Capitulo 3 Resolução de Exercícios

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1 S C J J C i FORMULÁRIO Regime de Juros Compostos S C i C S i S i C S LN C LN i 3.7 Exercícios Propostos ) Qual o motate de uma aplicação de R$ ,00 aplicados por um prazo de meses, a uma taxa de 5% a.a? S C i S R ( ) ( 0,05) $05.000,00 ) Qual o capital iicial que deve ser aplicado a uma taxa de 0,5% a.m., para ao fial de ao e meio gerar R$ ,00? S C C R$ 9.43,6 i 0, ) Qual o prazo de uma aplicação a 5% a.m. que dora seu capital iicial? S C LN LN C C LN 0,6935 4,067 meses LN LN 0,05 LN,05 0,04879 i Oserve-se que, caso houvesse sido explicitado a adoção da coveção liear, a parte fracioária f do prazo deveria ser tal que 4 4 0,05 C C 0, 05 0, 05 f f 0, 07 0,05 etão 4 0, 07 4, 07meses Na resolução dos prolemas propostos cosiderar aos comerciais de 360 dias e meses de 30 dias, salvo meção em cotrário. Cosiderar este capítulo o Regime de Juros Compostos, com a adesão à coveção expoecial, salvo meção explicita de adesão à coveção liear. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 7

2 4) Qual a taxa de juros aual, a que devemos aplicar um capital iicial para que ele dore o seu valor um prazo de 0 aos? 0 S C i i 0, ,77% a. a. C C 5) Qual o total de juros acumulado, ao fial de 7aos, de uma aplicação de R$ 0.000,00, à taxa de juros de 5% a.a.? 7 J C i , 05 R$ 8,4, 0 6) Um ivestidor aplicou o mercado fiaceiro a quatia de R$ ,00 e após 83 dias resgatou R$ ,00 rutos. a) Qual foi a taxa mesal de juros composto auferida pelo ivestidor? ) Qual a taxa efetiva diária se uma alíquota de 0% de imposto sore operações fiaceiras for aplicada sore o redimeto auferido, atecipadamete e postecipadamete? a) S i i 0, ou 5,3994% a. m. C ) IOF Atecipada S C J J S C T t J 0, Desemolso iicial C T R$ , 00 S líquido S líquido S i i 0, 0055ou 0,55% a. d. CT Deve-se otar que, está sedo admitido que o redimeto é prefixado; sedo, pois, cohecido a data da aplicação. IOF Postecipada S C J J S C T t J 0, líquido S S T líquido S il i 0, 0060 ou 0,60% a. d. C Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 8

3 7) Qual é o motate líquido de uma aplicação de R$ 8.000,00, com prazo de 5 meses, à taxa de juros compostos de % a.a., se for pago imposto de reda, com a alíquota de 0% icidido sore os juros, o resgate da aplicação, cosiderado: a) a Coveção Expoecial? ) a Coveção Liear? a) Cosiderado a Coveção Expoecial S C ( i) e J C i S S T S t J 5/ 5/ 5/ 5/ 5 J 5/ C i J5/ , 69, 07 S C J , , 07 S S t J 869, 07 0, 69, ,86 ) Cosiderado a Coveção Liear S C ( i) e J C i S S T S t J 5 J5/ C i 80000, 733,33 S C J , ,33 5/ 5/ S S t J 8733,33 0, 733, , 66 5/ 5/ 5/ a parte fracioária 8) Aa colocou R$ ,00 à taxa de juros composto de % a.m. pelo prazo de 50 meses. Etretato, ates do térmio do prazo, coseguiu um aumeto da taxa para,5% a.m. referete ao restate do prazo. Sae-se que, o fial do período, receeu um motate de R$ 90.75,49. Quais foram os prazos em que o capital esteve aplicado à cada uma das taxas, cosiderado a Coveção Expoecial? S C ( i), J C i, 50 J C i , , 0 0, 05 J50 S i Alterativa Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 9

4 50 50 Capitulo 3 Resolução de Exercícios S J J 9075, , , , 0 0, , , , 0 0, , , 0, , 0, 05 Alterativa S i i 9075, 49 i i 9075, , 0, 05 Logo ,907549, 0, 05 LN, LN, 0, 05 LN, LN, 0 50 LN, 05 0, , , , , , , , , , meses 30 meses 0, ) Uma pessoa realizou dois ivestimetos com o mesmo capital iicial de R$ 3.000,00, em duas istituições fiaceiras, o mesmo dia, otedo taxas de juros idêticas. Saedo-se que o prazo total das duas aplicações foi 60 dias; que a difereça etre os prazos é de 0 dias; e que uma redeu de juros R$ 806,0 a mais que a outra, quais foram os prazos das duas aplicações e a taxa de juros diária otida. J 3000 i ; J 3000 i ; i i 40 0 J J 806, i 3000 i 806, , , 0 i i 0, i i i i 0, , Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 0

5 0 fazedo y i temos 40, 6867 y, 09 y y 0, y y 0, 09 Como y é um úmero elevado a uma potêcia iteira par, ele uca pode ser egativo. Logo, a seguda raíz deve ser desprezada. 0 0 y i, 09 i, 09 0, 0 % a. d. 0) Uma aplicação rede 5% a.s. e é taxada pelo Imposto de Operações Fiaceiras (IOF), o receimeto do redimeto, a uma alíquota fixa de,5% aplicada sore o mesmo. Se você aplicou R$ ,00 pelo prazo de um ao, qual a taxa líquida semestral otida, cosiderado que o redimeto líquido otido o fim do º semestre, foi reaplicado à mesma taxa pelo restate do período? O redimeto líquido em cada semestre, do ivestimeto iicial, é dado por: Jl C i t ,5 0, O redimeto líquido o º semestre, do juros líquidos reivestidos, é dado por: J l Jl i t ,5 0,05 83,0 Logo, o resgate, o aplicador recee: S E J J ,0 3733,0 O esquema aaixo represeta o fluxo de caixa do ivestimeto. Logo a taxa líquida semestral é dada por: Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia

6 S 3733, 0 il 0,4775 4, 775 a. s. C ou Juros ,0 il 0,3733 3,733 a. a Capital Lógico que estas taxas são equivaletes, já que: i i 0,4775 0,3733, 3733 s a ) Você foi comprar uma geladeira e a loja lhe ofereceu 4 opções: i. R$.800,00 à vista. ii. R$ 300,00 à vista mais 3 prestações mesais e sucessivas de R$ 600,00. iii. R$ 500,00 à vista mais 3 prestações mesais e sucessivas de R$ 500,00. iv. 8 prestações mesais e sucessivas de R$ 75,00, com carêcia de 3 meses. Pede-se: a) qual é a melhor opção para você, comprador, cosiderado uma taxa de juros composto de 4% a.m. e data focal a data da compra? ) qual a taxa de juros compostos, que está emutida em cada um dos 3 plaos de compra à prazo? A melhor opção para o comprador é a que tem o meor valor presete; isto é, a data da compra (data focal 0). Calculado os valores atuais das opções, temos: a) qual é a melhor opção para você, comprador, cosiderado uma taxa de juros composto de 4% a.m. e data focal a data da compra? i. Como o valor é a vista, VPa 800 ii VP , 05 0,04 0,04 0,04 3 iii VP ,55 c 0,04 0,04 0,04 3 iv VP d 0,04 0,04 0,04 0,04 0, ,8 0,04 0,04 0, Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia

7 Logo a melhor opção para o comprador é a opção iv. ) qual a taxa de juros compostos, que está emutida em cada um dos 3 plaos de compra à prazo? i. Como o valor é à vista, VPa 800 ii Valor à Vista i 9,70% a. m. i i i 3 Usado a fução IRR da HP C, temos os seguites comados: [f] [REG] 500[CHS][g][CF 0 ] 600[g][CF j ]3[g][N j ] [f][irr]9,70 A plailha aaixo mostra o cálculo utilizado a fução TIR do Excel iii Valor à Vista i 7,5% a. m. i i i 3 Usado a fução IRR da HP C, temos os seguites comados: [f] [REG] 300[CHS][g][CF 0 ] 500[g][CF j ]3[g][N j ] [f][irr]7,5 A plailha aaixo mostra o cálculo utilizado a fução TIR do Excel Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 3

8 iv Valor à Vista i i i i i i i i i 3,76% a. m Usado a fução IRR da HP C, temos os seguites comados: [f] [REG] 800[CHS][g][CF 0 ]0[g][CF j ] [g][n j ]75[g][CF j ]8[g][N j ] [f][irr]3,76 A plailha aaixo mostra o cálculo utilizado a fução TIR do Excel ) Pesado as festas de fim de ao, Faio pretede depositar R$.000,00 em 05/06 e R$ 3.000,00 em 05/09. Se o aco usado lhe pagará juros compostos à taxa de 0% ao trimestre, qual será o valor que Faio poderá retirar em 05/? S 000 0, ,0 R$ 5.70,00 3) João faz uma aplicação de R$ 500,00, pelo prazo de um ao, à taxa de 8% a.s.. Qual a taxa de juros ao ao que resultaria o mesmo motate o mesmo período? S C i S 500 0,8 696, 0 etão s 696, 0 696, 0 C ia 696, ia ia 0, , 4% a. a. 500 Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 4

9 4) O fluxo de caixa da Idústria Zé Boliha apreseta os pagametos de R$ 0.000,00 e R$ ,00, respectivamete, de hoje a 3 e 9 meses. Atevedo dificuldades, o gerete fiaceiro, Dr. Araújo, teta egociar juto à istituição credora essa dívida, a forma de dois pagametos iguais vecíveis de hoje a e 5 meses. Supodo que essa reegociação se faça à taxa de 5%a.t., qual o valor dos ovos pagametos? A soma dos valores atuais dos pagametos origiais deve ser igual à soma dos valores atuais dos pagametos propostos P 0,05 0,05 0,05 0, P 485, , 0 0,87P 0, 78353P 8339, 7, 6063P 8339, 7 P R$ 4.75,88, ) Uma pessoa deve R$ ,00 daqui a meses, R$00.000,00 daqui a 3 meses e R$0.000,00 daqui a 4 meses. Desejado liquidar esses déitos com um úico pagameto daqui a um mês, qual deverá ser o valor do mesmo, cosiderado uma taxa de juros compostos de 0% ao ao, com coveção expoecial? A soma dos valores atuais dos pagametos origiais deve ser igual ao valor atual do pagameto proposto , 0, 0, 0, P 49, , 49374,59 0,9909P 663, 0 0,9909P 663, 0 P R$ , 40 0,9909 6) Imagie-se o caso de um título de reda fixa, com valor de emissão R$.000,00, com prazo de vecimeto igual a dois aos, taxa de redimeto ruta i 0% a. a., e triuto corado à alíquota de 0%, sore cada redimeto; com o título sedo egociado com deságio de 7%. a) Cosiderado que os redimetos são pagos aualmete, pede-se determiar a taxa aual de retailidade líquida se o triuto ão levar em cota o deságio. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 5

10 ) O triuto levar em cota o deságio, com o redimeto só sedo pago o resgate do título; ocasião ode é apurado o lucro cotáil e corado o triuto. a) Não sedo cosiderado o deságio, para fis do cálculo do triuto, o fluxo de caixa é: ) Data 0: CF E ,07 60 Data : CF JT E i E i 000 0,000 0,0, R$.080,00 Data : CF E J T E E i E i R$3.080,00 Sedo que a taxa aual líquida de retailidade, i e, é tal que: ie 080 ie i i e se y i y y e e y y ,964,3 os : só a raiz positiva tem sigificado fiaceiro. y i,3 i 0,3 ou 3, % a. a. e N E i T e R E i 000 0, 50 LC E i E( ) E i 000, 0, T t LC 0, E N E i T 000 0, V 0, N il V 484 0,74 ou, 74% a. a 60 7) Seja uma istituição fiaceira que esteja emitido títulos com prazo de aos e taxas rutas de retailidade de 8% ao ao. a) Em sedo corado imposto de reda o resgate à uma alíquota de 5%, qual será a taxa aual de retailidade líquida para o ivestidor? ) Supodo que o ivestidor demade uma taxa líquida de retailidade de 7 % a.a., quato deverá ser cocedido de deságio se o deságio for ou ão cosiderado para fis de imposto de reda? Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 6

11 a) N E i T ; V E R E i E 0,8 0,394E T t R 0,50,394E 0, 05886E N E i T E 0,8 0, 05886E,33354E N,33354E il 0,5479 5, 479% a. a V E ) Deságio ão cosiderado para fis imposto de reda ; N E i T V E R E i E 0,8 0,394E T t R 0,50,394E 0, 05886E N E i T E 0,8 0, 05886E,33354E N,33354E il V E,33354,33354, ,7,7,7,3689,33354,3689,3689, , , 0583,583%,3689 Deságio cosiderado para fis imposto de reda ; N E i T V E R E i E 0,8 0,394E ( ),8 0,394 LC E i E E i E E T t LC 0,5E 0,394 0, ,5 E l,8 0, ,5, ,5 N E i T E E E i N E, ,5 V E Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 7

12 E, ,5, ,5 0,7,7 E,3689, ,5, 89 0, , , 090 ou,90%, 89 8) Certo idivíduo, que costuma efetuar empréstimos de curto prazo, corado juros compostos, possui em sua Carteira de Ivestimetos as seguites quatro otas promissórias: a) A primeira, com valor de face de R$.000,00, termo de 8 meses a juros compostos de 5% ao mês, sedo datada de meses ates da data de hoje. ) A seguda, com valor de face de R$.000,00, termo de 0 meses a juros compostos de 80% ao ao, sedo datada de 3 meses ates da data de hoje. c) A terceira com valor omial de R$.500,00, vecedo-se de hoje a 3 meses. d) A quarta com valor omial de R$ 3.000,00, vecedo-se de hoje a 6 meses. Tedo o idivíduo receido a proposta de veder as quatro otas promissórias em questão, por R$ 6.400,00, pagáveis à vista, deve ou ão aceitar a proposta se, a data de hoje, cosegue fazer empréstimos corado a taxa de juros compostos de: i. 6% ao mês ii. 8% ao mês Calculado o valor omial das otas promissórias N N N N a c d , , 46, seis meses após a data de hoje (0) ,8 364, 05, sete meses após a data de hoje (0) 500, três meses após a data de hoje (0) 3000, seis meses após a data de hoje (0) I. Taxa de 6% ao mês, a data de hoje O valor atual das otas promissória é: 477, , VP 6586, 64 0,06 6 0,06 7 0,06 3 0,06 6 Logo, como R$ 6.586,64 é maior que o valor oferecido, R$ 6.400,00, deve-se recusar a oferta. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 8

13 II. Taxa de 8% ao mês, a data de hoje O valor atual das otas promissória é: 477, , VP 0,08 6 0,08 7 0,08 3 0, ,85 Logo, como R$ 5,96,85 é meor que o valor oferecido, R$ 6.400,00, deve-se aceitar a oferta. 9) Determiada pessoa, ao comprar um carro ovo cujo preço é R$ 0.000,00, teve seu carro usado aceito como etrada. O saldo do preço de veda será pago em cico prestações mesais de R$.600,00, a primeira vecedo um mês após a compra. Saedo-se que a taxa de juros compostos do fiaciameto é de % a.m., qual o valor da avaliação do carro usado? Na data de hoje, a equação de valor é: Vusado 0,0 0,0 0,0 0,0 0, V 549, 0 499, , 04 40, ,90 55, 00 usado V usado , 00 R$ 7.745, 00 0) Uma aplicação o regime de juros compostos durate o prazo de 5 meses, rede juros à taxa de % a.a. e paga imposto de reda igual a 0% dos juros. O imposto é pago o resgate. Qual o motate líquido de uma aplicação de R$8.000,00? 5 J 5/ C i , 69, 07 T t J 0, 69,07 38, S C J T , 07 38, 855,86 l Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 9