PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

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1 ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA o Teste 7 o SEMESTRE 5/6 Data: Sábado, 7 de Jaeiro de 6 Duração: 9:3 às :3 Tópicos de Resolução. O úmero de mesages electróicas recebidas por dia uma empresa de etregas rápidas, que fucioa iiterruptamete, tem distribuição de Poisso com variâcia igual a 5. [.] (a) Calcule a probabilidade de, em 36 horas, a empresa receber pelo meos 7 mesages, sabedo que recebeu mesages esse período. X úmero de mesages electróicas recebidas por dia (4 horas) X P (5) Y úmero de mesages electróicas recebidas em 36 horas Y P (7:5) P (Y 7 Y ) P (Y 7 e Y ) P (Y ) P (Y 7) P (Y 6) P (Y ) P (Y ) :378 :6 :6 [.5] (b) Qual é a probabilidade do itervalo etre duas mesages cosecutivas ão exceder hora? W itervalo etre duas mesages cosecutivas (em horas) W Exp (4:8) F (w) ( e P (W ) w 4:8 e ; w < ; w 4:8 :88 [.5]. O diâmetro iterior de um tubo cilídrico é uma variável aleatória X com distribuição Normal de valor esperado 3 cm e desvio padrão : cm. A espessura do mesmo tubo é uma variável aleatória Y com distribuição Normal de valor esperado :3 cm e desvio padrão :5 cm, idepedete de X. Estes tubos são vedidos uma loja que os classi ca de acordo com o seu diâmetro exterior (diâmetro iterior + espessura) do seguite modo: Pequeo: para os % mais pequeos, Médio: para os 55% seguites, Grade: para os 5% maiores. Quais os limites das classes do diâmetro exterior cosiderados? X diâmetro iterior do tubo cilídrico X N (3; :) Y espessura do tubo cilídrico Y N (:3; :5) W diâmetro exterior do tubo cilídrico W X + Y N (3:3; :6)! Z W 3:3 :6 P (W < p) :, P (W g) :5, N (; ) p 3:3 p 3:3 :, :8, p 3:3 :85, p 3:5 :6 :6 :6 g 3:3 g 3:3 :5, :75, g 3:3 :68, g 3:44 :6 :6 :6 classi cados de pequeo se w [; 3:5[ classi cados de médio se w [3:5; 3:44[ classi cados de grade se w [3:44; +[

2 3. Certo tipo de pilhas tem uma duração (em horas) que se distribui expoecialmete com parâmetro. A duração global de pilhas tomadas aleatoriamete foi de 74 horas. [.5] (a) Idique, justi cado, um possível estimador potual para o parâmetro e, caso seja possível, calcule a respectiva estimativa. População: X duração das pilhas (em horas) X Exp () Amostra: P x i 74 Como E [X] um possível estimador para é b X: Estimativa: x horas. [.] (b) Com base uma amostra aleatória de dimesão (com ), foram costruídos os seguites estimadores para b Idique, justi cado, qual escolheria. P 3 E b E E P " b 5X 3X X X E [ ] X E [X] E b X ( ) 5X E 3X E [5X 3X ] (5E [X ] 3E [X ]) (5E [X] 3E [X]) (5 3) Como E b E b, os estimadores b e b são cetrados para : V b P 3 V V " X Xi s são idepedetes, amostra aleatória X V [ ] X ( ) V [X] X ( ) ( ) ( ) V b 5X V 3X V [5X 3X ] X e X são idepedetes, amostra aleatória 4 (5V [X ] + 9V [X ]) 4 (5V [X] + 9V [X])

3 b E ef ici^ecia b E b e b são estimadores cetrados para V b V b < Como efici^ecia <, logo b é mais e ciete que b, portato escolhería o estimador b. 4. O departameto de seguraça de uma fábrica quer saber se o tempo médio que o empregado octuro da seguraça leva a dar uma volta à fábrica é de 3 miutos. Em 3 voltas a média do tempo foi de 3:8 miutos com um desvio padrão de :5 miutos. [.] (a) Com base estes resultados costrua um itervalo de co aça a 9% para o tempo médio que o empregado octuro da seguraça leva a dar uma volta à fábrica e comete o resultado obtido. População: X tempo que leva a dar uma volta à fábrica (em miutos) Amostra: 3 Querem saber se E [X] 3 x 3:8 s :5 Queremos costruir um itervalo de co aça a 9% para, como ( População descohecida 3 3 é descohecido vamos utilizar Z X Sp N (; )! P z < Z < z, P z < X < z, Sp, P S X z p < Y < X + z S p Logo o I.C a ( ) % para é: s x z p ; x + z s p cocretizado vem :9, :, :95 z :95 :645 Sedo o IC para a 9% dado por 3:8 :645 :5 p 3 ; 3:8 + :645 :5 p 3 ]3:364; 3:36[ pode a rmar-se com 9% de co aça que o tempo esperado que o empregado octuro da seguraça leva a dar uma volta à fábrica varia etre 3:364 e 3:36: Como o 3 ão pertece ao itervalo e o itervalo só tem valores superiores a 3, pode-se a rmar com 9% de co aça que o empregado octuro da seguraça demora, em média, mais de 3 miutos a dar a volta à fábrica. [.] (b) Supoha que se pretede estimar o tempo médio com uma amplitude ão superior a :5. Idique, justi cado, como deveria proceder sabedo que só existem os registos dos tempos das 3 voltas referidas. amplitude :5 e ão é possível aumetar a dimesão da amostra 3

4 s amplitude :5, z p :5, z :5 p 3 :5, z :5 p 3 :5, z :94,, :864, :347 O ível de sigi câcia () deve ser o míimo :347, isto é, o grau de co aça ão pode ultrapassar 65; 8%. 5. Num trabalho realizado há já algum tempo cocluiu-se que % dos passageiros que apaham o autocarro em Setúbal têm como destio a ESTSetúbal. Esse valor tem vido a ser utilizado em todos os estudos de trasportes realizados desde etão. Um egeheiro, recetemete cotratado pela empresa de trasportes rodoviários de Setúbal, começou a ter dúvidas sobre a actualidade daquele valor, acreditado que ele tem vido a aumetar. Resolveu, portato, realizar um iquérito a paragem de autocarro de Setúbal, tedo sido iquiridos 4 passageiros dos quais 6 idicaram a ESTSetúbal como destio. [.] (a) Diga, ao ível de sigi câcia de %, que coclusão pode tirar o egeheiro. Teste uilateral sobre a proporçãp p : H : p : H : p > : com : Como o estimador de p é a proporção amostral p, e como População Biomial 4 3 vamos utilizar Z p p p pq Logo, P (rejeitar H H verdadeiro) P (p k p :) :, P Z k p p k : q :( :) 4 p :! :, A :99, k : q :( :) 4 N (; ) :36, k :8 Logo RC [:8; ] Decisão: Como p 6 :58 RC 4 ão se rejeita H, isto é, com base a amostra ão existe evidêcias que teha ocorrido uma alteração a percetagem de passageiros que apaham o autocarro em Setúbal com destio a ESTSetúbal. [.] (b) Comete a qualidade das coclusões da alíea aterior, sabedo que a verdadeira percetagem de passageiros que apaham o autocarro em Setúbal e têm como destio a ESTSetúbal é de 3%. Potêcia do teste: (:3) P (rejeitar H H falso) P (p :8 p :8 q :3 A ( :94) (:94) :864 :3( :3) 4 Como a fução potêcia é elevada (próxima de ), a probabilidade de tomar uma decisão correcta é alta, sedo boa a qualidade do teste. 4

5 6. Uma liga metálica é submetida a várias tesões x em 3 Kgfcm ; tedo-se registado o tempo decorrido (y em horas) até se atigir a ruptura. Algus dos resultados obtidos esta experiêcia foram os seguites: x i y i 5 x i yi x i y i 5 75 [.] (a) Calcule o coe ciete de correlação liear empírico e comete o resultado obtido. O coe ciete de correlação liear empírico é r X;Y r :897 Como r X;Y é um valor próximo de, existe uma forte tedêcia liear positiva etre as variáveis, sedo o modelo liear adequado aos dados. [.5] (b) Com base a recta de míimos quadrados, calcule uma estimativa para o tempo decorrido quado a tesão aplicada é de 7 3 Kgfcm. b () 86:74 a obtém-se etão a recta de regressão liear: 86:74 3 ^y :74x Prevê-se que o tempo decorrido quado a tesão aplicada é de 7 3 Kgfcm será de ^y : :6 horas Fim. 5