Matemática Financeira

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Ecoomia, Admiistração e Cotabilidade de Ribeirão Preto - FEA-RP Matemática Fiaceira Profa. Dra.Luciaa C.Siqueira Ambrozii Juros Compostos 1

2 Juros compostos Cosidera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital, formado o motate do período. Período 1 -> Motate 1 = Capital + Juros 1 Período 2 -> Motate 2 = Capital + Juros 1 (juros acumulados) + Juros 2 (juros sobre juros 1) Aplicação de R$ e taxa composta de 10% a.m. Fial mês 1 -> FV = R$ x (1 + 0,10) = R$ Fial mês 2 -> FV = R$ x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) FV = R$ x (1 + 0,10)² = R$

3 Fial mês 3 -> FV = R$ x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) FV = R$ x (1 + 0,10)³ = R$ Fial mês -> FV = R$ x (1 + 0,10) x (1 + 0,10)... (1 + 0,10) FV = R$ x (1 + 0,10) Fórmula: FV = PV (1 +i) (1 + i ) = fator de capitalização ou FV 1 /(1 + i ) = fator de atualização ou PV PV FV = PV x FCC (i,) FV PV PV = FV x FAC (i,) FV t 3

4 Cálculo dos juros: Juros = FV - PV FV = PV (1 +i) Juros = PV (1 +i) - PV Juros = PV [(1 +i) - 1] Se uma pessoa deseja obter R$ detro de um ao, quato deverá ela depositar hoje uma alterativa de poupaça que rede 1,7% a.m.? FV = R$ ; =1; i=1,7% PV = FV/ (1+i) PV = / (1 + 0,017) 12 PV = , ,70 -> data > data futura São valores equivaletes à uma taxa composta de 1,7% 4

5 Determiar a taxa mesal composta de juros de uma aplicação de R$ que produz um motate de R$ ,63 ao fial de um quadrimestre. PV= R$ ; FV = R$ , 63; =4; i=? FV = PV (1 + i) FV/PV = (1+i) ,63/ = (1+i) 4 1, = 4 (1+i) 4 4 Raiz quarta a HP 1, ENTER 4 [1/x]; y^x = 1, i = 1,0235 = 0,0235 = 2,35% Determiar a taxa mesal composta de juros de uma aplicação de R$ que produz um motate de R$ ,63 ao fial de um quadrimestre. PV= R$ ; FV = R$ , 63; =4; i=? Resolução a HP CHS PV ,63 FV 4 Raiz quarta a HP 1, ENTER 4 [1/x]; y^x = 1,0235 i = 2,35% 5

6 Em juros compostos, o valor presete (capital) ão se refere ecessariamete a um valor expresso o mometo zero. O valor presete pode ser apurado em qualquer data focal aterior à data do valor futuro. Calcular quato será pago por um empréstimo de R$ , vecível em 14 meses ao se atecipar 5 meses a data de pagameto. A taxa composta é de 2,5% a.m. 5 5 PV = / (1 + 0,025) = / (1,025) = R$ ,10 PV = ,10 FV = t Atecipação 6

7 Taxas equivaletes Em juros simples 1/3 = 3/9 Prazos Taxas Taxa de 3% ao mês e 9% ao trimestre São equivaletes e proporcioais Em juros compostos q i q = 1 + i 1 q = úmero de períodos de capitalização Exemplo Qual a taxa equivalete composta mesal para uma taxa semestral de 1,66%? 6 i 6 = 1 + 0, i = 0,0166 ou 1,66% a.m. Assim,para um mesmo capital e prazo de aplicação é idiferete (equivalete) o redimeto de 1,66% a.m. ou 10,3826 a.s. 7

8 Taxas equivaletes Supoha um capital de $ aplicado por 2 aos. i = 1,66% a.m. 24 FV = (1, 0166) = ,63 4 FV = (1,103826) = ,63 Exemplo Um certo baco divulga a retabilidade para uma aplicação fiaceira de 12% a.s. ou 2% a.m. Assim, uma aplicação de R$ , ao fial de 6 meses, gera um motate de R$ ( x 1,12). 12% = Taxa de retabilidade da operação para um período 6 i 6 = 1,12 1 = 1,91% a.m. A base da taxa para uma periodicidade diferete, por exemplo, mesal, deve ser expressa em termos de taxa equivalete composta 8

9 Taxa omial e efetiva A taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada durate todo o prazo, sedo formada através dos períodos de capitalização. Taxa efetiva (i ) = (1 + i ) - 1 f q = úmero de períodos de capitalização q A taxa omial admite que o prazo de capitalização dos juros ão é o mesmo daquele defiido para a taxa de juros. Por exemplo: taxa omial de 36% a.a. capitalizada mesalmete 36% a.a. represeta uma taxa omial expressa para o período iteiro. Taxa omial e efetiva Quado se trata de taxa omial, é comum admitir-se que a capitalização ocorre por juros simples. Ao se capitalizar esta taxa omial, apura-se a taxa efetiva superior àquela declarada a trasação. taxa omial de 36% a.a. Taxa proporcioal simples defiida para o período de capitalização = 3% a.m. 12 Taxa efetiva de juros: i = [1 + (0,36/12)] - 1 = 42,6% a.a. f Para juros capitalizados mesalmete 9

10 Coversão de taxa efetiva em omial Para efeitos de comparação de custos de para operações fiaceiras, faz-se ecessário que as taxa sejam refereciadas segudo o mesmo critério de apuração de juros. O baco A oferece crédito pessoal ao custo de 4,2% a.m. O baco B diz que cobra uma taxa omial somete de 4,12%. Os juros da operação são calculados diariamete. Com qual baco a operação é mais vatajosa? Coversão de taxa efetiva em omial Baco A - Taxa efetiva: 4,2% a.m Coversão em taxa omial: 1 + 0,042-1 = 0,137234% a.d. x 30 = 4,12% a.m. Baco B - Coversão em taxa efetiva: 4,12/30 = 0,137333% a.d. 30 (1 + 0,137333) - 1 = 4,2% a.m. - Taxa omial: 4,12% a.m. 10

11 Coversão de taxa efetiva em omial Trasformar a taxa efetiva de 48% a.a. em taxa omial com capitalização mesal ,48-1 = 3,3210% a.m. x 12 = 39,852% a.a. Taxa efetiva e úmero de períodos de capitalização O que acotece com a taxa efetiva à medida que o úmero de período de capitalização de uma taxa de juros omial aumeta? + frequêcia de capitalização de uma mesma taxa omial -> + redimeto acumulado taxa omial de 18% a.a. Período de capitalização Nº de períodos Tx Efetiva aual Aual 1 18% Semestral 2 18,81% Quadrimestral 3 19,10% Trimestral 4 19,25% Mesal 12 19,56% Diário ,72% 11

12 Coveção liear e expoecial para períodos ão iteiros Capitalização descotíua: os juros são formados somete ao fial de cada período de capitalização. Os redimetos passam a ocorrer descotiuamete, somete um úico mometo do prazo da taxa (fial do mês) e ão distribuidamete pelo mês. Nestes casos, ão poderia haver a icorrêcia de juros o itervalo de tempo fracioário, somete ao fial do período completo. Como proceder quado a formação de juros e a icorporação ao pricipal se dá em itervalos de tempo iferiores a um período iteiro? Coveção liear Admite a formação de juros compostos para a parte iteira do prazo e de juros simples para a parte fracioária. FV = PV (1 + i ) x [1 + i x (m/k)] Ode: m/k correspode à parte fracioária do prazo O uso deste critério a prática é bastate reduzido. 12

13 Coveção liear cosidere o capital de R$ emprestados à taxa de 18% ao ao pelo prazo de 4 aos e 9 meses. Calcular o motate deste empréstimo pela coveção liear. FV = PV (1 + i ) x [1 + i x (m/k)] 4 FV = x (1 + 0,18) x [1 + 0,18 x (9/12)] FV = x 1, x 1,135 = FV = R$ ,30 Na HP: tirar o c STO EEX CHS PV 4,75 18 i FV ,30 Coveção expoecial Adota o mesmo regime de capitalização para todo o período, ou seja, utiliza capitalização composta para a parte iteira e fracioada. FV = PV (1 + i ) + m/k 4 + 9/12 FV = x (1 + 0,18) 4 + 0,75 FV = x (1,18) FV = R$ ,50 Na HP: deixa o c STO EEX CHS PV 4,75 18 i FV ,53 13

14 Capitalização cotíua Usualmete, as operações fiaceiras são capitalizadas de forma fiita e discreta, podedo chegar a uma capitalização de frequêcia diária. Por outro lado, pela capitalização cotíua pode-se prever uma capitalização ifiitamete frequete. FV = PV x e I. e = úmero costate, base dos logarítimos eperiaos (e=2, ) I = taxa de juro periódica, taxa istatâea Capitalização cotíua admita uma aplicação de R$ por dois aos, à taxa de 10% com capitalização cotíua. Qual o motate apurado ao fial desse período com capitalização cotíua e as codições de capitalização discreta de juros compostos? FV = PV x e I. FV = R$ x 2,7182 0,10 x 2 FV = R$ 1.221,40 FV = PV x (1 + i ) 2 FV = R$ x (0,10) FV = R$ 1.210,00 14