11. Para quais valores a desigualdade x + > x (ITA/2012) Sejam r 1. r D e m o n s t r a r q u e s e A, B, C R * + 02.

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1 Matemática Revisão de Álgebra Exercícios de Fixação 0. Ecotre os valores das raízes racioais a, b e c de x + ax + bx + c. 0. Se f(x)f(y) f(xy) = x + y, "x,y R, determie f(x). 0. Ecotre x real satisfazedo x = x. 04. Numa classe com vite aluos, as otas do exame fial podiam variar de 0 a 00 e a ota míima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito aluos foram reprovados. A média aritmética das otas desses oito aluos foi 65, equato que a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal reformulada e decidiu atribuir 5 potos a mais para todos os aluos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8. A) Calcule a média aritmética das otas da classe toda ates da atribuição dos cico potos extras. B) Com a atribuição dos cico potos extras, quatos aluos, iicialmete reprovados, atigiram ota para aprovação? 05. Ecotre todas as soluções reais positivas da equação x x x x + = + 6, ode k deota o maior iteiro meor que ou igual ao úmero real k. Sugestão: aalise o resto da divisão de x por 6). 06. A fução f, defiida sobre o cojuto dos pares ordeados de iteiros positivos, satisfaz as seguites propriedades: f(x, x) = x, f(x, y) = f(y, x) e (x + y) f(x, y) = yf(x, x + y). Calcule f(4, 5). 07. Simplifique a expressão a a a... a, sedo a. 08. A soma dos algarismos de um úmero é. Ivertedo-se a ordem dos algarismos, tem-se um ovo úmero igual a 4 7 do origial. Determie o úmero sabedo que ele tem dois algarismos. 09. Ecotre o meor iteiro positivo que possui as seguites propriedades: I. Em sua represetação, tem 6 como último dígito. II. Se o último dígito (6) é apagado e colocado a frete dos dígitos restates, o úmero resultate é quatro vezes maior que o úmero origial. 0. I. Ache todos os iteiros positivos com dígito iicial 6, tal que o iteiro formado apagado-se este 6 é do iteiro origial. 5 II. Mostre que ão existe iteiro, tal que a retirada do primeiro dígito produz um ovo iteiro que é do iteiro origial. 5. Para quais valores a desigualdade x + > x + é falsa? x x. (ITA/0) Sejam r, r e r úmeros reais tais que r r e r + r + r são racioais. Das afirmações: I. Se r é racioal ou r é racioal, etão r é racioal; II. Se r é racioal, etão r + r é racioal; III. Se r é racioal, etão r e r são racioais, é(são) sempre verdadeira(s): A) apeas I. B) apeas II. C) apeas III. D) apeas I e II. E) I, II e III.. (ITA/0) Seja > 6 um iteiro positivo ão divisível por 6. Se, a divisão de por 6, o quociete é um úmero ímpar, etão o resto da divisão de por 6 é A) B) C) D) 4 E) 5 Exercícios Propostos 0. D e m o s t r a r q u e s e A a = B C b = c, e t ã o o c o r r e Aa + Bb + Cc = ( A + B + C)( a + b + c), sedo a, b, c, A, B, C R * + 0. Mostre que se a b a a = = e p, p, p ão são todos ulos, b b a pa pa pa etão b = + +, para todo iteiro positivo. pb + pb + pb 0. (IME/007) Sejam a, b e c úmeros reais ão ulos. Sabedo que a + b b + c c + a = =, determie o valor umérico de a + b. c a b c 04. Se x é um úmero satisfazedo a equação x + 9 x 9 =, etão x está etre: A) 55 e 65 B) 65 e 75 C) 75 e 85 D) 85 e 95 E) 95 e Cosidere todas as retas que ecotram o gráfico da fução f(x) = x 4 + 7x + x 5 em quatro potos distitos, digamos (x, y ), (x, y ), (x, y ), (x 4, y 4 ). O valor de x + x + x + x 4 é: 4 A) B) 7 8 C) 7 D) idepedete da reta. 06. Qual das seteças seguites ão é verdadeira para a equação ix x + i = 0, sedo i =? A) A soma das raízes é. B) O discrimiate é 9. C) As raízes são imagiárias. D) As raízes podem ser ecotradas usado a fórmula quadrática. E) As raízes podem ser ecotradas por fatoração, usado úmeros imagiários. ITA/IME Pré-Uiversitário

2 07. Se a parábola y = ax + bx + c passa pelos potos (, ), (0, 5) e (, ), etão o valor de a + b + c é: A) 4 B) C) 0 D) E) 08. (IME/007) Sejam x e x as raízes da equação x + (m 5)x + m = 0. Sabedo que x e x são úmeros iteiros, determie o cojuto de valores possíveis para m. 09. Se x = + 996, etão 4x 999x 997 é igual a: C) D) E) 0. (EUA) Para quais valores de K a equação x = K (x )(x ) tem raízes reais? A) Nehum B) < K < C) < K < D) K > ou K < E) Todos. (Romêia/006) Ecotre todos os úmeros reais a e b satisfazedo (a + )(b + ) = (a + )(b + )(ab + ). (Sugestão: Equação do º grau em a).. Supoha que a fução f: R R satisfaz f(xy) = xf(y) + yf(x) para todos x, y e R. Podemos afirmar que: A) f() = 0 B) f() = C) f é uma fução costate D) f(4) = f() se x. Seja f: R* R a fução defiida por f( x) =. Mostre que + x existem úmeros reais b 0, b, b,..., b k,... tais que b π k + f( b = k ) (IME/007) Seja f: N R uma fução tal que f( k) = 008, k= 0 + ode N e o R são, respectivamete, o cojuto dos úmeros aturais e o dos úmeros reais. Determie o valor umérico de f( 006). 5. Seja f: Z Z uma fução satisfazedo f( ) = f( + m) f( m) + m, "m, Z. Etão f(0) pode ser: C) 0 e D) 4 6. Se f(x) = ax c satisfaz 4 f() e f() 5, etão: A) 7 f() 6 B) f() C) 4 f() 5 D) f( ) E) 8 f( ) 7. I. Se é um iteiro positivo tal que + é quadrado perfeito, mostre que + é a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos. II. Se + é um quadrado perfeito, mostre que + é a soma de três quadrados. 8. Supoha que um úmero iteiro é a soma de dois úmeros a + a b + b triagulares = +. Mostre que 4 + pode ser escrito como a soma de dois quadrados em termos de a e b. 9. Ache todos os iteiros positivos x, y tais que: y x(x + )(x + )(x + ) = 0. Para quatos iteiros positivos etre e 00 é possível fatorar x + x como produto de dois fatores lieares com coeficietes iteiros? C) D) 9 E) 0. Defia a operação o por xoy = 4x y + xy, "x, y R. Para quatos úmeros reais y tem-se oy =? C) D) 4 E) mais que 4. (Latvia/997) Quatos dígitos de = são iguais a? 00 A) 997 B) 998 C) 999 D) 000 E) 00. Seja > um iteiro. Prove que o úmero ão é racioal A) Se tg α é um úmero racioal (a kp, k Z), prove que cosa e sea são úmeros racioais. B) Reciprocamete, se cosa e sea são úmeros racioais, prove que tg α é um úmero racioal. 5. Cosidere as afirmativas. I. Etre dois úmeros racioais sempre existe um outro úmero racioal; II. A soma de dois úmeros irracioais é sempre irracioal; III. O produto de dois úmeros irracioais é sempre irracioal; IV. Existe sempre um úmero racioal etre dois úmeros iteiros; V. Existe sempre um úmero iteiro etre dois úmeros racioais. Coclua que: A),, 4 são verdadeiras. B),, são verdadeiras. C) Somete e 4 são verdadeiras. D) Somete e 4 são verdadeiras. E) Somete e 5 são falsas. 6. O úmero de soluções reais da equação: x x + x + x = é: x C) D) E) maior que ITA/IME Pré-Uiversitário

3 7. Sedo x + x + y = 0 e x + y y =, ecotre x + y. A) B) C) 8 D) 5 E) 8. (ITA/007) Sobre a equação a variável real x, x = 0, podemos afirmar que: A) ela ão admite solução real. B) a soma de todas as suas soluções é 6. C) ela admite apeas soluções positivas. D) a soma de todas as soluções é 4. E) ela admite apeas duas soluções reais. 9. Qual é o produto das raízes da equação: x + 8x + 0 = x + 8x + 45? A) 0 B) 0 C) 0 D) Um úmero primo e positivo é formado por algarismos ão ulos. Se, etre esses algarismos, colocarmos um zero, o úmero ficará aumetado em 60 uidades. Dessa forma, a soma desses algarismos pode ser: A) 8 B) 7 C) 6 D) 9 E) 0. (EUA) No sistema de umeração de base 0, o úmero 56 represeta Em Terras Brasilis, etretato, os úmeros são escritos a base r. Welligto compra um automóvel lá por 440 uidades moetárias (abreviada por u.m.). Ele dá ao vededor uma cédula de 000u.m. e recebe de troco 40u.m. A base r é: A) B) 5 C) 7 D) 8 E). (EUA) O úmero 695 é escrito o sistema de umeração de base fatorial, isto é, 695 = a + a! + a! +...+a!, ode a, a,..., a são iteiros tais que 0 a k k, e! represeta ( ) ( ).... Ecotre a 4. C) D) E) 4. (EUA) O úmero b, escrito a base iteira b, é o quadrado de um iteiro para: A) b = 0, apeas B) b = 5 e b = 0, apeas C) b 0 D) b > E) Nehum valor de b 4. Se as igualdades a + b + c = a + b + c = a + b + c = são satisfeitas, etão abc = A) 0 B) 6 C) D) 5. O úmero de aluos prestado vestibular para o ITA era, em um dado ao, um quadrado perfeito. No ao seguite, com um acréscimo de 00 participates, o úmero de aluos passou a ser um quadrado perfeito mais. Um ao depois, com mais um acréscimo de 00 participates, o úmero de aluos passa a ser ovamete um quadrado perfeito. A quatidade iicial de aluos é um múltiplo de: A) B) 7 C) 9 D) E) 7 6. São dados a, b, c. Sabe-se que a + b + c > 0, bc + ca + ab > 0 e abc > 0. Prove que a > 0, b > 0, c > Sejam a, b, c, d reais tais que a + b = c + d =, ac + bd = 0. Calcular ab + cd. ( )( + + ) = 8. Se x e y são reais tais que x + x + y y, prove que x + y = (ITA/007) Sedo c um úmero real a ser determiado, decompoha o poliômio 9x 6x + c uma difereça de dois cubos (x + A) (x + B). Neste caso, a + b c é igual a: A) 04 B) 4 C) 4 D) 4 E) Para x e y úmeros reais distitos, seja M(x, y) o maior úmero etre x e y e seja m(x, y) o meor úmero etre x e y. Se a < b < c < d < e, etão M(M(a, m(b, c)), m(d, m(a, e))) = A) a B) b C) c D) d E) e 4. (EUA) 6 é igual a: A) + 5 B) 4 C) D) E) (EUA) O úmero de soluções distitas da equação: x x + = é: C) D) E) 4 4. (EUA) O úmero de triplas (a, b, c) de iteiros positivos que satisfazem simultaeamete as equações: ab + bc = 44 ac + bc =, é C) D) E) (EUA) Seja S a seguite seteça: Se a soma dos dígitos do úmero iteiro é divisível por 6, etão é divisível por 6. Um valor de que mostra que S é falsa é: A) 0 B) C) 40 D) (EUA) Qual dos seguites úmeros está mais próximo de 65 6? A) 0, B) 0, C) 0,4 D) 0,5 E) 0,6 46. Prove que a fração + 4 é irredutível para todo úmero atural. 4 + ITA/IME Pré-Uiversitário

4 47. O produto A) 5 C) 0 7 E) é igual a: 0 B) D) 48. Seja um iteiro ão egativo. O poliômio T (x) é defiido, para x, por T 0 (x) = e T (x) = cos (arccos x),. Cosidere as afirmações sobre T (x): I. Seu grau é ; II. Seu coeficiete líder é ; III. T 4 (x) = 8x 4 8x +; IV. A soma de seus coeficietes é. Quatas são verdadeiras? C) D) E) O úmero de pares ordeados (x, y) com x, y Z, satisfazedo x xy y = 7 é: C) D) E) maior que 50. Quatos pares de úmeros reais (a, b) existem tais que a fução f(x) = ax + b satisfaz a desigualdade ( f( x)) cos x f( x) < se x, x [ 0, π]? 4 C) D) E) mais que 5. Dada a equação x {x} + x = {x} + 0, sedo x a parte iteira de x e {x} a parte fracioária de x (0 {x} < ): A) mostre que ( x )({x} + ) = 9; B) ecotre todas as soluções dessa equação. 5. Aalise as seteças a seguir: I. Existem exatamete 0 úmeros aturais de 4 dígitos que são cubos perfeitos; II. A soma dos cubos de três úmeros iteiros positivos e cosecutivos é divisível pelo úmero do meio e por 9; III. O cubo de um úmero atural ou é múltiplo de 8 ou deixa resto a divisão por 4; IV. A soma dos quadrados de dois úmeros ímpares cosecutivos é um úmero par ão múltiplo de 4. Quatas são verdadeiras? C) D) E) 4 5. Seja A = um úmero em que o dígito 7 aparece 00 vezes. Determie o quociete e o resto da divisão de A por O cojuto solução da iequação A) (, ) (, ) B) (, ) (, ) C) (, ) (0, ) D) (, ) (, ) E) (, ) (, 0) 4 x x + x x 4 < 0 é: 55. (ITA/008) Dado o cojuto A = { x R / x + x < x }, expresse-o como uião de itervalo da reta real. 56. a x b represeta a operação sobre dois úmeros a e b que selecioa o maior dos dois úmeros, com a x a = a. Além disso, a + b represeta a operação sobre dois úmeros a e b que selecioa o meor dos dois úmeros, com a + a = a. Qual das seguites regras é(são) correta(s)? I. a x b = b x a II. a x (b x c) = (a x b) x c III. a + (b x c) = (a + b) x (a + c) A) I apeas. B) II apeas. C) I e II apeas. D) I e III apeas. E) I, II e III. 57. Seja f(x) = x + x + e S, o cojuto de iteiros {0,,,..., 5}. O úmero de elemetos s de S tais que f(s) deixa resto 0 (zero) a divisão por 6 é: A) 5 B) C) D) 8 E) Se p é um iteiro positivo, etão p + 5 pode ser um iteiro p 5 positivo para quatos valores de p? A) 0. B). C). D). E) mais que. 59. Calcule a soma dos valores iteiros positivos de de modo que + 6 seja um iteiro. + A) 0 B) C) 4 D) 45 E) (Coe Sul) Existem úmeros iteiros ímpares a, a,..., a 00 tais que iai = 00 a 4 00? i= 6. (Baltijos Kelias) Deote por d() a quatidade de todos os divisores positivos de um iteiro positivo (icluido e ). Prove que existem ifiitos tais que é um iteiro positivo. d( ) 6. A expressão + é o quadrado de um iteiro para exatamete quatos úmeros aturais? C) D) E) mais de 6. Os algarismos a, b e c são tais que os úmeros de dois algarismos aa, bc e cb são úmeros primos e aa + bc + cb = aa. Se b < c, etão bc é igual a: A) 9 B) 7 C) 7 D) 9 E) 59 ITA/IME Pré-Uiversitário 4

5 64. O crescimeto da quatidade de coelhos do professor Fabrício Maia obedece, mês a mês, a sequêcia de Fiboacci, isto é, ao fial do primeiro mês ele tiha c = coelhos, ao fial do segudo, c = coelhos e, a partir do terceiro mês, para desespero do professor Fabrício, o úmero de coelhos ao fial do -ésimo mês satisfazia c = c + c,. Se após um ao e meio ele tiha coelhos e os dois meses seguites asceu um total de coelhos, quatos comedores de ceoura o professor Fabrício possuía ao fial do 0º mês? A) 7.7 B) C) D) 5.47 E).d.a. 65. (OBM) Qual é a quatidade total de letras de todas as respostas icorretas desta questão? A) quareta e oito. B) quareta e ove. C) ciqueta. D) ciqueta e um. E) ciqueta e quatro. 66. Quatos iteiros positivos N de três dígitos existem tais que N e a soma de seus dígitos são divisíveis por? C) D) E) mais de 67. O valor da soma S = é: A) B) C) D) 6 E).d.a. 68. Dada a sequêcia de equações x + =, x + = 4, x + = 9,..., x + =, calcule o valor de x + x + x x. A) B) ( ) C) + D) ( + ) E).d.a 69. (EUA) Seja N = , com somas e subtrações alterado-se em pares. O resto de N a divisão por 000 é: 00 C) 00 D) 00 E) Se x + x 6 ( y ) + = 0 e x r,etão: A) y < B) y C) y r D) x 6 x y + = 0 E).d.a. 7. Ecotre todos os a reais tais que a 4 + b 4 + aa b (a + ) (a b + ab ), sempre que a e b são reais. Sugestão: Mostre que a desigualdade dada é equivalete a (a b) (a + ab aab + b ) (OBM) O maior iteiro que ão supera + + A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) é igual a: 7. Sejam a, b, c, d iteiros distitos tais que a equação (x A) (x b) (x c) (x d) 4 = 0 tem uma raiz iteira r. Etão: A) 4r = a + b + c + d B) r = a + b + c + d C) a + b + c + d = 0 D) r = 0 E).d.a. 74. Quatas soluções x, y, z iteiras a equação x + y + z = x(y + z) possui? D) C) E) mais de 75. Sejam x, y, z úmeros aturais. Se x é um úmero primo e x + y = z, etão y é igual a: A) x B) x + C) x D) x E) x Seja p um úmero primo ímpar dado. Quatos valores de k iteiro positivo existem tais que k pk é também um iteiro positivo? C) D) E) mais de 77. Para quais valores de a as duas raízes de x ax + = 0 pertecem ao itervalo [0; ]? 78. Sedo l um parâmetro real, l, resolva a iequação quadrática x lx + < Determie todas as soluções reais da iequação x x 4 x + < 0. x + y + z = Resolva em R o sistema de equações x y =. yz = 8. São dados os úmeros reais a, a. Se a desigualdade x (a + a ) x + a a > 0 tem como cojuto solução R {a}, α a 0, etão é igual a: a + a A) B) C) D) E) 8. (EUA) Defia a! para e a positivos como a! = ( a)( a) ( a)... ( ka), sedo k o maior iteiro para o qual > ka. Etão, o quociete 7 8! é igual a: 8! A) 4 5 B) 4 6 C) 4 8 D) 4 9 E) 4 5 ITA/IME Pré-Uiversitário

6 8. O úmero de soluções reais distitas da equação x + 7 x = é igual a: C) D) E) Se x é um úmero satisfazedo x + 9 x 9 =, etão x está etre: A) 55 e 65 B) 65 e 75 C) 75 e 85 D) 85 e 95 E) 95 e Cosidere as afirmações: I. A fução f associa a cada real x o meor elemeto do x cojuto x +, 5. O valor máximo de f(x) é 6 ; II. Existe apeas um valor real de x que satisfaz a iequação x + ; x III. A soma das raízes reais de x + x + x = 0 é ; IV. Há exatamete 0 valores iteiros de x para os quais x + 99 também é um úmero iteiro. x + 9 Quatas são verdadeiras? C) D) E) Cosidere o poliômio quadrático P(x) = ax bx + c, abc 0. Se uma de suas raízes está o itervalo de ( ; ) e a outra o itervalo (; ), aalise as seguites seteças e marque o item correto. I. P(0) < 0 II. abc < 0 III. P( ) P 0 > A) V V V B) V F V C) V F F D) F V V E) F F V x 87. Cosidere a expressão matemática f( x) = tal que f(α) = b, x + 6 {a, b} Z. Idique o úmero de valores diferetes que a pode assumir. A) 8 B) 0 C) 8 D) 6 E) O valor míimo da fução real e de variável real dada por f(x) = x + + x + x 4 é: C) D) 4 E) 7 9. Se a soma das soluções iteiras da iequação (x ) (x ) (x 6) (x 9) (x ) (x 5) < 0 é 9, idique o valor iteiro de. A) 5 B) C) D) E) 9. Determie a quatidade de pares ordeados de úmeros reais que verificam a equação 5x xy + y x y + = 0. C) D) E) mais de 9. (Chia-Adaptado) Seja um úmero iteiro positivo e d(), a quatidade de divisores positivos de. Ecotre todos os iteiros c ão egativos tais que existe satisfazedo d() + j() = + c, sedo j a fução de Euler. 94. (IME/00) Sejam r, s, t e v úmeros iteiros positivos tais que r t <. Cosidere as seguites relações: s v I. ( r + s) t v < ( + ) s v r t II. r + s t v III. r s ( ) < ( + ) ( r + t) < ( s + v) ( r + t) r + t < ( ) IV. s v O úmero total de relações que estão corretas é: C) D) E) (Putma) Sejam x, y, z úmeros reais distitos dois a dois. Prove que x y + y z + z x 0. Sugestão: a + b + c = 0 implica a + b + c = abc. 96. (EUA) Existe um úico par de iteiros positivos x e y satisfazedo a equação x + 84x = y. Ecotre x + y. 97. (AustráliA) Se x, y, z são úmeros positivos satisfazedo x + 4 y =, y + z = e z + = 7, etão xyz é igual a: x A) B) 89. Qual é a soma das soluções da equação: x + x x = 0? A) 6 B) 8 C) 0 D) 4 E) 0 C) 4 E) 7 D) 90. Cosidere os cojutos A = {x r /x < }, B = {x z / x < }, C = {x z / x > x}, etão A (B C) é o cojuto: A) B) (; ) C) ( ; 0) {} D) ( ; 0) { } E) ( ; ) 98. Sejam x e y úmeros iteiros tais que x + y + (x + y) + + 0xy = 000. O valor de x + y é: A) 0 B) 0 C) 0 D) 40 E) 50 ITA/IME Pré-Uiversitário 6

7 99. (OBM) Os iteiros positivos x e y satisfazem a equação x + y x y =. Qual das alterativas apreseta um possível valor de y? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) Para quatos valores iteiros de a as duas raízes de x ax + = 0 pertecem ao itervalo [ ; ]? C) D) E) mais de 0. Para quatos valores iteiros do parâmetro p as raízes de x px + p = 0 pertecem ao itervalo (0; )? C) D) E) mais de 0. (Toreio Harvard-MIT) Determie todos os úmeros reais a tais que a iequação x + ax + a tem exatamete uma solução em x. 0. Um úmero complexo ζ é uma raiz primitiva -ésima da uidade se, e somete se, ζ = mas ζ k para cada iteiro k com k. Isto é, é o meor expoete para o qual a potêcia de ζ é. O -ésimo poliômio ciclotômico Q (t) é o produto de todos os poliômios lieares (t ζ), sedo ζ raiz -ésima primitiva da uidade. Aalise as seguites afirmações. I. O grau de Q é ϕ() e sempre é par, em que ϕ é fução de Euler. II. Toda raiz -ésima da uidade é uma raiz de Q. III. Q 6 (t) = t t +. IV. Se p é um úmero primo, etão Q p (t) = t p + t p t +. Assim, somete: A) IV é verdadeira. B) I e IV são verdadeiras. C) II é falsa. D) III e IV são verdadeiras Se as raízes da equação x ax + a + a = 0 são reais e meores que, etão: a) a < b) a c) < a 4 d) a > Um quadrado é cortado em 49 quadrados meores. Todos esses quadrados têm as medidas de seus lados, em cetímetros, expressas por úmeros iteiros positivos. Há exatamete 48 quadrados com área igual a cm. O úmero de resultados possíveis para expressar, em cm, a medida da área do quadrado origial é exatamete igual a: A) B) C) D) 4 E) Para selecioar um recruta detre 5 volutários, o sargeto de determiado batalhão os dispõe em um quadrado de 5 lihas por 5 coluas e, a pricípio, mada sair o mais alto de cada liha e deomia de A o mais baixo, detre esses 5. Em seguida, faz com que todos retomem suas posições o quadrado e, agora, mada sair o mais baixo de cada colua e deomia de B o mais alto, detre esses 5. Aalise as seguites situações: I. A ser mais alto do que B; II. B ser mais alto do que A; III. A e B serem a mesma pessoa. É(São) possível(is) apeas a(s) situação(ões): A) I B) II C) III D) I e III E) II e III 07. A) Mostre que se a e b são úmeros reais, etão [a] + [b] [a + b]. B) Seja p um úmero primo e f(k) a quatidade de fatores p em k!. Sedo m e úmeros aturais, mostre que f(m) + f() f(m + ). 08. Se é um úmero atural maior que, etão, de quatas maeiras podemos escrever como soma de dois úmeros aturais primos etre si? 09. Mostre que a soma dos quadrados de três iteiros cosecutivos ão pode termiar em ou em Se as raízes da equação x + px + q = 0 são positivas, mostre que o mesmo ocorre com as raízes da equação qy + (p rq)y + pr = 0, ode r é um úmero positivo.. Na equação x px + q = 0, os úmeros p e q são iteiros positivos. Mostre que se essa equação tem duas raízes reais e iguais, etão p é par.. (Toreio Harvard-MIT) Ecotre a(s) solução(ões) real(is) da equação (x + y) = (x + )(y ).. (OCM) Prove que ão existem iteiros positivos a e b tal que b + b = 4. a + a 4. O valor de quado x = x + x( x + ) + + x x( x ) x + x( x + ) + x x( x ) + é: A) B) /5 C) /5 D) 5/ 5. Quatos dígitos (base 0) possui S = ? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. O resto a divisão por 000 de é: A) 40 B) 40 C) 40 D) Quatos iteiros positivos meores que 000 são iguais a 6 vezes a soma de seus dígitos? C) D) 4 E) 7 ITA/IME Pré-Uiversitário

8 8. Para quatos valores iteiros de x a fução 00 f(x) = está defiida? 9 5 x A) 0 B) 4 C) 8 D) E) mais de 9. Que úmeros a seguir são racioais? I. II , N III. 9 IV. log 5 A) I B) I e II C) I, II e III D) I, II, III e IV + 0. (EUA) Ecotre o meor iteiro positivo tal que é um quadrado perfeito, é um cubo perfeito e é uma quita 5 potêcia perfeita.. (EUA) Seja um iteiro positivo tal que tem 8 divisores positivos e tem 0 divisores positivos. Quatos divisores positivos tem 6?. Para iteiro positivo, defiimos! (lê-se fatorial ) como o produto de todos os iteiros positivos meores que ou iguais a. Por exemplo, 6! = Se! = , etão é igual a: A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. Aalise as afirmações: I. x + x + e x + x são iversos, x R. II. x + x e x x são iversos, x R. III. x + x + e x x + são iversos, x R. IV. Todo úmero racioal possui iverso. São verdadeiras: A) I B) I e II C) I, II e III D) NDA 4. Seja x um úmero real ou complexo para o qual x 6 O valor de x + é: 6 A) x B) C) D) 4 E) 5 + = x. 5. Se x + y + z =, x + y + z = e x + y + z = 4, etão o valor de x 5 + y 5 + z 5 é: A) 6 B) C) 5 6 D) 6 6. (Toreio Harvard-MIT) Sejam a, b, c úmeros reais ão ulos tais que a + b + c = 0 e a + b + c = a 5 + b 5 + c 5. Ecotre o valor de a + b + c. 7. (Toreio Harvard-MIT/008) Seja P(x) um poliômio môico com grau 008 tal que P(0) = 007, P() = 006, P() = 005,..., P(007) = 0. Determie o valor de P(008). Você pode usar fatoriais em sua resposta. Sugestão: Crie o poliômio Q(x) = P(x) + x (Usamo) Determie todas as soluções iteiras de = 599. (Sugestão: Divisão por 6) 4 9. O produto dos úmeros que aparecem as alterativas icorretas dessa questão é um cubo perfeito. Assiale a alterativa correta. A) 4 B) 8 C) 8 D) 54 E) 9 0. Se a razão etre as raízes da equação mx + x + = 0 é p q, p q etão mostre que q + p + m = 0.. Se a e b são as raízes de x 0cx d = 0, e c e d são as raízes de x 0ax b = 0, etão ecotre o valor de a + b + c + d sabedo que a, b, c, d são úmeros distitos.. O úmero a é racioal se: A) a 4 é racioal. B) a e a são racioais. C) a 8 e a 6 são racioais. D) a é irracioal.. Sejam m,, p úmeros iteiros tais que m + + p = 0. Mostre que m = = p = Mostre que se α é uma raiz da equação 4x + x = 0, etão 4α α é a outra raiz. 5. Determie o cojuto solução da equação 4 x 6 x + 45 = 0, ode a represeta a parte iteira de a A soma dos algarismos do úmero... é: 00 algarismos A) 95 B) 905 C) 96 D) 898 E) Sejam a, b e c úmeros ímpares. Qual dos valores a seguir pode ser raiz da equação ax + bx + c = 0? C) D) ITA/IME Pré-Uiversitário 8

9 8. Quatos pares de úmeros iteiros m e satisfazem m = 0? C) D) E) mais de ( ) ( + ) 9. Defia k k... =, sedo k um úmero atural.... k Assim, o meor valor de a tal que a 4 é um úmero iteiro é: A) 7 B) 8 C) 9 D) Se a, b e c são úmeros aturais ão ulos tais que c = 5a e b + c = 60, os possíveis valores de c são em úmero de: A) B) C) 4 D) 5 E) 6 4. O meor iteiro positivo x para o qual 60x = N, sedo N um úmero iteiro, é: A) 050 B) 60 C) 60 D) Seja r um úmero real positivo tal que r + = 6. 6 r 4 O valor máximo de r é: 4 A) 4 r B) 4 C) D) 6 4. O úmero de maeiras de escrever 00 como soma de dois úmeros iteiros positivos primos etre si é: A) 009 B) 004 C) 50 D) 58 E) Supohamos que p e q sejam os catetos de um triâgulo retâgulo e h, a altura relativa à hipoteusa do mesmo. Nessas codições, podemos afirmar que a equação 0 p x h x + = : q A) ão admite raízes reais. B) admite uma raiz da forma m, sedo m real positivo. C) sempre admite raízes reais. D) admite uma raiz da forma m sedo m real positivo. 45. A otação x sigifica o maior iteiro ão maior que x. Por exemplo,, 5 = e 5 = 5. O úmero de iteiros x etre 0 e 500 para os quais x x = 0 é: A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 46. Determie o cojuto solução da equação x = x, ode a represeta a parte iteira de a. 47. Determie todas as triplas de úmeros reais (x, y, z) que são solução da equação 4x 4 x (4y 4 + 4z 4 ) xyz + y 8 + y 4 z 4 + y z + z 8 = Se f(x) = px + qx + r, sedo p, q, r úmeros racioais e f : Z Z, sedo Z o cojuto dos úmeros iteiros. Etão, p + q é: A) iteiro egativo B) um iteiro C) racioal ão iteiro D) r 49. A quatidade de iteiros positivos meores que ou iguais a 000 que são múltiplos de 5 e ão são múltiplos de 7 é: A) 7 B) 7 C) 58 D) Supoha que f seja uma fução tal que, para todo úmero real x: I. f(x) + f( x) = ; II. f( + x) = + f(x). Etão, f(x) + f(-x) deve ser igual a: A) 8 B) 9 C) 0 D) E) 5. Seja f : Z + Z + tal que f(m) = mf() + f(m), f(0) = 9, f() = 5 e f(5) = 6. Etão, f(8) é igual a: A) B) 4 C) 6 D) 48 E) A fução f é defiida para todos os pares ordeados (x, y) de iteiros positivos e tem as seguites propriedades: f(x, x) = x, f(x, y) = f(y, x) e (x + y)f(x, y) = yf(x, x+ y). Qual é o valor de f(, 55)? A) B) C) 55 D) 0 5. O úmero de pares ordeados (m, ) de úmeros iteiros positivos que são soluções da equação 4 + = é: m A) B) C) D) 4 E) mais de Sejam p e q úmeros iteiros e positivos tais que x px + q = 0 tem duas raízes reais e iguais. Etão, podemos afirmar que: A) p é par B) p = q C) q é ímpar D) p e q são primos etre si 55. (EUA) Seja N o úmero de 0s cosecutivos o fial (à direita) da represetação decimal do produto!!! 4! 99! 00!. Ecotre o resto quado N é dividido por 000. A) 4 B) 6 C) 48 D) A quatidade de iteiros positivos meores que ou iguais a 000 que são múltiplos de e ão múltiplos de 7 é: A) 9 B) 77 C) 86 D) 9 ITA/IME Pré-Uiversitário

10 57. A soma dos algarismos do úmero é: 0 A) 0 B) 0 C) 04 D) Qual dos úmeros a seguir ão é um quadrado perfeito? A) 4044 B) ( + ) ( + ) ( + ) +, Z C) , Z + D) , Z 59. A soma de todos os iteiros positivos 00 para os quais ( ) é um quadrado perfeito é: A) 6 B) 60 C) D) 6 E) Em relação à equação do segudo grau x 995x = 0, de raízes α e β, podemos afirmar que: A) se α > β, etão 990 é o maior iteiro ão maior que a. B) + uca é iteiro, para todo iteiro. α β C) α + β é um iteiro que deixa resto ao ser dividido por 5. D) α + β é iteiro para todo atural. 6. O maior iteiro meor que ou igual a + A) 4 B) 6 + C) 7 D) 8 E) Se a + b + c = 0, etão a equação quadrática ax + bx + c = 0 tem: A) pelo meos uma raiz em (0, ). B) uma raiz em (, ) e a outra em (, ). C) raízes imagiárias. D) raízes iguais. 6. Sejam a e b dois úmeros iteiros ão egativos. Etão ( a + b ) pode expressar-se como soma de duas potêcias distitas de, sempre que: A) a = b B) a = 0 ou b = 0 C) a b = D) a e b são ambos potêcias de E) uca 64. Mostre que ão existem úmeros aturais distitos a, b, c, d tais que a + b = c + d e a + b = c + d. 65. Se f ( x x x ) = +, x R, etão o valor máximo de + x + x + x + 4x é: x + 4x A) 9 B) 6 C) D) é: 66. Seja o meor iteiro positivo tal que é divisível por 0, é um cubo perfeito e é um quadrado perfeito. Qual é a quatidade de dígitos de? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) Para a, b, c distitos, o valor da expressão ( a b) ( a c) + ( b a) ( b c) + ( c a) c b A) a + b + c. B) sempre 0. C) abc. D) (a + b + C). E) a + b + c 68. ( ) é: A) Os Poliômios de Tchebyshev de ª espécie são defiidos por T = cos[((arccosx)],. Mostre que T (x) = x, T + (x) = x T (x) T (x), para. B) Os Poliômios de Tchebyshev de ª espécie são defiidos se x por U ( x) = ( + )( arccos ),. Mostre que se arccos x ( ) U (x) = x, U + (x) = x U (x) U (x), para. Sugestão: A) Use T (cos q) = cos(q) B) Use U ( cosθ) = ( ) se + θ seθ 69. Se uma raiz da equação quadrática ax + bx + c = 0 é igual ao quadrado da outra, etão: a) a + bc(b + c) = abc b) b + ac(a + c) = abc c) c + ab(a + b) = abc d) b + ac(a + c) = abc 70. A sequêcia de Fiboacci começa com,,,, 5, 8,,,... (cada úmero a partir do terceiro é a soma dos dois úmeros ateriores). A otação f sigifica o -ésimo termo dessa sequêcia. Por exemplo, f 4 = e f 7 =. Quatos dos termos f 8, f 5, f 50, f 00, f 00 são ímpares e quatos dos termos f 48, f 75, f 96, f 79, f 000 são divisíveis por, respectivamete? a) e b) e 4 c) e d) e 4 7. O meor iteiro positivo x para o qual 60x = N, ode N é um iteiro, é: a) 050 b) 60 c) 60 d) 750 e) O úmero de soluções iteiras positivas para (x + y) = xy + 7 é: a) b) c) d) 4 7. Dizemos que N é um úmero automórfico se o valor de N termia com a mesma sequêcia de dígitos que N. Por exemplo, 6 é automórfico pois 6 termia em 6. Quatos úmeros automórficos de dígitos (base 0) existem? a) 0 b) c) d) e) mais de ITA/IME Pré-Uiversitário 0

11 74. Se x 4 < N para todo x real tal que x <, etão: a) o meor valor possível de N é. b) o maior valor possível de N é. c) o meor valor possível de N é 5. d) o maior valor possível de N é 5. e) N pode assumir qualquer valor. 75. O meor iteiro positivo para o qual a difereça + fica meor que 0,0 é: a) 5 b) 500 c) 50 d) Sejam a e b úmeros reais ão ulos tais que b > a. A respeito da iequação ax bx + b a > 0 podemos garatir que: b a) sua solução é ( ) a ; ; +. a b) sua solução é ; b a ( ; + ). a b a c) existe a tal que a solução é ; a. d) existe a tal que a solução é ; b a a. 77. Se x R e 4y + 4xy + x + 6 = 0, etão o cojuto completo dos valores de x para os quais y R é: a) ( ; ] [; + ) b) ( ; ] [; + ) c) ( ; ] [; + ) d) [ ; ] e) [ ; ] 78. Se p e q são primos e x px + q = 0 tem raízes iteiras positivas e distitas, etão quais das seguites seteças são verdadeiras? I. A difereça etre as raízes é ímpar; II. Pelo meos uma raiz é um úmero primo; III. p q é primo; IV. p + q é primo. a) I apeas. b) II apeas. c) II e III apeas. d) I, II e IV apeas. e) todas. 79. O meor valor de k tal que k! termia em 00 zeros é: a) 99 b) 40 c) 40 d) Determie todos os valores de x para os quais (999x 99) = = (4x 56) + (765x 4). 8. Determie os valores reais do parâmetro a para os quais existe pelo meos um úmero real x satisfazedo 4x a + x. 8. Ecotre todas as soluções reais de 4 + x x =. 8. Se as raízes da equação ax + bx + c = 0 são da forma k + k e k + k +, etão (a + b + c) é igual a: a) b 4ac b) b ac c) b ac d) a + b + c 84. A soma de todos os iteiros positivos tais que é um quadrado perfeito é: a) b) c) d) 4 e) maior que Quatos iteiros de 0 a 99 (icluido 0 e 99) tem a propriedade que a soma de seus dígitos é igual ao quadrado de um iteiro? a) b) 4 c) 5 d) 6 e) Seja um iteiro ão egativo. Defiimos os Poliômios de Tchebyshev por T (x) = cos[(arccosx)], x. Podemos afirmar que: a) T 5 (x) = 6x 5 0x + 5x. b) todas as raízes de T (x) têm módulo meor que. c) o cojuto-solução de T (x) 0 é d) o coeficiete líder de T 0 (x) é 0. ;. 87. Seja um iteiro ão egativo. Defiimos os Poliômios de Tchebyshev por T (x) = cos[(arccosx)], x. Aalise as afirmações: I. T 6 (x) = x 6 49x 4 + 9x - ; II. Todas as raízes de T 4 (x) são úmeros irracioais; III. O cojuto-solução de T (x) 0 é IV. O coeficiete líder de T 0 (x) é 0. Quatas são verdadeiras? a) 0 B) c) D) e) 4 ; ; 88. Os Poliômios de Tchebyshev de ª espécie são defiidos por T (x) = cos[(arc cos x)] e os Poliômios de Tchebyshev de ª se arc x espécie são defiidos por U (x) = ( + ) ( cos ), se arc cos x ( ). Prove que T + (x) = x T (x) ( x ) U (x) e U (x) = x U (x) + T (x), para. ITA/IME Pré-Uiversitário

12 89. Um úmero complexo ζ é uma raiz primitiva -ésima da uidade se, e somete se, ζ = mas ζ k para cada iteiro k com k. Isto é, é o meor expoete para o qual a potêcia de ζ é. O -ésimo poliômio ciclotômico Q (t) é o produto de todos os poliômios lieares (t ζ), sedo ζ raiz -ésima primitiva da uidade. Aalise as seguites afirmações. I. O grau de Q é ϕ(); II. Toda raiz de Q é uma raiz -ésima da uidade; III. Q 4 (t) = t + ; IV. t 6 = Q 6 (t)q (t)q (t)q (t). Assim: a) somete I e II são verdadeiras. b) somete I, II e III são verdadeiras. c) somete I, II e IV é falsa. d) todas são verdadeiras. 90. O grau do 0 o poliômio ciclotômico é: a) um úmero ímpar. b) 0. c) 506. d) Para quatos valores iteiros do parâmetro p as raízes de x px + p = 0 pertecem ao itervalo (0; )? a) 0 b) c) d) e) mais de ( ) 9. Seja y = ax bx a + b. Em qual dos casos abaixo y é real e diferete de zero? a) a > 0, b > 0, < x < a + b a b) a > 0, b < 0, x = a + b a c) a > 0, b = 0, < x < d) a < 0, b = a, x < e) a < 0, b = a, < x < a + b a 9. Em qual dos casos abaixo, vale a desigualdade x ax a < 0 : x ( a + ) x + a a) a < 0, x < a b) a = 0, x > a c) a >, < x < a d) a >, a < x < e) a >, x > a 94. O cojuto solução da desigualdade x + x x + é: a) [, 0] [, 7] b) {x R / x 0} [, 5] c) [, 0] {x R/ x 0} d) {x R / 5 < x < } {x R / < x < 7} e) [ 4, ] [, ] 95. A respeito da equação x 4x + x 4x 6 = 8 podemos dizer que: a) ± 70 são raízes. b) a úica raiz é x =. c) a úica raiz é x = + 0. d) tem raízes reais e imagiárias. 96. A respeito das raízes reais da equação x + podemos afirmar que: x a) são e. b) são e. c) são e. d) elas ão existem. x =, x A soma de todos os iteiros positivos 50 para os quais ( ) é um quadrado perfeito: a) é um múltiplo de 6. b) é um úmero primo. c) é meor que 7. d) ão é possível de calcular, pois ão existem tais iteiros positivos. 98. Dois cojutos fiitos têm m e elemetos. O úmero total de subcojutos do primeiro cojuto é 56 a mais que o úmero total de subcojutos do segudo cojuto. Os valores de m e são: a) e 6 b) 6 e c) 5 e d) 8 e Sejam x e y iteiros positivos de dois dígitos com média 60. Qual é o valor máximo da razão x y? a) b) 7 c) 9 d) 9 7 e) Ecotre todas as soluções da equação (x ) + (x ) + + (x ) + (x 4) + (x 5) = Seja f : R R uma fução defiida por f(x) = (x a) (x b) + + (x b) (x c) + (x c) (x a), sedo 0 < a < b < c. Mostre que o valor míimo de f ão pode ser um úmero positivo. 0. O úmero de maeiras de escrever 00 como soma de dois úmeros iteiros positivos primos etre si é: a) 009 b) 004 c) 50 d) 58 e) a) Escreva 4 como soma de quatro úmeros ímpares cosecutivos. b) Demostre que, para todo úmero iteiro positivo, k é a soma de úmeros ímpares cosecutivos, sedo k um iteiro maior que ou igual a. ITA/IME Pré-Uiversitário

13 04. O itervalo de valores de m para os quais a equação (m 5)x + + (m 0)x + m + 0 = 0 teha raízes reais com o mesmo sial é dado por: a) m > 0 b) 5 < m < 5 c) m < 0 ou 5 < m 6 d) m < Se está etre as raízes da equação x x se α cos α = 0 e α [0, π], etão α está o itervalo: a) 0, π B) π π, π 5π c), 6 6 D) π π π 5π,, Se as raízes da equação x kx + k + k 5 = 0 são reais e meores que 5, etão k está o itervalo: a) (, 4) b) [4, 5] c) [5, 6] d) (6, + ) 07. Sobre o úmero x = 7 é correto afirmar que: a) x é racioal. b) x é um úmero ímpar. c) x + 4 é racioal. d) x é positivo. 08. Sejam a, b, c Z +*. Prove que a + b + c é divisível por 4 se, e somete se, a, b, c são pares. y 09. Sejam x, y, z úmeros reais tais que = =. xy z x + z + Prove que um desses úmeros é a média aritmética dos outros dois. 0. Mostre que = Simplificado S =..., obtemos: 4 0 a) c) b) d) 404. Se uma raiz da equação quadrática ax + bx + c = 0 é igual ao quadrado da outra, etão: a) a + bc(b + c) = abc b) b + ac(a + c) = abc c) c + ab(a + b) = abc d) b + ac(a + c) = abc. Se o gráfico de f(x) = x a tem exatamete três iterseções com o eixo x, etão a é igual a: a) b) 4 c) 0 d) 4. A sequêcia de Fiboacci começa com,,,, 5, 8,,,... (cada úmero a partir do terceiro é a soma dos dois úmeros ateriores). A otação f sigifica o -ésimo termo dessa sequêcia. Por exemplo, f 4 = e f 7 =. Quatos dos termos f 8, f 5, f 50, f 00, f 00 são ímpares e quatos dos termos f 48, f 75, f 96, f 79, f 000 são divisíveis por, respectivamete? a) e b) e 4 c) e d) e 4 5. Determie para quais valores reais de x é verdadeira a desigualdade x 0x + x Determie a soma dos aturais positivos que, divididos por 7, dão resto igual ao cubo do quociete. 7. Uma compahia telefôica oferece aos seus clietes plaos diferetes de tarifas. No plao básico, a assiatura iclui 00 miutos mesais de ligações telefôicas. Acima desse tempo, cobra-se uma tarifa de R$ 0,0 por miuto. No plao alterativo, a assiatura iclui 400 miutos mesais, mas o tempo de cada chamada desse plao é acrescido de 4 miutos, a título de taxa de coexão. Miutos adicioais o plao alterativo custam R$ 0,04. Os custos de assiatura dos dois plaos são iguais e ão existe taxa de coexão o plao básico. Supodo que todas as ligações durem miutos, qual o úmero máximo de chamadas para que o plao básico teha um custo meor ou igual ao do plao alterativo? 8. Os valores de a para os quais a equação x (a + )x + a(a ) = 0 tem raízes a e b tais que a < a < b satisfazem: a) a 0 b) a < 0 c) < a < 0 d) < a < 0 9. Para quatos iteiros m o úmero iteiro? a) b) c) d) 4 e) mais que 4 0 é um úmero m 6 0. Sejam a, a,..., a úmeros reais. A expressão (a + a a ) é igual a: a) ai + 4 aj b) ai + aa i j i= i= i= i= j= c) ai + aj i= d) aa i j i= i= j=. Se a + b + 5c = 0, a 0, etão mostre que a equação ax + 4bx + 5c = 0 sempre possui raízes reais distitas.. Prove que a equação a + 00 b = c + tem ifiitas soluções aturais a, b, c para todo iteiro positivo.. Um palídromo, como 848, é um úmero que permaece o mesmo quado seus dígitos são ivertidos. Os úmeros x e x + são palídromos de e 4 dígitos, respectivamete. Qual é a soma dos dígitos de x? a) 0 b) c) d) e) 4 ITA/IME Pré-Uiversitário

14 GABARITO EXERCÍCIOS de fixação Aula Revisão de Álgebra * * * * * * * * * * * E C * 0: a = b = c = 0; a =, b =, c = 0; a =, b = c = 0: f(x) = x + 0: : a) 7, b) 05: x, x 6k + 06: 64 07: 08: 84 a a 0 09: : I. k 5 k +, k : (, 0] {}, se a ; 0, se a = GABARITO EXERCÍCIOS propostos Aula Revisão de Álgebra * * * C D A C * E E * A * * A B * * * D E B * * C C C D B B D D D A B * 0 * B B A C C B B * C D C A * C * A * E E E D * * B C A D E A B B E * D A B A B * * * B D C C D E A E A D D B * D * 80 B A C A A * D A B D * * * * D * * D C D B E B * D B B D * * * D * * B * * * D E E A B D A E C B * * B A A C D D A A C C D D C D E C * C E B * B A D B C C C C A E D * * * A A E A C * D D A E D C E D A B B * * E * C D A C * * * A B A A * E D D * * E * 0: Demostração 0: Demostração 0: ou 08: {0, 7, 9, 5, 7, 4} : a = b = : Demostração 4: 007 7: Demostração 8: Demostração 9: y = x(x + ) + : Demostração 4: Demostração 6: Demostração 8: Demostração 46: Demostração 5: B) 6, 8; 7, 5; 58 7 ; 9, 5; 0 5: q = 777 A , sedo A = (com 66 s) e r = : ( ; ) ; (, ) + 60: Não 6: p pk, p primo, k IN 7: a 77: a ITA/IME Pré-Uiversitário 4

15 79: 5 5,, 80: (,, ), (,, ),, 5,,, 5, : c = 0 ou 95: Demostração 0: a = ou a = 07: Demostração 08: ϕ( ), se > e, se =. 09: Mostre que S só pode termiar em 0,, 4, 5, 7 ou 9. 0: Demostração : Demostração : x = e y = : Demostração 0: = : 6 5 7: 008! 8: Não há solução iteira. 0: Demostração : 0 : Demostração 4: Demostração 5: S = 46: S = 47: (t, t, t) ou ( t, t, t), t R 64: Demostração 80: 99/999, 4/765, 56/4 8: a 8: e 88: Demostração { } 00: x = y S =, ± i 6 0: Demostração 0: a) : Demostração 09: Demostração 0: Demostração 5: [, 4] [6, 9] : Demostração : Demostração Aotações AN 5/0/ Rev.: TM OSG.: 6950/ 5 ITA/IME Pré-Uiversitário

16 Projeto rumo ao ita ITA/IME Pré-Uiversitário 6