PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

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1 ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Exame - Época Normal 006/00 Data: 14de Julhode 00 Tópicos de Resolução Duração: 3 horas 1. SejaΩumespaçoamostraleA,BeCacotecimetoscomasseguitescaracterísticasA BeA C=. Idique, justificado, o valor lógico das seguites afirmações: 0.5 a) PA)>PB). Resolução: SeA B PA) PB). Comotal,aafirmaçãoéfalsa. 0.5 b) A C=B PB)=PA)+PC). Resolução: SeA C=B,etão, PB)=PA C)=PA)+PC) PA C)=PA)+PC) P )=PA)+PC) Como tal, a afirmação é verdadeira Numa cidade existem apeas duas empresas de táxis - Azul e Verde - cujas frotas são compostas por táxis azuis e verdes, respectivamete. A empresa Azul é detetora de 85% dos táxis dessa cidade. Em testes recetes de avaliação da capacidade de testemuhas distiguirem a cor dos táxis durate a oite, cocluiu-se que 80% dos táxis verdes são idetificados como azuis, assim como 80% dos taxis azuis são idetificados como tal. Calcule a probabilidade de um táxi dessa cidade ser correctamete idetificado quado circula durate a oite. Resolução: A-táxiAzul e A-táxiVerde I - testemuha idetifica táxi como Azul durate a oite I - testemuha idetifica táxi como Verde durate a oite PA) = 0.85 P A ) =0.15 P I/A ) = 0.8 PI/A)=0.8 Logo, PI A)+P I A ) = PI/A)PA)+P I/A ) P A ) = P I/A ) 0.15= = = OSr. Matiaspossuiumcaféasvizihaçasdeumestádiodefutebol. DasuaexperiêciaoSr. Matias sabeque,emdiasdefutebol,costumaveder50,,150ou00sades,comprobabilidades0.,0.4,0.3 e0.1, respectivamete.osr. Matiascostumafazersadesequadoestasseesgotamrecorreaum forecedor da terra que lhe garate o evio atempado de mais sades. 1.0 a) Determie a fução de distribuição do úmero de sades vedidas pelo Sr. Matias em dias de futebol. Resolução: X - o desadesqueosr. Matiasvedeumdiadefutebol Cosiderado que x < 50:Fx)=0 x fx) x<:fx)=f50)=0. x<150:fx)=f50)+f150)=0.+0.4= x<00:fx)=f)+f150)= =0.9 x 00:Fx)=F150)+f00)= =1

2 Etão 0, x<50 0., 50 x< Fx)= 0.6, x< , 150 x<00 1, x b) Calcule a probabilidade de veder 00 sades, um dia em que as sades por ele feitas ão satisfazem aprocura. Resolução: PX=00/X>) = PX=00 X>) PX>) = PX=00) PX>) = = f00) f150)+f00) = = c) Todas as sades são vedidas a euros. Cada sades feita pelo Sr. Matias tem um custo de 50 cêtimos e as que são ecomedadas ao forecedor têm um custo de 1 euro e 30 cêtimos, cada. DetermieolucrolíquidomédiodoSr. Matiasemdiasdefutebol. Resolução: Y -lucrolíquidoemeuros)davedadesadesumdiadefutebol,coseguidopelo Sr. Matias EY= x = 50 y=50 0.5=50euros x = y= 0.5)=150euros x = 150 y= 0.5) )=185euros x = 00 y= 0.5)+ 1.3)=0euros x y fy) y i fy i )= =14.5euros. 4. Umdoselevadoresdeumgradeedifíciopúblicotrasportaomáximo0pessoasdecadavez. Acarga máxima trasportada pelo elevador é de 1300 kg. Os utilizadores deste elevador costituem uma população cujopesotemdistribuiçãonormaldemédia61kgedesviopadrão10kg. 1.5 a) Acha que, em face da população que utiliza o elevador, a carga máxima é adequada? Justifique. Resolução: X -peso,emkg,deumapessoaqueutilizaoelevador X N61,10) Aplicado a aditividade da Normal, Y -peso,emkg,devitepessoasqueutilizamoelevador Y = 0 N 0 61, ) 0 10 Y N Z = Y N0,1) 10, ) 000 Como PY >1300)=1 P Z )=1 φ1.9)= =0.036 a probabilidade do peso das 0 pessoas exceder a carga máxima do elevador é bastate reduzida, coclui-se que a carga máxima é adequada.

3 1.5 b) O elevador um dado istate trasporta 8 pessoas. Qual a probabilidade de existirem pelo meos 3pessoascompesosuperiora66kg? Resolução: X -peso,emkg,deumapessoaqueutilizaoelevador X N61,10) Z= X 61 N0,1) 10 PX>66)=1 P Z ) =1 φ0.5)= = Cosiderado,W - o depessoasqueutilizamoelevador,deetreoito,compesosuperiora66kg W B8,0.3) PW 3)=1 PW <3)=1 PW )= = O tempo, em horas, ecessário para reparar um computador é uma variável aleatória expoecial com média 90 miutos. 1.0 a) Qual a probabilidade do tempo de reparação ser iferior a 3 horas, sabedo que o computador já estáaserreparadohápelomeoshoras? Resolução: X - tempo, em horas, ecessário para reparar um computador { X Exp1.5), com Fx)= 0, x<0 1 e x 1.5, x 0 PX<3/X ) }{{} = PX<1)=1 e = Falta de memória 1.5 b) Qual a probabilidade de se repararem pelo meos 3 computadores em 6 horas? Resolução: Y - o decomputadoresreparadosem6horas comoλ= 6 =4,etão Y P4) 1.5 PY 3)=1 PY <3)=1 PY )= = Cosidere uma amostra aleatória de dimesão, proveiete de uma população ormal de média µ descohecida)evariâciaσ. Sejam T 1 = e T =. dois estimadores de µ. Qual dos dois estimadores é mais eficiete? Justifique. Resolução: Vamos verificar se os estimadores são cetrados: X ET 1 =E i = 1 E = 1 E = µ Coclui-sequeoestimadorT 1 écetrado. Etão, E T 1 µ) =V T 1 V T 1 =V = 1 ) V = 1 ) 3 =µ V = ) σ = σ

4 ET =E = 1 E = 1 E = µ =µ Coclui-sequeoestimadorT écetrado. Etão, E T µ) =V T V T =V = 1 V = 1 V = σ = σ etão, para verificarmos a eficiêcia relativa, E T 1 µ) E T µ) = V T σ 1 V T = = 1 <1,logococlui-sequeT 1émaiseficiete. σ. A última sodagem ecomedada por um dos cadidatos à Presidêcia da Câmara de Lisboa iquiriu 400 eleitores escolhidos ao acaso, dos quais 5% declararam dar-lhe o seu voto. 1.5 a) Deduza e calcule um itervalo de cofiaça, a 95%, para a verdadeira percetagem de eleitores que votam este cadidato. Resolução: Pretedemos um itervalo de cofiaça para p. Como > 30 utiliza-se Logo, P P Z= p p p q p z 1 p q N0,1) P z 1 <Z<z 1 ) z 1 < p p p q <p<p +z 1 <z 1 ) p q = 1 = 1 = 1 Como z 1 =z 0.95 =1.96 e p =0.5,oICparapa95%édadopor , = =0.4104, =4.104%, % 1.0 b) Qual o úmero míimo de eleitores que deveriam ter sido iquiridos esta sodagem, para que o cadidato, com 95% de cofiaça, estivesse seguro de gahar as eleições à Câmara de Lisboa com maioria absolutacosidere maioria absoluta mais de 50% dos votos)? Resolução: Para o cadidato gahar as eleições com maioria absoluta, era ecessário que o extremo iferior do itervalo fosse superior ou igual a 50%. Logo, O o míimodeeleitoresaseremiquiridosestasodagemdeveriaser398. 4

5 .0 8. Umaempresapossuiumamáquiaautomáticaqueéusadaparaechereselarlatasde1litrodeumproduto líquido. A empresa tem o etato registado queixas relativamete às latas se ecotrarem demasiado cheias. Para verificar a veracidade destas queixas, foi medido o coteúdo de latas, seleccioadas ao acaso do fabrico diário, tedo-se obtido: x i = e x i = Teste,para=0.01,seaquatidademédiadelíquidoporlataésuperiora1litro. Resolução: Teste uilateral direito sobre a média µ: { H0 :µ 1 H 1 :µ>1 com=0.01 Comoσdescohecidoe>30,vamosutilizar Z= X µ S N0,1) Calculodes : 1 P Logo RC=1.089,+ Prej. H 0 /H 0 V)= P X k/µ=1 ) =0.01 ) Z< k µ /µ=1 S k s = =0.01 P Z< 99 k 1 =.36 k= ) = =0.99 Decisão: como x= = RC, rejeita-se H 0, isto é, de acordo comos dados utilizados, a quatidademédiadelíquidoporlataésuperiora1litro. 9. Osvaloresdolixourbaoemdezeasdetoeladas)dapopulaçãodeumacidadeemmilharesdepessoas) operíodode1998a004costamatabelaseguite: Aos LixoUrbao População a) Idique, justificado, qual a variável depedete e idepedete. Resolução: A variável idepedete, X, é a população, em milhares de pessoas; a variável depedete,y,éolixourbao,emdezeasdetoeladas 1.5 b) Qual a quatidade de lixo prevista para 00 se a população for de 5.8 mil habitates? Comete, justificado, a qualidade da previsão efectuada. Resolução: b = x i y i x i y i x ) = i x i ) = ) ) a = ȳ b x= =

6 obtém-se etão a recta de regressão liear: Logoaprevisãodaquatidadedelixopara00: ŷ= x ŷ= =1.40 dezeasdetoeladas x i y i xȳ r X,Y) = x) ) = x i yi ȳ ) 36. ) ) 18.8 ) ) ) =0.99 Como o coeficiete de correlação liear empírico idica uma elevada correlação liearpositiva) etre as variáveis X e Y, e o valor utilizado a previsão está de acordo com a evolução dos dados da amostra, coclui-se que a qualidade da pevisão é boa. Fim. 6