Demonstrações especiais

Transcrição

1 Os fudametos da Física Volume 3 Meu Demostrações especiais a ) RLAÇÃO NTR próx. e sup. osidere um codutor eletrizado e em equilíbrio eletrostático. Seja P sup. um poto da superfície e P próx. um poto extero e ifiitamete próximo de P sup.. Demostremos que próx. sup. Vamos dividir as cargas elétricas em excesso em duas partes: a parte: cargas elétricas que se situam o elemeto de área A e que cotém P sup. a parte: demais cargas elétricas. A P it. O poto P it. é itero e ifiitamete próximo a P sup. P próx. P sup. ampo devido à primeira parte de cargas m P próx. e em P it. os campos diferem apeas em setido. m P sup. o campo é ulo, pois P sup. é o cetro desta pequea distribuição de cargas. P sup. P próx. P it. ampo devido à seguda parte de cargas Os potos P próx., P sup. e P it. podem ser cosiderados coicidetes, relativamete a esta seguda parte de cargas. Portato, o campo produzido os três potos é o mesmo. ampo total P sup. P it. P próx. No poto P it., o campo é ulo. Logo: 0 No poto P sup., temos: sup. No poto P próx., temos: próx.

2 Os fudametos da Física Volume 3 Demostrações especiais Mas de, vem: próx. De e : próx. sup. m módulo, temos: próx. sup. a ) FLUXO LÉTRIO TORMA D GAUSS. Fluxo ϕ de um campo elétrico uiforme através de uma superfície plaa de área A sse fluxo ϕ é por defiição a gradeza escalar: ϕ A cos α em que α é o âgulo etre o vetor campo elétrico e o versor, perpedicular à superfície plaa de área A (figura I). Uidade de fluxo do campo elétrico o Sistema Iteracioal: N m ou V m b a b a α d A c Vista em perspectiva Figura I α c d Vista de frete Nas figuras IIa e IIb, aalisamos algumas situações particulares. Da figura IIa otamos que o fluxo é máximo, pois α 0 e cos 0 (ϕ máx. A) e máximo é o úmero de lihas de força que atravessa a superfície. Da figura IIb otamos que o fluxo é ulo, pois α 90 e cos 90 0 (ϕ 0) e ehuma liha de força atravessa a superfície. a) b) a b c d α = 0 ϕ máx. = A a b c d α = 90 ϕ = 0 Figura II

3 Os fudametos da Física Volume 3 3 Demostrações especiais Podemos iterpretar o fluxo como sedo a gradeza que mede o úmero de lihas de força que atravessa a superfície. Observação: Quado a superfície tiver forma qualquer e o campo ão for uiforme, divide-se a superfície em elemetos de superfície e cosidera-se em cada um o campo praticamete uiforme. alcula-se o fluxo em cada elemeto e, em seguida, somam-se os fluxos em todas as superfícies elemetares.. Teorema de Gauss osidere o campo elétrico gerado por uma distribuição de cargas elétricas. Nesse campo, vamos imagiar uma superfície fechada S. m relação a essa superfície as cargas produtoras do campo podem ser iteras ou exteras. Não cosidere cargas pertecetes à superfície. O teorema de Gauss afirma que: m uma superfície fechada, o fluxo do campo elétrico é proporcioal à soma algébrica das cargas iteras e idepede das cargas exteras. ϕ Σ Q it. e idepede das cargas exteras sedo a permissividade do meio. Sabe-se que do meio). 4π K (costate eletrostática 3. ampo as proximidades de um codutor eletrizado Seja P um poto extero e ifiitamete próximo da superfície de um codutor eletrizado positivamete (figura III). osidere a superfície fechada S cotedo o poto P. A superfície fechada que escolhemos para aplicar o teorema de Gauss é chamada gaussiaa. S Q P próx. A S S : gaussiaa Figura III próx. A Q = σ A

4 Os fudametos da Física Volume 3 4 Demostrações especiais alculemos o fluxo pela defiição e pelo teorema de Gauss. Seja Q a carga do codutor que é itera à superfície S e pertecete à superfície do codutor de área A. Pela defiição de fluxo, temos: ϕ próx. A Pelo teorema de Gauss, temos: ϕ Q Igualado as duas equações, vem: próx. A Q próx. Q A Mas Q A σ, que é a desidade elétrica superficial. Logo: próx. σ Se o codutor estiver eletrizado egativamete, σ deve ser cosiderado em módulo. Assim, temos: próx. σ Para um codutor esférico, temos σ Q 4πR ifiitamete próximo será: Q σ 4 πr 4π. Logo, o campo um poto extero e Q R Q K R próx. próx. próx. próx. ou Sedo sup. próx., vem: sup. K Q R 4. ampo os potos iteros e os potos exteros de uma superfície esférica S, de raio R, eletrizada uiformemete com carga elétrica Q, suposta positiva Seja P i um poto itero à superfície S, distado r do cetro O. Devido à simetria da distribuição de cargas, o campo elétrico em P i, se existir, deve ser radial. A itesidade do campo em todos os potos distaciados r de O é a mesma. osideremos a superfície gaussiaa S, de cetro O e raio r e apliquemos o teorema de Gauss: ϕ s' Q it. Mas: Q it. 0 Logo: ϕ s 0 R r O P i i S S, σ, Q Pela defiição de fluxo, sedo A a área de S, vem: ϕ s i A

5 Os fudametos da Física Volume 3 5 Demostrações especiais Sedo ϕ s 0, resulta i A 0 e, portato, i 0, em qualquer poto de S. Raciocíio aálogo pode ser feito para todos os potos iteros. Assim: É ulo o campo elétrico os potos iteros de uma distribuição superficial esférica e uiforme de cargas. Seja P um poto extero à superfície S, distado d do cetro O. Devido à simetria da distribuição de cargas, o campo elétrico em P deve ser radial. A itesidade do campo em todos os potos distaciados d de O é a mesma. osideremos a superfície gaussiaa S, de cetro O e raio d e apliquemos o teorema de Gauss: ϕ s'' Q it. Mas: Qit. Q Logo: ϕ s'' Q S Q R d S O σ > 0 P Pela defiição de fluxo, sedo A 4πd a área de S, vem: ϕ s 4πd De e, resulta: Q 4 πd Q, com Q 0 4π d Se Q 0, teríamos: ϕ s 4πd (pois α 80 ) Igualado os módulos de e, vem: 4 πd Q π Q d 4 S Q R S O σ < 0 P 3 a ) NRGIA POTNIAL LÉTRIA ARMAZNADA POR UM APAITOR A demostração da fórmula da eergia potecial elétrica armazeada por um capacitor exige o uso de matemática do esio superior. A título de ilustração, vamos fazer uma demostração com recursos mais elemetares. Iicialmete vamos calcular a eergia potecial elétrica armazeada por um codutor eletrizado com carga elétrica Q e sob potecial elétrico V. osidere Q costituído de um úmero muito grade de pequeas cargas q. Assim, temos Q q.

6 Os fudametos da Física Volume 3 6 Demostrações especiais Vamos imagiar o codutor iicialmete eutro e carregá-lo trazedo as pequeas cargas q do ifiito até o codutor. m cada deslocameto de uma carga q, vamos calcular o trabalho da força aplicada pelo operador, lembrado que esse trabalho é igual ao trabalho da força elétrica com sial trocado. No deslocameto da primeira carga q, do ifiito (potecial zero) até o codutor eutro (potecial iicial ulo), o trabalho da força aplicada pelo operador é ulo. letrizado com carga q, o codutor adquire potecial v. Ao trasportar a seguda carga q, o trabalho será q v. Agora o codutor armazea carga q e está sob potecial v. Ao trasportar a terceira carga q, o trabalho será q v e assim sucessivamete, até a eésima carga q, quado o trabalho será q ( )v. A eergia potecial elétrica W armazeada pelo codutor é dada pela soma dos trabalhos realizados pelo operador: W 0 q v q v... q ( )v W q v (0... ) Mas é a soma dos termos de uma PA de termos e razão igual a. 0 Assim, temos: W q v Sedo um úmero muito grade, podemos fazer a aproximação. tão, vem: W q v omo Q q e V v, temos: W Q V Para um capacitor, sedo Q a carga elétrica da armadura positiva e V A seu potecial elétrico, e Q a carga elétrica da armadura egativa e V B seu potecial elétrico, vem: W Q V A ( Q V B ) W QV ( A V B) W Q U

7 Os Fudametos da Física Temas speciais xercícios Resolvidos R. Uma superfície plaa de área A = 9,0 cm está imersa um campo elétrico uiforme de itesidade =, N/. alcule o fluxo do campo esta superfície os casos: a) A superfície está icliada formado um âgulo de 30 0 com as lihas do campo. b) A superfície está disposta perpedicularmete às lihas do campo. c) A superfície está disposta paralelamete às lihas do campo. Solução: a) Se a superfície forma um âgulo de 30 0 com as lihas do campo, cocluímos que o âgulo α etre o vetor campo elétrico e o versor r, perpedicular à superfície, é de Assim vem: ϕ =.A.cosα ϕ =, ,0 0 cos ϕ = 90 b) Neste caso α = 0 ( cos 0 = ) e portato ϕ = 80 c) stado a superfície disposta paralelamete às lihas do campo, resulta que o âgulo o âgulo α etre o vetor campo elétrico e o versor r, perpedicular à superfície, é de omo cos 90 0 = 0, vem : ϕ = 0 Respostas: a) ϕ = 90 b) ϕ = 80 c) ϕ = 0 R. Uma carga elétrica putiforme Q =, µ é colocada o cetro de um cubo de aresta 5,0 cm. O meio é o vácuo ( = 8,8.0 F/m ). Determie o fluxo do campo da carga Q a superfície do cubo.

8 Os Fudametos da Física Temas speciais Solução: Pelo Teorema de Gauss sabemos que: em uma superfície fechada o fluxo do campo elétrico é proporcioal á soma algébrica das cargas iteras e idepede das cargas exteras, sedo dado por: ϕ = Qit Sedo 8,8.0-6 = F/m e Q = Q =, 0, resulta: ϕ = Q it ϕ =, 0 8,8 0 it 6 ϕ =,5 0 N m 5 Resposta: ϕ =,5 0 N m 5 xercícios Propostos P. Uma superfície plaa de área A = cm está imersa um campo elétrico uiforme de itesidade = 5, N/, formado com as lihas de força do campo um âgulo θ. alcule o fluxo do campo esta superfície os casos: a) θ =90 0 b) θ =60 0 c) θ =30 0 d) θ = 0 P. Uma superfície plaa de área A = 0 cm está imersa um campo elétrico uiforme de itesidade = 3, N/. A superfície plaa realiza um movimeto de rotação uiforme, de modo que o âgulo α etre o vetor campo elétrico r e o versor r, perpedicular à superfície, varia com o tempo segudo a fução: α = ωt, ode ω é a velocidade agular. ostrua o gráfico de α em fução de t, cosiderado para t os valores 0, T/4, T/, 3T/4, T, sedo T o período. P3. alcule os fluxos elétricos as cico superfícies mostradas. Dê as respostas em fução de Q e da permissividade do meio.

9 Os Fudametos da Física Temas speciais P4. É dada uma esfera de raio R, a qual se distribuem cargas elétricas de desidade volumétrica ρ positiva e costate. Determie a itesidade do vetor campo elétrico um poto itero que dista r do cetro O da esfera e um poto extero que dista d do cetro O. osidere dada a permissividade do meio. P5. É dada uma reta r, a qual se distribuem cargas elétricas de desidade liear λ positiva e costate. Determie a itesidade do vetor campo elétrico um poto que está a uma distâcia d da reta. osidere dada a permissividade do meio. Respostas: P a) 600 b) c) 300 d) zero

10 Os Fudametos da Física Temas speciais P P3. ϕ P4. S it Q Q = ; ϕs = ; ϕ 3 ρ r ρ R = ; ext = 3 3 d S3 Q = ; ϕ S 4 = 0; ϕ S5 = Q P5. = λ π d