Apostila de Matemática Financeira

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1 200.2 Apostila de Matemática Fiaceira Prof. Davi Riai Gotardelo Dispoível o Xerox e o Quiosque Uiversidade Federal Rural do Rio de Jaeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia

2 Coteúdo Agradecimeto especial à querida Prof. Silviha, que me esiou os primeiros passos da Matemática, por getilmete ter cedido o material para cofecção dessa apostila. CAPÍTULO 0 OPERAÇÕES COM MERCADORIAS. Cálculos de lucro ou prejuízo sobre o preço de custo ou de veda Vedas com lucro Vedas com lucro sobre o preço de custo Vedas com lucro sobre o preço de veda Vedas com prejuízo Vedas com prejuízo sobre o preço de custo Vedas com prejuízo sobre o preço de vedas Abatimetos e aumetos sucessivos Abatimetos sucessivos Aumetos sucessivos Exercícios... CAPÍTULO 02 JUROS 2.. Coceito Uidade de medida Taxa de juros Diagrama de capital o tempo Juros Simples Juros compostos Coveção liear e expoecial para períodos ão iteiros Exercícios CAPÍTULO 03 DESCONTO 3.. Descoto simples Descoto bacário Relação etre os descotos : racioal e comercial Descoto composto Descoto composto racioal Exercícios A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 2

3 CAPÍTULO 04 TAXAS 4. Taxas Taxas Nomiais Taxa omial efetiva Taxa real, aparete e de iflação Taxa Over (Taxa por um dia) Exercícios CAPÍTULO 05 RENDAS CERTAS OU ANUIDADES 5. - Defiições importates Classificação das auidades Amortização composta Auidades atecipadas imediatas Reda ou auidade diferida (com carêcia) Exercícios CAPÍTULO 06 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS 6.. Defiições básicas Sistema de amortizações costates - SAC Sistema de amortização fracês SAF - PRICE Exercícios... 8 BIBLIOGRAFIA A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 3

4 Operações sobre mercadorias. Cálculos de lucro ou prejuízo sobre o preço de custo ou de veda QUESTÕES PARA DISCUSSÃO INICIAL DO CAPÍTULO Como lidar com operações fiaceiras sobre compra e veda de mercadorias Quado se trabalha com compra e veda de mercadorias, tem-se a possibilidade de obteção de lucro ou prejuízo, que pode ser sobre o custo ou sobre a veda. Para isso é ecessário saber primeiro o que é preço de custo de uma mercadoria. O preço de custo de uma mercadoria compreede o preço de aquisição, acrescido das despesas diretas sobre a compra e a veda e, aida, das despesas de admiistração, tributárias (PIS, COFINS,ICMS e outras) e de fucioameto da empresa. Quado se fala em taxa de lucro ou de prejuízo, imediatamete se pesa em taxa de lucro ou de prejuízo sobre o preço de custo; pois é este que represeta o capital empregado pelo comerciate a compra das mercadorias a serem vedidas. Na prática, etretato, é mais cômodo ao comerciate calcular a taxa de lucro ou de prejuízo sobre o preço de veda; pois esse preço, presete as tabelas de uso comercial e também as etiquetas das mercadorias, é de mais fácil acesso do que o preço de custo. Além disso, o cohecimeto da taxa de lucro sobre o preço de veda possibilita a determiação da taxa de lucro sobre o preço de custo, uma vez que existe uma relação etre as duas taxas. CONCEITOS A SEREM DEFINIDOS NESSE CAPÍTULO Abatimetos Abatimetos e aumetos sucessivos.. Vedas com lucro Ao se veder uma mercadoria pode-se ocasioar um lucro, sobre o preço de custo ou sobre o preço de veda da mesma, lembrado-se que ao se comprar e ao se veder uma mercadoria, vale a lei da oferta e da demada. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 4

5 .2. Vedas com lucro sobre o preço de custo Desevolvedo a fórmula: V = preço de veda C = preço de custo L = lucro i = taxa uitária de lucro V = C + L ode L = ic logo, V = C + ic V - C = ic V C C i ou i V C C Exemplo: Uma loja de departametos coloca à veda uma determiada mercadoria com um lucro de 3% sobre o preço de custo da mesma. Determie o preço de veda sabedo-se que esta mercadoria custou R$230,00. i = 3% = 0,3 C = 230 V =? Como V C i, etão C 0,3 V ,3 x 230 = V ,90 = V , = V V = 259,90 Resposta. O preço de veda é de R$ 259,90. ou ,3 x 230 = ,90 = 259,90 ou aida, % x 3% x = 230(3) : 00 x = 259,90 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 5

6 .3. Vedas com lucro sobre o preço de veda Desevolvedo a fórmula : V = C + L ode L = iv logo, V = C + iv V - iv = C V C V i ou i V C V Exemplo. O doo de uma loja de eletrodomésticos comprou uma mercadoria por R$689,00 e quer vedê-la com um lucro de 25% sobre o preço de veda. Qual deve ser o valor de veda dessa mercadoria? i = 25% = 0,25 C = 689 V =? i V C V V 689 0,25 0,25V = V V 0,25V - V = V (0,25 - ) = ,75V = ( - ) 0,75V = V V = 98,67 0,75 Resposta. O valor de veda dessa mercadoria deverá ser de R$98, Vedas com prejuízo Aalogamete ao que ocorre com o lucro, uma mercadoria pode ser vedida com prejuízo sobre o preço de custo ou de veda..5. Vedas com prejuízo sobre o preço de custo. Desevolvedo a fórmula: V = preço de veda C = preço de custo P = prejuízo A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 6

7 i = taxa uitária de prejuízo V = C - P ode P = ic logo, V = C - ic V - C = - ic V C C i ou i V C C Exemplo. Um aparelho de jatar foi vedido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabedo-se que esse aparelho custou R$300,00, qual foi o preço de veda? i = 40%= 0,40 C = 300 V =? Como a fórmula de prejuízo sobre o preço de custo é i V C C, temos: 0,40 V ,40 x 300 = V = V = V V = 80 Resposta. O preço de veda desse objeto foi de R$80,00. ou 00% - 40% = 60% etão, se 00% % x x = 300 x 60 : 00 x = Vedas com prejuízo sobre o preço de vedas Desevolvedo a fórmula: V = C - P ode P = iv etão, V = C iv V - C = - iv V C V i ou i V C V Exemplo: A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 7

8 Uma mercadoria cujo custo é de R$96.000,00 foi vedida com um prejuízo de 20% sobre o preço de veda. Calcule o preço de veda dessa mercadoria. i = 20% = 0,20 C = V =? i V C V V ,2-0,2V = V V -0,2V - V = V (0,2 + ) = (-) V (,2) = V V = ,2 Resposta. O preço de veda da mercadoria é de R$80.000, Abatimetos e aumetos sucessivos Na compra e veda de mercadorias tira-se uma fatura das mesmas. Essa fatura é a relação que acompaha a remessa de mercadorias expedidas, com a desigação de quatidades, marcas, pesos, valores uitários e totais de cada mercadoria, percetuais de descotos, impostos, etc. Muitas vezes são realizados descotos ou acréscimos sucessivos essas faturas, decorretes de ofertas, pagametos à vista, etc.(para descotos) e de multas, impostos, etc.(para acréscimos). 2.. Abatimetos sucessivos Uma empresa distribuidora pode oferecer abatimetos sucessivos sobre o valor da fatura. Para calcularmos o valor líquido da fatura podemos calcular os líquidos parciais correspodetes aos abatimetos sucessivos, respeitado a ordem das taxas, até obtermos o líquido fial ou, aplicarmos a fórmula desevolvida abaixo. Desevolvimeto da fórmula do "Valor Líquido". Determiemos que: a = abatimeto A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 8

9 PV = valor iicial da fatura i = taxa de abatimeto L = valor líquido da fatura Se a = PV x i logo, L = PV - a cosequetemete, a 2 = L x i 2 e L 2 = L - a 2 Substituido, temos: L 2 = L - L x i 2 L 2 = L ( - i 2 ) Geeralizado, temos: L k =L k - ( - i k ) Se atribuirmos a k os valores,2,3,4,...,k, temos: L = L 0 ( - i ) L 2 = L ( - i 2 ) L 3 = L 2 ( - i 3 ) L 4 = L 3 ( - i 4 ) L k = L k - ( - i k ) Multiplicado as igualdades membro a membro, temos: L k = L 0 ( - i ) ( - i 2 ) ( - i 3 ) ( - i 4 )... ( - i k ) Fazedo L 0 = PV e L k = L, temos: L = PV (! - i ) ( - i 2 )... ( - i k ) Ode: i, i 2,..., i k são as taxas sucessivas L = valor líquido da fatura, ou seja, depois dos descotos PV = valor iicial da fatura Exemplo. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 9

10 Uma fatura de R$8.000,00 sofre dois abatimetos sucessivos de 0% e 8%. Qual o valor líquido a pagar? i = 0% = 0, i 2 = 8% = 0,08 PV = L =? a = PV x i = x 0, = 800 logo, L = = a 2 = L x i 2 = x 0,08 = 576 logo, L 2 = = Se fizermos pela fórmula, temos: L = ( - 0,) ( - 0,08) L = (0,9) (0,92) L = Resposta. O valor líquido a pagar é de R$6.624, Aumetos sucessivos Para aumetos sucessivos temos que: No lugar do valor líquido (L) teremos o motate ou valor futuro (FV) e como são aumetos, iremos adicioar as taxas ao ivés de subtraí-las como o descoto. Logo, ossa fórmula de aumetos sucessivos será: FV = PV ( + i ) ( + i 2 )... ( + i k ) Exemplo. Sobre um artigo de R$2.500,00 icide um imposto federal de 7% e um estadual de 3,5%. Determie o preço fial desse artigo. i = 7% = 0,07 i 2 = 3,5% = 0,035 FV = ( + 0,07) ( + 0,035) FV = (,07) (,035) FV = 2.768,62 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 0

11 3. Exercícios 3. - Operações sobre mercadorias Uma televisão foi revedida por R$859,00, dado um prejuízo de 20% sobre o custo. Quato havia custado? 2 Quato por ceto sobre o custo se perdeu, ao se veder por R$238,00 um objeto que custou R$280,00? 3 Vededo um imóvel por R$50.000,00 tive um prejuízo de 7% sobre o preço de veda. Por quato comprei? 4 Calcule o preço de veda de um objeto que comprei por R$540,00 tedo perdido 20% do preço de veda? 5 Vedi uma loja por R$32.000,00. Se tivesse vedido por mais R$.999,00, meu lucro seria de 40% sobre o preço da ova veda. Qual foi o meu lucro? 6 Certa mercadoria foi vedida por R$3.232,00 com um prejuízo de 8,7% sobre o preço de compra. Por quato deveria ser vedida, para dar lucro de 2% sobre o preço de custo? Abatimetos e aumetos sucessivos Calcule o líquido de uma duplicata o valor de R$8.600,00 que sofreu a redução de 5% sobre este valor e, em seguida, outro abatimeto de 8% sobre o líquido da primeira redução. 2 Uma pessoa comprou um automóvel de R$5.800,00 ( preço de tabela ) com descoto de 2,5%. No dia seguite, vedeu o automóvel pelo valor de 2% acima do preço de tabela. Qual foi a taxa percetual de lucro total dessa pessoa? 3 Qual será o valor líquido de uma fatura de R$36.000,00 que recebe descotos sucessivos de 2%, 5% e 4%? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia

12 Juros 2.. Coceito Juro é a remueração dada a qualquer título de capitalização, ou seja, pelo uso do capital empregado, ou pela aplicação do capital em atividades produtivas, durate um certo período e à uma determiada taxa. QUESTÕES PARA DISCUSSÃO INICIAL DO CAPÍTULO Juros Simples e Compostos: quado se usa qual? O que é o juro? Esse itervalo de tempo usado a aplicação do capital à uma referida taxa, é deomiado período fiaceiro ou período de capitalização Uidade de medida Os juros são fixados através de uma taxa percetual, que sempre se refere à uma uidade de tempo: ao, semestre, trimestre, mês, dia, etc.. CONCEITOS A SEREM DEFINIDOS NESSE CAPÍTULO Juros Simples Juros Compostos 2.3. Taxa de juros A taxa de juros mede o custo da uidade de capital, o período a que se refere. Essa taxa é fixada o mercado de capitais pela variação etre as forças que regem a oferta de fudos e a procura de créditos. É a razão etre os juros pagos ou recebidos e o capital aplicado, um determiado período de tempo Diagrama de capital o tempo Os problemas fiaceiros depedem basicamete do fluxo (etradas e saídas) de diheiro o tempo. Esse fluxo é mais cohecido a prática como fluxo de caixa e é geralmete represetado por um diagrama covecioal de setor. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 2

13 Essa represetação é muito útil para situações em que é ecessário visualizar o que está ocorredo, quado temos etradas e saídas de capital o tempo. Coveções empregadas: reta horizotal --- escala de tempo com progressão da esquerda para a direita; períodos de tempo --- represetados em itervalos cotíguos, de modo que cada úmero represeta períodos acumulados; flechas --- a) para baixo --- saída ou aplicação de diheiro (ou valor egativo) b) para cima --- etrada ou recebimeto de diheiro (ou valor positivo) O diagrama aterior também pode ser represetado também dos seguites modos: Juros Simples Os juros são classificados em simples e compostos, depededo do processo de cálculo utilizado. Juros simples são aqueles calculados somete sobre o capital iicial Cálculo do juro simples (comercial) Quado o regime é de juros simples, a remueração pelo capital iicial aplicado ( também chamado de pricipal ou aida, valor presete) é diretamete proporcioal ao seu valor (capital) e ao A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 3

14 tempo de aplicação. O fator de proporcioalidade é a taxa de juros, sedo que varia liearmete ao logo do tempo(% ao dia é igual a 30% ao mês, que é igual a 360% ao ao, etc.). PV capital iicial ou pricipal ou valor presete (PV = Preset Value) j -- juro ou valor moetário da remueração tempo de aplicação, ou seja, o úmero de períodos em que esteve aplicado o capital ou valor presete (como o juro simples é dito comercial, usa-se o tempo comercial para os cálculos, ou seja, 30 dias o mês e 360 dias o ao). i -- taxa uitária de juros(forma decimal) Logo, se J PV i J = PV.i. Exemplo: Um capital de R$00,00 foi emprestado por 2 meses, à taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor dos juros recebidos? o mês = R$00,00 x 0,03 = R$3,00 (R$00,00 de capital rederá R$3,00 de juros) 2 o mês = R$00,00 x 0,03 = R$3,00 (R$00,00 de capital rederá R$3,00 de juros) Total de juros os dois meses = R$3,00 + R$3,00 = R$ 6,00 Observe que os juros são sempre iguais; pois icidirá sempre sobre o capital iicial. Pela fórmula: J = PV.i. J = 00.0,03.2 J = 6 Notações. cosiderada. a) O prazo de aplicação deve sempre ser expresso a mesma uidade de tempo da taxa i Ex: a) 2% = 0,2 ao ao = 5 aos b) i = 0,05 ao semestre = 2 aos = 4 semestres A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 4

15 b) Observe que dados três valores da fórmula de juros simples ( j = PV.i. ), podemos obter o quarto valor, por simples trasformação algébrica. PV = i J J = PVi i J PV J PVi ou aida, J = FV - PV Cálculo do juro exato Deomia-se juro exato aquele que é obtido quado o período está expresso em dias e quado é adotada a coveção de ao civil (365 dias). i J k = 365 J = PVi 365 Exemplo. 36% ao ao. Determie o juro exato de um capital de R$0.000,00 que é aplicado por 40 dias, à taxa de 0.000x0.36x40 J e = 365 J e = 394,52 Resposta. O juro exato é de R$394,52 Obs. Se o juro fosse comercial ficaria assim: J c = 0.000x0.36x A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 5

16 J c = 400,00 Nota. Nas mesmas codições de aplicação o juro comercial é maior que o juro exato. J c > J e Notações. a) Obtemos o juro exato usado o úmero exato de dias (365 dias = ao civil ou 366 dias = ao bissexto). b) Ao bissexto: Um ao é bissexto quado o seu úmero é divisível por 4(um úmero é divisível por 4, quado seus dois últimos algarismos são 00 ou formam um úmero divisível por 4). Ex: ou Períodos ão iteiros Podem ocorrer situações em que o prazo de aplicação ão seja um úmero iteiro de períodos a que se refere a taxa dada, sedo etão ecessário se cosiderar frações de períodos, para que ão se cometa erro o valor fial. Exemplo: Qual é o juro e qual é o valor futuro de um capital de R$45.000,00 aplicado à taxa de juro simples de 8% ao semestre, pelo prazo de 5 aos e 9 meses? a solução: Trasforma-se o tempo em semestre: 5 aos e 9 meses = 69 meses que dividido por 6 (um semestre tem 6 meses) dará um período de,5 semestres. Logo, =,5 semestres i = 8% ao semestre = 0,8 PV = a) J =? J = PV.i. J = x 0,8 x,5 J = b) FV =? FV = PV + J FV = FV = A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 6

17 2 a solução: Trasformar o período e a taxa em meses. = 5 a. e 9 m. = 69 meses 8 i = 8% a. s. = 3% 6 a. m. a) J = PV.i. J = x 0,03 x 69 J = b) FV = PV + J FV = FV = a solução: A solução pode ser obtida em duas etapas: a) Calcula-se o juro relativo à parte iteira. b) Calcula-se o juro relativo à parte fracioária, determiado primeiramete a taxa proporcioal a este período. O juro total será a soma do juro referete à parte iteira com o juro da parte fracioária. O valor futuro ou motate será a soma do capital com o juro total. 5 aos = 0 semestres 9 meses = semestre e 3 meses 5 aos e 9 meses = semestres e 3 meses () Cálculo do juro semestral. J = x 0,8 x = (2) Cálculo da taxa proporcioal ao trimestre e do juro trimestral. semestre = 2 trimestres i k = k i i k = 0,8 2 i k = 0,09 J 2 = x 0,09 x s = (3) Cálculo do juro total. J t = J + J 2 J t = = (4) Cálculo do valor futuro. FV = PV + J FV= = A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 7

18 Determiação do o exato de dias etre duas datas Obtemos o o exato de dias através das seguites formas: Pela cotagem direta dos dias em um caledário, icluido apeas um dos dias extremos. 2 Cosiderado o úmero exato de dias de cada mês. a) 3 dias = jaeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro. b) 30 dias = abril, juho, setembro e ovembro. c) 28 dias = fevereiro (29 se o ao for bissexto) Nota. Se o ao for bissexto, somamos um ao úmero de dias. 3 Pelo uso da tabela para cotagem de dias (ver tabela em aexo). Exemplos: - Determie o úmero exato de dias, de 20 de outubro a 5 de março do ao seguite. 20 de outubro a 20 de ovembro = 3 dias 20 de ovembro a 20 de dezembro = 30 dias 20 de dezembro a 20 de jaeiro = 3 dias 20 de jaeiro a 20 de fevereiro = 3 dias 20 de fevereiro a 28 de fevereiro = 8 dias 28 de fevereiro a 5 de março = 5 dias total = 46 dias Pela tabela de dias: a) Calculamos o úmero exato de 20 de outubro a 3 de dezembro = =72 dias c) Somamos 72 dias com os 74 dias que vão de o de jaeiro até 5 de março = 46 dias Nota: se o ao é bissexto somamos (um) ao o de dias. No caso: 46 + = Um empréstimo de R$3.580,00 foi realizado em 20/08 e pago em 29/2 do mesmo ao. Sabedo-se que a taxa foi de 37,8% ao ao, determie o juro total a ser pago. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 8

19 Tabela 29/2 = 363 dias 20/08 = 232 dias ( ) = 3 dias PV = i = 37,8%a. a. = 0,378 a.a. = 0, = 0,0005 J = PV.i. J = x 0,0005 x 3 J =.867,93 Resposta. O juro a ser pago é de R$.867, Juros compostos Juros compostos são aqueles calculados sobre o motate ou valor futuro relativo ao período aterior, a partir do segudo período fiaceiro. Portato, cocluímos que o motate o regime de juros compostos é igual ao de juros simples o o período e maior do que o regime de juros simples, a partir do segudo período. A difereça etre os dois regimes pode ser facilmete verificada através do exemplo seguite, pois o juro simples é liear e o juro composto é expoecial. Um capital de R$25.800,00 aplicados a,8% ao ao os regimes de juros simples e compostos, por um período de 4 aos, que juros rederão? PV = = 4 a. i =,8% = 0,8 a.a. a) Juros simples J = Pvi J = x 0,8 x 4 J = 2.77,60 b) juros compostos J = PV[(+ - ] J = [(,8) 4 - ] J = [, ] J = [0,5623] J = 4.507,60 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 9

20 Cálculo do valor futuro ou motate FV = PV 0 (+ = (,25) = FV 2 = FV (+ = (,25) = 25.32,50 FV 3 = FV 2 (+ = 25.32,50(,25) = ,56 Se, FV = PV 0 (+ FV 2 = PV (+ ode PV = FV etão, FV 2 = PV 0 (+.(+ = PV 0 (+ 2 FV 3 = PV 0 (+ 2.(+ = PV 0 (+ 3 FV = PV 0 (+ - (+ = PV 0 (+ Portato, FV = PV( Cálculo do valor presete Se FV = PV (+ etão, PV = FV ( ou PV = FV ( Cálculo do juro Como juro é a difereça etre o valor futuro e o valor presete, temos: J = FV - PV = = J 2 = FV 2 - PV = 25.32, = 5.32,50 J 3 = FV 3 - PV = , = 8.476,56 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 20

21 J = FV - PV Substituido FV por PV(+, temos, J = PV(+ - PV Colocado PV em evidêcia, J = PV [ (+ - ] Exemplo Um empréstimo de R$4.500,00 foi feito para um prazo de 7 meses, à taxa de 2,3% ao mês. Calcule o valor futuro, os juros e, ovamete o valor presete dessa aplicação. PV = = 7 m. i = 2,3% = 0,023 a.m. a) Valor futuro FV = PV (+ FV = (+0,023) 7 FV = (,023) 7 FV = (,7254) FV = 5.276,45 Pela HP - 2C CHS PV 2,3 i 7 FV =? b) Juros J = PV [(+ - ] J = [(,023) 7 - ] J = [0,7254] J = 776,45 J = [, ] A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 2

22 c) Valor presete FV PV = ( 5.276, ,45 PV = coforme foi demostrado ateriormete. 7 (,023),7254 Pela HP - 2C 5.276,45 CHS FV 2,3 i 7 PV =? 2.7. Coveção liear e expoecial para períodos ão iteiros Nem sempre o prazo das operações fiaceiras é um úmero iteiro, com relação à taxa. Adota-se, etão duas coveções para se trabalhar com estes períodos ão iteiros Coveção liear É aquela que admite a formação de juros compostos para a parte iteira do prazo e juros simples para a parte fracioária. FV PV( ( m i. ) k ode m k correspode ao período fracioário. Exemplo. Seja um capital de R$00.000,00 emprestado à taxa de 8% ao ao, pelo prazo de 4 aos e 9 meses. Calcule o motate desse empréstimo pela coveção liear. PV = = 4a. m = 9m. k = 2 i = 8%= 0,8 a.a. FV PV( ( m i. ) k A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 22

23 9 FV = (,8) 4 (+0,8. ) 2 FV = (,938778)(,35) FV = ,30 Resposta. Pela coveção liear, o valor futuro desse empréstimo é de R$220.05, Coveção expoecial A coveção expoecial adota o mesmo regime de capitalização para todo o período (parte iteira e parte fracioária). Seja, Logo, = período iteiro m = período fracioário k FV = PV(+ + m/k Exemplo. Usado o mesmo exemplo da coveção liear, temos: FV = (,8) 4 + 9/2 FV = (,8) 4 + 0,75 FV = (,8) 4,75 FV = (2,95025) FV = ,50 Pela HP - 2C CHS PV 8 i 4,75 FV =? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 23

24 ou, pela equivalêcia de taxas: +i a = (+i m ) 2,8 = (+i m ) 2 2, 8 = +i m,03888 = +i m Como são 4 aos e 9 meses, temos etão 57 meses. Logo, se FV = PV (+ FV = (,03888) 57 FV = (2,95025) FV = ,50 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 24

25 3. Exercícios Juros - Trasforme em taxa percetual: a) 0,009 b) 2,365 c) 8 d) 2, e) 0,8 f) 0, Trasforme em taxa uitária: a) 6,5% b) 5 % c) 3% d) 0,2% e) 25,5% f) 4.568% 8 Juros simples - Um capital de R$ 740,00 aplicado por um ao e meio, redeu R$ 2.264,40 de juros simples. Ecotre a taxa mesal correspodete a essa aplicação. 2 - Tomou-se emprestada a quatia de R$ 3.250,00 pelo prazo de 5 aos, à taxa de 30% ao ao. Qual será o valor dos juros a serem pagos? 3 Quatos dias, um capital de R$ 7.500,00, aplicado a 30% ao bimestre, leva para produzir R$ 4.82,50 de juros simples? 4 A importâcia de R$ 860,00 foi aplicada em 0 de jaeiro de 2000, à taxa de 54,75% ao ao e produziu em seu vecimeto, juros simples de R$ 96,75. Em que data ocorreu o vecimeto da aplicação? ( Use ao civil, ou seja, 365 ou 366 dias). 5 Robso pediu a uma fiaceira um empréstimo de R$ 3.580,00 por 25 dias. A fiaceira cocordou em emprestar, desde que ele devolvesse R$ 4.922,50. Qual foi a taxa de juros cobrada? 6 Uma loja vede uma TV colorida de 4 polegadas por R$ 7.250,00 a vista, ou em 5 parcelas mesais iguais de R$.885,00. Qual a taxa de juros mesal que essa loja está cobrado? 7 Apliquei /3 do meu capital a 8% ao mês e o restate a 22,5% ao mês. Decorridos 2 ao e 5 meses obtive R$ 8.586,90 de juros simples pelas duas aplicações. De quato era o meu capital iicial? 8 Num período de 3 meses, apliquei R$ 6.200,00 e obtive R$ 4.836,00 de juros simples. Determie a taxa diária de juros desta aplicação. 9 A quatia de R$.780,00 foi aplicada à taxa de 42% ao ao, pelo prazo de 50 dias. Qual será o juro dessa aplicação, se for cosiderado: A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 25

26 a) juro comercial? b) juro exato? 0 Um capital de R$ 9.940,00 foi aplicado à taxa de 33% ao ao, o período compreedido etre 2/05 a 23/09 do mesmo ao. Qual o juro recebido?: Verificar se as taxas de 8% ao ao e 3% ao bimestre são proporcioais. 2 A quatia de R$ 9.874,00 empregada a 80% ao ao, durate meses, produziu R$ 0.367,70 de juros simples. Calcule. 3 Calcule a taxa mesal proporcioal a 30% ao ao. 4 Calcule a taxa mesal proporcioal a 0,08% ao dia. 5 Calcule a taxa aual proporcioal a 8% ao trimestre. 6 Que importâcia deve ser aplicada durate 7 meses, à taxa de 3,5% ao mês, para se obter R$ 2.20,72 de juros? 7 Qual o valor do capital que, aplicado durate dois aos e cico meses, à taxa de,85% ao mês, redeu R$ 8.869,90 de juros? 8 Calcule o juro e o motate correspodete ao capital de R$ 8.000,00,em regime de juro simples, durate ao e 3 meses, à taxa de 36% ao ao. 9 Um capital de R$ 4.000,00,aplicado pelo prazo de 9 meses, redeu a importâcia de R$ 3.528,00. Determie a taxa aual correspodete. 20 A que taxa mesal deve ser aplicada a importâcia de R$ ,00 para que, em 3 meses e 0 dias,acarrete um juro de R$.000,00? 2 Determie o período fiaceiro relativo à aplicação do capital de R$ ,00 que, à taxa de 0,8% ao mês, redeu R$ 9.063, Durate quato tempo deverá ser aplicada a importâcia de R$ ,00, à taxa de 25,2% ao ao, para se obter R$ ,63 de juro? 23 - Um ivestidor aplica R$ ,00 um prazo de 4 meses. Sabedo que irá precisar de algum diheiro durate esse prazo, resolve fazer retiradas mesais do juro, deixado o pricipal para o fial do prazo da aplicação. Qual deverá ser o valor de cada retirada, se o diheiro foi aplicado à uma taxa de 7,8% ao mês? 24 Um capital de R$ 0.500,00 redeu R$.225,00 de juro simples. Sabedo-se que a taxa de juro cotratada foi de 42% ao ao e que a aplicação foi feita o dia 20/0/88, qual foi a data do vecimeto? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 26

27 25 Um ivestidor aplica 2/5 do seu capital a 4% ao mês e o restate a 45% ao ao. Decorridos 4 aos e 5 meses, recebe um total de R$ ,00 de juro. Calcular o seu capital iicial. 26 Uma pessoa aplica R$ ,00 à 38,4% ao ao. Algum tempo depois, a taxa é aumetada para 4,5% ao mês. Determie o prazo em que vigorou a taxa de 4,5% ao mês, sabedo-se que em 0 meses os juros totalizaram R$ 2.462, Uma pessoa cosegue um empréstimo de R$ ,00 e promete pagar ao credor, após 0 meses, a quatia de R$ ,00. Determie a taxa aual cobrada. 28 Uma imobiliária vede uma loja por R$ ,00 à vista. A prazo, vede por R$3.445,25, sedo R$ 6.000,00 de etrada e o restate após 9 meses. Qual a taxa mesal de juros cobrada? 29 - Um ivestidor aplicou R$ ,00 à uma taxa mesal de 26,% ao mês, o dia 8/08/2002. Em que dia o ivestidor pode retirar o motate de R$ ,00? 30 Depositei certa importâcia a 8% ao ao. No fial do 2 o ao, somei os juros ao capital e depositei a soma a 2% ao ao, recebedo o fim de quatro aos os juros de R$ 89.32,00. Qual foi a quatia iicialmete depositada? 3 Calcular a taxa trimestral de juros, proporcioal às seguites taxas: a) 24% ao ao b) 36% ao biêio c) 6% ao semestre 32 Determiar a taxa aual de juros, proporcioal às seguites taxas: a) 3% ao trimestre b) 27% ao quadrimestre c) 5% ao mês 33 Calcular o juro simples, referete a um capital de R$.000,00, aplicado coforme hipóteses a seguir: Taxas de juros Prazo a) 7% ao ao 4 aos b) 26,8% ao ao 30 meses c) 30,8% ao ao 5 aos e meio d) 38% ao ao 4 aos e 8 meses 34 Quato tempo deve ficar aplicado um capital, para que as hipóteses abaixo sejam verdadeiras? Valor presete Valor futuro Taxa de juros a) R$ 800,00 R$ 832,00 6% ao ao b) R$.200,00 R$ 2.366,00 2,2% ao mês A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 27

28 35 Se um capital de R$ 7.300,00 redeu R$ 9.58,25 de juros em 5 aos, qual é a taxa de juros quadrimestral equivalete? 36 Uma pessoa aplicou R$ 9.800,00 o mercado fiaceiro e após 3 aos recebeu o motate de R$ 6.856,00. Que taxa equivalete semestral foi utilizada? 37 Um capital aplicado em 2/03/99 e resgatado em 23/07/99 à uma taxa de 57,6% ao ao, redeu R$ 2.234,40 de juro. De quato era o capital iicial? 38 Apliquei 2/3 de um capital a 6% ao mês e o restate a 0,25% ao dia. De quato era o meu capital iicial, se após 3 aos e 7 meses, obtive R$ ,50 de juros simples, pelas duas aplicações? 39 Um empréstimo de R$ 8.540,00 foi realizado em 2/04 e pago em 5/0 do mesmo ao. Sabedo-se que a taxa foi de 58,5% ao ao, determie o juro total a ser pago. Juros compostos A que taxa de juros, um capital aplicado pode ser resgatado, o fial de 23 meses, pelo triplo do seu valor? 2 Em quato tempo um capital pode produzir juros iguais a 75% do seu valor, se aplicado a 6,25% ao mês? 3 Determiar o motate, o fial de 9 meses, resultate da aplicação de um capital de R$ ,00 à taxa de 4,875% ao mês. 4 Uma pessoa empresta R$ ,00 hoje para receber R$ ,07 o fial de dois aos. Calcular as taxas mesal e aual desse empréstimo. 5 Sabedo-se que a taxa quadrimestral de juros cobrada por uma istituição fiaceira é de 3,5%, determiar qual o prazo em que um empréstimo de R$42.000,00 será resgatado por R$ ,00. 6 Quato devo aplicar hoje, à taxa de 63,42% ao ao, para ter R$ ,00 o fial de 5 meses? 7 Uma idústria de calçados matém um empréstimo de R$ ,00 que será liquidado, de uma só vez, o fial de três aos. Sabedo-se que a taxa de juros é de 32% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado. 8 Em que prazo uma aplicação de R$ ,00 à taxa de 3,75% ao mês, gera um resgate de R$ ,60? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 28

29 9 A aplicação de certo capital, à taxa de 82,425% ao ao, gerou um motate de R$ ,00 o fial de ao e 5 meses. Calcular o valor dos juros. 0 Qual é mais vatajoso: aplicar R$ 3.000,00 por 3 aos, a juros compostos de 3% ao mês, ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo a juros simples de 5% ao mês? No fim de quato tempo um capital, aplicado à taxa de 3,8% ao mês, triplica o seu valor: a) o regime de capitalização composta; b) o regime de capitalização simples. 2 Qual o motate produzido pela aplicação de R$ ,00, à taxa de 75% ao ao, pelo prazo de 23 dias? 3 Qual o valor do capital, que aplicado à taxa de 9,5% ao trimestre durate 85 dias, produziu um motate de R$ 8.000,00? 4 A aplicação de R$ ,00 proporcioou um resgate de R$ 74.76,64 o fial de 6 meses. Determiar as taxas mesal e aual dessa operação. 5 Certa aplicação rede 0,225% ao dia. Em que prazo o ivestidor poderá receber o dobro da sua aplicação? Coveção liear e coveção expoecial - Um capital de R$ ,00 é emprestado à taxa de juros compostos de 86% ao ao, por 5 aos e 4 meses. Tedo por base a capitalização aual, qual será o valor futuro: a) por coveção liear; b) por coveção expoecial? 2 - Cosiderado as coveções liear e expoecial, calcule o valor futuro de um capital de R$ ,00 aplicado por 75 dias, à taxa de 4% ao mês. 3 - Uma pessoa ivestiu R$ 9.800,00 à taxa de 42% ao ao e após certo tempo recebeu um motate de R$ 7.623,62. Quato tempo o capital ficou aplicado? Cosiderar a coveção expoecial.. Equivalêcia de capitais Resolver os dois primeiros exercícios abaixo, os regimes de capitalização simples e composta. Os outros, apeas o regime de capitalização composta. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 29

30 Uma pessoa deve em um baco dois títulos: o primeiro o valor de R$ 2.700,00 para pagameto imediato e o segudo, o valor de R$ 9.580,00 para pagameto em 0 meses. Possuido recursos para quitar sua dívida em 5 meses, determiar o valor desse pagameto úico, cosiderado a taxa de 78% ao ao e a data atual. 2 Um apartameto deve ser vedido à vista por R$ ,00. A prazo, o proprietário propõe 3 pagametos bimestrais iguais, sedo o primeiro em 60 dias. Se a taxa de juros é de 4,6% ao bimestre, qual seria etão o valor dos pagametos? 3 Um vededor que possui uma dívida de R$ 5.000,00 para ser paga daqui a dois meses, propõe a substituição dessa dívida pelo pagameto imediato de R$ 2.00,00 mais outro de R$ 3.500,00. Em quato tempo o ovo pagameto será efetuado, se for usada a taxa de 3,4% ao mês e a data focal zero? 4 Dois títulos o valor de R$ 7.845,60 para 8 meses e R$ 0.950,80 para meses vão ser substituídos por outros dois, o valor de R$ 5.790,00 para 5 meses e o segudo para 2 meses. Ecotre o valor do segudo título, sabedo-se que a taxa usada foi de 4,5% ao mês e a data focal 5? 5 Uma pessoa propõe a substituição de suas promissórias de R$.500,00 e R$2.780,00, vecíveis respectivamete em 3 e 5 meses, por três outras, sedo as duas primeiras respectivamete de R$.980,00 e R$.300,00, com prazos de 7, 8 e 2 meses. Supodo-se que a data focal seja a atual, e que a taxa de descoto aplicada essa operação seja de 2,8% a. m., qual o valor da 3 o prestação? 6 Dois títulos de R$ 00,00 e R$ 300,00 vecíveis em 30 e 60 dias respectivamete, foram substituídos por um outro vecível em 20 dias. Tomado-se a data 4 como focal, e a taxa de descoto de 2% a. m., qual o valor do ovo título? 7 O pagameto de uma motocicleta pode ser feito em três parcelas mesais de R$ 5.000,00, R$ 6.000,00 e R$ 9.000,00 vecedo, respectivamete em, 2 e 3 meses. O gerete da loja, com a fialidade de aumetar as suas vedas, aucia que quem quiser poderá dar uma etrada de R$ 6.000,00 e pagar o restate daí a 3 meses. Qual será o valor desse último pagameto, se a taxa for de 33% ao ao e a data focal for a da etrada? 8 Quatro pagametos mesais de R$ 00,00, vecedo o primeiro daqui a um mês, são substituídos por dois pagametos iguais de R$ 202,38 sedo o primeiro para daqui a dois meses. Se adotarmos a data focal zero e a taxa de descoto de 30% a. a., qual será a data da última parcela? 9 Uma pessoa plaejou comprar uma blusa e após 30 dias, um tero, de valores R$ 00,00 e R$ 80,00 respectivamete. O gerete da loja sugere que, embora a compra seja feita hoje e a seguite após um mês, o cliete pague em 5 parcelas iguais, vecedo a primeira 3 meses após a compra do tero. Cosiderado a taxa de juro de 30% ao ao e a data focal a do vecimeto da 5 a parcela, qual será o valor das parcelas? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 30

31 0 Um cliete plaeja substituir seus três títulos de R$.000,00, R$ 2.000,00 e R$3.000,00 com prazos de vecimeto para 30, 60 e 90 dias respectivamete, por um úico título vecível em 80 dias. Qual será o valor desse título, uma vez que a taxa é de 36% ao ao e a data focal é a do vecimeto do ovo título? - Um comerciate descotou dois títulos em um baco: um de R$ 2.000,00 para 20 dias e outro de R$ 0.000,00 para 50 dias. desejado substituí-los por um título úico para 90 dias, calcule o valor omial desse título a data 3, sabedo-se que a taxa de 42%a.a. de descoto permaece ialterada. 2- Um micro empresário tem três títulos, de R$ 2.000,00, R$ 0.000,00 e R$8.000,00 descotados em um baco e com vecimetos para 90, 50 e 80 dias respectivamete. Desejado substituí-los por dois outros de valores omiais iguais para 60 e 20 dias, calcule o valor comum a data zero, supodo-se que a taxa seja de 3,2% ao mês para as trasações desse tipo. 3 Teho três títulos, cujos valores são de R$ 5.000,00, R$ ,00 e R$25.000,00, com vecimetos para 60, 90 e 20 dias respectivamete, que foram substituídos por dois outros de valores iguais, vecíveis em 50 e 20 dias. Calcule o valor dos ovos títulos, sabedo-se que a taxa de descoto é de 3,5% a. m. e a data focal a do último pagameto a ser efetuado. 4 Sedo de 3% ao mês a taxa de descoto, detro de quatos dias deverá vecer um título de R$ 2.000,00 a fim de que seja equivalete a um outro de R$.600,00 vecível em 60 dias? 5 Um comerciate cotraiu uma dívida de R$ ,00 para ser paga com dois títulos de mesmo valor, vecíveis em 60 e 90 dias, respectivamete. Sabedo-se que a taxa de descoto é de 2,7% ao mês, calcule qual será o valor omial de cada título, a data 30 dias. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 3

32 Descoto QUESTÕES PARA DISCUSSÃO INICIAL DO CAPÍTULO 3. Descoto Todo título de crédito tem uma data de vecimeto, porém o devedor pode resgatá-lo atecipadamete, obtedo com isso um abatimeto deomiado descoto. Portato, descoto é a deomiação dada a um abatimeto que se faz quado um título de crédito é resgatado ates do seu vecimeto. Os títulos de créditos mais utilizados em situações fiaceiras são: ota promissória duplicata letra de câmbio Com relação aos títulos de crédito, pode ocorrer: que o devedor efetue o pagameto ates da data predetermiada; que o credor ecessite do diheiro ates da data predetermiada. Em ambos os casos há um beefício que, obtido em comum acordo, recebe o ome de descoto. Essas operações são chamadas operações de descoto e o ato de efetuá-las chama-se descotar um título. Observa-se aida: data do vecimeto -- fixado o título, para o pagameto (ou recebimeto) da aplicação; valor omial ou futuro valor idicado o título, a ser pago o dia do vecimeto; valor atual ou presete líquido pago (ou recebido) ates do vecimeto; prazo úmero de períodos compreedidos etre aquele em que se egocia o título e o do seu vecimeto. CONCEITOS A SEREM DEFINIDOS NESSE CAPÍTULO Descoto Simples Descoto Racioal Descoto Comercial Taxa média Prazo médio Descoto é a quatia a ser abatida do valor futuro ou omial, isto é, a difereça etre o valor futuro e o valor presete. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 32

33 O descoto pode ser comercial e racioal. 3.. Descoto simples 3... Descoto racioal (ão é um descoto usado quado se está trabalhado com capitalização simples). Chamamos de descoto racioal ou por detro ao valor obtido pela difereça etre o valor omial e o valor atual de um compromisso, que seja saldado períodos ates do seu vecimeto. Cálculo do descoto racioal FV = valor futuro ( ou motate) PV = valor presete ou atual ( ou valor descotado racioal) = úmero de períodos ates do vecimeto i = taxa de descoto d r = valor do descoto racioal FV Temos que FV = PV (+ logo, PV = i (valor presete ou atual). Temos também que d r = FV PV, logo: d r = FV FV i ( m.m.c. = + i ), etão: d r = FV( i FV d r = FV FVi i FV Logo, d r = FVi i Cálculo do valor descotado racioal (V r ) V r = FV d r como d r = FVi i temos, V r = FV - FVi i V r = FV( i FVi V r = FV FVi i FVi V r = FV i Observe que o valor descotado racioal, o juro simples, é o próprio valor presete ou atual. Etão, se V r = PV, podemos usar Exemplo: PV = FV i A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 33

34 Um título de R$8.500,00 vai ser descotado à taxa de 2,8% ao mês. Faltado 67 dias para o vecimeto do título, determie o valor do descoto racioal. d r = FVi i d r 0, x x ,028 x67 30 Resp.: O descoto racioal será de R$ 500,25 53,53333 d d 500, 25 r r,06253 Aproveite o exercício aterior e calcule o valor descotado racioal a) PV = FV - d r ou b) PV = FV i PV = ,028x PV = ,25 PV =, PV = 7.999,75 PV = 7.999,75 Resp.: o valor descotado racioal será de R$ 7.999, Descoto comercial (também chamado de descoto bacário, é o mais usado em capitalização simples) Chamamos de descoto comercial ou por fora ao valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor omial ou valor futuro do compromisso que seja saldado períodos ates do vecimeto, à uma taxa i, fixada. Obs: No cálculo de descoto simples, sempre que o mesmo ão for explicitado, deve-se cosiderar descoto comercial. Notações: d c = valor do descoto comercial FV = valor futuro ou omial do título V c = valor atual comercial ou valor descotado comercial = úmero de períodos ates do vecimeto i = taxa de descoto Por defiição, temos d c = FV.i. que é o valor do descoto comercial. Nota. O descoto comercial simples só deve ser empregado para períodos curtos, pois para prazos logos o valor do descoto poderá ultrapassar o valor omial do título ( resultado icoerete, sem exo). A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 34

35 Valor atual comercial ou valor descotado comercial ou valor presete (PV) V c = FV d c V c = PV d c FV Como d c = FV.i., temos: V c = FV FV.i. Etão: V c = FV (- ou PV = FV ( - Exemplo: Um título de R$8.500,00 vai ser descotado, à taxa de 2,8% ao mês. Faltado 67 dias para o vecimeto do título, determie: valor do descoto comercial; valor atual comercial. a) d c = FV.i. d c = 8.500,00. 0, d c = 53,53 30 b) PV = FV d c ou PV = FV ( PV = ,53 PV = ( 0, ) PV = 7.968,47 PV = ( 0,06253 ) PV = ( 0,93747) PV = 7.968,47 Resp.: o descoto comercial será de R$ 53,53 e o valor descotado comercial será de R$ 7.968, Descoto bacário O descoto bacário pode ser etedido como uma extesão do descoto comercial, acrescido de um taxa admiistrativa pré fixada h, cobrada sobre o valor omial ou futuro, além de, a maioria das vezes, cobrar o ecargo proveiete do IOF ( Imposto sobre Operações Fiaceiras), de resposabilidade do fiaciado. Sedo assim, a taxa bacária liear efetivamete cobrada é muito maior do que a cotratada. Notações: V b = valor atual ou valor descotado bacário. d b = descoto bacário d c = descoto comercial h = taxa de despesas admiistrativas FV = valor omial ou motate A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 35

36 = úmero de períodos ates do vecimeto i = taxa de descoto Valor do descoto bacário d b = d c + FV.h Como d c = FV.i. temos que: d b = FV.i. + FV.h d b = FV ( i + h) Com o IOF, temos: d b = FV ( i + h + IOF) Valor descotado bacário V b = FV d b Como d b = FV ( i + h ) V b = FV FV (i + h) V b = FV ( i + h ) ou PV = FV [ - (i + h)] Exemplo: Um título de R$ 8.500,00 foi descotado o Baco X, que cobra,5% como despesa admiistrativa. Sabedo-se que o título foi descotado 67 dias ates do seu vecimeto e que a taxa correte em descoto comercial é de 2,8% ao mês, qual o descoto bacário? Quato recebeu o proprietário do título? a) descoto bacário d b = FV (i +h) d b = ( 0, ,05) 0,028 d b = (0,07753) d b = ( ,05) 30 d b = 659 b) valor descotado bacário PV = FV (i +h) PV = ,07753 PV = (0,92247) PV = 7.84 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 36

37 Resp.: o descoto bacário foi de R$ 659,00 e o valor descotado bacário foi de R$ 7.84, Relação etre os descotos : racioal e comercial. Sabemos que: d r = FV. i. i e que: d c = FV.i. Logo, podemos substituir FV.i. a a fórmula por d c. Etão, d r = d c i ou d c = d r (+ Exemplo. O descoto comercial de um título descotado 67 dias ates do seu vecimeto e à taxa de 2,8% ao mês é de R$ 53,53. Determiar o descoto racioal. d c = 53,53 i = 0,028 a.m. = 67 d 0,028 53,53 d c = d r (+ 53,53 = d r (+.67) d r = 30, d r =500,25 Resposta O descoto racioal é de R$500, Descoto composto Descoto, o regime de capitalização composta é como o simples, correspode à quatia a ser abatida do valor omial ates do vecimeto. O valor descotado é a difereça etre o valor omial e o descoto. Utilizamos o descoto composto as operações de logo prazo ode, o descoto simples pode ter resultados sem exo. O descoto composto pode também ser comercial (praticamete ão é usado o Brasil) e racioal (que é o descoto usado etre ós) Descoto composto racioal É o descoto obtido pela difereça etre o valor futuro ou omial e o valor presete ou atual de um compromisso, que seja saldado períodos ates do vecimeto, à uma determiada taxa. A) CÁLCULO DO VALOR PRESENTE OU ATUAL A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 37

38 FV = VALOR FUTURO OU NOMINAL DE UM COMPROMISSO (NA DATA DO VENCIMENTO) N = NÚMERO DE PERÍODOS COMPREENDIDOS ENTRE A DATA DO DESCONTO E A DATA DO VENCIMENTO I = TAXA DE JUROS UTILIZADA NA OPERAÇÃO DE DESCONTO D = DESCONTO RACIONAL COMPOSTO PV = VALOR PRESENTE OU ATUAL, OU AINDA, VALOR DESCONTADO RACIONAL (NA DATA DO DESCONTO) Como FV = PV ( + etão PV = FV ( ode,( + - é um fator de descapitalização. ou PV = FV ( + i ) - B) CÁLCULO DO DESCONTO RACIONAL COMPOSTO Como vemos, o descoto racioal composto é obtido pela difereça etre o valor omial ou futuro e o valor atual, presete ou descotado. FV d = FV - PV como: PV substituido PV, temos: ( d FV FV ( Colocado FV em evidêcia, temos: d FV ( C) TAXA DE DESCONTO EFETIVA EXPONENCIAL O cálculo da taxa efetiva liear ão icorpora o real comportameto expoecial dos juros; equato que a taxa efetiva expoecial faz essa icorporação. Coseqüetemete, a forma expoecial passa a ser a mais apropriada para se calcular o verdadeiro custo da operação. A taxa efetiva de juros é aquela apurada durate todo o prazo, sedo formada expoecialmete através dos períodos de capitalização. Ou seja, é o processo de formação de juros pelo regime composto, ao logo dos períodos de capitalização. if = (+ ode = úmero de períodos da capitalização dos juros. Para o regime de capitalização composta, verificamos que a taxa equivalete iterpretada como taxa efetiva da operação. obtida é A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 38

39 4. Exercícios DESCONTO SIMPLES Determie o descoto comercial de uma promissória de R$ 9.000,00 à taxa de 36% ao ao, resgatada 75 dias ates do vecimeto. 2 Uma duplicata foi descotada pelo valor de R$ ,00 oiteta dias ates do seu vecimeto, à taxa de 49% ao ao. Qual é o seu valor omial? 3 Ao pagar um título de R$ 4.900,00 com atecipação de 0 dias, recebo um descoto de R$ 725,00. Qual é a taxa aual de descoto? 4 O valor atual de um título de R$ 9.650,00 é R$ 8.320,00. Sabedo-se que a taxa bacária de descoto é de 2,9% ao mês, qual o tempo de atecipação? 5 Uma duplicata de R$ ,00 foi resgatada ates do seu vecimeto por R$98.560, Sabedo-se que a taxa de descoto foi de 4 % ao mês, qual o tempo de atecipação? 6 Uma empresa possui um título cujo valor omial é de R$ 3.550,00 com vecimeto daqui a 350 dias. Quatos dias ates do vecimeto deve descotá-lo, à taxa comercial de 60% ao ao, para que possa adquirir mercadoria a valor de R$0.840,00? 7 Uma dívida de R$ ,00 será saldada 7 meses ates do seu vecimeto. Que descoto racioal será obtido se a taxa for de 32% ao ao? 8 Um título de valor omial de R$ 0.000,00 com vecimeto em 23/09/98 foi resgatado em 5/06/98. Qual o descoto racioal se a taxa foi de 32% ao ao? 9 Um título de valor omial de R$ 8.900,00 foi descotado à taxa de 26% ao ao. Sabedo-se que o descoto racioal foi de R$ 500,00, quato dias ates do vecimeto efetuou-se o resgate? 0 Uma ota promissória o valor de R$ ,00 em seu vecimeto, foi descotada 4 meses ates de seu prazo de resgate. Sabedo-se que a taxa de descoto comercial era de 56% ao ao, qual o descoto, qual o valor descotado e qual a taxa efetivamete cobrada? Uma empresa retira de um baco um empréstimo por cico meses, o valor de R$ ,00. Se a taxa de juros for de 26% ao ao e além disso, o baco cobrar % a título de despesas admiistrativas, qual será o descoto bacário? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 39

40 2 Uma empresa descota uma duplicata de R$ 9.350,00 com vecimeto a 7 meses. Se a taxa de descoto simples for de 36% ao ao e a taxa de serviço bacário for de,5% sobre o valor omial do título, qual será o valor líquido recebido e a taxa efetivamete paga pela empresa? 3 João tem uma dívida de R$ ,00 que vece em 8 meses. Propõe pagar R$ 2.000,00 o fim de 7 meses e 5 dias e R$ 5.000,00, 3 meses e 8 dias depois. Quato João deve pagar a data de seu vecimeto de forma a liquidar a dívida? Cosidere a taxa de 63% ao ao. 4 No descoto de um título é obtido um descoto racioal de R$ ,00. Cosiderado uma taxa de descoto de 30% ao ao e que o título foi resgatado 4 meses ates de seu vecimeto, calcular o descoto comercial obtido. 5 Calcular o valor de resgate (omial) e a taxa de descoto efetiva de uma ota promissória resgatada 5 meses ates do seu vecimeto, cosiderado-se que o baco descota a Promissória por R$ ,00 aplicado a taxa de 7% ao mês. 6 Um título de R$ ,00 é descotado em um baco 7 meses ates do vecimeto, à taxa comercial de 7% ao mês. O baco cobra uma taxa de 2% sobre o valor omial como despesas admiistrativas e o cohecido IOF (sobre o valor omial) de,5% ao ao. Qual o valor líquido recebido pelo portador do título? 7 Um baco cobra em seus fiaciametos a taxa admiistrativa de,5% e uma taxa correte de 38% ao ao. Que fiaciameto por 6 meses deverá um cliete pedir a este baco, se esta pessoa ecessitar de R$ ,00? 8 Um título a vecer o dia 25/0/98 foi descotado o dia 30/08/98. Se o descoto comercial fosse de R$ 2.740,00 e a taxa fosse de 57% ao ao. Qual seria o valor omial deste título? 9 Uma duplicata de R$ ,00 com 20 dias a decorrer até o seu vecimeto foi descotada por um baco, à taxa de 3,5% ao mês. Calcular o valor líquido etregue ao cliete: a) de acordo com o coceito de descoto comercial; b) de acordo com o coceito de descoto racioal. 20 Determiar o valor omial ou de face de um título com 44 dias para o seu vecimeto que, descotado à taxa de 58% ao ao proporcioou um valor atual de R$ ,00. Sabe-se que a operação foi feita de acordo com o descoto comercial. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 40

41 Taxa média e prazo médio Três capitais foram aplicados da seguite maeira: o primeiro de R$ 5.000,00 em 20 dias a 5% ao ao, o segudo de R$ 8.750,00 a 6% ao ao, em um mês e meio e o terceiro de R$ 2.500,00 a 3% ao ao, durate 5 meses. Calcular a taxa média e o prazo médio. 2 Três capitais são postos a juros: o primeiro de R$ 400,00 a 7% ao mês, o segudo de R$ 350,00 a 4% ao mês e o terceiro de R$ 250,00 a 3% ao mês, durate o período de um ao. Que taxa média se poderia aplicar? 3 Quatro capitais iguais estão aplicados: o primeiro a 60% ao ao, por 40 dias; o segudo a 70% ao ao, durate 50 dias; o terceiro a 50% ao ao durate 80 dias e o quarto a 40% ao ao por 30 dias. Qual a taxa média? 4 Três capitais são postos a juros, à taxas iguais. O primeiro de R$ 0.000,00 durate 50 dias; o segudo de R$ 5.000,00 em 30 dias e o terceiro de R$ ,00 em 25 dias. Determiar a que prazo médio poderíamos aplicá-los. 5 Cico capitais iguais são aplicados durate um mesmo prazo, à taxas de 3,5% ao mês, 2% ao mês, 5% ao mês, 8% ao mês e 9,5 % ao mês, respectivamete. Qual a taxa média? 6- Um comerciate deve a um terceiro, os seguites capitais, a 0% ao ao: R$ 2.000,00 a 45 dias; R$ 5.000,00 a 60 dias; R$.000,00 a 30 dias. Em que tempo poderá pagar tudo de uma só vez, de modo que dessa uificação de vecimetos, ão adveha prejuízo em para o devedor em para o credor. 7 A dívida de certa pessoa é dada por: R$ 5.000,00 a 60% ao ao, por 45 dias; R$ 0.000,00 a 0% ao ao, em dois meses; R$ ,00 a 64% ao ao, em 00 dias. Calcular a taxa média, o prazo médio e o descoto total correspodetes ao pagameto de uma só vez, dos capitais devidos. 8 Sabedo-se que o descoto comercial de três títulos, de valores iguais a R$2.700,00, R$ 5.500,00 e R$ 6.900,00 com prazos de respectivamete 3, 5 e 7 meses, resultou um valor líquido de R$ ,00 creditado a cota do cliete. Calcular a taxa média, o prazo médio e o descoto total. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 4

42 9 Quatro capitais o valor de R$ 2.000,00, R$ 4.000,00, R$ 6.000,00 e R$ 8.000,00 foram emprestados a juros simples, pelos prazos de 5, 4, 0 e 7 meses, respectivamete. Sabedo-se que o pricipal mais os ecargos serão pagos os respectivos vecimetos e que o somatório dos motates dessas quatro operações é de R$ ,00, calcular a taxa média e o prazo médio correspodetes a essas operações.. Método Hamburguês Uma empresa o seu extrato de cota correte referete ao o semestre de 96 apresetou a movimetação trascrita a seguir. Admitido-se por hipótese que o baco em que essa empresa matém cota, paga semestralmete juros de 2% ao ao sobre os saldos credores, calcular o valor dos juros creditados em 0/07/96. Data Histórico V / C Saldo N o dias PV h h 4 / 0 / 96 depósito C 9 / 0 / 96 depósito C 0 / 02 / 96 cheque D 24 / 02 / 96 Aviso/débito 500 D 3 / 03 / 96 depósito.50 C 08 / 04 / 96 cheque.850 D 20 / 05 / 96 depósito C 2 / 06 / 96 cheque D 2 Um cliete de certo baco possui um cheque especial. Sabedo-se que esse baco cobra juros de 8,5% ao mês sobre os saldos devedores debitados mesalmete e que a movimetação da cota desse cliete durate o mês de abril de 98 é a trascrita a seguir, calcular o valor dos juros debitados o iício do mês de maio. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 42

43 Data Histórico V / C Saldo N o de dias PV h h 0 / 04 / 98 trasporte ,50 C 02 / 04 / 98 cheque D 04 / 04 / 98 cheque D 09 / 04 / 98 cota / luz 750 D 7 / 04 / 98 depósito C 22 / 04 / 98 cheque D 25 / 04 / 98 depósito C 30 / 04 / 98 cheque D Descoto composto Determie o valor atual de um título de R$ 2.500,00, saldado 9 meses ates do vecimeto, à taxa de descoto composto de 2,7% ao mês. 2 Qual é o descoto composto que um título de R$ 9.850,00 sofre ao ser descotado, 8 meses ates do seu vecimeto, à taxa de 3,75% ao mês? 3 Um título o valor de R$ ,00 foi saldado 2 meses ates do seu vecimeto. O possuidor do título obteve uma taxa de descoto composto de,8% ao mês. Qual foi o descoto racioal e qual a quatia recebida? 4 Um título de valor omial de R$ ,00 foi resgatado 8 meses ates do seu vecimeto, tedo sido cotratada a taxa de 2,45% ao mês. Qual foi o descoto racioal cocedido? 5 Ao descotar uma Nota Promissória o valor de R$ 5.000,00 o vecimeto, a fiaceira iformou que sua taxa era de 45% ao ao. Se o descoto fosse efetuado 5 meses ates do vecimeto, qual seria o valor líquido (valor do resgate) recebido pelo possuidor do título? 6 Um ivestidor aplicou R$ ,00 em um Certificado de Reda Fixa, pelo prazo de 720 dias, cotratado-se à taxa de 75% ao ao. Após certo tempo, vede o CRF por R$ ,86 quado etão a taxa de descoto racioal era de 69,56% ao ao. Quato tempo ates do vecimeto a trasferêcia foi feita? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 43

44 7 Em um título o valor de R$.000,00 o descoto sofrido foi de R$.005,60. Se a taxa de juros de mercado for de 2,5% ao mês, qual será o prazo de atecipação? 8 - Com uma atecipação de 8 meses, o valor omial de um compromisso é de 7 vezes o descoto racioal. Qual é o seu valor omial, se o valor de resgate é de R$ 3.564,00? 9 Pedro receberia R$ ,00 como parte de sua heraça. Cotudo, ecessitado do diheiro 5 meses ates da data do recebimeto, propõe a um amigo a veda dos seus direitos por R$ ,02. Que taxa de juros aual Pedro pagou? 0 Numa atecipação de 7 meses, o descoto racioal composto foi de R$4.78,94. Qual é o valor omial do título, uma vez que a taxa de juro aual é de 42%? - O quociete do valor de resgate sobre o valor atual descotado racioalmete é de,04598 cosiderado-se uma atecipação de 85 dias. Qual é a taxa de juros aual? 2 Se o valor omial for igual a 52 vezes o seu descoto racioal resultate de um resgate, 3 meses ates do vecimeto, qual é a taxa de juro aual? 3 Ao descotar uma ota promissória o valor de R$ 6.960,00 o vecimeto, a fiaceira iformou que sua taxa era de 44% ao ao, em regime de juro composto. Se o descoto fosse efetuado 5 meses ates do vecimeto, qual seria o valor líquido recebido pelo possuidor do título? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 44

45 Taxas QUESTÕES PARA DISCUSSÃO INICIAL DO CAPÍTULO 4. Taxas 4. Taxas Nomiais Apesar de vermos que o juro só é formado o fial de cada período, a prática vemos com freqüêcia aúcios do tipo: juros de 64% ao ao, capitalizados mesalmete; juros de 425% ao ao, capitalizados bimestralmete. Covecioou-se, etão, chamar de taxas omiais essas taxas com capitalizações diferetes dos períodos auciados os juros. Portato, taxas omiais são aquelas cujo período de capitalização ão coicide com aquele a que se refere a taxa. Também, por coveção, adotou-se que a taxa por período de capitalização seja proporcioal à taxa omial. Taxa omial Taxa efetiva Taxa Over i K = k i Exemplo: 2% ao ao em 3 aos, capitalizados bimestralmete. K = 6 (bimestres em um ao). Logo, i 6 = 0,2 / 6 = 0.02 ao bimestre. Como = 3 aos = 8 bimestres Se precisássemos ecotrar o valor futuro seria: FV 8 = PV ( + i 6 ) 8 Exemplo: Um capital de R$ ,00 foi aplicado por 3 aos a 24% ao ao, capitalizado trimestralmete. Qual é o valor futuro? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 45

46 = 3 a = 2 t. i k = 0,24 / 4 = 0,06 ao trimestre k = 4 ( trimestres ao ao) PV = ,00 i = 24% ao ao = 0,24 FV = PV ( + i k ) FV = ( + 0,06 ) 2 FV = ( 2,022 ) FV = ,9 Obs. Se a capitalização fosse aual, teríamos FV = (,24 ) 3 FV = (,90662) FV = , Taxa omial efetiva A taxa omial efetiva é a taxa aual equivalete à taxa do período de capitalização pedido. Temos: i = taxa omial i f = taxa efetiva = úmero de capitalizações para um período da taxa omial i k = taxa por período de capitalização Como, por defiição, i f é equivalete à i k e i k = i/k temos: + i f = ( + k i ) k Logo, i f = ( + k i ) k Exemplo. Um capital de R$ ,00 foi aplicado por 3 aos à taxa de 24% ao ao, capitalizado trimestralmete. Qual é a taxa efetiva? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 46

47 i/k = 0,24/4=0,06 = 3 a = 2 t Como i f = ( + i/k ) k ì f =(,06) 4 ì f =,26248 i f = 0, ,25% Obs. Ecotrado o valor futuro podemos coferir com o exercício da taxa omial. FV = (,26248) 3 FV = (2,022) FV = ,9 Coforme o que havíamos coseguido com a taxa omial Taxa real, aparete e de iflação Quado se realiza uma operação fiaceira, à uma determiada taxa, espera-se uma remueração do capital utilizado a operação, à essa mesma taxa. Etretato com a desvalorização das uidades moetárias, essa remueração fica distorcida. Um ídice de iflação busca medir idiretamete a desvalorização da uidade moetária, quado da aquisição de um determiado grupo de bes e serviços, em um dado período Cálculo das taxas real, aparete e de iflação A taxa aparete é aquela que vigora as operações corretes. Quado ão há iflação, a taxa real é igual a taxa aparete; mas, quado a iflação existe, a taxa aparete é formada pelos compoetes da iflação e da taxa real. Notações. PV = valor presete ou capital iicial i = taxa aparete i if = taxa de iflação i r = taxa real FV = valor futuro ou motate A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 47

48 a) Quado ão há iflação PV(+ = PV(+i r ) b) Quado há iflação PV(+ = PV (+i r ) (+i if ) dividido ambos os membros da igualdade por PV, temos: PV( PV( ir )( iif ) PV PV daí, (+ = (+i r )(+i if ) etão, i = [(+i r )(+i if ) - ] Obs: a poupaça é uma taxa de juros aparete, ode se reduz a iflação para se ver o juro real. Se a taxa de iflação for meor do que a taxa de poupaça, tem-se um juro aparete; se for maior, tem-se uma perda real. Exemplo. Qual deve ser a taxa aparete correspodete a uma taxa real de 9% ao mês e uma iflação de 22% o período? i r = 9% = 0,09 i if = 22% = 0,22 i =? i = [(+i r )(+i if ) - ] i = [(,09)(,22) -] i = [, ] i = 0,3298 multiplicado por 00, temos: 32,98% ao mês Taxa Over (Taxa por um dia) A palavra overigt refere-se às operações realizadas o ope market por prazo míimo de um dia. O termo ope market, o setido amplo, é qualquer mercado sem local físico determiado e com livre acesso à egociação./ No Brasil, etretato, tal deomiação se aplica ao cojuto de trasações realizadas com títulos de reda fixa, de emissão pública ou privada. A deomiada taxa over é adotada geralmete as operações fiaceiras desse mercado, etretato seu valor ão é usado os cálculos por ão represetar uma taxa efetiva. A taxa over é uma taxa omial, pois costuma ser expressa ao mês, com capitalização diária porém, válida somete para dias úteis, ou seja, sua capitalização ocorre uicamete em dia de fucioameto do mercado fiaceiro. Caso se queira realizar uma operação com mais de um dia, utiliza-se o coceito da taxa omial para coverter a taxa over por um dia e, em seguida, utiliza-se o coceito da taxa efetiva para capitalizar, ou seja, coverter a taxa over por um dia para o prazo da operação. Assim, o motate de um capital aplicado à taxa over mesal por um determiado úmero de dias é: FV PV tx. over 30 du ode du = dias úteis o prazo da aplicação A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 48

49 Taxa de juros efetiva equivalete à taxa over O motate de um capital aplicado à taxa over durate dc (dias corridos), correspodetes à du (dias úteis) é ecotrado utilizado-se a fórmula acima. O motate do mesmo capital aplicado durate os mesmos dias corridos à uma taxa efetiva if é: dc FV PV if ode = períodos (dias) da taxa if. A seguir, podemos igualar os dois motates de modo que possamos destacar a taxa efetiva equivalete à taxa over: du tx. over dc if logo, 30 dc du dc tx. over dc if etão, 30 trocado a raiz pela expoecial iversa do ídice, temos, du du. dc tx. over tx. over dc if logo, if etão, du. tx. over dc if 30 ode: if = taxa efetiva em dias. Exemplo: Uma operação com duração de 30 dias corridos foi fechada à uma taxa over de 2% ao mês, sedo computados 22 dias úteis esse mês. Determiar a taxa efetiva para o prazo da operação. Dados: taxa over = 2%a.m.; dc = 30 dias; du = 22 dias; = 30; if =? du. tx. over dc if , if if, if,0477 if 0, 0477 R:,477% a.m. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 49

50 Exercícios Taxa omial Calcule o valor atual; de um título de valor omial de R$.200,00 com vecimeto para 2 aos e 6 meses, à taxa de 36% ao ao, capitalizados semestralmete. 2 Um título de valor omial de R$ 5.000,00 foi resgatado 3 meses ates do seu vecimeto, tedo sido cotratado à taxa de 30% ao ao, capitalizados mesalmete. Qual foi o descoto cocedido? 3 O valor omial de um título é de R$ ,00. Seu portador deseja descotá-lo ao e três meses ates do seu vecimeto. Calcule o valor de resgate, sabedo-se que a taxa de descoto composto é de 28% ao ao, capitalizados trimestralmete. 4 - Uma empresa toma emprestado em um Baco R$ ,00 à taxa de 2% ao ao, com capitalizações quadrimestrais. Quato deverá devolver ao fial de 2 aos? Qual a taxa efetivamete cobrada pelo Baco? 5 - Quato uma pessoa deve depositar em um Baco que paga 24% ao ao, com capitalizações bimestrais, para que ao fim de 5 aos possua R$ ,00? Qual a taxa efetivamete paga pelo Baco? Taxas real, de iflação e aparete - Qual a taxa real, um período de iflação de 7% e um gaho aparete de 34%? 2 - Uma pessoa aplicou um capital de R$ 2.500,00 durate 0 meses, à uma taxa de juros correte de 3% ao mês. Sabedo-se que houve uma iflação de 5% ao mês, qual foi o gaho líquido a aplicação? Taxa over - Uma operação com duração de 35 dias corridos, foi cotratada à uma taxa over de,8% ao mês. Se durate esse prazo houve 22 dias úteis, calcular a taxa efetiva mesal e o motate ao térmio do prazo, cosiderado-se que foram aplicados R$00.000, Em uma aplicação de R$ ,00 pelo prazo de 38 dias corridos correspodetes a 32 dias úteis foram resgatados R$ ,00. Determiar o valor da taxa over mesal. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 50

51 Redas certas ou Auidades QUESTÕES PARA DISCUSSÃO INICIAL DO CAPÍTULO 5. Redas certas ou auidades Quado uma série de pagametos tem valores variáveis e periodicidade diferete é ecessário que se resolva como se cada aplicação ou pagameto fosse idepedete, o que acarreta, a maioria das vezes, uma sobrecarga de cálculos. À uma série de pagametos ou recebimetos iguais, com itervalo de tempo iguais, chamamos de redas certas ou auidades e, para elas temos mecaismos que facilitam a resolução dos cálculos. Deomia-se reda à sucessão de depósitos (capitalizações) ou de prestações (amortizações), em épocas diferetes, destiadas a formar um capital ou pagar uma dívida. Nas aplicações fiaceiras, quado o objetivo é costituir um capital em data futura, tem-se o processo de capitalização. Caso cotrário, quado se quer pagar uma dívida, tem-se o processo de amortização. CONCEITOS A SEREM DEFINIDOS NESSE CAPÍTULO Auidades Amortização Composta Coeficietes Fiaciameto de Pode ocorrer também o pagameto pelo uso sem que haja amortização, que é o caso dos aluguéis. As redas ou auidades, quato à forma de pagameto ou de recebimeto, podem ser de dois tipos: redas certas ou determiísticas: aquelas cuja duração e pagametos são predetermiados, ão depededo de codições exteras. Os diversos parâmetros como o valor dos termos, o prazo de duração, a taxa de juros, etc., são fixos e imutáveis (Matemática Fiaceira). Podem ser costituídas por aplicações iguais e em série, com a fialidade de se formar um motate um futuro pré estabelecido; prestações assumidas hoje, como forma de empréstimo; prestações de bes adquiridos; etc.. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 5

52 redas aleatórias ou probabilísticas: ocorre quado, pelo meos um dos parâmetros é uma variável aleatória, isto é, ão pode ser previamete determiada. O úmero de termos é idetermiado (Matemática Atuarial). Exemplo: Seguro de vida -- os valores de pagametos (mesalidades) são certos; sedo aleatórios o valor do seguro a receber (causa da morte) e a data do recebimeto (data da morte) Defiições importates Auidade ou reda certa: capitais (pagametos ou recebimetos) referidos à uma dada taxa de juros i. Termos da auidade: valores que costituem a reda. Período: itervalo de tempo etre dois termos. Duração da auidade: soma dos períodos. Valor atual ou presete de uma auidade: soma dos valores atuais dos seus termos, para uma mesma data focal, à uma mesma taxa de juros. Motate ou valor futuro da auidade: soma dos motates dos seus termos, à uma mesma taxa de juros e uma mesma data focal Classificação das auidades Uma série de pagametos ou recebimetos é represetada por um fluxo de caixa. Os fluxos de caixa podem ser verificados das mais variadas formas e tipos. Quato à periodicidade: Periódicas: todos os períodos são iguais. Não periódicas: os períodos ão são iguais etre si. Quato ao prazo: Temporárias: a duração é limitada ( ao, 5 aos ). Perpétuas: a duração é ilimitada (seguros de vida). Quato ao valor dos termos: Costates: todos os termos são iguais. Variáveis: os termos ão são iguais etre si. Quato à forma de pagameto ou de recebimeto: Imediatas: quado os termos são exigíveis a partir do primeiro período. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 52

53 Diferidas: quado os termos são exigíveis a partir de uma data que ão seja o primeiro período. Obs: as auidades imediatas e diferidas se subdividem em: Postecipadas ou vecidas: os termos são exigíveis o fim dos períodos. Atecipadas: os termos são exigíveis o iício dos períodos Amortização composta Modelo básico de auidade ou reda As séries de pagametos que costituem as redas certas ou auidades são simultaeamete: temporárias (duração limitada - ao, 5 meses, etc.); costates( valores ou termos iguais etre s; imediatas e postecipadas; periódicas (todos os períodos iguais). A taxa de juros i é referida ao mesmo período dos termos. Exemplo: Certa pessoa compra um carro para pagar em 4 prestações iguais de R$2.626,24 sem etrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguite ao da compra e a taxa de juros será de 2% ao mês. Qual o preço do carro à vista? Resolução: O preço do carro à vista correspode à soma dos valores atuais das prestações a data focal zero, à taxa de 2% ao mês. PV = soma dos valores atuais. PMT = valor da prestação. PV PMT 4 PMT PMT 2 PMT meses A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 53

54 Como as prestações são iguais, PMT = PMT 2 = PMT 3 = PMT 4, logo: PV PMT (,02) PMT (,02) 2 PMT (,02) 3 PMT (,02) 4 Colocado PMT em evidêcia, temos: PV PMT (,02) (,02) 2 (,02) 3,02 4 PV = 2.626,24 (0, , , ,923846) PV = 2.626,24 (3,807729) PV 0.000,00 Resposta: O preço do carro à vista é de R$ 0.000, Cálculo do valor presete do modelo básico Seja um pricipal PV a ser pago em termos iguais a PMT, imediatos, postecipados e periódicos. Seja também uma taxa de juros i, referida ao mesmo período dos termos. PV PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT A soma dos valores atuais dos termos a data zero é: PV = PMT ( PMT 2 ( PMT 3 (... PMT ( PMT ( Colocado PMT em evidêcia, temos: A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 54

55 PV = PMT ( 2 3 i ) ( ( ( (... Fazedo FPV(i,) = ( 2 3 i ) ( ( ( (... (lê-se : FPV = fator de valor presete ou FVA = fator de valor atual) Temos, PV = PMT. FPV (i,) O valor de FPV é obtido pela soma dos termos de uma progressão geométrica (PG). Como a ordem das parcelas ão altera a soma, temos: FPV(i,) = ( (... ( 3 ( 2 (, ode: a a q ( ( ( i : ( ( 2.( ( 2 ( S aq q a Logo, FPV(i,)= ( ( ( ( ( 0 ( i ( i FPV ( i, ) ( i Multiplicado ambos os termos da fração resultate por (+, temos: A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 55

56 FPV( i, ) ( ( i( ( ( i( ( 0 ( i( Coclusão: FPV( i, ) ( i( Esse fator FPV(i,) é chamado "fator de amortização" e vem tabelado para diversos valores de i ou de, as tabelas fiaceiras. Exemplo. Um cojuto de sala de estar custa R$ 5.000,00 à vista; mas pode ser fiaciado sem etrada, em 0 prestações mesais iguais, à taxa de 3% ao mês. Calcule a prestação a ser paga pelo comprador. i = 3% a. m. = 0,03 a. m. = 0 meses PV = 5.000,00 Se PV = PMT. FPV(i,) etão, PMT = PV FPV ( i, ) Como FPV i, ) ( i( ( temos, 0 ( 0,03) 0 0,03( 0,03) 0 (,03) 0 0,03(,03), ,03(,34396) 0, ,04037 FPV(3%,0) = 8, Calculado a prestação PMT = PV = 586, 5 FPV ( i, ) 8, Resposta. O valor da prestação a ser paga é de R$ 586, Coeficietes de fiaciameto Fatores ou coeficietes de fiaciameto são úmeros admecioais que multiplicados por PV trasformam-se o valor de cada parcela de fiaciameto. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 56

57 iguais. As parcelas devem ser iguais etre si; mas, os períodos ão precisam ser ecessariamete Os coeficietes de fiaciameto são largamete usados o comércio, agêcias de turismo, operações de leasig e outros fiaciametos ode a quatidade de valores presetes são grades. Temos que PV.C f = PMT logo, C f = PMT. PV Substituido PMT a fórmula,vem C f = PV FPV( i, ) PV etão, C f = PV. FPV ( i, ) PV FPV ( i, ) Como FPV i, ) ( i( (, temos C f = ( i( Etão, C f = i( ( Exemplo O gerete de uma loja deseja estabelecer coeficietes de fiaciameto por uidade de capital emprestado. O resultado da multiplicação do coeficiete pelo valor fiaciado é igual à prestação mesal. Sabedo-se que a taxa de juros da loja é de 4% ao mês, qual é o coeficiete uitário um fiaciameto de 6 meses? C f = i( ( C f = 6 0,04(,04) 6 (,04) 0,04(,26539), , , ,90762 Este é o valor que, aplicado ao valor fiaciado dará o valor das 6 prestações mesais iguais, cosiderado a taxa de 4% ao mês. Obs. Se tivéssemos uma mercadoria com preço à vista de R$ 0.000,00, qual seria o valor de cada prestação, o prazo e taxa acima? Sabemos que a prestação é igual ao valor presete vezes o coeficiete de fiaciameto, logo: PMT = x 0,90762 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 57

58 PMT =.907,62 Resposta. O valor de cada prestação é de R$.907, Cálculo do valor futuro ou motate do modelo básico Cosideremos um processo de capitalização em que são aplicadas parcelas iguais, periódicas e postecipadas, à uma taxa de juros i referida ao mesmo período dos termos. O problema cosiste a determiação de um valor futuro (FV) a data focal, através desse processo de capitalização. O valor futuro ou motate é o resultado da soma de cada um dos termos, à taxa de juros i, a data focal. FV Vamos admitir que esta soma seja a partir do termo de ordem até o termo de a ordem. FV PMT ( PMT ( 2... PMT ( 2 PMT ( PMT FV =PMT + PMT(+ + PMT( PMT( PMT(+ - FV = PMT [ + (+) + ( ( (+ - ] Seja FFV = + (+ + ( ( (+ - que é a soma dos termos de uma PG, ode a =, a = (+ - e q = + i Como S = a. q q a etão, FFV(i,) = ( ( ( = i i Logo, FV = PMT. FFV(i,) e PMT = FV FFV ( i, ) (FFV = fator de valor futuro ou FAC = fator de acumulação de capital) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 58

59 Exemplo Uma pessoa deposita R$.000,00 mesalmete. Sabedo-se que ela está gahado 2% ao mês, quato possuirá em 2 aos? PMT =.000 i = 2% = 0,02 a. m. = 2 a.= 24 m. FV =? Calculado FFV(i,) = FV = PMT. FFV(i,) FV =.000 x 30,42862 Fv = 30.42,862 Resposta. A pessoa possuirá R$ 30.42,86 ( i 24 ) (,02), , = 30, i 0,02 0,02 0, Relação etre os fatores FPV(, e FFV(, Temos que FPV(i,) = vem: ( i(. Multiplicado os dois lados da igualdade por (+, ( ( i( i ). FPV( i, ).( ( ( (. FPV ( i, ) como i ) FFV ( i, ) i i, temos: FFV(i,) = (+.FPV(i,) modelo básico. Esta relação permite que se relacioe o valor presete (PV) com o valor futuro (FV) do Como FV = PMT. FFV(i,) e como FFV(i,) = (+. FPV(i,) Temos FV = PMT. (+. FPV(i,) e se PV = FPV(i,) chegamos a FV = (+. PV ou FV = PV(+, coforme já foi provado. Exemplo Uma pessoa plaejado a costrução de uma casa, prevê dispêdios mesais de R$ ,000 os meses de setembro, outubro e ovembro. Quato deve ser depositado A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 59

60 mesalmete de jaeiro a agosto, do mesmo ao, para que seja possível efetuar tais retiradas, cosiderado uma remueração de 3% ao mês sobre os depósitos? PMT =? i = 3%= 0,03 a.m. = 8 meses FV = PV = PMT. FPV(i,) FV = PMT. FFV(i,) J F M A M J J A S O N Pelo modelo básico teremos que o PV dos meses de setembro a ovembro, a data 9 deve ser igual ao FV a mesma data dos meses de jaeiro a agosto. Logo, FV = PV Como FV = PMT. FFV(i,) e PV = PMT. FPV(i,), temos: PMT. FFV(i,) = PMT. FPV(i,) Calculado FFV(3%,8) FFV(i,) = ( i logo, 8 (,03), ,03 0, ,03 FFV(3%,8) = 8, ,03 FPV(i,) = ( i(, 3 (,03) 3 0,03(,03), ,03(,092727) 0, , logo FPV(3%,3) = 2, Etão, se PMT. FFV(3%,8) = FPV(3%,3) PMT (8,892336) = (2,828595) PMT (8,892336) = , ,5 PMT = 3.809, 36 8, Resposta. A quatia a ser depositada mesalmete deverá ser de R$ 3.809,36 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 60

61 Auidades atecipadas imediatas Nesse tipo de auidades, os termos são exigíveis o iício dos períodos. A primeira prestação é paga a assiatura do cotrato (data zero) Cálculo do valor presete PMT PMT PMT PMT PMT Seja PV o valor atual de uma reda atecipada. Etão, PMT PMT PMT PMT PV = PMT i ( ( ( Colocado R em evidêcia, temos: PV = PMT (... ) 2 2 i ( ( ( Como (... ) = FPV(-, cocluímos que: 2 2 i ( ( ( PV = PMT [+FPV(i,-)] ou aida PV = PMT (+. FPV(i,) ou seja, o valor atual de uma reda atecipada de termos. Exemplo. Calcule o valor presete de uma auidade atecipada de 2 termos mesais de R$ 250,00, à taxa de 3% ao mês. PMT = 250 i = 3% = 0,03 a.m. = 2 m. PV = PMT [ + FPV(i,-)} Cálculo do FPV(i,-) PV = 250 [+ FPV(3%,2-)] FPV(3%;) = (,03) 0,03(,03) 0, ,04527 PV = 250 [+ 9,25263] FPV(3%;) = 9,25263 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 6

62 PV = 250 [0,25263] PV = 2.563,6 Resposta. O valor presete da auidade é de R$ 2.563,6 Pela seguda fórmula, temos: PV = PMT(+.FPV(i,) FPV(3%,2) = 2 (,03) 2 0,03(,03) 0, ,04277 PV = 250 (,03). 9,95398 FPV(3%,2) = 9,95398 PV = 2.563, Cálculo do valor futuro O valor futuro ou motate de uma reda atecipada é o mesmo do motate do modelo básico, multiplicado por (+. Logo, FV = PMT.(+.FFV(i,) Exemplo. Uma pessoa deposita em uma fiaceira, o iício de cada mês, durate 5 meses, a quatia de R$ 00,00. Calcule o valor futuro ou motate da reda, sabedo-se que esta fiaceira paga juros de 2% ao mês, capitalizados mesalmete. PMT = 00,00 i = 2% = 0,02 a.m. = 5 m. FV =? Se o depósito é feito o iício de cada mês, a reda é atecipada; portato, a fórmula é: FV = PMT.(+. FFV(i,) Cálculo do FFV(2%;5) FV = 00 (,02). FFV(2%;5) FFV(2%;5) = 5 (,02) 0,02 0,0408 0,02 FV = 00.(,02). 5, FFV(2%;5) = 5, FV = 530,8 Resposta. O valor futuro será de R$ 530,8. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 62

63 5.5.- Reda ou auidade diferida (com carêcia) As redas ou auidades diferidas são aquelas em que o o termo é exigível a partir de um certo período, deomiado período de carêcia. Tudo como se os termos fossem trasladados de um itervalo de tempo igual à carêcia. Exemplo. Uma pessoa vai receber 6 prestações mesais iguais a R$ 400,00 com um diferimeto (período de carêcia) de 5 meses. Sedo a taxa de juros igual a 2% ao mês, perguta-se: a) qual o valor presete ou atual das prestações a data zero; b) qual o valor futuro ou motate a data focal 40? P P a) a opção Valor presete a data zero Resolve-se em duas etapas:. calcula-se o pricipal (ou valor presete) a data focal 5, segudo o modelo básico; PV 5 = PMT. FPV(2%;6) FPV(2%;6) = 6 (,02) 6 0,02(,02) 0, , PV 5 = 400.(3,577579) FPV(2%;6) = 3, PV 5 = 5.43,03 2. a seguir, acha-se o valor presete a data zero, à taxa de 2% ao mês. PV FV ( PV 0 ode o FV será igual ao PV A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 63

64 PV ,03 (,02) 5.43,03, ,34 Resposta. O valor atual das prestações a data zero é R$4.035,34 2 a opção Pode-se chegar ao mesmo resultado calculado-se o valor presete de uma auidade de 3 termos e subtraido-se o valor presete de uma auidade de 5 termos (tudo pelo modelo básico). Esta auidade de 5 termos correspode aos 5 termos que "ão existem" o problema proposto. PV 0 = PMT. FPV(2%;3) - PMT. FPV(2%;5) Colocado PMT em evidêcia, temos: PV 0 = PMT [FPV(2%;3) - FPV(2%;5)] PV 0 = 400 [(22,937568) - (2,849426)] PV 0 = 400 (0,08842) PV 0 = 4.035,27 b) Motate a data focal 40 a opção Pode-se obtê-lo diretamete do valor presete. = 40 PV = 4.035,34 i = 2% = 0,02 a.m. FV 40 =? FV = PV (+ FV 40 = 4.035,34 (,02) 40 FV 40 = 4.035,34 (2,208040) FV 40 =8.90,9 2 a opção Pode-se usar o modelo básico e calcular o valor futuro ou motate a data 3 (do período 6 ao 3 = 6 termos). O valor futuro é etão capitalizado até a data focal 40. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 64

65 Tem-se que FV 3 = PMT. FFV(i,) etão, FV 3 = PMT. FFV(2%;6) como FFV(2%;6) = 8, temos: FV 3 = 400 (8,639285) FV 3 = 7.455,7 Capitalizado-se o valor futuro FV 3 até a data focal 40, temos: FV 40 = 7.455,7 (,02) 9 (Obs: 40-3 = 9) FV 40 = 7.455,7 (,95093) FV 40 = 8.90,26 3 a opção Calcula-se, pelo modelo básico, o valor futuro de uma auidade de 25 termos (40 termos meos os 5 primeiros que ão são usados), meos o valor futuro de uma auidade de 9 termos (40-3 termos). FV = PMT [FFV(2%;25) - (FFV(2%;9)] FV = 400 ( 32, ,754628) FV = 400 ( 22,275672) FV = 8.90,27 Resposta. O valor futuro será de R$ 8.90,27 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 65

66 Exercícios Auidades - modelo básico. Quato uma pessoa terá de aplicar mesalmete um Fudo de Reda Fixa", durate 5 aos, para que possa resgatar R$ ,00 o fial dos 60 meses, sabedo-se que o fudo proporcioa um redimeto de 2% ao mês? 2 Quatas prestações de R$ 4.000,00 devo aplicar trimestralmete, à taxa de 7% ao trimestre, para acumular um motate de R$ 00.56,08? Usar a tabela. 3 A que taxa devo aplicar R$ 5.036,28 por ao para que eu teha R$ ,00 o fial de 0 aos? Usar a tabela. 4 Qual o valor que, fiaciado à taxa de 4% ao mês, pode ser pago ou amortizado em 5 prestações mesais, iguais e sucessivas de R$ 00,00 cada uma? 5 Calcular o valor atual de uma série de 24 prestações iguais, mesais e cosecutivas de R$ 3.500,00 cada uma, cosiderado uma taxa de 5% ao mês. 6 Calcule pela tabela, o úmero de prestações semestrais de R$ 5.000,00 cada um, capazes de liquidar um fiaciameto de R$ ,65, à taxa de 20% ao semestre. 7 Qual o motate, o fial de 8 meses, referete a uma aplicação de R$.000,00 por mês, à taxa de 3% ao mês? 8 Quato deverá ser aplicado a cada 2 meses, em um Fudo de reda fixa, à taxa de 5% ao bimestre, durate 3,5 aos, para que se obteha, o fial desse prazo, um motate de R$ ,00? 9 O Sr. Maoel Reis resolveu aplicar mesalmete a quatia de R$ 800,00, durate 5 aos, à uma taxa de 42,576% ao ao. Além das aplicações mesais, o Sr. Mauel Reis fará uma aplicação extra de R$ 3.000,00 o fial de cada ao, isto é, o fial do mês de dezembro, aproveitado parte do seu 3º salário. Qual o valor do motate o fial do 60º mês, sabedo-se que a data base é fial de dezembro do ao 20XY, e que a ª parcela será aplicada o fial do mês seguite? 0 Mauro e Clara ficaram oivos e pretedem casar-se daqui a 20 meses. Como etedem ser mais acoselhável adquirir à vista o imóvel ecessário, pretedem fazer aplicações mesais, cujo motate deverá ser sacado 3 meses ates do casameto, para a devida compra. Sabedo-se que: a) essa aplicação deverá reder 2,75% ao mês; b) o motate desejado é de R$ ,00 (valor que os mesmos destiam para o imóvel daqui a 7 meses); c) o casal aplicou hoje R$ 2.000,00. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 66

67 Idaga-se: qual o valor de cada uma das 7 prestações mesais, iguais e cosecutivas, ecessárias para totalizar o motate de R$ ,00 o fial de 7 meses? Quato terei de aplicar mesalmete a partir de hoje, para acumular o fial de 36 prestações, um motate de R$ ,00, sabedo-se que o redimeto firmado é de 34,489% ao ao e que as prestações são iguais e cosecutivas? 2 Um cojuto de som custa R$.500,00 `a vista; mas pode ser fiaciado sem etrada, em 0 prestações mesais iguais, à taxa de 2,5% ao mês. Calcule a prestação a ser paga pelo comprador. 3 - Uma aparelhagem de som está acumulada as seguites codições: R$.500,00 de etrada e 3 prestações mesais iguais de R$.225,48. Calcule o preço à vista, sabedo-se que o juro cobrado pela loja de som é de 2,5% ao mês. 4 - Um carro está a veda por R$ 5.000,00 `avista. Pode também ser adquirido em prestações mesais de R$ 885,7 a 3% ao mês, de juros. Sabedo-se que as prestações vecem a partir do mês seguite ao da compra, calcule o úmero de prestações. 5 - Uma loja vede uma mercadoria por R$ 2.000,00 à vista ou fiaciada em 8 meses, a juros de 3,5% ao mês. Qual será a prestação mesal, se ão for dada etrada alguma e a primeira prestação vecer após um mês? 6 - Uma determiada loja vede uma mercadoria por R$ 3.000,00. É exigida uma etrada de 40% do valor da mercadoria e são cobrados juros de 5% ao mês. Qual será o valor das prestações, se um cliete optar por 6 prestações iguais? 7 - Um carro está à veda por R$ 0.000,00 de etrada, mais 2 prestações mesais iguais a R$ 2.236,5. Como opção, a agêcia vede também em 24 prestações de R$.63,6 sedo, esse caso, exigida uma etrada de R$2.000,00. Qual é a melhor alterativa, se a taxa do mercado for de 3% ao mês? 8 - Uma loja vede uma mercadoria em 2 prestações mesais iguais a R$ 97,49 ou, em 24 prestações mesais iguais a R$ 5,50. Nos dois casos o cliete ão dará etrada alguma. Sabedose que a taxa de juros do crédito pessoal é de 2,5% ao mês, perguta-se: qual é o melhor sistema para o comprador? 9 - O gerete fiaceiro de uma loja deseja estabelecer coeficietes de fiaciameto por uidade de capital emprestado. O resultado da multiplicação do coeficiete pelo valor fiaciado é igual à prestação mesal. Sabedo-se que a taxa de juros da loja é de 3% ao mês, quais são os coeficietes uitários as hipóteses de prazos abaixo? a) 6 meses b) 2 meses c) 8 meses d) 24 meses A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 67

68 20 - Qual é o valor atual de uma reda periódica de R$.000,00 à taxa de 5% ao bimestre, em 2 aos? 2 - Qual é a mesalidade periódica equivalete a um valor atual de R$ 0.000,00 se a taxa for de 2,5% ao mês, o prazo de 24 meses? 22 - Um carro cujo valor à vista era de R$ ,00 foi comprado por certa pessoa, em prestações mesais iguais a R$.734,90 sem dar etrada alguma. Sedo a taxa de juros de 4% ao mês, calcule o úmero de prestações a pagar Uma mercadoria é vedida por R$ 5.000,00 à vista ou, por R$.000,00 de etrada, mais prestações mesais iguais de R$ 480,97. Sabedo-se que a taxa de juros cosiderada é de 3,5% ao mês, qual é o úmero de prestações? 24 - Uma fiaceira aucia que seus coeficietes para fiaciameto de carros em 24 meses são: a) carro zero Km --- 0,06480 b) carro usado --- 0,0685 Se uma pessoa quiser fiaciar R$ ,00 em 24 meses a compra de um carro zero Km, perguta-se quato deverá pagar de prestação mesal? 25 Qual o valor que, fiaciado à taxa de 4% ao mês, pode ser pago ou amortizado em 5 prestações mesais iguais e sucessivas de R$ 00,00 cada uma Um empréstimo de R$ ,00 é cocedido por uma istituição fiaceira para ser liquidado em 2 prestações mesais iguais e cosecutivas. Sabedo-se que a taxa de juros é de 3,5% ao mês, calcular o valor de cada prestação. 27 Calcule o úmero de prestações semestrais de R$ 5.000,00 cada uma, capaz de liquidar um fiaciameto de R$ ,65 à taxa de 20% ao semestre Qual é o motate de uma auidade periódica de R$ 500,00 aplicada a 6% ao trimestre, por 5 aos? 29 Uma pessoa, plaejado a costrução de uma casa, prevê dispêdios mesais de R$ ,00 os meses de setembro, outubro e ovembro. Quato deve ser depositado mesalmete de jaeiro a agosto do mesmo ao, para que seja possível efetuar tais retiradas, cosiderado remueração de 3% ao mês sobre os depósitos? 30 Quatos depósitos bimestrais de R$.000,00 serão ecessários para que, se a remueração for de 4% ao bimestre, se teha R$ ,08? Auidades atecipadas Qual é o valor futuro de uma reda atecipada de 0 termos mesais de R$500,00 à taxa de,5% ao mês? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 68

69 2 Quato se deve depositar o iício de cada semestre, com atecipação, uma istituição fiaceira que paga 9% ao semestre, para costituir o motate de R$ ,00 o fial de 3 aos, sedo os juros capitalizados semestralmete? 3 - Qual o motate a receber ao fial do 5 o mês, resultate da aplicação de 5 prestações mesais iguais e cosecutivas de R$ 00,00, à taxa de 4% ao mês, sabedo-se que a primeira aplicação será feita a data do cotrato? 4 - Determiar o valor de um imóvel fiaciado em 24 prestações iguais de R$5.054,03 sabedo-se que a taxa de juros cobrada é de 3,5% ao mês e que a primeira prestação deverá ser paga o ato da assiatura do cotrato. 5 - Uma certa pessoa compra uma mercadoria em 24 prestações iguais de R$630,64 sedo que a primeira prestação é dada como etrada. Sabedo-se que a taxa do mercado é de 4% ao mês, qual será o preço à vista da referida mercadoria? 6 Qual o valor atual de uma dívida que pode ser amortizada por 2 prestações bimestrais atecipadas de R$.000,00 cada uma, sedo 5% ao bimestre a taxa de juros? 7 Determie o valor da prestação mesal para amortizar, com 6 prestações atecipadas, um empréstimo de R$ 8.000,00 a juros de 3% ao mês. 8 José cotraiu uma dívida de R$ ,00 que deverá ser paga em 2 prestações mesais atecipadas de R$ 2.500,00. Qual é a taxa de juros? 9 Quatas prestações auais atecipadas de R$.688,7 serão ecessárias para pagar uma dívida futura de R$ ,00 com uma taxa de juros de 40% ao ao? 0 - Uma pessoa deposita R$.000,00 mesalmete. Sabedo-se que ela está gahado 2% ao mês, quato possuirá em 2 aos? Uma pessoa deseja comprar um carro por R$ ,00 à vista, daqui a 2 meses. Admitido-se que ela vá poupar uma certa quatia mesal, que será aplicada em letras de câmbio, rededo 2,2% ao mês de juros compostos, determie quato deve ser poupado mesalmete. 2 A que taxa uma pessoa, realizado depósitos imediatos o valor de R$ 809,30, forma um capital de R$ 3.500,00 ao fazer o décimo quito depósito? 3 Quatas prestações mesais imediatas de R$ 500,00 devem ser depositadas, à taxa de 2% ao mês, a fim de costituir um motate de R$ 6.706,00? 4 Uma pessoa deposita R$ 680,00 o fial de cada mês. Sabedo-se que seu gaho é de,5% ao mês, quato possuirá em 2 ½ aos? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 69

70 5 Qual depósito trimestral que, durate 4 aos cosecutivos, produz um motate de R$ ,00 após o último depósito? Cosidere a taxa de 0% ao trimestre. 6 Qual a importâcia costate a ser depositada em um baco, ao fial de cada ao, à taxa de 6% ao ao, capitalizados aualmete, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$ ,00? Auidades diferidas - Uma empresa obtém um empréstimo de R$ ,00 para ser quitado em 5 prestações mesais iguais e cosecutivas. Sabemos que a ª prestação tem o seu vecimeto 90 dias após a data do cotrato e que a taxa de juros cobrada pelo Baco X é de 6% ao mês, calcular o valor das prestações. 2 - Atôio compra de um amigo, um apartameto cujo valor à vista é de R$50.000,00 as seguites codições: etrada de R$ ,00 mais prestações mesais de R$ 8.598,04 com um ao de carêcia. Sabedo-se que a taxa de juros cotratada foi de 4,5% ao mês, qual o úmero de prestações? 3 - Qual o valor atual ou presete de uma reda de 5 termos mesais de R$ 700,00 com três meses de carêcia, à taxa de,5% ao mês? 4 - Qual o valor presete de uma dívida que pode ser amortizada com 0 prestações mesais de R$ 500,00, sedo de 2% a taxa de juros e devedo a primeira prestação ser paga 3 meses depois de realizado o empréstimo? 5 - Uma divida de R$ ,00 deve ser amortizada com 6 pagametos bimestrais cosecutivos, sedo de 4% ao bimestre a taxa de juros. Calcule esta prestação, sabedo-se que o pagameto da primeira delas deve ser efetuado 4 meses após a realização do empréstimo. Outras auidades - Qual o motate ao fial de 6 trimestres, resultate da aplicação de 6 parcelas trimestrais de R$.000,00, R$ 4.000,00, R$ 2.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 5.000,00 à taxa de 0% ao trimestre, sedo a primeira aplicação feita o fial do o trimestre? 2 - Calcular o valor presete da série represetada por 5 pagametos mesais cosecutivos de R$.700,00, R$ 3.000,00, R$.250,00, R$ 2.300,00 e R$ 980,00, cosiderado a taxa de 4% ao mês. 3 - Certa pessoa vede um carro a um amigo cobrado juros de % ao mês. O egócio foi feito da seguite forma: R$ 5.000,00 de etrada; A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 70

71 R$ 4.000,00 o o mês; R$ 6.000,00 o 2 o mês; R$.000,00 o 3 o mês; R$ 3.000,00 o 4 o mês. Qual o valor do carro à vista, uma vez que estes pagametos soldam toda a dívida? 4 - Uma dívida foi liquidada em 4 prestações auais de R$ 37.55,02, R$ 2.500,00, R$ 3.800,00 e R$ ,00, respectivamete, vecíveis o fial de cada ao. Sabedo-se que a taxa de juros cobrada foi de 40% ao ao, calcular o valor da dívida. 5 - Um empréstimo de R$ 6.500,00 será pago em 5 prestações mesais, iguais e cosecutivas, à uma taxa de 2% ao semestre. Perguta-se: a) qual o valor de cada prestação se elas forem postecipadas; b) e se elas forem atecipadas; c) se houver uma carêcia de 3 meses, qual o valor de cada PMT? 6 - Um computador será pago em 7 prestações mesais, cosecutivas e postecipadas, sedo as de ordem ímpar o valor de R$ 425,00 e as de ordem par o valor de R$ 640,00. Qual o valor desse computador à vista sabedo-se que a taxa de juros cotratada foi de,8% ao mês? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 7

72 Sistemas de Amortização de Empréstimos e Fiaciametos QUESTÕES PARA DISCUSSÃO INICIAL DO CAPÍTULO Segudo as práticas habituais, os empréstimos classificam-se em: de curto, de médio e de logo prazo. Os sistemas de amortização são desevolvidos basicamete para operações de empréstimos e fiaciametos de logo prazo, evolvedo desembolsos periódicos do pricipal e ecargos fiaceiros. Os problemas mais importates um empréstimo de logo prazo dizem respeito à explicitação do sistema de reembolso adotado e ao cálculo da taxa de juros efetivamete cobrada. Existem várias maeiras de amortizar uma dívida, devedo as codições de cada operação estarem estabelecidas em cotrato firmado etre o credor (mutuate) e o devedor (mutuário). CONCEITOS A SEREM DEFINIDOS NESSE CAPÍTULO Sistema de Amortização Costate SAC Price Sistema de Amortização Variável Sistema de Amortização Misto Os sistemas de amortização de empréstimos e fiaciametos tratam, basicamete, da forma pela qual o pricipal e os ecargos fiaceiros são restituídos ao credor do capital. 6.. Defiições básicas Ecargos fiaceiros Represetam os juros da operação, caracterizado se como custo para o devedor e retoro para o credor. Amortização Refere-se exclusivamete ao pagameto do pricipal (capital emprestado), o qual é efetuado, geralmete, através de parcelas periódicas (mesais, trimestrais, etc.). Saldo devedor Represeta o valor do pricipal da A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 72

73 dívida, em determiado mometo, após a dedução do valor já pago pelo credor a título de amortização. Prestação É composto do valor da amortização mais os ecargos fiaceiros devidos em determiado período de tempo. Assim: Prestação = Amortização + Ecargos Carêcia Muitas operações de empréstimos e fiaciametos prevêem um diferimeto a data covecioal do iício dos pagametos 6.2. Sistema de amortizações costates - SAC O credor exige a devolução de pricipal em parcelas iguais, icidido os juros sobre o saldo devedor. Amortização = Valordoempréstimo Númerodeprestações SAC sem carêcia. Uma empresa pede emprestados R$ ,00 que o baco etrega o ato. Sabedo-se que o pricipal será amortizado em prestações semestrais, o prazo de 5 aos e que a taxa cobrada é de 30% ao ao, costrua a plailha. Taxa equivalete semestral a 30% ao ao: + i a = (+i s ) 2,30 = (+i s ) 2, 30 = (+i s ) i s = 0,4075 = 4,075% ao semestre Amortização = , ,00/ semestre Períodos Saldo devedor Amortização Juros Prestação ($) (semestres) ($) ($) ($) (amortização. + juros) , A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 73

74 90.000, , , , , , , , , ,00.24, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00.40,80.40,80 Total , , , SAC com carêcia de dois aos e pagameto de juros Utilizaremos o mesmo exemplo. Períodos Saldo devedor Amortização Juros Prestação (semestres) ($) ($) ($) ($) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,80 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 74

75 , ,00.24, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00.40,80.40,80 Total , , , SAC com carêcia de 2 aos e prazo de utilização ão-uitário Períodos Saldo devedor Amortização Juros Prestação (semestres) ($) ($) ($) ($) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00.24, , , , , , , , , , , , , ,80 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 75

76 30.000, , , , , , , , , , , , ,00.40,80.40,80 Total , , , SAC com carêcia (2 aos) e capitalização de juros. Períodos Saldo devedor Amortização Juros Prestação (semestres) ($) ($) ($) ($) , , , , , , , , , , , , , , ,00.24, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00.40,80.40,80 Total , , ,30 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 76

77 SAC com carêcia (2 aos) com juros capitalizados e acrescidos ao saldo devedor. Períodos (semestres) Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,70 3.3, , ,00.844, , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Total , , , Sistema de amortização fracês SAF - PRICE Prestação. Utiliza-se o modelo básico PMT = PV FPV ( i, ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 77

78 6.3.. SAF PRICE sem carêcia Um baco empresta R$ ,00 etregues o ato, sem prazo de carêcia. Sabedo-se que o baco utiliza o sistema fracês, que a taxa cotratada seja de 30% ao ao e que o baco quer a devolução em 5 aos, com prestações semestrais, costrua a plailha ,00 PMT = 9.84, 40 5,22555 Períodos Saldo devedor Amortização Juros Prestação (semestres) ($) ($) ($) ($) , ,0 5.66, , , , , , , , , , , , ,60.525, , , , , , , , , , ,20.35, , , , , , , , , , , , , ,40 Total , , , SAF PRICE com carêcia (2 aos) e pagameto de juros PMT = 9.84, 40 5,2257 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 78

79 Períodos Saldo devedor Amortização Juros Prestação (semestres) ($) ($) ($) ($) , , , , , , , , , , , , , ,0 5.66, , , , , , , , , , , , ,60.525, , , , , , , , , , ,20.35, , , , , , , , , , , , , ,40 Total , , , SAF PRICE com carêcia (02 aos), com juros capitalizados e acrescidos ao saldo devedor ,70 PMT = 3242, 70 5,22555 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 79

80 Períodos Saldo devedor Amortização Juros Prestação (semestres) ($) ($) ($) ($) , , , , , , , , , , , , , ,70.35, , , , , , , , , , , , , , , ,0 9.84, , , , , , , , , , , , , ,70 Total , , ,00 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 80

81 Exercícios Amortizações. Um empréstimo de R$ ,00 deve ser pago em 4 amortizações costates auais, sem carêcia. A taxa de juros cotratada é de 8 % ao ao. Costruir a plailha de fiaciameto. 2 O Baco L & S emprestou R$ ,00 pagos o ato, à taxa de 9% ao ao. O prazo total para a amortização do fiaciameto é de 3 aos e meio, icluido-se ao de carêcia. O pagameto de juros e das amortizações costates deve ser semestral. Costruir a plailha. 3 Uma empresa recebe um fiaciameto de R$ ,00 para ser pago em 6 prestações auais, com 2 aos de carêcia, pelo Sistema Fracês. Costruir a plailha, cosiderado-se a taxa de juros de 20% ao ao. 4 Usar o mesmo exemplo para 6 parcelas semestrais, com taxa efetiva. 5 Usar aida o exemplo 3, com juros capitalizados e icorporados ao pricipal, para serem amortizados as prestações. 6 Um empréstimo de R$ ,00 foi etregue pela fiaciadora em 2 parcelas iguais, defasadas em um ao. Com uma carêcia de 3 aos e uma taxa de juros de 6% ao ao, como ficaria a plailha? 7 Qual será a a prestação trimestral de um fiaciameto de R$ ,00 com carêcia de 3 aos, tedo sido os juros capitalizados a carêcia? Cosiderado-se a taxa de juros de 6% ao ao, Sistema Fracês Tabela Price e 2 prestações separar a parcela referete aos juros a primeira prestação. 8 Uma empresa em fase de expasão, obtém de uma agêcia goverametal, um fiaciameto de R$ ,00 a ser liberado em três parcelas quadrimestrais seqüeciais, sedo de R$ ,00 a primeira, de R$ ,00 a seguda e de R$ ,00 a terceira. Os ecargos fiaceiros são basicamete os seguites: a) taxa efetiva de juros de 9% ao ao; b) comissão de abertura de crédito de 0,5% sobre o valor do fiaciameto - valor esse cobrado quado da liberação da primeira parcela. O órgão fiaciador cocede 4 quadrimestres de carêcia, sedo pagos juros durate a carêcia. O prazo total do fiaciameto será de 5 aos, o SAC como sistema de amortização adotado e as amortizações quadrimestrais. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 8

82 9 - Um empréstimo de R$ ,00 será realizado à uma taxa de 26% ao ao, um período de 2 aos, com prestações quadrimestrais. Perguta-se: a) qual o valor da 4 a amortização pelo SAC; b) qual o valor da 6 a prestação pelo SAF; c) qual o valor da 2 a prestação pela Tabela Price; d) qual o valor do 2 o saldo devedor, 2 a amortização, 2 o juro e 2 a prestação pelo SAF; e) quais os valores da amortização, do juro e da prestação de 2 o período pelo SAM; f) se o sistema utilizado fosse o SAA com pagameto de juros, quado seria efetuada a amortização, qual o seu valor e qual o valor da prestação esse período? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 82

83 BIBLIOGRAFIA BEDRAN, Afoso Jug. Matemática Fiaceira. Apostila para cursos de graduação. UFJF. CRESPO, Atôio Arot. Matemática Comercial e Fiaceira. 3 a ed. Rio de Jaeiro: Saraiva, 988 MATHIAS, Wasigto Fraco. Matemática Fiaceira. 2 a ed. São Paulo: Atlas 996 NETO, Alexadre Assaf. Matemática Fiaceira e suas aplicações. 4 a ed. São Paulo: Atlas, 998 PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Fiaceira. 5 a ed. Rio de Jaeiro:LTC,993 SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática Fiaceira. Aplicações à Aálise de Ivestimeto. São Paulo: Makro Books, 999 SARAIVA, Eduardo César Gomes. Matemática Fiaceira. Ed. Rio de Jaeiro: FGV Maagemet Cursos de educação cotiuada. 62 p. SOBRINHO, José Dutra Vieira. Maual de Aplicações Fiaceiras: HP-2C. 2 a Atlas, 996 ed. São Paulo: SOBRINHO, José Dutra Vieira. Matemática Fiaceira. 6 a ed. São Paulo: Atlas,997 SPRITZER, Moisés. Matemática Fiaceira. ª Ed. Rio de Jaeiro: FGV Maagemet Cursos de educação cotiuada. 69 p. VERAS, Lília Ladeira. Matemática Fiaceira. 3 a ed. São Paulo: Atlas,999 VIANNA, Ferado. Matemática Fiaceira é Fácil - com ou sem HP-2C, 2 a ed. Belo Horizote: Lê, 995 ZIMA, Peter. Fudametos de Matemática Fiaceira. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 995 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J Págia 83