FELIPE ANDRADE VELOZO REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS DA MECÂNICA QUÂNTICA

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1 FELIPE ANDRADE VELOZO REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS DA MECÂNICA QUÂNTICA Moografia de graduação apresetada ao Departameto de Ciêcia da Computação da Uiversidade Federal de Lavras como parte das exigêcias do curso de Ciêcia da Computação para obteção do título de Bacharel em Ciêcia da Computação LAVRAS MINAS GERAIS BRASIL 008

2 FELIPE ANDRADE VELOZO REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS DA MECÂNICA QUÂNTICA Moografia de graduação apresetada ao Departameto de Ciêcia da Computação da Uiversidade Federal de Lavras como parte das exigêcias do curso de Ciêcia da Computação para obteção do título de Bacharel em Ciêcia da Computação Área de Cocetração: Mecâica Quâtica Orietador: Prof. Dr. Marcelo Silva de Oliveira Co-Orietadora: Profª. Verôica Yumi Kataoka LAVRAS MINAS GERAIS BRASIL 008

3 Ficha Catalográfica preparada pela Divisão de Processos Técico da Biblioteca Velozo, Felipe Adrade Cetral da UFLA Represetação Gráfica de Sistemas da Mecâica Quâtica / Felipe Adrade Velozo. Lavras Mias Gerais, 008 Moografia de Graduação Uiversidade Federal de Lavras. Departameto de Ciêcia da Computação.. Mecâica Quâtica. Átomo de Hidrogêio 3. Computação Gráfica. I. VELOZO, F. A. II. Uiversidade Federal de Lavras. III. Título.

4 FELIPE ANDRADE VELOZO REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS DA MECÂNICA QUÂNTICA Moografia de graduação apresetada ao Departameto de Ciêcia da Computação da Uiversidade Federal de Lavras como parte das exigêcias do curso de Ciêcia da Computação para obteção do título de Bacharel em Ciêcia da Computação Aprovada em 9 de juho de 008 Profª.Maria do Carmo Pacheco de Toledo Costa Prof. Gilso Dallaboa Prof. Thiago de Souza Rodrigues Profª. Verôica Yumi Kataoka (Co-Orietadora) Prof. Marcelo Silva de Oliveira (Orietador) LAVRAS MINAS GERAIS - BRASIL

5 Como é feliz o homem que acha a sabedoria, o homem que obtém etedimeto, pois a sabedoria é mais proveitosa do que a prata e rede mais do que o ouro. É mais preciosa do que rubis; ada do que você possa desejar se compara a ela. Na mão direita, a sabedoria lhe garate vida loga; a mão esquerda, riquezas e hora. Os camihos da sabedoria são camihos agradáveis, e todas as suas veredas são paz. A sabedoria é árvore que dá vida a quem a abraça; quem a ela se apega será abeçoado. Provérbios Dedico este trabalho a DEUS, que é a força do meu coração e a miha heraça para sempre

6 AGRADECIMENTOS Agradeço ao prof. Marcelo Silva de Oliveira por sua paciêcia em me orietar. Agradeço ao prof. Cristiao Leite de Castro, também pela sua paciêcia em me orietar. Agradeço a todo o corpo docete do DEX, que me ajudou a ecotrar as soluções. Agradeço ao corpo docete do DCC que me apoiou e também aos meus colegas. Sobretudo agradeço a DEUS e a miha família, por tudo.

7 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS DA MECÂNICA QUÂNTICA RESUMO A mecâica quâtica trata-se de uma teoria ão muito ituitiva. Seus coceitos dão ovas iterpretações sobre a matéria e seu comportameto, torado mais difícil sua compreesão do que a mecâica clássica. Este trabalho foi feito procurado ajudar a compreesão da mecâica quâtica, buscado os recursos da computação gráfica para represetar o átomo de hidrogêio, buscado melhorar a sua cocepção. Palavras-chave: Mecâica Quâtica, Átomo de Hidrogêio, Computação Gráfica GRAPHIC REPRESENTATION OF SYSTEMS OF THE QUANTUM MECHANICS ABSTRACT The quatum mechaics is treated of a theory ot very ituitive. Their cocepts give ew iterpretatios about the matter ad his behavior, turig more difficult his uderstadig of what the classic mechaics. This work was made tryig to help i the uderstadig of the quatum mechaics, lookig for the resources of the graphic computatio to represet the atom of hydroge, lookig for to improve his coceptio. Keywords: Quatum Mechaics, Hydroge Atom, Graphic Computatio vii

8 SUMÁRIO. INTRODUÇÃO.... FUNÇÕES SÉRIES INFINITAS Série Geométrica Série de Potêcias da Fução Logarítmica Série de Potêcias da Fução Arco Tagete Série de Taylor Série de Taylor da Fução Expoecial Série de Taylor da Fução Seo Série de Taylor da Fução Co-Seo Série de Taylor da Fução Seo Hiperbólico Série de Taylor da Fução Co-Seo Hiperbólico Série Biomial Série de Potêcias da Fução Arco Seo Série de Potêcias da Fução Arco Co-Seo SÉRIES E INTEGRAIS DE FOURIER Séries de Fourier Fórmulas de Euler Fuções com Período Arbitrário Itegral de Fourier EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Equações Difereciais Ordiárias de Primeira Ordem Equações Difereciais Lieares de Primeira Ordem Equações Difereciais Lieares Ordiárias Equações Difereciais Lieares Homogêeas de Seguda Ordem com Coeficietes Costates Método Geral para Resolver Equações Não Homogêeas RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM SÉRIES DE POTÊNCIAS Método da Série de Potêcias...6 viii

9 6... Equação de Legedre. Poliômios de Legedre Poliômio de Legedre Associado Poliômio de Laguerre Associado EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Corda Vibrate. Equação de Oda Uidimesioal Separação das Variáveis (Método do Produto) Solução para a Equação de Oda Uidimesioal Difusão Uidimesioal do Calor Difusão do Calor em uma Barra Ifiita OPERADORES Espaço de Fuções Operadores Lieares COMUTADORES ÁLGEBRA LINEAR Espaço Vetorial Espaço Dual Produto Itero Cojuto Ortoormal e o Procedimeto Gram-Schmidt...5. MECÂNICA QUÂNTICA Postulados da Mecâica Quâtica A Equação de Schrödiger Idepedete do Tempo Normalização Operadores Valores Esperados Iterpretação Estatística O Pricípio da Icerteza O Oscilador Harmôico Método Algébrico O Átomo De Hidrogêio COMPUTAÇÃO GRÁFICA OpeGL (Ope Graphics Library) Padrão a Nomeclatura Deseho de um Polígoo...8 ix

10 ..3. Trasformações Geométricas Visualização METODOLOGIA Materiais Desevolvimeto RESULTADOS CONCLUSÃO...0 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...03 x

11 LISTA DE FIGURAS Figura Corda vibrate...35 Figura Projeção paralela ortográfica...87 Figura 3 Projeção perspectiva...88 Figura 4 Fução de oda dos primeiros quatro estados estacioários do oscilado harmôico simples...93 Figura 5 Distribuição de probabilidade dos primeiros quatro estados estacioários do oscilador harmôico simples...93 Figura 6 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =, l=0, m= Figura 7 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =, l=0, m= Figura 8 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =, l=, m= Figura 9 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =, l=, m=...95 Figura 0 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =3, l=0, m= Figura Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =3, l=, m= Figura Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =3, l=, m=...96 Figura 3 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =3, l=, m= Figura 4 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =3, l=, m=...97 Figura 5 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =3, l=, m=...97 Figura 6 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =4, l=0, m= Figura 7 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =4, l=, m= xi

12 Figura 8 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =4, l=, m=...99 Figura 9 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =4, l=, m= Figura 0 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =4, l=, m=...99 Figura Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =4, l=, m=...00 Figura Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =4, l=3, m= Figura 3 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =4, l=3, m=...00 Figura 4 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =4, l=3, m=...0 Figura 5 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =4, l=3, m=3...0 xii

13 . INTRODUÇÃO Este projeto tem por objetivo cotribuir a compreesão dos coceitos da mecâica quâtica utilizado-se da computação gráfica para elaborar as represetações gráficas de sistemas quâticos como o oscilador harmôico simples e o átomo de hidrogêio. Explorado uma área que vem crescedo e que promete revoluções as mais diversas áreas. No campo da computação, a Mecâica Quâtica surge com estudos para a aplicação em seguraça de trasmissão de dados, soluções para compressão de dados, paralelização da computação etre outros. O coteúdo do projeto começa com a descrição de fução [LIMA, 970], o capítulo de Fuções, para defiir o que será deomiado fução. No capítulo de Séries Ifiitas [LEITHOLD], dedica-se a estudar formas de se calcular valores de diversas fuções por meio de um úmero fiito de operações de adições e multiplicações. Tal método é empregado como técica computacioal. As Séries de Fourier [KREYSZIG, 974] apresetam uma forma mais ampla de se represetar fuções periódicas e também se apreseta como importate ferrameta a solução de equações difereciais ordiárias e parciais e em problema de valor de cotoro. Sua apresetação é ecessária para aplicação as Equações Difereciais Parciais. Logo após apreseta-se uma itrodução em Equações Difereciais Ordiárias [KREYSZIG, 974], para preparar camiho para a apresetação das Equações Difereciais Parciais. Neste capítulo se ecotrará a solução para Equações Difereciais Ordiárias de Primeira e de Seguda ordes. O capítulo de Resolução das Equações Difereciais em Séries de Potêcias [KREYSZIG, 974] é apresetado, pois o decorrer das resoluções das equações dos sistemas quâticos, deparar-se-á com fuções ão elemetares, como por exemplo o poliômio de Legedre. No capítulo de Equações Difereciais Parciais [KREYSZIG, 974] é apresetado a modelagem do problema da corda vibrate, aplicado-se logo após o método de separação de variáveis (que auxiliará a solução das equações que descrevem os sistemas quâticos). Apreseta-se a solução de mais dois problemas físicos: difusão uidimesioal do calor e a difusão do calor em uma barra ifiita.

14 O capítulo de Operadores [WEISSTEIN] apreseta o que irá se deomiar operador este projeto. Apesar de operador ser um dos siôimos de fução, a fução terá a defiição apresetada iicialmete, e o operador se restrigirá à defiição dada por este capítulo. O capítulo de Comutadores [WEISSTEIN] e o de Álgebra Liear [McMAHON] é para apresetar a otação de Dirac (bras e kets) e apresetar material que servirá de apoio para as iterpretações a área da Mecâica Quâtica, como por exemplo o Pricípio da Icerteza. Fialmete é apresetada a Mecâica Quâtica, com suas iterpretações, sua exótica teorização e resultados sem aálogos a Física Clássica. O capítulo de Mecâica Quâtica apreseta os postulados [NORBURY], a equação de Schrödiger idepedete do tempo [GRIFFITHS, 994], a ormalização [GRIFFITHS, 994] da fução de oda, uma discussão sobre a represetação de quatidades físicas como operadores [NORBURY], o sigificado do valor esperado [GRIFFITHS, 994] das medidas, a iterpretação estatística [GRIFFITHS, 994], o sistema do oscilador harmôico [GRIFFITHS, 994] e sua solução e fialmete o sistema do átomo de hidrogêio [GRIFFITHS, 994] com sua solução. Por último, o capítulo Computação Gráfica [COHEN, 006], será apresetado comados utilizados o deseho dos gráficos. Na discussão dos resultados, mostrar-se-á gráficos relacioados aos sistemas abordados. Para os gráficos relacioados ao átomo de hidrogêio, se mostrará uma comparação etre os obtidos através da programação em OpeGL e os de um software de reome, o Maple. Tal comparação tem a fialidade de verificar os dados obtidos.

15 . FUNÇÕES Uma fução f : A B trata-se de um coceito matemático que por meio de uma regra, relacioa elemetos de um cojuto A (deomiado domíio da fução) a elemetos de um outro cojuto B (deomiado cotradomíio). Tal regra deve relacioar para todo elemeto x A um úico elemeto f x B, ode f x trata-se do valor obtido através da regra f (ou fução) para o determiado valor x pertecete ao cojuto A. Duas fuções f : A B e g : C D são iguais se, e somete se, A C, B D para todo x A. e f x gx

16 3. SÉRIES INFINITAS 3.. Série Geométrica A soma dos termos de uma progressão geométrica costitui a série geométrica. Tomado como termo iicial a e razão da série r 0 x, da qual podemos obter a seguite fórmula x, tem-se a série geométrica 3 x x x x x x x x x x x Para x, tem-se x x 3 x x x x x () m lim x 0, x () m assim a série geométrica coverge para x x x x, x (3) 0 x 3.. Série de Potêcias da Fução Logarítmica Utilizado-se da série geométrica (3) e substituido x por t, pode-se chegar à série de potêcias para a fução logarítmica, através da itegração, como está apresetado a seguir l t l xl l x (4) t0 0 dt t x t x Pode-se itegrar a série, da seguite forma dt t dt t dt t x x x tx t x, x t (5)

17 Igualado (4) e (5), tem-se x l x, x (6) 0 A série acima possui dois problemas, o primeiro que só é válida para valores x, e o segudo é o fato de covergir muito letamete, por isso, utilizado-se da propriedade de logaritmos l a l b l a b obtém-se a seguite série, simplesmete criado outra série a partir da que já foi desevolvida, substituido x por x (7) x l l l x x x x x x x x x x x x x x x x x x, x (8) Chega-se a x x x y l y l, y, x, x, y x (9) x y 0 ode y pode assumir qualquer valor Série de Potêcias da Fução Arco Tagete Utilizado-se da série geométrica (3), substituido x por t, tem-se t e itegrado (0), tem-se 4 6 t t t t, t t (0) tx arc tgt arc tg x arc tg0 arc tg x, t x () t0 0 x dt t 5

18 dt t dt t dt x x x 0 t Igualado () e (), tem-se tx t x, t x t () x x x x x arc tg x x, x (3) 0 Para cotorar o fato de que em (3) somete são válidos valores de x etre e, pode-se utilizar a seguite relação arc tg x arc tg x (4) 3.4. Série de Taylor Resultados de fuções poliomiais podem ser obtidos através de uma quatidade fiita de operações de adição e multiplicação, cotudo, fuções como a logarítmica, a expoecial e a trigoométrica, cujos valores ão são obtidos com tal facilidade. Para cotorar essa dificuldade, pode-se utilizar-se de poliômios cujo comportameto dos valores se aproximam relativamete com relação à fução em questão, apresetado difereça suficietemete pequea etre o valor calculado pelo poliômio e o valor dado pela fução. Um dos métodos para se ecotrar o poliômio que se aproxima do comportameto da fução é a série de Taylor, assim chamado em homeagem a Brook Taylor. Seja f x é uma fução ifiitamete difereciável (ou seja, que possui todas as derivadas defiidas) o itervalo aberto RR,. Escrevedo a fução sob a forma de um poliômio, tem-se (5) 0 f x c x c c x c x c x c x Brook Taylor (685-73), matemático iglês, um propoete da Mecâica Newtoiaa e otável por suas cotribuições o desevolvimeto do cálculo. 6

19 Difereciado-a sucessivamete, tem-se d f df 3 4 0c cx 3c3x 4c4x 5c5x (6) 3 00 c 3c3x 34c4x 45c5x (7) 3 d f c3 c4x c5x (8) d f c c5x (9) Agora, fazedo x 0 tem-se para (5) para (6) para (7) para (8) para (9) E assim tem-se df f 0 c0 0 (0) c () d f 0 d f 0 c c ()! 3 3 d f 0 d f 0 3c 3 3 c3 (3) 3 3! E a série de Taylor toma a forma 4 4 d f 0 d f 0 34c 4 4 c4 (4) 4 4! c 0 d f,! (5) d f 0 df 0 d f 0 0 (6) f x x f x x!!! 0 7

20 3.4.. Série de Taylor da Fução Expoecial Como para a fução expoecial a derivada é a própria fução, ou seja e como para x 0 tem-se etão chega-se a seguite séria para a fução expoecial e x d e x x e, (7) 0 e (8) 3 4 x x x x x x (9)!! 3! 4!! Série de Taylor da Fução Seo Derivado sucessivamete a fução seo, tem-se d d d se x 3 d se x 4 se x 3 4 se x cos x (30) se x (3) cos x (3) se x (33) Verifica-se uma periodicidade as derivadas, de tal forma que volta à fução de origem, o que tora mais fácil a determiação da série de Taylor. Substituido x 0, tem-se se 0 0 cos 0 assim chega-se a seguite série para a fução seo 0 x (34) x x x x x se x! 3! 5! 7!! (35) 8

21 Série de Taylor da Fução Co-Seo Derivado-se sucessivamete a fução co-seo tem-se cos cos d x d x se x, cos x, cos cos 3 4 d x d x se x, 3 4 e, substituido x 0, chega-se à seguite série cos x (36) 4 6 x x x x x cos x (37)!! 4! 6!! Série de Taylor da Fução Seo Hiperbólico A fução seo hiperbólico é dada por x x e e seh x (38) e sua série pode ser obtida a partir da substituição da série das fuções expoeciais do umerador, forecedo x x x x x seh x x! 3! 5! 7!! (39) Série de Taylor da Fução Co-Seo Hiperbólico A fução co-seo hiperbólico é dada por x x e e cosh x (40) e procededo da mesma forma feita para a obteção da série para seo hiperbólico, tem-se 4 6 x x x x x cosh x (4)!! 4! 6!! 0 9

22 3.5. Série Biomial Pode-se expressar a potêcia a b m sob a forma m a b a b p m m m p p p0 m m m m m m m m m3 3 a ma b a b a b! 3! mmm m p a p! b b m Substituido a equação (4) a e b m p p m x para expressar x m, (4), ode m, tem-se a chamada série biomial, dada por m m m m m! 3! mmm m x! mm m x,! m 3 x mx x x m Calculado o raio de covergêcia para esta série, através do teste da razão, tem-se (43) u lim u (44) lim u u lim! mm m m m m m x! x!! m m m x lim m m x (45) m m lim x lim x x 0

23 Desta forma, a série coverge para valores de x, para qualquer valor de m. A partir do método seguite, mostra-se que a série biomial coverge para x itervalo aberto, m, para o m m m f x x, x, m (46)! df x m m m! x! mm m! m m m m x x, x (47) Substituido em (47) por mm m m m! mm m! df x Multiplicado (47) por x, tem-se Somado (48) e (49) x m m x, x x! mm m! mm m df x m m m x x x, x! df x df x m m m x m m x! mm m x! mm m m m x! df x m m m x m x m f x, x! (48) (49) (50)

24 df x f x m, x x O primeiro membro de (5) é igual a seguite equação d df x l f x f x (5) (5) O segudo membro de (5) é igual a seguite equação etão d m d d l x m l x m l x (53) m x d d m l f x l x (54) m l f xl x C, x Como em (46), para x 0 tem-se f 0 (55) etão logo Assim coclui-se que l f 0 l0, m l 0 C lc 0C l f 0 lc C 0 x l f x l e l f x l x e m x f x m m (56) (57) (58) m m m m m x x, m, x (59)!

25 3.5.. Série de Potêcias da Fução Arco Seo Utilizado-se da série biomial, substituido em (59) a variável x por x e calculado para m, tem-se 4 6 x x x x! 3! 3! x x x! 3! 3 5 x! x x x x! 3 3! 4 4! 35 x,! x x (60) Trocado x por t e itegrado, tem-se x arcse x 0 arcse x arcse 0 arcse x, x (6) 0 x dt t dt 0 x x t 0 0 t! x x dt 0 t dt 0! t tx 35 t t t0! 35 x x! Igualado o segudo membro de (6) com o segudo membro de (6), tem-se a série de potêcias para a fução arco seo dt tx (6) 35 x arcse x x, x! (63) 3

26 3.5.. Série de Potêcias da Fução Arco Co-Seo Utilizado-se da seguite equação arc cos x arcse x (64) Tem-se a série de potêcias da fução arco co-seo 35 x arc cos x x, x! (65) 4

27 4. SÉRIES E INTEGRAIS DE FOURIER 4.. Séries de Fourier 4... Fórmulas de Euler Seja f x uma fução periódica, que por defiição, pode ser represetada da seguite forma f x T f x (66) ode T represeta o período da fução. A partir de (66) pode-se chegar a seguite equação f x T f x T T f x T f x (67) f x T f x, (68) Supodo que o período de f x seja T, e supodo a possibilidade de represetá-la através da série trigoométrica cos se 0 (69) f x a a x b x Começado por determiar o coeficiete a, tem-se f x a0 acosx bsex a0 a cos x b se x (70) (7) a a x a a cos x cosx se x se se (7) 0 0

28 se x sex cos x cos cos cos cos 0 cos Substituido em (70) os resultados ecotrados em (7), (7) e (73), tem-se Para se determiar o coeficiete a, tem-se a 0 (73) f x (74) f xcosmx a0 acosx bse x cosmx a0 cosmx 0 a cosxcosmx b se xcos mx, m (75) Partido para o cálculo de cos xcos mx tem-se Para m tem-se cos cos m x m x cos xcos mx cos mx cos mx 0 m cos mx 0 pois m se tora um úmero iteiro ão ulo, e como em (7), o resultado da itegral é ula. Para o caso em que m, tem-se m cos mx cos0 x 0 Substituido a equação (76) os valores ecotrados em (77) e (78), tem-se m cos xcos mx cos xcos x (76) (77) (78) (79) 6

29 Agora, calculado a itegral se xcos mx, tem-se 0 se xcos mx se xcos mx se xcos mx se xcos mx se xcos mx Realizado uma variação de parâmetros se x se u seu se u cos mx cos mu cosmu cos mu x u x 0 u 0 x u du assim, tem-se (80) (8) x u se x cos mx se ucos mudu se u cos mu du (8) x0 u0 0 permitido, etão, que se escreva que se x cos mx se x cos mx (83) 0 0 Substituido (83) em (80), tem-se que se x cos mx 0 (84) Substituido a equação (75) os valores ecotrados em (79) e em (84), fica determiado o coeficiete a a f x x Partido para a determiação do coeficiete obtidos em (73) e em (84), tem-se 0 cos, (85) b, utilizado-se dos resultados já f xse mx a0 a cosx bse x se mx a se mx a cos xse mx b se xse mx, m (86)

30 forma Partido para o cálculo de se xse mx, pode-se reescrever da seguite cos cos m x m x se xse mx (87) cos mx cos mx utilizado-se dos resultados já obtidos ateriormete em (77) e em (79), e procededo da mesma forma, tem-se m se xse mx se xse x e assim fica determiado o coeficiete b (88) b f x x se, (89) Substituido a série trigoométrica (69) os valores dos coeficietes calculados as equações (74), (85) e (89) f x f x f x f x cos x f xcos x se x f xse x, (90) A série (90) é chamada série de Fourier e as fórmulas dos coeficietes (74), (85) e (89), são chamadas fórmulas de Euler Fuções com Período Arbitrário A trasição de fuções de período para fuções de período T qualquer é dada por uma simples mudaça de escala. Itroduzido-se uma ova variável de tal maeira que a fução f t possua período sedo fução de x. Fazedo Jea Baptiste Fourier ( ), matemático fracês que cotribuiu para a Física Matemática por meio de sua Teoria Aalítica do Calor. Seu trabalho também cotribuiu grademete para a teoria de fuções de uma variável real. 3 Leohard Euler ( ), matemático e físico suíço, que cotribuiu a geometria, o cálculo, a teoria dos úmeros, desevolveu métodos usados a astroomia e foi um dos fudadores da matemática pura. 8

31 T t x x t (9) T assim x correspode a t T, e a série toma a forma T f t f x a0 a x b x cos se t t a0 acos bse T T e com coeficietes T a0 f tdt T T T t a f tcos dt TT T T t b f tse dt TT T (9) (93) O itervalo de itegração pode ser substituído por qualquer outro com comprimeto T. 4.. Itegral de Fourier As séries de Fourier mostram ser uma ferrameta eficiete para as fuções periódicas, mas muitas das fuções que aparecem em problemas práticos ão são periódicas, é desejável ampliar este método para icluí-las. Ampliado seu período para um comprimeto ifiito tem-se uma fução que ão é periódica. Cosiderado uma fução periódica ft x, com período T, tem-se f x a a cos w x b se w x, w (94) T T 0 Substituido os coeficietes (93) e verificado que pode-se escrever a série de Fourier sob a forma w w w w (95) T T 9

32 T ftx ft d T T T cosw xw ft cos w d T T sew xw ft se w d T (96) Fazedo T se aproximar do ifiito, w se aproximará de zero, de acordo com a equação (95), ou seja lim w lim 0 lim w lim w T T T T w0 (97) assim, de (96) tem-se T f x lim ftx lim ft d T T T T T lim cos cos w x w ft w d T T T w x w ft se w d T se T 0 lim cosw xw cos 0 ft w d w T T sew xw ft se w d T (98) O somatório em (98) se trasforma uma itegral em relação a w f x cos cos se se wx 0 f w d wx f w d dw (99) que costitui a itegral de Fourier. Se f x for cotíua em qualquer itervalo fiito e possui, para cada poto, derivadas à esquerda e à direita, e a itegral etão se pode represetar a fução por uma itegral de Fourier f x existir, 0

33 5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 5.. Equações Difereciais Ordiárias de Primeira Ordem Muitas leis físicas aparecem sob a forma de equações difereciais, por isso sua grade importâcia a Matemática aplicada a problemas físicos. As equações difereciais ordiárias são equações que apresetam uma ou mais derivadas em relação à x de uma fução y de x ão especificada, podedo também apresetar a própria fução y, outras fuções de x especificadas e costates. Uma equação é dita de ordem se, a equação, a derivada de ordem de y em relação à x for a derivada de maior ordem ecotrada. Uma fução y (x) é solução de uma equação diferecial um itervalo a < x < b (podedo ser ifiito) se for defiida e difereciável em todo o itervalo e se a substituição dela e de suas derivadas a equação diferecial resultar uma idetidade. O pricipal objetivo da teoria das equações difereciais é determiar todas as soluções e estudá-las. As equações difereciais podem ter mais de uma solução, idepedete de sua ordem, ou até mesmo um úmero ifiito, podem ser represetas uicamete por uma fórmula que evolva uma costate arbitrária c, sedo chamada tal solução como solução geral. Atribuido valores à costate obtêm-se a chamada solução particular. 5.. Equações Difereciais Lieares de Primeira Ordem Quado uma equação diferecial de primeira ordem pode ser escrita sob a forma dy x f x yx rx (00) ela é dita liear. As fuções f(x) e r(x) podem ser quaisquer fuções.

34 No caso em que rx 0, a equação é dita homogêea, e os outros casos é dita ão homogêea. A solução da equação diferecial liear homogêea e ão homogêea de primeira ordem é dada pela seguite fórmula yx e e r x c f x f x (0) 5.3. Equações Difereciais Lieares Ordiárias Existem duas classes em que se podem classificar as equações difereciais: a das equações lieares e a das ão lieares. As lieares são de grade simplicidade havedo para elas métodos já padroizados que abragem uma grade quatidade de equações, mas as ão lieares (de seguda ordem e de ordem superior) são bem mais difíceis. Equações difereciais de seguda ordem estão presetes em vibrações mecâicas e os circuitos elétricos. Uma equação diferecial de seguda ordem é dita liear se puder ser escrita a forma d y x dy x f x gx yx rx (0) ode f(x), g(x) e r(x) podem ser quaisquer fuções. A equação aterior é uma equação diferecial liear em y e em suas derivadas. Quado r(x) 0, diz-se que a equação diferecial é homogêea. Se r(x) 0, etão é dita ão homogêea Equações Difereciais Lieares Homogêeas de Seguda Ordem com Coeficietes Costates As equações difereciais lieares de seguda ordem com coeficietes costates têm aplicação em vibrações mecâicas e também as elétricas, por elas podemos modelar equações que descrevam estas vibrações. A equação homogêea com coeficietes costates possui a seguite forma

35 ode a e b são costates. ordem é d y x dy x a b y x 0 (03) Lembrado que a solução para a equação diferecial liear homogêea de primeira yx e e r x c r x y x ce parece atural supor que f x f x f x, 0 (04) yx e x (05) possa ser uma solução para um adequado. Substituido y e suas derivadas dy x a equação diferecial de seguda ordem chega-se a x d y x x e, e (06) x a b e 0 a b 0 (07) que ada mais é que uma equação do segudo grau que possui as raízes a a 4 b, a a 4b (08) Da Álgebra elemetar, podem-se ter três casos: CASO duas raízes reais distitas e Neste caso a solução geral é dada por x y x c e c e x (09) CASO duas raízes complexas cojugadas i Neste caso a solução geral é obtida trasformado a expoecial complexa a série de Taylor, ficado da seguite forma e e ix x ix ix e e 0 3 i!, x (0) ode se pode observar expadido a séria da expoecial da parte imagiária i x do umero complexo, que é igual à série de Taylor de cos x ise x ()

36 e portato chega-se à seguite equação ix x e e cos x ise x () obtedo assim a solução x cos se y x e A x B x (3) ode A e B são costates arbitrárias. CASO 3 uma raiz dupla real Neste caso chega-se, de iício, a uma úica solução Para determiar outra solução parâmetros, partido de x a y x e, (4) y, y x u x y x y x e ax x pode-se aplicar o método de variação dos (5) chega-se à outra solução x a y x xe, (6) 5.5. Método Geral para Resolver Equações Não Homogêeas Cosiderado a equação d y supodo que f, g e r sejam cotiuas sobre o itervalo I. Seja a equação homogêea com solução geral sobre I dy f x gx y rx (7) d y dy f x gx y 0 (8) y x c y x c y x (9) h O método substitui as costates c e c por fuções u x e v x dado 4

37 p y x u x y x v x y x (0) que derivado tem-se Fazedo e assim tem-se dyp du dy dv dy y u y v () du y dv () y 0 dy p dy dy d y p du dy d y dv dy d y u v, u v (3) que substituido em (7) e levado em cosideração (8), chega-se a Resolvedo o sistema chega-se a Itegrado obtém-se e assim chega-se à solução geral du dy dv dy du dv y y 0 du yr dv yr, dy dy dy dy y y y y y r u, v dy dy dy dy y y y y r y r (4) (5) (6) yr yr yx c y xc y x y y dy dy dy dy y y y y (7) 5

38 6. RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM SÉRIES DE POTÊNCIAS A solução de equações difereciais homogêeas lieares com coeficietes costates pode ser obtida através de métodos algébricos, a qual apreseta como solução, fuções elemetares já cohecidas do cálculo. Mas em equações difereciais cujos coeficietes são variáveis, pode-se chegar a fuções ão elemetares, e é o que ocorre com equações importates das áreas da Física. Para a obteção da solução, emprega-se o método da série de potêcias, o qual apreseta a solução em forma de série de potêcias. 6.. Método da Série de Potêcias Teorema : Escrevedo-se uma equação diferecial sob a forma e se as fuções f x, d y x gx e dy x f x gx yx rx (8) r x forem aalíticas em x a, ou seja, se elas podem ser represetadas através de uma série de potêcias de x a e raio de covergêcia R 0, etão toda a solução y x da equação diferecial também é aalítica em x a, e dessa forma, pode ser represetada por uma série de potêcias de x a e de raio de covergêcia R Equação de Legedre. Poliômios de Legedre A equação diferecial de Legedre 4 é dada por d y x dy x 0, x x y x (9) podedo ser escrita também da seguite forma 4 Adrie Marie Legedre (75 833), matemático fracês cujo distito trabalho em itegrais elípticas proveu ferrametas aalíticas básicas para a Física Matemática.

39 d dy x x yx (30) 0, Escrevedo a equação (9) sob a forma da equação (8) d y x dy x x y x 0 x x (3) verifica-se que os coeficietes são aalíticos em x 0, podedo-se aplicar etão o método da série de potêcias, a começar por substituir m dyx m d yx m m, m, m (3) y x c x mc x m m c x m0 m m a equação diferecial, obtedo-se m m x m m c m mx xmcmx cmx 0 (33) m m m0 m m m m mm cmx mm cmx mcm x cmx 0 (34) m m m m0 m c m mx para Substituido m por m e reescrevedo mm m m m c x e substituido em (34), tem-se m 0 m m m m m m cm x m m cmx mcmx m0 m m 0 m0 c x m m m m 0 c 3c3x m m cm x mmcmx m m m m c x mc x c c x cmx m m 0 m m 0 c c 0 6c 3 c x m m cm m m m cm x Para que esta série seja ula, todos os seus coeficietes devem ser ulos, ou seja 0 m (35) (36) c c 0 (37) 6c3 c 0 (38) m m cm m m m cm 0, m, m (39) 7

40 De (37) tem-se De (38) tem-se c c (40) 0 c3 c (4) 6 Verifica-se que (39) também represeta (40) (com m 0) e (4) (com m ). De (39), pode-se reescrever o coeficiete que multiplica a costate c m da seguite forma m m m m m m m m m m m m (4) 0 m m m m m Substituido (4) em (39) tem-se m m c m m c 0, m, m (43) m m m m mm 8 m c c, m, m (44) m A fórmula de recorrêcia (44) possibilita determiar qualquer coeficiete em termos de c 0 ou c (sedo eles arbitrários) c c, c c c 3 3! c4 c c ! 3 4! c c5 c3 c ! 3 4 5! c (45) (46) (47) A solução da equação diferecial de Legedre pode ser dada através de uma série de potêcias com coeficietes baseados em c0 e em c

41 3 yx c0 cx c0x c0x! 3! Tato c0x cx (48) 4! 5! c y x c y x 0 0 y0 x como y x, possuem raio de covergêcia x. Em casos o qual é um úmero iteiro ão egativo ( ), salieta-se dois casos: a) Quado é par, a série y0 x (série com os termos baseados o coeficiete c 0 ), a partir de valores de m igual ou maiores que, seus coeficietes toram-se ulos, devido ao fator m, se torado assim um poliômio de grau. b) Quado é ímpar, a série y x (série com os termos baseados o coeficiete c ), a partir de valores de m igual ou maiores que, seus coeficietes toram-se ulos, devido ao fator m, se torado assim um poliômio de grau. Cosiderado os casos acima, em que, e cosiderado somete o poliômio que se reduz ao grau (fazedo com que o coeficiete sobre o qual o outro poliômio é formulado, seja igual a zero), pode-se etão escrever os coeficietes em termos de c Substituido em (49) m por, tem-se c m mm m m c (49) c c m (50) sedo agora o coeficiete c o coeficiete arbitrário. Geralmete é feita a seguite escolha para c, visado a torar todos os poliômios com valor quado x c! 345!!! 345 3! , 3!! (5) 9

42 0! 0 c 0 0 0! (5) Substituido a escolha de c em (5) a equação (49), determia-se os coeficietes c c c! c!!!!!!! 3 3! c !! ! !! 3 3 4! !! 4! 4!! ! c !! ! ! 3! ! ! 3! 6! 6! 3 6! 3!! 3! 6! 3! (53) (54) (55) m m cm, m, m, (56) m! m! m! Daí, tem-se a seguite solução para a equação diferecial de Legedre m0 m! m m,, P x x m! m! m! j j j, j (57) 30

43 a equação (57) é chamada poliômio de Legedre de grau. O poliômio de Legedre também pode ser escrito da seguite forma d P x x (58)! deomiada de fórmula de Rodrigues. Tal fórmula pode ser demostrada aplicado-se o desevolvimeto biomial de x e difereciado termo a termo para fialmete comparar com (57). Há também a fórmula de recorrêcia dada por P x xp x P x (59) 6... Poliômio de Legedre Associado O poliômio de Legedre associado surge como solução da equação diferecial d y x dy x m x x y x m (60) x 0,, sedo etão (9) um caso especial de (60), quado m 0. A equação (60) possui como solução m m m m d x d m m m P x x P x x,, m (6)! deomiada poliômio de Legedre associado, que pode ser represetado pelas fórmulas de recorrêcia P m x m m xp xm P x m (6) m m x m m P x P x m m P x x (63) 3

44 6..3. Poliômio de Laguerre Associado A equação diferecial de Laguerre é dada por d y x dy x x x yx 0 (64) e trata-se de um caso especial da equação diferecial de Laguerre associada, dada por d y x dy x x v x yx 0 Utilizado a expasão em séries de potêcias, tem-se 0 (65) x a x v x a x a x 0 (66) 0 a x v a x a x a x 0 (67) 0 0 a x v a x a x a x 0 (68) v a a v a a x 0 (69) 0 Calculado os coeficietes, tem-se a a 0 v (70) a a, v (7) Observe que a fórmula (7) para 0 resulta em (70), ou seja, é valida para todo iteiro ão-egativo (isto é, iteiros positivos e ulos também). Escrevedo os coeficietes em fução de a 0, tem-se a a a v v v 0 (7) 3

45 a a a a 3 v 3 3 v 3 v v a a a 4 v 4 4 v 4 3 v 3 v v a v v v 0 (73) (74) (75) Substituido os coeficiete, chega-se a y x a0x 0! v v v (76) Para um iteiro e positivo, a série se reduz a um poliômio, cohecido como poliômio de Laguerre associado, e o caso de v ser ulo, tem-se o poliômio de Laguerre. A fórmula de Rodrigues para o poliômio de Laguerre é x e d L x x e! x (77) e para o poliômio de Laguerre associado é x k k k e x d x k d L x e x L k k x! k (78) 33

46 7. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS As equações difereciais parciais são equações que possuem as fuções em questão depededo de duas ou mais variáveis idepedetes. As equações das odas, as do calor, a de Laplace são exemplos de equações difereciais parciais. A ordem da derivada mais elevada é chamada a ordem da equação. 7.. Corda Vibrate. Equação de Oda Uidimesioal As equações que regem pequeas vibrações trasversais de uma corda elástica, que é esticada e tem suas extremidades presas, são exemplos de equações difereciais parciais. O problema cosiste em achar a equação de movimeto de uma corda, que iicialmete se ecotra esticada de uma dada maeira, e quado liberada etra em vibração. Primeiramete deve-se levar em algumas cosiderações para simplificar o problema:. A desidade da corda é costate durate todo o tempo e ela é perfeitamete elástica, ão oferecedo ehuma resistêcia à flexão.. A tração causada é tão grade que a força gravitacioal pode ser desprezada 3. O movimeto da corda se restrige a um movimeto trasversal, em um plao vertical, e a deflexão e o coeficiete agular em qualquer poto da corda são pequeos em valor absoluto. Para se obter a equação diferecial cosidera-se iicialmete uma pequea porção da corda, aalisado as forças que atuam sobre ela. As trações são tagetes à curva da corda em cada poto devido a falta de resistêcia à flexão. Cosiderado o trecho de P a Q, verifica-se duas trações em seus extremos. Suas compoetes horizotais devem ser iguais pois ão há movimeto a horizotal, assim a resultate a horizotal é ula, assim, tem-se T cos T cos T costate

47 Figura Corda vibrate Devido ao fato de ão haver movimeto a horizotal, a resultate das forças será a vertical, ou seja, só haverá aceleração a vertical. Cosiderado a massa do trecho, que é igual ao produto da desidade da corda pelo comprimeto compoetes verticais das trações, tem-se x do trecho e as y x T se Tse t (79) T se T se x y tg T x Tcos Tcos,, tg y x t y x x t tg, tg x x y yx x, t yx, t T x x x x Fazedo x 0, obtém-se a equação diferecial parcial homogêea liear,, y x t c y x t, c T t x (80) (8) (8) 7.. Separação das Variáveis (Método do Produto) O método do produto forece como solução de (8) a seguite fução, F xgt y x t (83) ode F e G são fuções de uma só das duas variáveis. Substituido suas derivadas parciais chega-se à seguite equação 35

48 G F k costate (84) c G t F x Como se tem um membro com fuções que depedem somete de uma variável e outro membro que depede somete da outra variável, tem-se que os dois membros ão possam ser iguais a uma fução de qualquer das duas variáveis, pois se assim fosse, uma das variáveis depederia da outra, por isso devem ser iguais a uma costate. Dessa equação retira-se estas duas equações seguites sedo k arbitrário. F x G t kf 0, c kg 0 (85) 7.3. Solução para a Equação de Oda Uidimesioal Tem-se como equação que rege a vibração de uma corda elástica a equação de oda uidimesioal y t y x c (86) Observado que as extremidades da corda estão fixa, tem-se duas codições de cotoro u 0, t 0, u l, t 0 (87) Observado também que a corda pode ser deflexioada de várias maeiras e partir com qualquer velocidade iicial, tem-se duas codições iiciais y x,0 yx,0 f x, g x t (88) A partir dessas equações e do método do produto determia-se F e G de modo que a solução satisfaça as codições, assim e assim chega-se à solução geral 0, 0 0,, 0 y t F G t y l t F l G t (89) F x A px B px k p cos se, (90) 36

49 ode k, que veio do método do produto, é egativo, evideciado pela equação k p, de outra maeira chegar-se-ia a soluções desiteressates. A partir das codições de cotoro tem-se 37 F 0 A 0 F x Bse px F l Bse pl 0 pl, (9) p k p l e assim obtém-se um úmero ifiito de soluções, devido a periodicidade da fução seo. Substituido o valor de k ecotrado em G c kg 0 para determiar G, tem-se a solução geral ecotrado l ct ct G tb cos B se (9) l l, cos c y x t B t B se c t Bse x l l l (93) que são fuções características ou próprias, ou aida autofuções, e os valores c l são valores característicos ou próprios, ou aida autovalores. O cojuto dos autovalores costitui o espectro. Verifica-se que cada y costitui um movimeto harmôico de freqüêcia c l. Este movimeto costitui o modo ormal ou tom ormal de ordem. Obviamete qualquer dessas soluções simples ão coseguirá ateder às codições iiciais, mas como a soma de um umero de solução costitui também uma solução, pode-se obter a solução que satisfaça às codições iiciais somado todas as soluções, obtedo assim ct ct x yx, t y x, t B cos B se Bse l l l (94) e a partir primeira codição iicial, tem-se a série de Fourier de coeficiete x y x B B f x (95) l,0 se l x B B f x se l (96) 0 l derivado y com relação a t, ecotra-se a seguda codição iicial, que é a série de Fourier

50 com coeficiete y x,0 c ct c ct x x l l l l l B se B cos Bse t0 c x B B se g x l l c l x l x B B g x B B g x (97) se se (98) l l 0 l c 0 l E assim defii-se a solução para a equação diferecial parcial que descreve o movimeto de uma corda, com movimeto puramete trasversal um plao vertical ct ct x yx, t Bcos Bse Bse, l l l l x l x B B f x se, B B g x se l 0 l c 0 l (99) 7.4. Difusão Uidimesioal do Calor A difusão do calor em um material homogêeo é regida pela seguite equação u c u, c t que em coordeadas cartesiaas retagulares é K u u u u c t x y z (00) (0) ode K é a codutividade térmica, o calor específico e a massa específica do corpo. Cosiderado uma barra de somete uma dimesão, de comprimeto l, ode seus extremos estão em x 0 e x l e sua temperatura iicial seja dada por lateralmete, tem-se a equação do calor uidimesioal f x e que seja isolada com codições de cotoro u c t u (0) x u 0, t 0, u l, t 0 (03) e codição iicial 38

51 ,0 f x u x A partir do método do produto, iicia-se pela equação (04), F x Gt u x t que substituido a equação do calor, obtém-se G F c G t F x p (05) costate (06) ode a escolha da costate segue os mesmos motivos da escolha da costate a determiação da equação de oda uidimesioal. Prosseguido, chega-se às seguites equações F x que possuem as seguites soluções gerais G t p F 0, c p G 0 x c l se, t, (07) F x B G t B e (08) l Assim a solução da equação de calor será x c l, se t u x t F x G t BB e, (09) l mas esta solução ão satisfaz a codição iicial, dessa forma, soma-se todas as soluções para ecotrar a solução que a satisfaz, que é x u x, t u x, t B Bse e c l t (0) l ode surge a série de Fourier para a codição iicial com coeficiete obtedo etão a solução x u x B B f x () l,0 se l x B B f x l 0 l se, () x c l t ux, t BB se e, l l x B B f xse l0 l (3) 39

52 7.5. Difusão do Calor em uma Barra Ifiita Cosiderado a solução para a equação do calor u c t u x (4) para uma barra uidimesioal de comprimeto que se estede ifiitamete em ambos os setidos, e que assim somete possuirá a codição iicial u x,0 f x, x (5) sedo f x a temperatura iicial. Pelo método do produto, ode ux, t F xgt obtém-se F x G t p F 0, c p G 0 (6) com soluções cos se, (7) F x A px B px G t e c p t sedo A e B arbitrários pode-se cosiderá-los fuções de p. Desta forma obtém-se u x, t; p F G A p cos px B p se px e c p t (8) Empregado a itegral de Fourier, por supostamete f x ão ser periódica, temse c p t 0 0 (9) u x, t u x, t; p dp A p cos px B p se px e dp que será uma solução se existir a itegral e for possível derivar uma vez em relação a t e duas em relação a x. Etão a codição iicial será dada por ux,0 Apcos px Bpse px dp f x (0) 0 e a partir da itegral de Fourier, tem-se que os coeficietes são A p f cos p d, B p f se p d () Escrevedo a itegral de Fourier resultate da seguite forma 40

53 ux,0 f cos px pd dp 0 () e assim obtém-se c p t ux, t f e cospx pdp d 0 (3) Resolvedo a itegral iterior e substituido sua solução chega-se a equação x 4ct ux, t f e d (4) c t Se f x for limitada para todo valor de x e itegrável em todo itervalo fiito, a equação acima satisfará à codição iicial e será solução da equação do calor. 4

54 8. OPERADORES A f Um operador f I A: f I f I associa para toda fução, ou seja, é o mapeameto etre dois espaços de fuções. f f I uma fução 8.. Espaço de Fuções Sedo f I um cojuto de todas fuções cotíuas defiidas sobre um mesmo itervalo I. Sedo f I o cojuto de todas as fuções pertecetes a f I com derivadas de ordem cotíuas sobre o itervalo I. Defii-se como espaço de fuções como um espaço vetorial (defiido mais adiate) ode os elemetos são fuções 8.. Operadores Lieares Um operador Ô é dito ser liear se para todo par de fuções f e g e uma costate, vale as seguites relações O ˆ f g Of ˆ Og ˆ (5) Oˆ f Of ˆ (6)

55 9. COMUTADORES Sedo  e ˆB operadores. Etão o comutador de  e ˆB é defiido por Aˆ, Bˆ AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ Segue-se algumas propriedades do comutador Bˆ, A ˆ BA ˆ ˆ AB ˆ ˆ AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ AB ˆ ˆ (7) (8) Sedo x uma variável e f x uma fução dessa variável, tem-se f x, x f x xx f x x f x x f x 0 (9) Sedo  um operador, tem-se Aˆ, Aˆ AA ˆ ˆ AA ˆ ˆ 0 (30) Sedo Â, ˆB e Ĉ operadores, tem-se Aˆ, BC ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ABC BCA AB C B CA AB ˆ ˆ C ˆ BAC ˆ ˆ ˆ BAC ˆ ˆ ˆ B ˆ CA ˆ ˆ AB ˆ ˆ C ˆ BA ˆ ˆCˆ B ˆ AC ˆ ˆ B ˆ CA ˆ ˆ Aˆ, Bˆ Cˆ Bˆ Aˆ, Cˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AB ˆ ˆ, Cˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ABC CAB A BC CA B Aˆ BCˆ ACB ˆ ˆ ACB ˆ ˆ CA ˆ ˆ B Aˆ BC ˆ ˆ Aˆ CB ˆ ˆ AC ˆ ˆ Bˆ CA ˆ ˆ Bˆ Aˆ Bˆ, Cˆ Aˆ, Cˆ Bˆ (3) (3) Sedo  e ˆB operadores e a e b costates, tem-se

56 a A ˆ, b Bˆ ˆ ˆ ˆ a A b B b B a A ˆ ab abˆ Ab ˆ AB ˆ ˆ babaˆ Ba ˆ BA ˆ ˆ AB ˆ ˆBA ˆˆ AB ˆ, ˆ Sedo Â, ˆB, Ĉ e ˆD operadores, tem-se A ˆ Bˆ, C ˆ Dˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AB C D C D AB AC ˆ ˆ AD ˆ ˆ BC ˆ ˆ BD ˆ ˆ CA ˆ ˆ CB ˆ ˆ DA ˆ ˆ DB ˆ ˆ AC ˆ ˆ CA ˆ ˆ AD ˆ ˆ DA ˆ ˆ BC ˆ ˆ CB ˆ ˆ BD ˆ ˆ DB ˆ ˆ Aˆ, Bˆ Aˆ, Dˆ Bˆ, Cˆ Bˆ, Dˆ (33) (34) 44

57 0. ÁLGEBRA LINEAR 0.. Espaço Vetorial Um espaço vetorial cosiste de um cojuto de vetores (,,,...) ou também chamados ket e de um cojuto de escalares ( a, b, c,...) os quais são sujeitos a duas operações (adição vetorial e multiplicação escalar). Um vetor é represetado por uma -tupla ordeada de escalares pertecetes ao cojuto dos úmeros complexos a a a, a, a,, a A adição vetorial de dois vetores resulta em outro vetor (35) (36) ou seja a b a b a b a b a b a b, a b a b a b (37) Lei comutativa da adição vetorial (38) ou seja a b a b b a b a a b a b b a b a a b a b b a b a (39) Lei associativa da adição vetorial

58 (40) Existêcia de idetidade aditiva ( 0 ) ode 0 0 0,, 0 0 (4) para qualquer vetor. Existêcia de egativo ode para qualquer vetor tem-se um vetor ode 0 (4) ou seja a a a a a a a a a (43) e, portato, substituido a equação imediatamete aterior, tem-se a a a a 0 a a a a 0 0 a a a a 0 (44) A multiplicação escalar etre um escalar e um vetor resulta em outro vetor a (45) ou seja b a b b a b a a b ab (46) Lei distributiva da multiplicação escalar, em relação à adição de vetores a a a (47) 46

59 Lei distributiva da multiplicação escalar, em relação à adição de escalares Lei associativa da multiplicação escalar a b a b (48) a b ab (49) Existêcia de idetidade para a multiplicação escalar (50) Multiplicação de um vetor qualquer pelo escalar (5) Uma combiação liear de vetores,,,..., é uma expressão da seguite forma a b c (5) Um vetor é dito ser liearmete idepedete em relação ao cojuto,,,...se ão puder ser escrito como uma combiação liear deles, ou seja ou de outra forma c c c, c, c, c, (53) 3 3 c c c c 0 c c c c 0 (54) 3 3 Um cojuto de vetores é chamado de gerador do espaço se todo vetor puder ser escrito como uma combiação liear deles. O cojuto de vetores liearmete idepedetes que geram um espaço são chamados bases. O úmero de bases usadas para se gerar um espaço é chamado a dimesão do espaço. Assim, qualquer vetor pode ser escrito da seguite forma a e a e a e (55) ode e, e,..., e são as bases do espaço e é a dimesão do espaço. 47

60 0.. Espaço Dual Complexo cojugado de um vetor é dado por a a a a a a (56) POSTULADO: Para todo ket existe um correspodete vetor o espaço dual, chamado bra, deotado por.que também é uma -tupla ordeada de escalares que também pertecem ao cojuto dos úmeros complexos. A correspodêcia é dada por T a a T a a a a (57) ou seja, é a matriz trasposta com seus valores sedo os complexos cojugados da matriz colua. O símbolo (dagger) sigifica que, o vetor dual é o hermitiao adjuto, ou simplesmete adjuto do vetor, que é simplesmete a aplicação da operação de cojugação e a trasposta a matriz. Da mesma forma que o espaço vetorial, o espaço dual possui as mesmas propriedades. A soma de dois vetores do espaço dual é dada por ou, de outra forma a a a b b b a b a b a b (58) T a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b 48 (59)

61 A multiplicação escalar etre um escalar e um vetor do espaço dual é dado por c c a a a c a c a c a c, (60) ou, de outra forma T a c a c a a c a c a c c a c a c a c a c a c a c c, (6) 0.3. Produto Itero Cosiderado-se dois vetores e, defiidos por b a b a, b, b,, b,, a, a,, a b a (6) tem-se que o produto itero deles é dado por a a a b b b a b a b a b (63) que ada mais é do que o produto matricial de uma matriz liha com uma matriz colua. O produto itero possui as seguites propriedades 49

62 b b b b a a a a a a b b b b b a a a a b a b a b b a b a b a b b b a a a (64) Verifica-se assim que o produto itero é diferete de, exceto o caso em que seja um úmero real. seja O produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é um úmero ão egativo, ou a a a a a a a a a a a a a a a (65) assim, tem-se a 0, i 0 (66) i A orma de um vetor é dada por (67) e ela represeta uma geeralização da oção de comprimeto do vetor. A desigualdade de Schwarz declara que 50

63 (68) A demostração é dada a seguir: Cosidere o seguite vetor (69) Lembrado que 0 (70) tem-se (7) etão 0 (7) 5

64 0.4. Cojuto Ortoormal e o Procedimeto Gram-Schmidt Na Mecâica Quâtica é desejável se ter um cojuto de bases ortoormais, ou seja e e (73) i j i, j ode i, j, 0, i j i j (74) É possível a partir de um cojuto de vetores u i se extrair um cojuto de bases ortoormais e i. Levado em cosideração a idéia de que o produto itero é uma geeralização do produto de vetores em três dimesões, ode o produto retora a projeção de um vetor em um segudo vetor, começado por defiir v i u (75) i O segudo passo é defiir v i em cima de u, tomado o cuidado de se retirar a projeção sobre o vetor v já defiido v u v u v (76) v v e assim, recursivamete v u v u v u v v v v v v v u v u v u v u v v v v v v v v3 v3 (77) Normalizado tem-se 5

65 e v v v e v v v (78) 53

66 . MECÂNICA QUÂNTICA.. Postulados da Mecâica Quâtica A equação fudametal da mecâica quâtica é a equação de Schrödiger 5 U i, (79) m t x y z sedo esta equação para a uma partícula de massa m se movedo por um potecial U em três dimesões. A fução é chamada fução de oda, é em fução do espaço e do tempo. Esta fução ão foi obtida por raciocíio dedutivo, ela é um postulado, assim como a equação da força dada por Newto e as equação de Maxwell. Diferetes potecias dão diferetes fuções de oda. Observado a equação, vê-se que a fução de oda é uma fução complexa. Uma vez ecotrada a fução de oda, pode-se calcular qualquer outra quatidade física. POSTULADO. Para cada estado de um sistema físico há uma correspodete fução de oda xt,. Na mecâica clássica, cada estado de um sistema físico é especificado por duas variáveis, chamadas posição xt e mometo pt que ambos são fuções da variável tempo t. Na mecâica quâtica, cada estado físico é especificado por apeas uma variável, chamada fução de oda xt, que é fução de duas variáveis, posição x e tempo t. 5 Erwi Schrödiger (887 96), físico teórico austríaco que cotribuiu para a teoria odulatória da matéria e outros fudametos da mecâica quâtica. Em 933 gahou juto com o físico britâico Paul Adrie Maurice Dirac o prêmio Nobel de Física.

67 POSTULADO. O desevolvimeto temporal da fução de oda é determiado pela equação de Schrödiger. U x x, t i x, t (80) m x t Em cotraste com a mecâica clássica que o desevolvimeto temporal do mometo é dado por F p e o desevolvimeto da posição é dado por F mx, ou o formulação lagragiaa que o desevolvimeto temporal das coordeadas geeralizadas que é dada por equações difereciais de seguda ordem, ou a formulação hamiltoiaa que o desevolvimeto temporal das coordeadas geeralizadas geeralizado qi t e mometo pi t são dados pelas equações difereciais de primeira ordem de Hamilto p i H qi e qi H pi. POSTULADO 3. (Hipótese de Bor): A desidade de probabilidade é dado por. Este postulado mostra uma relação etre a fução de oda e a desidade de probabilidade. A probabilidade de se achar a partícula em questão etre a e b o tempo t é P b (8) a Geralmete é ormalizado assim a probabilidade total de se achar a partícula em qualquer lugar do uiverso é, ou seja, uidimesioalmete (8) 55

68 Como saber se os valores esperados serão valores reais sedo que os operadores são complexos e que a fução de oda também é? Se ficar provado que o valor esperado de um operador for igual ao valor esperado de seu complexo cojugado, verifica-se que a parte imagiária é ula, restado somete a parte real. Por exemplo * p i x * * * p i i d x * * * i d i p x (83) ficado provado que o valor esperado é um úmero real. POSTULADO 4. Para todo observável físico b existe um operador hermitiao ˆB correspodete, tal que B ˆ i bii. Assim os observáveis são represetados por operadores. Estes são operadores hermitiaos especiais para assegurar que os observáveis sejam úmeros reais. Note que se pode ivetar um operador que ão sigifica ecessariamete um observável físico. POSTULADO 5. Qualquer fução de oda pode ser expadido em termos de i, ou seja,. i c i i Assim tem-se que a base da fução de oda são as autofuções. POSTULADO 6. Se o estado de um sistema é, etão a probabilidade que uma medida ecotre o sistema o estado i é c. i 56

69 Se for feito uma medição etão a probabilidade de se ecotrar o sistema o estado x é i c. POSTULADO 7. Uma coerete superposição de colapsa para uma autofução medida. i sob O ato de medir força o estado geral colapsar para um estado particular. Este colapso tem que ocorrer porque de outra maeira uma seguda medição imediata poderia ão forecer o mesmo E... A Equação de Schrödiger Idepedete do Tempo Primeiramete utiliza-se do método de separação de variáveis, para ecotrar a solução da equação de Schrödiger, que se trata de uma equação diferecial parcial. Esse método cosiste em substituir a fução em questão pelo produto de duas ou mais fuções, cada uma das fuções será depedete de uma variável, sedo as variáveis idepedetes etre si. Aplicado a fução de oda tem-se Substituido (84) em (79), tem-se x, y, z, t x, y, z f t (84) df t i x, y, z f t x, y, zvx, y, z f t (85) dt m Cosiderado o potecial V como fução somete da posição, e isolado em cada membro as fuções depedetes do tempo com as depedetes da posição 57

70 df i V (86) f dt m Como o primeiro membro de (86) está em fução de t e o segudo está em fução de x, y, z, tem-se que a igualdade só pode ser satisfeita se ambos os membros forem iguais a uma costate, pois as variáveis são idepedetes, ão se pode ter em ehum dos membros ehuma variável, seão ou deixariam de serem idepedetes (caso em que se tem uma fução depedete do tempo o º membro e uma depedete da posição o º membro) ou ão seriam variáveis (caso em que se tem em um membro com uma fução depedete de uma das coordeadas e o outro membro igual uma costate). Assim, de (86) tem-se df i E f dt (87) V E m m V E (88) A solução de (87) é f t e iet (89) A equação (88) é a equação de Schrödiger idepedete do tempo. Note que ela assemelhasse com a equação depedete do tempo, mas isso só é possível porque V é idepedete do tempo..3. Normalização A probabilidade de se ecotrar a partícula em qualquer lugar será x, y, z, t dy dz (90) Etretato, em sempre se chega a uma fução de oda que obedeça a relação descrita por (90), mas esse problema é cotorado multiplicado a fução de oda por uma costate complexa A, resultado em A x, y, z, t, que também será uma solução de (79) e satisfará (90). Esse processo é chamado de ormalização da fução de oda. 58

71 Em algus casos chega-se a uma solução da equação de Schrödiger, em que a itegral do primeiro membro de (90) é ifiita, ão havedo fator multiplicativo que o ormalize, e em outros casos chega-se a solução trivial 0. Tais soluções ão ormalizáveis, ão podem represetar ehuma partícula, portato são rejeitadas. Dessa forma, pode-se dizer que as soluções fisicamete aceitáveis são as que possuem o quadrado-itegrável, para isso tem-se que lim lim lim 0 (9) x y z do cotrário, a substituição dos limites o ifiito, após a solução da itegral, faria os valores crescerem idefiidamete. Esta codição também garate que a fução de oda permaeça ormalizável para qualquer istate t..4. Operadores Na mecâica quâtica, quatidades físicas são geralmete represetadas por operadores, diferetemete do que a mecâica clássica, ode as quatidades físicas são represetadas por fuções ordiárias. Relembrado a defiição de eergia total ode U é a eergia potecial e T a eergia ciética T U E (9) T p m mv (93) ode p é o mometo e m é a massa. Multiplicado a equação da eergia total pela fução de oda tem-se T U E (94) etão se for feito algumas substituições para se coseguir a equação de Schrödiger tem-se 59

72 T, E i (95) m x t da eergia ciética pode-se tirar o mometo fazedo algumas substituições tem-se pi (96) x Será utilizado ^ para especificar operadores, assim tem-se E i, p i t x (97) A eergia potecial e a posição ão são operadores, desta forma U U x, x x (98).5. Valores Esperados Para uma partícula o estado, o valor esperado de x é dado por, (99) x x x t (cosiderado o problema uidimesioal, para simplificação) Isto sigifica que para partículas preparadas o mesmo estado, terão a média dos valores observados da quatidade física através da medição descritos por (99), mas uma vez realizado o processo de medição, medições subseqüetes cofirmarão o mesmo valor. Pode-se também iterpretar como o valor médio das medições feitas sobre a mesma partícula preparada sistematicamete o mesmo estado após o processo. Partido para o cálculo do valor esperado do mometo ˆp, tem-se iicialmete a seguite relação d pˆ m x (300) dt 60

73 Substituido o valor x, determiado por (99) d d x x x dt dt t x t t (30) Isolado a derivada parcial em relação a t da equação de Schrödiger uidimesioal i i V t m x (30) cujo complexo cojugado é i i V t m x (303) etão t m x x i i m x x x x x x 0 i m x x x x x x i i m x x x x x m x x (304) Substituido (304) em (30) d i x x dt m x x x (305) e usado itegração por partes o primeiro termo, tem-se x x x x x x x x x (306) 6

74 Utilizado (9) em (306), tem-se x x x x x x (307) Usado da itegração por partes x 0 x (308) Substituido (308) em (307) x x x x x x x x x Substituido o resultado ecotrado em (309) a equação (305), chega-se a d pˆ x i dt x pˆ (309) (30) O cálculo do valor esperado de qualquer outra quatidade física Q pode ser feita através dessas duas quatidades (posição x e mometo ˆp ). Assim pode-se escrever para qualquer quatidade Q Q x p Q (3), ˆ ˆ Estado ˆQ (operador que represeta a quatidade física Q ) iserido etre os..6. Iterpretação Estatística ˆ As quatidades diâmicas podem ser expressas em fução das quatidades x e ˆp : Qx, pˆ, t. Para cada quatidade associa-se um operador ˆQ. O valor esperado para esta quatidade é dado por 6

75 ˆ ˆ d Q x, t Q x,, t x, t i (3) o qual pode-se reescrever da seguite forma Qˆ Qˆ (33) Como o valor esperado deve ser um valor obtido a prática, isto implica que deve ser um úmero real, assim Qˆ Qˆ Qˆ (34) No geral, idêticas medições feitas sobre idêticos estados preparados podem ão produzir os mesmos resultados, a ão ser em estados determiados para um observável que se deseja medir. Nos estados determiados para um observável Q, o desvio padrão do observável é zero, sedo assim bem determiado. 0 Q Qˆ Q Qˆ Q (35) ˆ ˆ como o operador ˆQ é Hermitiao ( Q Q ) e a média Q é um valor real ( Q Q ), etão Q ˆ Q Q ˆ Q Q ˆ Q Qˆ Q ˆ Q Q Q ˆ Q Qˆ Q ˆ Q Q Q ˆ Q Q ˆ Q Q ˆ Q Qˆ Q (36) Mas para que a orma de um vetor ( ) seja igual a zero, é ecessário que o vetor seja o vetor ulo ( 0 ), assim Q ˆ Q 0 (37) 63

76 ou ˆQ Q (38) Assim coclui-se que para uma medição de um observável Q sobre uma partícula que está um estado o resultado será o valor se, e somete se, for um autovetor de Q, com autovalor. A medição de um observável ˆQ de uma partícula o estado certamete dará um dos autovalores de ˆQ, e a probabilidade de se ecotrar um particular autovalor é igual ao quadrado absoluto do compoete de, quado está expresso em bases ortoormais de autovetores..6.. O Pricípio da Icerteza Para qualquer observável A, tem-se seu desvio padrão dado por A A A ˆ A ˆ A A ˆ A (39) e, semelhatemete, para um observável B, tem-se ˆ ˆ B B B B B (30) Substituido a desigualdade de Schwarz ˆ ˆ ˆ ˆ AB A A A A B B B B A ˆ A B ˆ B (3) Para qualquer úmero complexo w u i v, tem-se que w w Re w Im w u v Im v (3) e que 64

77 ww u iv u iv iv v i i i (33) assim, substituido a equação aterior w u v v ww i (34) substituido w por A ˆ A B ˆ B tem-se ˆ ˆ ˆ ˆ A A B B A A B B i A ˆ A B ˆ B B ˆ B A ˆ A i (35) ou seja A ˆ A B ˆ B A ˆ A B ˆ B B ˆ B A ˆ A i (36) Tem-se que A ˆ A B ˆ B A ˆ A B ˆ B AB ˆ ˆ Aˆ B A Bˆ A B AB ˆ ˆ Aˆ B A Bˆ A B AB ˆ ˆ B Aˆ A Bˆ A B AB ˆ ˆ B A A B A B AB ˆ ˆ A B (37) A ˆ A B ˆ B A ˆ A B ˆ B AB ˆ ˆ Aˆ B A Bˆ A B AB ˆ ˆ Aˆ B A Bˆ A B AB ˆ ˆ B Aˆ A Bˆ A B AB ˆ ˆ B A A B A B AB ˆ ˆ A B (38) e, semelhatemete 65

78 B ˆ B A ˆ A B ˆ B A ˆ A BA ˆˆ Bˆ A B Aˆ B A BA ˆˆ Bˆ A B Aˆ B A BA ˆˆ A Bˆ B Aˆ A B BA ˆˆ A B B A A B BA ˆˆ A B (39) como A e B são úmeros reais, etão A B B A. Substituido A ˆ A B ˆ B B ˆ B A ˆ A i AB ˆ ˆ A B BA ˆˆ A B i AB ˆ ˆ A B BA ˆˆ A B i AB ˆ ˆ BA ˆˆ i (330) Fialmete chega-se que ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ A B i AB BA i A B (33) ode AB ˆ, ˆ é o comutador dos operadores  e ˆB..7. O Oscilador Harmôico O oscilador harmôico cosiste em uma partícula de massa m executado um movimeto uidimesioal, estado sujeita a uma força elástica descrita pela lei de Hooke d x t F m k x t, k 0, m 0 (33) dt cuja solução é se cos x t A t B t (333) ode a freqüêcia agular é 66

79 k (334) m A eergia potecial é dada por V x kx (335) Na literatura ecotra-se duas abordages para se resolver o oscilador harmôico. Uma utiliza-se das séries de potêcias para resolver a equação diferecial. A outra abordagem utiliza-se de uma egehosa técica algébrica, usado os operadores de criação e aiquilação..7.. Método Algébrico Escrevedo a equação de Schrödiger para o oscilador x d m m x x E x (336) ou, de outra forma m i d m x E (337) A idéia cocetra-se em reescrever o termo detro dos colchetes partido da idéia da seguite equação para úmeros complexos u iv u iv u iuv ivu i v u v i v u u v (338) mas como u e v são úmeros, tem-se que uv v u (339) assim chega-se a u iv u iv u v (340) 67

80 Porém deve-se lembrar que detro dos colchetes há o operador d, e operadores geralmete ão comutam, como é este caso. Etretato esse fato ão é um impedimeto para se poder utilizar a idéia, começado por defiir os seguites operadores d d a imx, a imx m i mi (34) Aplicado o produto a a sobre uma fução, tem-se d d m i m i d d imx imx f x m i i d df x imx imx f x m i i d df d df im xf im x m i i imximxf i i d f df df m f x mx m x f m i d x d f df df m f mx mx m x f m i d x a a f x imx imx f x d d m i m i d d imx imx f x m i i d df x imx imx f x m i i d df d df im xf im x m i i imximxf i i d f df df m f x mx m x f m i d x d f df df m f mx mx m x f m i d x a a f x imx imx f x (34) (343) 68

81 a a f x mf m x f m i d f d x d m i d x m m x f x d m i descartado a fução de teste, usada para achar o produto a mx m f x a d a a mx m m i d mx m m i m d mx m i Comparado a equação de Schrödiger para o oscilador m i d m x E, tem-se (344) (345) (346) com a equação do produto a a d a a mx m i (347) verifica-se que só diferem por um fator. Reescrevedo a equação para o oscilador harmôico a a E (348) Alterado a ordem dos fatores a e a, e aplicado uma fução f x, tem-se 69

82 d d m i m i d df imx imxf m i i a a f x imx imx f x d df d df im xf imx imxim xf m i i i i d f df df mf mx mx m x f mi d mx m f m i descartado a fução de teste, usada para achar o produto a a d a a mx m m i d mx m i, tem-se (349) (350) e assim, também pode-se escrever da seguite forma a equação e Schrödiger para o oscilador harmôico a a E (35) Aplicado o comutador sobre os operadores a e a, tem-se a, a a a a a d d mx mx m i m i d d mx m i m i mx (35) Agora, mostra-se que se satisfaz a equação de Schrödiger com eergia E, etão pode-se afirmar que a também a satisfaz, mas com eergia E, ou seja 70

83 aa a x a a a a a a a a a aa a aa a aa a aa a E a Ex a x Ea a E ax (353) Da mesma forma, se satisfaz a equação de Schrödiger com eergia E, etão pode-se afirmar que a também a satisfaz, mas com eergia E, ou seja aa a x a a a a aa a aa a E Ea a E a x (354) Aplicado ovamete o método, pode-se afirma que aa equação de Schrödiger, mas com eergia E, ou seja também satisfaz a 7

84 aa a a x a a a a a a aa a a aa a a aa a a aa a a a aa a a a a a a a a a a aa a a a aa aa aa a a a a aa E aa E aa E aa E aax (355) Da mesma forma, pode-se afirma que aa E, ou seja também a satisfaz, mas com eergia 7

85 aa a a x a a a a a a aa a a aa a a aa a a aa a a a aa a a a aa a a a a a aa a a a aa aa aa a a a a a a E aa E aa E aa E aa x (356) O operador a chama-se operador de criação, pois ele cria um quatum de eergia a cada vez que é aplicado. E o operador a chama-se operador de aiquilação, pois ele aiquila um quatum de eergia a cada vez que é aplicado. Aplicado o operador de aiquilação, recursivamete, chega-se a situação em que a eergia começa a se torar egativa a partir de um poto, o que ão pode existir, e este mometo o mecaismo falha. Assim tem-se um ível que é o mais baixo chamado por 0, ode a 0 0 (357) isto sigifica que 73

86 0 x d 0 imx0 x 0 m i d m d m x x d0 m m x l 0 x C 0 0 m x x A e (358) Determiado o valor da eergia para esse estado tem-se aa 0 x E0 0 x 0 a a0 x 0 x E0 0 x E 0 x E x (359) Agora simplesmete aplica-se o operador de criação para se ecotrar os estados excitados ou de outra forma x A a e E mx, A m 4! (360) 4 m m x He, x,!, H H e d e d (36) ode H é o poliômio de Hermite. 74

87 .8. O Átomo De Hidrogêio A equação de Schrödiger é dada por i H (36) t ode H é o operador hamiltoiao, que pode ser obtido por meio da eergia clássica mv V p x py pz V (363) estededo para y e z o operador mometo, tem-se pˆ, ˆ, ˆ x py pz i x i y i z (364) assim a equação de Schrödiger toma a forma ˆp (365) i V i (366) t m cuja solução, quado V ão é depedete do tempo, é c r e iet (367) Geralmete o potecial depede somete da distâcia da origem, desse modo é atural adotar as coordeadas esféricas, assim o laplaciao em coordeadas esféricas é r se r r r r se r se r se r r r se se (368) Separado as variáveis pelo método do produto, tem-se 75

88 r,, Rr Y, (369) substituido a equação de Schrödiger, e já colocado o laplaciao em coordeadas esféricas, tem-se Y d dr R se Y R r Y VRY ERY ˆ m r dr dr r se r se (370) que multiplicado por mr RY tem-se d dr mr ˆ r V r E se Y Y 0 R dr dr Y se (37) se d dr mr ˆ Y Y r V r E se R dr dr Y se se (37) ll ode a seguda equação possui o primeiro membro depedete de uma só variável e o segudo depedete da duas variáveis restates. Como as variáveis são idepedetes etre si, a igualdade etre o primeiro e o segudo membro só pode resultar em uma costate, do cotrário ão seriam idepedetes, assim escolheu-se a costate ll por questões práticas. Tratado da equação com as variáveis de âgulo, tem-se Y Y se se se l l Y (373) separado as variáveis, Y (374) tem-se se d d d d d d se ll se 0 se d se d ll se d d d d m (375) (376) 76

89 ode o primeiro e o segudo membro da equação são depedetes de uma só variável, sedo assim só podem ser iguais a uma costate. Resolvedo a equação depedete somete de d m 0 (377) d ecotra-se a solução im e m mi 0,,, e (378) e para a equação depedete somete de d d d d se se l l se m 0 (379) ecotra-se a solução m cos AP l (380) ode m P l é a fução associada de Legedre m m m d Pl w w Pl w dw (38) e P l o poliômio de Legedre l l d l l! dw l w P w O grau do poliômio de Legedre é dado por l, assim, se m (38) l, tem-se P m 0 l pois a ordem de derivação superará o grau do poliômio, zerado todos os termos. Da codição de ormalização tem-se 77

90 r se dr d d R r dr Y se d d R r dr e Y se d d (383) A ormalização da fução de oda agular é chamada harmôicos esféricos m! m im m, m 0 Yl, e Pl cos, 4 l m!, m 0 l l m (384) O átomo de hidrogêio cosiste eu um elétro, partícula de carga egativa, girado em toro de um próto, partícula de carga igual à do elétro, só que positiva, e de massa 840 vezes maior que a do elétro. O potecial é dado a partir da lei de Coulomb, e em uidades do Sistema Iteracioal é V r e 4 r (385) que substituido a equação radial (depedete somete da variável r ), e fazedo a substituição ur r R r, tem-se 0 d u e ll u Eu ˆ m dr 40 r m r (386) simplificado d u ll 0 me me u, r, 0, d 0 (387) itroduzido a fução l u e v (388) tem-se d v dv l 0 l v 0 d d (389) com solução expressa em série de potêcias 78

91 jl 0 j j l j j, j j, 0 (390) j0 v a a a e etão temos as eergias permitidas E m e E,,, 3, 4 0 (39) O poliômio v é uma fução cohecida, que pode ser escrita como l v L l (39) ode p p d q p q p L w L w dw (393) é o poliômio associado de Laguerre, e q d Lq w e e w dw w w q (394) é o poliômio de Laguerre. A fução de oda espacial para o átomo de hidrogêio é dada por ode r,, R r Y m, (395) lm l l l Rl r e v A fução de oda espacial, já ormalizada toma a forma (396) r 3 l l! r a r l r m lm e L 3 l Yl a l! a a 4 a me 0,, (397) 79

92 A partir da fução de oda, pode-se ter os valores esperados das quatidades físicas, a desidade de probabilidade de se ecotrar o elétro uma dada região. Uma represetação bem ituitiva, é a que represeta o elétro como uma uvem, ode as regiões de maior cocetração idicam ode se pode ecotrar com maior probabilidade o elétro. 80

93 . COMPUTAÇÃO GRÁFICA A computação gráfica trata-se de um ramo da computação dedicada ao desevolvimeto de técicas e de algoritmos para geração, tratameto, apresetação e armazeameto de images em computadores. Aplicações gráficas exigem um úmero exteso de cálculos, portato a evolução dos computadores propiciou o avaço da computação gráfica. Atualmete, os cálculos relacioados ao processameto gráfico ficam cocetrados em sua maioria as placas aceleradoras de gráfico, que são destiadas especificamete para este fim, possuido poderosos processadores gráficos e grade quatidade de memória dedicada. A computação gráfica ecotra-se em vários ramos da ciêcia, como por exemplo a egeharia, as simulações astroômicas, as aálises de aerodiâmica, etre tatos outros ramos. Com o ituito de exemplificar algus dos comados utilizados da área da computação gráfica, será apresetado algus comados (os referetes ao deseho e à trasformações estes) e explicações sobre eles, sem aprofudar muito, pois ão é o foco deste projeto, apesar de se utilizar desta área... OpeGL (Ope Graphics Library) A OpeGL trata-se de uma biblioteca de rotias gráficas, cuja especificação é gereciado pelo cosórcio idepedete ARB (Architecture Review Board), fudado em 99 e costituído por empresas do ramo, das quais se ecotram a 3Dlabs, Apple, VIDIA e SUN. A OpeGl iclui 50 fuções, das quais 00 são da própria OpeGL e as 50 restates são da biblioteca GLU (OpeGL Utility Library), pertecete à OpeGL. A OpeGL dispoibiliza rotias referetes à costrução de objetos gráficos como lihas, potos e polígoos, ficado a cargo da GLU a dispoibilização de superfícies, curvas, matrizes para operações de projeção e orietação de visualização, etre outras fuções. A GLUT (OpeGL Utility Toolkit) foi criada por Mark Kilgard com o ituito de icluir elemetos de iterface gráfica com o usuário (GUI) que sejam idepedetes do

94 sistema operacioal, como por exemplo o tratameto de evetos de teclado, de mouse, criação de meus pop-up, gereciameto de jaelas, etre outras fuções.... Padrão a Nomeclatura As fuções das bibliotecas da OpeGL possuem omes padroizados, de forma a facilitar o etedimeto das mesmas, sedo assim divide-se seus omes em quatro partes: a ª referete à biblioteca à qual pertece, a ª referete ao comado que represeta, 3ª referete à quatidade de parâmetros passados e a 4ª referete ao tipo dos parâmetros. Essa padroização será vista à medida que for dados os exemplos.... Deseho de um Polígoo Para se desehar um triâgulo tem-se os seguites elemetos: a cor, a chamada do tipo de polígoo (triâgulo este caso) e os vértices do polígoo em questão (três vértices este caso), o código é o seguite: glbegi (GL_TRIANGLES); glcolor3f (vermelho, verde, azul); glvertex3f ( x, y, z); glvertex3f ( x, y, z); glvertex3f ( x3, y3, z3); gled (); ode glbegi determia que tipo de objeto a ser desehado, GL_TRIANGLES especifica que o objeto triâgulo será o desehado. O comado glcolor3f defie a cor, que este caso é dado pelo valor das variáveis vermelho, verde e azul, que estão dispostas exatamete as posições referetes a estas cores, ou seja: º parâmetro referete à itesidade de vermelho, º parâmetro referete à itesidade do verde e o 3º parâmetro referete à itesidade de azul, todos com valores etre 0 e. Logo após a defiição da cor vêm as defiições de cada um dos três vértices, dados pelo comado glvertex3f, cujos parâmetros são dados pelo valor de cada uma das variáveis. Aalizado o primeiro vértice defiido, tem-se: como º parâmetro o valor da coordeada x (o sistema de referêcia do uiverso do deseho), dado por x, como º parâmetro o valor da coordeada y (o sistema de referêcia do uiverso do deseho), dado por y e por último, como 3º parâmetro o valor 8

95 da coordeada z (o sistema de referêcia do uiverso do deseho), dado por z. E fializado o deseho vem o comado gled(), fechado este cojuto de comados. Com relação à padroização dos omes, começado por aalisar o comado glcolor3f, tem-se: gl referete à bilioteca à qual pertece, Color o comado a que se refere, ou seja, atribuição de cor, 3f refere-se aos parâmetros usados, ou seja, 3 parâmetros do tipo float. Do mesmo modo para o comado glvertex3f: gl refere-se à biblioteca, Vertex refere-se ao comado para defiir os vértices, 3f refere-se aos 3 parâmetros do tipo float. Além de GL_TRIANGLES que refere-se ao deseho de triâgulos, pode-se usar: GL_POINTS para potos, GL_LINES para lihas, GL_POLYGON para polígoos, etre outros, seguido o mesmo raciocíio que o cosiderado o exemplo aterior...3. Trasformações Geométricas As trasformações geométricas são trasformações operadas em cima dos valores de coordeadas dos objetos, resultado uma traslação, rotação ou mudaças a escala. Algumas dessas operações, quado combiadas, levam a resultados diferetes, depededo da ordem em que são aplicadas. As trasformações geométricas utilizam-se de matrizes, para realizar as operações sobre os objetos. Deste modo, iicialmete especifica-se com o comado glmatrixmode que serão realizados comados de trasformações geométricas, assim: glmatrixmode( GL_MODELVIEW ); ode o parâmetro GL_MODELVIEW especifica que será trabalhado trasformações geométricas (também serve para visualização da cea, pois trasladar a câmera, equivale a trasladar os objetos do ceário, do mesmo modo vale para a rotação e a escala). Logo após, deve-se iicializar a matriz com o seguite comado: glloadidetity ( ); tal comado iicializa a matriz com a matriz idetidade. A partir disto pode-se iiciar os comados das trasformações seguidos dos comados que deseharão os objetos em que serão operadas as mesmas. A combiação de vários comados de trasformação 83

96 geométrica é resultado da multiplicação de todas as matrizes dessas trasformações, resultado uma úica matriz que será multiplicada pelas coordeadas que costituem os objetos em que serão operados as trasformações. Aalisado primeiramete a trasformação de traslação, tem-se o seguite comado: gltraslatef ( trasx, trasy, trasz ); O comado gltraslatef refere-se à traslação do objeto (àquele que vem após ele, podedo ser um ou mais objetos) com os seguites parâmetros: o valor do º parâmetro (referete à coordeada x) dado pelo valor da variável trasx, o valor do º parâmetro (referete à coordeada y) dado pelo valor da variável trasy e o valor do 3º parâmetro (referete à coordeada z) dado pelo valor da variável trasz. Com relação ao padrão de omeclatura, gl refere-se à biblioteca, Traslate refere-se ao comado de traslação e f refere-se ao tipo do parâmetro ser do tipo float. Utilizar este comado resultaria uma mudaça de lugar do objeto, levar de um poto a outro. Alisado a trasformação de escala, tem-se o seguite comado: glscalef ( scalx, scaly, scalz ); O comado glscalef refere-se às mudaças das escalas referetes às três dimesões do objeto, com os seguites parâmetros: o valor do º parâmetro (referete à coordeada x) dado pelo valor da variável scalx, o valor do º parâmetro (referete à coordeada y) dado pelo valor da variável scaly e o valor do 3º parâmetro (referete à coordeada z) dado pelo valor da variável scalz. Com relação ao padrão de omeclatura, gl refere-se à biblioteca, Scale refere-se ao comado de mudaça de escala e f refere-se ao tipo do parâmetro ser do tipo float. Utilizar este comado resultaria uma mudaça de altura, largura e comprimeto do objeto. Fialmete, aalisado a trasformação de rotação, tem-se os seguites comados: glrotatef ( agx,.0, 0.0, 0.0 ); glrotatef ( agy, 0.0,.0, 0.0 ); glrotatef ( agz, 0.0, 0.0,.0 ); 84

97 cada um dos três comados refere-se à rotação com relação ao eixo x, y e z, respectivamete. Aalisado o primeiro comado, tem-se os seguites parâmetros: o valor do º parâmetro (referete ao valor do âgulo em graus) dado pelo valor da variável agx, o valor do º parâmetro (referete à rotação em relação ao eixo x) dado pelo valor.0, o valor do 3º parâmetro (referete à rotação em relação ao eixo y) dado pelo valor 0.0 e o valor do 4º parâmetro (referete à rotação em relação ao eixo z) dado pelo valor 0.0. Com relação ao padrão de omeclatura, gl refere-se à biblioteca, Rotate refere-se ao comado de mudaça de escala e f refere-se ao tipo do parâmetro ser do tipo float. Utilizar este comado resultaria uma rotação do objeto em relação ao eixo x. Aalogamete, o segudo refere-se à rotação do objeto em relação ao eixo y e o terceiro comado é uma rotação em relação ao eixo z. Às vezes é desejável aplicar as trasformações sobre objetos que compõem um objeto maior, e mater os vículos etre os objetos, para que ão haja um desmembrameto do mesmo. Tomado como exemplo um trator, quado as rodas giram, todo o trator se move, as rodas matém seus cetros ligados ao trator, e quado a pá do trator move-se para cima ou para baixo, os cetros dos braços mecâicos matém suas posições relativas ao trator. Para se ter um efeito aálogo, usa-se de estruturas hierárquicas. Utilizado-se do comado glpushmatrix glpushmatrix(); empilha-se a matriz de trasformação correte (matriz que guarda todas as trasformações já utilizadas) e para desempilhar utiliza-se o comado glpopmatrix glpopmatrix(); dessa forma pode-se acumular ou desacumular trasformações...4. Visualização Iicialmete, tem-se dois sistemas de referêcia a serem cosiderados: o do uiverso (usado a geração dos objetos) e o da tela (usado para especificar a área do moitor a ser usada). 85

98 A seguir delimita-se a região do moitor em que será visualizado o ambiete criado, que é a jaela, usado do sistema de referêcia do moitor. A jaela de é defiida pelos comados glutiitwidowsize ( largura, altura ); glutiitwidowpositio ( x, y ); glutcreatewidow ("Nome da jaela"); ode o comado glutiitwidowspositio posicioa a jaela com relação ao moitor, o parâmetro x (do tipo iteiro) refere-se à distâcia do cato esquerdo da jaela ao cato esquerdo do moitor e o parâmetro y (do tipo iteiro) refere-se à distâcia do cato superior da jaela ao cato superior do moitor. O comado glutiitwidowsize defie as dimesões da jaela, o parâmetro largura (do tipo iteiro) defie a largura da jaela e o parâmetro altura (do tipo iteiro) defie a sua altura. O comado resposável pela criação da jaela de exibição é o glutcreatewidow que recebe como parâmetro o ome da jaela. Detro da jaela, pode-se delimitar a região que será usada, chamada de jaela de exibição. A região (retâgular) é delimitada usado o comado glviewport glviewport (x, y, (GLsizei) largura, (GLsizei) altura); ode o parâmetro x (do tipo iteiro) refere-se à distâcia do cato esquerdo da jaela de exibição ao cato esquerdo da jaela, o parâmetro y (do tipo iteiro) refere-se à distâcia do cato superior da jaela de exibição ao cato superior da jaela, o parâmetro largura (do tipo iteiro) refere-se à largura da jaela de exibição e o parâmetro altura (do tipo iteiro) refere-se à altura da jaela de exibição. A delimitação da região do ambiete que será observada é deomiada de jaela de seleção. A jaela de seleção faz uso do sistema de referêcia do uiverso. Para o caso de ambietes bidimesioais, usam-se os comados glmatrixmode ( GL_PROJECTION ); glloadidetity ( ); gluorthod ( esquerda, direita, iferior, superior ); ode o comado glmatrixmode defie qual matriz a se trabalhar, GL_PROJECTION selecioa a matriz de projeção, glloadidetity iicializa a matriz com a matriz idetidade, 86

99 o comado gluorthod defie a região (retâgular) do ambiete gráfico que será visualizado (usado de parâmetros do tipo precisão dupla - double), o parâmetro esquerda defie a posição do cato esquerdo da jaela de seleção (valor míimo de x), o parâmetro direita defie a posição do cato direito da jaela de seleção (valor máximo de x), o parâmetro iferior defie a posição do cato iferior da jaela de seleção (valor míimo de y) e o parâmetro superior defie a posição do cato superior da jaela de seleção (valor máximo de y). No caso de se usar um ambiete tridimesioal, a região a ser visualizada trata-se de um volume que é determiado depededo do tipo de projeção escolhida. A projeção trata-se do mapeameto do ambiete tridimesioal para um plao bidimesioal, que represeta a imagem formada o moitor. Existem dois tipos de projeções: a projeção paralela ortográfica (ode são matidas as escalas, idepedete da posição em que se ecotra o objeto em relação ao volume de visualização) e a projeção perspectiva (ode há variação da escala depededo da distâcia em que se ecotra o objeto o volume de visualização, criado a sesação de profudidade). Figura Projeção paralela ortográfica Os comados para a visualização em projeção paralela ortográfica são: 87

100 glmatrixmode ( GL_PROJECTION ); glloadidetity ( ); glortho ( xmi, xmax, ymi, ymax, zear, zfar ); o comado glmatrixmode defie a matriz que será trabalhada, o parâmetro GL_PROJECTION selecioa a matriz de projeção, o comado glloadidetity iicializa a matriz com a matriz idetidade e o comado glortho refere-se à projeção paralela ortográfica, seus parâmetros são do tipo de precisão dupla (double) e estão demostrados a fig.. Todos os objetos (ou as partes deles) cotidos o espaço defiido etre os plaos frotal e traseiro serão os visualizados, os demais ão aparecem a visualização. Figura 3 Projeção perspectiva Os comados para a visualização em projeção perspectiva são: glmatrixmode ( GL_PROJECTION ); glloadidetity ( ); gluperspective( ag, razao, zear, zfar ); o comado glmatrixmode defie a matriz que será trabalhada, o parâmetro GL_PROJECTION selecioa a matriz de projeção, o comado glloadidetity iicializa a matriz com a matriz idetidade e o comado gluperspective refere-se à projeção 88

101 prespectiva, seus parâmetros são do tipo de precisão dupla (double) e estão demostrados a fig. 3, com exceção do parâmetro razão, que é a razão de quatas vezes a largura é maior que a altura. Da mesma forma que a projeção paralela ortográfica, todos os objetos (ou as partes deles) cotidos o espaço defiido etre os plaos frotal e traseiro serão os visualizados, os demais ão aparecem a visualização. Para a projeção perspectiva pode-se usar também estes comados: glmatrixmode ( GL_PROJECTION ); glloadidetity ( ); glfrustum ( xmi, xmax, ymi, ymax, zear, zfar ); ode o comado glfrustum também represeta a projeção perspectiva, mas com parâmetros diferetes (todos estão demostrados a fig. 3). Defiido o volume de visualização, basta defiir agora os atributos da câmera, dados pelos comados: glmatrixmode(gl_modelview); glloadidetity(); glulookat ( xeye, yeye, zeye, xaim, yaim, zaim, xup, yup, zup ); o comado glmatrixmode defie a matriz que será trabalhada, o parâmetro GL_MODELVIEW selecioa a matriz do modelo, o comado glloadidetity iicializa a matriz com a matriz idetidade e o comado glulookat refere-se à câmera, seus parâmetros são do tipo de precisão dupla (double) e estão demostrados a fig. e a fig. 3, são eles: xeye, yeye e zeye defiem a posição da câmera o sistema de referêcia do uiverso, xup, yup e zup defiem a orietação da câmera (se está a horizotal, a vertical, para cima, para direita, etc.) e os três últimos, xaim, yaim e zaim defiem ode a câmera está mirado. 89

102 3. METODOLOGIA 3.. Materiais O computador em que o programa foi implemetado costitui de um processador Itel Petium D 945 de 3,4GHz, com xmb de memória cache L, placa mãe Asus P5VDC-X,,5GB de memória RAM Kigsto 533MHz DDR, placa de vídeo VIDIA GeForce 600 TurboCache (MSI NX600TC-E) com velocidade de GPU de 350MHz e velocidade da memória dedicada de 300MHz, com 64MB de memória dedicada e 495MB de memória compartilhada. O programa foi implemetado usado a liguagem de programação C++ utilizado-se do compilador do Microsoft Visual Studio 008 e biblioteca gráfica GLUT (OpeGL Utility Toolkit) o ambiete Microsoft Widows XP. 3.. Desevolvimeto O projeto exposto teve sua implemetação iiciada em ovembro de 007, começado-se pela implemetação das fuções elemetares por meio da expasão em séries de potêcias (fuções seo, tagete, expoecial, etc.). Essas fuções auxiliam a costrução das equações que o projeto visa como resultado e a sua represetação gráfica. As fuções usadas são aproximações de fuções elemetares por poliômios. Como visto ateriormete, tais fuções são represetadas por séries de potêcias cotedo ifiitos termos. Por motivos de praticidade (pois é impossível um cálculo com ifiitos termos), cosidera-se somete uma parte iicial da série, somete os primeiros termos, causado um erro de trucameto, devido a essa aproximação. O erro de trucametos é o erro causado quado a partir de um certo termo, começa-se a desprezar os demais, torado a série que ates cotiha um úmero ifiito de termos em uma série cotedo um úmero fiito de termos. Quato maior o úmero de termos cosiderados o cálculo, maior será sua precisão, em cotrapartida, mais tempo se levará para o cálculo. Quato meor for o úmero de termos cosiderados, meor é a precisão e meos tempo se gasta. Nem sempre é uma tarefa fácil delimitar o erro, mas em séries alteradas (que possui termos positivos e egativos itercalados) pode-se cosiderar o erro através do

103 termo descartado que é posterior ao último termo cosiderado. Por isso, o caso das séries de potêcias foi cosiderado para defiir até que termo seria cosiderado, o seguite critério: ecotrado o termo com valor absoluto meor que o erro, cosidera-se os termos ateriores a ele. Procurou-se superestimar o erro para evitar que discrepâcias aparecessem. No decorrer da implemetação das fuções elemetares, observou-se que para valores egativos grades, a fução expoecial passava a ser egativa, o que ão deveria ocorrer, devido ao fato de que expasão em série de Taylor garatiria sempre um valor positivo desta fução, ao meos teoricamete, mas devido a represetação dos úmeros o computador ser em biário, algumas frações que em decimal ão são dízimas periódicas, em biário acabam se torado. Além disso, há um tamaho de memória limitado para se represetar os úmeros, ultrapassado esse tamaho ocorre o trucameto. Esses erros podem ser acumulados a cada parcela da qual costitui o cálculo da fução expoecial, e em um dado mometo tora-o egativo. Para cotorar tal problema, quado o expoete era egativo, de acordo com a propriedade de poteciação, fazia-se a seguite substituição b a (398) b a Outro problema ecotrado foi que a dedução da fórmula do poliômio de Legedre iicia-se com o termo de maior potêcia e a partir dele vai decaido para o termo de meor potêcia. Para reduzir o úmero de cálculos, utilizado-se do primeiro termo (o de maior potêcia), poderia calcular os demais termos, e para decair a potêcia, basta dividir (utilizado-se das propriedades de divisão de potêcias de mesma base) P x m0 m0 m! m m x m! m! m! m m! x m! m! m! x 9 m (399) Mas ocorre o problema que quado a o valor da variável x for ulo, a divisão ão é possível. Assim para cotorar esse problema, recorreu-se à fórmula de recorrêcia para este poliômio, e também para outros, matedo assim o reaproveitameto dos cálculos, aumetado a velocidade do algoritmo. Algumas fórmulas possuíam frações com umerador e deomiador compostos de fatoriais, que cresciam muito rápido, a pricípio, uma solução pesada era a de trasformar

104 as frações em multiplicações de frações cotedo cada uma um fator do fatorial, por exemplo! m! m m m (400) mas foi descartada essa hipótese, pois poderia iserir muitos erros de trucameto das operações de divisão. As fórmulas escritas em séries de potêcias possuem como critério para parar o somatório quado o termo sedo calculado for meor que o erro especificado. No geral as fórmulas covergem rápido, torado seu processo de cálculo eficaz. A implemetação gráfica decorreu de forma traqüila, tedo como dificuldade somete as escolhas dos valores que as variáveis assumiriam. No uso da computação gráfica, as valores passados para as rotias de deseho estão represetados em coordeadas cartesiaas, assim fez-se ecessário algumas vezes de coversões do sistema polar para o cartesiao. 9

105 4. RESULTADOS Neste projeto apresetou-se que uma partícula é totalmete defiida a partir de sua fução de oda, e que qualquer quatidade física relacioada à partícula, pode ser obtida a partir de sua fução de oda. Viu-se que as quatidades físicas são geralmete represetadas por operadores hermitiaos. Também apresetou-se que o quadrado do módulo da fução de oda de uma partícula, sigifica a distribuição de probabilidade da mesma. A seguir mostra-se algus gráficos relacioados à fução de oda para o oscilador harmôico simples. Figura 4 Fução de oda dos primeiros quatro estados estacioários do oscilado harmôico simples O quadrado das fuções de oda retora a desidade de probabilidade do oscilador harmôico simples Figura 5 Distribuição de probabilidade dos primeiros quatro estados estacioários do oscilador harmôico simples A seguir apreseta-se gráficos referetes à desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. O úcleo do átomo possui uma massa de cerca de 000

106 vezes a massa do elétro, assim pode-se cosiderá-lo imóvel. É feita uma comparação com gráficos dispoibilizados pelo site do Maple ( há somete uma pequea difereça, referete ao fato dos gráfico coseguido a partir do algoritmo estar rotacioado em 90 com relação ao outro gráfico. Figura 6 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =, l = 0, m = 0 Figura 7 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =, l = 0, m = 0 94

107 Figura 8 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =, l =, m = 0 Figura 9 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: =, l =, m = Figura 0 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: = 3, l = 0, m = 0 95

108 Figura Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: = 3, l =, m = 0 Figura Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: = 3, l =, m = 96

109 Figura 3 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: = 3, l =, m = 0 Figura 4 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: = 3, l =, m = Figura 5 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: = 3, l =, m = 97

110 Figura 6 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: = 4, l = 0, m = 0 Figura 7 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: = 4, l =, m = 0 98

111 Figura 8 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: = 4, l =, m = Figura 9 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: = 4, l =, m = 0 Figura 0 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: = 4, l =, m = 99

112 Figura Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: = 4, l =, m = Figura Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: = 4, l = 3, m = 0 Figura 3 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: = 4, l = 3, m = 00

113 Figura 4 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: = 4, l = 3, m = Figura 5 Desidade de probabilidade para o elétro do átomo de hidrogêio. Distribuição ao logo do plao xy (gráfico da esquerda obtido pelo algoritmo, gráfico da direita obtido através do software Maple). Números quâticos: = 4, l = 3, m = 3 Esses gráficos represetam a chace de se ecotrar o elétro o átomo de hidrogêio. É possível otar que é ula a probabilidade de se ecotrar o elétro o cetro do átomo, ou seja, o úcleo. Nota-se que os gráficos que possuem os úmeros quâticos l 0 e m 0 possuem semelhaças, tratam-se de círculos cocêtricos. Percebe-se também que todos os gráficos possuem simetrias. 0