MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 Uiversidade Comuitária da Região de Chapecó Sistemas de Iformação $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ MATEMÁTICA FINANCEIRA (MATERIAL DE APOIO E EXERCÍCIOS) $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ Beo Nicolau Bieger Juro é o prêmio pela espera. Descoto é o preço da impaciêcia. (Prof. Rochadelli PPGEF/UFPR)

2 2 UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGIÃO DE CHAPECÓ Área: Área de Ciêcias Exatas e Ambietais Curso: SISTEMAS DE INFORMAÇÃO - Matriz 346 Período: 5 Compoete Curricular: MATEMÁTICA FINANCEIRA Carga horária: 72 h/a Professor: Beo Nicolau Bieger PLANO DE ENSINO 1. EMENTA Regimes de capitalização de juros e descotos. Séries uiformes. Equivalêcia de Capitais. Tópicos de Aálise de Ivestimetos. 2. JUSTIFICATIVA A disciplia justifica-se pela ecessidade que o aluo tem em eteder as relações fiaceiras que evolvem a atividade profissioal bem como o uso diário como cidadão, dos cálculos matemáticos e fiaceiros. Aida justifica-se pela êfase empreededora que caracteriza este profissioal egresso da Uiversidade. 3. OBJETIVOS 3.1 OBJETIVO GERAL Aprofudar o estudo da matemática os coteúdos iiciais da matemática fiaceira, preparado o aluo para as trasações comerciais e fiaceiras. Preparar o futuro profissioal o domíio dos cálculos fiaceiros objetivado uma visão clara e sistêmica das relações fiaceiras do mudo do trabalho. 3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS - Iterpretar corretamete os problemas fiaceiros: juros, descotos, regimes de capitalização, periodicidade. - Idetificar corretamete as variáveis que evolvem cálculos fiaceiros. - Sistematizar as soluções para os problemas fiaceiros. - Usar adequadamete os istrumetos dispoibilizados para a solução de problemas fiaceiros. - Utilizar adequadamete os equipametos e ferrametas dispoibilizadas para a solução de problemas e cálculos fiaceiros. - Ter cohecimeto e capacidade de aalisar ofertas comerciais sob o efoque fiaceiro. - Ter capacidade e competêcia para efetuar reegociações fiaceiras etre pessoas físicas e jurídicas. - Ter uma visão clara e sistêmica das relações fiaceiras do mudo comercial e do trabalho. - Usar a lógica para a solução de problemas e situações iéditas as relações comerciais e fiaceiras. - Ter oções importates sobre a viabilidade ecoômica e fiaceira de empreedimetos. 4. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO - Juros simples: Coceitos. Cálculo do juro simples. Cálculo do motate. - Juros compostos: Coceitos. Cálculo do Motate. Tabelas - Estudo de taxas: Nomial, proporcioal, média, acumulada, efetiva, equivalete, real. - Descotos simples: Coceito. Descoto comercial ou por fora ; cálculo do valor atual. Descoto racioal ou por detro ; cálculo do valor atual. Comparação de descoto comercial e racioal. - Descotos compostos. Coceitos. Descoto composto Real. Cálculo do Valor Atual. Descoto composto Bacário. Cálculo do Valor Atual.

3 3 - Séries Uiformes: Classificação. Cálculo do valor atal, do motate e da prestação de séries atecipadas, postecipadas e diferidas. Séries perpétuas: Cálculo do valor atual, da prestação e da taxa. Equivalêcia de capitais diferidos: permuta de títulos, formação de fudos, alogameto de dívidas. - Tópicos de Aálise de Ivestimetos (coceitos, métodos, aplicações). 5. METODOLOGIA 5.1 Aulas expositivas 5.2 Solução idividual e coletiva de problemas e exercícios. Estudos de Casos. Estudo e solução dos aspectos fiaceiros de aúcios comerciais. 5.3 Pequeos grupos para trabalhos e solução de problemas. 6. CRONOGRAMA (proposto) Aula Coteúdo programado Obs 1ª Discussão do Plao de Esio. Exercício de verificação de cohecimetos. Revisão dos coteúdos ecessários à disciplia. 2ª Juros simples: Coceitos. Cálculo do juro simples. Cálculo do motate. Exercícios. 3ª Juros compostos: Coceitos. Cálculo do Motate. Exercícios. 4ª Estudo de taxas. Exercícios 5ª Descotos simples: Coceito.Descoto comercial ou por fora; cálculo do valor atual. Descoto racioal ou por detro; cálculo do valor atual. Exercícios 6ª Descotos compostos: Coceitos. Descoto composto Real. Cálculo do Valor Atual. Exercícios. 7ª Descoto composto Bacário. Cálculo do Valor Atual. Exercícios. 8ª Avaliação G1 9ª Séries uiformes. Coceitos. Classificação. Séries postecipadas. Cálculo do valor atual. Cálculo do Motate. Séries atecipadas. Cálculo do valor atual. Cálculo do Motate. Exercícios. 10ª Séries perpétuas. Cálculo do valor atual. Cálculo da prestação. Séries diferidas. Cálculo do valor atual. Cálculo do Motate. Exercícios. 11ª Aula de Exercícios. 12ª Equivalêcia de capitais com capitalização composta. Exercícios. 13ª Equivalêcia de capitais com capitalização composta. Exercícios. 14ª Sistemas de Amortização de Empréstimos e Fiaciametos 15ª Sistemas de Amortização de Empréstimos e Fiaciametos 16ª Avaliação G1. 17ª Revisão. Exercícios. 18ª Avaliação G2. 19ª Avaliação G3. Data da Aula Dia da Hora Semaa Iicial Hora Fial 19/02/2013 Terça-Feira 19:00 19/02/ /02/2013 Terça-Feira 19:00 26/02/ /03/2013 Terça-Feira 19:00 05/03/ /03/2013 Terça-Feira 19:00 12/03/2013 Obs

4 4 19/03/2013 Terça-Feira 19:00 19/03/ /03/2013 Terça-Feira 19:00 26/03/ /04/2013 Terça-Feira 19:00 02/04/ /04/2013 Terça-Feira 19:00 09/04/ /04/2013 Terça-Feira 19:00 16/04/ /04/2013 Terça-Feira 19:00 23/04/ /04/2013 Terça-Feira 19:00 30/04/ /05/2013 Terça-Feira 19:00 14/05/ /05/2013 Terça-Feira 19:00 21/05/ /05/2013 Terça-Feira 19:00 28/05/ /06/2013 Terça-Feira 19:00 04/06/ /06/2013 Terça-Feira 19:00 11/06/ /06/2013 Terça-Feira 19:00 18/06/ /06/2013 Terça-Feira 19:00 25/06/ AVALIAÇÃO 7.1 Preseça, participação e exercícios em sala de aula G1: (três otas compõem a G1) Duas avaliações em sala de aula sobre os coteúdos parciais mais uma G1 composta de mii avaliações de uma questão o fial de cada aula (a soma destas mii avaliações será a 3a. ota G1). - G 2 - Uma, com coteúdo cumulativo, coforme as orietações/ormas da Istituição. 7.3 Exames - G3 - para aqueles aluos que ão alcaçarem a potuação ormatizada pela Istituição. 7.4 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO - Participação as discussões, debates, e trabalhos idividuais ou em grupo. - Solução dos problemas e exercícios (itra e extra classe) propostos. 8. REFERÊNCIAS 8.1. Referêcia Básica * CARVALHO, Thales Mello. Matemática comercial e fiaceira: complemetos de matemática. 5. ed. Rio de Jaeiro: FENAME, p. * FRANCISCO, Walter de. Matemática fiaceira. 7. ed. São Paulo: Atlas, p. ISBN X. * PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática fiaceira: objetiva e aplicada. 6. ed. São Paulo: Saraiva, p. ISBN Referêcia Complemetar * CASAROTTO FILHO, Nelso; KOPITTKE, Bruo Hartmut. Aálise de ivestimetos. 9. ed. São Paulo: Atlas, p. : ISBN * MATHIAS, Washigto Fraco; GOMES, José Maria. Matemática fiaceira. 3. ed. São Paulo: Atlas, p. ISBN * SHINODA, Carlos. Matemática fiaceira para usuários do excel 5.0. São Paulo: Atlas, p. ISBN * TOSI, Armado José. Matemática fiaceira com utilização do excel 2000: aplicável às versões 5.0, 7.0 e 97. São Paulo: Atlas, p. ISBN * ZDANOWICZ, José Eduardo. Orçameto de capital: a decisão de impacto. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, p. 9. OBS PROFESSOR Seguido a possibilidade prevista a Resolução CONSUN 144/08, poderá ser aplicado trabalho acadêmico efetivo uiversitário extra classe, coforme carga horária prevista a legislação.

5 5 "Muitos pesam que sabem; poucos sabem que ão sabem; quem sabe, sabe que sabe muito pouco". Alexadre Caalii AVALIAÇÃO DE CONHECIMENTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA Nota: Questão Solução Gabarito a x 2 b x 2 c. 2 x 4 1 d e x 0,5 f g. 1 0,5 x 3 h. 5/8 4/5 x 2 3 i /3 j. log 1,75 l 1,75 k. log (32/16) l. log 32 / log16 m o (360/30) 1/2 p. 0,5-8, ,5 2 q. (1 0,5 2 ) 2 r. (1 0,25.2) 2 s. Qual é o iverso de 54? t. Qual é o valor da costate "e"? 3 / 5 u. 3/ 5 3 / 5 v. 5/ x. Calcular a área do triâgulo retâgulo Hipoteusa = 5m m 2 Cateto base = 3m

6 6 JUROS SIMPLES $ Quato vale hoje um ativo ou passivo formado em uma data do passado? $ Quato valerá, em um futuro cohecido, uma aplicação realizada hoje? $ Porque muitas dívidas cotraídas a compra de bes acabam ficado maiores do que o valor do próprio bem? Coceitos de juros - Juro é a remueração do capital. - Juro é uma compesação em diheiro pelo uso de um capital fiaceiro, por determiado tempo, a uma taxa previamete combiada. Juro é o prêmio pela espera. (Prof. Rochadelli PPGEF/UFPR) Juro simples é um artifício matemático para simplificar o cálculo de juros compostos. O juro é simples quado é produzido uicamete pelo capital iicial. Em todos os períodos cosiderados, o valor será sempre igual. Cálculo de juros simples ( j ) Calcula-se o juro (j) multiplicado-se o capital (C ou PV) com a taxa (i) e com o úmero de períodos () cosiderado, ou seja: j = C. i. ou j = PV. i. É importate lembrar que sempre usaremos a taxa (i) já dividida por 100, ou seja, uma taxa de 15% etra esta fórmula como 0,15; uma taxa de 20% como 0,2 e assim sucessivamete. Este procedimeto será adotado em todas as fórmulas aqui abordadas. Um procedimeto imprescidível é trabalharmos sempre com as mesmas uidades em todos os cálculos, ou seja: se a taxa for aual o úmero do período deve ecessariamete ser em aos; se for mesal, os períodos serão em meses; se a taxa for diária, os períodos serão em dias e assim por diate. Exemplo : Determiar os juros de um capital de R$ 2.000,0 aplicado durate oito meses a uma taxa de 18% a.a. Temos: C = i = 18 / 12 meses/ 100 = 0,015 = 8 meses j = C i j = x 0,015 x 8 j = 240,00 Nas calculadoras comus ou cietíficas basta teclar: 2000 x x 8 = (e o visor aparecerá 240,00) Na HP 12C teclar: 2000 CHS PV 18 i 8 30 x f INT Obs: Na HP a taxa utilizada sempre deverá ser aual e o período sempre em dias. Cálculo do Motate (C ) Chama-se de Motate (C ou FV) o capital somado aos seus juros produzidos.

7 Se C = C + j e j = C.i. etão C = C + C.i. e colocado-se o C em evidêcia teremos C = C. ( 1 + i. ) ou PV.( 1 i. ) Exemplo : Calcular o Motate do exemplo aterior. 1ª Solução 2ª Solução C = C = ( 1 + 0,015 x 8 ) C = x 1,12 C = 2.240,00 C = 2.240,00 7 FV = + Nas calculadoras comus ou cietíficas basta teclar: (Dado seqüêcia ao cálculo do juro simples) 2000 x x 8 = 240, = 2.240,00 Na HP 12C basta teclar + (após o cálculo dos juros) e aparecerá o visor o Motate. ou seja 2000 CHS PV 18 i 240 f INT + Quado parecia que ada iria acotecer, uma ovidade aparece; e o mudo se trasforma. Este é o mometo propício para você apreder que sempre é possível ir além do que pesaria poder. (Aôimo)

8 8 EXERCÍCIOS JUROS SIMPLES 1. Calcular os juros de um capital de R$ 1.500,00, à taxa de 24% ao ao, durate um ao e três meses. 2. Um capital produziu juros de R$ 32,00 em cico meses a 7,5% ao semestre. Qual foi o capital? 3. A que taxa mesal o capital de R$ 3.200,00 produzirá o motate de R$ 4.184,00 em trezetos dias? 4. O capital de R$ 840,00 redeu R$ 120,00 de juros, à taxa de 10% ao ao. Qual foi o tempo da trasação? 5. Você aplicou em uma istituição fiaceira um valor equivalete a R$ ,00 que proporcioou um motate de R$ ,16 à uma taxa mesal 5,7%. Qual foi o tempo de aplicação? 6. O seu pai aplicou em sua cota um capital de R$ 1.200,00 que redeu R$ 450,80 de juros aplicado à uma taxa mesal 7%. Qual foi o tempo desta aplicação? 7. Você como gerete fiaceiro de sua empresa aplicou um capital de R$ 3.450,00 a uma taxa aual de juros de 37% por um trimestre. Qual o motate produzido? 8. Qual será o motate de uma aplicação de R$ 735,00 à taxa de 0,5% ao mês durate 135 dias? 9. Um determiado capital produziu o motate de R$ 5.789,00 aplicado a uma taxa de 1,41% ao mês durate sete trimestres. Qual foi o valor da aplicação? 10. Um capital aplicado o mercado fiaceiro triplicou de valor em dois aos três trimestres e meio mês. Qual foi a taxa aual desta aplicação? 11. Um capital triplicou de valor aplicado a uma taxa de 5% ao mês. Qual foi o tempo desta aplicação? 12. Você aplica R$ ,00 por quatro aos a poupaça que rede 0,5% ao mês (liquido). Quato terá o fim deste período? RESPOSTAS R$ 450,00 R$ 512,00 3,075% a.m. 1 ao, 5 meses e 4 dias 3 meses e 12 dias 5 meses e 11 dias R$ 3.769,13 R$ 751,54 R$ 4.466,48 71,64% a.a. 3 aos e 4 meses R$ ,00 A úica seguraça que o homem pode ter a sua vida é sua reserva de cohecimeto. (Hery Ford)

9 9 JUROS COMPOSTOS Relembrado: $ Quato vale hoje um ativo ou passivo formado em uma data do passado? $ Quato valerá, em um futuro cohecido, uma aplicação realizada hoje? $ Porque muitas dívidas cotraídas a compra de bes acabam ficado maiores do que o valor do próprio bem? Coceitos de juros - Juro é a remueração do capital. - Juro é uma compesação em diheiro pelo uso de um capital fiaceiro, por determiado tempo, a uma taxa previamete combiada. Coceito de juros compostos Juro composto é a trasação fiaceira em que um capital é aplicado por diversos períodos, mas, a cada ovo período, os juros produzidos o período aterior são icorporados ao capital para o cálculo dos juros do ovo período. Pelo coceito acima se percebe que, o primeiro período, os juros simples e os compostos são os mesmos, pois ão há capitalização. Coclui-se também que a formação do motate com juros simples é liear apresetado o comportameto de uma progressão aritmética (PA) ao passo que, com juros compostos é expoecial, apresetado o comportameto de um progressão geométrica (PG). Cálculo do Motate em juros compostos (C ou FV) fórmula: O Motate é a soma do juro (j) com o capital (C ou PV). Extrapolado este coceito para períodos chega-se à seguite C = C. ( 1 + i ) ou FV = PV.( 1+ i) É extremamete importate estar ateto para o regime de capitalização. Se a capitalização for aual, as variáveis (úmero de períodos) e i (taxa) devem ecessariamete estar expressas em aos. Se a capitalização for mesal, devem estar expressas em meses, e assim por diate. Também é importate lembrar que sempre usaremos a taxa (i) já dividida por 100, ou seja, uma taxa de 15% etra a fórmula como 0,15; uma taxa de 20% como 0,2, etc, como visto em juros e descotos simples. Exemplo: Determiar os juros de um capital de R$ 2.000,0 aplicado durate dois aos a uma taxa de 18%a.a., capitalizado trimestralmete. Temos: C = k = trimestral = 2 aos x 4 = 8 trimestres i = 18 / 4 trimestres/ 100 = 0,045 C = C. ( 1 + i ) C = 2000 (1+ 0,045) 8 C = 2000(1, ) C = 2.844,20 Como: j = C - C Teremos: j = 2.844, ,00 j = 844,20 Nas calculadoras comus ou cietíficas basta teclar: 2000 x (1 +0,045)8 y x = (o visor aparecerá) 2.844, = 844,20 Na HP 12C teclar: 2000 CHS PV 18 4 i 2 4 x FV 2000 (o visor aparecerá) 844,20

10 10 Capitalização cotíua Matematicamete pode-se imagiar uma capitalização aida mais itesa do que a diária. A essa capitalização chamamos de cotíua. A fórmula desevolvida para calcular o motate é: C = C.(e) i. ode e é uma costate matemática de valor igual a 2, Obs: Neste caso específico as variáreis i e também devem estar expressas a mesma periodicidade (ão importado qual). ESTUDO DE TAXAS 1. Taxa Nomial é a taxa de juros expressa os cotratos ou documetos. Normalmete é aual. Não sigifica que a capitalização deva ser desta periodicidade. Ex.; 10% a.a., 18% a.a. 2. Taxas proporcioais é a mesma taxa de juros expressa em períodos diferetes, mas guardado a proporcioalidade etre si. Por ex.: 24% ao ao é proporcioal a: 12% ao semestre, que é proporcioal a 6% ao trimestre, que é proporcioal a 4% ao bimestre, que é proporcioal a 2% ao mês e vice e versa. 3. Taxa Acumulada de juros Quado se tem um determiado capital aplicado por diversos períodos a taxas (i 1, i 2...i ) diferetes (ou ão) em cada período, a taxa capitalizada resultate pode ser expressa com a seguite fórmula: i ac = [( 1 + i1 ).(1 + i2 )...(1 + i ) 1].100 Por ex: Um capital permaeceu aplicado por períodos iguais às seguites taxas: 2,1%, 1,9%, 3,4% e 2,6%. Qual foi a taxa acumulada? i ac = [(1 + 0,021).(1 + 0,019).(1 + 0,034).(1 + 0,026) i ac = [( 1,021).(1,019).(1,034).(1,026) 1].100 1].100 i = [( 1, ) 1].100 i = 10,3743 % ac ac 4. Taxa média de juros Para saber a taxa média de juros de um determiado período tora-se ecessário calcular primeiro a taxa acumulado (item aterior) e depois extrair a raíz desta taxa ecotrada. É expressa com a seguite fórmula: i = Para o mesmo exemplo do item aterior, teremos: [ ( 1 + i ) ac 1 ]. 100 i = [ 4 (1 + 0, ) 1].100 i = [ 4 (1, ) 1]. 100 i = ( 1, ).100 i = 2, 4984 % 5. Taxas equivaletes Quado se tem a ecessidade de saber qual foi a taxa que produziu determiada taxa capitalizada, extrai-se a raíz desta taxa (expressa em um período maior). O procedimeto e a fórmula são similares aos da taxa média. Por ex: Qual é a taxa mesal equivalete a 30% ao ao?

11 i eq 11. = [ (1 + i) 1].100 i eq. = [ 12 (1 + 0,30) 1].100 i eq. = [ 12 (1,30 ) 1]. 100 i = (1, ).100 i eq = 2,2104%. a.. eq.. m 6. Taxa efetiva Quado se quer saber a taxa capitalizada de um cotrato ou documeto, o cálculo a efetuar é semelhate ao das taxas acumuladas, ou seja, capitaliza-se (1+i) tatas vezes quatas forem os períodos de capitalização cotidos o período maior que se quer saber. Por ex: Qual é a taxa aual efetiva de 3% ao mês? i ef i i ef ef. = [(1 + i) 1].100 = [(1 + 0,03) 12. 1].100. = [(1, ) 1].100 i ef. = 42,5761 %. a. a. 7. Taxa real de juros Normalmete os valores resultates das aplicações estão embutidas as taxas da iflação do período. Para se expurgar a iflação, ou saber qual a taxa que efetivamete remuerou o capital procedemos da seguite maeira aplicada ao exemplo. Ex: Uma aplicação redeu em um determiado período 7,3%. Qual foi a taxa real de juros, sabedo que a iflação do mesmo período foi de 4%? Da fórmula : ( 1 + i ) = (1 + i real ).(1 + iif lação ) pode-se deduzir: (1 + i) if ) i real = + i lação i real (1 + 0,073) = ,04) + i real = ( 1, ).100 i real = 3,1731% Essa crise ão passa de uma maroliha. (Presidete Lula, em outubro/08, desdehado o vedaval fiaceiro que se aproximava.)

12 12 EXERCÍCIOS JUROS COMPOSTOS E TAXAS 1. Você empresta para seu colega R$ 1.000,00. Quato ele lhe devolverá o fim de três aos, à taxa de 16% a ao, sedo que vocês combiaram que a capitalização seria semestral? 2. Qual será o redimeto de R$ 2.000,00 o fim de dois aos e meio, a 20% ao ao capitalizados trimestralmete? 3. Você aplicou o capital de R$ 1.500,00 a 12%a.a. durate quatro aos. Qual foi o motate produzido? 4. Uma aplicação de R$ 1.000,00 produziu um motate de R$ 1.695,88 em três aos. Qual foi a taxa trimestral de juros desta aplicação? 5. Em quato tempo um capital dobrará de valor se for aplicado a 18% a.a., capitalizado trimestralmete? 6. Determiar o motate de R$ 1.200,00 o fim de quatro aos, a 12% a.a., capitalizado mesalmete. 7. Qual é a taxa aual de juros que, capitalizada semestralmete, faz com que o capital de R$ 2.500,00 produza R$ 2.000,00 de juros em três aos e seis meses? 8. Durate quato tempo um capital de R$ 2.500,00 produzirá R$ 1.484,62 de juros, a 24% a.a. capitalizado trimestralmete? 9. Dois capitais que somam R$ foram aplicados em istituições fiaceiras diferetes. O primeiro capital foi colocado a 20% a.a., capitalizado trimestralmete e o outro foi colocado a 18% a.a. capitalizado mesalmete. No fim de três aos e ove meses produziram juros iguais. Quais foram esses capitais? 10. Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 16% a.a. capitalizado trimestralmete e o restate, a 20% a.a. capitalizado semestralmete. No fim de dois aos e seis meses retirou o motate de R$ 2.061,88. Qual foi o capital aplicado? 11. Uma istituição fiaceira paga juros de 24% a.a. capitalizados trimestralmete. Qual é a taxa efetiva? 12. Qual é a taxa trimestral de juros equivalete a 22% a.a.? 13. Um capital é aplicado a 1,5% a.m. Qual é a taxa aual efetiva? 14. Qual é a taxa mesal de juros equivalete a 20% a.a.? 15. O capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durate um ao e três meses a uma taxa trimestral de juros. Se a taxa fosse de 2% ao mês, os juros produzidos seriam R$ 69,58 maiores. Qual foi a taxa da aplicação? 16. Você empresta para seu colega um capital equivalete a R$ 1.235,00. Se a taxa desta trasação for de 35% a.a. e a capitalização mesal, qual será o redimeto (juros) após quihetos e dez dias? 17. Você aplicou em uma istituição fiaceira um determiado valor. Após ove meses e quize dias você retirou um motate igual a R$ 5.321,00. Qual foi o capital aplicado se a taxa que a istituição paga é de 22,80% a.a. e a capitalização foi cotíua?

13 18. Você aplica o seu diheiro a 7% ao mês. Qual é a taxa aual efetiva de juros? Você aplicou um determiado valor por vários períodos iguais e com taxas diferetes de juros. No primeiro período a taxa foi de 1,88%. No período seguite você obteve uma taxa 20% meor que aquela. Num terceiro período a taxa foi apeas 10% meor do que a primeira e, o último período a taxa foi 15% maior do que a primeira. Cosiderado que os períodos foram iguais, qual foi a taxa acumulada de juros? 20. Você aplicou em uma istituição fiaceira um capital equivalete a R$ 5.235,00. Após duzetos e seteta dias você retirou um motate 35% maior do que este capital. Qual foi a taxa aual proporcioal que a istituição pagou se a capitalização foi mesal? 21. Você fez uma aplicação fiaceira por sete meses e obteve um redimeto de 15%. O Baco Cetral divulga que, este mesmo período, a iflação alcaçou 6,43%. Qual foi o seu redimeto real esta aplicação? 22. você fez uma aplicação fiaceira para dez meses. A taxa mesal da trasação foi de 1,47%. Qual foi a taxa efetiva desta aplicação? 23. Você fez uma aplicação fiaceira por ove meses e obteve um redimeto de 9,34%. O Baco Cetral divulga que, este mesmo período, a iflação alcaçou 6,43%. Qual foi o seu redimeto real esta aplicação? 24. Você está exercedo a fução de caixa de uma loja de eletroeletrôicos. À sua frete está um cliete reegociado um carê de compras que está atrasado em quatro meses e a quita prestação vece hoje. O valor de cada prestação é de R$ 93,75. A taxa aual que a loja pratica é igual sesseta porceto. Para prestações atrasadas há uma multa de 3% sobre o valor da prestação mais 1,5% a.m. de juros. Qual será o valor que cliete deve pagar para deixar o seu carê em dia? 25. Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 19,37% a.a. capitalizado trimestralmete, 1/3 deste mesmo capital à taxa taxa aual igual a 19% mas, capitalizado mesalmete, e o restate, a 21,33% a.a. capitalizado semestralmete. No fim de dois aos e meio retirou o motate equivalete R$ 9.152,00. Qual foi o capital aplicado? RESPOSTAS R$ 1.586,87 R$ 1.257,79 R$ 2.360,28 4,5% ao trimestre Três aos, 11 meses e 7 dias. R$ 1.934, ,52% a.a. 2 aos C 1= 5.162,62 e C 2= 5.837,38 R$ 1.323,07 26,24% a.a. 5,097% ao trimestre 19,56% a.a ,5309% a.m. 5% ao trimestre R$ 778,37 R$ 4.442,25 125,22% a.a. 7,4356 % ,69% a.a 8,0522% 15,7115% 2,7342% 494, ,71 A vida está cheia de desafios que, se aproveitados de forma criativa, trasformam-se se em oportuidades. (Maxwell Maltz)

14 14 DESCONTOS SIMPLES Coceito - Descoto é o abatimeto (em diheiro) que um determiado título sofre quado é resgatado ates do seu vecimeto. Descoto é o preço da impaciêcia. (Prof. Rochadelli PPGEF/UFPR) Descoto Comercial ou por fora (d) - equivale aos juros simples, ode a fórmula substituímos o capital (C) pelo valor omial do título (N ou FV). Assim teremos: d = N. i. d = FV. i. Exemplo : Uma Nota Promissória de valor omial equivalete a R$ 1.800,00 foi resgatada dois meses ates do seu vecimeto à taxa de 24% a.a. Qual foi o descoto? Dados : N = i = 24 / 12 meses / 100 = 0,02 = 2 d = N. i. d = x 0,02 x 2 d = 72,00 Nas calculadoras comus ou cietíficas basta teclar: x x 2 = 72,00 Na HP 12C teclar: 1800 CHS PV 24 i 60 f INT Obs.: A taxa utilizada sempre deverá ser aual e o período em dias. (Mesmo procedimeto dos juros simples). Valor Atual ou Valor Presete (A ou PV) - O valor atual de um título é o seu valor omial meos o descoto. Se A = N - d e d = N i etão A = N - N i Colocado N em evidêcia teremos etão A = N ( 1 - i ) Exemplo : Calcular o Valor Atual do exemplo aterior. 1ª solução 2ª solução A = N - d A = A = 1.728,00 Nas calculadoras comus ou cietíficas basta teclar: A = N ( 1 - i ) A = ( 1-0,02 x 2 ) A = x 0,96 A = 1.728,00 (Dado seqüêcia ao cálculo do descoto simples basta dimiuir o valor do título) x x 2 = 72, = ,00 Na HP 12C basta teclar (após o cálculo dos descotos) e aparecerá o visor o Valor Atual.

15 15 Descoto Racioal ou por detro (d ) - O descoto racioal é equivalete ao juro simples calculado sobre o valor atual de um título. Por esta defiição teríamos: d = A. i. Substituido e isolado as icógitas teremos: N. i. d' = 1+ i. Exemplo : Calcular o descoto racioal do exemplo aterior. Temos : N = i = 0,02 d = , ,02. 2 = 2 d = 72. = 69,23 1,04 Obs.: Cocluímos facilmete que o descoto racioal será sempre meor do que o descoto comercial. Nas calculadores cietíficas, após o cálculo do descoto comercial ou por fora cotiuamos teclado : ( x 2 ) = 69,23 Valor Atual ou Valor Presete Novamete temos o mesmo raciocíio : O valor atual é o valor do título meos o descoto. A = N - d Substituido d pelo seu valor e trasformado a fórmula chegaremos a : Exemplo : Calcular o Valor Atual do exemplo aterior. N A = 1+ i. A = N - d A = ,23 A = 1.730,77 1ª solução 2ª solução A = ,02. 2 A = = 1.730,77 1,04 Na calculadora cietífica basta dimiuir o descoto calculado acima do valor do título ou, fazedo toda a operação: 1800 ( x 2 ) = 1.730,77 Na HP 12C teclar: 1800 Eter 1 Eter 24 Eter x + Siga em frete, corajosamete, porque a vitória sorri somete àqueles que ão param o meio da estrada.

16 16 EXERCÍCIOS DESCONTOS SIMPLES Obs: Os exercícios de 1 a 8 são trascritos e adaptados de: FRANCISCO, W. De, Matemática Fiaceira. 7 a. ed. São Paulo: Atlas (p ) 1. Qual o descoto comercial de uma duplicata de valor omial equivalete a R$ 220,00, resgatada três meses ates do vecimeto, à taxa de 18% ao ao? 2. Uma ota promissória cujo valor de face é de R$ 860,00 foi paga três meses e quize dias ates do vecimeto com descoto comercial de 1,5% ao mês. Qual o valor do resgate? 3. O valor Atual (Presete) de um título, pelo descoto comercial de 2% ao mês, cico mêses ates do vecimeto, é igual a R$ 720,00. Qual será o valor atual desse título se o descoto for racioal? 4. A difereça etre os descotos comercial e racioal de um título para quatro meses, à taxa de 18% ao ao, é de R$ 3,40. Qual o valor omial do título? 5. Um título de valor omial igual a R$ 315,00 para oveta dias deverá ser quitado hoje jutamete com outro para ceto e ciqüeta dias cujo valor omial é igual a R$ 477,80. Calcular o valor que será desembolsado por esta quitação se a taxa de descoto comercial que evolve a trasação é de 2,5% ao mês. 6. Você tem uma dívida de R$ 560,00 e que você pretede pagar atecipadamete em 75 dias. A taxa que evolve a trasação é 1,99% a.m. Qual será o valor do resgate pelo descoto racioal? 7. Você tem uma dívida que foi resgatada por R$ 560,00 com 75 dias de atecedêcia. A taxa que evolveu a trasação foi de 1,99% a.m. Qual era o valor do título se o descoto foi comercial? 8. Uma Letra de Câmbio de valor omial igual a R$ 2.500,00 foi resgatada dois meses e dezesseis dias ates do vecimeto a uma taxa de 2,7%a.m. Calcular o valor do resgate: a) Pelo descoto comercial. b) Pelo descoto racioal. 9. Você tem uma dívida de R$ 860,00 e que você pretede pagar atecipadamete em 45 dias. A taxa bimestral que evolve a trasação é 2,5%. Qual será o valor do resgate: a) pelo descoto comercial; b) pelo descoto racioal? 10. A difereça etre os descotos comercial e racioal de um título para ceto e trita dias, à taxa de 21,80% ao ao, é de R$31,54. Qual o valor omial do título? 11. A difereça etre o descoto comercial e racioal é igual a R$ 77,55. Qual é o valor do título sabedo-se que a taxa da trasação foi de 37%a.a., o vecimeto é para ceto e quize dias? 12. A difereça etre os valores de resgate pelo descoto comercial e racioal é igual a R$ 117,55. Qual é o valor do título sabedo-se que a taxa da trasação foi de 37,35%a.a., o vecimeto é para quize meses? 13. Você tem em mãos as duplicatas abaixo para serem descotadas o Baco BCB. A taxa que o baco oferece hoje é de 19%a.a Complete a plailha:

17 17 Duplicata Valor (em R$) Vecimeto (em dias) Descoto (em R$) Valor do Resgate (em R$) , , , ,50 18 Total RESPOSTAS R$ 9,90 R$ 814,85 R$ 727,27 R$ 1.001,11 R$ 709,45 R$ 533, a 8.b 9.a 9.b R$ 589,32 R$ 2.329,00 R$ 2.339,95 R$ 843,88 R$ 844, R$ 5.490,05 R$ 6.207,33 R$ 791,07 Na adversidade cohecemos os recursos de que dispomos. (Horácio)

18 18 DESCONTOS COMPOSTOS Coceito de descoto - Descoto é o abatimeto (em diheiro) que um determiado título sofre quado é resgatado ates do seu vecimeto. Coceito de Descoto Composto Descoto composto equivale à soma dos descotos simples, calculados isoladamete em cada um dos períodos que faltam para o vecimeto do título. (Fracisco, 1994, p. 71). Da mesma forma como em juros compostos, icorpora-se agora mais uma variável que é o regime de capitalização. Em cada situação (exercício, egócio ou trasação) deve estar expresso qual é o regime de capitalização (aual, semestral, trimestral, mesal, etc). Descoto Composto REAL O descoto composto real equivale à soma dos descotos racioais, calculados sucessivamete em cada um dos períodos que faltam para o vecimeto do título. Assim, aplicado a fórmula do descoto racioal A N = 1+ i., desevolvemos a fórmula para o cálculo do valor atual (valor do resgate): d' N. i. 1+ i. = e a de seu valor atual A N ( 1+ i) = ou, passado o deomiador para o umerador A = N.( 1+ i) Exemplo: Uma Nota Promissória de valor omial equivalete a R$ 1.800,00 foi resgatada oveta dias ates do seu vecimeto à taxa de 24% a.a. Qual foi o descoto real se a capitalização é mesal? Dados: 3 A N = = N.( 1+ i) etão A 3 = 1800.(1 + 0,02 ) k = mesal A = 1800.( 0, ) e, fialmete 3 A 1.696, 3 = 18 i = 24 / 12 meses / 100 = 0,02 = 90 dias = 3 meses se d = N A etão d = ,18 = 103,82 Nas calculadoras comus ou cietíficas (algumas) teclar: x (1 + 0,02)x y 3 ± = 1.696,18 Na HP 12C teclar: 1800 CHS FV 24 g i 3 PV Obs: O período e a taxa utilizada (sempre percetual) deverão estar de acordo com a capitalização. Descoto Composto Bacário O descoto composto bacário equivale à soma dos descotos comerciais, calculados sucessivamete em cada um dos períodos que faltam para o vecimeto do título. Assim, aplicado a fórmula do descoto racioal d = N.i. e a de seu valor atual A = N.(1-i.), desevolvemos a fórmula para o cálculo do valor atual (valor do resgate): A = N.( 1 i) Exemplo: Calcular o descoto bacário do exemplo aterior. Dados: 3 A N = = N.( 1 i) e substituido, A = 1800.(1 0,02) k = mesal A = 1800.(0,941192) chegaremos a: A = 1.694, 15 i = 24 / 12 meses / 100 = 0,02 = 90 dias = 3 meses se d = N A etão d = ,15 = 105,85 Obs: Cocluímos que o descoto bacário será sempre maior do que o descoto real. Com os seus valores atuais ocorre o cotrário, obviamete.

19 19 Nas calculadoras comus ou cietíficas (algumas) teclar: x (1 0,02)y x 3 = 1.694, = 105,85 Na HP 12C teclar: 1800 Eter 1 Eter 0,02 3 y x X 1800 Obs: A calculador HP 12C ão tem teclas fiaceiras para este cálculo. Capitalização cotíua Cálculo do valor Atual A situação específica de capitalização cotíua é matematicamete possível e chega-se à solução pela seguite fórmula: A = N.(e) i. ode e é uma costate matemática de valor igual a 2, Obs: Também este caso as variáreis i e devem estar expressas a mesma periodicidade (ão importado qual). Para o autôomo que optou por abrir uma empresa, a ajuda de um cotador é fudametal desde o começo. (Maurício Oliveira editor de Você S/A)

20 20 EXERCÍCIOS DESCONTOS COMPOSTOS Os exercícios de 1 a 8 são trascritos e adaptados de: FRANCISCO, W. De, Matemática Fiaceira. 7 a. ed. São Paulo: Atlas (p.91 e 262). 1. Calcular o valor atual de um título de R$ 200,00 que sofreu um descoto real de 18% a.a., capitalizados trimestralmete, dois aos ates do vecimeto. 2. O descoto real de um título, pagável em dois aos e três meses, é igual a R$ 187,20. Calcular o valor omial do título, sabedo-se que a taxa empregada a trasação é de 20% a.a., capitalizada trimestralmete. 3. Qual é o descoto bacário de um título de R$ 500,00, exigível em três aos, a 20% a.a., capitalizados semestralmete? 4. Calcular o valor atual de um título de R$ ,00, resgatado dois aos e seis meses ates do vecimeto, à taxa de descoto real de 20% a.a. capitalizados semestralmete. 5. Qual é o descoto bacário de um título de R$ 5.000,00 pagável em dois aos a 20% a.a. capitalizados semestralmete? 6. O descoto real de um título, pagável em um ao e três meses é de 432,95. Calcular o valor omial deste título, sabedo-se que a taxa empregada foi de 20% a.a. com capitalizações trimestrais. 7. Um título, pagável em um ao e três meses, sofreu um descoto bacário de R$ 3.921,47 a 24% a.a. capitalizados mesalmete. Determiar o valor omial deste título. 8. Calcular o valor atual de um título de R$ 5.000,00, resgatado cico aos e 4 meses ates do vecimeto, a 12% a.a., capitalizados cotiuamete. 9. Você deve para seu colega um valor equivalete a R$ 1.235,00. Se a taxa desta trasação for de 34% a.a. e a capitalização mesal, qual será o valor do descoto real se a atecipação desta dívida for de ceto e ciqüeta dias? 10. Você deve para seu colega um valor equivalete a R$ 1.235,00. Se a taxa desta trasação for de 34% a.a. e a capitalização mesal, qual será o valor do descoto bacário se a atecipação deste título for de ceto e ciqüeta dias? 11. Você assumiu em uma istituição fiaceira um determiado título. Cico meses e quize dias ates do vecimeto você resgatou este título por um valor equivalete a R$ 5.584,00. Qual foi o valor do descoto cocedido se a taxa da trasação foi de 21,80% a.a. e a capitalização foi cotíua? 12. Você egociou pelo descoto bacário, em uma istituição fiaceira, um título equivalete a R$ 4.855,00, por um valor 35% meor do que o valor origial. Qual foi a taxa aual proporcioal evolvida se a capitalização foi mesal e a atecipação de ceto e vite dias? 13. O descoto real de um título, pagável em 1 ao e três meses, é de R$ 432,95. Calcular o valor omial do título, sabedo-se que a taxa mesal empregada a trasação foi 2,7% e as capitalizações trimestrais. 14. Você deve pagar um título de R$ ,00 com vecimeto para dois bimestres e meio. Qual será o valor do resgate pelo descoto composto real cosiderado uma taxa de 30% a.a. e capitalizações mesais? 15. A difereça etre os valores de resgate, calculados pelo descoto composto real e bacário, sobre o valor de um título é igual a R$ 27,50. Qual é o valor deste título se a atecipação foi de oito meses, a taxa de 2,9% a.m. e a capitalização bimestral? 16. Uma duplicata o valor equivalete a R$ 573,54 sofreu um descoto composto bacário igual a ciqüeta reais, três bimestres ates do vecimeto. Qual foi a taxa aual proporcioal se as capitalizações foram mesais?

21 Você deve para seu colega um valor equivalete a R$ 7.431,00. Se a taxa da trasação é igual a 47%a.a. e a capitalização mesal, qual será o valor do descoto real se a atecipação deste título for de ceto e ciqüeta dias? 18. Você assumiu em uma istituição fiaceira um determiado título. Nove meses e quize dias ates do vecimeto você resgatou este título por um valor equivalete a R$ 7.431,00. Qual foi o valor omial deste título se a taxa da trasação é igual a 47%a.a. e a capitalização é cotíua? 19. Uma letra de câmbio de valor moetário equivalete a R$ 1.347,00 será atecipada em quatro meses à taxa aual 47%. Qual será o valor do resgate se as capitalizações forem bimestrais e o descoto for bacário? 20. A difereça etre os valores de resgate pelo descoto real e bacário é igual R$ 121,68. Qual é o valor do título sabedo-se que a taxa da trasação é de 47%a.a., o vecimeto é para dezoito meses e a capitalização é trimestral? 21. Uma duplicata o valor equivalete a R$ 7.431,00, sofreu um descoto composto bacário igual a R$ 350,00, sete meses ates do vecimeto. Qual foi a taxa aual proporcioal se as capitalizações foram bimestrais? 22. Você teve que apelar para um agiota para resolver um problema fiaceiro iusitado. Tomou emprestada uma determiada quatia que foi resgatada por um valor equivalete a R$ ,00 e que veceria daqui a dois bimestres e meio. Qual era o valor da dívida se a taxa de descoto foi igual a 47%a.a., o descoto foi real e as capitalizações mesais? RESPOSTAS R$ 140,64 R$ 526,74 R$ 234,28 R$ 6.209,21 R$ 1.719,50 R$ 2.000,00 R$ , R$ 2.636,46 R$ 161,02 R$ 165,32 R$ 586,76 122,52% a.a. R$ 1.342,24 R$ ,18 R$ 2.573, ,1049% a.a , , , ,07 8,2139% ,76 Saber ão é absolutamete ada, imagiar é tudo (Aalote Frace)

22 22 SÉRIES UNIFORMES As séries uiformes também são defiidas por algus autores como RENDAS. Sigificam pagametos ou recebimetos periódicos gerados em uma trasação. A série uiforme pode ser de prestações ou depósitos e que são chamados de termos (T ou PMT). Deomia-se o úmero de termos (pagametos/receitas) e i a taxa de juros. Se o objetivo da série é formar ou costituir um capital, este será etão chamado de Motate da reda ou série. Se, o etato o objetivo é amortizar uma dívida, o valor desta dívida será chamado de Valor Atual ou Valor Presete da série. As Redas, ou séries uiformes, podem ser geérica e esquematicamete classificadas em: 1. Perpétuas 2. Temporárias Não periódicas Periódicas Variáreis Costates Imediatas / Postecipadas Atecipadas Diferidas Daremos aqui um efoque para as Redas Temporárias Periódicas, Costates ou perpétuas, Imediatas, atecipadas e diferidas, visto que são as formas mais comus o ambiete comercial. As demais podem ser facilmete etedidas com base a literatura deste mesmo assuto aqui tratado. Valor Atual de uma Reda Uitária imediata ou postecipada (fator de valor atual) Para se chegar à fórmula partimos do mesmo cálculo do Valor Atual calculado pelo descoto composto real, cosiderado termos, para um título de valor omial igual a um (1) e uma taxa i. Assim sedo, se A = N ( 1 + i ) - e aplicado sucessivamete este raciocíio para os termos e trasformado a fórmula chegaremos fialmete a : a i = (1 + i ) (1 + i ) 1. i Variáveis: a i = Valor Atual de uma Reda Uitária imediata = úmero de termos i = taxa cosiderada ( i / 100) Valor Atual das Redas Imediatas ou postecipadas Se T for o valor do termo (prestação, depósito, etc.), o cálculo para se saber o Valor Atual de uma série uiforme de Redas imediatas (com valor da prestação diferete de uma uidade ou valor moetário) será simplesmete multiplicar o valor do termo (valor da prestação) pelo Valor Atual de Uma Reda Uitária imediata, ou seja : A i = T. a i Exemplo : Calcular o Valor Atual de uma dívida costituída de quize prestações mesais de R$ 750,00, cosiderado juros de 3,5% a.m.. Temos : = 15 i = 3,5 /100 T = 750 a i = (1 + i ) (1 + i ) 15 1 (1 + 0,035 ) 1 = 15. i (1 + 0,035 ).0,035 = 11,

23 23 A i = 750 x 11, A i = T. a i A i = 8.638, = R$ 8.638,06 Obs.: 1. Os valores de a i são ecotrados em tabelas próprias os livros de Matemática Fiaceira. Após idetificá-lo basta multiplicar pelo valor do termo (T). 2. Para calcular o valor de a i a HP 12C basta teclar : 1 CHS PMT 15 3,5 i PV Para calcular toda a operação a HP 12C: 750 CHS PMT 15 3,5 i PV Jutado as duas expressões (fórmulas) teremos: A i = (1 + i ) T. (1 + i ) 1. i Valor Atual das Redas atecipadas Aalogamete às Redas imediatas calculamos o seu valor atual pela fórmula : A i = T. a i ode (esta situação) a i = (1 + i ) (1 + i ) 1. i 1 Jutado as duas expressões (fórmulas) teremos: A i (1 + i ) (1 + i ) = T i Para calcular a operação do exemplo aterior a HP 12C : 750 CHS PMT 15 3,5 i g BEG PV "A esperaça tem duas filhas lidas, a idigação e a coragem; a idigação os esia a ão aceitar as coisas como estão; a coragem, a mudá-las! (Aôimo)

24 24 Motate de uma Reda Uitária Imediata (fator de motate) O Motate de uma reda uitária (por ex. R$1,00) imediata equivale à soma dos motates dos depósitos / prestações uitárias, durate períodos a uma taxa i. Calculado o motate de cada termo (ode C = 1), pela fórmula dos juros compostos, ou seja, C = C ( 1 + i ) e, desevolvedo para termos à taxa i chegaremos à fórmula geérica : s i = ( 1 + i ) 1 i Motate de uma série uiforme de Redas Imediatas Seguido o mesmo raciocíio (e forma de calcular) utilizado o Valor Atual, simplesmete multiplicamos o valor dos termos / prestações / depósitos pelo valor de s i calculado pela fórmula acima, ou seja S i = T. s i Exemplo : Calcular o Motate do exemplo aterior. Temos : T = 750 = 15 i = 3,5 100 s i = ( 1 + i ) 1 (1 + 0,035 ) = i 0,035 s i = 19, S i = T. s i S i = 750 x 19, = ,76066 S i = ,76 Obs.: 1. Os valores de s i são ecotrados em tabelas próprias os livros de Matemática Fiaceira. Após idetificá-lo basta multiplicar pelo valor do termo (T). 2. Para calcular o valor de s i a HP 12C basta teclar : 1 CHS PMT 15 3,5 i FV Jutado as duas expressões (fórmulas) teremos:

25 25 S i = (1 + T. i ) i 1 Para calcular toda a operação a HP 12C : 750 CHS PMT 15 3,5 i FV Motate das Redas atecipadas Aalogamete às Redas imediatas calculamos o seu motate pela fórmula: s i = T. s i ode (esta situação) s i = (1 + i ). (1 + i ) i 1 Jutado as duas expressões (fórmulas) teremos: S i = T. (1 + i ). (1 + i ) i 1 Para calcular a operação do exemplo aterior a HP 12C : 750 CHS PMT 15 3,5 i g BEG FV Redas Perpétuas 1. Valor Atual (Séries Perpétuas postecipadas) A oo i = T i 2. Valor Atual (Séries Perpétuas Atecipadas) A oo i = T T + i Redas Diferidas Obs: Podemos resolver as situações e/ou exercícios sobre séries/redas diferidas, com os cohecimetos adquiridos até aqui, empregado juros ou descotos compostos para o período de carêcia e as demais fórmulas de séries uiformes para o(s) período(s) em que há o pagameto/recebimeto das prestações.

26 26 Importate: Sobre o Capítulo de Séries Uiformes (assim como os demais), é imprescidível aprofudar os estudos utilizado a bibliografia recomedada o Plao de Esio. EXERCÍCIOS Obs: Os exercícios de 1 a 08 são trascritos e adaptados de: FRANCISCO, W. De, Matemática Fiaceira. 7 a. ed. São Paulo: Atlas (p.163). 01. Qual é o valor atual de uma reda imediata de quize termos trimestrais de R$ 5.000,00 à taxa de 6% ao trimestre? 02. Um aparelho de televisão foi comprado com dez prestações mesais atecipadas de R$ 100,00. Sabedo-se que os juros são de 2% ao mês, qual foi o preço à vista do televisor? 03. Uma máquia foi comprada com uma etrada de R$ 2.000,00 e mais doze prestações trimestrais de R$ 800,00, diferidas de um ao. Se os juros foram de 8% ao trimestre, qual foi o preço à vista da máquia? 04. Uma pessoa deposita em uma istituição, o fim de cada trimestre, a quatia de R$ 6.000,00, durate três aos. Calcular o motate, cosiderado uma taxa de 24% ao ao. 05. Uma empresa deposita R$ ,00 o iício de cada semestre, a 20% ao ao, durate cico aos. Qual será o motate? 06. Quato se deve depositar o iício de cada trimestre, a 20% ao ao, durate três aos, para, o fim de quatro aos, retirar o motate de R$ ,00? 07. Qual é o valor atual de uma reda perpétua imediata mesal de R$ 540,00 à taxa de 3% ao mês? 08. Qual o termo trimestral atecipado, à taxa de 20% ao ao, de uma reda perpétua cujo valor atual é de R$ 2.500,00? 09. Calcular quato uma pessoa deve depositar o iício de cada mês em uma determiada aplicação a juros de 18% a.a. para ter ao fial de 30 aos R$ , Calcular a prestação mesal para amortizar um empréstimo de R$ ,00 em 48 pagametos com juros de 39% a.a. 11. Calcular o Valor Atual de uma reda mesal imediata de R$ 320,00 com 240 termos a 2,5% a.m. 12. Um trabalhador deposita mesalmete R$ 9,50 para sua aposetadoria. Calcular o motate destes depósitos após 25 aos cosiderado uma taxa de 21% a.a. 13. Uma pessoa deposita em um fudo de ivestimetos - o fim de cada semestre - a importâcia de R$ 6.500,00, durate 5 aos. Qual será o motate deste fudo, cosiderado uma taxa de 20% a.a.? 14. Quato uma pessoa deve depositar mesalmete em uma determiada cota para, o fim de 10 aos possuir R$ ,00, cosiderado uma taxa de 16% a.a.? 15. Um televisor foi comprado com dez prestações mesais (1 + 9) de R$ 134,00. Sabedo-se que os juros praticados a loja são de 5% a.m. calcular o preço à vista do aparelho e o motate destas prestações.

27 Uma cocessioária de automóveis vede um veículo com uma etrada e mais 47 prestações mesais de R$ 680,00. Aceitado que a taxa de juros cobrada é de 2% a.m., calcular o valor do veículo (à vista) e também o motate que será pago por ele. 17. Qual o motate do salário mesal de R$ 4.600,00 de um determiado vereador se, capitalizado mesalmete, durate os quatro aos do madato? (Cosiderar taxa de 6% a.a.). 18. Calcular o motate do salário mesal de R$ ,00 (de um determiado Prefeito), colocado em uma poupaça durate os 4 aos do seu madato a 6% a.a. capitalizado mesalmete. 19. Você vedeu um veículo e receberá por ele R$ 685,00 por mês, durate trita e seis meses. Este valor deverá ser depositado itegralmete (o dia do vecimeto) em uma cadereta de poupaça que rede 6% ao ao. Como você só vai retirar o diheiro meio ao após o térmio dos pagametos/depósitos, qual deverá ser o valor do motate esta poupaça? R: , Você está fazedo, por três aos e meio, uma aplicação fiaceira mesal imediata o valor de R$ 483,00 (cada uma). Calcular o valor do motate ao fial de cico aos, cosiderado uma taxa aual de dezeove porceto. R: ,62 RESPOSTAS R$ ,25 R$ 916,22 R$ 6.431,39 R$ ,64 R$ ,34 R$ 4.922,53 R$ ,00 R$ 119,05 R$ 3, R$ 1.035,58 R$ ,84 R$ ,94 R$ ,26 R$ 410,16 R$ 1.086,45 R$ ,88 R$ ,03 R$ ,22 R$ 1.769,71 R$ ,60 Recomeda-se a solução de mais exercícios dispoibilizados o livro: FRANCISCO, W. de, Matemática Fiaceira. 7 a. ed. São Paulo: Atlas Não são as idéias boitas que valem; o que valem são as ações práticas. Não fique parado de braços cruzados. Vá à luta.

28 28 1. Permuta de títulos EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS (reegociação de créditos/débitos, formação de fudos, etc) Quado dois ou mais títulos tem vecimetos diferetes, eles são chamados de capitais diferidos. Já vimos que, em capitalização simples, estes títulos ou capitais são equivaletes se, descapitalizados para o seu valor de resgate (valor atual) os valores forem iguais. Ou seja: A = A ou PV = PV Já em capitalização composta, esta equivalêcia pode se dar a qualquer mometo. Sob esta ótica ou coceito, dois ou mais títulos ou capitais podem ter a sua equivalêcia calculada tato os seus valores atuais como os seus motates ou em posições itermediárias do seu fluxo de caixa. Para tato, estabelece-se o poto focal da reegociação e projeta-se todo o fluxo de caixa para aquele mometo, capitalizado ou descotado os valores. Exemplo: Um título de valor omial igual a R$ 5.000,00 vecível em trita dias pretede ser substituído por outro com vecimeto para daqui a seis meses. Admitido-se uma taxa de egociação de 3% a.m. e capitalização mesal, qual será o valor omial do ovo título? 1 a. Solução equivalêcia o mometo zero. A 1 = A 6 A Usado a fórmula do descoto composto real: A = N.( 1+ i) A 6 N A 1 = ( 1 + 0,03) - 1 A 1 = (0, ) A 1 = 4.854,37 A6 = N ( 1 + 0,03) - 6 A6 = N.(0, ) como A 1 = A ,37 = N.0, ,37 = N etão N = 5.796,37 0, a. Solução equivalêcia o mometo focal seis. C 5 = C C 5 Usado a fórmula de juros compostos: C = C.( 1+ i) C 0 N C 5= ( 1 + 0,03) 5 como C 5 = C 0 = N C 5 = (1, ) C 5 = 5.796,37 N = 5.796,37 3 a. solução equivalêcia o mometo focal três. Usaremos as fórmulas do descoto composto real e dos juros, pois: A C 2 C 2 = A A 6 A 3 N

29 29 C 2 = ( 1 + 0,03) 2 C 2 = (1,0609) C 2 = 5.304,50 A 3 = N ( 1 + 0,03) - 3 A 3 = N.(0, ) como C 2 = A 3 etão 5.304,50= N.0, ,50 = N e, fialmete, 0, N = 5.796,37 2. Formação de Fudos Exemplo Supoha que você queira assegurar que será possível pagar a faculdade da sua filha daqui a 14 aos. Você estima que o custo mesal será de aproximadamete R$ 500,00 por mês durate 4 aos. Supoha que ela resgatará este valor de uma cadereta de poupaça o iício de cada mês. a) Quato você precisará depositar essa cota quado ela começar a faculdade, se a cota paga 6% ao ao com capitalização mesal? PV =? PMT = T = é R$ : úmero de períodos de capitalização = 4 aos 12 períodos por ao, portato, = 48 períodos. i: taxa de juros por período de capitalização; i é 6% ao ao 12 períodos por ao = 0,5% por período. PV = A i = valor presete do capital = valor atual. PV é o valor a ser calculado o valor presete o iício das retiradas. PMT: valor do pagameto periódico. PMT = T = R$ 500. A i A i 48 (1 + 0,005 ) 1 = (1 + 0,005 ).0,005 = T. a i ode (esta situação) a i (1 + i ) = (1 + i ) 1. i 1 = ,61 Na HP 12c basta teclar: 500 CHS PMT 6 g i g BEG 48 PV b) Quato você teria que depositar hoje (um úico valor) para ateder àquela situação? Esse é um exemplo de um cálculo de juros / descotos compostos associado a séries uiformes. PV = ,61 PMT = T = é R$ 500 C = A = PV ( 14 aos = 168 meses) A = N ).( 1+ i e, 168 A = ,61.(1 + 0,005) = 9.256,50 Na HP 12c, a seqüêcia do cálculo aterior: f FIN CHS FV 14 g 6 g i PV c) Quato você teria que depositar por mês para ter aquele mesmo fudo o iício da faculdade de sua filha?

30 30 PMT = T =? FV = PV = ,61 PMT = T = é R$ ( 14 aos = 168 meses) Nesta situação o motate (FV) dos depósitos deverá ser o valor presete (PV) dos resgates/retiradas. Cosiderado que o primeiro depósito seria hoje, a série dos depósitos também será atecipada. Assim sedo, teremos: s i = T. s i ode (esta situação de série atecipada) s i (1 + = (1 + i ). 168 (1 + 0,005 ) ,61 = T. (1 + 0,005 ). ode T = 81,17 0,005 i ) i 1 Na HP 12c, a seqüêcia do cálculo do item a : f FIN CHS FV 14 g 6 g i PMT 3. Alogameto de dívidas Exemplo Uma empresa fez determiado egócio cujos pagametos deverão ser quitados em doze parcelas mesais iguais e imediatas o valor de R$ 8.270,00. Após pagar quatro parcelas propõe que o restate da dívida seja diluída em vite e quatro parcelas mesais iguais. Qual será o valor da ova parcela, cosiderado uma taxa de 24% a. a.? Laçado os valores em um fluxo de caixa teremos: PV =? PMT = T = R$ 8.270, PMT = T =? Iicialmete calcula-se o valor da dívida o mometo zero : A i = T. a i ode a i = (1 + i ) (1 + i ) 1. i A i = 8 (1 + 0,02 ) (1 + 0,02 ).0, = ,73 Essa dívida será etão calculada para ser paga em 24 parcelas mesais, ou seja: 24 (1 + 0,02) ,73 = T. ode T = 3.203,02 24 (1 + 0,02).0,02

31 31 Na HP 12c, para efetuar todo o cálculo, teclar em seqüêcia: 8270 CHS PMT 24 g i g END 8 PV f FIN CHS PV g i PMT Um bom líder ão apeas recohece as boas idéias, mas também assume riscos por seu time. (Arthur Diiz) EXERCÍCIOS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS (RENEGOCIAÇÃO) Obs: Algus dos exercícios abaixo (1 a 10) foram adaptados de: FRANCISCO, W. De, Matemática Fiaceira. 7 a. ed. São Paulo: Atlas (p.91, 92, 263 e 264). 1. Um título de valor omial de R$ 1.000,00 com vecimeto para dois aos será substituído por outro título para três aos. Calcular o valor omial do ovo titulo, empregado a taxa de 16% a.a. com capitalizações semestrais. 2. Uma empresa toma um empréstimo de R$ 5.000,00 para ser pago o fim de três aos com juros de 18% a.a. capitalizados trimestralmete. Após algum tempo, o devedor propõe saldar a dívida com quatro pagametos auais iguais, realizáveis o fim do 2 o., 3 o., 4 o. e 5 o aos, respectivamete. Calcular o valor desses pagametos. 3. Uma empresa toma R$ 2.000,00 emprestados por três aos com juros de 20% a.a. capitalizados bimestralmete. Um ao após, a empresa propõe pagar R$ 1.000,00 imediatamete e liquidar o saldo o fim de quatro aos a partir desta data. Calcular o valor do resgate. 4. Um empréstimo obtido com juros de 19% a.a. capitalizados mesalmete, deverá ser resgatado com dois pagametos de R$ 3.200,00 realizáveis o fim de dois e quatro aos, respectivamete. Etretato após um ao, o devedor propõe pagar R$ 2.500,00 imediatamete e saldar o débito com um úico pagameto a realizar-se o fim de quatro aos, a partir desta data. Calcular o valor desse pagameto. 5. Uma empresa deve pagar três títulos R$ 1.000,00, exigíveis o fim do 1 o., 2 o. e 3 o. aos respectivamete. Etretato, a empresa pretede substituir os três títulos por um úico de R$ 2.500,00. Calcular o prazo desse título empregado a taxa de 20% a.a. capitalizados semestralmete para essa trasação. 6. Um empréstimo de R$ 8.700,00 deve ser pago o fim de três aos com juros de 12% a.a. capitalizados semestralmete. Etretato o devedor porpõe pagar a dívida com três pagametos auais iguais, realizáveis o fim do 2 o., 3 o. e 5 o aos respectivamete. Calcular o valor desses pagametos. 7.Uma empresa devedora de dois títulos de R$ 2.000,00 para o fim de dois e quatro aos, respectivamete, propõe resgatar a dívida com três pagametos auais iguais, realizáveis o fim do 2 o., 3 o. e 4 o aos respectivamete. Calcular o valor desses pagametos, sabedo-se que a taxa do descoto real empregada essa trasação é de 20% a.a. capitalizados trimestralmete. 8. Uma empresa toma R$ ,00 emprestados por cico aos a 22% a.a. capitalizados semestralmete. Passados dois aos, a empresa resgata a dívida com descoto real de 20% a.a. capitalizados trimestralmete. Quato pagou?

32 32 9. Uma empresa toma um empréstimo de R$ ,00 por cico aos a 20% a.a. capitalizados semestralmete. Após algum tempo, a empresa propõe resgatar a dívida com três pagametos auais iguais e atecipados. Calcular o valor desses pagametos. 10. Uma pessoa toma um empréstimo de R$ ,00 por três meses a 18% a.a., capitalizados mesalmete. Após algus dias o devedor propõe saldar a dívida com quatro pagametos mesais iguais, realizáveis o fim do 2 o., 3 o. 4 o e 5 o mês respectivamete. Calcular o valor desses pagametos. 11. Três títulos de R$ ,00 cada, vecíveis em um, dois e três aos respectivamete, serão substituídos por um úico título para quatro aos. Calcular o valor deste título empregado a taxa da trasação de 12% a.a., capitalizados mesalmete. 12. Uma empresa cotraiu um empréstimo por cico aos com juros de 23% a.a. capitalizados semestralmete. Passados dois aos, a empresa propõe resgatar a dívida com três pagametos auais de R$ ,00, realizáveis o fim do 3 o., 4 o. e 5 o. aos. Calcular o valor do empréstimo. 13. Você tem o Fluxo de Caixa abaixo, ode M represeta um valor moetário equivalete a R$ 1.000,00 e MQ represeta um valor moetário equivalete a R$ 1.500,00. Trasforme este fluxo em uma série uiforme atecipada (para o mesmo período), cosiderado uma taxa aual de juros igual a 17,55%. Qual será o valor da ova prestação? M MQ M MQ M MQ M MQ M MQ M MQ M (meses) 14. Uma máquia idustrial cujo valor à vista está fixado em R$ ,00 foi comprada por sua empresa com uma etrada de 20% e mais 24 prestações mesais iguais e atecipadas, diferidas de dezoito meses com uma taxa aual de 27%. Após pagar ove parcelas (o dia em que pagou esta oa parcela) você decidiu reegociar a dívida. A proposta é pagar o saldo remaescete em quareta e oito parcelas mesais iguais e postecipadas. Você aida coseguiu reduzir a taxa para 16% a.a. Qual deverá ser o valor da ova parcela? 15. Você fez determiada compra em uma loja de material de costrução de sua cidade e assumiu pagar seis prestações mesais iguais (sem etrada) o valor de R$ 1.234,56 (cada uma). Você paga a 1 a, a 2ª e a 3ª o vecimeto e, o dia em que pagou a terceira prestação, você reegocia a dívida restate em dezoito prestações mesais iguais e atecipadas. Qual será o valor de cada uma destas ovas prestações, cosiderado que a loja cobra uma taxa aual de juros igual a 49%? 6. Um empréstimo de custeio agrícola o valor equivalete a vite e cico mil reais deveria ser pago após dez meses e foi obtido com uma taxa aual de juros igual a dezeove porceto, capitalizado mesalmete. A seca frustrou a safra e você reegociou a dívida (o vecimeto) para ser quitada em oito pagametos semestrais iguais. Qual será o valor de cada um destes pagametos? 17. Você comprou um veículo as seguites codições: etrada de 50% e restate fiaciado em 48 parcelas mesais iguais e postecipadas de R$ 563,95. Após pagar quatro parcelas, o dia em que vecia a quita parcela você propõe que a dívida resta te seja refiaciada em 24 parcelas mesais iguais e postecipadas. Cosiderado que esta reegociação ão haja a cobraça de ehuma outra taxa, qual será o valor da ova parcela se o custo fiaceiro é de 2,78% a.m.? 18. Você está exercedo a fução de gerete fiaceiro em uma grade loja de material de costrução. À sua frete está um cliete propodo um plao de pagametos para as suas compras. O valor total das compras é de R$ ,00. A proposta do cliete é pagar sesseta prestações mesais uiformes postecipadas. A sua proposta é aceitar os sesseta pagametos propostos, mas, acrescido de reforços trimestrais (sedo o primeiro hoje) o valor (cada um) equivalete a R$ 2.353,00 e que

33 33 ocorrerão durate o mesmo período de pagameto das prestações. A taxa aual que a loja pratica é igual a 42%. Qual será o valor da prestação este Plao de pagametos? 19. Você está exercedo a fução de caixa de uma loja de eletroeletrôicos. À sua frete está um cliete reegociado um carê de compras que está atrasado em três meses e a quarta prestação vece hoje. O valor de cada prestação é de R$ 63,75. A taxa aual que a loja pratica é igual sesseta porceto. Para prestações atrasadas há uma multa de 1,5% sobre o valor da prestação mais 1% a.m. de juros. Qual será o valor que cliete deve pagar? 20. Uma máquia idustrial cujo valor à vista está fixado em R$ ,00 foi comprada por sua empresa com uma etrada de 20% e mais 24 prestações mesais iguais e atecipadas, diferidas de doze meses com uma taxa aual de 17%. Qual será o valor da prestação? 21. Cotiuado a questão aterior: Após pagar ove parcelas (o dia em que pagou esta oa parcela) você decidiu reegociar a dívida. A proposta é pagar o saldo remaescete em quareta parcelas mesais iguais e postecipadas. Você aida coseguiu reduzir a taxa para 12% a.a. Qual deverá ser o valor da ova parcela? 22. Você tem cico títulos (otas promissórias) com valor equivalete a R$ 839,45 (cada um) com vecimetos em 30, 60, 90, 120 e 150 dias respectivamete. A iteção é trocar estes títulos por um úico de R$ 4.197,25. Qual será o prazo do ovo título cosiderado que a taxa aual de juros esta trasação é igual a 49% e cosiderado capitalizações mesais? 23. Você tem uma loja de material de costrução. À sua frete está um cliete propodo um plao de pagametos para as suas compras. O valor total das compras é de R$ ,00. A proposta do cliete é pagar sesseta prestações mesais uiformes postecipadas. A sua proposta é aceitar os sesseta pagametos propostos, mas, acrescido de reforços trimestrais (sedo o primeiro hoje) o valor (cada um) equivalete a R$ 1.500,00 e que ocorrerão durate o mesmo período de pagameto das prestações. A taxa aual que a loja pratica é igual a 42%. Qual será o valor da prestação este Plao de pagametos? 24. Você está exercedo a fução de caixa de uma loja de eletroeletrôicos. À sua frete está um cliete reegociado um carê de compras que está atrasado em quatro meses e a quita prestação vece hoje. O valor de cada prestação é de R$ 83,75. A taxa aual que a loja pratica é igual sesseta porceto. Para prestações atrasadas há uma multa de 2,5% sobre o valor da prestação mais 1,5% a.m. de juros. Qual será o valor que cliete deve pagar para deixar o seu carê em dia? 25. Você tem em mãos um título de R$ 6.396,50 com vecimeto para quatro meses. Como bom gerete fiaceiro você propõe que este título seja parcelado em seis pagametos mesais com o primeiro vecimeto para daqui a 60 dias. Qual será o valor de cada um destes pagametos se a taxa da trasação é de 12% ao semestre? RESPOSTAS R$ 1.166,40 R$ 2.270,70 R$ 3.151,94 R$ 4.183,13 11 meses e 23 dias R$ 4.232, R$ 1.341,72 R$ ,92 R$ ,97 R$ 7.202,25 R$ ,27 R$ , R$ 1230,71 R$ 1.208,37 R$ 261,37 R$ 5.460,11 R$ 842,41 R$ 103, R$ 261,72 R$ 703,45 R$ 287,69 2meses e 29 dias R$ 407,88 R$ 439,88 R$ 1.076,08 Iovar a admiistração ão é um projeto para seis meses. É uma busca persistete e permaete pelos melhores métodos para liberar e potecializar a capacidade humaa. (Gary Hamel)

34 34 MÉTODOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS RESUMO 1. Método do Payback Por este método busca-se saber quato tempo o projeto levará para devolver o diheiro ivestido ele Payback Simples (PBS) Por este método, dimiui-se os lucros líquidos a serem gerados pelo ivestimeto do desembolso iicial, idepedete se for uma série uiforme ou ão. O resultado será o úmero de períodos ecessários para que o Projeto devolva o valor ($) ivestido ele. Ex.: Um ivestimeto de $ ,00 gerará retoros auais de $ 5.000,00 durate 10 aos. Qual é o seu PBS? Vatages: - Iformação rápida praticamete sem cálculos. - Forece uma idéia aproximada do prazo de recuperação do capital ivestido. Desvatages: ages: - Não cosiderada o valor do diheiro o tempo. - Não cosiderada o fluxo de caixa após o PB Payback Descotado (PBD) - Nesta variate do Payback, utiliza-se uma taxa de juros para descotar até o mometo focal zero, os lucros líquidos de cada período previsto o ivestimeto. Para fazer o cálculo pode-se utilizar qualquer taxa de iteresse. Lappoi (1996, p.24) sugere que seja usada a taxa do custo do capital, ou seja, se o ivestimeto for fiaciado, utiliza-se a taxa do fiaciameto. Casarotto (1998), cosidera este método como ão exato e o chama de Payback Time. Zdaowicz sugere que deva ser usada a TMA, pelas suas características itrísecas. A subtração dos valores descotados do ivestimeto iicial forece o úmero de períodos ecessários para que o ivestimeto se pague. Ex.: Um ivestimeto de $ ,00 gerará retoros auais de $ 5.000,00 durate 10 aos. Qual é o seu PBD se a TMA do projeto é de 10%a.a.? Vatages: - Iformação rápida com poucos cálculos. - Forece uma idéia bastate precisa do prazo de recuperação do capital ivestido. Desvatages: - Não cosiderada o fluxo de caixa após o PB. 2. Método do Valor Atual Por este método, utiliza-se a TMA para descotar todo o fluxo de caixa (lucros líquidos por período), até o mometo focal zero. A soma de todos os valores atuais (valores descotados) será subtraída do ivestimeto iicial gerado o Valor Presete Líquido (VPL VPL) do projeto. O resultado é um valor moetário utilizado a comparação com as outras alterativas, ou o uso alterativo do diheiro. A decisão recai para o Projeto de maior VPL.

35 35 Ex.: Um ivestimeto de $ ,00 gerará retoros auais de $ 5.000,00 durate 10 aos. Qual é o seu VPL se a TMA do projeto é de 10%a.a.? Vatages Facilidade de etedimeto ecoômico-fiaceiro; Rápida resposta quado da comparação etre alterativas mutuamete exclusivas, tedo a mesma vida útil; Possibilidade de aplicação a projetos com fluxos de caixas ão covecioais ; Fácil visualização gráfica a comparação etre alterativas; Permite o uso de taxas míimas de atratividade. Desvatages Quado aalisados projetos com vida útil diferete, há ecessidade de recorrer a uma vida útil comum. Os VPL s ão mais teriam qualquer idetificação com lucros excedetes. Dificuldade de certas empresas em explicitar uma taxa míima real de atratividade. 3. Método do Valor Aual Uiforme Equivalete (VAUE ou VAU ou VUL) Lappoi chama este método de Valor Uiforme Líquido. Cosiste em trasformar o ivestimeto em uma série aual uiforme e comparar com as séries geradas pelo lucro líquido aual e pelo valor residual do projeto. A taxa utilizada os cálculos sempre será a TMA. A escolha recai sobre o projeto de maior VAUE. Ex.1: Um ivestimeto de $ ,00 gerará retoros auais de $ 5.000,00 durate 10 aos. Qual é o seu VAUE se a TMA do projeto é de 10%a.a.? Ex.2: Um ivestimeto de $ ,00 gerará retoros auais de $ 6.000,00 durate 10 aos e terá um valor residual de $ 8.000,00. Qual é o seu VAUE se a TMA do projeto é de 10%a.a.? Ex.3: Um ivestimeto de $ ,00 gerará retoros auais de $ 8.000,00 durate 4 aos, $ 7.000,00/ao durate 3 aos, $ 6.000,00/ao durate 3 aos e terá um valor residual de $ 8.000,00. Qual é o seu VAUE se a TMA do projeto é de 10%a.a.? Vatages Não requer cálculo da vida útil comum quado se aalisa diversos projetos; Pode avaliar alterativas que só apresetam estruturas de custos; Não ecessita da obrigatoriedade de se trabalhar apeas com fluxos de caixa covecioais; É o critério ideal para as istituições de fometo tomarem decisões imediatas a elaboração de rakig etre as propostas competitivas; Não ecessita de cálculos de projetos icremetais. Desvatages O critério ão apreseta um ídice ecoômico-fiaceiro de fácil etedimeto para o grade público empresarial, ao cotrário do que ocorre com a TIR e o VPL.

36 36 4. Método da Taxa Itera de Retoro (TIR) Este método busca idetificar a taxa de juros que aula o projeto de ivestimeto. Ou seja, comparado ivestimeto, receitas e despesas, a taxa em que o VPL é ulo, idica a taxa itera de retoro deste projeto. A grade vatagem deste método é a expressão do resultado em um valor percetual. Portato, leva em cosideração todas as proporcioalidades das variáveis evolvidas: Volume do ivestimeto, volume do lucro líquido aual gerado e vida ecoômica do projeto. Isso possibilita que projetos com volumes diferetes e vida ecoômica diferete possam ser melhor comparados. Vatages Represeta a taxa de lucro do projeto aalisado. É de fácil etedimeto para a comuidade empresarial; Idepede da taxa míima de atratividade para os procedimetos iiciais de sua determiação; Para projetos com vidas úteis diferetes ão há a ecessidade de igualar as vidas úteis; Desvatages Na avaliação de dois ou mais projetos, faz-se ecessário o cálculo da retabilidade do projeto icremetal para decidir qual o mais retável; Não permite aalisar projetos que apresetam apeas fluxos egativos de caixa ou de custos. 5. Critério da Razão Beefício/Custo (CRBC) - O idicador deste critério cosiste a relação etre o valor presete dos beefícios e o valor presete dos custos, afirmado-se que os projetos dados à aálise pelo critério serão ecoomicamete viáveis quado esse idicador for maior que a uidade, ou seja, o limite, igual à uidade. Em termos públicos o coceito de beefícios e custos passam a ter uma cootação social. 6. Outros métodos: Ídice de lucratividade, Valor Futuro Líquido, Taxa Itera de Juros, Taxa Extera de Retoro, Custo Aual, etc. 7. Imposto de Reda e Retabilidade dos Ivestimetos Na aálise de projetos de ivestimetos, a depreciação tem repercussão a dimiuição do lucro tributável da empresa o que cotribui para elevar a TIR do ivestimeto plaejado frete a uma proposta que ão possua tal cocessão. Quato aos fiaciametos cocedidos aos projetos de ivestimetos, semelhates à depreciação, podem ser deduzidos dos lucros tributáveis, o que também reforça uma melhor performace da TIR do projeto. Se fosse pela votade do empresário ele gostaria de deduzir a parcela da depreciação o meor espaço de tempo (depreciação acelerada). Para cotorar a questão, a Receita Federal estipula coeficietes que, de modo geral para o Brasil, se situam etre os 4% a.a. Para prédios (25 aos de vida útil) e 20% a.a. para veículos (5 aos de vida útil) e os equipametos em toro de 10% a.a.

37 37 Um poto fudametal, a aálise da ifluêcia do IR/Depreciação sobre os ivestimetos, é saber o que vale para efeito de dedução do lucro tributável é a Depreciação Cotábil, diferete da Depreciação Real ou Efetiva. 8. Aálise de Sesibilidade Os métodos vistos até aqui aalisam propostas de ivestimeto cosiderado cohecido o futuro ao admitir os fluxos de caixa como certos ou determiados. No etato, o mudo real a prática tem demostrado que o futuro é icerto e que o ambiete de tomada de decisão presete em sempre é forecedor de subsídios tagíveis que cocorram à sialização de evetos positivos ou egativos relacioados aos acotecimetos futuros. Por esta razão é de fudametal efetuar a Aálise de Sesibilidade em qualquer projeto, ates de sua implatação. Bibliografia recomedada CASAROTTO FILHO, N. Aálise de Ivestimetos: Matemática Fiaceira, egeharia ecoômica, tomada de decisão, estratégia empresarial. 8 ª ed. São Paulo: Atlas, LAPPONI, J.C. Avaliação de Projetos de ivestimeto. São Paulo: Lappoi Treiameto e Editora Ltda., ZDANOVICZ, J.E. Orçameto de Capital. 2 ª ed. Porto Alegre: Sagra-Luzzatto DAMODARAN, A. Avaliação de Ivestimetos. Rio de Jaeiro. Qualitymark, OLIVEIRA, J.A.N. de, Egeharia Ecoômica : uma abordagem às decisões de ivestimeto. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil. PUCCINI, A. de L. Matemática Fiaceira Objetiva e Aplicada. 6 ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001

38 38 Uiversidade do Estado de Sata Cataria Curso de Mestrado em Admiistração Área de Cocetração : Gestão Estratégica das Orgaizações PLANEJAMENTO FINANCEIRO DE MICRO E PEQUENAS EMPRESAS Beo Nicolau Bieger Floriaópolis/SC 2001 Coteúdo extraído do Capítulo 1 Revisão bibliográfica 1.4 Egeharia Ecoômica Método do payback ou do Prazo de Recuperação do Capital Este é um método bastate simplificado que busca idetificar o período ecessário para que os igressos líquidos (lucro / período) se igualem ao capital ivestido. Para calcular o payback basta dividir o ivestimeto iicial pelas receitas liquidas projetadas. O resultado dará uma oção geérica de quato tempo aquele ivestimeto precisará gerar aquelas receitas para devolvê-las ao ivestidor. Por exemplo, se um ivestimeto de R$ ,00 gerar receitas liquidas de R$ 5.000,00 por ao durate cico aos, o seu payback será : ,00 / 5.000,00 = 4 aos. Esta forma direta e simples é também chamado de payback simples (PBS). A situação do exemplo aterior, dificilmete acotece a prática, pois ormalmete as receitas liquidas ão são uiformes. Nesta situação pode-se laçar os valores acumulados em um gráfico. Por exemplo : Um determiado ivestimeto de R$ ,00 gerará um fluxo de caixa liquido (receitas liquidas) de R$ ,00 o primeiro ao, R$ ,00 o segudo ao, ,00 o terceiro ao, R$ ,00 o quarto ao, R$ ,00 o quito ao e R$ ,00 o sexto ao. Cria-se etão uma tabela e um gráfico como segue :

39 Figura 05 - Tabela e gráfico do payback simples (PBS) Aos Capitais Capitais acumulados ( ,00) ( ,00) ,00 ( ,00) ,00 ( ,00) ,00 (70.000,00) ( ) , ,00 ( ) , ,00 ( ) , ,00 ( ) 39 Pelo gráfico pode-se perceber que a recuperação do capital se dará etre o terceiro e quarto aos. Para saber quatos meses após o terceiro ao basta fazer a iterpolação liear, cosiderado uma receita liquida uiforme o decorrer daquele ao. Aalisado este método, é fácil cocluir que este ão pode ser o úico quado são aalisados ivestimetos. Mas existem ele algumas vatages, além de ser uma medida de liquidez, a facilidade de sua aplicação e iterpretação : quato meor o payback, melhor o ivestimeto. As desvatages estão o fato de que ão é cosiderado o valor do diheiro o tempo, ão cosidera todos os capitais do fluxo de caixa dado êfase a projetos de curta maturação que podem ter baixa retabilidade, e aida, o método ão é uma medida de retabilidade do ivestimeto por somete aalisar o prazo ecessário para recuperar o valor do ivestimeto. Algus autores, etre eles Lappoi (1996) aida ampliam a aálise deste método sugerido uma seguda aálise com o método do payback descotado que leva em cosideração o custo do capital o tempo. Esta maeira, o etato se aproxima muito do método do Valor Presete Liquido (VPL) que será aalisado a seguir Método do Valor presete líquido ou do Fluxo de caixa descotado Se o método do payback visto ão leva em cota o custo do diheiro o tempo, pelo método do Valor Presete Liquido 1 (VPL) ou do Fluxo de Caixa Descotado (FCD) calcula-se o Valor Atual / Valor Presete das receitas e das despesas geradas pelo ivestimeto projetado, utilizado-se a taxa míima de atratividade (TMA) 2 pretedida pelo ivestidor e, etão compara-se o resultado com o valor do ivestimeto. "O método do VPL é mais do que um simples cálculo, é o melhor método de avaliação que cosegue mostrar a cotribuição do projeto de ivestimeto o aumeto do valor da empresa" (Lappoi, 1996, p.33). O procedimeto de cálculo do VPL ada mais é do que a soma dos valores presetes de todos os fluxos de caixa gerados pelo ivestimeto ao logo de sua vida útil / ecoômica. Para o exemplo apresetado o método aterior ode eram gerados R$ 5.000,00/ao durate cico aos para um ivestimeto de R$ ,00, se cosiderarmos uma taxa de atratividade de 15% a.a., o Valor Presete Liquido será: 1 A palavra liquido é utilizada por se referir à difereça etre o valor presete dos capitais positivos e egativos do fluxo de caixa do ivestimeto/empresa projetado. 2 "A taxa míima de atratividade... é a taxa míima de juros por que covém o ivestidor optar em determiado projeto de ivestimeto" (Fracisco, 1994, p.198). Quado se usa a termiologia Fluxo de Caixa Descotado esta é a "... taxa de descoto refletido o risco ierete aos fluxos de caixa estimados" (Damodara, 1999, p.12).

40 40 (1 + i) 1 VPL = * (1 + i). i = * 5 (1 + 0,15) 1 5 (1 + 0,15).0,15 = * 3, = ,78 ( 3 ) e, dimiuido o ivestimeto iicial de chega-se a : 3.239,22 ou etão diretamete a HP 12C : CHS g CFo 5000 gcfj 5 g Nj 15 i f NPV o resultado também será : 3.239,22 ou seja, para uma taxa de atratividade de 15% a.a. o VPL será meor do que o ivestimeto iicial. Portato o ivestimeto ão é iteressate. O outro exemplo também apresetado o método aterior (PBS) será assim calculado 4 : VPL = (1,15) (1,15) (1,15) (1,15) (1,15) (1,15) -6 = ,61 E, usado a calculadora HP 12C : CHS g CFo g CFj g CFj g CFj g CFj g CFj gcfj 15 i f NPV = ,61 Também para este exemplo pode-se cocluir que o ivestimeto ão é compesador para a taxa de atratividade de 15% a.a. pois seu VPL é meor do que o desembolso iicial. Lappoi (1996, p.36) desevolveu a seguite fórmula geérica para o Valor Presete Liquido : R1 VPL = I + 1+ k R ( 1+ k) R ( 1+ k) Q ( 1+ k) + Ode I é o ivestimeto do capital a época zero; R 1, R 2,... R, são os retoros após os impostos,...; é o prazo da aálise do projeto, deomiado também de vida útil; k é o custo do capital..., taxa de atratividade, taxa de juros requerida, taxa de juros míima aceitável, custo de oportuidade; Q é o valor residual do projeto o fial do prazo da aálise. Damodara (1999) trata loga e profudamete sobre avaliação de ivestimetos, avaliação de dividedos, de imóveis e pricipalmete de empresas, sempre utilizado o método do fluxo de caixa descotado Método da Taxa Itera de Retoro (TIR) No método aterior (VPL) todos os valores do fluxo de caixa evolvedo igressos ou desembolsos foram levados para o mometo zero do ivestimeto, cosiderado determiada taxa evolvedo o egócio. No método da Taxa Itera de Retoro busca-se idetificar a taxa que aula o valor do VPL. A taxa itera de retoro é pois a taxa de juros que aula a difereça etre os valores atuais das receitas e das despesas de seu fluxo de caixa. Numa 3 Fórmula desevolvida para Valor Presete de Séries uiformes por Fracisco (1994, p. 98) 4 Utilizado a fórmula do descoto composto real.

41 41 escolha etre mais de uma alterativa de ivestimeto, cosiderado que todas atedem os demais objetivos da empresa, escolhe-se aquela que tiver a maior taxa de retoro. A fórmula desevolvida por Lappoi para o VPL (vista acima) ficará etão assim: R1 VPL = 0 = I + 1+ k R ( 1+ k) R ( 1+ k) Q ( 1+ k) + ode k é a taxa itera de retoro aida ão cohecida. Como ão se tem codições de calcular "k" diretamete a expressão acima, foram desevolvidas algumas maeiras práticas de fazê-lo. Com o uso da calculador HP 12C para calcular a TIR do exemplo visto ateriormete tem-se o seguite procedimeto : CHS g CFo g CFj g CFj g CFj g CFj g CFj g CFj f IRR = 13,82% a.a. Como se pode ver, aquele projeto havia uma pretesão de retoro (taxa de atratividade) de 15% a.a. e, a verdade o retoro é de apeas 13,82% a.a. Zdaowicz (1995) e também Fracisco (1994) desevolveram uma outra maeira para, uma seqüêcia de cálculos pelo método das tetativas, chegar à taxa itera de retoro. Primeiramete trasforma o fluxo de caixa uma série uiforme e etão, a fórmula do valor atual de séries uiformes têm-se como úica icógita a taxa. Numa tabela de valores atuais para uma uidade moetária, busca-se idetificar duas taxas de juros (uma abaixo e outra acima deste valor) que serão etão iterpoladas, jutamete com os módulos de valores atuais produzidos por estas taxas. O resultado da iterpolação é a TIR do projeto. Aplicado o método de Zdaowicz e Fracisco o exemplo do ivestimeto de R$ ,00 que gera receitas liquidas de R$ 5.000,00 por cico aos, a taxa itera de retoro deste ivestimeto será : 1º passo : Da fórmula de valor atual A i = T. a i ( 5 ) ode A i = ,00 (valor do ivestimeto) T = 5.000,00 (valor do termo da série uiforme) a 5 i será = / = 4,000 2º passo : Na tabela de valores atuais 6 com = 5 e a 5 i = 4,000 a taxa de 7% correspode a 4, e a de 8% correspode a 3,992710, portato um valor acima e outro abaixo de 4,000. 3º passo : Calcular os módulos de valores atuais com a fórmula A i = T. a i : A 5 0,07 = ( ,100197) = 500,99 A 5 0,08 = ( ,992710) = 36,45 5 Fracisco, 1994, p Esta tabela é produzida baseada a fórmula do valor atual de uma uidade moetária (desevolvida a partir da fórmula do descoto composto real) : a i = (1 + i) 1 (1 + i). i

42 42 4º passo : Iterpolar as taxas e os respectivos módulos pela fórmula 7 : Taxa. maior TIR Módulo = TIR Taxa. meor Módulo 0,08 TIR = 36,45 TIR 0,07 500,99 e, resolvedo a expressão tem-se TIR = 7,93 % a.a. Fazedo o mesmo cálculo pela HP 12C o procedimeto será : CHS PV 5000 PMT 5 i e o resultado será também 7,93 % a.a. Por suas limitações e pela demora do cálculo este processo está caido em desuso. Calculadoras fiaceiras, plailhas do Excel ou similares toram a tarefa extremamete simples e rápida podedo o resultado ser comuicado em poucos segudos. Cabe a observação de que um mesmo projeto poderá vir a ter mais de uma taxa itera de retoro, ou seja TIR's múltiplas. Esta sistemática ão etrará esta abordagem. Quado a seleção de projetos de ivestimeto recai exclusivamete sobre a TIR covém fazer também a aálise icremetal de cada projeto Método do Custo Aual (CA) No método aterior foram desevolvidas algumas formas de se idetificar a taxa itera de retoro de um ivestimeto com o objetivo de se idetificar uma taxa capaz de aular o fluxo de caixa das receitas e despesas ao logo da vida útil do projeto. Fracisco (1994) desevolveu um método adicioal que deve ser utilizado quado se aalisa diversas alterativas de ivestimeto e a iteção for optar por um de meor custo aual. Neste método "o fluxo de caixa de cada alterativa é reduzido a uma série aual uiforme com o emprego da taxa míima de atratividade" (p.207). As fórmulas desevolvidas pelo autor são : CA = CARC + CO ode CA = Custo Aual CARC = Custo Aual de Recuperação do Capital CO = Custos operacioais e o Custo Aual de Recuperação do Capital (CARC) é calculado : CARC = [ (C - R) / a i ] + R.i ode C = Custo iicial do ivestimeto R = Valor residual do ivestimeto i = Taxa de atratividade 7 Esta iterpolação também pode ser efetuada de diversas outras maeiras. 8 Sobre Aálise Icremetal cosultar Lappoi, 1996.

43 43 = Vida útil do Ivestimeto Estabelecedo um Custo Operacioal (hipotético) de R$ ,00 / ao, e uma taxa de atratividade de 15% a.a. para o exemplo acima teríamos : CARC = ( ) / 3, (9) + 0 x 0,15 = 5.966,31 CA = 5.966, = R$ ,31 Os resultados obtidos as aálises das alterativas de ivestimeto são etão comparados e a opção recairá sobre a de meor custo aual Método do Valor Uiforme Liquido (VUL) O método do valor uiforme liquido (VUL), de acordo com Lappoi (1996) coverte todo o fluxo de caixa do ivestimeto, do projeto ou da empresa uma série de termos iguais e postecipados etre as datas um e "" do fluxo de caixa. Para o exemplo apresetado o método do payback simples e aida cosiderado um valor residual de R$ ,00 tem-se o seguite procedimeto para o cálculo do valor uiforme líquido: Calcula-se uma série uiforme para o capital de R$ ,00 levado em cota a taxa de 15% a.a. para um período de seis aos e obtém-se o valor de R$ ,76 para cada período (colua I); calcula-se etão o valor presete líquido (VPL) para as receitas auais projetadas que será igual a R$ ,39. Este valor também irá gerar uma série uiforme de R$ ,77 represetada a colua "R". Em seguida calcula-se também uma série uiforme para o valor residual que resulta em R$ 6.854,21 (colua Q). O resultado das três coluas (-I + R + Q ) aparece a colua VUL que é o valor uiforme liquido do ivestimeto. Por ser positivo, em tese, o ivestimeto deve ser aceito pois gerará lucros extras de R$ 3.493,22 ao ao além da taxa de atratividade de 15% a.a Tabela 01 - Cálculo do Valor Uiforme Liquido (VUL) Séries Uiformes Aos Capitais I R Q VUL 0 ( ,00) ,00 ( ,76) , , , ,00 ( ,76) , , , ,00 ( ,76) , , , ,00 ( ,76) , , , ,00 ( ,76) , , , ,00 ( ,76) , , , ,00 9 a i = (1 + i) 1 (1 + i). i ode i = 15% (0,15 a fórmula) e = 5 aos

44 Alavacagem Fiaceira No item aterior foram abordados os diversos métodos de aálise de ivestimetos. Estes métodos permitem que seja tomada a decisão sobre qual o melhor ivestimeto quado se tem diversas alterativas e, quado está sedo aalisado apeas um projeto, tem-se a possibilidade de atever o comportameto fiaceiro e seus efeitos o fluxo de caixa da empresa. "O lucro líquido da empresa resulta da retabilidade ecoômica dos ativos, dimiuída do custo de suas dívidas.... O efeito de alavacagem traduz o fato de que, quado a retabilidade dos ativos é mais elevada do que o custo do edividameto, o crescimeto das dívidas eleva a retabilidade do capital próprio". (Fleuriet,1978, p.140). Já Sat'Aa defie alavacagem fiaceira como a utilização de recursos (próprios e de terceiros) para multiplicar os lucros dos acioistas. Na busca de capital para implemetar estes ovos projetos ou mesmo para implemetar projetos em adameto detro do uiverso fiaceiro, pode-se selecioar duas fotes de recursos: Capital próprio e Capital de terceiros. Estas formam o passivo da empresa. A busca das fotes de fiaciameto será abordada rapidamete este item. Primeiramete será aalisado o autofiaciameto e sua importâcia para depois ser efocado o fiaciameto de logo prazo e seu poder de alavacagem O autofiaciameto Reportado-se ao balaço patrimoial efocado o iício do capítulo, observamos que as fotes de recursos têm duas origes : recursos próprios represetados pelo capital social, reservas e depreciações (Patrimôio Liquido) e recursos de terceiros, que são represetados pelos créditos de forecedores e pelos empréstimos e fiaciametos bacários (Exigível). O capital próprio é aquele que ão se caracteriza como uma exigibilidade, ou seja, o que pertece aos proprietários da empresa, sedo deomiado de Patrimôio Líquido. O ativo ecoômico é assim o cojuto de aplicações que a empresa dispõe para gerir suas estratégias e ações o mercado em que atua. Brasil e Fleuriet (1982) classificam o ativo ecoômico em : ativos de precaução, de exploração, de operação ou cíclicos, e fiaceiros em caixa. Os ativos de precaução são ivestimetos em imóveis ou títulos ão ligados às operações da empresa. Já os ativos de exploração são ivestimetos em imóveis e equipametos ecessários à produção. Os ativos de operação ou cíclicos são ivestimetos em estoques tato de matérias-primas como em duplicatas a receber. E, fialmete, os ativos fiaceiros em caixa são represetados pelo umerário dispoível tato em caixa como em istituições fiaceiras e se destiam ao pagameto de emergêcias e dívidas de curto prazo. O aumeto do ativo ecoômico é fiaciado pelos lucros retidos mais a depreciação, costituido-se os fudos para o autofiaciameto. A geração de recursos próprios defie a capacidade de crescimeto da empresa. É portato a primeira alavaca fiaceira de que a empresa dispõe para fometar o seu crescimeto. A otimização ou a

45 45 maximização deste valor depede diretamete da estrutura de produção e orgaização da empresa. O aumeto do preço de veda e a ecoomia com matéria prima e mão-de-obra são fudametais este processo. Os recursos proveietes das depreciações depedem sobremaeira do perfil das máquias e equipametos, bem como do produto fabricado ou serviço prestado pela empresa Fiaciametos de terceiros Além do autofiaciameto as empresas se valem, também, do capital de terceiros para desevolverem as suas atividades. O capital de terceiros se caracteriza como uma exigibilidade, ou seja, reflete em pagameto de juros, comissões, etc., mais a devolução do pricipal em uma data pré-determiada. São os Passivos Exigíveis. Quado estes passivos são exigíveis o curto prazo 10 se caracterizam como Passivos Circulates. Estes podem aida ser Passivos Circulates Operacioais (PCO) quado são obtidos através de forecedores e até mesmo dos impostos aida ão desembolsados e, Passivos Circulates Fiaceiros (PCF) quado os recursos provém de fotes ão ligadas à empresa (Bacos, Istituições, etc.). Já se o prazo é logo 11 estes passivos se deomiam Exigíveis de Logo Prazo. Estes recursos tem origem em fiaciametos ou empréstimos de logo prazo que se destiam para realizar ampliações ou mesmo para acelerar o ritmo de crescimeto da empresa. Os empréstimos ou fiaciametos de logo prazo são um dos compoetes do Capital de Giro (CDG), represetado recursos de terceiros que, obviamete, também geram despesas fiaceiras. Esta importate alavaca extera precisa ser aalisada criteriosamete, pois o seu custo deverá ser passível de absorção pela retabilidade do próprio egócio. Coclui-se facilmete que ão se pode laçar mão desta modalidade sem cohecer rigorosamete a retabilidade do egócio em que a empresa está atuado. 1.6 Decisões de ivestimeto e de fiaciameto Decisão de ivestimeto A decisão de ivestimeto é sem dúvida uma das pricipais decisões da área fiaceira. Em essêcia, cosiste a alocação de capital a projetos de ivestimetos, cujos beefícios serão auferidos o futuro. Como os lucros futuros ão podem ser estimados com absoluta certeza, a decisão de alocar capital, ecessariamete, evolve risco. Desta forma, tais decisões cosideram ão apeas o risco icremetal que eles represetam para a empresa como um todo, visto que este se costitui um fator determiate do valor de mercado da empresa. (Savicete, 1995). Os ivestimetos dizem respeito à avaliação de aplicação de recursos as atividades da empresa. Normalmete, as aplicações dos recursos a área de ivestimeto destiam-se, etre outros, à: 10 Curto prazo é o período meor que um exercício social. Normalmete 360 dias (1 ao). 11 Logo prazo é o período maior que um exercício social.

46 Aquisição de máquias ovas; Substituição de um equipameto por outro; Istalação de sistemas de cotrole de produção e estoques; Compra de patete sobre processo de produção ou direitos de uso de marcas comerciais; Ampliação ou costrução de uma ova fábrica; Abertura de uma ova liha de produtos e serviços; Decisão de fiaciameto A fução fiaceira 12 tem por fialidade assegurar a empresa como um todo e cosiste em captar os recursos ecessários para fiaciar a estrutura produtiva o mais baixo custo possível. Isto sigifica aalisar pricipalmete as variáveis : prazos, datas de pagametos, garatias exigidas pelos agetes fiaciadores, etc. A decisão de fiaciar é portato ierete ao ível hierárquico mais elevado de cada empresa e sigifica determiar a melhor forma de fiaciar as suas operações. Em outras palavras, determiar qual a estrutura de capital mais adequado e a decisão de cojugar o lucro desejado ao custo de capital de terceiro e o risco associado a cada alterativa evolvida Decisão de distribuição de lucros No balaço geral da empresa, os ivestimetos estão alocados o lado do Ativo e os fiaciametos estão o lado do Passivo que são as fotes de recursos que vêm sedo usadas pela empresa para sustetar suas atividades. A utilização do lucro líquido, recursos fiaceiros que a própria empresa gera em suas atividades operacioais e extra-operacioais 13, estão localizados a parte do patrimôio líquido do balaço geral da empresa. A decisão da utilização do lucro líquido, também cohecida como política de dividedos 14, se preocupa com a destiação dada aos recursos fiaceiros gerados pela própria empresa. Desta forma, o que a empresa retém de seu lucro, deixado de distribuir, costitui uma das suas fotes de recursos 15. Essa taxa represetativa do custo de capital dos recursos selecioados costitui o padrão para a tomada de decisões de ivestimeto à medida que, aplicado recursos com retoro superior ao custo de capital, a empresa achese o camiho da maximização dos resultados para os que ela ivestem. 12 Depededo do porte da empresa, a fução fiaceira tem seu espaço determiado a estrutura orgaizacioal sob forma de gerêcia ou diretoria fiaceira. Nas micro empresas é fução itríseca do proprietário. 13 Receitas ou lucros obtidos com atividades que ão são o objetivo da empresa e podem vir de alieação de imóveis, receitas fiaceiras ão operacioais, etc. 14 Em empresas de Capital Aberto (S/A). 15 Para maiores esclarecimetos ver : Lei das S.A. Mauais de legislação Atlas º 28, 6ªed., 1999.

47 Coclusão Neste primeiro capítulo foram abordadas as pricipais demostrações fiaceiras quais sejam : Balaço Patrimoial, Demostrações do Resultado do Exercício, Demostração de Origem e Aplicações de Recursos e Demostração de Lucros e Prejuízos acumulados / Demostração das Mutações do Patrimôio Líquido. Para melhor coceber o Plaejameto Fiaceiro foram iicialmete abordadas as idéias e seus pricipais autores sobre plaejameto estratégico, para depois discorrer sobre ciclo ecoômico x ciclo fiaceiro, capital de giro e fluxos de caixa das empresas. Avaliar ou aalisar projetos de ivestimeto ou empresas, é uma das fuções do plaejameto fiaceiro que possibilita através de métodos específicos determiar a sua retabilidade, retoro e custos projetados. Estes métodos são abordados a egeharia ecoômica. A alavacagem fiaceira aalisa o autofiaciameto e o fiaciameto de terceiros. No tópico seguite aborda-se a questão das decisões de ivestimeto, fiaciameto e de distribuição de lucros. Com estas abordages pretede-se estabelecer o coceitual teórico ecessário à compreesão do ferrametal que evolve a prática do plaejameto fiaceiro em empresas ou orgaizações. No próximo capítulo será abordada a micro e pequea empresa, suas defiições e classificações, bem como a caracterização e perspectivas da micro e pequea empresa o oeste catariese, especialmete o setor idustrial e de prestação de serviços.

48 48 O presete texto foi extraído e adaptado da Dissertação de Mestrado de Patrícia Taha, apresetada à UFSC. A ítegra ecotra-se dispoível em: ESTUDO DE VIABILIDADE TÉCNICO-ECONÔMICA DA PRODUÇÃO DE SURIMI Patrícia Taha Capítulo 3 CONSIDERAÇÕES METODOLÓGICAS Este capítulo apreseta uma descrição dos métodos mais utilizados atualmete para uma aálise ecoômica de ivestimeto. Para aálise do projeto é utilizado o modelo clássico de Ecoomia da Egeharia, acrescido de uma Aálise de Sesibilidade para idetificar as variáveis que mais iterferem a viabilização do projeto. Detre os métodos utilizados para aálise de viabilidade de projetos, serão utilizados o Método do Valor Presete, a Taxa Itera de Retoro e o Método Tempo de Recuperação do Capital (Pay Back Time) ANÁLISE DE INVESTIMENTOS O coceito de Aálise de Ivestimetos pode ser cosiderado como um cojuto de técicas que permitem a comparação etre os resultados de tomada de decisões referetes a alterativas diferetes de forma cietífica. Nessas comparações, as difereças que marcam as alterativas devem ser expressas tato quato possível em termos quatitativos. Para expressar em termos quatitativos as difereças etre as alterativas em uma tomada de decisão usa-se basicamete da Matemática Fiaceira. A Egeharia Ecoômica é, em boa parte, uma aplicação das técicas de Matemática Fiaceira os problemas de tomada de decisões. É um cojuto dos métodos utilizados as aálises de ivestimetos e das técicas empregadas a escolha da melhor alterativa.

49 49 Surge um problema de Egeharia Ecoômica quado se deseja ivestir um capital ou ocorre a ecessidade de se comprar um bem de capital. Em ambos os casos, todas as alterativas tecicamete viáveis para o ivestimeto devem ser aalisadas. Empregado métodos específicos os resultados das oportuidades de egócios são comparados com o objetivo de apurar-se a melhor alterativa para o ivestimeto. Ecoomicamete, a melhor alterativa é a que, a logo prazo, propicia maior retabilidade ou meor custo. De acordo com DE FRANCISCO (1988), um estudo de aálise de ivestimetos compreede: a. um ivestimeto a ser realizado; b. eumeração de alterativas viáveis; c. aálise de cada alterativa; d. comparação das alterativas; e. escolha da melhor alterativa. Fializado, cabe aida ressaltar que a tomada de decisão a alterativa escolhida deve ser sempre a mais ecoômica, após a verificação de que todas as variáveis que ifluem o sistema foram coveietemete estudadas CONSIDERAÇÕES DA ENGENHARIA ECONÔMICA Para a tomada de decisões de ivestimeto, algus pressupostos devem ser cosiderados como a seguir: a. Não existe decisão com alterativa úica. Sigifica que, para tomar qualquer decisão, devemos aalisar todas as alterativas viáveis, sedo em úmero míimo de duas. b. Somete pode-se comparar alterativas homogêeas. Para melhor etedimeto deste pricípio, vejamos um exemplo: O que é melhor comprar, um apartameto a Beira -Mar (Floriaópolis - zoa altamete valorizada) por 300 mil dólares ou um outro em Capoeiras (Floriaópolis, zoa de meor valorização) por 100 mil dólares? Não será possível esta comparação se ão coseguirmos a homogeeidade de dados de comparação. Se os dois apartametos tiverem a mesma metragem, a mesma qualidade de acabameto, os mesmos cômodos, e se cosiderarmos que o ídice de valorização de ambos os bairros são iguais e que seria idiferete morar a Beira-Mar ou em Capoeiras, aí etão poderíamos dizer qual das duas alterativas é melhor.

50 50 c. Apeas as difereças das alterativas são relevates. Se em ambas as alterativas tivermos uma série de custos ou receitas iguais, elas ão são ecessárias para decidir qual é melhor, uma vez que existido as duas alterativas o mesmo mometo, suas difereças aulam-se. d. Os critérios para decisão de alterativas ecoômicas devem recohecer o valor do diheiro o tempo. Não pode-se comparar simplesmete a alterativa A (ivestir 1 milhão de dólares e receber 3 milhões em 2 aos) com a alterativa B (ivestir 1 milhão e receber 5 milhões em 4 aos), porque existe uma difereça das alterativas com relação ao tempo. Desta forma, ão é possível simplesmete escolher a alterativa B porque 5 milhões é mais do que 2 milhões. Para se fazer esta comparação teremos que igualar o tempo de vida ou de utilização das alterativas. Não se pode esquecer, por exemplo que os 3 milhões recebidos ates podem ser reaplicados a determiada taxa por mais dois aos. e. Capital escasso. De ada adiata existir uma alterativa excepcioalmete retável, se o capital próprio mais o capital coseguido com terceiros ão é suficiete para cobrir as ecessidades de capital do ivestimeto. f. Deve-se sempre atribuir certo peso para os graus relativos de icerteza associados às previsões efetuadas. Como em todas as alterativas de ivestimeto sempre observam-se valores estimativos, deve-se tomar a precaução de atribuir a cada um destes evetos certo grau de icerteza. A cosideração formal do grau e do tipo de icerteza serve para assegurar que a qualidade da solução será cohecida pelos resposáveis da tomada de decisões. g. As decisões devem também levar em cosideração os evetos qualitativos ão quatificáveis moetariamete. Seleção de alterativas requer que as possíveis difereças etre alterativas sejam claramete especificadas. Sempre que possível essas difereças devem ser quatificáveis em uma uidade comum, geralmete uidade moetária, para forecer uma base para a seleção dos ivestimetos. Os evetos ão quatificáveis devem ser, etretato claramete especificados a fim de que os resposáveis pela tomada de decisão teham os dados ecessários relacioados, de forma a tomar a melhor decisão. Em certos casos, a alterativa mais ecoômica ão é a melhor solução em fução dos dados ão moetários ou ão quatificáveis. h. Realimetação de Iformações. A realimetação de dados para os técicos resposáveis pelo estudo de alterativas é vital para um reajuste das alterativas realizadas, além de permitir o aumeto do grau de sesibilidade e também para que se previam erros as decisões futuras.

51 MÉTODOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA PARA SELEÇÃO DE ALTERNATIVAS A Egeharia Ecoômica é uma técica destiada a escolher detre várias alterativas de ivestimeto a mais retável. Várias alterativas ão podem ser comparadas a meos que suas respectivas coseqüêcias em valores moetários sejam primeiramete trasladadas a potos comparáveis o tempo, através de uma taxa de juros adequada. Por isso, qualquer metodologia a ser adotada o processo de aálise deve, ecessariamete, icluir: a. o quato ivestir; b. a data de pagameto para cada uma das alterativas; c. a medida de retoro míimo (TMA-taxa míima de atratividade), que deve ser obtida com a aplicação do capital dispoível em outros ivestimetos. A retabilidade de uma série de pagametos é dada pela taxa de juros que permite ao capital empregado forecer um certo retoro. Ao aalisar um possível ivestimeto, deve-se levar em cosideração que o mesmo já deslocou capital passível de ser aplicado em outros ivestimetos que possibilitariam retoro. Portato, esse ivestimeto para torar-se atrativo deverá reder, o míimo, a taxa de juros equivalete à retabilidade das aplicações corretes e de pouco risco. A aálise de ivestimetos é a maeira que temos de atecipar, através de uma estimativa, os prováveis resultados a serem obtidos. Para o estudo dos métodos de seleção de alterativas, o coceito a seguir deve ser cosiderado Taxa Míima de Atratividade (TMA) Cosiste a taxa míima de juros que o ivestidor pretede coseguir como redimeto ao optar e realizar certo ivestimeto, para o ível de risco escolhido. É a taxa a partir da qual o ivestidor espera estar obtedo gahos. Correspode, a prática, a taxa oferecida pelo mercado para uma aplicação de capital como, a cadereta de poupaça, depósitos a prazo fixo, e outros. Assim, se um ivestimeto propiciar uma retabilidade abaixo do redimeto dessas formas de aplicação de capital, ele ão será atrativo ao ivestidor. Os métodos de seleção de alterativas de ivestimetos que serão apresetados e utilizados para aálise do projeto proposto estão descritos abaixo: Valor Presete Líquido (VPL)

52 52 O valor presete líquido, também cohecido por valor atual líquido (VAL) é um método bastate difudido a área de tomada de decisão sobre ivestimeto, por tratar-se de um método de fácil elaboração. Segudo FLEISCHER (1973), a característica essecial do método do Valor Presete "é o descoto para o valor presete de todos os fluxos de caixa esperados como resultado de uma decisão de ivestimeto". Todos os fluxos de caixa futuros são descotados, usado-se a Taxa Míima de Atratividade (TMA). Na prática trata-se em trazer para o presete, ou seja, para o tempo em que se iiciou o projeto todas as despesas e receitas de capital esperados, a uma determiada taxa de juros que reflita os juros de mercado. Segudo CASAROTTO FILHO (1994) este método ormalmete é utilizado as aálises de ivestimetos isolados, que evolvam o curto prazo ou que teham baixo úmero de períodos. Para ilustrar mais facilmete a repetição dos fluxos de caixa pode-se expressá-lo através de um diagrama, ode: Figura C : Fluxo de Caixa (3.1.) A partir de fluxos similares ao apresetado a figura 3, para calcular o Valor Presete Líquido pode-se usar a equação (3.1), ode 'VP' é igual ao valor presete, 'P' o fluxo de caixa líquido o fim de cada período 't' e 'i' é a taxa míima de atratividade. A aálise ecoômica de um úico projeto através do Valor Presete, como é o caso deste estudo, é simplesmete aalisar se este é positivo, este caso o projeto é vatajoso. Porém, pelo Método do Valor Presete Líquido, se tivermos várias alterativas de projetos a serem aalisadas e estas possuírem tempos de vida diferetes é ecessário trasformá-las em projetos com o mesmo úmero de períodos, o que pode ser feito cosiderado-se um período de plaejameto igual ao meor múltiplo comum das vidas dos projetos através da repetição dos

53 53 mesmos. Vatages do Valor Presete Líquido sobre os outros critérios de avaliação de ivestimetos, são descritos a seguir: a. O valor presete líquido pressupõe que um dólar dispoível hoje, vale mais do que um dólar dispoível amahã, porque este pode ser aplicado e começar imediatamete a reder juros (Valor Temporal do Diheiro). b. O valor presete líquido depede uicamete dos fluxos de caixa previsioais do projeto e do custo de oportuidade do capital, ão é afetado pelas preferêcias do decisor, pelos métodos de cotabilização usados pela empresa, pela retabilidade da atividade atual da empresa ou pela retabilidade de outros projetos autôomos, o que coduziria a decisões meos qualificadas. c. Outra propriedade muito importate do valor presete líquido é a propriedade da aditividade. Por exemplo, existido dois projetos A e B, o VPL do ivestimeto cojuto é: VPL (A + B) = VPL(A) + VPL(B) No caso do projeto B apresetar VPL egativo, a soma dos dois terá um VPL meor do que o do projeto A que é positivo. Desta forma, provavelmete, ão se escolherá um mau projeto (B) só porque está se associado a um bom projeto (A) Taxa Itera de Retoro (TIR) Segudo FLEISCHER (1973), a taxa itera de retoro de um ivestimeto é a taxa de juros para a qual o valor presete dos recebimetos resultates do projeto é exatamete igual ao valor presete dos desembolsos, ou seja, é a obteção de uma taxa de juros que zere o valor presete do fluxo de caixa. Assim o critério para a decisão de ivestimeto com base a TIR é aceitar um projeto de ivestimeto se o custo de oportuidade do capital for meor do que a taxa itera de retoro. OLIVEIRA (1982) defie taxa itera de retoro como aquela que tora o valor dos lucros futuros equivalete ao valor dos gastos realizados com o projeto. Assim a TIR caracteriza-se como a taxa de remueração esperada para o capital ivestido e pode ser calculada através de [equações ou ferrametas adequadas como HP 12C ou Excel]. Não há solução algébrica simples para esta equação, portato para calcular a TIR aplica-se o processo de tetativa e erro, isto implica a obteção de um valor positivo e outro egativo, correspodete as duas taxas de juros tomadas arbitrariamete. Como a taxa de juros solução deve resultar em valor presete zero, é ecessário ecotrar a solução detro dos limites das tabelas dispoíveis em livros que tratam do assuto. A iterpolação liear desses valores forecerá a TIR aproximada. [ver Bieger, 2001 acima]

54 54 A TIR e o VPL baseiam-se os mesmos pricípios da equivalêcia de capitais e coduzem à mesma decisão, à exceção de algus casos particulares. A difereça fudametal detre estas duas técicas é que o VPL assume reivestimetos ao custo de capital, equato a TIR assume que os reivestimetos se farão à própria taxa itera de retoro. Etretato, o critério da TIR é suscetível à apresetar algumas desvatages, etre as quais: a. Nem todas as séries de fluxo de caixa tem VPL que dimiua à medida que aumeta a taxa de atualização. Por exemplo, quado faz-se um empréstimo deseja-se uma baixa taxa de retabilidade, mas verifica-se que o VPL aumeta à medida que se eleva a TMA. Neste caso, o critério da taxa itera de retoro ão fucioa, tedo-se que procurar uma TIR meor que a TMA. b. Outra complicação que pode surgir com a TIR é a existêcia de fluxos de caixa ode quatias positivas e egativas (recebimetos e pagametos) se alteram ao logo dos períodos. Neste caso, segudo a Regra de Descartes, poderá haver tatas raízes (VP=0) quatas forem as mudaças de siais os fluxos de caixa, e portato, o projeto de ivestimeto poderá ter várias taxas de retoro. Pode também ocorrer casos em que ão existe qualquer TIR. Por exemplo um projeto pode apresetar um VPL positivo para todas as taxas de atualização (TMA). Nestes casos, a aceitabilidade ou ão do projeto de ivestimeto cosiste a utilização do VPL. c. Outro poto crítico da comparação de projetos utilizado-se a TIR, surge quado as empresas tem que decidir em optar por ivestir em um projeto etre várias alterativas mutuamete exclusivas. Neste caso, a TIR também pode apresetar-se iadequada. Nestes casos muitas vezes é iteressate aalisar a TIR dos fluxos icremetais, tedo o cuidado porque os fluxos de caixa podem apresetar mudaças de siais, o que iviabilizaria a decisão pela TIR. Etão, pode-se cocluir que o uso da TIR para ordeação de projetos de diferetes escalas e ordeação de projetos que geram diferetes padrões de fluxos de caixa ão é adequado. d. Outra desvatagem da utilização da TIR aparece quado comparam-se projetos que apresetam ivestimetos iiciais e/ou vidas diferetes. Isto exige uma aálise icremetal, além de outras suposições quato à equivalêcia e uiformização dos fluxos de caixa. e. Quado as taxas de juros de curto prazo são diferetes das de logo prazo surge mais uma vez a iadequação do critério da TIR para aálise da viabilidade ou ão do projeto de

55 55 ivestimeto. Nestes casos pode-se comparar a TIR do projeto com a TIR esperada por um título que seja equivalete ao projeto em risco e que teha o mesmo padrão temporal de fluxo de caixa. Mas como isso ão é simples de se avaliar a prática, deve-se optar pelo VPL para aalisar a viabilidade de ivestimeto sempre que a estrutura temporal do projeto for sigificativa. Quado observa-se coflito etre os métodos de VPL versus TIR, a decisão correta é selecioar o projeto com maior VPL, assumido-se que o objetivo é maximizar o valor presete da empresa. Quado se calcula o VPL de um projeto, busca-se saber se o projeto vale mais do que ele custa. Estima-se seu valor calculado quato seu fluxo de caixa deveria valer se uma reividicação sobre o projeto fosse oferecida isoladamete aos ivestidores e egociada o mercado. É por este motivo que se calcula o VPL descotado fluxos de caixa futuros ao custo de oportuidade de capital, isto é, à taxa de retoro esperada oferecida para títulos que têm risco similar ao projeto. Por fim, cabe lembrar que o VPL permite que milhares de acioistas, que têm uma eormidade de difereças etre íveis de riqueza e atitudes frete ao risco, participem de uma mesma empresa e deleguem sua operacioalização a um profissioal, através de uma simples istrução: "Maximizem o Valor Presete" (BREALEY ad MYERS,1991) Período de Recuperação do Capital Ivestido (Pay Back) O Pay Back é o pricipal método ão exato. Ele mede o tempo ecessário para que a somatória das parcelas auais seja igual ao ivestimeto iicial. Este método é bastate utilizado pelos empresários para determiar a atratividade de um ivestimeto. Cosiderado que o maior objetivo de um projeto é o lucro e ão o tempo de recuperação do capital ivestido, este método igora qualquer ocorrêcia além do período fial em que o capital foi recuperado. Assim mesmo, ele pode forecer iformações de iteresse, pricipalmete quado o futuro é altamete icerto, e o iteresse em recuperar o ivestimeto iicial é o mais rápido possível, mas este método deve ser usado somete para forecer iformações adicioais. Existem, o etato, algumas desvatages o método Pay Back, as quais são descritas a seguir. a. Falta relação com as coseqüêcias do ivestimeto além do fial do período de recuperação. b. O método ão leva em cosideração a Taxa Míima de Atratividade.

56 56 c. O método ão leva em cosideração a vida do ivestimeto, torado-se mais difícil seu uso quado o ivestimeto iicial se der por mais de um ao ou quado os projetos comparados tiverem ivestimetos iiciais diferetes Período de Recuperação Atualizado ou Pay Back Descotado Este método tem vatagem em relação ao Pay Back porque ele questioa quatos períodos serão ecessários para o projeto ser aceito em termos de valor presete líquido. Isto quer dizer que é dada uma poderação igual a todos os fluxos, ates do período limite, mas ele cotiua a ão cosiderar os fluxos de caixa que ocorrem após o período ANÁLISE DE SENSIBILIDADE Uma forma de aalisar os possíveis resultados de um ivestimeto é através da Aálise de Sesibilidade, que estuda o efeito que a variação de um dado de etrada (iput) pode ocasioar os resultados fiais. A aálise determia o efeito que variações os iputs, como receitas e custos operacioais, usados para estimar fluxos caixa, podem ocasioar o valor presete líquido ou em qualquer outro fator de decisão utilizado (PARK, 1993). Quado uma pequea variação um parâmetro altera drasticamete a retabilidade de um projeto, diz-se que o projeto é muito sesível a este parâmetro e poderá ser iteressate cocetrar esforços para obter dados meos icertos (CASSAROTTO FILHO e KOPITTKE, 1994). A Aálise de Sesibilidade demostra portato, o quato o Valor Presete Líquido ou outro fator utilizado mudará, devido a uma dada alteração de um iput. Assim, a aálise de fluxos de caixa pelos modelos de Egeharia Ecoômica, algus ites podem ter maior ifluêcia o resultado fial do que outros, podedo-se idetificar os iputs mais sigificativos.

57 57 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BIEGER, B.N. O uso da Calculadora HP 12C em Cálculos Fiaceiros. Chapecó: Otto Cosultig Apostila.. Plaejameto fiaceiro de Micro e Pequeas Empresas. Floriaópolis/SC: ESAG/UDESC Dissertação de Mestrado.. Avaliações aplicadas a Uochapecó as Disciplias de Cálculos Fiaceiros e Matemática Fiaceira. CASAROTTO FILHO, N. Aálise de Ivestimetos: Matemática Fiaceira, egeharia ecoômica, tomada de decisão, estratégia empresarial. 8 ª ed. São Paulo: Atlas, FRANCISCO, Walter de. Matemática Fiaceira. 7a. ed. São Paulo: Atlas GITMAN, L.J. Pricípios de Admiistração Fiaceira. 7ª ed. São Paulo. Harbra, OLIVEIRA, J.A.N. de, Egeharia Ecoômica: uma abordagem às decisões de ivestimeto. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil. PACKARD, Hewlett, Maual do proprietário e guia para soluções de problemas, ZDANOVICZ, J.E. Fluxo de Caixa. Uma decisão de plaejameto e cotrole fiaceiros. 6 ª ed. Porto Alegre: Sagra-DCLuzzatto Orçameto de Capital. 2 ª ed. Porto Alegre: Sagra-DCLuzzatto Não há ada que coduza à verdade. Tedes que avegar por mares sem roteiros para a ecotrardes. (Krishamurti ) O homem é um aprediz, a dor é o seu mestre.(galileu)