A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21

Transcrição

1 Nome: ºANO / CURSO TURMA: DATA: 0 / 0 / 05 Professor: Paulo. (Pucrj 0) Vamos empilhar 5 caixas em ordem crescete de altura. A primeira caixa tem m de altura, cada caixa seguite tem o triplo da altura da aterior. A altura da ossa pilha de caixas será: a) m b) 8 m c) m d) m e) 5 m. (Pucrj 0) A Copa do Mudo, dividida em cico fases, é disputada por times. Em cada fase, só metade dos times se matém a disputa pelo título fial. Com o mesmo critério em vigor, uma competição com times iria ecessitar de quatas fases? a) 5 b) c) 7 d) 8 e). (Uesp 0) Uma partícula em movimeto descreve sua trajetória sobre semicircuferêcias traçadas a partir de um poto P, localizado 0 em uma reta horizotal r, com deslocameto sempre o setido horário. A figura mostra a trajetória da partícula, até o poto P, em r. Na figura, O, O e O são os cetros das três primeiras semicircuferêcias traçadas e R, R/, R/seus respectivos raios. Disciplia: Matemática A soma dos perímetros dos triâgulos dessa sequêcia ifiita é a) b) c) 5 d) 8 e) 8. (Fgv 0) Uma mercadoria é vedida com etrada de R$500,00 mais parcelas fixas mesais de R$57,00. Sabedo-se que as parcelas embutem uma taxa de juros compostos de 0% ao mês, o preço à vista dessa mercadoria, em reais, é igual a a).80. b).0. c).0. d).0. e).0.. (Uepb 0) Na figura abaixo, temos parte do gráfico da fução x f(x) gráfico. e uma sequêcia ifiita de retâgulos associados a esse A trajetória resultate do movimeto da partícula será obtida repetido-se esse comportameto idefiidamete, sedo o cetro e o raio da -ésima semicircuferêcia dados por O e R R, respectivamete, até o poto P, também em r. Nessas codições, o comprimeto da trajetória descrita pela partícula, em fução do raio R, quado teder ao ifiito, será igual a a) π R. b) π R. c) π R. d) 7 π R. e) π R.. (Espm 0) Para que a sequêcia (, 5, ) se trasforme uma progressão geométrica, devemos somar a cada um dos seus termos um certo úmero. Esse úmero é: a) par b) quadrado perfeito c) primo d) maior que 5 e) ão iteiro 5. (Espcex (Ama) 0) Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhates ao objeto origial. Em muitos casos, um fractal é gerado pela repetição idefiida de um padrão. A figura abaixo segue esse pricípio. Para costruí-la, iicia-se com uma faixa de comprimeto m a primeira liha. Para obter a seguda liha, uma faixa de comprimeto m é dividida em três partes cogruetes, suprimido-se a parte do meio. Procede-se de maeira aáloga para a obteção das demais lihas, coforme idicado a figura. Se, partido de uma faixa de comprimeto m, esse procedimeto for efetuado ifiitas vezes, a soma das medidas dos comprimetos de todas as faixas é a) m b) m c) 5m d) m e) 7m A soma das áreas de todos os retâgulos desta sequêcia ifiita em uidade de área é a) b) / c) d) e) 0. (Ulbra 0) João percebeu que, ao abrir a toreira ligada ao reservatório de água, por 5 miutos, o volume dimiuía para /5 da sua capacidade remaescete. Depois de 0 miutos com a toreira aberta, o volume do reservatório era de 0, m. Qual é a capacidade total da caixa d água? a) litros. b) litros. c) litros. d) litros. e) litros.. (Fuvest 05) Dadas as sequêcias a, b, c a a e b d, defiidas para valores iteiros positivos b de, cosidere as seguites afirmações: I. a é uma progressão geométrica; II. b é uma progressão geométrica; III. c é uma progressão aritmética; IV. d é uma progressão geométrica. São verdadeiras apeas a) I, II e III. b) I, II e IV. c) I e III. d) II e IV. e) III e IV.. (Espcex (Ama) 05) Na figura abaixo temos uma espiral formada pela uião de ifiitos semicírculos cujos cetros pertecem ao eixo das abscissas. Se o raio do primeiro semicírculo (o maior) é igual a e o raio de cada semicírculo é igual à metade do semicírculo aterior, o comprimeto da espiral é igual a. (Pucrj 0) A sequêcia (, x, y, 8) represeta uma progressão geométrica. O produto xy vale: a) 8 b) 0 c) d) e) 7. (Ufrgs 0) A sequêcia represetada, a figura abaixo, é formada por ifiitos triâgulos equiláteros. O lado do primeiro triâgulo mede, e a medida do lado de cada um dos outros triâgulos é / da medida do lado do triâgulo imediatamete aterior. a) b) c) d) e) 5

2 . (Uece 0) Se a sequêcia de úmeros reais positivos x, x, x,..., x,.... é uma progressão geométrica de razão igual a q, etão a sequêcia y, y, y,..., y,... defiida para todo atural por y logx é uma progressão a) aritmética cuja razão é igual a logq. b) aritmética cuja razão é igual a q.logq. c) geométrica cuja razão é igual a logq. d) geométrica cuja razão é igual a q.logq.. (Espm 0) A figura abaixo mostra a trajetória de um móvel a partir de um poto A, com BC CD, DE EF, FG GH, HI IJ e assim por diate. Cosiderado ifiita a quatidade desses segmetos, a distâcia horizotal AP alcaçada por esse móvel será de: a) 5 m b) 7 m c) 80 m d) m e) 00 m 5. (Uerj 0) Um feirate vede ovos bracos e vermelhos. Em jaeiro de um determiado ao, do total de vedas realizadas, 50% foram de ovos bracos e os outros 50% de ovos vermelhos. Nos meses seguites, o feirate costatou que, a cada mês, as vedas de ovos bracos reduziram-se 0% e as de ovos vermelhos aumetaram 0%, sempre em relação ao mês aterior. Ao fial do mês de março desse mesmo ao, o percetual de vedas de ovos vermelhos, em relação ao úmero total de ovos vedidos em março, foi igual a: a) % b) 8% c) 7% d) 75%. (Ufrgs 0) Cosidere o padrão de costrução represetado pelos desehos abaixo. Na etapa, há um úico quadrado com lado. Na etapa, esse quadrado foi dividido em ove quadrados cogruetes, sedo quatro deles retirados, como idica a figura. Na etapa e as seguites, o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa aterior. Nessas codições, a área restate, a etapa 5, é a) 5. 7 b) Texto para próxima questão: c) 5. 7 d) e) (Esc. Naval 0) Sabedo que π π π b cos... etão o valor de log b é a) b) 0 c) - d) - e) 0. (Epcar (Afa) 0) A sequêcia 8 x,, y, y é tal, que os três primeiros termos formam uma progressão aritmética, e os três últimos formam uma progressão geométrica. Sedo essa sequêcia crescete, a soma de seus termos é a) b) 8 c) 8 d) 8. (Uel 0) Leia o texto a seguir. Va Gogh (85-80) vedeu um úico quadro em vida a seu irmão, por 00 fracos. Nas palavras do artista: Não posso evitar os fatos de que meus quadros ão sejam vedáveis. Mas virá o tempo em que as pessoas verão que eles valem mais que o preço das titas. (Dispoível em: Acesso em: out. 0.) A mercatilização da cultura impulsioou o mercado de artes os grades cetros urbaos. Hoje, o quadro Jardim das Flores, de Va Gogh, é avaliado em aproximadamete 8 milhões de dólares. Supodo que há aos essa obra custasse 8 dólares e que sua valorização até 0 ocorra segudo uma PG, assiale a alterativa que apreseta, corretamete, o valor dessa obra em 0, cosiderado que sua valorização cotiue coforme a mesma PG. a),8 0 dólares. b) 8,0 0 dólares. c) 7 8,00 0 dólares. d) 8,00 0 dólares. e) 7 0,00 0 dólares.. (Ufsj 0) Sabedo que a soma do º, º e º termos de uma progressão geométrica (PG) é igual a 0 e que a soma dos 8º, º e 0º termos é 80, é CORRETO afirmar que a) a razão dessa PG é 0. b) seu primeiro termo é. c) a razão dessa PG é. d) o quito termo dessa PG é 0.. (Uicamp 0) Para costruir uma curva floco de eve, dividese um segmeto de reta (Figura ) em três partes iguais. Em seguida, o segmeto cetral sofre uma rotação de 0º, e acresceta-se um ovo segmeto de mesmo comprimeto dos demais, como o que aparece tracejado a Figura. Nas etapas seguites, o mesmo procedimeto é aplicado a cada segmeto da liha poligoal, como está ilustrado as Figuras e. A sequêcia de figuras acima ilustra três passos da costrução de um fractal, utilizado-se como poto de partida um trimió: o ível I é costituído de uma peça formada por três quadrados de cm de lado cada, justapostos em forma de L. No segudo passo, substitui-se cada quadrado do fractal de ível I por um trimió, que tem os comprimetos dos lados de seus quadrados adequadamete ajustados à situação, de forma a se obter o fractal de ível II, coforme ilustrado acima. No terceiro passo, obtém-se, a partir do fractal de ível II, também substituido-se cada um de seus quadrados por um trimió com os lados de seus quadrados ajustados, o fractal de ível III. O processo cotiua dessa forma, sucessiva e idefiidamete, obtedose os fractais de íveis I, II, III,.... Se o segmeto iicial mede cm, o comprimeto da curva obtida a sexta figura é igual a 5 a)! cm b) 5!!! cm c)!! cm d) cm 7. (Upf 0) Uma vez que represeta o ível do fractal, a área do fractal de ível é: a) b) c) d) ( ) e) 8. (Uepb 0) Sedo S, ode é um úmero atural ão ulo, o meor valor de para o qual S é: a) b) c) d) 5 e)

3 Gabarito: Resposta da questão : A altura da pilha é igual a 7 8 m. Resposta da questão : O úmero de times em cada fase correspode aos termos da progressão geométrica (,,, ). Logo, sedo o úmero de fases pedido, temos: 5. Resposta da questão : Seja Temos C o comprimeto da trajetória. R R R C π R π π π, que correspode à soma dos termos de uma progressão geométrica ifiita. Portato, π R lim C π R. Resposta da questão : Seja x o úmero procurado. Temos ( 5 x) ( x) ( x) 5 0x x 7 x x x, ou seja, um primo ímpar meor do que 5. Resposta da questão 5: Os comprimetos das faixas costituem uma progressão geométrica ifiita, sedo a m o primeiro termo q a razão. Portato, a soma dos comprimetos de todas as faixas é dada por m lim S m. x Resposta da questão : Sabedo que o produto de termos equidistates dos extremos é igual a uma costate, temos que x y 8. Resposta da questão 7:. Resposta da questão 8: O preço à vista da mercadoria é igual a , (,) Resposta da questão : R$.80,00. Como a medida da base de cada um dos retâgulos é igual a, seguese que a soma pedida é dada por f() f() f() Resposta da questão 0:. Seja V a capacidade da caixa d água. Supodo que o reservatório ecotra-se iicialmete cheio, segue que: V 0, V 5 0, 75 m L. 5 Resposta da questão : [I] Falsa. Tem-se que a ( ). Logo, como a razão a ( ) a ( ) ão é costate, segue que [II] Falsa. De fato, a razão ( ) b b ão é costate. Daí, podemos cocluir que progressão geométrica. a ão é uma progressão geométrica. b ão é uma [III] Verdadeira. A difereça etre quaisquer dois termos cosecutivos da sequêcia c é a a ( ) ( ) ( ). Desse modo, c é uma progressão aritmética de primeiro termo e razão igual a. A soma pedida é igual a

4 [IV] Verdadeira. De (II), temos d, que é uma progressão geométrica de primeiro termo 8 e razão igual a. Resposta da questão : πr Comprimeto de uma semicircuferêcia de raio r : π r ,,,,, 5 5 O quito termo é. 5 Resposta da questão 7: Logo, a soma pedida será dada por: S π π π π 8... S π ( 8...) S π S π Resposta da questão : Resposta da questão 8: y, y, y,..., y,... logx logx logx logx...logx... Como y, y, y,..., y,... log x log(x q) log(x q ) log(x q ) log(x q )... log(x q )... temos ( ) y, y, y,..., y,... log x (log x log q) (log x log q ) (log x log q )... (log x log q )... y, y, y,..., y,... log x (log x log q) (log x log q) (log x log q)...(log x log q )... S A sequêcia y, y, y,..., y,... é uma P.A. de razão log q. Resposta da questão : De acordo com o texto as áreas formam uma P.G. de razão /, represetada pela sequêcia abaixo:, 7 8,,,,... 5 Apresetado a fórmula do termo geral da P.G., temos: a, ode / é a razão da P.G. S é a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica de primeiro termo igual a, e razão também igual a,. Pelo Teorema de Pitágoras aplicado o triâgulo ABC, ecotramos facilmete AC 0 m. Os triâgulos ABC, CDE, EFG, são semelhates por AA. Logo, CD como a razão de semelhaça é igual a, segue-se que AB 5 AC 0 m, CE 5 m, EG m, costituem uma progressão geométrica cujo limite da soma dos primeiros termos é 0 dado por 80 m. Resposta da questão 5: Seja q a quatidade total de ovos vedidos em jaeiro. Assim, o resultado pedido é dado por (,) q, 00% 00% (,) q (0,) q,5 Resposta da questão : A sequêcia é uma P.G. de razão 5 %. Portato, S 8, isto é, o meor valor atural de para o qual S é. Resposta da questão : π π π A sequêcia,,, é uma P.G de razão, portato π π b cos cos. Logo, log. Resposta da questão 0:

5 P.A. (x,, y) x + y = x = y P.G. (, y, y + 8/) y y = 0 y = 8 ou y = y = 8 x = y = x = (ão covém, pois a sequêcia é crescete). Portato, a soma dos elemetos da sequêcia será: / = 8/. Resposta da questão : Em 0 o valor é de 8 milhões de dólares. Admitido que a seja o valor do quadro o ao, temos a0 a 5.q q q 0 q 0. 0 a0 a0 q , 0 Resposta da questão : a a a 0 a ( q q ) 0, ode q é a a 8 a a0 80 a 8( q q ) 80 razão da P.G. Dividido a seguda equação pela primeira, temos: q q. Resposta da questão : Os comprimetos das figuras formam uma P.G. de razão /. Logo, o 5 5 comprimeto da sexta figura será dado por: a.. 5