APLICAÇÃO DO MÉTODO DE INTEGRAÇÃO TRAPEZOIDAL EM SISTEMAS ELÉTRICOS

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1 AT CD PÁG.: APLICAÇÃO DO MÉTODO DE INTEGAÇÃO TAPEZOIDAL EM SISTEMAS ELÉTICOS J.. Cogo A.. C. de Oliveira IEE - EFEI Uiv. Taubaté Artigo apresetado o Semiário de Pesquisa EFEI 983 ESUMO Este artigo apreseta a aplicação do método trapezoidal a solução de problemas trasitórios em sistemas elétricos de potêcia dado ateção maior ao estudo de parâmetros cocetrados. ABSTACT This paper presets a applicatio of trapezoidal method for solutio of trasiets problems i electric power systems with attetio for the study of lumped parameters.. INTODUÇÃO Na aálise dos feômeos trasitórios em sistemas elétricos de potêcia depara-se com um sério problema que é a solução das equações difereciais que descrevem o comportameto físico do feômeo a ser aalisado. No estudo de sobretesões, por exemplo, ão iteressa a maioria dos casos cohecer as soluções de estado permaete, mas sim as soluções de estado trasitório que defiem os picos máximos e as formas de oda de tesão em fução das quais serão especificados os equipametos de proteção do sistema. Cosideremos um trecho qualquer de um sistema elétrico que possa ser represetado pelo circuito equivalete da Figura. uma como a Figura. Portato pode-se também ter um sistema de equações difereciais e ão apeas uma como a equação (). A aplicação do método trapezoidal usa a simplificação de tais problemas através da trasformação de um cojuto de equações difereciais em um cojuto equivalete de equações algébricas.. MÉTODO TAPEZOIDAL {3, 4, 5, 7} Iicialmete cometa-se o método de itegração trapezoidal. Os processos uméricos de itegração tem como objetivo defiir o valor da itegral detro de um itervalo defiido, o que correspode a área sob a curva que defie a fução f(x) o itervalo X a X, como mostrado a Figura. Figura - Circuito equivalete A equação diferecial que descreve o comportameto físico do sistema é a seguite: di V L i idt () dt C A solução dessa equação pode ser obtida umericamete, através de um dos métodos uméricos de solução de equações difereciais como Euler, uge Kutta e outros. O problema aumeta em complexidade quado se deseja represetar o sistema com mais detalhe. Dessa forma passa-se a ter mais malhas e ão apeas Figura - Aplicação do método de itegração trapezoidal No caso do método trapezoidal cosidera-se uma iterpolação liear, represetado-se a fução f(x) através de um poliômio p(x). Portato a área sob a reta defiida pelo poliômio caracteriza o valor da itegral, e como essa área é da forma de trapézio como mostrado a Figura, tem-se:

2 AT CD PÁG.: x x I f (x)dx [ f (x ) f (x )] () x Cosidere o ramo com uma idutâcia cocetrada mostrado a Figura 3. ode o valor x correspode ao itervalo compreedido etre x e x. A solução de equações difereciais se caracteriza por uma família de curvas, porém deve existir uma solução úica para o sistema em aálise, defiida em termos das codições iiciais do sistema. Cosiderado-se a equação diferecial descrita a equação (3): dy f (x, Y(x)) (3) dx Itegrado a equação o itervalo x a x. x x Y (x ) Y(x ) f (x, Y(x)) dx (4) Aplicado-se a regra de itegração trapezoidal defiida a equação () obtém-se: Y(x f (x ) Y(x, Y(x x ) [f (x ))], Y(x )) Adotado-se os seguites valores: Y Y(x ) Y Y(x ) Substituido estes valores a equação (5) temse: (5) x Y [f (x,y ) f (x,y )] (6) Y A equação (6) caracteriza o método trapezoidal implícito devido ao fato do termo T aparecer os dois lados da equação, o que exige a aplicação de um método iterativo de solução. Porém, a aplicação que será mostrada haverá possibilidade de explicitação. Outras características do método trapezoidal podem ser ecotradas as referêcias [] e []. Figura 3 - Idutâcia cocetrada A equação diferecial que descreve o comportameto físico deste ramo idicado a Figura 3 é a seguite: di (t) e (t) e (t) L (7) dt Explicitado o termo em derivada e itegrado o itervalo t - a t, obtém-se: t (t) i (t ) [e(t) e (t)] dt L t t i (8) Aplicado-se o método trapezoidal, em (8) obtém-se: i (t) i (t ) [e L e (t ) e (t )] (t) e (t) (9) Por coveiêcia divide-se a equação em duas partes: (t) [e(t) e (t)] I (t t) (0) L i 3. APLICAÇÃO DO MÉTODO TAPEZOIDAL AOS SISTEMAS ELÉTICOS {3, 4, 5, 7} Mostra-se a aplicação do método trapezoidal a solução de problema de sistemas elétricos evolvedo parâmetros cocetrados: idutâcias, capacitâcias e resistêcias. ode: I (t ) i (t ) [e(t ) L e (t )] () 3.. INDUTÂNCIAS Fisicamete estas equações podem represetar o circuito mostrado a Figura 4.

3 AT CD PÁG.: 3 Por coveiêcia divide-se a equação (4) em duas partes. i (t) [e(t) e (t)] I (t ) (5) ode: Figura 4 - Circuito equivalete ao da Figura 3 Portato, trasforma-se uma equação diferecial em uma equação algébrica. A idutâcia passou a ser represetada por uma resistêcia equivalete e uma fote de correte em paralelo que cotém a história passada, pois a cada ovo itervalo de tempo, a fote cotribui com um valor correspodete ao itervalo aterior. 3.. CAPACITÂNCIAS I (t ) i (t ) [e(t ) e (t )] (6) Fisicamete estas equações podem represetar o circuito mostrado a Figura 6. I Cosidere o ramo com uma capacitâcia cocetrada mostrado a Figura 5. Figura 6 - Circuito equivalete ao da Figura 5 Da mesma maeira como o caso de idutâcia trasforma-se uma capacitâcia em uma resistêcia equivalete em paralelo com uma fote de correte que cotém a iformação da história passada ESISTÊNCIAS Cosidere o ramo com uma resistêcia cocetrada mostrado a Figura 7. Figura 5 - Capacitâcias cocetradas A equação diferecial que descreve o comportameto físico do ramo idicado a Figura 5 é a seguite: (t) e (t) i (t) dt () C e Derivado a expressão, () vem: d[e(t) e (t)] i (t)dt (3) dt C Aplicado-se o método trapezoidal o itervalo t -, tem-se: [e(t) e (t)] [e(t ) e (t )] (4) [i (t) i (t )] Figura 7 - esistêcia cocetrada A equação que descreve o comportameto físico do ramo é a seguite: i (t) [e(t) e (t)] (7) Neste caso, como ão se tem uma equação diferecial, o circuito equivalete é o mesmo do

4 AT CD PÁG.: 4 circuito origial cosiderado a fote de história passada ula: I 0 (8) 3.4. AMOS MISTOS É possível combiar idutâcias, capacitâcias e resistêcias e aplicar a regra trapezoidal a esses ramos obtedo-se o mesmo tipo de circuito equivalete. Será mostrado a seguir apeas as equações válidas para estes ramos AMO -L I (t ) i (t t) t [e(t ) e (t )] AMO L-C () Figura 8 - esistêcias e idutâcias cocetradas Figura 0 - Idutâcia e capacitâcia cocetrada (t) [e(t) e(t)] I (t T) L i L I (t ) i (t t) L t [e(t ) e (t )] L AMO -C (9) (0) (t) [e(t) e (t)] I (t t) (3) L i L I (t ) i (t t) L t t C [e(t ) e (t )] L i (t ) 4LC AMO -L-C (4) Figura 9 - esistêcias e capacitâcia cocetradas (t) [e(t) e (t)] I (t t) () i Figura - esistêcia, idutâcia e capacitâcia cocetrada i ( t) [ e ( t) e L I ( t ) ( t)] (5)

5 AT CD PÁG.: 5 L I (t ) L t t C i (t ) [e(t) e (t)] L i (t ) 4LC C 4. EQUAÇÕES NODAIS (6) Cosidere o trecho de um sistema represetado a Figura. [Y] - matriz de admitâcia odal relativa aos elemetos equivaletes; [e] - vetor de tesões; [i] - vetor de corretes ijetadas em cada barra; [I] - vetor de história passada devido a aplicação do método trapezoidal. O iteresse este tipo de estudo é a determiação dos valores de tesão as barras ode estas ão são cohecidas. Por aálise da Figura ota-se que o sistema existem barras com valores cohecidos de tesão com a barra, e existem também barras com valores descohecidos, como as barras, 3 e 4. É, portato coveiete cosiderar esse fato a equação (30). Adotado-se o subídice A para idicar barras com valores descohecidos de tesão e o subídice B para idicar barras com valores cohecidos de tesão. Dessa forma a equação 30 tora-se: [ YAA ] [ YAB] [ Y ] [ Y ] BA BB [ ea ] [ e ] [ ia ] [ i ] B B [ IA ] [ ] IB (3) Figura - Parte de um sistema de potêcia em aálise Da Figura, tem-se: i 4 3 (t) i (t) i (t) i (t) (7) Substituido as equações de cada ramo acordo com o desevolvimeto o item aterior, obtém-se: i(t) [e (t) e(t)] I(t ) L [e (t) e4 (t)] I4 (t ) [e (t) e3(t)] eescrevedo a equação (8) e(t) e (t) L t L e3(t) e4 (t) i(t) I4 (t ) I (t ) Ou em termos matriciais, vem: (8) (9) Pode-se obter duas equações a partir da equação (3), porém, apeas uma é ecessária a determiação dos valores descohecidos de tesão que costitui o vetor e A. Portato este caso tem-se: [Y AA ] [e A ] [Y AB ] [e B ] [i a ] - [I A ] (3) ou aida: [Y AA ] [e A ] [i A ] - [I A ] - [Y AB ] [e B ] (33) A equação (33) costitui a equação de solução geral. A obteção do vetor [e a ] é coseguida através de um processo de fatoração da matriz [Y AA ], cohecidos os valores do lado direito da equação. O vetor [i A ] que correspode as fotes de corretes ijetadas ormalmete é ulo. As matrizes [Y AA ] e [Y AB ] são costruídas seguido as mesmas regras usadas para costrução da matriz de admitâcia odal utilizada em estudos de estado permaete. O vetor [e b ] é costituído das fotes de tesão do sistema. Para o sistema da Figura o circuito equivalete de acordo com a regra trapezoidal está mostrado a Figura 3, e a equação matricial correspodete a equação (33) está mostrado a equação (34). [Y] [e] [i] - [I] (30) ode:

6 AT CD PÁG.: 6 Figura 3 - Circuito equivalete ao da Figura L i(t) 0 0 [ Y ] [ e ] [ i ] [ I ] A 3 4 AA I 0 (t ) I4(t ) 0 I4(t ) A e(t) e3(t) 0 e4(t) A 3 4 [V] 0 L 0 [eb] [Y ] B (34) Figura 4 - Fluxograma para obteção de e A O fluxograma básico para solução do problema é mostrado a Figura 4.

7 AT CD PÁG.: 7 5. CONCLUSÕES No presete trabalho todos os elemetos foram trasformados em um úico elemeto base: resistêcia. Existem propostas para utilização da idutâcia ou da capacitâcia como elemeto base como mostrado a referêcia [6]. Podem ocorrer oscilações matemáticas devido a aplicação desta metodologia pricipalmete os seguites casos: idutâcia em série com chave e capacitâcias em paralelo com fotes de tesão [7]. Esta metodologia pode-se esteder a qualquer outro tipo de estudo de sobretesão em sistemas elétricos de potêcia através do equacioameto matemático do problema e sua adaptação através do método trapezoidal. Etre estes estudos pode-se citar: - eergização de lihas através da modelagem de lihas de trasmissão; - eergização de trasformadores cosiderado a ão liearidade devido ao ramo magetizate; - modelagem de pára-raios; - modelagem de máquias sícroas. Um exemplo claro desta metodologia é o programa EMTP para estudos de trasitórios dispoíveis a maioria das empresas cocessioárias de eergias. 6. EFEÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS [] GEA, C. WILLIAM - Numerical Itial Value Problems i Ordiary Differetial Equatios, Pretice Hall, Ic - New Jersey, 97; [] ATKINSON, KENDALL E - A Itroductio to Numerical Aalysys, Wiley - New York, 978; [3] DOMMEL, H. W. - A Method for Solvig Trasiet Pheomea i Multiphase System, Proceedigs of Power Systems Computatio Coferece, 966; [4] DOMMEL, H. W.; W. SCOOT MEYE - Computatio of Electromagetic Trasiets, Proceedigs of the IEEE, Vol. 6, º 7, Julho - 974; [5] DOMMEL, H. W. - Digital Computer Solutio of Electromagetic Trasiets i Sigle ad Multiphase Networks, IEEE Trasactios o Power Apparatus ad Systems, Vol. PAS-88, º 4, julho/969; [6] DEGENEFF,. C. - educig Storage ad Savig Computatioal time with a Geeralizatio of the Dommel (BPA) Solutio Method, Power Idustry Computer Applicatios Coferece - PICA, maio 4/7-977, Toroto, Otário, Caadá - IEEE Coferece Proceedigs; [7] DOMMEL, H. W. - Trasiets Program Maual, The Uiversity of British Columbia, Agosto/978, Caadá.