a k. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

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1 MATEMÁTICA NOTAÇÕES : cojuto dos úmeros aturais; = {,,, } : cojuto dos úmeros iteiros : cojuto dos úmeros racioais : cojuto dos úmeros reais : cojuto dos úmeros complexos i: uidade imagiária, i = z: módulo do úmero z z: cojugado do úmero z Re(z): parte real do úmero z det A : determiate da matriz A A t : trasposta da matriz A P(A): cojuto de todos os subcojutos do cojuto A (A): úmero de elemetos do cojuto fiito A P(A): probabilidade de ocorrêcia do eveto A f o g : fução composta das fuções f e g [a, b]: {x ; a x b} [a, b[: {x ; a x < b} ]a, b]: {x ; a < x b} ]a, b[: {x ; a < x < b} A\B = {x; x A e x B} k a = a + a a k, k = Observação: Os sistemas de coordeadas cosiderados são cartesiaos retagulares. E Das afirmações: I. Se x, y \ Q, com y x, etão x + y \ ; II. Se x e y \, etão xy \ ; III. Sejam a, b, c, com a < b < c. Se f:[a, c] [a, b] é sobrejetora, etão f ão é ijetora, é (são) verdadeira( s ) a) apeas I e II. b) apeas I e III. c) apeas II e III. d) apeas III. e) ehuma. I) Falsa Se x, y \ =, com y x, etão x e y são irracioais. Nos exemplos abaixo, os úmeros x e y são irracioais, mas a soma deles é racioal. x = + y = x + y = + + = \, pois. ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

2 II) Falsa Se x, etão x pode ser ulo. Neste caso, x. y = 0 e x. y xy \ III) Falsa Cosidere a fução f: [a; c] [a; b], estritamete decrescete o itervalo [a; c], defiida pelo grá fico a seguir. Ela é ijetora, pois é estritamete decrescete, e é sobrejetora, pois Im(f) = [a; b] = CD(f). ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

3 E Cosidere as fuções f, g:, f(x) = ax + m, g(x) = bx +, em que a, b, m e, são costates reais. Se A e B são as images de f e de g, respectivamete, etão, das afirmações abaixo: I. Se A = B, etão a = b e m = ; II. Se A =, etão a = ; III. Se a, b, m,, com a = b e m =, etão A = B, é (são) verdadeira(s) a) apeas I. b) apeas II. c) apeas III. d) apeas I e II. e) ehuma. I) Falsa. Cosidere as fuções f: f(x) = x + e g: g(x) = x ; otemos que a b, pois a = e b =, e m, pois m = e = Como se vê o gráfico a seguir, ambas possuem o mesmo cojuto imagem. II) Falsa. Na fução f do primeiro item, a =, apesar de A =. III) Falsa. Cosidere as fuções f: f(x) = x + e g: g(x) = x, Neste caso, temos: a = b e m =. Veja que Im (f), pois f(0) =, e Im(g), pois g(x) = x = x = D(g) = Se Im (f) = A e Im(g) = B, etão A B. ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

4 D A soma = log / log / 8 + é igual a 8 5 a). b). c) d). e). 8 5 I) log =. log =. ( 5) = II) log (8 + ) = ( + ). log 8 = = ( + ). ( ) = ( + ) 5 log III) / = = = log / 8 + = ( + ) 5 5 = =. = ( + ) ( + ) = 5 = = =. =. = =. = 0 8 = ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

5 A Se z, etão z 6 z (z z ) z 6 é igual a a) (z z ). b) z 6 z 6. c) (z z ). d) (z z) 6. e) (z z) (z z ). Lembrado que z = z. z, temos: z = z. z Assim: z 6 z (z z ) z 6 = z 6. z. z. (z z ) z 6 = = z 6 z. z + z z z 6 = (z z ) ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

6 5 E Sejam z, w. Das afirmações: I. z + w + z w = (z + w ); II. (z + w ) (z w ) = z w; III. z + w z w = Re (z w), é (são) verdadeira ( s) a) apeas I. b) apeas I e II. c) apeas I e III. d) apeas II e III. e) todas. Cosideremos os úmeros complexos z = a + bi e w = c + di, com a, b, c e d reais. Temos z = a + b, w = c + d, z + w = (a + c) + (b + d)i, z w = (a c) + (b d)i z + w = (a + c) + (b + d) e z w = (a c) + (b d) Assim, temos: I) Verdadeira z + w + z w = = [(a + c) + (b + d) ] + [(a c) + (b d) ] = = a + c + b + d = (z + w ) II) Verdadeira (z + w) (z w) = = (z + z w+ w ) (z z w+ w ) = z w III) Verdadeira z + w z w = = [(a + c) + (b + d) ] [(a c) + (b d) ] = = ac + bd = Re (z w ), pois z w = (a + bi). (c di) = (ac + bd) + (bc ad)i e Re(z. w ) = ac + bd ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

7 6 C Cosidere os poliômios em x da forma p(x) = x 5 + a x + a x + a l x. As raízes de p(x) = 0 costituem uma progressão aritmética de razão quado (a, a, a ) é igual a a) 5. b) 5, 0,,,. c) 5. d) 5, 0,, 0,. e),,. I) O cojuto solução da equação x x + a. x + a. x + a. x + 0 = 0 é V = a ; a ; a; a + ; a +, com (a ) + a + a + a + + (a + ) = 0 a = 0 II) V =,, 0,, III) O poliômio p, a forma fatorada, é p(x) =. (x + ) x+.(x 0) x p(x) = x (x ) x p(x) = x x x + p(x) = x 5 5 x + x IV) x 5 + a x + a x + a x = x 5 5 x + x 5 a =, a = 0, a = 5 (a, a, a ) =, 0, 5. (x ) ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

8 7 D Para os iteiros positivos k e, com k, sabe-se que + =. k + k + k + Etão, o valor de é igual a + a) +. b) + +. c) + +. d) +. e). + Sedo S = , temos: ( + ) S = ( + ) S = ( + ) S = + ( + ) S = + S = ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

9 8 C Cosidere as seguites afirmações sobre as matrizes quadradas A e B de ordem, com A iversível e B atissimétrica: I. Se o produto AB for iversível, etão é par; II. Se o produto AB ão for iversível, etão é ímpar; III. Se B for iversível, etão é par. Destas afirmações, é (são) verdadeira(s) a) apeas I. b) apeas I e II. c) apeas I e III. d) apeas II e III. e) todas. I) Verdadeira. () Se B é atissimétrica, etão B t = B =. B e det (B t ) = det (. B) = ( ). det B = det B, pois o determiate de uma matriz é igual ao da sua trasposta. () Se o produto AB for iversível, etão: det (AB) 0 det A. det B 0 det A 0 e det B 0 () Dos ites () e (), temos: ( ). det B = det B ( ) det B = = e, det B portato, é par. II) Falsa. Se A é iversível e AB ão é iversível, etão det B = 0, pois det A 0 e det (AB) = 0. 0 a 0 b 0 a 0 0 c A matriz B =, com a, b e c b c 0 ão ecessariamete ulos, é atissimétrica e det B = 0, porém, este caso, = (par). III) Verdadeira. Se B for iversível, etão det B 0; sedo assim, da igualdade ( ). det B = det B, teremos: ( ) det B = = e, portato, é par. det B ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

10 9 B Sejam A = e B = y x x + y z + matrizes reais tais que o produto AB é uma matriz atissimétrica. Das afirmações abaixo: I. BA é atissimétrica; II. BA ão é iversível ; III. O sistema (BA)X = 0, com X t = [x x x ], admite ifiitas soluções, é (são) verdadeira(s) a) apeas I e II. b) apeas II e III. c) apeas I. d) apeas II. e) apeas III. AB = = y x x + x y y z + z = = x + y + + z + x y + z y(x+) x(y )+z+ xy xy + z x y z x = y + z + 6 x + y + z + x y + z z Se AB é atissimétrica, etão: (AB) = (AB) t x y + z + 6 x y + z = x + y + z + z x y + z + 6 x + y + z + = x y + z z x y + z + 6 = 0 z = 0 x =, y = 5 x + y + z + = (x y + z) z = 0 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

11 Assim, temos: A =, B = 5, BA = = e det (BA) = 8 8 = 0 I) Falsa, pois BA (BA) t II) Verdadeira, pois det BA = 0 III) Verdadeira, pois (BA) X = 0 x com X = x sedo um sistema liear homo - x gêeo e, como det (BA) = 0, o sistema admite ifiitas soluções, além da solução trivial. ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

12 0 A Seja M uma matriz quadrada de ordem, iversível, que satisfaz a igualdade det(m ) det( M ) = 9 det(m). Etão, um valor possível para o determiate da iversa de M é 5 a). b). c). d) 5. e). det (M ) det ( M ) = det (M) 9 (det M) ( ) (det M) =. det M 9 8(det M). (det M) = 6 det M 8det M. (det M) = 6 (det M) det M + = 0 det M = ou det M = det M = ou det M = ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

13 B Cosidere a equação A(t)X = B(t), t, em que e t x et A(t)=, X = y eb(t) =. 0 Sabedo que det A(t) = e t 0, os valores de x, y e z são, respectivamete, a), 0,. b), 0,. c) 0,,. d) 0,,. e),, 0. I) Fazedo e t = a e t = a matriz a e t A(t) = e sedo det A(t) =, com t 0, tem-se: a e t a a = ou a = = a a + = 0 II) e t = a e t = ou e t = e t =, pois t 0 III) e t = e t = IV) A(t).X = B(t) e t z x. y. z 0 x y z = x z = x + y + z = y = 0 x + y + z = 0 x + z = 0 x = y = 0 z = ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

14 A Cosidere o poliômio complexo p(z) = z + a z + 5 z i z 6, em que a é uma costate complexa. Sabedo que i é uma das raízes de p(z) = 0, as outras três raízes são a) i,,. b) i, i,. c) i, i,. d) i,,. e ) i, i, i. I) Já que i é raiz da equação, temos: (i) + a. (i) + 5. (i) i (i) 6 = 0 6 8ai = 0 8ia = 8 a = i II) O poliômio p(z) é divisível por z i e, portato: z + iz + 5z iz 6 0 III) z + iz + 5z iz 6 = 0 (z i) (z + iz z i) = 0 (z i) (z ) (z + i) = 0 z = i ou z = ou z = ou z = i IV) As outras raízes de p(z) = 0 são i,, z i z + iz z i ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

15 E ab Sabedo que se x =, a 0 e b 0, um possível a + b valor para cossec x tg x é a b a + b a b a). b). c). ab ab ab a + b a b d). e). ab ab ab I) se x = cos ab x = a + b (a + b ) cos x = (a b ) cos x = a b (a + b ) a + b se x II) cossec (x) tg x = = se x cos x cos x se x cos x cos x = = = se x cos x se x cos x se x a b a + b III) cossec (x) tg x = = ab. a + b IV) Um possível valor para cossec (x) a b ab a b ab tg x é ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

16 C Cosidere o triâgulo ABC retâgulo em A. Sejam AE e AD a altura e a mediaa relativa à hipoteusa BC, respectivamete. Se a medida de BE é ( ) cm e a medida de AD é cm, etão AC mede, em cm, a) 5. b). c) 6. d) ( ) e) 5. Sedo x = AC e y = AE, os triâgulos retâgulos EDA e ECA, temos, respectivamete: y + ( ) = e x = y + ( ) Assim: x = ( ) + ( ) x = 6 x = 6, pois x > 0 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

17 5 D Seja ABC um triâgulo de vértices A = (,), B = (5,) e C = (5,5). O raio da circuferêcia circuscrita ao triâ - gu lo mede, em uidades de comprimeto, a). b). c) d). e). 8 8 (;) A C (5;5) B (5;) No triâgulo de vértices A(; ), B(5; ) e C(5; 5) e área S, temos: I) AB = ( 5) + ( ) = 5 AC = ( 5) + ( 5) = 7 BC = (5 5) + ( 5) = II) S = 5 =. 6 = III) Sedo R o raio da circuferêcia circuscrita ao triâgulo ABC, vem: S = (AB). (AC). (BC). R = R =. R 8 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

18 6 A Em um triâgulo isósceles ABC, cuja área mede 8 cm, a razão etre as medidas da altura AP e da base BC é igual a. Das afirmações abaixo: I. As mediaas relativas aos lados AB e AC medem 97 cm; II. O baricetro dista cm do vértice A; III. Se α é o âgulo formado pela base BC com a mediaa BM, relativa ao lado AC, etão cos α =, 97 é (são) verdadeira(s) a) apeas I. b) apeas II. c) apeas III. d) apeas I e III. e) apeas II e III. De acordo com o euciado, temos: AP = BC BC. AP = 8 cm AP = 8 cm BC = cm Podemos etão motar a seguite figura, a qual G é o baricetro do triâgulo ABC. A 5 5 N M G B 6 P 6 C Nessa figura, cujas medidas estão expressas em ce - tímetros, podemos afirmar que: 6 ) GA =. 8 = 8 ) GP =. 8 = ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

19 ) BG = (BP) + (GP) = 6 + = 97 ) BG =. BM 8 Assim:. 97 = BM BM = 97 5) BM = CN Assim: BM = CN = 97 BP 6 6) cos = = = BG Portato, a afirmação I é verdadeira e as afir - mações II e III são falsas. ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

20 7 B Cosidere o trapézio ABCD de bases AB e CD. Sejam M e N os potos médios das diagoais AC e BD, respecti - vamete. Etão, se AB tem comprimeto x e CD tem comprimeto y < x, o comprimeto de MN é igual a a) x y. b) (x y). c) (x y). d) (x + y). e) (x + y). Seja P o poto de itersecção da reta MN com o lado oblíquo BC do trapézio ABCD. D y C M N P A x B De acordo com a figura, temos: I) MP é base média o triâgulo CAB AB x Assim: MP = MP = NP é base média o triâgulo BCD CD y Assim: NP = NP = II) III) MN + NP = MP y x Assim: MN + = MN = (x y) ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

21 8 C Uma pirâmide de altura h = cm e volume V = 50 cm tem como base um polígoo covexo de lados. A partir de um dos vértices do polígoo traçam-se diagoais que o decompõem em triâgulos cujas áreas S i, i =,,...,, costituem uma progressão aritmética a qual S = cm e S 6 = cm. Etão é igual a a). b). c) 6. d) 8. e). I) Se h = cm é a altura da pirâmide e V = 50 cm é seu volume, etão a área da sua base é de 50 cm. II) Se S = cm e S 6 = cm, etão podemos cocluir que a razão dessa progressão aritmética, em cetímetros quadrados, é r = = 6 Assim, os ( ) termos dessa progressão arit - mética, em cetímetros quadrados, são: S =, S =, S =, S = e a sua soma é igual a 50. Logo: (S + S )( ) + = 50 ( ) = 00 ( ) ( ) = = 0 = 6 ou = Obs.: A solução = ão serve, pois 5. ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

22 9 D A equação do círculo localizado o ọ quadrate que tem área igual a π (uidades de área) e é tagete, simulta - eamete, às retas r: x y + 5 = 0 e s: x + y = 0 é a) x + y =. b) x + y + =. c) x + + y =. d) x + + y =. e) x + + y =. 0 0 I) As retas (r): x y + 5 = 0 e (s): x + y = 0 possuem coeficietes agulares m r = e m s =, respectivamete, portato, são perpediculares. II) Sedo {P} = r S, temos: x y + 5 = 0 x + y = 0 x = y = P ; III) Sedo Q (x Q, y Q ) o cetro do círculo de raio lo - calizado o ọ quadrate, tagete simulta - eamete às retas r e s, e otado que a diagoal PQ do quadrado PT QT é paralela ao eixo x, vem: x Q = + e y Q = A equação da circuferêcia com cetro Q + ; e raio é x + + y = ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

23 Observação: Existem três outras circuferêcias de raio, tagetes simultaeamete às retas r e s (com cetros as retas x = e y = ), porém, ehuma delas está cotida o ọ quadrate. ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

24 0 C Cosidere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triâgulo isósceles ABC em toro de uma reta para - le la à base BC que dista 0,5 cm do vértice A e 0,75 cm da base BC. Se o lado AB π + mede cm, o volume π desse sólido, em cm, é igual a a). b). c). d). e) e B R R h M h A r r C De acordo com o euciado, podemos cocluir que o volume V (em cetímetros cúbicos) do sólido de revolução obtido pela rotação do triâgulo isósceles ABC em toro da reta e, que é paralela à BC e dista r = cm do vértice A e R = cm da base BC, é igual à difereça etre o volume de um cilidro circular reto de raio R e altura BC = h e a soma dos volumes de dois trocos de coes cogruetes e retos de raios R e r e altura h. Assim: π + π π I) h + = (AB) h = h = II) V = πr πh h. (R + r + Rr) Portato: π π π V = π V = V = 6 8 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

25 AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE A 0, DEVEM SER RESOLVIDAS E RESPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES. Cosidere as fuções f :, f(x) = e αx, em que α é uma costate real positiva, e g : [0, ], g(x) = x. Determie o cojuto-solução da iequação (g f) (x) > (f g) (x). Sedo 0 e x 0, temos: I) (gof) (x) = g [f(x)] = g (e αx ) = e x II) (fog) (x) = f [g(x)] = f (x) = e x III) (gof) (x) (fog) (x) e x e x e x (e x ) e x e x x x x x x x x Resposta: S = {x x } ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

26 Determie as soluções reais da equação em x, (log x) log (x log ) 0 6x = 0. log 00 6 log 6 x log 6 x log I) 0 6 x log = 0 log = 0 = log 00 6 = log 6x = log 6 + log x = + log x II) (log x) log (x ). = 0 (log x) log x. ( + log x) = 0 (log x) log x 6 log x = 0 (log x) 7 log x 6 = 0 Fazedo log x = y, resulta: y 7y 6 = 0 (y ) (y + y + ) = 0 y = ou y = ou y = Etão, log x = ou log x = ou log x = x = ou x = ou x = x = 6 ou x = ou x = 6 Resposta: As soluções reais da equação são 6, e 6 log 6 log 0 log 0 6 x log 00 6 log 0 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

27 a) Determie o valor máximo de z + i, sabedo que z =, z. b) Se z 0 satisfaz (a), determie z 0 ; a) Os úmeros z = x + yi, com x e y, que satis - fazem z = são tais que x + yi = x + yi = (x ) +y = (x ) + y = Cocluímos, etão, que os afixos desses úmeros pertecem a uma circuferêcia de cetro C (; 0) e raio R =. Os potos que represetam os úmeros complexos z + i são os pertecetes à circuferêcia obtida acima deslocada de uma uidade para cima, isto é, é a circuferêcia de cetro (; ) e raio. O valor máximo de z + i é dado pela distâcia do poto P até a origem, que é igual a d = 5 + b) Se P(a; b) é o afixo do úmero complexo w = a + bi, com a e b e z 0 = a + (b )i, temos: a 5 (5 + 5) = a = e b = b = 5 5 (5 + 5) Assim, w = a + bi = + i 5 5 (5 + 5) e z 0 = + i = (5 + 5) 5 = + i 5 5 Respostas: a) 5 + (5 + 5) 5 b) z 0 = + i 5 5 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

28 Seja o espaço amostral que represeta todos os resul - tados possíveis do laçameto simultâeo de três dados. Se A é o eveto para o qual a soma dos resultados dos três dados é igual a 9 e B o eveto cuja soma dos resultados é igual a 0, calcule: a) (); b) (A) e (B); c) P(A) e P(B). Admitido que cada dado seja ão viciado e teha suas faces umeradas de a 6, temos: a) () = = 6 = 6 b) Eveto A (Soma 9): Faces voltas para cima Número de casos, e 6! = 6, e 5! = 6, e, e 5! =!! =!, e! = 6, e Logo, (A) = = 5 Eveto B (Soma 0): Faces voltas para cima Número de casos, e 6! = 6, e 5! = 6, e 6! =!, e 5! = 6, e, e! =!! =! Logo, (B) = = 7 (A) 5 c) P(A) = = (Ω) 6 (B) 7 P(B) = = = (Ω) 6 8 Respostas: a) 6 b) 5 e 7 5 c) e 6 8 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

29 5 Determie quatos paralelepípedos retâgulos diferetes podem ser costruídos de tal maeira que a medida de cada uma de suas arestas seja um úmero iteiro positivo que ão exceda 0. I) Seja A = {; ; ; ; 5; 6; 7; 8; 9; 0} II) Cada elemetos de A, distitos ou ão, deter - miam um só paralelepípedo. III) O úmero de paralelepípedos retâgulos difere - tes que podem ser costruídos é, pois, C * 0, = C 0 +, = C, =!!9! = 0 Resposta: 0 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

30 6 Cosidere o sistema liear as icógitas x, y e z x + y + z = 0 x + (se ) y + z = 0, [0, π]. x + ( cos ) y + 6z = 0 a) Determie tal que o sistema teha ifiitas soluções. b) Para ecotrado em (a), determie o cojuto-solu - ção do sistema. a) I) cos = ( se ) = se II) Para que o sistema liear homogêeo teha ifiitas soluções, devemos ter: = 0 6 = 0 6 se se = 0 se = Assim, para [0; π], resulta = b) Para =, temos: x + y + z = 0 x + y + z = 0 x y + z = 0 6z = 0 x + y + 6z = 0 z = 0 se cos se se x + y = 0 z = 0 y = x z = 0 Fazedo x =, temos: S = {(,, 0)}, Respostas: a) b) S = {(; ; 0)}, ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

31 7 Determie o cojuto de todos os valores de x [0, π] que satisfazem, simultaeamete, a se x + se x < 0 e cos x tg x + < ( + cotg x) cotg x Para x [0; π], tem-se: se I) x + se x < 0 e cos x < 0, pois cos x cos x, etão: se x + se x > 0 π 5π < se x < x < 6 6 II) tg x + < ( + cotg x) cotg x tg x + < +. tg x tg x tg x + tg x + < tg x tg x (tg x + ) < tg x +, pois tg x > 0 (tg x ) (tg x + ) < 0 Aalisado os siais das fuções f(tg x) = tg x e g(tg x) = tg x +, tem-se: ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

32 π π π π Assim, 0 < x < ou < x < ou < x < π 5π π 5π 7π ou π < x < ou < x < ou < x < π III) Sedo S I e S II os cojutos soluções das iequações (I) e (II), temos: π π π π Resposta: { x / < x < ou < x < ou 6 π 5π < x < 6 } ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

33 8 Seis esferas de mesmo raio R são colocadas sobre uma superfície horizotal de tal forma que seus cetros defiam os vértices de um hexágoo regular de aresta R. Sobre estas esferas é colocada uma sétima esfera de raio R que tagecia todas as demais. Determie a distâcia do cetro da sétima esfera à superfície horizotal. Os cetros das 6 esferas meores e os potos em que elas tocam a superfície horizotal são vértices de um prisma hexagoal regular com as arestas das bases medido R e a altura medido R. Os cetros das 6 esferas meores e o cetro da esfera maior são vértices de uma pirâmide hexagoal regular com as arestas das bases medido R e as arestas laterais medido R. Assim, o triâgulo retâgulo VOA, temos: (VO) + (AO) = (VA) h + (R) = (R) h = R5 Logo, a distâcia d do cetro da sétima esfera à superfície horizotal é d = h + R = R5 + R = R ( 5+ ) Resposta: R ( 5+ ) ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

34 9 Três circuferêcias C, C e C são tagetes etre si, duas a duas, exteramete. Os raios r, r e r destas circuferêcias costituem, esta ordem, uma progressão geométrica de razão. A soma dos comprimetos de C, C e C é igual a 6π cm. Determie: a) a área do triâgulo cujos vértices são os cetros de C, C e C. b) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triâgulo em toro da reta que cotém o maior lado. Todas as dimesões lieares estão em cm; coseque - temete, as dimesões superficiais estão cm e as dimesões volumétricas, em cm. a) Como r, r e r costituem, esta ordem, uma progressão geométrica de razão, temos: r r = r e r = 9 Assim, de acordo com o euciado, temos: πr + πr + πr = 6π r π. r + π. + π. = 6π r = 9 9 r 9 9 Portato, r = = e r = = 9 Os cetros das circuferêcias C, C e C são, respectivamete, os vértices A, B e C de um triâgulo ABC tal que AB = 9 + =, AC = 9 + = 0 e BC = + =. ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

35 Sedo p o semiperímetro e S a área do triâgulo ABC, temos: I) p = = II) S =. ( ). ( 0). ( ) = 9 b) Como a área do triâgulo ABC é igual a 9, temos:. r = 9 r = Assim, o volume V do sólido é dado pela soma dos volumes de dois coes, um com raio r e altura h e o outro com raio r e altura h. Logo, V = πr. h + πr. h = = πr (h + h ) = π.. = 9π Respostas: a) 9 cm b) 9π cm 9 9 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0

36 0 Um cilidro reto de altura h = cm tem sua base o plao xy defiida por x + y x y + 0. Um plao, cotedo a reta y x = 0 e paralelo ao eixo do cilidro, o seccioa em dois sólidos. Calcule a área total da superfície do meor sólido. x + y x y + 0 (x ) + (y ), que é represetada o plao xy por um círculo o poto (; ) e raio r =. O plao, cotedo a reta y x = 0 e paralelo ao eixo do cilidro, seccioa-o em dois sólidos. O de meor volume é um segmeto cilídrico cujas bases são cogruetes ao segmeto circular destacado a figura, que é limitado por um segmeto de reta de comprimeto cm e um arco de comprimeto.. = cm. Como sua altura é h = cm, etão sua área total S, em cetímetros quadrados, é igual a:.. S = S = + + S = + Resposta: ( + ) cm ITA (º DIA) DEZEMBRO/0