PG Progressão Geométrica

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1 PG Progressão Geométrica 1. (Uel 014) Amalio Shchams é o ome cietífico de uma espécie rara de plata, típica do oroeste do cotiete africao. O caule dessa plata é composto por colmos, cujas características são semelhates ao caule da caa-de-açúcar. Curiosamete, seu caule é composto por colmos claros e escuros, itercalados. À medida que a plata cresce e se desevolve, a quatidade de colmos claros e escuros aumeta, obedecedo a um determiado padrão de desevolvimeto que dura, geralmete, 8 meses. * No fial da primeira etapa, a plata apreseta um colmo claro. * Durate a seguda etapa, desevolve-se um colmo escuro o meio do colmo claro, de modo que, ao fial da seguda etapa, o caule apreseta um colmo escuro e dois colmos claros. * Na terceira etapa, o processo se repete, ou seja, um colmo escuro se desevolve em cada colmo claro, como ilustra o esquema a seguir. 1ª Etapa ª Etapa ª Etapa 4ª Etapa 1 colmo claro. 1 colmo escuro e colmos claros. colmos escuros e 4 colmos claros. 7 colmos escuros e 8 colmos claros. E assim sucessivamete. a) Represete algebricamete a lei de formação de uma fução que expresse a quatidade total de colmos dessa plata ao fial de etapas. Apresete os cálculos realizados a resolução desse item. b) Ao fial de 15 etapas, quais serão as quatidades de colmos claros e escuros dessa plata? Apresete os cálculos realizados a resolução desse item. Págia 1 de 14

2 . (Uel 014) João publicou a Iteret um vídeo muito egraçado que fez com sua filha caçula. Ele observou e registrou a quatidade de visualizações do vídeo em cada dia, de acordo com o seguite quadro. Quatidade de visualizações Dias do vídeo em cada dia 1 7x 1x 6x Na tetativa de testar os cohecimetos matemáticos de seu filho mais velho, João o desafiou a descobrir qual era a quatidade x, expressa o quadro, para que a quatidade total de visualizações ao fial dos 5 primeiros dias fosse a) Sabedo que o filho de João resolveu corretamete o desafio, qual resposta ele deve forecer ao pai para iformar a quatidade exata de visualizações represetada pela icógita x? Apresete os cálculos realizados a resolução deste item. b) Nos demais dias, a quatidade de visualizações cotiuou aumetado, seguido o mesmo padrão dos primeiros dias. Em um úico dia houve exatamete visualizações registradas desse vídeo. Que dia foi este? Apresete os cálculos realizados a resolução deste item.. (Ufg 01) A figura a seguir ilustra as três primeiras etapas da divisão de um quadrado de lado L em quadrados meores, com um círculo iscrito em cada um deles. Sabedo-se que o úmero de círculos em cada etapa cresce expoecialmete, determie: a) a área de cada círculo iscrito a -ésima etapa dessa divisão; b) a soma das áreas dos círculos iscritos a -ésima etapa dessa divisão. Págia de 14

3 4. (Espcex (Ama) 01) Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhates ao objeto origial. Em muitos casos, um fractal é gerado pela repetição idefiida de um padrão. A figura abaixo segue esse pricípio. Para costruí-la, iicia-se com uma faixa de comprimeto m a primeira liha. Para obter a seguda liha, uma faixa de comprimeto m é dividida em três partes cogruetes, suprimido-se a parte do meio. Procede-se de maeira aáloga para a obteção das demais lihas, coforme idicado a figura. Se, partido de uma faixa de comprimeto m, esse procedimeto for efetuado ifiitas vezes, a soma das medidas dos comprimetos de todas as faixas é a) m b) 4m c) 5m d) 6m e) 7m 5. (Ufrgs 01) A sequêcia represetada, a figura abaixo, é formada por ifiitos triâgulos equiláteros. O lado do primeiro triâgulo mede 1, e a medida do lado de cada um dos outros triâgulos é da medida do lado do triâgulo imediatamete aterior. A soma dos perímetros dos triâgulos dessa sequêcia ifiita é a) 9. b) 1. c) 15. d) 18. e) (Pucrj 01) A sequêcia (, x, y, 8) represeta uma progressão geométrica. O produto xy vale: a) 8 b) 10 c) 1 d) 14 e) 16 Págia de 14

4 7. (Espm 01) Um empréstimo de R$ ,00 foi pago em 5 parcelas mesais, sedo a primeira, de R$.000,00, efetuada 0 dias após e as demais com um acréscimo de 10% em relação à aterior. Pode-se cocluir que a taxa mesal de juros simples ocorrida essa trasação foi de aproximadamete: a),78% b) 5,4% c),8% d) 6,65% e) 4,4% 8. (Espm 01) Para que a sequêcia ( 9, 5, ) se trasforme uma progressão geométrica, devemos somar a cada um dos seus termos um certo úmero. Esse úmero é: a) par b) quadrado perfeito c) primo d) maior que 15 e) ão iteiro 9. (Ufsm 01) No Brasil, falar em reciclagem implica citar os catadores de materiais e suas cooperativas. Visado a agilizar o trabalho de separação dos materiais, uma cooperativa decide ivestir a compra de equipametos. Para obter o capital ecessário para a compra, são depositados, o primeiro dia de cada mês, R$600,00 em uma aplicação fiaceira que rede juros compostos de 0,6% ao mês. A expressão que represeta o saldo, essa aplicação, ao fial de meses, é a) b) c) , , , ,06 1. d) , e) 10. (Fgv 01) Uma mercadoria é vedida com etrada de R$500,00 mais parcelas fixas mesais de R$576,00. Sabedo-se que as parcelas embutem uma taxa de juros compostos de 0% ao mês, o preço à vista dessa mercadoria, em reais, é igual a a) 1.80,00. b) 1.90,00. c) 1.40,00. d) 1.440,00. e) 1.460,00. Págia 4 de 14

5 11. (Uesp 01) Uma partícula em movimeto descreve sua trajetória sobre semicircuferêcias traçadas a partir de um poto deslocameto sempre o setido horário. A figura mostra a trajetória da partícula, até o poto Na figura, são os cetros das três primeiras semicircuferêcias P, em r. traçadas e R, R, R 4 O, O 1 e O seus respectivos raios. P, localizado em uma reta horizotal r, com 0 A trajetória resultate do movimeto da partícula será obtida repetido-se esse comportameto idefiidamete, sedo o cetro e o raio da -ésima semicircuferêcia dados por R R, respectivamete, até o poto P, também em r. O e Nessas codições, o comprimeto da trajetória descrita pela partícula, em fução do raio R, quado teder ao ifiito, será igual a a) b) c) d) π R. π R. π R. 7 π R. 4 e) R. π 1. (Ufsj 01) Sabedo que a soma do º, º e 4º termos de uma progressão geométrica (PG) é igual a 140 e que a soma dos 8º, 9º e 10º termos é 8960, é CORRETO afirmar que a) a razão dessa PG é 10. b) seu primeiro termo é 14. c) a razão dessa PG é. d) o quito termo dessa PG é (Epcar (Afa) 01) A sequêcia 8 x, 6, y, y é tal, que os três primeiros termos formam uma progressão aritmética, e os três últimos formam uma progressão geométrica. Sedo essa sequêcia crescete, a soma de seus termos é a) b) c) d) Págia 5 de 14

6 14. (Uepb 01) Sedo valor de para o qual a) b) c) 4 d) 5 e) S, 9 4 S 9 é: ode é um úmero atural ão ulo, o meor 15. (Uepb 01) Na figura abaixo, temos parte do gráfico da fução sequêcia ifiita de retâgulos associados a esse gráfico. x f(x) e uma A soma das áreas de todos os retâgulos desta sequêcia ifiita em uidade de área é a) b) 1 c) 1 d) e) (Ufrgs 01) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e os triâgulos sombreados são triâgulos semelhates tais que as alturas correspodetes formam uma progressão geométrica de razão 1. Se o perímetro do triâgulo ABC é 1, a soma dos perímetros dos quatro triâgulos sombreados é a) 9. 8 b) c) 1. 8 d) e) Págia 6 de 14

7 17. (Ime 01) O segudo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de uma Progressão Aritmética (PA) de úmeros iteiros, de razão r, formam, esta ordem, uma Progressão Geométrica (PG), de razão q, com q e (atural diferete de zero). Determie: a) o meor valor possível para a razão r; b) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a codição do item a. r 18. (Uesp 01) O artigo Uma estrada, muitas florestas relata parte do trabalho de reflorestameto ecessário após a costrução do trecho sul do Rodoael da cidade de São Paulo. O egeheiro agrôomo Mayco de Oliveira mostra uma das árvores, um fumo-bravo, que ele e sua equipe plataram em ovembro de 009. Nesse tempo, a árvore cresceu está com quase,5 metros, floresceu, frutificou e laçou semetes que germiaram e formaram descedetes [...] perto da árvore pricipal. O fumo-bravo [...] é uma espécie de árvore pioeira, que cresce rapidamete, fazedo sombra para as espécies de árvores de crescimeto mais leto, mas de vida mais loga. (Pesquisa FAPESP, jaeiro de 01. Adaptado.) Cosiderado que a referida árvore foi platada em 1º de ovembro de 009 com uma altura de 1 dm e que em 1 de outubro de 011 sua altura era de,5 m e admitido aida que suas alturas, ao fial de cada ao de platio, esta fase de crescimeto, formem uma progressão geométrica, a razão deste crescimeto, o período de dois aos, foi de a) 0,5. b) /. c) 5. d) /. e) (Uespi 01) Em outubro de 011, o preço do dólar aumetou 18%. Se admitirmos o mesmo aumeto, mesal e cumulativo, os meses subsequetes, em quatos meses, a partir de outubro, o preço do dólar ficará multiplicado por doze? Dado: use a aproximação ,18. a) 1 b) 1 c) 14 d) 15 e) 16 Págia 7 de 14

8 0. (Ulbra 01) Carlos aplicou R$ 500,00 um baco a uma taxa de juros compostos de 0% ao ao. Sabedo que a fórmula de cálculo do motate é M = C(1+i), ode M é o motate, i a taxa de juros, C o valor da aplicação e o período da aplicação, qual o tempo ecessário aproximado para que o motate da aplicação seja R$ 8.000,00? Dados: log = 0,01 e log 1 = 1,079 a) 0 meses e 14 dias. b) 1 aos, 6 meses e 10 dias. c) 15 aos, meses e 7 dias. d) 15 aos e 10 dias. e) 1 aos. Págia 8 de 14

9 Gabarito: Resposta da questão 1: a) Sejam e c escuros ao fial de c e 1, e, respectivamete, o úmero de colmos claros e o úmero de colmos para. etapas, é dada por etapas. Tem-se que e1 0 e 1 e, para ; c1 1 Portato, a quatidade total de colmos dessa plata, ao fial de c e 1. e b) Após 15 etapas, o úmero de colmos escuros é igual a colmos claros é , e o úmero de Resposta da questão : a) Como 6x 1x, 1x 7x segue-se que a quatidade de visualizações diárias do vídeo cresce segudo uma progressão geométrica de razão. Logo, para que a quatidade total de visualizações ao fial dos 5 primeiros dias seja 1705, deve-se ter x 1705 x 1 11 x 15. b) O úmero de visualizações o dia tal que é dado por Portato, o resultado pedido é , isto é, o décimo dia houve exatamete visualizações do vídeo. Resposta da questão : a) L A1 π L A π 4 L A π 8 L A π b) Na primeira etapa temos 1 círculo (4 0 ). Na seguda etapa temos 4 círculos (4 1 ). Na terceira etapa temos 16 círculos (4 ). Logo, a etapa termos 1 4 círculos. Portato, a soma das áreas de todos os círculos da etapa será dada por: Págia 9 de 14

10 1 L πl 4 π 4 Resposta da questão 4: [A] Os comprimetos das faixas costituem uma progressão geométrica ifiita, sedo a1 primeiro termo q a razão. Portato, a soma dos comprimetos de todas as faixas é dada por m lim S m. 1 x m o Resposta da questão 5: [A] A soma pedida é igual a Resposta da questão 6: [E] Sabedo que o produto de termos equidistates dos extremos é igual a uma costate, temos que x y Resposta da questão 7: [E] Como as parcelas crescem segudo uma progressão geométrica de razão 1,1 e primeiro termo igual a 000, segue que o motate pago foi de 5 (1,1) ,1051 1,1 1 R$ 1.10,0. Logo, os juros cobrados correspodem a 110, R$.10,0 juros simples a trasação é igual a e, portato, a taxa de 10, 100% 4,4% Págia 10 de 14

11 Resposta da questão 8: [C] Seja x o úmero procurado. Temos ( 5 x) ( 9 x) ( x) 5 10x x 7 6x x x 1, ou seja, um primo ímpar meor do que 15. Resposta da questão 9: [A] A expressão que forece o saldo ao fial de meses é 1, , , , ,006 1, , ,6 0, [(1,006) 1]. Resposta da questão 10: [A] O preço à vista da mercadoria é igual a , (1,) R$ 1.80,00. Resposta da questão 11: [E] Seja C o comprimeto da trajetória. Temos R R R C π R π π π, 4 que correspode à soma dos termos de uma progressão geométrica ifiita. Portato, π R lim C π R Págia 11 de 14

12 Resposta da questão 1: [C] a a a4 140 a (1 q q ) 140, a 8 a9 a a 8(1 q q ) 8960 ode q é a razão da P.G. Dividido a seguda equação pela primeira, temos: 6 q 64 q. Resposta da questão 1: [C] P.A. (x, 6, y) x + y = 6 x = 1 y P.G. (6, y, y + 8/) y 6y 16 = 0 y = 8 ou y = y = 8 x = 4 y = x = 14 (ão covém, pois a sequêcia é crescete). Portato, a soma dos elemetos da sequêcia será: / = 86/. Resposta da questão 14: [A] Como S é a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 1, e razão também igual a 1, temos S Portato, S , isto é, o meor valor atural de para o qual 4 S é. 9 Págia 1 de 14

13 Resposta da questão 15: [D] Como a medida da base de cada um dos retâgulos é igual a 1, segue-se que a soma pedida é dada por f(1) f() f() 1. Resposta da questão 16: [D] Perímetro (01) L L L 1 L L L 1 Perímetro (0) L L L 1 Perímetro (0) 4 4 L L L 1 Perímetro (04) Logo, P(01)+P(0)+P(0)+P(04) = Resposta da questão 17: a 7 7 x a x 5 r a x 5 r a) cosiderado a sequêcia (a, a 7, a 7 ) como P.G., temos: x x 5.r x.(x 5.r) 5r 15r 0 r 0 ou r = 5. Admitido x r = 5 e que a P.A. possui elemetos iteiros, o valor míimo possível para x é 5. Portato, r =. b) a 18 = a + 16.r = = 5 Págia 1 de 14

14 Resposta da questão 18: [C] 009 : 1 dm 010: 011:,5 cm = 5 dm Temos etão uma P.G. de três termos, determiado sua razão, temos: 5 = 1 5 = q q = 5 q = 5. q -1 Portato, a razão de crescimeto aual o período de aos foi 5. Resposta da questão 19: [D] Seja p o preço do dólar, em outubro de 011, ates do aumeto. Queremos calcular após quatos meses o preço do dólar será 1p. Como o preço do dólar meses após outubro é dado por p (1,18), temos que p (1,18) 1p (1,18) 1 15 (1,18) 1, Resposta da questão 0: [C] O tempo ecessário aproximado para que o motate da aplicação seja R$ 8.000, (1 0,) 16 1, log log 10 4 log (log1 log10) 4 0,01 (1,079 1) 1,04 0,079 15,4 aos. Efetuado as coversões idicadas, obtemos: 15 a 0,4 1 m 15 a,88 m 15 a m 0,88 0 d 15 a m 6,4 d. é tal que Págia 14 de 14