MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia IV 2 o Semestre de a Lista de exercícios. x 2. + d) x. 1 2 x3. x x8.

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1 MAT456 - Cálculo Diferecial e Itegral para Egeharia IV o Semestre de 6 - a Lista de exercícios. Obter uma expressão das somas das séries abaixo e os respectivos raios de covergêcia, usado derivação e itegração termo a termo, se ecessário. a x + x + x + + x x + b x + x x + + c x + x + x x x + d x + x5 x e + x + x x + f x + x + x + + x + g x + x + x x + h x x + x4 4 x i + 4x + 9x + 6x + j x + x + x + 4 x 4 + k 4 + 5x + 6x + 7x + l x x8 8 + x +. Utilizado as somas das séries obtidas o exercício aterior, calcule: a b c 5.. Mostre que x = 6 x Utilizado o desevolvimeto em série, obteha um valor aproximado de a e, com erro iferior a 5 c l e l, com erro iferior a 5 e /4, com erro iferior a 5 5. Utilizado série de Taylor calcule d arctg dx e d arctg dx. = b se, com erro iferior a 5 e a 7 d arctg/ e arctg/, com erro iferior a 5 6. Dê a série de Taylor de fx cetrada o, idicado os itervalos de covergêcia a fx = x e x b fx = l x c fx = sex d fx = cos x e fx = x cosx f fx = x arctg x 7. Desevolva em série de potêcias de x as seguites fuções, idicado os itervalos de covergêcia, e calcule f com erro iferior a 6, sedo que as fuções dos ites a e c são defiidas em t = como valedo : a fx = se t t dt b fx = e t dt c fx = l + t t dt d fx = set dt 8. Utilizado a expasão em série de potêcias das fuções evolvidas, calcule os seguites limites se x cos x x se x a lim b lim x x x x c lim x x cos x x + x4 4! se x x x! + x5 5! d lim e lim x + x + x α x α

2 9. Ache a série de Fourier de fx, determie soma da série e faça os gráficos de f e da fução soma da série ecotrada: { { a, < x ax, < x a fx = b fx = b, < x bx, < x c fx = x, < x d fx = e ax, < x, a e fx = seax, < x, a / Z f fx = ax + b, < x g fx = cos x, < x. Ache a série de Fourier de seos de f, a série de cosseos de f, determie a soma de cada uma delas e faça os gráficos de f e da soma de cada uma das séries ecotradas: a fx = ax, x b fx = x, x c fx = ax + b, x d fx = se x, x e fx = cos x, x. Mostre que a = 4 se x + se x + se 5x +, < x < ; 5 b x = se x + se x + se x +, < x < ; c x = cos x cos x + 4 cos x + +, < x < cos 6x d x x = 6 cos x + cos 4x + e x x = 8 se x se x + + +, < x < se 5x 5 +, < x <. Verifique as seguites igualdades, usado o exercício aterior a 4 = c = e 4 = + + b d Calcule a soma das séries a + b 6 = = Determie c, c, c de modo que as itegrais abaixo assumam o meor valor possível: a c [x c se x c se x c se x] dx b [ cos x c c se x c cos x] dx [x c ] dx 5. Ache a série de Fourier da fução fx periódica de período e que satisfaz fx = x se x <. Qual a soma de série quado x = 999/? E quado x = 999? 6. a Obteha a série de Fourier da fução ímpar fx, periódica de período 4, e que satisfaça fx = x se x e fx = f x se x <. x b Ecotre b, b, b,... tais que b se = x se < x < f x = fx; < x < x c Ecotre c, c, c,... tais que c se = x se < x < f x = fx; < x < d Quato vale a soma de série do item c quado x =? E quado x =?

3 7. Obteha costates a e b tais que a série de seos de fx = x + ax em [, ] seja da forma 8. Usado a fórmula de Parseval prove que a 4 9 = 4 b sex b = 6 9. Calcule a 4 b 4. a Dê fórmulas para as costates a,, b,, tais que a + a cos x + b se x = x.e x, < x < b Determie a soma da série para x = e para x =.. Ecotre costates a, a,..., a que miimizem a expressão [ a x + a k cos kx] dx.. Ache a solução geral da equação diferecial dada, em série de potêcias cetradas em. y xy y = y x y = y + xy + 4y =. Uma equação diferecial da forma x y +xy +x p y =, ode p é um umero real fixado, é chamada equação de Bessel de ordem p. a Se p =, mostre que y = x e y! = y l x + + +! x são soluções LI da equação de Bessel. b Se p = mostre que y = x x! + x4 4!! x6 6!!4! +... é solução. 4. A equação diferecial x y xy + αα + y =, α R, é chamada equação de Legedre. Mostre que k= e y = + αα α 4...α m + α + α +...α + m m! m= x m y = x + m α α...α m + α + α α + m m +! m= são soluções idepedetes da equação de Legedre, o itervalo x <. x m+ Respostas

4 + x. a l x b l + x c l x g x x h +x l+x x i. l ; 6; 6 5 l e! a c e a c d arctg x e x + x, x R b!, x x 4+, x R d + x +!, x R! x + x +, x R b, x! + x + + +!, x R b x, < x d x f x x + x x j x + 4x + x x 4 k 4 x x l 4 l x4. x + +!, x R x !, x R 8. a b c 6 d 6!, se α = 6;, se α < 6 ;, se α > 6 9. e 7!, se α = 7;, se α < 7 ;, se α > 7 a b c d e f a+b + b a se x. soma: a, se k < x < k; b, se k < x < k + ; a+b, se x = k, k Z b a 4 + a b cos x a + b sex. soma: ax, se k < x k; bx, se k x < k + ; b a, se x = k +, k Z. 4 cos x soma: x, se x e sua extesão periódica para x R. siha a + siha a cosx sex. + a soma: e ax, se < x < ; cosha se x = ±, e a sua extesão periódica para x R sea a sex soma: seax, para < x < ; para x = ± e a sua extesão periódica para x R. sex b + a. soma: ax + b, para < x < ; b, para x = ±, e sua extesão periódica, para x R. cosx g + 4 soma : cos x, para x R 4

5 . a b c a sex soma : ax, para < x < ; para x = ±, e sua extesão periódica para x R. a 4a cos x, soma : a x, para x e sua extesão periódica para x R. sex 8 se x. soma : x para x < ; x, para x ; para x = ± e sua extesão periódica para x R + 4 cosx. soma : x, para x e sua extesão periódica para x R b a + b sex. soma : ax b, para < x ; ax + b, para < x <,, para x = ±, e sua extesão periódica para x R. a + b 4a cos x. soma : a x + b, para x e sua extesão periódica de a x + b para x R. d se x, soma : se x, para x R; cosx 4, soma : se x para x R e se x + = + se x, soma : cos x para x e cos x para x, x k e para x = k, k Z. + cosx 4, soma : cos x, para x R. a usar a em x = / b usar c em x = c usar e em x = / d usar e em x = /4 e usar b em x = /4. a 8 b 4. a c =, c =, c = c c =, c =, c = 5. + cosx sex 6. b c = S999 = / e S999/ = /4. 5

6 a 8 k= k k + + x sek. b b = 8 para. c c = 4 + 8, para. d S = S = ; S = S = 7. a =, b = 8. a Use fx = x b Use exercício a 4 b x. y = C! + C! +! x+ x ; y = C C y = C x C x +! x ; 6