução geral em termos de uma combiação de um seo e um co-seo: ( ) ( ) X( x) = Acos kx + Bcos kx Aplicado ovamete as codições froteira: X () = Acos() + Bsi() = A= X () = Acos( k) + Bsi( k) = Bsi( k ) = Vemos etão que k terá que obedecer à codição: k = π, com =,, Fialmete obtivemos uma solução ão trivial! Substituido a expressão obtida para k, a fução X(x) é represetada como: E T(t) como: X ( x) = B si( π x) T () t Ce πα ( ) t = ogo a solução do problema virá: πα ( π ) ( π ) u xt = X xt t = Ce B x = be x, ( ) ( ) (,) ( ) () πα t si t si com =,, Existem etão ifiitas soluções possíveis (ditas soluções fudametais), uma para cada valor de A solução completa do problema é dada pela soma de todas as soluções fudametais: ( πα) t = ( π ) = uxt (,) be si x Págia 7 da Secção 9

8 Resta-os agora determiar os coeficietes b, de forma a defiir completamete a solução particular que procurámos Como fazê-lo? Ora bem, falta-os aida aplicar a codição iicial do problema, ux (,) = f( x) : O somatório b si ( π x) ( π ) ux (,) = f( x) b si x = f( x) = = é uma série seo de Fourier Sedo assim, os coeficietes b ão são mais do que os coeficietes da expasão de f(x) uma série seo de Fourier para o itervalo x! ogo b será dado por (ver Apêdice): ( π ) b = f( x)si x dx Este itegral permite-os assim calcular os coeficietes b a partir de f(x) A solução particular do problema está fialmete completamete defiida III Trasformada de aplace O método de aplicação da trasformada de aplace a resolução de EDPs é bastate semelhate ao descrito a Secção 6, o cotexto da resolução de EDOs A trasformada é aplicada relativamete a uma das variáveis idepedetes (desde que esta teha como domíio o itervalo [, + [), fazedo assim desaparecer as derivadas parciais em ordem a essa variável Vejamos um exemplo: Exemplo + = t t, < x< t Codições do problema: ux (,) =, u(, t) = t Vamos aplicar a trasformada de aplace sobre uma das variáveis idepedetes De acordo com a defiição da trasformada, a trasformação só é possível se a variável em causa tiver como domíio o itervalo [, + [ Este facto exclui a possibilidade de aplicarmos a trasformada sobre x Vamos etão trasformar sobre t A trasformada de A teoria básica das séries de Fourier é descrita o Apêdice o fial desta secção Págia 8 da Secção 9

9 aplace de u(x,t) será aida uma fução de x, mas o domíio t será trasformado o domíio de aplace, s: { } st uxt (,) = e uxtdt (,) = uxs (, ) De acordo com a cohecida propriedade da trasformada da derivada: xt (,) = su( xs, ) ux (,) t Por outro lado, uma vez que a trasformada ão é aplicada sobre x: xt (,) xs (, ) = Assim, a trasformação da EDP origial dá: xs (, ) su( xs, ) ux (,) + = s Podemos já aplicar a codição iicial ux (,) =, obtedo: su + = s A derivada parcial em ordem a t foi assim elimiada Obtivemos uma EDP com apeas uma derivada em ordem a x, a qual é resolúvel por itegração directa: = x f () s + su s Note-se que, tal como discutimos o iício desta secção, a costate de itegração que adicioamos, f(s), pode ser fução da outra variável idepedete! Itegrado obtemos: Explicitado para u : l su x f () s s s = + sx uxs (, ) = gse () 3 s Não podemos aida iverter esta trasformada, uma vez que descohecemos g(s) Esta costate de itegração será determiada aplicado a codição froteira u(, t) = t (otese que a codição iicial, ux (,) =, já foi aplicada) Temos, o etato, que começar por trasformar essa codição para o domíio de aplace: Págia 9 da Secção 9

10 u(, t) = t u(, s) = { t} = s Aplicado a codição obtida à solução aterior: ogo: sx u(, s) = gse () = gs () = 3 3 s s s s s sx e e uxs (, ) = s s s = + s s s sx sx e Agora sim, podemos iverter a expressão resultate para o domíio t : t ( t x) uxt (,) = ( t xht ) ( x) + Ht ( x) A iversão das trasformadas de aplace é efectuada da forma usual, tratado x como costate Págia da Secção 9

11 Apêdice: Séries de Fourier Qualquer fução f(x) cotíua um itervalo [, ] pode ser represetada por uma série de seos ou co-seos Ou seja, existe uma série de seos ou co-seos que coverge para f(x) Essas séries defiem-se da seguite forma: Expasão em série seo e co-seo de Fourier π Série seo de Fourier: f ( x) = b si x = a π Série co-seo de Fourier: f ( x) = + a cos x = A expasão de uma fução em série de Fourier só fica defiida após a determiação dos coeficietes b e a Uma relação etre estes e a fução a expadir, f(x), pode ser obtida com base a propriedade de ortogoalidade das fuções seo e co-seo No caso das fuções seo, demostra-se que o produto escalar de duas fuções seo, desigado por < S, S >, é dado por: m, m π mπ si x si x dx=< S, Sm >=, = m Ou seja, S e S m são ortogoais se m Multiplicado ambos os lados da expasão em série seo de f(x) por S e aplicar o produto escalar, obtemos: mπ mπ π si x f( xdx ) b si x si xdx = = Segudo a propriedade de ortogoalidade das fuções seo, o itegral do lado direito é ão ulo apeas quado = m ogo a equação aterior fica: De ode se coclui que: mπ si x f( xdx ) = bm Defiição dos coeficietes da expas ão em série seo de Fourier π b = si x f ( xdx ) f, S = < > Da mesma forma, para a expasão em série co-seo de Fourier, utilizamos a propriedade de ortogoalidade das fuções co-seo: Págia da Secção 9

12 , m π mπ cos x cos x dx =, m=, m = = Defiição dos coeficietes da expas ão em série co-seo de Fourier Seguido um procedimeto aálogo ao aterior, obtemos ** : π a = cos x f ( x) dx f, C = < > Exemplo [,] Vamos expadir f(x) = x uma série seo e uma série co-seo de Fourier, com x A forma da expasão em a série seo será (ote-se que = ): π f ( x) = b si x = b si x = = Os coeficietes b são obtidos de: ( π ) π si ( ) si ( π ) b = x f x dx xxdx = O itegral aterior pode ser obtido de uma tabela de itegrais, obtedo-se etão: ( ) π + b = Ou seja, f(x) = x pode ser represetada pela série: + f ( x) = ( ) si π = ( π x) = si( πx) si( πx) + si(3 πx) π 3 Na figura seguite podemos ver a represetação gráfica da série, utilizado apeas três e oito parcelas o somatório É otório que o segudo caso se obtém um resultado mais próximo da fução origial, se bem que a série diverge sempre para x =, uma vez que, como ( ) si π =, todas as parcelas do somatório são ulas esse poto ** As expressões obtidas para os coeficietes b e a ão são mais do que, respectivamete, as defiições da Trasformada Seo e da Trasformada Co-seo de Fourier de uma fução f(x) Estas trasformadas são de grade importâcia em várias áreas da matemática e da egeharia No etato, o seu estudo mais aprofudado está fora do âmbito desta disciplia Págia da Secção 9

13 9 8 7 f(x) = x Série seo, 3 parcelas Série seo, 8 parcelas Vamos agora efectuar a expasão em série co-seo: Calculemos os coeficietes: a π a f ( x) = + a cos x = + acos x = = a = f ( x) dx= x dx = ( π ) 4 π, par a = cos x f( xdx ) cos( π xx ) dx ( π ) = =, impar com =,, Etão, f(x) será dada por: f 4 ( x ) cos( π ) cos(3 ) cos(5 ) x π 3 x π π 5 x = Mais uma vez, podemos ver a represetação gráfica desta série, cosiderado apeas os primeiros termos: Págia 3 da Secção 9

14 9 8 7 f(x) = x Série coseo, parcelas Série coseo, 8 parcelas Vemos agora que se obtém uma muito melhor represetação da fução f(x), mesmo usado apeas oito parcelas A série co-seo é assim uma melhor escolha para represetar a fução f(x) = x Págia 4 da Secção 9

15 Sumário da Secção 9 Resolução aalítica de EDPs I Itegração directa II Separação de variáveis III Trasformada de aplace Apêdice: Séries de Fourier Págia 5 da Secção 9