Lista 9 - Introdução à Probabilidade e Estatística

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC Lista 9 - Itrodução à Probabilidade e Estatística Desigualdades e Teoremas Limites 1 Um ariro apota a um alvo de 20 cm de raio. Seus disparos atigem o alvo, em média, a 5 cm do cetro deste. Assuma cada disparo é idepedete de qualr outro disparo. Limite superiormete a probabilidade do atirador errar o alvo o próximo disparo. 2 Supoha X seja uma variável aleatória com média e variâcia iguais a 20. O é possível dizer sobre P(0 < X < 0)? 3 Com sua experiêcia, um professor sabe a ota de um estudate a prova al é uma variável aleatória com média 75. a) Foreça um limite superior para a probabilidade de a ota de um estudate exceda 85. Supoha, além disso, o professor saiba a variâcia da ota de m estudate é igual a 25. b) O se pode dizer sobre a probabilidade de a ota de um estudate esteja etre 5 e 85? c) Quatos estudates teriam fazer a prova para assegurar, com probabilidade míima de 0, 9, a média da turma esteja etre 75±5? Não use o Teorema Cetral do Limite. Uma moeda hoesta é laçada de forma idepedete vezes. Seja S o úmero de caras obtidas esses laçametos. Use a desigualdade de Chebyshev para obter um limitate iferior para a probabilidade de S diste de 1 2 meos do 0, 1 quado 1. = = = No cotexto do problema aterior veri para todo ɛ > 0. lim P( S 1 2 < ɛ) = 1 Cosidere uma moeda desoesta com probabilidade p de sair cara. Seja S o úmero de caras obtidas em laçametos idepedetes desta moeda. Escreva um limite semelhate ao problema aterior. Calcule o valor deste limite. 7 Utilize a desigualdade de Chebyshev para mostrar para toda fução cotiua f : [0, 1] R, f( k ( ) ) x k (1 x) k f(x) k uiformemete em x [0, 1] quado. 8 Dez dados hoestos são laçados. Ecotre, aproximadamete, a probabilidade de a soma dos úmeros assim obtidos esteja etre 30 e 0. 9 Supoha um programa de computador tem = 0 págias de códigos. Seja X i o úmero de erros a i ésima págia. Supoha as variáveis aleatórias X i tem distribuição Poisso de parâmetro 0 1 e são idepedetes. Seja Y = X j o úmero j=1 total de erros. Utilize o Teorema Cetral do Limite para aproximar P[Y < 90]. Uma amostra aleatória de ites é tomada de uma distribuição com media µ e variâcia σ 2, 0 <

2 σ 2. Utilizado o Teorema Cetral do Limite, determie o meor úmero de ites a serem cosiderados para a seguite relação seja satisfeita: P[ S µ σ ] 0, Uma pessoa possui 0 lâmpadas cujos tempos de vida são expoeciais idepedetes com média de 5 horas. Se as lâmpadas são usadas uma de cada vez, sedo a lâmpada imada imediatamete substituída por uma ova, obteha uma aproximação para a probabilidade de aida exista uma lâmpada fucioado após 525 horas. 12 Mostre lim e k k! = 1 2. (Sugestão: Cosidere uma sequêcia de variáveis aleatórias i.i.d com distribuição Poisso e utilize o Teorema Cetral do Limite.) 13 Seja (X ) 1 uma sequêcia de variáveis aleatórias tal 1. lim E [X ] = α. 2. lim Var [X ] = 0. Mostre, ɛ > 0, lim P [ X α ɛ] = 0. 1 Um provedor de acesso à Iteret está moitorado a duração do tempo de coexões de seus clietes, com o objetivo de dimesioar seus equipametos. A média é descohecida, mas o desvio padrão é cosiderado igual a 50 miutos. Uma amostra de 500 coexões resultou em um valor médio observado de 25 miutos. O dizer da verdadeira média, com coaça γ = 0, 92? 15 Supoha X represete a duração da vida de uma peça de equipameto. Admita-se 0 peças sejam esaiadas, forecedo uma duração de vida média de 501, 2 horas. Supoha-se o desvio padrão seja cohecido e igual a horas. Costrua um itervalo de coaça de 95% para a média. 1 A diretoria de uma escola de segudo grau r estimar a proporção p de estudates coseguiram eteder de forma satisfatória as mesages trasmitidas uma exposição de arte. Essa proporção deverá ser estimada com um erro de 5% para um coeciete de coaça de 90%. a) Qual é o tamaho de amostra ecessário para ateder às exigêcias da diretoria? b) Que tamaho deverá ter a amostra sabedo p está etre 0, 20 e 0, 0? E sabedo p < 0, 20? c) Numa amostra de 150 estudates, 0 apresetaram desempeho satisfatório um teste aplicado a saída da exposição. Qual seria a estimativa itervalar de p esse caso, para γ = 0, 95? 17 Uma revista semaal, em artigo sobre a participação das mulheres em curso superior de admiistração, pretede estimar a proporção p de mulheres este curso. a) Quatos estudates de admiistração devem ser etrevistados de modo a proporção p seja estimada com um erro de 0, 0 e uma probabilidade de 0, 98? b) Se tivermos a iformação adicioal de a proporção p é pelo meos 35%, você coseguiria dimiuir o tamaho amostral calculado o item aterior? Justi. 18 Um estudo da prefeitura idica 30 das criaças da cidade têm decit de ateção a escola. Numa amostra de 200 criaças, qual a probabilidade de pelo meos 50 criaças teham esse problema? 2

3 Respostas dos Exercícios 1 Seja X a distâcia do poto atigido ao cetro do alvo. Note X 0. Seja Y uma variável aleatória deida como sedo igual a 20 caso X 20 e 0 em outro caso. Logo, X Y. Tomado esperaça temos E[X] E[Y] = 20P[X 20]. Como E[X] = 5 temos P[X 20] 1. Observação: Poderíamos simplesmete ter aplicado a desigualdade de Chebyshev. 2 P[0 < X < 0] = P[ 20 < X 20 < 20] = 1 P[ X 20 20] = (a)p[x 85] E[X]/85 = 15/17. (b)p[5 X 85] = 1 P[ X 75 > ] 1 25 (c)p[ X i / 75 > 5] 25. Logo = Sejam X 1, X 2,..., X variáveis aleatórias idepedetes cada uma assumido os valores 0 e 1 com probabilidade 1 2. Deiremos 1 represeta cara e 0 represeta coroa. Logo S = X 1 +X X represeta o úmero de caras em laçametos. Temos E[ S ] = 1 E[X i ] = 1 2 e, devido a idepedêcia, temos V( S ) = 1 2 V(X i ) = 1, já E[X i ] = 1 2 e V(X i) = 1 para todo i, i = 1, 2,...,. Aplicado a desigualdade de Chebyschev temos P( S 1 2 0, 1) 1 (0, 1) 2. Substituido temos os limites iferiores forecidos pela desigualdade de Chebyschev são: (a)1 1, (b) e (c) respectivamete. 5 Aalogamete ao problema aterior temos P( S 1 2 < ɛ) 1 1 ɛ 2. O resultado segue desta desigualdade. Sejam X 1, X 2,..., X variáveis aleatórias idepedetes cada uma assumido os valores 0 e 1 com probabilidade p e 1 p respectivamete. Por coveção assumiremos 1 represeta cara e 0 represeta coroa. Logo S = X 1 +X X represeta o úmero de caras em laçametos. Temos E[ S ] = 1 E[X i ] = p e, devido a idepedêcia, temos V( S ) = 1 2 V(X i ) =, já E[X i ] = p e V(X i ) = para todo i, i = 1, 2,...,. Aplicado a desigualdade de Chebyschev temos P( S p ɛ) ɛ 2 para todo ɛ > 0. Isto implica lim P( S p < ɛ) = 1. 7 Este exercício é opcioal. Dica: Sejam X 1, X 2,..., X variáveis aleatórias idepedetes cada uma assumido os valores 0 e 1 com probabilidade p e 1 p respectivamete. Seja S = X 1 +X X o úmero de caras em laçametos. Dea o poliômio r (p) = E[f( S )] e estude a expressão r (p) f(p). 8 Seja X i o úmero sorteado pelo i-ésimo dado e seja S = X i a soma dos úmeros sorteados os laçametos dos dados. Logo, P[30 < S < 0] = P[ < S 7 2 < ]. Utilizado a aproximação dada pelo Teorema Cetral do Limite temos P[30 < S < 0] Φ( ) Φ( ), ode Φ(t) é a fução de distribuição acumulada de uma variável aleatória com distribuição ormal padrão. 9 Note E[Y] = 0 e V(Y) = 0. logo, P[Y < 90] = P[ Y 0 < 90 0 ]. Pelo Teorema Cetral do Limite, P[ Y 0 < 90 0 ] Φ( 90 0 ) = Φ( 1) = 0,

4 Note P[ S µ σ ] = P[ σ S µ σ ] = P[ S µ ]. Pelo Teorema Cetral do Limite, P[ σ S µ σ ] Φ( ) Φ( ) = 2Φ( ) 1, ode Φ(t) é a fução de distribuição acumulada de uma variável aleatória com distribuição ormal padrão. Logo, ecotre tal Φ( ) 0, Aálogo ao exercício Cosidere uma sequêcia (X ) 1 de variáveis aleatórias idepedetes, ideticamete distribuídas, com distribuição Poisso de parâmetro 1. S = X k tem distribuição Poisso de parâmetro. k=1 Logo temos P[S ] = P[S = k] = e k k! Como E[X i ] = 1 e V(X i ) = 1 e P[S ] = P[ S ] = P[ S 0] o Teorema Cetral do Limite implica lim e k k! = Φ(0) = 1 2, ode Φ(t) é a fução de distribuição acumulada de uma variável aleatória com distribuição ormal padrão. 13 Chebyschev. 1 O itervalo de coaça para a média com variâcia σ 2 cohecida e coeciete de coaça γ ou γ0% é dado por [X a σ, X + a σ ], ode X é a média amostral e a é tal (1 Φ(a)) = α 2 com γ = 1 α. Logo, a é tal Φ(a) = 0, 9. Portato a = 1, 755, X = 25, = 500 e σ = Aálogo ao exercício 1. 1 Seja X i Beroulli(p) assumido os valores 0 e 1, ode X i = 1 se o i-ésimo estudate etedeu a mesagem de forma satisfatória e 0 em outro caso. Logo, X = S = represeta a proporção dos estudates etederam a mesagem X i de forma satisfatória e é uma estimativa do valor descohecido p. A estimativa itervalar para a proporção descohecida é dada por um itervalo da forma [X ɛ, X + ɛ], ode ɛ é a margem de erro. A estimativa itervalar com margem de erro ɛ tem coeciete de coaça γ se γ = P[ X p ɛ]. Note ɛ γ = P[ ɛ = P[ Φ(t,ɛ ) Φ( t,ɛ ), S p S p ɛ ] ɛ ] ode Φ(t) é a fução de distribuição acumulada de uma variável aleatória com distribuição ormal padrão e t,ɛ = p(1 p) ɛ. A aproximação deve-se ao Teorema Cetral do Limite. Na prática, tomase γ = Φ(t,ɛ ) Φ( t,ɛ ). Pelas propriedades da fução Φ segue γ = 2Φ(t,ɛ ) 1. (a) t,ɛ = p(1 p) ɛ. Logo, t2,ɛ já p é descohecido e portato limitamos a expresão ɛ 2 por 1/ é seu valor máximo o itervalo [0, 1]. Como ɛ = 0, 05 e γ = 0, 90 etão t,ɛ = 1, 5. Logo, 272, 5. Toma-se = 272. (b) A fução f(p) = tem um máximo absoluto em I = [0, 1] em p = 1 2. Desta forma, se o valor descohecido de p pertece ao itervalo (0.2, 0.) limitamos o valor de f(p) por 1/ e deve ser como o problema aterior, = 272. Se 0 < p < 0, 2 etão f(p) 0.1. Logo, 17, 2. Toma-se = 17. (c) Na prática substitui-se a proporção descohecida X pela proporção amostral ^p. Da expresão γ = P[ p(1 p) ɛ S p p(1 p) ɛ ] temos p(1 p) ^p(1 ^p) ^p(1 ^p) I = [^p z, ^p + z ] é um itervalo de coaça para a proporção descohecida com coeciete de coaça γ ode z e γ estão relacioados através da equação γ = Φ(z) Φ( z) = 2Φ(z) 1. No problema = 150, ^p = = 0, 0, γ = 0, 95 e portato z = 1, 9. Logo, I = [0.321, 0.78]. 17 Idem Exercício Vamos cosiderar o caso em cada criaça tem a mesma probabilidade de ter este problema.

5 Deido { 1 se a j ésima criaça tem esse problema. X j = 0 c.c. temos X = X 1 + +X 200 Biomial(200, 0, 30). A probabilidade a ser calculada é P[X 50] = 200 k=50 ( 200 k ) 0, 3 k 0, k Vamos aproximar esse valor. Sabemos X Biomial(200, 0, 30). Logo, E[X] = 200 (0, 3) = 0 e Var(X) = 200 (0, 3)(0, 7) = 2. Assim sedo, aproximamos a distribuição de X pela distribuição de uma variável aleatória Y com Y N(0, 2). Logo, P[X 50] P[Y 50] = P[ Y ] 2 2 = 1 Φ( 1, 2) = 0, 90, ode Φ(t) é a fução de distribuição aumulada de uma variável aleatória com distribuição ormal padrão. 5