Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matemática Departamento de Matemática

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1 Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro Istituto de Matemática Departameto de Matemática Disciplia: Cálculo Diferecial e Itegral IV Uidades: Escola Politécica e Escola de Quimica Código: MAC 248 Turmas: Egeharias Gabarito da o Prova 2 o Sem/22 Data: 8/2/22 () (2, p) Aalise a covergêcia das séries abaixo idicadas: (a) (b) cos(θ), (, p) ( ) ( 2 + 5), (, p) 3 + a) Seja b = cos(θ) logo b = cos(θ) c, e θ R ode c =. Observemos que a série associada c coverge pois é uma série p Harmôica (ou p-série) com p = 3/2 > logo covergete. Etão pelo critério de comparação, temos que b coverge. Por propriedades das séries abs. covergetes afirmamos que coverge. b) Seja b = ( ) ( 2 +5). Observemos que 3 + b b = = 2 ( + 5/ 2 ) 3 ( + / 3 ) = ( + 5/ 2 ) ( + / 3 ), cosiderado a sequêcia d = e lembrado que a série associada d diverge e tomado limite b lim d = lim ( + 5/ 2 ) ( + / 3 ) = >,

2 2 aplicado o critério de comparação por limite, ambas séries divergem, isto é, b diverge. Agora olhemos a série como uma série umérica alterada. Usaremos o Critério de Leibiz para mostrar que ela é covergete, isto é, precisamos mostrar que: i) lim b =, e ii) b + b. Para mostrar i), tomemos limite a fução f(x) = (x2 +5) quado x, aplicado a regra de L Hôspital, pois os poliômios são difereciáveis, (x 3 +) obtemos lim f(x) = x lim x x 2x 3x 2 = lim x 2 3x = logo lim f() = Em relação a ii) podemos cocluir que, é de fato verdade, se mostrarmos que a derivada da fução { (x2 +5) } é egativa para todo x R x 3 +. Verificaremos esta última afirmação abaixo: [ ] d (x 2 + 5) = x4 + 5x 2 2x <, se x, dx (x 3 + ) (x 3 + ) 2 pois o deomiador é positivo para todo x real. Equato o umerador é claramete egativo para todo x. Podemos cocluir que a série é codicioalmete covergete. (2) (2,5 p) Respoda as seguites questões: (a) Sabedo que a fução l ( + x) é aalítica para x <, mostre que: l ( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + x5 5 +, x < (b) Seja s(x) a soma da série x2 2 x x4 4.3 x5 +, x <. Determie a 5.4 fução s(x) em termos de fuções elemetares. Justifique (,2 p) a) Usado séries geométricas, obtemos que + x = ( ) x, abs.covergete x < como x são cotiuas em x <. Etão + t dt = ( ) t dt,

3 3 o qual é equivalete a (l( + t)) dt = Pelo Teorema fudametal do cálculo l( + x) l = ( ) ( ) Seja f(x) = l( + x) derivado, obtemos x x, x <. f (x) = +x f () = f (x) =, (+x) 2 f () = f (x) = ( ) 2 2, (+x) 3 f () = ( ) 2 2 f iv (x) = ( ) 3 2.3, (+x) 4 f iv () = ( ) 4.2.(4 ). Podemos cocluir que f () = ( ) ( )!, como a = f () podemos cocluir que a = ( ). Além disso, a fução f(x)! é aalítica em x < logo a x = f(x). b) Seja s(x) = x2 x3 + x4 x5 + abs. covergete x <. Como s(x) é aalítica em toro de, derivemos itegrado s (x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + = l( + x), s (t)dt = l( + t)dt, s(x) s() = t l( + t) x t + t dt s(x) s() = t l( + t) x x + l( + x), x < ode dada a cotíuidade da soma s(x) temos que s() =. (3) (3, p) Cosidere a equação diferecial de Tchebycheff ( x 2 )y xy + α 2 y = α R () Sabedo que y = a y (x) + a y 2 (x) é a solução geral da equação por série em toro do poto x =. (a) Determie uma cota iferior para o raio de covergêcia das soluções em série y (x) e y 2 (x) liearmete idepedetes da equação em toro de x =. (b) Determie a relação de recorrêcia. Justifique. (,3 p) (c) Determie a solução geral da equação de Tchebycheff. Justifique. (,2 p)

4 4 a) Sejam a(x) = x 2, b(x) = x e c(x) = α 2, sem fatores comus e α R. Para ecotrar a cota iferior dos raios das soluções da equação, obteremos os raios das fuções p(x) = b(x) c(x) e de q(x) =, isto é, para x a(x) a(x) = R p = mi{ z x ; a(z) = } este caso z = ± tomado distâcia, obtemos z x =. Logo R p =. Aalogamete, R q =. Portato, a cota iferior será R = mi{r p, R q } =. b) Mostremos que o poto x = é um poto ordiário da equação. Observemos que x = x 2 abs.cov. x < 2 logo p(x) = q(x) = ( )x 2+ abs.cov. x < α 2 x 2 abs.cov. x <, etão p, q são fuções aalíticas em toro de x =. Aplicado o Teorema das soluções para poto ordiário, toda solução será da forma y(x) = a x abs.cov. x < R, (2) substituido (2)em (), obtemos { ( + 2)( + )a +2 ( )a a + α 2 a }x =, x < R, (3) o que é equivalete a ode b x =, x < R, (4) b = ( + 2)( + )a +2 ( 2 α 2 ) a, N. Por propriedades das séries abs.covergetes e (4), obtemos b =, N, o que ós leva a obter a relação de recorrêcia a +2 = ( 2 α 2 ) ( + 2)( + ) a, N. (5)

5 5 c) Calculemos os coeficietes a de idice par: o que os leva a =, a 2 = α2 2. a, = 2, a 4 = (22 α 2 )( α 2 ) 4!... a 2 = ( ) α 2 (α ) [α 2 (2 2) 2 ] a,. (6) (2)! Calculemos os coeficietes a de idice ímpar: o que os leva a =, a 3 = α2 3.2 a, = 3, a 5 = (32 α 2 )( α 2 ) 5!... a 2+ = ( ) (α 2 )(α ) [α 2 (2 + ) 2 ] a,. (7) (2 + )! Defiamos as soluções usado (2) (a) a = e a = : y (x) = + a 2 x 2 ode a 2 estão defiidas em (6). (b) a = e a = : y 2 (x) = x + a 2+ x 2+. Portato, a solução geral da equação () é da forma y(x) = c y (x) + c 2 y 2 (x), sedo c e c 2 costates arbitrárias. a a (4) (2,5 p) Cosidere a fução g(t) = { se t, t < π, t > π Resolva o Problema de Valor Iicial (PVI) { y + 4y = g(t) + δ(t π 2 ) y() = y () =. Justifique sua resposta. (8)

6 6 Observemos que a fução g pode ser represetada em termos de fu oões de grau, isto é, g(t) = set u π (t)set = set + u π se(t π) (9) Aplicado trasformada de Laplace em g e usado o Teorema de traslação a variável t, obtemos L{g(t)} = L{set} + L{u π (t)se(t π)} = s e πs s 2 +. () Agora apliquemos a trasformada de Laplace a equação (8) s 2 L{y} sy() y () + 4L{y} = L{g(t)} + L{δ(t π 2 )}. Logo resolvedo a equação algebrica, obtemos L{y} = (s 2 + )(s 2 + 4) + e πs (s 2 + )(s 2 + 4) + e πs/2 (s 2 + 4). () Cosidere a fução H(s) =. Vamos calcular h(t) = (s 2 +)(s 2 +4) L {H(s)}. Usado frações parciais, reescrevemos H(s) = ( ) ( ) 2. 3 s s Logo, Além disso, seja h(t) = L {H(s)} = 3 set 6 se2t. G(s) = e πs/2 (s 2 + 4) Aplicado trasformada de Lapace iversa, obtemos ode g(t) = L {G(s)} = L { e πs/2 (s 2 + 4) } = z(t π/2)u π/2 (t), z(t) = L { (s 2 + 4) } = 2 se2t Por ()e aplicado trasformada de Laplace iversa, temos y(t) = h(t) + u π (t)h(t π) + z(t π/2)u π/2 (t) = 6 (2set se2t)) + 6 u π(t)(2se(t π) se(2t 2π)) + 2 se2(t π/2)u π/2(t) = 6 (2set se2t)) 6 u π(t)(2set + se2t) 2 se(2t) u π/2(t).

7 Professores: Cecilia, Jaques, Marcelo,Marisa, Patricia, Pedro. 7