MOMENTOS DE INÉRCIA. Física Aplicada à Engenharia Civil II

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1 Física Aplicada à Egeharia Civil MOMENTOS DE NÉRCA Neste capítulo pretede-se itroduzir o coceito de mometo de iércia, em especial quado aplicado para o caso de superfícies plaas. Este documeto, costitui apeas um istrumeto de apoio às aulas de Física Aplicada à Egeharia Civil.

2 Física Aplicada à Egeharia Civil MOMENTOS DE NÉRCA. DEFNÇÃO Em termos gerais, pode-se defiir mometo de iércia, como a resistêcia que um determiado elemeto oferece ao movimeto de rotação. Cosiderado um poto material costituído por uma pequea massa m, o mometo de iércia desse poto material, em relação a um eixo, é, por defiição, o produto da massa do poto pelo quadrado da distâcia ao eixo. Figura. Mometo de iércia de um poto material relativamete a um eixo. Tedo por base, a figura aterior o mometo de iércia do poto de massa ecotra à distâcia r do eixo AA, é dado por: m, que se = r m No etato, ão faz muito setido falar de potos materiais isolados, mas sim abordar um cojuto de potos materiais, ou seja, cosiderar um sistema costituído por vários potos materiais (aida que idepedetes, ou descotíuos), esse caso pode-se defiir o mometo de iércia como sedo o devido ao referido cojuto de potos materiais, dados pela seguite expressão: = mr i i

3 Física Aplicada à Egeharia Civil Que traduz a soma dos mometos de iércia de todos os potos que costituem o sistema material. Por outro lado, quado se está perate um sistema material cotíuo, a abordagem assume outra perspectiva, ou seja, é ecessário recorrer ao coceito de cotíuo que se baseia a aplicação de cálculo itegral, traduzido pela seguite expressão: = rdm M.. Desigações corretes Os mometos de iércia, podem apresetar diferetes desigações, depededo da base de referêcia (plaos, eixos, ou potos), relativamete à qual são determiados, assim tem-se para: Plaos mometos de iércia plaares; Eixos mometos de iércia axiais; Potos mometos de iércia polares. Refira-se porém que o mometo de iércia plaar ão ecotra aplicação prática em egeharia. O mometo de iércia axial é o de utilização correte, sedo usual desigar-se simplesmete por mometo de iércia, quado se deseja fazer referêcia a um mometo de iércia axial... Propriedades dos mometos de iércia Os mometos de iércia têm as seguites propriedades: São sempre gradezas positivas, uma vez que a massa é uma gradeza positiva e o quadrado de uma distâcia também; Só é ulo para potos sobre a base de referêcia (plao, eixo, ou poto); Nuca é egativo. Assim defiidos os mometos de iércia, têm como uidades kg m. Uma outra propriedade dos mometos de iércia é o raio de giração (i), que se defie como a distâcia, em relação à base de referêcia, a que se deve cocetrar toda a massa para que o seu mometo de iércia, em relação a essa base de referêcia, permaeça costate. A aplicação desta propriedade traduz-se pela seguite expressão: 3

4 Física Aplicada à Egeharia Civil i = m..3 Represetação dos mometos de iércia um sistema de eixos coordeados Recorredo à defiição de sistemas materiais cotíuos, já apresetada ateriormete, recorre-se à seguite expressão: = rdm M em que r, represeta a distâcia do elemeto de massa dm, ao eixo de referêcia. No etato, os elemetos de massa podem passar para elemetos de volume, pelo coceito de massa volúmica ρ, em que: dm ρ = dm = ρdv dv quado se está perate corpos com material homogéeo ρ = cost., tedo por base a figura seguite: Figura. Represetação o espaço de um elmeto de volume. Desta forma a determiação do mometo de iércia relativamete ao eixo dos ZZ será dada por: Z = rdm, em que z r = x + y e dm ρdv z =, tem-se etão Z = ( + ) x y ρdv 4

5 Física Aplicada à Egeharia Civil de forma aáloga obtêm-se os mometos de iércia relativamete aos eixos dos e dos YY, que são dadas pelas seguites expressões: ( ) ρ ; Y = ( + ) = y + z dv x z ρdv. TEOREMA DOS EOS PERPENDCULARES Este teorema também é cohecido pelo teorema das placas fias. Cosidere-se um elemeto (ou corpo) com duas direcções bastate desevolvidas comparativamete com uma terceira, a qual apreseta um desevolvimeto muito reduzido. A um elemeto com estas características dá-se a desigação de placa fia. Figura 3. Exemplo de um placa fia. Para a placa represetada a figura 3, o mometo de iércia relativamete ao eixo Z é Z ( ) = ρ x + y dv já relativamete aos eixos e Y, uma vez que a espessura a direção Z é desprezável, os mometos de iércia represetam-se da seguite forma: = ρ ydv; Y = ρ xdv Neste caso, Z = + Y, pelo que se coclui que, o mometo de iércia de um eixo perpedicular a uma placa é dado pela soma dos mometos de iércia, relativos aos eixos perpediculares assetes sobre a placa, Teorema dos Eixos Perpediculares. 5

6 Física Aplicada à Egeharia Civil.3 TEOREMA DOS EOS PARALELOS ( OU TEOREMA DE STENER) O Teorema dos eixos paralelos, mais cohecido por Teorema de Steier, também relacioa etre si mometos de iércia, determiados em relação a eixos paralelos, em que pelo meos um passa pelo baricetro, ou cetróide do corpo. Cosidere-se a figura 4, em que r i, represeta a distâcia de m i ao eixo Z e r ic, represeta a distâcia de m i ao eixo Z C, sedo Z paralelo a Z C, afastados etre si de d. Figura 4. Aplicação do Teorema de Steier. Geometricamete, verifica-se que: r = x + y e i i i ric = xic + yic, em que xi = xic e yi = yic + d Por defiição, os mometos de iércia, relativamete a Z e Z C, são: Z = mr e i i ZC = mr i ic para os relacioar, basta estabelecer uma relação etre ( ) r i e r = x + y + d r = x + y + d + y d r = r + d + y d i ic ic i ic ic ic i ic ic r ic, pode-se etão escrever multiplicado os dois termos por m, vem i 6

7 Física Aplicada à Egeharia Civil mr i i = mr i ic+ d mi+ d my i ic em m i = M, uma vez que represeta a massa total do corpo e mometo estático do corpo em relação a um eixo baricêtrico, pelo que se obtém my i ic = 0 represeta o = + M d Z Z C Desta forma, a defiição do Teorema de Steier cosiste, o seguite: o mometo de iércia relativo a um eixo qualquer Z, é dado pela soma do mometo de iércia relativo a um eixo baricêtrico paralelo Z C, com o produto da massa total do corpo, pelo quadrado da distâcia etre os dois eixos..4 MOMENTOS DE NÉRCA DE SUPERFÍCES PLANAS Numa perspectiva de Egeharia Civil, a aplicação do coceito de mometo de iércia, está gereralizada para superfícies plaas, omeadamete quado aplicado a secções trasversais de elemetos lieares prismáticos, como sejam por exemplo, o caso de vigas e pilares. No etato, covém partir da defiição geral que se apreseta de seguida..4. Defiição Em termos coceptuais, o mometo de iércia, também é cohecido como mometo de seguda ordem. Cosiderado uma superfície fiita em relação a um eixo arbitrário o plao da área, o mometo de iércia é dado pelo somatório dos mometos de iércia em relação a esse mesmo eixo de todos os elemetos de área cotidos a superfície fiita. Quado determiado por itegração assume a seguite forma: yda = ; Y = xda Figura 5. Superfície fiita. 7

8 Física Aplicada à Egeharia Civil Quado se cosidera uma superfície plaa composta por subáreas A i, o itegral é substituído por um somatório: = ( ) ; ( ) i = Y Y i Em termos de uidades, os mometos de iércia represetam a quarta potêcia de uma distâcia, que em uidades S é [m 4 ]..4. Raio de giração Apesar de ão possuir qualquer sigificado físico, é frequetemete utilizado para fis comparativos, é defiido por: i A A Y = ; iy = Dado que as uidades de, represetam a quarta potêcia de uma distâcia e A é o quadrado de uma distâcia, o raio de giração tem uidades de comprimeto, em uidades S é [m]..4.3 Mometo de iércia polar O mometo de iércia polar, ou mometo polar de iércia, é dado pela soma dos mometos de iércia de uma dada superfície plaa, em relação a dois eixos perpediculares quaisquer, cetrados o poto de referêcia. Tedo por exemplo a figura 5, o mometo de iércia relativamete à origem é dado por: O = + Y.4.4 Teorema de Steier ou dos eixos paralelos O Teorema de Steier para mometos de iércia de uma área fiita mostra que o mometo de iércia de uma área em relação a um eixo arbitrário é igual à soma do mometo de iércia em relação a um eixo paralelo que passa o baricetro da área com o produto da área pelo quadrado da distâcia, medida a perpedicular, etre os dois eixos. Cosiderado a figura 6, os eixos G e Y G passam o baricetro da superfície plaa. Os eixos e Y, são eixos paralelos localizados às distâcias x e y dos eixos baricêtricos. Cosiderado A, como a área total da figura, tem-se etão que: = + ( ) ; = + A( x ) A y G Y Y G 8

9 Física Aplicada à Egeharia Civil em que G e Y G são os mometos de iércia em relação aos eixos baricêtricos e e Y, são os mometos de iércia em relação aos eixos e Y. Figura 6. Teorema de Steier..4.5 Produto de iércia Cosidere-se a superfície fiita represetada a figura 5, o produto de iércia em relação aos eixos e Y, o plao da área é dado pela soma dos produtos de iércia em relação a esses mesmos eixos de todos os elemetos de área cotidos a superfície fiita. Tem-se etão por itegração: Y = xyda Para uma superfície plaa composta por subáreas A i, cujos produtos de iércia são cohecidos em relação aos eixos e Y, o itegral é substituído pelo somatório, tem-se etão: = ( ) Y Y i O produto de uma secção pode ser positivo ou egativo (coforme a área se situe em relação aos eixos) ou ulo. É ulo se pelo meos um dos eixos, é um eixo de simetria. Em termos de uidades, os produtos de iércia represetam a quarta potêcia de uma distâcia, que em uidades S é [m 4 ]..4.6 Teorema de Steier aplicado a produtos de iércia Cosiderado a figura 6, o teorema de Steier para produtos de iércia de uma superfície fiita mostra que o produto de iércia de uma superfície em relação aos eixos e Y é igual à soma do produto de iércia em relação aos eixos o baricetro da superfície e são paralelos 9

10 Física Aplicada à Egeharia Civil a e Y, com o produto da área pelas duas distâcias medidas a perpedicular ao baricetro da superfície. Os eixos G e Y G passam o baricetro da superfície plaa. Os eixos e Y, são eixos paralelos localizados às distâcias x e y dos eixos baricêtricos. Cosiderado A, como a área total da figura, tem-se etão que: = + Ax y Y GYG em que GY represeta o produto de iércia em relação aos eixos baricêtricos e G Y, o produto de iércia em relação aos eixos e Y..5 TRANSPOSÇÃO DE EOS DE NÉRCA Cosidere-se a figura 7 a qual está represetada uma superfície de área A, tedo por base o elemeto de área represetado, verfica-se a existêcia de algumas relações etre as coordeadas e Y e as coordeadas U e V, omeadamete: u = x cosθ + yseθ ; v = y cosθ xseθ Por defiição sabe-se que: Figura 7. Trasposição de eixos de iércia. = yda; Y = xda; Y = xyda 30

11 Física Aplicada à Egeharia Civil e que U = vda; V = uda; UV = uvda utilizado as relações etre coordeadas, aplicadas às últimas expressões obtém-se: ( cosθ θ) U = y xse da; ( cos ) V = x θ + yseθ da; UV = ( xcosθ + yseθ)( ycosθ xseθ) da; desevolvedo ( cos θ θ θcosθ) ( cos θ θ θcosθ) ( cos θ θcosθ θcosθ θ) U = y + x se xyse da; V = x + y se + xyse da; UV = xy x se + y se xyse da ; = y cos θda+ x se θda xyseθcosθda U V ; cos θ θ θcosθ ; ( cos θ θ) ( ) θ cosθ ; = x da+ y se da+ xyse da = xy se da + y x se da UV = cos θ y da + se θ x da seθcosθ xyda U ; θ θ θ θ ; ( cos θ θ) θ cosθ ( ) ; = cos x da + se y da + se cos xyda V = se xyda + se y x da UV = cos θ + se θ se θ ; U Y Y V Y Y ( ) ( ) = se θ + cos θ + se θ ; Y UV = se( θ ) + Y cos( θ ); Com base estas expressões, uma vez cohecidos os mometos de iércia e o produto de iércia relativamete aos eixos e Y, é possível determiar aaliticamete os mometos de iércia e produto de iércia relativamete a quaisquer eixos U e V, que estejam rodados relativamete a e Y de θ, o setido ati-horário (como está represetado a figura 7). As três equações obtidas podem ser expressas só em fução de θ, utilizado as seguites relações trigoométricas: 3

12 Física Aplicada à Egeharia Civil ( θ ) + cos cos θ = ; ( θ ) cos se θ = passado a ser escritas como: + Y Y U = + cos( θ ) Yse( θ ); + Y Y V = cos( θ ) + Yse( θ ); Y UV = se( θ ) + Y cos( θ ); A primeira e a terceira, são as equações paramétricas de uma circuferêcia. sto sigifica que, se for escolhido um par de eixos cartesiaos e se se desehar um poto M de abcissa U e ordeada UV, para um valor geérico do parâmetro θ, todos os potos assim obtidos ecotrar-se-ão sobre uma circuferêcia. Para o verificar-mos elimia-se θ das equações, da seguite forma: + Y Y U = + cos( θ ) Yse( θ ); Y UV = se( θ ) + Y cos( θ ); + Y Y U = cos( θ ) Yse( θ ); Y UV = se( θ ) + Y cos( θ ); elevado agora ao quadrado os membros das equações e adicioado, obtém-se + Y Y Y U + ( UV ) = cos( θ ) Yse( θ) + se( θ) + Y cos( θ) Y Y U + + ( UV ) = + ( Y) fazedo méd. Y Y = e R= + ( Y ) + 3

13 Física Aplicada à Egeharia Civil aquela igualdade pode-se escrever a forma seguite ( ) ( ) U méd. + UV = R que é a equação de uma circuferêcia de raio R e cetro o poto C, cujas coordeadas x e y são méd. e zero respectivamete. P UV M (U ; UV) R 0 mí. méd. U máx. Figura 8. Note-se aida que a equação de V e UV, também são as equações paramétricas da mesma circuferêcia. Só que este caso, devido à simetria da circuferêcia em relação ao eixo horizotal, obter-se-ia um poto geérico N, de coordeadas ( V ; - UV ), como se mostra a figura seguite. P mí. V méd. 0 máx. R - UV N (V ; -UV) Figura 9. 33

14 Física Aplicada à Egeharia Civil Os potos ode a circuferêcia itersecta o eixo horizotal, têm um iteresse especial; o poto à direita correspode ao valor máximo do mometo de iércia máx., equato que o poto à esquerda correspode ao valor míimo do mometo de iércia mí.. Além disso, para ambos os potos o produto de iércia é ulo. Relativamete ao parâmetro θ, obtém-se mediate o cálculo dos máximos e míimos da fução U desta forma:, que traduz o âgulo que as rectas ( M ) e ( ) méd. ; méd. ; N fazem com a horizotal, d U 0 dθ = Y ( ) se( θ) Y ( ) cos( θ) = 0 Y se( θ ) = Y cos( θ ) se( θ ) Y cos θ = ( ) Y ta ( θ ) = Y Y.6 EOS PRNCPAS DE NÉRCA Como já se viu, para qualquer poto geérico situado o plao de uma superfície existem sempre dois eixos perpediculares, que se cruzam esse poto, em relação aos quais os mometos de iércia da superfície são deomiados mometos pricipais de iércia, um deles máximo e o outro míimo. máx. + Y Y = + + ( ) Y = + R máx. méd. mí. + Y Y = + ( ) Y = R mí. méd. 34

15 Física Aplicada à Egeharia Civil.7 CÍRCULO DE MOHR O círculo de Mohr para mometos de iércia, é um método gráfico que se baseia o traçado da circuferêcia atrás referida, cohecidos, Y e Y, para uma dada superfície em relação ao par de eixos e Y. Com base este método é possível determiar: i) Eixos e mometos pricipais de iércia em relação ao poto, que é o cetro de simetria dos eixos; ii) Mometos de produtos de iércia, da mesma superfície em relação a qualquer par de eixos ortogoais U e V, que se cruzem o cetro do sistema de eixos e Y. Cada poto da circuferêcia represeta a imagem de um eixo, represetado a circuferêcia a ifiidade de eixos que se cruzam um determiado poto. Dois eixos perpediculares são represetados por dois potos diametralmete opostos, como se mostra por exemplo a figura 0. P Y (;Y) R θ 0 B Y θ C A R - Y Y (Y;-Y) Figura 0. Círculo de Mohr..7. Método gráfico De seguida apresetam-se as várias etapas que compõem o traçado do desigado método gráfico do círculo de Mohr de mometos de iércia para superfícies plaas.. Graduam-se os eixos e marcam-se e Y sobre o eixo dos ;. A partir de, marca-se Y (para cima se é positivo ou para baixo se é egativo), obtém-se a imagem o círculo do eixo dos ; 35

16 Física Aplicada à Egeharia Civil 3. A partir de Y, marca-se Y, obtedo-se o poto Y. Ue-se com Y e ecotrase C, o poto de itercepção com o eixo dos ; 4. Traça-se a circuferêcia com raio C. A circuferêcia corta o eixo dos, os potos A e B. Medem-se as distâcias OA e OB. 5. O âgulo que C faz com CA é θ, partido do eixo dos, com o setido da rotação de C para coicidir com CA, fica determiada a posição de um eixo pricipal ; o eixo é perpedicular o poto base. Nota: Os âgulos o círculo, são sempre duplos dos reais..8 EERCÍCOS Nesta secção serão resolvidos algus exercícios, para uma melhor percepção prática da aplicação dos coceitos teóricos..8. Exercício Dada a secção represetada a figura, determie: Y Y' A B ' a) O cetro de gravidade relativamete aos eixos Y. b) O mometo de iércia relativamete ao poto A. c) O círculo de Mohr para o poto A. dique a figura os eixos pricipais de iércia e determie os mometos pricipais de iércia. d) O mometo de iércia relativamete ao eixo Y. e) O círculo de Mohr para o poto B idicado os eixos pricipais de iércia. 36

17 Física Aplicada à Egeharia Civil f) Determie o volume gerado pela rotação da peça em toro do eixo Y. Diga e eucie o teorema em que se baseu. R: Em primeiro lugar covém dividir a superfície um cojuto de figuras cohecidas. Como por exemplo se apreseta em seguida. 3 4 De otar que a figura 3 correspode a um rectâgulo que se irá retirar ao cojuto das outras figuras. a) Relativamete aos eixos Y, o cetro de gravidade será: x CG Ai xi = = 3, 00 cm A i correspode a um eixo de simetria da superfície. y CG π A ( 6 () ) ( 3 (,5) i yi + + ) + 3 π 3 = =, 98 cm A π 3 3 i + ( 6 ) ( 3 ) + b) Correspode ao mometo polar de iércia, que é dado pela soma de A com YA, A π = = 68,8 cm

18 Física Aplicada à Egeharia Civil YA = + + = 66,68 cm π 3 6 3,5 4 etão = + = 68,8+ 66,68 = 35,49 cm A A YA 4 c) Como o eixo Y é um eixo de simetria, os eixos e Y são eixos pricipais de iércia, etão como A > YA o eixo é o eixo pricipal máximo e o eixo Y o eixo pricipal míimo. Logo o produto de iércia AYA = 0, etão o círculo de Mohr será o seguite P 0 Y (66,68;0) C (68,8;0) Relativamete aos eixos pricipais de iércia e coicidem com e Y respectivamete, como se mostra a figura seguite. Y A Quato aos valores dos mometos pricipais de iércia, são = = 68,8 cm A A 4 A = YA = 66,68 cm 4 38

19 Física Aplicada à Egeharia Civil d) Como o eixo Y é paralelo ao eixo Y, e sedo este um eixo que passa o cetro de gravidade da superfície, pode-se aplicar directamete o teorema de Steier, obtedose etão Y' = YA +, em que A é a área da superfície e d é a distâcia etre Y e Y A d Y ' = 66,68 + 6,4 3 = 30,94 cm 4 e) Para traçar o círculo de Mohr para o poto, é ecessário determiar B, YB e BYB. Na alíea aterior determiou-se Y' = YB, falta etão determiar B e BYB. Para determiar B, vai-se utilizar o valor de A, traspodo-o para o cetro de gravidade da superfície e daí para o eixo B. Tem-se etão = + A d A CG ( ) 4 68,8 = + 6,4,98 = 68,80 cm CG CG e agora far-se-á a trasposição, do cetro de gravidade para o eixo B = + A d B CG = 68,80 + 6,4,98 = 7,8 cm B 4 B Agora irá determiar-se BYB BYB π = 0+ ( 3) + ( 0+ 6 ( 3) ( ) ) ( 0+ 3 ( 3) ( 0,5) ) + 3 π ( 3) = 0,5 cm 3 4 Cohecedo B, YB e BYB, pode-se traçar o círculo de Mohr, para o poto B. 39

20 Física Aplicada à Egeharia Civil P 0 (7,8;-0,5) C Y (30,94;0,5) Os eixos pricipais de iércia estão represetados o círculo como e e correspodem respectivamete ao eixo pricipal de iércia máximo e míimo. Em seguida apreseta-se a sua represetação a superfície. Y B f) A determiação do volume gerado pela rotação de uma superfície plaa em toro de um eixo, baseia-se a aplicação do º teorema de Pappus Guldius, o qualse baseia o cáculo de volumes a partir da revolução de superfícies plaas em troo de eixos. V = θ d A S em que θ, é o âgulo de rotação em radiaos, d é a distâcia etre o eixo de rotação e o cetro de gravidade da superfície plaa e A S é a área da superfície, tem-se etão V = π 6,4 3 = 49,73 m 3 40

21 Física Aplicada à Egeharia Civil.9 BBLOGRAFA Beer, F.; Johsto, E. Mecâica Vectorial para Egeheiros Estática (sexta edição), MacGrawHill, 998. Meriam, J.; Kraige, L. Egieerig Mechaics Statics (fourth editio), Joh Willey & Sos, NC, 998. Brazão Fariha, J. Tabelas Técicas, Edições Técicas E. T. L. L. da,

22 Física Aplicada à Egeharia Civil 4