1 B 1 Dado z = ( i), então z n é igual a
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- Raphaella Arruda Alvarenga
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1 MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números naturais : conjunto dos números inteiros : conjunto dos números racionais : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária: i = z: conjugado do número z z: módulo do número z A\B = {x : x A e x B} [a, b] = {x : a x b} [a, b[ = {x : a x < b} ]a, b[ = {x : a < x < b} M m n (): conjunto das matrizes reais m n det M: determinante da matriz M P(A): conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A n(a): número de elementos do conjunto finito A AB: segmento de reta unindo os pontos A e B A ^BC: ângulo formado pelos segmentos AB e BC, com vértice no ponto B k a n x n = a 0 + a x + a x a k x k, k n = 0 Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares. B Dado z = ( + i), então z n é igual a 89 a) i. b). c) d). e) i. 6 I) z = + i = (cos 0 + i. sen 0 ) II) z =. (cos 40 + i. sen 40 ) = i III) z 89 = 89. [cos (89. 0 ) + i. sen (89. 0 ) = = cos i. sen = = cos 40 + i. sen 40 = z 89 IV) z n = z + z + + z 89 z. ( z 89 ) = = z n = z. ( z ) = = z. ( + z) = z + z = z = + i i = 89 n= ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
2 C Das afirmações abaixo sobre números complexos z e z : I) z z z z. II) z. z = z. z. III) Se z = z (cos θ + i sen θ) 0, então z = z (cos θ i sen θ). é(são) sempre verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas II e III. e) todas. I) z z z z é falsa, pois, se z = e z =, por exemplo, temos z =, z =, z z = =, z z = = e z z = ( ) = 4, Neste caso z z > z z II) z. z = z. z é falsa, pois, se por exemplo, z = i e z = + 4i, temos: z = + i, z. z = ( + i).( + 4i) = + 7i z. z = + 7i = 5 Além disso, z = 4i z = 5 z. z = 5. 5 = 5 z. z III) Verdadeira z = z (cos θ + i sen θ) z = z (cos( θ) + i sen ( θ)] = = z. (cos θ i sen θ) pois cos ( θ) = cos θ e sen ( θ) = sen θ ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
3 E A soma de todas as soluções da equação em : z + z + iz = 0 é igual a i a). b). c) 0. d). e) i. Sendo z = a + bi, temos: z + z + iz = 0 (a + bi) + a + b + i (a + bi) = 0 a + abi + b i + a + b + ai + bi = 0 a + abi b + b + ai b = 0 (a b ) + (ab + a). i = 0 a b = 0 ab + a = 0 a b = 0 a. (b + ) = 0 a = 0 a = a = ou ou b = b = b = z = i ou z = i Assim, z + z + z = i i + i = i ou z = i 4 B Numa caixa com 40 moedas, 5 apresentam duas caras, 0 são normais (cara e coroa) e as demais apresentam duas coroas. Uma moeda é retirada ao acaso e a face observada mostra uma coroa. A probabilidade de a outra face desta moeda também apresentar uma coroa é a). b). c). d). e) I) 5 moedas são do tipo Ca Ca, 0 do tipo Ca Co e 5 do tipo Co Co. II) Se uma moeda é retirada ao acaso e a face obser - vada mostra uma coroa, então esta moeda é do tipo Ca Co ou do tipo Co Co e, por - tanto, o total de possibilidades é 5. III) Das 5 moedas do item (II), existem 5 do tipo Co Co. 5 5 IV) A probabilidade pedida é =. 5 7 ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
4 5 A Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A B e n({c : C B \ A}) = 8. Então, das afirmações abaixo: I) n(b) n(a) é único; II) n(b) + n(a) 8; III) a dupla ordenada (n(a), n( B)) é única; é( são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) nenhuma. Observemos que { : B\A} = P (B\A), onde P (B\A) é o conjunto das partes (subconjuntos) de B\A. Assim, n ({ : B\A}) = n [P(B\A)] = 8 = 7 n (B\A) = 7 n(b) n(a) = 7, pois A B. Desta forma, a dupla (n(a), n(b)) é qualquer do con - junto {(; 8), (; 9), (; 0); } I) Verdadeira, pois n(b) n(a) = 7 II) Falsa, pois (n(a), n(b)) = (6; 68), por exemplo teremos n(b) + n(a) = = 9 > 8 III) Falsa, pois existem infinitas duplas ordenadas (n(a), n(b)), conforme exposto acima. ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
5 6 B x + y + z = a O sistema y + z = b x y 5c z = 0 a) é possível, a, b, c. 7b b) é possível quando a = ou c. c) é impossível quando c =, a, b. 7b d) é impossível quando a, c. 7b e) é possível quando c = e a. x + y + z = a x + y + z = a y + z = b y + z = b x y 5cz = 0 7y + (5c + 9)z = a x + y + z = a y + z = b (5c 5)z = a 7b A terceira equação e, portanto, o sistema: I) Admite solução única se, e somente se, 5c 5 0 c II) Admite infinitas soluções se, e somente se, 7b 5c 5 = 0 e a 7b = 0 c = e a = III) Não admite solução se, e somente se, 7b 5c 5 = 0 e a 7b 0 c = e a Desta forma, o sistema admite solução se 7b a = ou c ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
6 7 E Considere as afirmações abaixo: I) Se M é uma matriz quadrada de ordem n >, não nula e não inversível, então existe matriz não nula N, de mesma ordem, tal que M N é matriz nula. II) Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n tal que det (M M) = 0, então existe matriz não nula X, de ordem n x, tal que MX = X. cos θ sen θ III) A matriz tg θ θ é inversível, sen sec θ π θ + kπ, k. Destas, é(são) verdadeira(s) a) apenas II. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) todas. I) Verdadeira. Se M é uma matriz quadrada não nula e não inversível, então det M = 0. [ a a a an Considere N = a a a a n ]... a n a n a n a nn A igualdade M. N = 0, em que 0 é a matriz nula de ordem n, equivale a n sistemas lineares homo - gêneos do tipo [ a k ] [ 0 ] M. a k = a nk Estes sistemas são possíveis e indeterminados, pois det M = 0, admitem solução não trivial e, portanto, existirá pelo menos um a pk 0, para p, k {; ; ; ; n}. Assim, de fato, existe N não nula, tal que M. N é nula. Um exemplo dessa situação é M = [ 4 ] e N =. [ ] Ambas não são nulas e 0 0 M. N = = [ 4 ] [ ] [ 0 0] ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
7 II) Verdadeira. Se M é inversível, então det M 0. Assim, sendo I a matriz identidade, temos: ) det (M M) = 0 det [M. (M I)] = 0 det M. det (M I) = 0 det (M I) = 0 ) A matriz X, de ordem n x, que satisfaz a equação M. X = X é tal que: M. X = X M. X X = 0 (M I). X = 0 Assim, X é solução de um sistema linear homogêneo possível e indeterminado, pois det (M I) = 0. Como esse sistema admite solução não trivial, existe a matriz X não nula. III) Verdadeira. Lembrando que sen θ θ = cos (. ) = cos θ e que tg θ π = tg θ. cos θ = sen θ, para θ + kπ, k, sec θ temos: [cos θ sen θ ] det tg θ θ = sen sec θ [cos θ sen θ ] = det = cos θ + sen θ = 0. sen θ cos θ Portanto, a matriz tem inversa. 8 C Se é uma raiz de multiplicidade da equação x 4 + x + ax + b = 0, com a, b, então a b é igual a a) 64. b) 6. c) 8. d) 8. e) 7. x = é raiz dupla 0 a b + a + a + b a + a + b = a = 0 a = 6 b = 4 a b = ( 6) 4 = 6 64 = 8 ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
8 9 A O produto das raízes reais da equação x x + = x é igual a a) 5. b). c). d). e) 5. x x + = x x x + = x ou x x + = x + x 5x + 5 = 0 ou x x = 0 Como as duas equações tem somente raízes reais, o produto das quatro raízes resulta (x. x ). (x. x ) = 5. ( ) = 5 0 A Considere a equação algébrica (x a k= k )4 k = 0. Sabendo que x = 0 é uma das raízes e que (a, a, a ) é uma progressão geométrica com a = e soma 6, pode-se afirmar que a) a soma de todas as raízes é 5. b) o produto de todas as raízes é. c) a única raiz real é maior que zero. d) a soma das raízes não reais é 0. e) todas as raízes são reais. I) (x a k ) 4 k = (x a ) + (x a ) + (x a ) =0 k = II) (a, a, a ) é progressão geométrica com a =, razão q e soma 6, portanto, + q + q = 6 q + q = 0 q = ou q = III) (a, a, a ) = (, 4, 8) ou (a, a, a ) = (,, ) IV) Se (a, a, a ) = (,, ), então a equação dada seria (x ) + (x ) + (x ) = 0, que não admite zero como raiz. V) A única possibilidade é, pois, (a, a, a ) = (, 4, 8) e, neste caso, a equação dada é (x ) + (x + 4) + (x 8) = 0 x 5x + x = 0 x. [x 5x + ] = 0 5 ± 59 i x = 0 ou x = VI) O conjunto verdade da equação dada é 0; i 5 ; 59 i e a única afirma - ção verdadeira é que a soma de todas as raízes é 5. ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
9 D A expressão 4e x + 9e y 6e x 54e y + 6 = 0, com x e y reais, representa a) o conjunto vazio. b) um conjunto unitário., c) um conjunto não unitário com um número finito de pontos. d) um conjunto com um número infinito de pontos. e) o conjunto {(x, y) (e x ) + (e y ) = }. I) 4e x + 9e y 6e x 54e y + 6 = 0 4e x 6e x e y 54e y = (e x ) + 9 (e y ) = 6 (e x ) (e y ) + = 9 4 II) A cada par ordenado (e x ; e y ) * + x * +, cor - responde um único par ordenado (x; y) x. III) A equação obtida no item (I), nas variáveis e x e e y, representa um ramo de elipse, com centro no ponto (; ) semieixo maior, semieixo menor e ambos paralelos aos respectivos eixos carte sianos. IV) A expressão dada representa um conjunto com um número infinito de pontos. ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
10 E Com respeito à equação polinomial x 4 x x + 6x = 0 é correto afirmar que a) todas as raízes estão em. b) uma única raiz está em e as demais estão em \. c) duas raízes estão em e as demais têm parte imagi - nária não nula. d) não é divisível por x. e) uma única raiz está em \ e pelo menos uma das demais está em \. Seja P(x) = x 4 x x + 6x Como P() = 0, então x = e raiz da equação x 4 x x + 6x = 0 (x ). (x x 4x + ) = 0 (x ). (x ). (x ) = 0 x = ou x = ou x = ou x = Dessa forma uma única raiz x = está em \ e pelo menos uma das demais (x = ) está em \. ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
11 D m Sejam m e n inteiros tais que = e a equação n 6x + 6y + mx + ny = 0 representa uma circunferência de raio r = cm e centro C localizado no segundo quadrante. Se A e B são os pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy, a área do triângulo ABC, em cm, é igual a 8 4 a) b) c) d) e) 9 9 6x + 6y + mx + ny = 0 x + y m n +. x +. y = 0, representa uma circunferência cujo centro é C m n ;, e 7 7 sendo o raio igual a, temos: m n + + = m + n = Para n = m, resulta m +. m =. 7 m = 4 e n = 6, pois o centro se localiza no ọ quadrante, portanto, o centro é C ; Se A e B são os pontos onde a circunferência de raio cruza o eixo Oy, podemos (a partir do gráfico a seguir) obter a medida de AM (sendo M o ponto médio de AB). Assim: AM + (/) = AM = ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
12 4 Portanto, AB = e a área do triângulo ABC, em 4. cm, é = 9 4 C Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio, o ponteiro dos minutos varre um ângulo cuja medida, em radianos, é igual a 6 4 a) π. b) π. c) π d) π. e) π. Lembrando que, para cada π radianos de giro do π ponteiro dos minutos, o ponteiro das horas gira 6 radianos, temos: Enquanto o ponteiro das horas girou x radianos, o ponteiro dos minutos girou (π + x) radianos, de modo que (π + x) x π π + x = = x = π x 6 π Desta forma, o ponteiro dos minutos varreu um π 4π ângulo, em radianos, de π + = ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
13 5 D Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos AB e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente. Se D é um ponto sobre AB e o triângulo ADC é isósceles, a medida do segmento AD, em cm, é igual a a) b) c) d) e) Sendo x = AD = CD, no triângulo retângulo BCD, de acordo com o teorema de Pitágoras, tem-se: (CD) = (BC) + (BD) x = 6 + (8 x) 5 6x = 00 x = 4 5 Portanto: AD = cm 4 ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
14 6 C Sejam ABCD um quadrado e E um ponto sobre AB. Considere as áreas do quadrado ABCD, do trapézio BEDC e do triângulo ADE. Sabendo que estas áreas definem, na ordem em que estão apresentadas, uma progressão aritmética cuja soma é 00 cm, a medida do segmento AE, em cm, é igual a a). b) 5. c). d). e) 0. Como o soma das três áreas é igual a 00 cm, po - demos então concluir que a área do quadrado ABCD é igual a 00 cm e que portanto cada um dos seus lados mede 0 cm. Sabendo que estas áreas definem, na ordem em que estão apresentadas, uma progressão aritmética, podemos então concluir que a área do trapézio é igual a média aritmética entre a área do triângulo e a área do quadrado. Assim, sendo x = AE, temos: [0 + (0 x] x = 5x x = 00 x = Portanto: AE = 0 0. x + 00 = cm 0 ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
15 7 B Num triângulo ABC o lado AB mede cm, a altura rela - tiva ao lado AB mede cm, o ângulo A ^BC mede 5 e M é o ponto médio de AB. Então a medida de B ^AC + B ^MC, em radianos, é igual a a) π. b) 4 π. c) π. d) 8 π. e) 5 π. 5 A partir do enunciado, temos a seguinte figura: I) O triângulo BHC é retângulo e isósceles, então BH = HC = cm HC II) No triângulo MHC, tg β = = MH HC III) No triângulo AHC, tg α = = AH + tg α + tg β Como tg (α + β) = = = tg α. tg β. conclui-se que α + β =B^AC + B ^MC π = 4 são agudos) (pois α e β ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
16 8 A Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5 cm. Sabe-se ainda que AB é o diâmetro, BC mede 6 cm e a bissetriz do ângulo A ^BC intercepta a circun - ferência no ponto D. Se α é a soma das áreas dos triângulos ABC e ABD e β é a área comum aos dois, o valor de α β, em cm, é igual a a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) 8. I) No triângulo ABC, de acordo com o teorema da bissetriz do ângulo interno, temos: 0 6 = a = 8 a a II) Como o triângulo ABC é retângulo, temos: 6 cos (x) = = e portanto 0 5 cos (x) = sen x = sen x 5 5 sen x =, pois x é ângulo agudo. 5 III) No triângulo retângulo ADE, temos: b b cos (90 x) = sen x = AE 8 a 5 b = b = IV) Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ADE, temos: c + b = (8 a) c + ( 5 ) = 5 c = 5 cm V) Sendo S e S as áreas dos triângulos ADE e BCE, respectivamente, temos: b. c a. 6 α β = S + S = + = = + = 4 cm ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
17 9 E Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular hexagonal cuja altura mede cm e a aresta da base mede 0 cm. Então o raio da esfera, em cm, é igual a 0 5 a). b). c). 4 0 d). e). I) O apótema PM da base dessa pirâmide, em centímetros, mede: 0. = 5 II) O apótema VM da pirâmide, em centímetros, mede: + 5 = III) Da semelhança entre os triângulos retângulos TOV e PMV, temos: OT PM = VO VM Assim, sendo x o raio da esfera, em centímetros, temos finalmente: x 5 x = 8x = 60 x = 0 ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
18 0 C Considere as afirmações: I. Existe um triedro cujas faces têm a mesma medida α = 0. II. Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem, respectivamente, 0, 45, 50, 50 e 70. III. Um poliedro convexo que tem faces triangulares, fa ce quadrangular, face pentagonal e faces hexagonais tem 9 vértices. IV. A soma das medidas de todas as faces de um poliedro convexo com 0 vértices é 880. Destas, é(são) correta(s) apenas a) II. b) IV. c) II e IV. d) I, II e IV. e) II, III e IV. I) A afirmação I é falsa, pois a soma das faces de um triedro é sempre menor que 60. II) A afirmação II é correta, pois: < 60 e 70 < III) A afirmação III é falsa, pois um poliedro convexo que tem 7 faces, sendo triangulares, qua dran - gular, pentagonal e hexagonais, tem = 5 arestas e, portanto, o seu número x de vértices deve satisfazer a Relação de Eüler, ou seja: x = x = 0 IV) A soma das medidas dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo com 0 vértices é igual a (0 ). 60 = 880. Assim, interpretando a expressão soma das medidas de todas as faces como soma das medidas dos ângulos de todas as faces, podemos concluir que a afirmação IV é correta. Portanto, são corretas apenas as afirmações II e IV. ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
19 As questões dissertativas, numeradas de a 0, devem ser resolvidas no caderno de soluções Analise a existência de conjuntos A e B, ambos não vazios, tais que (A\B)(B\A) = A. Lembrando que (A \ B) (B \ A) = (A B) (A B), temos: I) (A \ B) (B \ A) = A (A B) (A B) = A [(A B) (A B)] (A B) = A (A B) A B = A (A B) A B = A B A II) No entanto, se B A, temos A B = B, B \ A = Ø (A \ B) (B \ A) = (A \ B) Ø = A \ B e (A \ B) (B \ A) = A A \ B = A A B = Ø B = Ø, contrariando o enunciado. Resposta: Não existem conjuntos A e B satisfazendo as condições dadas. Sejam n ímpar, z \ {0} e z, z,..., z n as raízes de z n =. Calcule o número de valores z i z j, i, j =,,... n, com i j, distintos entre si. I) Se n, ímpar e z, z, z,, z n as raízes da equação z n = = cos 0 + i. sen 0 então: z = cos π. 0 + i. sen. 0 = n π n z = cos π. + i. sen. n π n z k+ = cos π. k + i. sen. k n π n z n = cos π (n ) + cos. (n ) n π n II) Estas n soluções, representadas no plano com - plexo, são pontos de uma circunferência de raio e dividem esta circunferência em n partes iguais determinando um polígono regular de n lados. III) Se z i e z j forem duas quaisquer dessas soluções então z i z j é a distância entre os afixos de z i e z j. ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
20 IV) z z = z z = z z 4 = = d V) z z = z z 4 = z z 5 = = d VI) z z 4 = z z 5 = = d 4 VII) z z 5 = z z 6 = = d 5 n VIII) Do ponto P saem diagonais de tamanhos diferentes e o lado P P do polígono de medida d IX) O número total de valores distinto de z i z j é n + = n Sobre uma mesa estão dispostos 5 livros de história, 4 de biologia e de espanhol. Determine a probabilidade de os livros serem empilhados sobre a mesa de tal forma que aqueles que tratam do mesmo assunto estejam juntos. Os livros podem ser empilhados de! maneiras diferentes sobre a mesa. Desses casos, estarão juntos aqueles que tratam de um mesmo assunto num total de 5! 4!!!. 5! 4!!! A probabilidade pedida é, pois p = =! 5! = = ! Resposta: ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
21 4 Resolva a inequação em : 6 < 6 < 4 log /5 (x x + 9). log /5 (x x + 9) 4 log /5 (x x + 9) > 4 log (x x + 9) > log (x x + 9) < x x + 9 > 5 x x 6 > 0 x < ou x > Obs.: ) O gráfico de f(x) = x x 6 é do tipo ) x x + 9 > 0 x Resposta: S = {x x < ou x > } 5 Determine todas as matrizes M x () tais que MN = NM, N x (). Sejam M = x y e N =. z w a b c d Se M. N = N. M, N (), então: x y. =. z w a b c d a b c d x y z w ax + cy bx + dy ax + bz ay + bw = az + cw bz + dw cx + dz cy + dw ax + cy = ax + bz (I) bx + dy = ay + bw (II) az + cw = cx + dz (III) bz + dw = cy + dw (IV) Das equações (I) e (IV), temos cy = bz, que só é ver - dadeira para quaisquer b e c se, e somente se, y = z = 0. Substituindo nas equações (II) e (III), temos bx = bw e cw = cx, que só são verdadeiras para quaisquer b e c se, e somente se, x = w. Assim, as matrizes M que satisfazem as condições dadas são do tipo x 0, x. 0 x Resposta: x 0 0 x, x ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
22 6 Determine todos os valores de m tais que a equação ( m) x + mx + m + = 0 tenha duas raízes reais distintas e maiores que zero. A equação ax + bx + c = 0 (a 0) terá duas raízes reais distintas e maiores que zero se, e somente se, Δ = b c b 4 ac > 0, P = > 0 e S = > 0. a a Para a equação dada, devemos ter I) (m) 4 ( m) ( + m) > 0 4m 4 (4 m ) > 0 8m 6 > 0 m < ou m > m + II) > 0 (m + ) ( m) > 0 < m < m m III) > 0 m ( m) > 0 m < 0 ou m > m De (I), (II) e (III), concluímos que < m <. Resposta: < m < 7 Considere uma esfera Ω com centro em C e raio r = 6 cm e um plano Σ que dista cm de C. Determine a área da intersecção do plano Σ com uma cunha esférica de 0 em Ω que tenha aresta ortogonal a Σ. No triângulo retângulo AOC, temos CA= r = 6cm, CO = cm e (AO) + = 6 AO = 4 cm A intersecção de com Ω é o setor circular AOB de 0 cujo raio mede 4 cm. Assim, sendo S, em cm, a área do setor AOB, temos: 0 S =. π. (4 ) = 60 8π Resposta: cm 8π ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
23 8 a) Calcule π cos sen π π π π π 5 cos sen cos 5 sen b) Usando o resultado do item anterior, calcule π π sen cos. 0 5 π a) cos sen π π π π π 5. cos. sen.cos 5. sen = π π π π = cos. cos sen. sen = π π π = cos + = cos = b) Usando o resultado do item anterior, temos: π cos sen π 5. cos π = 5 0 π π π =. sen. cos 5. sen 5 0 π π cos. cos π π 5 0 sen. cos = 0 5 π. sen 5 π π sen. cos = 0 5 π π π cos. cos cos = = π π π 4. sen. cos 4. sen π π Notando que e são complementares, temos 0 5 π π sen = cos e, portanto, resulta: 0 5 π π sen. cos = Respostas: a) 0 b) 4 ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
24 9 Num triângulo AOB o ângulo AOBmede 5 e os lados AB e OB medem cm e cm, res pec tiva mente. A circunferência de centro em O e raio igual à medida de OB intercepta AB no ponto C ( B). a) Mostre que OAB ^ mede 5. b) Calcule o comprimento de AC. a) ^ I) Sendo AB = cm, OB = cm e apli - can do a lei dos senos no ΔAOB, temos: = sen ^A sen 5 + sen ^A = = = 6 = = (I) 4 A + C Obs.: A B = com C = A B A C II) sen 5 = sen (60 45 ) = = sen 60. cos 45 sen 45. cos 60 = 6 =.. = (II) 4 De (I) e (II), temos: sen ^A = sen 5 ^A = 5, pois ^A é agudo. Portanto, o ângulo O^AB mede 5. ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
25 b) O triângulo OBC é isósceles, pois OB = OC = (raio) Assim, sendo α a medida dos ângulos congruentes O^BC e O ^CB e β a medida do ângulo A ^OC, temos: I) α = 80 α = 0 II) α = 5 + β, pois α é ângulo externo ao triân - gulo CAO Assim: 0 = 5 + β β = 5 C ^AO C ^OA Δ CAO é isósceles com base AO AC = OC Portanto: AC = Respostas: a) demonstração b) ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
26 0 Considere um triângulo equilátero cujo lado mede cm. No interior deste triângulo existem 4 círculos de mes mo raio r. O centro de um dos círculos coincide com o baricentro do triângulo. Este círculo tangencia externa - mente os demais e estes, por sua vez, tangenciam lados do triângulo. a) Determine o valor de r. b) Calcule a área do triângulo não preenchida pelos cír - culos. c) Para cada círculo que tangencia o triângulo, determine a distância do centro ao vértice mais próximo. a) I) A altura h, em centímetros, do triângulo equi - látero. ABC é tal que h = = II) G é o baricentro do triângulo equilátero ABC. Assim: AG =. h =. = III) H é o baricentro do triângulo equilátero ADE. Assim: AH =. HN AH = r IV) AH + HN + NG = AG Assim: r + r + r = r = b) A área S, em centímetros quadrados, da região interna ao triângulo ABC não preenchida pelos círculos é dada por: BC. h S = 4π r. Assim: S = 4. π. S = π c) Para cada círculo que tangencia o triângulo, a distância do centro ao vértice mais próximo é dada por: d = AH = IB = JC = r Assim: d =. d = Respostas: a) cm b) π cm c) cm ITA (º DIA) DEZEMBRO/00
Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas
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