LIMITE DE UMA FUNÇÃO

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1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO Nice Maria Americao costa Pito UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INTRODUÇÃO Um pouco de história Cálculo Diferecial e Itegral; séculos XVI e XVII, Newto e Leibiz. iteresses de cálculos difereciação itegração) O Cálculo Diferecial Grécia Atiga: tagetes a curvas, reta e curvas; sua itersecção Século XVII, as órbitas dos plaetas. Newto: calcular as órbitas de plaetas, cosiderar a corda de um arco, Curva da trajetória: limite de pequeas cordas ecadeadas umas às outras. O Cálculo Itegral área subtedida por curva limite de uma soma áreas de retâgulos iseridos sob a curva. Limite de uma fução Século XIX; Bolzao 87), técica do epsilo, e delta, ; Cauchy 8),a essêcia da idéia; Weierstrass 8 e 8), a oção de forma rigorosa.

2 Vizihaça de um poto Para um valor arbitrariamete pequeo >, a vizihaça de a é o cojuto dos compreedido pelo itervalo a a a- a a a a Limite de uma variável Se -a valer para todo >, arbitrariamete pequeo, dizemos que a variável tem um limite e tal limite vale a. Simbolicamete, a, lim a a- a a Os valores, e da variável, estão a viziha de a. Isto é, os valores i estão o itervalo a- i a i,,)

3 . é a variável de valores Eemplos,,,... Essa variável tem um limite que é. uma vizihaça de cetro em, com raio ; devemos calcular, para provar que a iequação -. O poto de partida será portato a epressão, i.e. calcular quato ela vale; para ou > ) é o cojuto dos :,,, e>/,. e, satisfaz a codição e todos os valores da variável ficam a vizihaça -,, o.termo o.termo,, o.termo o.termo ) é o cojuto dos :,,,,, >/,., satisfaz a codição e todos os valores da variável ficam a vizihaça -,, o.termo o.termo, o.termo,, o.termo o.termo o.termo ) é o cojuto dos :,,,,,,,,,, >/,7., satisfaz a codição e todos os valores da variável ficam a vizihaça -, o.termo, o.termo, o.termo, o.termo,, o.termo o.termo o.termo o.termo o.termo o.termo,,7 o.termo o.termo

4 . é a variável de valores,,,... ) Essa variável tem um limite que é. uma vizihaça de cetro em, com raio ; devemos calcular. ) log log > log > log para ou > ou aida 7 ) é o cojuto dos :,,, >/,., satisfaz a codição e todos os valores da variável ficam a vizihaça -,, o.termo o.termo,,7,, o.termo o.termo ) é o cojuto dos :,,,,87, >/,., satisfaz a codição e todos os valores da variável ficam a vizihaça -,, o.termo o.termo,87 o.termo,,7,, o.termo o.termo o.termo ) é o cojuto dos :,,,,87,,, 987,, >/,., satisfaz a codição e todos os valores da variável ficam a vizihaça -,,,87, o.termo o.termo o.termo o.termo,,7,, o.termo o.termo o.termo o.termo o.termo o.termo,987, o.termo 8 o.termo

5 . X é uma variável de valor costate c Essa variável tem um limite que é c, aida que pareça estraho. uma vizihaça de cetro em c, com raio ; devemos calcular. c c c para > c 9 Observações. Uma variável ão pode ter dois limites diferetes, a e b. se lim a e lim b a e b impossível para b a a b b-a)/. Não se imagie que toda variável tem um limite.

6 VARIÁVEL INFINITAMENTE GRANDE a variável tede ao ifiito, se, p/ cada úmero positivo M, pode-se Idicar um valor de, a partir do qual, todos os valores subseqüetes da variável verificam : > M Seja a variável o {,,,,...}, mostrado a figura abaio. X- A partir de, todo valor subseqüete da variável é maior que o atecedete; para M, i >M, p/ i,,7... Limite de uma fução Seja Yf )uma fução defiida as vizihaças do poto a, ou, em certos potos desta vizihaça. A fução tede a b, quado tede a a, ou lim a f ) b se, para cada úmero positivo >, tão pequeo quato se queira, pode-se idicar um > tal que, para todo diferete de a, verificado - p, a desigualdade f) - l, fica satisfeita. Diz-se etão que b é o limite de f). b a

7 Eemplos lim ) lim ) 7 lim lim? lim? Os resultados dos limites das fuções e demostram que o cálculo do limite ão se faz por uma simples substituição direta do valor para o qual a variável tede. Veremos que eistem resultados para tais limites lim ) Cálculo pela defiição Se é o lim fx), quado, temos que ter: ) 7

8 8 ) 7 7 ) lim Se 7 é o lim fx), quado, temos que ter: ) / lim

9 9 7 ) lim 8 ) ) lim