a) n tem raio de convergência 1=L.

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1 3. SÉRIES DE OTÊNCIAS SÉRIES & EDO :::: :::::::::::::::::::::::::::: FUNDAMENTOS GERAIS. Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justi que. (a) Se a série c diverge em = ; etão ela diverge em = 3. (b) Se a série c coverge em = ; etão ela coverge em = 3: (c) Se jc j é covergete, etão c é absolutamete covergete o itervalo [ ; ]. (d) Se uma série de potêcias é absolutamete covergete em um dos etremos de seu itervalo de covergêcia, etão ela também coverge absolutamete o outro etremo. (e) Se R é o raio de covergêcia de c ; etão p R é o raio de covergêcia de c. (f) Se lim p jc j = L > ; etão a série c ( a) tem raio de covergêcia =L. (g) Uma série de potêcias c pode covergir apeas em dois valores de : (h) Se uma série de potêcias coverge em um etremo de seu itervalo de covergêcia e diverge o outro, etão a covergêcia aquele etremo é codicioal. (i) Se c tem raio de covergêcia e d tem raio de covergêcia 3, etão o raio de covergêcia de (c + d ) é R = :. Em cada caso, determie o itervalo de covergêcia da série de potêcias. (a) ( 3) (b) + = ( 4) (c) 3 5 : : : ( ) + = 4 6 : : : () (d) ( ) + (e) ( ) 3 (f) 3 5 : : : ( ) 4 6 : : : () (g) = (j) (m) = ( ) (l ) (3 ) p (p) arctg = (h) = (k) () = (q) = ( + 5) ()! = (i) ( ) + = ( )! (l) p 3 5 : : : ( + ) ( ) ( + ) 3 (o) = ( ) ( + ) 3 (r) = ( ) + ( 3) 4 = (5 + 5 ) ( + ) 3 :

2 SÉRIES & EDO MARIVALDO. MATOS 3. Começado com a fórmula =, válida para jj < ; represete cada fução por uma série de potêcias de : Em cada caso determie o raio e o itervalo de covergêcia. (a) (b) + 4 (c) (d) 4 (e) (i) 3 (f) + ( ) (j) 3 ( + ) (g) l ( ) (h) (k) 4. Use a série de e e calcule o valor da soma 5. Represete 6. Represete e ( ) 3 (l) ( ) : 3 ( 4 ) 6 : ( ) em séries de potêcias de e use o resultado para mostrar que em série de potêcias de e, por derivação termo a termo, prove que: X = ( + )! = : 7. Represete e em série de potêcias de e, derivado o resultado, prove que = = : X ( ) ( + ) + = = 8: 8. No itervalo < < 4, mostre que: l = l + X = ( ) + ( ) : 9. Itegrado de = até = uma série de potêcias que represeta a fução e, mostre que: X = ( + ) = :. Com auílio da série de potêcias de arctg, mostre que: 6 = p X ( ) 3 3 ( + ) :. Em cada caso, use uma série de potêcias adequada e aproime a itegral com duas casas decimais. (a) Z =3 d + 6 (b) Z :5 ep 3 d:

3 COMLEMENTOS & EXERCÍCIOS SÉRIES DE OTÊNCIAS 3. Ideti que a fução do cálculo de ida pela série ( + ), o itervalo jj < : 3.. :::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: SÉRIE DE TAYLOR & SÉRIE MACLAURIN. Represete as seguites fuções em séries de potêcias de : (a) f () = e (b) f () = se (c) f () = 3 + (d) f () = l + (e) f () = se (f) f () = cos (g) f () = e 4 (h) f () = se (i) f () = seh (j) f () = se 4 (k) f () = cosh (l) f () = cos 3. Em estatística a fução E () = p Z e t dt recebe o ome de Fução Erro. Ecotre a Série de Maclauri da fução E () : 3. Determie as costates a ; a ; a ; a 3 e a 4, de modo que: = a 4 ( ) 4 + a 3 ( ) 3 + a ( ) + a ( ) + a : 4. Em cada caso, ecotre a epasão de Taylor da fução f em toro do poto idicado. (a) f () = p ; a = 9 (b) f () = tg ; a = (c) f () = cos ; a = =3 (d) f () = e ; a = 4 (e) f () = 3p ; a = (f) f () = se ; a = =6 (g) f () = ; a = (h) f () = ; a = (i) f () = 3 + ; a = 3 : 5. Qual a Série de Maclauri do poliômio () = a + a + a + + a? 6. Ecotre uma série de potêcias de para represetar a fução f () = cos cos resultado, coclua que lim = :! e, usado o 7. Determie uma série de potêcias de + para a fução f () = e e uma série de potêcias de para g () = l : 8. Uma fução f : R! R, i itamete derivável, é tal que f () = f () ; f () > ; 8 ; e f () = : Represete a fução f () por uma série de potêcias de : Idem para uma fução g () com as propriedades: g () = ; g () = e g () = g () ; 8 R:

4 4 SÉRIES & EDO MARIVALDO. MATOS 9. reecha a tabela com os valores das derivadas idicadas, cosiderado as seguites fuções: f () = se ; g () = cos ; h () = l + e p () = Z e t dt. f (5) () f (8) () g (6) () h () () p (7) (). Estime o erro cometido ao substituir, o itervalo jj < :; o valor de cos por =: 3.3. :::: ::::::::::::::::::::: SÉRIE BINOMIAL A epasão biomial ( + y) k = k + k k y + simbolicamete represetada por: k (k ) k y + + y k ; k = ; ; 3; : : : ; (.)! ( + y) k = kx j= k j y k j e cohecida por biômio de Newto, foi geeralizada por volta de 665 por Newto, o caso em que o epoete k é um úmero fracioário positivo ou egativo, ode ele obteve uma epasão em série i ita para ( + y) k : Motivados pela fórmula biomial de Newto (.) ecotra-se a seguite epasão em série de potêcias para a fução f () = ( + ), sedo um úmero real qualquer, a qual será a série de Maclauri de f: j ( + ) = + + ( )! + + ( ) ( + ) + ; jj < : (.) cujo -ésimo termo é a = ( ) ( + ), temos que: lim a + a = lim jj + = jj e, portato, a série biomial coverge absolutamete quado jj < e diverge quado jj >. Eemplo itervalo ( Uma maeira de obtermos um valor aproimado de p +, para um dado valor de o ; ), é usado a série biomial. Neste caso temos = =, de modo que p + =

5 COMLEMENTOS & EXERCÍCIOS SÉRIES DE OTÊNCIAS 5 e, depededo da situação, podemos cosiderar apeas os dois ou os três primeiros termos da série para a aproimação. ecotramos: Cosiderado = : e aproimado a série por seus três primeiros termos, p : ' + (:) 8 (:) ' :95:. Calcule Z p 3 d com 4 casas decimais.. Se jj < :, qual o erro cometido ao substituir p + por + =? 3. Usado a série biomial para 3p +, calcule o valor de 3p 5 com 3 casas decimais e compare o valor com o resultado obtido em uma calculadora. 4. Usado a série biomial para f () = p arcse = + X =, mostre que: 3 5 : : : ( ) + ( + ) ; jj < : RESOSTAS & SUGESTÕES 3. EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMLEMENTARES ::::. Associe as a rmações verdadeiras aos fatos teóricos e as falsas a um cotraeemplo. (a) (V) (b) (F) (c) (V) (d) (V) (e) (V) (f) (V) (g) (F) (h) (V) (i) (V). (a) f3g (b) ( ; ) (c) ( ; ) (d) ( ; ) (e) ( ; 4) (f) ( ; ) (g) ( ; ] (h) [ 6; 4] (i) ( ; ) (j) fg (k) ( ; ) (l) ( ; ) (m) (; 4] () ( ; 4] (o) (; 4) (p) ( ; ) (q) ; (r) j + j = 3p 5: 3. Em algus casos use o processo de Derivação ou Itegração termo a termo. or eemplo, a série (i) é obtida por derivação da série (c). (a) (b) (c) + = ( ) + ; jj < : 4 = 4 ; jj < : = + ; jj < :

6 6 SÉRIES & EDO MARIVALDO. MATOS (d) (e) (f) 4 = 3 = ( + ) = (g) l ( ) = (h) (i) 4 ; jj < =4: 3 + ; jj < =3: + = Z 3 ( 4 ) = = + ( ) = ( ) + ; jj < : t t = Z 4 ; jj < : ( + ) ; jj < : t dt = (j) 3 = ; jj < : (k) ( ) 3 = ( + ) ( + ) ; jj < : (l) 6 = 5 4. ep ( =) : ( ) = d d e 7. Fazer. = k= 3 ( + =3) + ( =) + ; jj < : + ( = 5 ) = ; jj < : Agora, cosidere = =: = k k! ) d e = (k ) k = d k! 8. O poto de partida é a série geométrica = X k= que, após itegração termo a termo, os dá: 9. Fazer. l l = X ( ) ( ) = + ; < < 4; ( ) ( ) + ( + ) + = (reidear: + = k) = ; jj < :. Agora faça = : ( + )! X k= ( ) k ( ) k k k :. Basta observar que 6 = arctg =p 3 e cosiderar = = p 3 a série de arctg :

7 COMLEMENTOS & EXERCÍCIOS SÉRIES DE OTÊNCIAS 7. (a) :399 (b) :4849:. f () = ( ) ; < < : 3. EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMLEMENTARES ::::. Algumas séries podem ser obtidas a partir de represetações cohecidas. or eemplo, se a série de e substituirmos por obtemos uma série para ep. (a) e = ( ) ; R (b) se = ( ) + ; R ( + )! (c) 3 + = 3 (l 3) ; R (d) l + = ( ) + ; jj < + (e) se = (g) e 4 = e 4 (i) seh = (k) cosh = ( ) +3 ; R (f) cos = + ( + )! ( ) ; R (h) se = = + ( + )! ; R: (j) se (4) = ()! ; R (l) cos (3) = = ( ) () ; R ()! ( ) () ; R ()! ( ) ; R ( + )! ( ) 3 ; R ()!. Itegrado a série obtida o Eercício 3.(a) de até, obtemos E () = p 3. a = 6; a = ; a = ; a 3 = 5 e a 4 = 3: ( ) + ( + ) : 4. A série de Taylor em toro de = a de uma fução f () ; i itamete derivável o itervalo j aj < R; vem dada por: f () = X f () (a) ( a) : No caso em que a =, a série correspodete é cohecida pelo ome de Série de Maclauri de f: (a) p = ( 9) + ( ) + :3:5: : : : : ( 3) 3 ( 9) : (b) tg = ; = < < =: (c) cos = p p 3 ( =3) 4 ( =3) + 3 ( =3)3 : (d) e = e 4 :e 4 = e 4 ( 4) :

8 8 SÉRIES & EDO MARIVALDO. MATOS (e) 3p = + ( ) =3 ( ) =3 + 5 ( ) 3 =3 4 : (f) se = p p + 3 ( 6 )! ( 3 6 ) (g) = ( ) ( + ) ( ) ; < < : (h) (i) 3 = 3 + = ( ) ( ) + : 3! ( ( ) ( 3) 7 + ; < < 3 : 5. () = a k k ; sedo a k = para k + : k= 6. Temos que: 6 )3 + : cos = ( X ( ) ) = ()! X ( ) = ()! = + 3 4! 5 6! + 7 8! e daí segue que lim( cos ) = :! 7. e = e ( + ) ; R e l = ( ) ( ) + ; < < : + 8. f () = e g () = ( ) + : ( + )! 9. f (5) () = ; f (8) () = 8; g (6) () = 6! 8! ; h() () =! ; p(7) () = 6! 8! :. jej :6 4 : 3.3 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMLEMENTARES ::::. Aproime 3 = por S3 ; itegre de até e obteha. E < :5 5 : Z p 3 d ' :857: 3. Escreva 3p 5 = 3 3p 5=7 = 3 3p =7 e usado a série biomial para obter 3p 5 ' :96: