Sequências, PA e PG material teórico

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1 Sequêcias, PA e PG material teórico 1 SEQUÊNCIA ou SUCESSÃO: é todo cojuto ode cosideramos os seus elemetos colocados, ou dispostos, uma certa ordem. Cosiderado a sequêcia (; 3; 5; 7;...), dizemos que: a 1 = (primeiro termo) a = 3 (segudo termo) a 3 = 5 (terceiro termo) Dessa forma temos uma sequêcia (a 1, a, a 3,... a ), ode a é chamado de eésimo termo. LEI DE FORMAÇÃO ou LEI DE RECORRÊNCIA: é uma regra pela qual podemos calcular qualquer termo de uma sequêcia, em fução de termos ateriores. Por exemplo: 1) Escrever a sequêcia em que a = 3 e {1; ; 3} Para = 1, temos: a 1 = 3 1 = 3 Para =, temos: a = 3 = 6 Para = 3, temos: a 3 = 3 3 = 9 Etão, temos a sequêcia fiita: (3; 6; 9) ) Dar a sequêcia ode a = 1 e N*, ou seja, {1; ; 3; 4; 5;...} Para = 1, temos: a 1 = 1 1 = 1 Para =, temos: a = 1 = 3 Para = 3, temos: a 3 = 3 1 = 5 Ode, temos a sequêcia ifiita: (1; 3; 5; 7;...) 3) Na sequêcia (a1, a, a3,... ai), ode ai = i 3 e i N*, calcule os termos a18 e a100. a 18 = 18 3 = 33 a18 = 33 a 100 = = 197 a100 = 197 4) Na sequêcia f = (a) tal que a1 = 5 e a + 1 = a + 3 para todo N*, obteha os quatro primeiros termos. A lei de formação a 1 = 5 e a + 1 = a + 3, forece o 1º termo e aida forece cada termo em fução do termo aterior. Tal lei de formação chamaremos de lei de recorrêcia. Dessa forma: Para = 1 temos a = a = a = 8 Para = temos a + 1 = a + 3 = a 3 = 11 Para = 3 temos a = a = a 4 = 14 Portato, a sequêcia em questão é: (5; 8; 11; 14;...) 5) Achar uma fórmula que foreça o termo geral da sequêcia ( 1 ; 3 ; 3 4 ; 4 5 ; ) Observado-se que: a 1 = 1 = a = 3 = +1 a 3 = 3 4 = Cocluímos que: a = 6) Obter uma lei de recorrêcia que foreça os termos da seguite sequêcia (1; 3; 7; 15; 31;...) a 1 = 1 a = =. a a 3 = =. a + 1 a 4 = =. a a 5 = =. a Logo: a1 = 1 e a + 1 =. a + 1 7) (MODELO ENEM) Os coelhos se reproduzem mais rapidamete que a maioria dos mamíferos. Cosidere uma colôia de coelhos que se iicia com um úico casal de coelhos adultos e deote +1

2 Sequêcias, PA e PG material teórico por a o úmero de casais adultos desta colôia ao fial de meses. Se a1 = 1, a = 1 e, para, a + 1 = a + a 1, o úmero de casais de coelhos adultos a colôia ao fial do quito mês será: De acordo com o euciado, temos a 1 = 1 a = 1 a 3 = a + a 1 = = a 4 = a 3 + a = + 1 = 3 a 5 = a 4 + a 3 = 3 + = 5 Portato o úmero de casais de coelhos adultos a colôia ao fial do quito mês será 5. Curiosidade: A sequêcia (1; 1; ; 3; 5; 8; 13; 1; 34; 55;89; 144; 33; 377; 610; 987; 1597; 584;...) é cohecida como Sequêcia de Fiboacci, a qual, cada termo subsequete (úmero de Fiboacci) a partir do 3º, correspode a soma dos dois ateriores. Nessa sequêcia, se dividirmos cada termo a partir do 1, pelo seu atecessor, obtemos quocietes próximos do úmero 1,618, cohecido como Número de Ouro. A sequêcia recebeu o ome do matemático italiao Leoardo de Pisa, mais cohecido por Fiboacci (cotração do italiao filius Boacci), que descreveu, o ao de 10, o crescimeto de uma população de coelhos, a partir desta. Em termos matemáticos, a sequêcia é defiida recursivamete pela fórmula dada o exercício acima. A sequêcia de Fiboacci tem aplicações a aálise de mercados fiaceiros, a ciêcia da computação e a teoria dos jogos. Também aparece em cofigurações biológicas, como, por exemplo, a disposição dos galhos das árvores ou das folhas em uma haste, o arrajo do coe da alcachofra, do abacaxi, ou o deserolar da samambaia. 8) A lei de formação de uma sequêcia é a = + 5, N*. Verifique se o úmero 47 pertece a essa sequêcia. Nesse caso, a = 47, assim: 47 = + 5 =1 Como 1 N*, podemos afirmar que 47 pertece a sequêcia e é o seu 1º termo (a 1). 9) (SEPEB) Cosiderado o cojuto de potos a seguir: Pode-se dizer que é uma sequêcia umérica cuja lei de formação correspodete é: Observa-se que: a 1 = 1 a = 1 + = 3 a 3 = = 6 a 4 = = 10 a 5 = = 15 Portato, a = = (1+) a = (1+) Curiosidade: Os úmeros da sequêcia (1; 3; 6; 10; 15; 1; 8;...) são cohecidos por úmeros triagulares, pois sempre podem ser dispostos de modo a formar um triâgulo. Podemos também escrevê-los através da série recursiva a1 = 1 e a = a-1 +.

3 Sequêcias, PA e PG material teórico 3 10) Como vimos acima, Números triagulares são úmeros que podem ser represetados por potos arrajados a forma de triâgulos equiláteros. E coveiete defiir 1 como o primeiro úmero triagular. Apresetamos a seguir os primeiros úmeros triagulares. Se T represeta o -ésimo úmero triagular, etão T1 = 1, T = 3, T3 = 6, T4 = 10, e assim por diate. O valor de T100 é igual a: Usado a fórmula de recorrêcia do exemplo aterior, temos que T100 é igual a 5050 Curiosidade: Também existem os úmeros quadrados perfeitos (1; 4; 9; 16; 5;...), esses úmeros são chamados assim, pois tem raiz quadrada exata, além disso os potos sempre podem ser dispostos de modo a formar um quadrado. Essa sequêcia pode ser obtida pela fórmula recursiva a = + Somatório: Na sequêcia (a 1, a, a 3, a 4,, a ), idica-se a soma dos seus elemetos por: Ou seja, ai ai = a 1 + a + + a é a letra grega sigma (maiúsculo) e lemos: somatório dos a i termos, com i variado de 1 até. Exemplos: 1) Desevolva e calcule a soma represetada abaixo: 4 3i 4 3i = i =

4 Sequêcias, PA e PG material teórico 4 3i = 30 4 ) Dê a otação da soma: 1² + ² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² + 9² + 10². Existe uma forma abreviada de represetar esta soma, recorredo a um símbolo, que desigamos por somatório. Assim a soma aterior, é represetada simplesmete por: 10 i Que sigifica, somatório de 1 até 10, de i². A letra i é o ídice da soma (ou do somatório) e pode ser substituída por qualquer outra (que ão iterveha a soma), como por exemplo: j, k, l, m,, p, etc. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA): é um caso especial de sequêcia, pois os seus termos são dispostos de tal forma que a difereça etre cada termo e o seu atecessor é sempre igual. Cosidere a sequêcias umérica (, 4, 6, 8, 10, 1). Veja que a partir do º termo a difereça etre cada termo e o seu atecessor, é costate: a - a 1 = 4 = a 3 - a = 6-4 = a 5 - a 4 = 10-8 = a 6 - a 5 = 1-10 = Quado observamos que essas difereças etre cada termo e o seu atecessor, é costate, damos o ome de progressão aritmética (P.A.). A costate damos o ome de razão (r). Quado r = 0, a P.A. é costate; r > 0 a P.A. é crescete e, r < 0 a P.A. é decrescete. Ou seja, chama-se de Progressão Aritmética (P.A.), toda sucessão de úmeros que, a partir do segudo, a difereça etre cada termo e o seu atecessor é costate. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.: Na sequêcia (a 1, a, a 3, a 4,, a ) de razão r, podemos escrever: a = a 1 + r a3 = a + r = a1 + r a4 = a 3 + r = a1 + 3r a = a1 + ( 1) r Podemos dizer aida que: Exemplos: a7 = a1 + 6r a9 = a5 + 4r a = a5 + ( 5) r 1) Calcular o trigésimo segudo termo da P.A. (1, 4, 7, 10,...). Temos que a 1 = 1, r = 3 e = 3, Logo: a = a 1 + ( 1)r a 3 = 1 + (3 1). 3 a 3 = a3 = 94 ) Completar a PA (...; 13;...;...;...; 41;...) Temos que a = 13 e a 6 = 41, Logo: a = a 1 + ( 1)r a 6 = a + (6 ). r

5 Sequêcias, PA e PG material teórico 41 = r r = 7, etão temos a 1 = a r a 1 = 6 Logo, (6; 13; 0; 7; 34; 41; 48) 5 3) Na PA ode a1 = 18 e a razão r = -3, que lugar ocupa o elemeto -54? Temos que a 1 = 18, r = -3 e a = -54, Logo: a = a 1 + ( 1)r -54 = 18 + ( 1). (-3) = 5, ou seja, ocupa o 5º lugar, é o termo a5 4) Os lados de um triâgulo retâgulo formam uma P.A. de razão. A área desse triâgulo em uidades de área é: Pelo Teorema de Pitágoras: (a+ 4)² = (a + )² + a² - a² + 4a + 1 = 0 = 64 a = - (ão serve) a = 6 5) (MODELO ENEM) Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao fial de um miuto do iício das observações, existia 1 elemeto a população; ao fial de dois miutos, existiam 5, e assim por diate. A seguite sequêcia de figuras apreseta as populações do vírus (represetado por um círculo) ao fial de cada um dos quatro primeiros miutos. Supodo que se mateve costate o ritmo de desevolvimeto da população, o úmero de vírus o fial de 1 hora era de: Ao fial de cada miuto o úmero de vírus existetes a população é termo da sequêcia (1;5;9;13; ), que é uma progressão aritmética de razão 4. Ao fial de 1 hora, o úmero de vírus existetes era de a 60 = a1 + (60 1). r = = 37 6) Costrua uma PA, iserido 4 meios aritméticos etre 3 e 38. 3,,,,,38 a 1 = 3; a = 38; = 6; r =? a = a 1 + ( 1)r => r = 7. Logo, PA (3, 10, 17, 4,31,38). PROPRIEDADE DE TRÊS TERMOS CONSECUTIVOS DE UMA P.A.: Cada termo, a partir do segudo, é a média aritmética dos termos atecessor e sucessor. Em outras palavras, sedo uma P.A. (a, b, c,...), temos: Exemplos: b = a + c

6 Sequêcias, PA e PG material teórico 6 1) Calcule x para que a sequêcia (...; x ; 5; x + 1;...) seja, essa ordem, uma P.A. 5 = (x ) + (x + 1) x = 11 3 ) Calcule o décimo termo da progressão aritmética (4; x; 10;...). x = x = 7 Logo, r = 3 e a10 = 31 PROPRIEDADE DOS TERMOS EQUIDISTANTES DE UMA P.A.: A soma de dois termos equidistates dos extremos de uma P.A. fiita é igual à soma dos extremos. Dessa forma, a progressão (a1, a, a3,, a9, ), temos: a 4 e a 6 equidistam de a 1 e a 9 pois: = a 3 e a 15 equidistam de a 1 e a 17 pois: = Exemplo: 1) Sabedo-se que a soma do terceiro e do décimo oo termo de uma P.A. é igual a 100, determiar o décimo primeiro termo. a 3 e a 19 = a 11 + a 11 a 11 = 100 a11 = 50 SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.: Se S for a soma dos primeiros termos da progressão aritmética (a 1, a, a 3,..., a,...) etão: S = (a 1 + a ) Exemplo: 1) Calcular a soma dos 0 primeiros termos da P.A.(7, 10, 13,...) O vigésimo termo da progressão em que a 1 = 7 e r = 3 é a 0 = 7 + (0 1). 3 = 64 A soma dos vite primeiros termos é S0 = 710, obtido pela fórmula acima. Curiosidade: Existe uma progressão chamada Progressão Harmôica (P.H.): A defiição dela é: seja (a ) uma sequêcia de termos ão ulos. A sequêcia (a ) é uma P.H., se e somete se, a sequêcia ( 1 ) é uma P.A.. Isto é, a sequêcia (a a 1, a, a 3,..., a,...) é uma PH, se e somete se, a sequêcia ( 1 1,, 1, 1,, 1, ) é uma PA. Também existe Progressão Aritmética de ª Ordem: A defiição a 1 a a 3 a 4 a

7 Sequêcias, PA e PG material teórico 7 de progressão aritmética utilizada até agora, é um caso particular chamado progressão aritmética de 1ª ordem, ode a subtração dos termos cosecutivos é costate. No caso da PA de ª ordem a seguda subtração de termos cosecutivos é que será costate. Exemplo: Cosidere a sequêcia (1, 3, 6, 10,...), a 1ª subtração: 3 1 = ; 6 3 = 3; 10 6 = 4,... Observe que as difereças ão são costates, mas os resultados (, 3, 4,...) formam um PA de razão costate igual a 1. Segue abaixo outros exemplos de PA de 1ª e de ª ordem: Efim, a título de curiosidade, existe PA e PG de ordes superiores. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG): é um caso especial de sequêcia, pois os seus termos são dispostos de tal forma que o quociete etre cada termo e o seu atecessor é sempre igual. Esse termo costate é chamado de razão da PG, que é represetado pela letra q, para difereciar da razão r da PA. Etão podemos dizer que Progressão Geométrica PG, é uma sucessão de úmeros ode, a partir do º termo, cada termo é igual ao aterior multiplicado pela razão da PG. O Termo Geral da PG, é dado por: a = a 1 q 1 A Soma dos termos da PG fiita, é dado por uma das fórmulas abaixo: S = a 1 1 q 1 q S = a 1 (q 1) q 1 S = a q a 1 q 1 SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA E DECRESCENTE: a soma dos ifiitos termos de uma P.G. de razão q, com 1 < q < 1, existe e é dado por: S = a 1 1 q A Soma de parcelas sucessivas de uma sequêcia ifiita sem que essa operação termie após um úmero fiito de parcelas, é chamada de série covergete, embora a soma uca chegue exatamete ao valor do resultado, tede a ele.

8 Exemplos: Sequêcias, PA e PG material teórico 8 1) Calcule a soma dos termos da PG (; 1; ½; ¼;...) Aplicado a fórmula acima, temos que S = 4 ) Obteha a fração geratriz da dízima periódica 0, , = 0,4 + 0,04 + 0, A sequêcia (a) = (0,4; 0,04; 0,004;...) é uma P.G. de primeiro termo a 1 = 0,4 e razão q = 0,1 A soma da série gerada por (a) é S = 4/9 PROPRIEDADE DE TRÊS TERMOS CONSECUTIVOS DE UMA P.G.: cada termo de uma P.G., a partir do segudo, é a média geométrica etre o termo atecessor e o sucessor. Ou seja, dado uma P.G. (a, b, c,...), temos: b = a c PROPRIEDADE DOS TERMOS EQUIDISTANTES DE UMA P.G.: o produto de dois termos equidistates dos extremos é igual ao produto dos extremos. Na progressão geométrica (a1, a, a3,...) temos: a 1. a 9 = a. a 8 pois = + 8 a 4. a 6 = a. a 8 pois = + 8 PROPRIEDADE DO PRODUTO DOS TERMOS DE UMA P.G.: se P for o produto dos primeiros termos da P.G. (a 1, a, a 3,..., a,...) etão: P = (a 1 a ) Exemplo: 1) Calcule o produto dos vite primeiros termos da P.G.(1,, 4, 8,...) a 1 = 1 e q = a = a. 1 q -1 a 0 = a. 1 q 0-1 a 0 = a 0 = 19 P = (a 1 a ) P 0 = (a 1 a 0 ) 0 P 0 = (1 19 ) 0 P 0 = ( 19 ) 10 P 0 = 190 E X E R C Í C I O S R E S O L V I D O S 1) O preço de um carro é de R$ ,00 e dimiui de R$1 000,00 a cada ao de uso. Qual será o preço com 4 aos de uso? Chamado o preço com aos de uso de a, temos a0 = e queremos calcular a4. Como a desvalorização aual é costate, (a) é uma PA. Logo, a4 = a0 + 4r = (-1000) = 11000, ou seja, o preço será de R$11 000,00. ) O cometa Halley visita a Terra a cada 76 aos. Sua última passagem por aqui foi em Quatas vezes ele visitou a Terra desde o ascimeto de Cristo? Em que ao foi sua primeira passagem a era cristã?

9 Sequêcias, PA e PG material teórico 9 Os aos de passagem do cometa foram 1986, 1910, 1834,... e formam uma progressão aritmética de razão r = -76. O termo de ordem dessa progressão é a = a1 + ( - 1)r a = = ( - 1) (-76) a = a = Como a > 0 (era cristã), e a = 06 76, substituido temos: a > > 0 < 7,13, logo o cometa visitou a Terra a era cristã, 7 vezes. a7 = a1 + (7-1)r a7 = a1 + 6r a7 = (-76) a7 = 10, sua primeira passagem pela Terra a era cristão, foi o ao 10. 3) Uma vitória régia ecotra-se em um taque de água. Sabedo que ela dobra de área a cada dia e que o fial do vigésimo dia, ocupa toda a superfície do taque em qual dia ela ocupará a metade da superfície do taque? Qual o tamaho origial da vitória régia o mometo em que ela foi itroduzida o taque de água? O primeiro passo é pesar ituitivamete para ver como é fácil eteder a Matemática. Aalisadose de trás para frete. Uma vitória régia ocupa toda a superfície do taque em 0 dias, mas se ela duplica de tamaho a cada dia, etão, o 19º dia ela terá preechido metade do taque e quado passar mais um dia ela se duplicará e preecherá o taque todo. Logo, ela ocupará metade da superfície do taque o 19º dia. Quato a ª perguta, temos que a razão da PG é q =, a = x e = 0, logo a 1 = ( x ) 19 Ou seja, quado a vitória régia foi posta o taque ela tiha o tamaho do taque dividido por que represeta a potêcia de base e expoete 19. Percebe-se que ela era miúscula, vezes meor que a superfície do taque. Se quisermos tirar a prova real da resposta da perguta 1, podemos ovamete usar o termo geral da PG, ode, a = ( x ), a 1 = ( x )19 e q =, obtedo = 19 dias. 4) (UERJ) João propôs a seu filho Pedro que, a partir do primeiro dia daquele mês, lhe daria diárias da seguite maeira: R$100,00 o primeiro dia, R$110,00 o segudo, R$10,00 o terceiro e assim por diate, ou seja, aumetado R$10,00 a cada dia. Pedro pesou e fez uma cotraproposta a seu pai: receberia R$,00 o primeiro dia, R$4,00 o segudo, R$8,00 o terceiro e assim sucessivamete, ou seja, a cada dia a quatia seria o dobro da recebida o dia aterior. João aceitou a proposta, pesado ser vatajosa. No etato, a realidade, tal fato ão ocorreu. Realizados os cálculos ecessários, pode-se afirmar que Pedro acumulou um total superior ao total que teria recebido, até etão, pela proposta de seu pai, a partir do seguite dia: a) sexto b) oitavo c) décimo d) décimo segudo e) décimo quarto A proposta de João idica uma PA de razão 10 e a de Pedro, uma PG de razão. Calculado as somas e comparado, temos: a1 100 i) João : r 10 S(João) a ( 1) ii) Pedro : a1 q a S(Pedro) Calculado os valores das somas para = 6, 8, 9 e 10, temos: N Soma (João) Soma (Pedro) 6 5.(6) + 95.(6) = R$750, = 7 = 18 = R$16, (8) + 95.(8) = R$1080, = 9 = 51 = R$510, (9) + 95.(9) = R$160, = 10 = 104 = R$10, (10) + 95.(10) = R$1450, = 11 = 048 = R$046,00 95.

10 Sequêcias, PA e PG material teórico 10 5) (UERJ) Cosidere o úmero irracioal (0, ) ode a parte decimal foi costruída justapodo-se os termos da progressão geométrica (10, 100, 1000,...). A quatidade de algarismos da parte decimal até o milésimo 1 (um) iclusive é: a) b) c) d) e) Solução. O milésimo 1 será ecotrado o milésimo termo da PG: a1 10 q 10 a O úmero de zeros das potêcias de 10 dos termos da progressão (10), (100), (1000),... formam uma PA de razão 1. O último termo possui 1000 zeros. A soma dos termos é: S(zeros) Somado com os s ates dos zeros, teríamos algarismos. Mas como a cotagem é até o milésimo 1, os 1000 zeros após eles ão serão cotados. Logo, há = algarismos 1 s.