Introdução ao Estudo de Sistemas Lineares

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1 Itrodução ao Estudo de Sistemas Lieares 1. efiições. 1.1 Equação liear é toda seteça aberta, as icógitas x 1, x 2, x 3,..., x, do tipo a1 x1 a2 x2 a3 x3... a x b, em que a 1, a 2, a 3,..., a são os coeficietes reais das icógitas e b é o termo real idepedete. 1.2 Solução de uma equação liear é toda êupla ordeada ( 1, 2, 3,..., ) que tora verdadeira a seteça a1 1 a2 2 a a b. 1.3 Sistema liear é todo cojuto de duas ou mais equações lieares. A represetação de um sistema liear de p equações é expressa da seguite forma: a11 x1 a12 x2 a13 x3... a x b1 a21x1 a22x2 a23x3... a2 x b2 a x a x a x... a x b p1 1 p 2 2 p3 3 p p 1.4 Solução de um sistema liear é toda êupla ordeada ( 1, 2, 3,..., ) que tora todas as equações lieares desse sistema seteças verdadeiras, ou seja, que seja solução de cada uma das equações lieares do sistema. 1.5 Classificação dos sistemas lieares quato ao úmero de soluções: O sistema será possível se admitir pelo meos uma solução O sistema será impossível se ão admitir ehuma solução O sistema possível será determiado se possuir uma úica solução O sistema possível será idetermiado se possuir ifiitas soluções. 1

2 2. Matrizes associadas a um sistema liear. 2.1 Matriz icompleta, represetada por MI, é a matriz que tem, ordeadamete, como elemetos os coeficietes reais das icógitas. Ex.: o sistema liear MI x y 5z 3 x 2y z 2, a matriz icompleta é: x y 3z Matriz completa, represetada por MC, é a matriz que apreseta, ordeadamete, os elemetos de MI e uma colua formada pelos elemetos dos segudos membros de cada uma das equações lieares. Ex.: a partir do sistema do exemplo aterior, pode-se cocluir que a matriz completa a ele associada é: MI etermiate do sistema () é o determiate de MI, se, obviamete, tal matriz for quadrada. 3. Sistema Normal 3.1 efiição: sistema ormal é todo sistema de equações e de icógitas que apreseta determiate do sistema ão ulo ( 0 ). 3.2 Teorema de Cramer: todo sistema ormal é possível e determiado. Há, pelo meos, dois métodos práticos de demostrar o Teorema de Cramer. Um deles é feito através de igualdade matricial que revela a uicidade que permite classificar o sistema como possível e determiado; o outro se dá através do Teorema de Rouché-Capelli, aida ão explicado. Supodo que o leitor teha cohecimeto prévio de equações matriciais e que saiba que 2

3 todo sistema liear pode ser expresso através de uma equação matricial, podemos demostrar o teorema supracitado do seguite modo: a11 a12... a1 x1 a21 a22... a2 Se MI x2, det MI 0, X (matriz das a 1 a2... a x b1 b2 icógitas) e B (matriz dos termos idepedetes), etão: b a11 x1 a12 x2 a13 x3... a1 x b1 a x a x a x... a x b a x a x a x... a x b a11 a12... a1 x1 b1 a21 a22... a 2 x2 b2 a 1 a 2... a x b MI X B MI MI X MI B X MI B A codição de det MI 0, que caracteriza o sistema ormal, garate 1 MI que (a iversa da matriz icompleta) existe e é úica, o que também 1 permite garatir a existêcia e a uicidade de X MI B. Como existe uma úica êupla ( x1, x2, x3,..., x ) como solução, o sistema é, portato, possível e determiado. 3.3 Regra de Cramer: é um método de determiar a solução de um sistema ormal. É importatíssimo ão cofudir tal regra com o Teorema de Cramer, já tratado. O teorema é tão-só uma afirmação, equato que a regra é um método de resolução de sistemas ormais que se baseia o que diz o teorema. A partir dessa regra, descobrimos cada elemeto da êupla do seguite modo: x 1 1 ; x 2 2 ; x 3 3 ;...; x j j ;...; x, em que 0 é o determiate do sistema e j é o determiate da matriz que é obtida da matriz icompleta, substituido-se a j-ésima colua 3

4 1 j 2 j 3 j j TutorBrasil.com.br ( a, a, a,..., a ) pela colua da matriz dos termos idepedetes ( b, b, b,..., b ), ordeadamete Característica de uma matriz 4.1 Itrodução: os sistemas lieares, como já estudamos, podem ser classificados de acordo com o úmero de soluções que apresetam. É importate, portato, ates de tetar resolver um sistema, saber se ele admite solução. Julgar um sistema liear aigifica classificá-lo de acordo com o úmero de soluções. Quado, em um sistema liear, há um parâmetro real, podem-se discutir os possíveis valores desse parâmetro de modo que o sistema possa ser classificado como possível (determiado ou idetermiado) ou impossível. Um dos métodos existetes, para julgar e discutir um sistema liear, é o Teorema de Rouché-Capelli. Para que possamos etedê-lo, é ecessário cohecermos o coceito de característica de matriz, que, a partir de agora, terá grade importâcia o osso estudo. 4.2 efiição: característica de uma matriz A é o valor da máxima ordem dos determiates ão todos ulos de submatrizes de A, que equivalem a matrizes quadradas extraídas de A, orlado-se lihas e coluas. O Teorema de Kroecker defie característica de matriz da seguite maeira: A característica de uma matriz é o úmero atural p ( p 1) se, e somete se, existir um determiate ( ) ão ulo de uma submatriz de ordem p e p forem ulos todos os determiates de submatrizes de ordem p 1, que podem ser obtidos orlado-se das lihas restates. p com uma das coluas restates e com uma Ex.: Seja A , para se determiar a característica p dessa matriz através do Teorema de Kroecker, têm-se de começar a determiar os valores dos determiates das meores submatrizes. Por exemplo: 1.º) p 1 4

5 Temos, etão, de verificar se há submatrizes de maior ordem que apresetam determiate diferete de zero. Orlado-se a submatriz aterior, ou seja, copiado filas (lihas e coluas) em toro dela, temos: 2.º) p Repetimos o procedimeto para submatrizes de maior ordem º) , e p Obs.: se pelo meos uma submatriz de ordem 3 apresetasse determiate diferete de zero, a característica p seria iscussão de sistemas lieares através do Teorema de Rouché- Capelli. 5.1 Itrodução: a discussão de sistemas lieares sempre gerou certa polêmica etre os estudates, pricipalmete quato aos métodos usados para discutilo. A maioria dos livros-texto brasileiros, ifelizmete, aida propaga a falsa idéia de que a Regra de Cramer é o melhor método de discussão de sistemas lieares. Como já explicamos, tal regra é apeas uma ferrameta de resolução de sistemas ormais, ão tedo a míima razão de ser aplicada a discussão de sistemas lieares quaisquer. Algumas pessoas, etretato, pergutam-me por que essa regra fucioa em muitos casos de discussão. Ora, os casos em que o uso dessa regra forece a resposta correta são justamete aqueles em que tal pseudo-artifício coicide com o Teorema de Rouché-Capelli (que será explicado adiate). Esse uso equivocado da Regra de Cramer também apreseta algumas limitações, visto que só pode ser usada em sistemas que apresetam matriz icompleta quadrada. Um exemplo clássico que comprova a falibilidade do uso de tal regra para discutir sistemas é dado abaixo: 5

6 iscutido-se o sistema teríamos: TutorBrasil.com.br x y z 1 x y z 2, através da Regra de Cramer, x y z x y z Para cada valor das icógitas, teríamos a idetermiação x y z, 0 que iforma que o sistema é possível e idetermiado e, portato, apreseta ifiitas soluções. Essa coclusão é, etretato, absurda, visto que, obviamete, ão há três úmeros reais x, y e z cuja soma seja 1, 2 e 3 ao mesmo tempo. Está claro que o sistema liear apresetado é impossível, fato que seria cofirmado se o discutíssemos através do Teorema de Rouché- Capelli. 5.2 efiição: o Teorema de Rouché-Capelli exige do estudate o cohecimeto de característica de matriz e do Teorema de Kroecker, assutos já explicados. Cosideremos o sistema liear S abaixo: a11 x1 a12 x2 a13 x3... a x b1 a21x1 a22 x2 a23x3... a2 x b2 a x a x a x... a x b m1 1 m2 2 m3 3 m m O sistema apreseta m equações e icógitas. Seja p a característica da matriz icompleta ( MI ), e q, a característica da matriz completa ( MC ), o Teorema de Rouché-Capelli afirma as seguites equivalêcias: p q S é impossível. p q S é possível e idetermiado. p q S é possível e determiado. Ex 1.: comprovaremos, através do teorema apresetado, que o sistema 6

7 x y z 1 x y z 2 x y z 3 é impossível. TutorBrasil.com.br É bem claro perceber que a característica da matriz icompleta ( p ) é igual a 1; a característica da matriz completa ( q ) é, etretato, igual a 2, visto que essa matriz apreseta pelo meos uma submatriz de ordem 2 cujo determiate é diferete de zero. Por exemplo, há esse determiate Como p q, o sistema é impossível. Ex 2.: (FATEC) Os úmeros reais a e b toram o sistema 2x 2y z 2 2x ay 4z 12 idetermiado em. Etão: 3x 3y 2z b a) a b 4 b) a b 4 c) a b 18 d) a b 18 e) a b 0 Resolução: para que o sistema seja possível e idetermiado, segudo Rouché-Capelli, tem-se que p q 3, sabedo que há três icógitas. É ecessário que todas as submatrizes de ordem 3 apresetem, obviamete, determiate ulo. Etão: a e a b Portato, a 2 e b 2. Logo, a b Outros métodos de resolução de sistemas lieares. 6.1 Itrodução: a rigor, só podemos resolver sistemas possíveis e determiados. Obviamete, ates de resolvermos um dado sistema liear, é ecessário 7

8 sabermos se ele apreseta uma úica solução (SLP). Para tato, podemos fazer a verificação através do Teorema de Rouché-Capelli. Se o sistema for ormal, poderemos resolvê-lo, como já foi dito, através da Regra de Cramer. A resolução por esse método, às vezes, pode ser bastate casativa, pricipalmete os casos em que a matriz icompleta possui ordem maior que três, visto que teríamos de calcular, o míimo, cico determiates de 4.ª ordem e outros determiates meores. Em tais casos, é mais cofortável e rápido utilizarmos o método do escaloameto, que traz cosigo algumas propriedades matriciais que são aplicadas à resolução de sistemas e já devem ser cohecidas pelo leitor. É também possível resolvermos sistemas lieares idetermiados, tedo em mete que teremos de expressar a solução do sistema em fução de um ou mais parâmetros reais, que equivalem a algumas das icógitas, escolhidas arbitrariamete. 6.2 Resolução de sistema liear possível e determiado ( p q ) Se o sistema for ormal: Pode-se utilizar, ormalmete, a Regra de Cramer ou outro método qualquer Se o sistema ão for ormal: Se o sistema apresetar úmero de icógitas ( ) meor que o úmero de equações ( m ), devemos abadoar m equações apropriadas de modo a obtermos um ovo sistema, que será ormal. A partir de etão, podemos aplicar a Regra de Cramer ou outro método mais coveiete. 6.3 Resolução de sistema liear possível e idetermiado ( p q ). Para obtermos as ifiitas soluções de um sistema idetermiado, devemos cosiderar algumas icógitas como parâmetros reais e forecer a solução geral do sistema em fução destes. O úmero de icógitas que passarão aos segudos membros das equações lieares é determiado pelo grau de idetermiação, que equivale a p, a difereça etre o úmero de icógitas e a característica da matriz icompleta. 6.4 Escaloameto Sistemas equivaletes são aqueles que possuem o mesmo cojuto- 8

9 solução. Pode-se obter, a partir de um dado sistema liear, um equivalete mais simples, se: a) permutarmos duas equações. b) multiplicarmos qualquer uma das equações lieares por um úmero real ão ulo. c) multiplicarmos uma das equações lieares por um úmero real ão ulo e adicioarmo-lo à outra equação (extesão do Teorema de Jacobi, visto que, expressado o sistema liear através de uma equação matricial, podemos realizar combiações lieares das filas paralelas sem alterarmos o determiate do sistema e, obviamete, a êupla ordeada tida como solução) Sistema escaloado é todo sistema da forma: a11 x1 a12 x2 a13 x3... a1 x b1 a22 x2 a23 x3... a2 x b2 a33 x3... a3 x b3 a x b a) A resolução de um sistema escaloado se dá, facilmete, por substituição, através da última equação liear. b) Todo sistema escaloado pode ser facilmete discutido por meio da sua última equação liear ( a x b ). c) Podemos obter um sistema escaloado a partir das trasformações descritas o item 6.4.1, de modo a obtermos sucessivos sistemas equivaletes mais simples. 7. Sistema homogêeo 7.1 Uma equação liear será homogêea se, e somete se, apresetar o termo idepedete igual a zero ( b 0 ). 7.2 Um sistema liear será homogêeo se, e somete se, apresetar todos os termos idepedetes ulos ( b 1 b 2 b 3... b 0 ), ou seja, se todas as equações lieares que o costituem forem homogêeas. 9

10 7.3 Todo sistema liear homogêeo de icógitas admite como solução a êupla (0,0,0,...,0), que recebe o ome de solução trivial ou imprópria. Quado existem, as demais soluções são chamadas de ão-triviais ou próprias. 7.4 Todo sistema liear homogêeo é possível, visto que a característica da matriz icompleta ( p ) é sempre igual à da matriz completa ( q ). 7.5 Se p, o sistema liear homogêeo admite apeas a solução trivial. 7.6 Se p, o sis tema liear homogêeo é idetermiado, admitido outras soluções, além da trivial. 8. Exercícios Propostos E.P.01) (PUC) Cosidere o seguite sistema de equações de icógitas x e y 6x 2y 4 3x 5y 6. Esse sistema tem uma úica solução para certo úmero real k, que é kx 2y 5 um: a) quadrado perfeito. b) úmero primo. c) úmero racioal ão-iteiro. d) úmero egativo. e) múltiplo de 5. E.P.02) (UFC) Ecotre o úmero real m de modo que as retas x y 8, 2x 3y 6 e 5x my 3 passem por um mesmo poto. E.P.03) (UECE) Em uma grade garagem estão estacioados bicicletas (duas rodas) e automóveis (quatro rodas), totalizado 118 rodas. Se a quatidade de bicicletas é meor do que a quatidade de automóveis e se ambas as quatidades são úmeros primos, etão o úmero de bicicletas a garagem é: a) 7 b) 13 10

11 c) 17 d) 23 TutorBrasil.com.br x1 2x2 2 E.P.04) (Uicamp) Seja dado sistema liear: 2x1 x2 2. x1 x2 2 a) Mostre graficamete que esse sistema ão tem solução. Justifique. b) Para determiar uma solução aproximada de um sistema liear Ax b impossível, utiliza-se o método dos quadrados míimos, que cosiste em resolver o sistema T A Ax T A b. Usado esse método, ecotre uma solução aproximada para o sistema dado acima. Lembre-se de que as lihas de iguais às coluas de M. T M (a trasposta de uma matriz M ) são E.P.05) (FGV-2008) cosidere o sistema liear: 3x 2y 4 4x y 13 x y k de icógitas x e y e parâmetro k. Para que o sistema seja possível e idetermiado, devemos ter: a) k 7 b) k 7 c) k é um úmero real qualquer. d) k 3 e) O sistema uca será possível e idetermiado. E.P.06) (PUC-2008) Uma pessoa tem apeas x moedas de 5 cetavos, y moedas de 10 cetavos e z moedas de 25 cetavos. A equação matricial seguite permite determiar as possíveis quatidades dessas moedas. x y z Com base esses dados, é correto afirmar que: a) há exatamete 7 possibilidades de solução para essa equação. b) ão podem existir dois tipos de moedas distitas em quatidades iguais. 11

12 c) os três tipos de moedas totalizam a quatia de R$ 78,00. d) se o úmero de moedas de 10 cetavos fosse 4, o problema admitiria uma úica solução. e) o úmero de moedas de 25 cetavos deve ser meor do que 5. Gabarito: E.P.01) Letra a E.P.04) E.P.02) 27 m 2 E.P.05) Gráfico; Letra e E.P.03) Letra b E.P.06) Letra a 4 4 ; 3 3 Gráfico: 12