A Inferência Estatística é um conjunto de técnicas que objetiva estudar a população através de evidências fornecidas por uma amostra.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Distribuição Amostral Luiz Medeiros de Araujo Lima Filho Departameto de Estatística

2 INTRODUÇÃO A Iferêcia Estatística é um cojuto de técicas que objetiva estudar a população através de evidêcias forecidas por uma amostra. É a amostra que cotém os elemetos que podem ser observados e, a partir daí, quatidades de iteresse podem ser medidas. x

3 A Distribuição Amostral retrata o comportameto de uma estatística (média, proporção, etre outras), caso retirássemos todas as possíveis amostras de tamaho de uma população. Uma estatística é uma fução da amostra. Uma amostra cosiste de observações de uma variável aleatória. Assim, estatísticas também são variáveis aleatórias e, por isso, possuem uma distribuição de probabilidade. x

4 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA Cosidere uma população de 5 elemetos (N = 5): 2, 3, 6, 8 e 11. Determie todas as amostras possíveis com reposição e calcule a média e a variâcia Solução: Na população, temos que µ=6 eσ 2 =10,8. Amostra (2,2) (2,3) (2,6) (2,8) (2,11) (3,2)... (11,11) X S 2 2 2, ,5 2, , ,5 0,5... 0

5 Seja X 1, X 2,..., X uma a.a.s. retirada de uma população X. Temos que X 1, X 2,..., X são idepedetes, com E(X i ) = µ e Var(X i ) = σ 2. Assim, se X tem distribuição ormal ou > 30 (Teorema Cetral do Limite), temos que x

6 Supoha que podemos extrair todas as amostras de tamaho (sem reposição) de uma população fiita de tamaho N, este caso temos que: σ N µ = µ e σ = X X N 1 N A quatidade N 1 é cohecida como o fator de correção amostral para população fiita, ou simplesmete Fator de Correção. Se o tamaho da população for muito grade, ifiito ou aida a amostragem for feita com reposição, os resultados acima passam a ser: σ µ = µ e σ = X X Obs: Uma população que tem um limite superior defiido é chamada de fiita. Em estatística, cosidera-se como população fiita quado (/N) > 0,05, ou seja, quado a fração amostral é maior do que 5 %. x

7 Distribuição Amostral de Xquado a população é ormal

8 Distribuição Amostral de X quado a população ão é ormal e amostra suficietemete grade

9 EXEMPLO 1 A altura dos estudates da turma de Estatística tem distribuição ormal com média 172 cm e desvio padrão 9 cm. Uma amostra de 25 estudates é retirada. a) Qual a probabilidade de que a média amostral seja acima de 175 cm? b) Qual a probabilidade de que a média amostral esteja etre 170 e 176 cm? c) Qual deve ser a altura média dos estudates que permita que em 90% das vezes a média amostral seja iferior a este valor.

10 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Cosidere uma população em que cada elemeto é classificado de acordo com a preseça ou ausêcia de determiada característica. Por exemplo, podemos pesar em eleitores escolhedo etre 2 cadidatos, pessoas classificadas de acordo com o sexo, e assim por diate.vamos cosiderar uma população em que a proporção de idivíduos com uma certa característica é p. Logo, podemos defiir uma v.a. X como

11 Retira-se uma a.a.s. de tamaho dessa população. Seja S = X i o úmero de idivíduos com a característica de i= 1 iteresse a amostra, temos que S ~ Biomial(, p). A variável aleatória S tem distribuição exata dada por uma biomial com parâmetros e p. Desta forma, probabilidades evolvedo a proporção amostral podem ser calculadas de modo exato usado esta distribuição. Caso o valor de seja muito grade, essas probabilidades darão algum trabalho para serem calculadas e tora-se coveiete utilizar a aproximação Normal.

12 TEOREMA CENTRAL DO LIMITE A Distribuição Amostral de pˆ pode ser aproximada por uma distribuição ormal de probabilidade sempre que o tamaho da amostra for grade. Pode-se utilizar essa aproximação se são satisfeitas as seguites codições: o p 5 o (1-p) 5

13 S Sabemos que X = tem distribuição ormal para suficietemete grade. Seja p ˆ = X, a proporção amostral, temos que: Obs: σ pˆ é cohecido como erro padrão da proporção.

14 Supoha que podemos extrair todas as amostras de tamaho (sem reposição) de uma população fiita de tamaho N, este caso temos que: µ pˆ = p e σ pˆ = p(1 p) N N 1 N A quatidade N 1 é cohecida como o fator de correção amostral para população fiita, ou simplesmete Fator de Correção. Se o tamaho da população for muito grade, ifiito ou aida a amostragem for feita com reposição, os resultados acima passam a ser: p(1 p) µ p x pˆ = e σ ˆ = p

15 Exemplo 2 Com base em dados históricos, uma compahia aérea estima em 15% a taxa de desistêcia etre seus clietes, isto é, 15% dos passageiros com reserva ão aparecem a hora do vôo. Para otimizar a ocupação de suas aeroaves, essa compahia decide aceitar 400 reservas para os vôos em aeroaves que comportam apeas 350 passageiros. a) Qual a probabilidade de que essa compahia ão teha assetos suficietes em um desses vôos. Essa probabilidade é alta o suficiete para a compahia rever sua política de reserva? x

16 Exemplo 3 De acordo com os estudos realizados pela Cagepa, o muicípio de João Pessoa, o cosumo mesal de água por residêcia tem distribuição ormal com média 20 m 3 e variâcia de 144 m 3. a) Em uma amostra de 36 residêcias, qual a probabilidade de que a média amostral ão se afaste da verdadeira média populacioal por mais de 2 m 3? b) Devida a escassez de água os reservatórios, a empresa deseja estipular um cosumo médio de forma que em 95% das vezes o cosumo médio amostral seja iferior a este valor. Qual deve ser o valor estipulado pela Cagepa?

17 Exemplo 4 Com base em dados obtidos em uma pesquisa de mercado, observou-se a aceitação de um determiado saboete é de 70%. A empresa etrevistou 100 cosumidores. a) Qual deveria ter sido o tamaho da amostra com ível de cofiaça de 95% e um erro amostral de o máximo 3%? b) Qual a probabilidade de que a proporção amostral de aceitação do saboete esteja etre 65% e 78%? c) Qual a probabilidade de que sejam ecotradas 60 ou mais cosumidores que teham aprovado o produto?