MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Notas de aulas Gereciameto do Empreedimeto de Egeharia Egeharia Ecoômica e Aálise de Empreedimetos Prof. Márcio Belluomii Moraes, MsC CONCEITOS BÁSICOS PORCENTAGEM PORCENTO (do latim per cetum ) = para cada cem Ex: 30% = 30/100 = 0,30 CAPITAL, PRINCIPAL ou VALOR PRESENTE Quatia moetária trasacioada em operações de empréstimo ou aplicações. JUROS Redimeto, remueração ou resultado fiaceiro de um capital, tedo como uidade de medida a taxa de juros (i), esta represetada percetualmete e estado sempre associada a períodos de tempo decorridos etre a alocação dos recursos e seu retoro. O juro pode ser cosiderado como um ôus ou ecargo do capital. MONTANTE OU VALOR FUTURO Soma do Capital com Juro obtido pela aplicação (ou empréstimo) desse capital um determiado período de tempo 1

2 TAXAS EQUIVALENTES: Taxas que aplicadas a um mesmo capital, em igual período de tempo, produzem juros iguais. NOTAÇÕES ADOTADAS Notação Calculadoras Valor Presete (Capital) Valor Futuro (Motate) P F PV FV Juros J - Taxa de juros Uidade de tempo Prestações periódicas iguais i R i PMT 2

3 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA Represetação Gráfica de um cojuto de etradas e saídas de diheiro ao logo do tempo (fluxo de caixa). Essa represetação é útil quado se precisa visualizar um cojuto de capitais (etradas e/ou saídas), suas características e comparações o tempo. O eixo horizotal represeta os períodos de tempo, cumulativamete, e o eixo vertical represeta as etradas e/ou saídas de capital seguido-se a coveção do eixo cartesiao: Saída de Capital (despesas) Etrada de Capital (receitas) Exemplo : Um idivíduo aplicou $ 100 em uma istituição fiaceira e recebeu $ 10 de juros após 6 meses. Represete o fluxo de caixa do aplicador e da istituição. Fluxo de caixa da istituição: Fluxo de caixa do idivíduo:

4 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO O processo pelo qual os juros são formados é deomiado de regime de capitalização. Quado se aplica um capital a uma determiada taxa por período, por vários períodos, o motate pode variar segudo dois critérios: regime de capitalização simples ou regime de capitalização composta. No regime de capitalização simples as taxas icidem apeas sobre o capital iicial, sedo iguais os juros gerados em cada período. No regime de capitalização composta a taxa de juros icide sobre o valor presete, acrescido dos juros acumulados até o período aterior. Exemplo: Para uma taxa de juros de 10% ao mês: F = P + J CAPITALIZAÇÃO SIMPLES tempo(meses) valor presete(r$) juros(r$) valor futuro(r$) ,00 500, , ,00 500, , ,00 500, ,00 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA tempo(meses) valor presete(r$) juros(r$) valor futuro(r$) ,00 500, , ,00 550, , ,00 605, ,00 4

5 JUROS SIMPLES Cosiderado-se um capital P aplicado em regime de capitalização simples, em períodos a uma taxa de juros i, tem-se: para = 1 J 1 = P * i para = 2 J 2 = (P * i) + (P * i) = (P * i) * 2 para = 3 J 3 = (P * i) + (P * i) + (P * i) = (P * i) * 3 Aalogamete, para períodos tem-se: J = (P*i) +(P*i) + (P*i)+..+(P * i), etão: J = Pi Para o cálculo do Valor Futuro ou Motate, tem-se: F = P + J = Pi J F = P + Pi ( i) F = P 1 + Observação: Para os cálculos tempo e taxa devem estar a mesma uidade e a taxa deve ser expressa em otação cetesimal. 5

6 JUROS COMPOSTOS Cosiderado-se um capital P aplicado em regime de capitalização composta, em períodos, a uma taxa de juros i : F = P + J para = 1 F 1 = P + P * i = P (1 + i) para = 2 F 2 = F 1 (1 + i) = P (1 * i) 2 para = 3 F 3 = F 2 (1 + i) = P (1 * i) 3 Aalogamete, para períodos, tem-se: F = F -1 (1 + i), etão: F = P (1 + i) -1 * (1 + i) ( i) F = P 1 + Como o valor futuro é a soma do capital com o juros: J = F P J c = P* ( 1+ i) P J c = P* [ ( 1 + i) 1 ] 6

7 TAXAS EQUIVALENTES Toda operação fiaceira evolve dois prazos: o prazo a que se refere à taxa de juros e o prazo de capitalização dos juros. As taxas de juros são equivaletes quado, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo itervalo de tempo, resultam um mesmo valor de juros. TAXAS EQUIVALENTES EM JUROS SIMPLES Da defiição de taxa equivalete, tem-se as seguites codições: Como J = P * i * : P 1 = P 2, J 1 = J 2 J 1 = P 1 * i 1 * 1 J 2 = P 2 * i 2 * 2 Como J 1 = J 2 e P 1 = P 2 : P 1 * i 1 * 1 = P 2 * i 2 * 2 i 1 * 1 = i 2 * 2 Cosiderado-se o período 1 como uitário, sedo 2 múltiplo de 1, tem-se: i = ou 1 i 2 * 2 i i 2 = 1 2 TAXAS EQUIVALENTES EM JUROS COMPOSTOS Aalogamete a dedução mostrada o item aterior: J = P * (1 + i) J 1 = P 1 * (1 + i 1 ) 1 J 2 = P 2 * (1 + i 2 ) 2 Como J 1 = J 2 e P 1 = P 2 (1 + i 1 ) 1 = (1 + i 2 ) 2 Cosiderado-se o período 1 como uitário, sedo 2 múltiplo de 1, tem-se: (1 + i 1 )= (1 + i 2 ) 2 7

8 DESCONTOS Descoto é a difereça etre o valor futuro de um título (valor omial, de face ou de resgate) e o seu valor atual a data da operação. Títulos: Duplicata Nota Promissória Letra de Câmbio Esses títulos podem ser descotados atecipadamete os bacos. Tal procedimeto sigifica que o baco compra o título, avalizado pelo credor, e credita a sua cota o valor omial do título, meos a taxa (descoto) cobrada a operação. descoto por detro (racioal) o qual a taxa de descoto icide sobre o valor líquido creditado (valor presete); descoto por fora (bacário ou comercial) o qual a taxa de descoto icide sobre o valor futuro (omial). O Sistema Fiaceiro Nacioal utiliza o descoto por fora, pelo sistema de juros simples. No Brasil, portato, a taxa real de descoto ão correspode à idicada pelos agetes fiaceiros, pois ela deveria ser calculada a partir do valor líquido creditado, já que este é, efetivamete, o valor do empréstimo. NOTAÇÃO UTILIZADA: N = Valor omial do título L = Valor líquido creditado D = Valor do descoto = tempo i = taxa de descoto 8

9 DESCONTO BANCÁRIO (POR FORA) Sedo N o Valor Nomial de um título o seu vecimeto e L o seu valor atual, ou líquido, períodos ateriores ao seu vecimeto, da defiição de descoto bacário ou comercial, temos: D B N L 0 L = N - D B, Como D B = N * * i (juros icidem sobre o valor omial), têm-se: L B = N - N * * i L B = N (1 * i) DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) Para as mesmas hipóteses apresetadas o item aterior, da defiição de descoto racioal, temos: D R = N - L, N = L + Li (juros icidem sobre o valor líquido) L R = N / (1+i) Como D r = Li, D R = (N/ 1 + i) i Observação: em algus casos o descoto bacário iclui-se uma taxa adicioal (h), a título de despesas operacioais ou risco. Nesta situação teríamos: L B = N. [1-(.i + h)] D B = N. (.i + h) 9

10 SEQÜÊNCIAS DE CAPITAIS SEQÜÊNCIAS UNIFORMES Uma seqüêcia de capitais y 1, y 2, y 3,...y, respectivamete as datas 1, 2, 3,...,, costitui uma seqüêcia uiforme, se: y 1 = y 2 = y 3 =... = y = R R R R R 0 O valor presete (a data zero) de uma seqüêcia uiforme de termos postecipados (primeiro capital a data 1), a taxa de juros i, a uidade de tempo cosiderada é dado por: R R R R P = L + (1) 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) Multiplicado ambos os membros por (1 + i), tem-se: R R R P *(1 + i) = R L + (2) 2 1 (1 + i) (1 + i) (1 + i) Subtraido (2) (1) : R P *(1 + i) P = R (1 + i) 10

11 (1 + i) 1 P = R *, ode: (1 + i) * i (1 + i) (1 + i) 1 *i = a i = fator de valor presete P = R * a i O valor futuro, ou motate, de uma seqüêcia uiforme de termos postecipados, a data, a taxa de juros i é dado por: (1 + i) F = R * i 1, ode: (1 + i) i 1 = S i = fator de capitalização F = R *S i O fator de valor presete ou o fator de capitalização pode ser calculado diretamete pela fórmula ou ser obtido através de tabelas fiaceiras. Nas calculadoras fiaceiras obtém-se diretamete o valor de qualquer uma das variáveis (V, F, R, i, ) dados os valores das outras: PV P (valor presete) FV F (valor futuro) PMT R (valor de cada capital ou prestação periódica igual) i i (taxa de juros). ( o de períodos referetes a uidade de tempo de taxa) END/BEG data do primeiro capital: postecipado/atecipado 11

12 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS A palavra amortização tem origem o latim mortis, que sigifica morte. Em setido amplo, etede-se por amortização a dimiuição gradual ou extição de um capital, geralmete represetado por um empréstimo, através de prestações periódicas, que podem ou ão icluir juros sobre o capital. Exemplo: Um empréstimo de R$ ,00 deve ser amortizado em 4 aos, em parcelas de R$ 5.000,00; R$ ,00; R$ ,00; e R$ ,00, respectivamete, mais juros de 5% ao ao. Motar uma plailha demostrativa período a período da operação. t = 0: So = P = ,00 t = 1: J 1 = * 0,05 = 2.500,00 A 1 = 5.000,00 R 1 = = 7.500,00 S 1 = = ,00 t = 2: J 2 = * 0,05 = 2.250,00 A 2 = ,00 R 2 = = ,00 S 2 = = ,00 A plailha demostrativa da operação será: Ao Saldo Devedor (S E ) Amortização (A E ) Juros (J E ) Prestação (R E ) , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Total , , ,00 12

13 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Qualquer sistema que objetive a quitação de um determiado capital por meio de prestações pode ser cosiderado um sistema de amortização, desde que respeite o pricípio básico de amortização de capital: o motate do capital deve ser igual ao motate das amortizações, sejam estas costates ou variáveis de acordo com lei matemática cohecida Sistema de Amortização Costate (SAC) De acordo com esse sistema todas as parcelas de amortização são iguais: A 1 = A 2 = A 3 =...= A = P = A O valor das prestações é dado por: R 1 = A + J 1 = A + Pi R 2 = A + J 2 = A + (P - A).i = A + Pi Ai R 3 = A + J 3 = A + (P - 2A).i = A + Pi - 2Ai R = A + J = A + [P - ( -1)A].i = A + Pi - ( - 1).Ai Graficamete, têm-se: 13

14 Exemplo: Um empréstimo de R$50.000,00 deve ser pago em 4 prestações auais pelo SAC, à taxa de 5% ao ao. Obteha a plailha demostrativa período a período da operação A = = A plailha demostrativa da operação: Ao Saldo Devedor (S E ) Amortização (A E ) Juros (J E ) Prestação (R E ) , , , , , , , , , , , , , ,00 625, ,00 Total , , ,00 14

15 Sistema Fracês (Sistema Price) Esse sistema foi desevolvido a Fraça, o século XIX, pelo matemático iglês Richard Price. As prestações são iguais e cosecutivas, a partir do istate em que começam a ser pagas as amortizações. Assim as prestações costituem uma seqüêcia uiforme, portato: P R =, sedo a i o fator de valor presete já demostrado. a i Como Rt = Jt + A 1 = R (costate), J 1, J 2, J 3,..., J formam uma sequêcia decrescete. Para o cálculo do saldo devedor um determiado istate t, o sistema Fracês, deve-se calcular o valor presete das prestações a vecer esse istate. Exemplo: Um empréstimo de R$ ,00 deve ser pago em 4 prestações auais pelo sistema Fracês à taxa de 5% ao ao. Obteha a plailha demostrativa período a período da operação. Qual o saldo devedor o ato de pagameto da 2 a parcela? R = a 4 5 a 5 (1+ i) 1 = (1+ i) i 4 (1,05) 1 = (1,04 ) 0,05 a4 5 = 4 3,

16 R = = ,60 3, A plailha demostrativa da operação: Ao Saldo Devedor (S E ) Amortização (A E ) Juros (J E ) Prestação (R E ) , , , , , , , , , , , , , ,11 671, ,57 Total , , ,37 Para o cálculo do saldo devedor o ato do pagameto da 2 a. parcela: V = R * a S 2 = R* a 2 5 a = 1, S 2 = ,60 * 1, S 2 = ,80 i 16