É necessário justificar todas as passagens. Boa Sorte!

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1 ā Prova de Cálculo Diferecial e Itegral IV - MAT ō semestre de 0 /09/0 Nome : GABARIT O N ō USP : Professor : Oswaldo Rio Braco de Oliveira Q Extra Total N É ecessário justificar todas as passages. Boa Sorte!. Determie os valores máximo e míimo de a) z i z +i, ode z = 3 b) z +i, ode z =. Resolução: Utilizemos o isomorfismo etre C e R, C R, como espaços vetoriais reais. a) Seja C a circuferêcia de cetro a origem e raio 3. O poto 0, 3) 3i é o poto em C mais distate de i 0,) e também o mais próximo de i 0, ). Logo, o valor máximo pedido é 3i i 3i+i = 4 =. O poto 0,3) 3i é o poto em C mais próximo de i 0,) e também o mais distate de i 0, ). Logo, o valor míimo pedido é, 3i i 3i+i = 4 =. b) Os potos da circuferêcia C, cetrada em z o = e de raio, que são o maispróximoeomaisdistatedopoto isãoospertecetesàitersecção da reta determiada pelos potos 0, ) e,0) com a circuferêcia C: ± i) i) = ± +i 5. A distâcia míima e máxima são, respectivamete, +i ) i) = 6 5, + +i ) i) =

2 Ateção Uma outra resolução para a) é obtida aalizado máximo/míimo de z i z +i = fx,y) = x +y ) x +y +) = 0 y 0+y = 5 y 5+y, para x +y = 9. Isto é, o máximo e o míimo de gy) = 5 y,y [ 3,3]. 5+y

3 . Supoha que a = a. Verifique que: a a) +...+a b) Resolução. = a a a...a = a, se a > 0 e a > 0, N. a) Dado ǫ > 0, existe p N tal que > p a a < ǫ. Portato, a +...+a p +a p a a = = a +...+a p pa + a p+ a+a p+ a+...a a p j= a j a + p)ǫ p j= a j a + ǫ, > p. p j= Como p é fixo, podemos escolher N > p tal que > N a j a < ǫ. Logo, > N a +...+a p +a p a a < ǫ. Isto prova o ítem a). b) Imediato do item a), otado que loga a se +, e escrevedo a a...a = eloga...a ) = = e loga...a ) = eloga+...+loga = = e loga +...+loga = e loga = a

4 3. Determie se são covergetes ou ão as séries: a) + = b) + = c) + = Sugestões cos ).! ) a) = +3+ = 5 3 b) a solução: Compare com + <, pois + = = coverge se λ >. λ, computado x cos ) x x cos x = x 4 = t 0 + cost t = t 0 + set t =. a solução do aluo Gabriel Saee Zoha). Se 0 x temos, cosx = x x 4 )+...! + 4! x6 x x = 6!!! 0. Logo, cosx x se 0 x e, 0 cos ) Pelo Critério da Comparação, a série coverge.,, N. c) Teste da razão

5 4. Dadas as séries + =3 e + log a a) Calcule + b) Calcule =3, seja a log) o termo geral de cada uma delas. a, para cada uma delas. a + a ), para cada uma delas. c) Qual destas séries coverge? Qual diverge? Resolução: a) Como = e + para a primeira série, log +)log+) = e para a seguda série, log) +)[log+)] = logx logx+) = ) + x x+ ) +) x+ = = temos, x log ) log+) =, log ) =. log+) b) Para a primeira série devemos aalisar o ite de, ) klog k k = k +)logk +) k k + [+ log+ ] k )k logk +). Para a seguda série devemos aalisar o ite de, [ k ] [ ] klog k k+)log k+) = k k+ +k log k+) log k log k+) = k k+ [+ log+ k )k logk+) k Mas,, log+ k )k log xx+) log x+logx+) = 0 e = =. k+ logk+) logx+) logx+) Logo, o ite obtido pelo teste de Raabe para ambas as séries é. c) Com os itegrados cotíuos e decrescetes, vale o critério da itegral: N xlogx dx = logx N = logn log) +, se N + e, substituido y = logx e dy dx = x, N logn xlog x dx = log dy y = ) logn y log Logo, a primeira série diverge e a seguda série coverge, se N +. log ] log kk+) logk+).

6 5. Dada a série + = αα )α )...α +)!, < α < 0, determie se ela é divergete, covergete, codicioalmete covergete, ou absolutamete covergete. Ateção: No excelete livro Exercícios Propostos e Resolvidos de Sequêcias e Séries Numéricas e de Fuções do Prof. Boulos há um egao relacioado a tal exercício. Ecotre-o! A prova sugerida o livro do Prof Guidorizzi é distita desta e utiliza um lema ão ituitivo e ão simples. A prova abaixo é auto-suficiete. Resolução: Podo a = αα ) α +)! e aplicado o Critério de Raabe temos, a ) + = a α ) + e, otado que α = α se é suficietemete grade, a ) + = a α ) + = α+ + = α+. Comoα+ <,pelocrit. deraabe + αα ) α +) diverge.! Visto que < α < 0 temos α < e cocluímos: a + a = α + <, e a sequêcia a ) decresce e existe a = L. Mostremos que L = 0. Fixo N, > α, se β = +α temos 0 < β < e, para p N arbitrário, a + α = a + = + +α) + = β +, a +p a +p a +p =... a + β = a a +p a +p a +p ) β +p )... β + ), ) a +p β a +p )p β +p )p+ β +p ). Como + x ) = e x, x, com o ite em *) para p + temos 0 L a e β, > α, N. Desta forma temos, 0 e β L a = L, o que implica L = 0 pois e β >. Logo, pelo critério de Leibitz, + ) a = + a é covergete

7 Extra. Seja Pz) = a 0 +a z +...a z um poliômio complexo e de grau isto é, a 0). Mostre que : a) Pz) = +. z + b) Existe z 0 C tal que Pz 0 ) Pz), z C. c) Podemos assumir, sem perda de geeralidade, z 0 = 0. Resolução. Provado em sala