Propostas de Resolução

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1 Propostas de Resolução Eercícios de MATEMÁTICA A. ao Como utilizar este ficheiro e localizar rapidamete a resolução pretedida? Verifique se a Barra de Ferrametas deste documeto eiste a caia de pesquisa do seu Adobe Reader. Se tal ão suceder, active-a, clicado com o botão direito do rato e seleccioado a opção pretedida. Na caia de pesquisa (Fid), digite Pág., com o P maiúsculo e sem esquecer o poto fial, seguido de um espaço e do úmero de págia ode se ecotra o eercício ou problema do qual pretede cohecer a resolução. Depois de validar a iformação, teclado em Eter, surgirá o ecrã a págia do documeto PDF com todas as resoluções dos eercícios da págia seleccioada do livro. CEXMA Porto Editora Depededo da sua etesão, a resolução poderá estar a colua ou até a págia seguite do PDF.

2 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Capítulo. si a + si (908 - a) si a + [si (908 - a)] Pág.... cos Pág. 0. (si 08 + si 608) * tg 08 A [ABC] AB AC A [ABC] 0 * œ 0œ h, - h ) 8,6 EA 00 tg a Área do triâgulo: A [ABE] AB * AC cos a AB cos a si a AC si a h, - 0œ EA 00 tg a Área restate: Resposta: (C) cos a * si a A [ABC] si a cos a 00 * EA 000 tg a A tg a A tg a A 000 ( - tg a) si a + cos a + œ * œ + œ * œ œ * 00 tg a. AC Pág. AC 0 œ 6 +. si (608) * si (8) + cos (8) * tg (608).. tg 08 + si (608)..... tg cos 08 œ + œ + tg œ - œ ( + œ) ( - œ) - œ - œ - - cos a tg a * si a cos a.8 membro cos a - cos a - cos a si a cos a cos a cos (908 - a) * si (908 - a) tg a.8 membro si a + cos a - cos a cos a œ œ * œ + œ * œ œ6 + œ6 œ6 œ + œ œ œ œ + œ si a * si a tg a * cos a.8 membro, c. q. m. cos a cos (908 - a) * si (908 - a) tg a si a * cos a si a cos a cos a.8 membro, c. q. m. si a.8 membro + cos a - cos a ( + cos a) ( - cos a) + cos a + cos a - cos a.8 membro, c. q. m. si a - cos a - œ - Como é agudo, temos que si a Œ a œ. si a * cos a si a cos a si a 8 0 CEXMA Porto Editora cos a 6 0 tg a 8 6

3 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. tg a + tg a cos a + cos a cos a Como é agudo, temos que, cos a Œ a si a - cos a œ œ. 9. Área 7 * A [ABO] 7 * 7 * * AB * OM 7 * ) 6,9 cm tg (80 : 7)8 0 * tg a tg a, ± a tg, tg b, ± b tg, a tg -, ) 6,08 si a - si a Œ ou, como tg œ œ œ6, a si a cos a vem: 0. b tg -, ),998 si a * daí que, si, a œ6. si a + œ cos a œ6 œ + œ * œ6 + œ6 œ6 6. Pág. AB 8,6 cm AB : 06,8 AĈB 6, AĈB : 8, 0. Os triâgulos [AHC] e [CHB] são semelhates porque são rectâgulos e têm os âgulos agudos respectivamete iguais (CˆBH ACH ˆ e HĈB HÂC). Logo, Etão, AH CH CH HB. 0. AC + (œ) CH CH CH * CH œ CH œ cm BC + (œ) CEXMA Porto Editora ,8 tg 8, 06,8 CH * tg (8,8) CH 06,8 CH CH ),6 cm tg (8,8) A [ABC] 608 : : 68 OP 0 OP 0 cos (68) ) 8,09 cm DP 0 AB * HC cos (68) si (68) DP 0 si (68) DC DP 0 si (68) ),76 cm DC * OP A petágoo A [CDO] * * 0 si (68) * 0 cos (68) 00 si (68) cos (68) ) 7,76 cm Perímetro 7AB 70 cm ) 8,6 *,606 a : AB 0 cm OM tg a OM tg a ) 06 0,8 cm A [ABC ]. CH CB + HB Pág. 6. AC + AC œ80 AC œ cm tg (BÂC) œ BÂC ) 6,08 CBˆA BÂC ) 908-6,08 CBˆA ),998 CH - 6 CH œ08 CH 6œ cm AÔB 608 : 08 HÔB 08 : œ si (608) 6 OB * OB OB œ OB œ OB œ OC OB œ cm. A [ABC] AB * CH AB * CH A [ABC] 6œ cm BC œ cm œ ± BÂC tg ( + ) * œ * 6œ BC + BC œ76 8œ cm

4 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora. 608 : y a tg (78) 60 : 0 d b AB : 6 7 d y tg (8) c + 6 MB 7 :,. 608 : 8 8 ; 8 :,8. Seja a medida do lado do triâgulo, em cetímetros œ +.., si (08) r, r si (08) r, r 7 A círculo pr p * 7 9p A círculo 9p cm : 8 AB BM : 7 7 si (,8) r 7 r si (,8) A círculo p * r p * 7 si (,8) A círculo ) 0, cm + + Como 0, vem que Œ > œ * œ A triâgulo h tg (608) 6 h 6 * œ h 6œ m ) 0,9 m b cos (08) 00 b 00 * œ b 00œ m h si (08) 00 * œ h 00 tg a tg 08 a a tg 08 a + b 00 tg œ AC a + b ) 7, m œ cm œ œ œ * œ h 00 * h tg (68) tg (68) Pág. 7 ),6 m 7. Se os pombos partem de A e B, ao mesmo tempo e à mesma velocidade e chegam ao mesmo tempo a C, tem-se que AC BC. 7. As torres e, distam do lago 8 pés e pés, respectivamete. 8. AC AB + BC Pág y tg (78) tg (78) tg (8) + 6 tg (8) y tg (78) (tg 78 - tg 8) 6 tg (8) y tg (78) 6 tg (8) tg 78 - tg (8) y ) 8,9 m œ0 + a œ0 + (0 - a) a a + a 00a 800 a tg b 0 8 ± b tg 0 8 ± b ) 6,77 tg a 0 ± a tg 0 ± a ), a ),8 e b ) 6,778 AC + AC œ tg q CG AC tg q œ ± ± q ),8 CÂG ),8 cos EG cos EG EG cos Área da face lateral: A [BCE] Área total A base + * A [BCE] A() + * A() + BC * EG cos q tg œ - * cos y ) 8,878 m ) 8,68 m cos cos cos + A(), c. q. m. cos

5 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 9. A(08) 9. EF cos (08) + cos (08) œ + 8 œ tg EF tg * œ + œ (œ + 8) œ œ * œ œ + œ + 8œ. 608 : :,8, h h tg (,8), tg, CEXMA Porto Editora V pirâmide A base * altura V() * * tg V() tg 6 + cos a cos a 6 cos a œ pois a é agudo., si a si a + cos a tg a si a cos a 8 cos a + tg a 8 * 6 + œ + œ + œ 0 tg a * cos a si a œ * 6 œ * œ 6 cos a - tg a + si a 6 - œ œ - œ - œ 0. œ (cos a - tg a) œ œ - - œ..8 membro (si - cos ) si + cos - si cos - si cos.8 membro, c. q. m...8 membro si cos + cos si + cos cos œ V() si, c. q. m. cos œ œ si * tg + cos si * si cos + cos.8 membro, c. q. m. cos. Pág. 9 A ) 0,0 m jardim * si (8) h si (8) h si (8). A jardim - A lago ) 0,0 -,6.. a tg 8 a tg 8 Pág. 0 b cos 8 b cos 8.. * A lago 8 * EA 8 ), 6 m tg 88 EA 8 tg 88 BC 6 si 08 BC 6 * AE + BC 8 tg 88 + ),88 m a + b tg 8 + a cos (8) a cos (8) h si h si (8) h h tg (8) b b tg (8) a + b cos 8 + h tg 8 h tg (8) + 0 h tg 8 tg 8 - tg 8 0 tg 8 h tg 8 (tg 8 - tg 8) 0 tg 8 h tg 8 0 tg 8 tg 8 - tg 8 h ) 9,67 ) 0,7, tg (,8) ) 86, m cos 8 si 8 tg 8 ) 0,7 m e h ) 9,67 m 8 tg (,8) BC ), m b ) 8,9 m si (8) tg (8) h tg 8 h tg tg 8

6 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Capítulo. -, rad -, p rad )-,0p rad O âgulo pertece ao.8 quadrate. Pág. Para que o sector correspodete a 70 caia juto à seta terá que rodar, para além das voltas iteiras um âgulo de amplitude u com p - p 8 < q < p + p I. AC AB A [ABC] Resposta: (C) II si q AC si q cos q AB cos q Logo, -068 é a amplitude de um âgulo do.8 quadrate. I é falsa II é verdadeira Resposta: (C) p f 6 0 œ AC * AB si q * cos q si (p - a) - si a - cos - p + a - cos p + a * 608 si cos å ]-p, p[ - p p f() -œ + si() p f 6 -œ + si 6 p -œ + si p -œ + œ 0 p f - œ + si p -œ + œ 0 p é um zero de f. 9 cos q si q si a Ora, p p,, < p - p > p + p 8 8 Resposta: (C) 0. cos a - cos (-a) cos a - cos a 0. P(, y) cos p 6 cos p - 6 p -cos p 6 -œ p y si 6 si p - 6 p si p 6 P - œ, f() + cos D f R år - cos - cos D9 f [-, ] si - p 6 - cos 0p - si p 6 - cos p + p - si p 6 + cos p - * + * - Resposta: (C) AB r - + cos tg a AB r tg a p 6 < p - p 8 + e p - p 8 < p 6 < p + p 8. - f() - si p - p 6 - cos p + p Pág. CEXMA Porto Editora 6. 9p p 6p + p 77p 6 79p 6 8p + p p + p 6 p + p 6 Pág. A [ABC ] AB * AC. p rad 808 rad 80 p ) 7,8 r tg a * r r tg a radiao correspode, aproimadamete a 7,8. Esta amplitude apeas se ajusta à opção (C). Resposta: (C)

7 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. OM cos a Uma equação que traduz o problema é: AM si a A [OAB ] OM * AB A APD A trapézio 0 tg 00 si a cos a cos a * si a 9. Trata-se de determiar o valor máimo de h sedo h() 0 - cos (). Deste modo, temos que: - cos (). AB AC cos a AB cos a si a AC si a Pág. - - cos () cos () h() O valor máimo de h é.. A [ABC] si a cos a si a * cos a Resposta: (C) 0. Dado que - si e - cos, ; år, Pág. 6 si + cos <, ; år. Logo, a equação é impossível.. si si Os valores d(0) e d( p) 0 apeas se verificam, etre as hipóteses apresetadas, em d(a) + cos a. 6. BC si a 7. OB Pág. 8. OC cos a A [ABCD] OC * BC cos a si a AB tg a A A quarto de círculo + A triâgulo p * AP 0 tg + AP 0 tg OB * AB p + tg a. Em cada itervalo de amplitude p a equação admite duas soluções. Logo, em [0, 0 p] a equação admite 0 soluções. p 9 - p 9 p 9 p. PQ si a OQ cos a A [OPR] OR * PQ cos a * si a si a cos a. Se cos a < 0 e tg a > 0 etão si a < 0 (a å.8 Q) Pág. 7 si a + cos a si a - cos a si a œ - cos a Como si a < 0, si a -œ - cos a. b é uma solução da equação si. CEXMA Porto Editora A trapézio A [APD] AD * AP * * 0 tg 0 tg Etão, si b. si b -cos p + b cos p + b - p Logo, é uma solução da equação + b cos -. 6

8 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6. + cos 6 å [0, p]. cos å [0, p] p p 7. a + b p p - b a cos (p - b) cos (a) - cos b cos (a) cos b -cos (a) p 8. Se q å, tem-se cos q < 0, si q > 0 e tg q < 0., p Logo: cos q - si q cos q + (-si q) < 0 si q * cos q < 0 si q * tg q < 0 si q - tg q si q + (-tg q) > 0 Período positivo míimo: p. Pág. 9 0 p 0 p p p p si ( p) si ( p) CEXMA Porto Editora. D9 f R; g(0) 0; h(0) Pág. 8. Por eemplo: a) ]- p, 0[ b) c) d) e) f) g) [0, p] h). si 0 kp, k åz tg 0 Se a fução seo é zero, a tagete também é zero.. si 0 cos - cos Se a fução seo é zero, a fução co-seo é máima ou é míima.. Nos potos ode a fução co-seo é zero, a fução tagete ão está defiida.. f() tg, g() si e h() cos. - p, p - p, 0 - p, p [0, p] - p, p 0, p p p p p p 7p 0 p p p p p 7p 0 p p p p cos () cos cos p p Em ]0, p[, tem-se: p -p + p S p, p 6 si si - 7p 6-7p 6-7p 6 Em ]0, p[, tem-se: - 7p 6 S p 6, p 6 6 Período positivo míimo: + kp -p + kp p + 7p 6 + kp p 6 p + p 6 - p + kp, k åz + kp, k åz + kp, k åz p 6 p 6 7

9 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora.... Em ]0, p[, tem-se: Em ]-p, p[, tem-se:. cos å ]-p, p[ 0 6. f() + cos ; D f R 6. tg tg p p p + p S p, 7p 6. si å ]0, p[ p p S 6 cos cos - p Em ]-p, p[ tem se - p p. S - p, p 6 si si p p p p S - p, - p 6 tg -tg p - p + kp, k åz Em ]- p, p[, tem se: - p -p + p S - p, p 6 S 06 - cos - + cos + - f() D9 f -, g() + si ; D g R - si - si - + si + - g() D9 g [-, ] 6. h() si ; D h R 8 - si p + kp p - p + kp - p - p -p + kp, k åz - p + kp p + kp, k åz - p -p tg tg - p p 7p + kp, k åz + kp, k åz - p p 6. i() - cos ; D i R k () - cos ; D k R - cos 7. 0 si D h [0, ] - cos 0 cos - - cos cos i() D i 9 [-, ] j() + tg p ; D + kp, k åz j R \ 6 tg år tg 0 + tg j() D9 j [, +?[ 0 cos - - cos cos cos - k() D9 k -, si - p - a - a å p, p - cos a - a å p, p cos a si a + cos a si a + si a Œ si a - œ7 a å. Q œ7 tg a si a - cos a - œ7 si(p + a) - tg a -si a - tg a œ7 + œ7 7œ7 Pág. 0

10 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 7. tg a a å p, p + tg a cos a + 9 cos a cos a 0 a å. Q cos a - œ0 7. cos a - œ0 0 si a + cos a si a - 0 si a Œ 9 0 si a - œ0 0 p cos (8p + a) - si - a - si (-a) cos a - si p - a + si a cos a - cos a + si a cos a + si a - œ0 0 - œ0 0 cos( - p) - å.8 Q cos(p - ) - å.8 Q cos(p - ) - å.8 Q -cos - å.8 Q cos å.8 Q + tg cos a å. Q - œ0 0 + tg tg tg - œ tg (-) + si - p + cos - -tg - si p - + cos -tg - cos + cos œ - + * œ0 å. Q si - D9 f -, Em [-p, p] 9. V 0 cm ; Trata-se de resolver graficamete esta equação, o itervalo 0, p. p 6 V A base * h V p (r9) * h f() 0 8 si - f () 8 si - h cos q ± h cos q V p ( si q) * cos q V p si q cos q 0 p * si q cos q 90 p si q cos q 0 8 si - 0 si 8 si - 8 si 8 si p + kp, k åz r9 si q ± r9 si q + kp p 6 p 6 - p p 6 p 6 Zeros: - p 6, - 7p 6, p 6 e p 6 + kp, k åz - p p 6 Recorredo à calculadora gráfica foram obtidos os seguites resultados: y p si q cos q y 90 CEXMA Porto Editora f() 8 si - D f R - si si 8 œ si œ - 7 BˆVA q ; BVA ˆ ) * 0, ou BˆVA ) *, BVˆA ),09 rad ou BVˆA ),6 rad 9

11 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO p 6 Pág.. 08 é o comprimeto do arco AB. 0p cm 0. Área lateral de um coe prg 0. 0 * p * 6 60 (r raio da base; g geratriz) g 6 cm pr 0p r 0 cm A p * 0 * 6 A 0p cm V A base * h V * pr * h h h Œ si - p œ si - p si p - p p + kp - p p - p + kp, k åz p si - 0 si si() 6 6 Temos que e - si(), A år. > Deste modo, a equação é impossível. si + si 0 si ( si + ) 0 + kp p + kp, k åz p + kp p + kp, k åz si - si p + kp p + kp, k åz p + kp, k åz CEXMA Porto Editora V * p * 0 * œ90 V ) 676,9 cm si () si () si p 6 p 6 + kp p - p + kp, k åz 6 p 8 + kp si œ si œ si si p p + kp p - p + kp, k åz p si() + œ 0 si () - œ si () -si p si () si - p - p + kp p - - p + kp, k åz - p 9 + kp - si 0 si 0 + kp p kp, k åz kp, k åz h œ90 p 8 + kp, k åz + kp, k åz p 9 + kp, k åz.9 si - si si() - si 0 si() si. si 0 si - kp si si - p 6, k åz kp - p 6 si œ9 - * si si p + kp åo, k åz p + kp, k åz kp p + kp, k åz kp p + kp, k åz p si + si 0 si -si p si si - p - p > + kp p - + kp, k åz - p + kp p - - p + kp, k åz. si() + si() 0 si() -si() si() si(-) - + kp p + + kp, k åz 7 kp - p + kp, k åz kp 7 + kp p + kp 7p 6 + kp, k åz - p + kp, k åz + kp, k åz

12 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. cos cos p p + kp -p + kp, k åz k - : -p - p C.S. - p, 0, 6 p k 0: p -p.7 cos () -cos cos () cos (p - ). C.S. - p, p 6 cos () -cos p 6 cos () cos p - p 6 cos() cos p 6 p 6 + kp -p 6 + kp, k åz p - + kp -p + + kp, k åz p + kp -p + kp, k åz p + kp -p + kp, k åz k 0 : p -p k : p p p 8 + kp k 0 : p 8 - p 8 k : 7p 8 7p 8 k - : - 7p 8-7p 8 - p 8 + kp, k åz C.S. - 7p 8, - 7p 8, - p 8, p 8, 7p 8, 7p k - : - p -p k - : - p -p C.S. - p, - p, - p, p, p, p 6 - cos + cos 0 cos - cos 0 cos (cos - ) 0 cos 0 cos. cos + p 6 -œ cos + p 6 -cos p 6 p + kp å O, k åz cos + p 6 cos p - p 6 + p 6 p 6 + kp + p 6 -p + kp, k åz 6 p 6 + kp -p + kp, k åz cos + 6 p p cos 6 p + kp, k åz k 0 : p k - : - p C.S. - p, 6 p p + kp -p + kp, k åz k 0 : p -p. si - p cos() Pág. k : p p k - : - p -p C.S. - p, - p, p, p 6 p -si - cos() -cos cos() cos(p - ) cos() p - + kp p kp, k åz. cos + p cos + p + p kp, k åz - p + kp, k åz p + kp -p + kp, k åz p + kp -p + kp, k åz CEXMA Porto Editora..6 k 0 : - p C.S. - p 6 - cos 0 cos cos - cos p + kp kp, k åz kp, k åz k 0 : 0 C.S. 06 cos() cos + kp - + kp, k åz kp kp, k åz kp kp, k åz k 0 : 0 0 k : p p. cos() -si cos cos p + p + + kp -p - + kp, k åz p + kp -p + kp, k åz p + kp -p 8 + kp, k åz. - cos si si - si 0 si (si - ) 0 si 0 si kp å O, k åz kp, k åz cos p + -si

13 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO.. cos () - cos() - cos () - cos() + 0 cos œ9 - * * cos cos kp p + kp -p p tg() -œ tg() -tg tg() tg - p - p + kp, kåz + kp, k åz kp y p + y + kp - p kp - p + kp, k åz kp - p + kp, k åz 0 p p. cos () cos() Œ cos() -Œ - + kp, k åz em] - p, p [ CEXMA Porto Editora.. tg () tg () - tg ().. si tg si - si cos 0 si cos - si 0 cos si cos - si 0 cos p 9 + kp, k åz tg (-) - œ -tg -tg p 6 tg tg p p + kp, k åz 6 6 tg () tg - p tg () tg p - p + kp p + kp, k åz - p + kp p + kp, k åz œ tg - tg - 6 p 6 p tg - p 6 œ - p 6 p + kp, k åz 6 p 6 + kp, k åz p 6 + kp, k åz si (cos - ) 0 cos 0 0 (si 0 cos ) cos 0 0 Soluções pertecetes ao itervalo ]-p, p[: 0 tg œ tg tg - œ tg 0 tg tg - œ 0 kp p + kp, k åz kp p + kp, k åz 0 si 0 si + cos 0 si 0 cos -si tg - p 6 tg p 6 si 0 cos cos p + œ tg 0 tg tg p em ]-p, p[. si + si cos 0 si (si + cos ) 0 6. si - å [- p, p] 6. cos + œ > 0 å [0, p] 6. cos() Œ cos() -Œ p 6 + kp -p 6 p p p + kp - + kp + kp p - p - p p - p -7p -p - p p å - p 6, - p 6 cos >- œ å 0, p 6 7p 6, p si() > œ p < < p p 8 < < p 8 - p + p 6 -p 6 å p 8, p 8 7p 6 7p + kp, k åz p -7p 7p -p p 7p p å [0, p] å [0, p] å [0, p] + kp p 6 + kp + kp, k åz em ] - p, p [

14 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6. + si * ( + cos ) - cos * si ( + si ) ( + cos ) - si cos + cos + si + si cos - si cos 8. A() ( + si + cos ), c. q. m. A(0) ( + si 0 + cos 0) ( ) ; 7. cos > œ si k - å [0, p] œ cos <-œ cos > å 0, p p, p 7p, p Como - si, temos que: - k - k - - k - k - 0 k - 0 k å -,- œ œ, å 0, p Para 0, o polígoo a cor correspode ao triâgulo [ADG] cuja área é Para AD * AG p, o polígoo a cor correspode ao quadrado [ABFG] cuja área é. 8. Trata-se de resolver graficamete a equação A(),. Itroduzido a calculadora gráfica as fuções y A() e y, ; o domíio dos dois gráficos: * 0, p. p A + si p + cos p ( + + 0), obtiveram-se os potos de itersecção A área do polígoo [ABEG] é, para ) 0, ou ),. 7. si k - cos k + - k - - k + 0 k - k 0 k 0 Para k 0, tem-se si - cos. (codição impossível, pois se si -, cos 0.) A codição é impossível para todo k [ R. 8. Pág CE si CE si EB tg EB tg AE - EB - tg AF AE e FC CE Perímetro AE + CE f () - tg + * si f() - tg + si, p f - tg p + si p c. q. m. - œ + œ CEXMA Porto Editora BC EC cos BC cos si EC si A() A [ABEG] A trapézio[aceg] - A triâgulo[bce] AG + CE * AC - BC * EC - + œ œ Iterpretação: Quado p o perímetro do quadrilátero [CEAF] é igual a, 6 + œ. + œ + œ 6 + œ

15 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO BC tg BC tg AC cos AC cos Perímetro AB + BC + AC f() + tg + f () cos f() + si (cos ) cos + cos + si + cos, cos c. q. m. cos p + a - a å 0, p -si a - a å 0, p si a a å 0, p Pág.. f() si - si cos Pág.. A [ABC] AE BE AC * BI AD - BE - cos a tg + ( + tg ) si a AE si a cos a BE cos a tg + * ( + tg ) + tg +, c. q. m. tg tg tg cos a + si a cos a + cos a - 9 cos a Œ 6 cos a a å. Q Área do trapézio BC + AD * AE + ( - cos a) * si a - cos a * si a ( - cos a) si a si a - si a cos a f (a), c. q. m si a + cos a f (a) cos a g() si + si cos g() 0 si + si cos 0 si ( + cos ) 0 si 0 + cos 0... p f si p - si p cos p Para a p o trapézio é um quadrado de lado e cuja área é,, portato,. f () - si cos AH si AH si si 0 cos - 0 p p å [0, p] HB cos HB cos A - * Área do [AHB].. HC HB A [ABC] AD cos HC cos si HB si AC * HB ( + cos ) si si + si cos g(), c. q. m. tg AD tg AC AD + DG + GC ( + HC) * si... - * - * AH * HB si * cos p f - si p cos p - * œ * œ 0 Para p obtém-se a figura. A superfície sombreada reduz-se a um poto. A sua área é zero. d() si, åa[0, p] d() AB para p - si cos f(), c. q. m. CEXMA Porto Editora BH AD + + AD AD + tg + tg BH tg BI + BH + tg d(p) si p * Sedo AB, a semicircuferêcia tem raio.

16 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. O âgulo BCA está iscrito uma semicircuferêcia. Logo, BCA é um âgulo recto e, portato, o triâgulo [ABC] é rectâgulo em C.. BC + AC BA BC + si BC - si BC - si BC * cos å 0, p ± BC cos, c. q. m. A ABC 6. Para a eb -, tem-se f () - si. Pág. 6 Etão, f (u) - si u. tem-se BC * CA Como + tg q cos q e tg q, + - si q si q - si q Logo, f(q) - si q - *. p 6. Como 0 é um maimizate e é um miimizate de f, temos: a + b * si 0 p a a + b * si - a + b - f (0) p f - Logo, a e b -. cos * si si cos, c. q. v. cos q cos q cos q a + b - a b - å 0, p ± cos > 0 7. O triâgulo [APM] é rectâgulo em M e AM. 7. Quado a amplitude de é zero a caalização tem a forma da figura abaio. Neste caso, o comprimeto da caalização é de km, pois 8. a cos a cos Pág. 7 b si b si 9. g(0) si 0 cos 0 FM + AB + 8. Área do círculo: A círculo p * p Área do rectâgulo: Área do relvado: d r T 678 km 00 cos si ,07 cos A rectâgulo AB * BC a * b 0 cos * 0 si A A círculo - A rectâgulo p - 00 cos si, c. q. m. 9. O apogeu correspode a uma amplitude de igual a 808. CEXMA Porto Editora Assim: PA cos PA * cos PA cos PM tg PM tg FP + PM FP + tg FP - tg Como PA PB, o comprimeto da caalização é dado por: FP + * PA ( - tg ) + * cos - si cos + 8 cos si g(), c. q. m. cos 9. d(808) A altitude a do satélite o apogeu é dada por a d(80) - raio da Terra km d() ,07 cos 800 Como 808 < < cos - (0,66) ) 809 km + 0,07 cos ,07 cos ,07 cos - 9 cos )-0, d(0) 7 + si 0 7 Pág. 8 Ecotra-se a 7 metros do solo.

17 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 0. Cotradomíio 0 t 7 0 pt 0 p ±- si pt 0 Miimizates Maimizates - si pt si pt 0 d(t) 7 + si pt 0 si pt 0 - pt 0 p + kp, k åz t + 60k, k åz t pt 0 p + kp, k åz t + 60k, k åz t t 7 t å 0, 7 d(t) 7 + si pt 0 si pt 0 t å 0, 7. f(), +,6 si. I. Jaeiro: dias Fevereiro: 9 dias Março: dias Total de dias: 8 O dia de Março foi o 8.8 dia do ao. Tem-se, assim, 8. f(8), +,6 * si p( - 8), å {,,,...,66} Pág. 9 8 p(8-8) 8 ),6,6 h h 0,6 * 60 mi ) h 0 mi No dia de Março o Sol asceu às 6 h 0 mi e o tempo que decorreu etre o ascer e o pôr-do-sol foi de h 0 mi. Como 6 h 0 mi + h 0 mi 8 h 0 mi, o dia de Março o pôr-do-sol ocorreu às 8 h 0 mi.. Trata-se de resolver graficamete a iequação f() >,7, com å {,,,..., 66}. Recorredo à calculadora gráfica determiaram-se as abcissas dos potos de itersecção do gráfico de f com a recta de equação y,7. Foi obtido o gráfico seguite: d(t) si 0 pt 7 si 0 pt 0 pt kp, k åz 0 t 0k, k åz t 0 t 0 t 60 t å 0, 7 Podemos cocluir que: f() >,7, < < 9,6 å {,,...,90, 9} Como , o tempo que decorreu etre o ascer e o pôr-do-sol foi superior a,7 horas durate 8 dias. CEXMA Porto Editora 0. 6 No istate t s o Mauel ecotrava-se o poto mais elevado da roda. Como o Mauel voltou a esta posição o istate t 7 s, podemos cocluir que levou 60 segudos (7-60) a dar uma volta completa. d(t) 9, t å 0, si 0 pt 9, t å 0, 7 pt si 0 t å 0, 7 pt 0 p 6 + kp pt 0 p t + 60k t + 60k, k åz t å 0, 7 t t t 6 k åz t å 0, kp, A cadeira úmero ecotra-se a uma distâcia de 9, metros do solo os istates t s, t s e t 6 s. Assim, o Mauel demora segudos a ecotrar-se pela primeira vez a 9, metros do solo. 0. Já se verificou que a distâcia máima ao solo atigida pela cadeira é de metros e a distâcia míima é de metros. Podemos etão cocluir que o diâmetro da roda é de - 0 metros e, cosequetemete, o raio tem metros de comprimeto.. V() 80 ( - si ), å 0, p Pág. 0. A capacidade total do depósito é dada por V( p). V(p) 80 (p - si (p)) 60 p ) 0 A capacidade total do depósito é de 0 m, aproimadamete.. Trata-se de resolver a equação V() 00. Recorredo à calculadora gráfica determiou-se a itersecção do gráfico da fução V com a recta de equação y 00. Foi obtido o seguite gráfico: Podemos etão cocluir que para que eistam 00 m de combustível o depósito, a amplitude do arco ABC terá de ser de, radiaos, aproimadamete.

18 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora. Para determiar o volume de combustível o mometo em que a sua altura é da altura máima é ecessário calcular o valor da amplitude de correspodete a essa altura. Atededo à figura ao lado tem-se: Etão a p e, cosequetemete, No mometo em que a altura do combustível eistete o depósito é da altura máima, o seu volume é de aproimadamete 98 m.. O gráfico correcto é o (B). Pág. O gráfico (C) ão se ajusta à situação descrita uma vez que a altura do combustível o depósito é crescete. Atededo à forma do depósito podemos cocluir que a taa de variação da altura ão é costate. Logo, o gráfico (D) também ão traduz a situação apresetada. O gráfico (A) também ão é adequado pois, atededo ovamete à forma do depósito, a taa de variação da altura do combustível o depósito é maior a parte iicial e a parte fial do echimeto, ao cotrário do que aí se apreseta.. Observado a figura verifica-se que tg a œ8... a) cos a a p p V 80 * p p - si ) 98 si p + a Pretedemos, portato, calcular o valor de cos a sabedo que tg a œ8. Assim temos que: + tg a + (œ8) Como a é um âgulo do.8 quadrate, tem-se cos a - b) r r cos a T(t) si cos a + 8 cos a cos a 9 e cos a -. T(0) si -8p + cos (p - a ) cos a + cos (p - a ) 8-8 * œ p(t - 8) A temperatura do ar às zero horas foi de C. T(0) si p * si p * 8-8 si p 8 - œ ) cos a - cos a cos a A temperatura do ar às 0 horas foi de C. Pág..... T(t) si si Como t å 0,, vem t 6 t. A temperatura foi de C às 6 horas e às horas desse dia. - 8p Portato, p (t - 8) p(t - 8) si Desta forma, temos que D9 T 0, 6. si t k, k åz t + k, k åz Como t å 0,, vem que t. A temperatura máima foi de 6 C e ocorreu às horas. T(t) si si t k, k åz t 6 + k, k åz Como t å 0,, t 6 -. A temperatura míima foi de 0 C e ocorreu às horas. T(t) si si - T(t) si p(t - 8) p(t - 8) p(t - 8) 6p p (t - 8) p(t - 8) p(t - 8) p(t - 8) p + kp, k åz p(t - 8) p p (t - 8) p (t - 8) - si, pelo que - - p + kp, k åz p(t - 8) 0 si p (t - 8) p (t - 8) - p p (t - 8) + kp p + p + kp, k åz 6 6 t k t k, k åz 6 t k t k, k åz t 6 + k t + k, k åz 0 t < -8 t - 8 < 6-8p p(t - 8) 6p t - 8 k, k åz t 8 + k, k åz Como t å 0,, vem t 8 t T t 6 p(t - 8) si - p 6 p(t - 8) kp, k åz A temperatura foi de 8 C às 8 horas e às 0 horas. p 7

19 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO.6. Para q 908, P (908) œ cos 8 œ œ 8. P 8. Trata-se de um quadrado de lado. CEXMA Porto Editora.7. 8 A temperatura foi superior a 8 C etre as 8 horas e as 0 horas. p(t - 0) I(t) 0 + si a) - si p(t - 0) si 7 I(t) I(t) 0 + si p(t - 0) p(t - 0) si p + kp, k åz t k, k åz t 6 + k, k åz Como t å 0,, vem t 6. A temperatura o iterior foi máima às 6 horas. Atededo a que o eterior foi máima às horas temos um desfasameto térmico de horas. b) Recorredo à calculadora gráfica determiou-se a itersecção dos gráficos de T e I. Foram obtidos os seguites resultados: 7,7-8,9 9, 9, h ) 9 h mi p(t - 0) p(t - 0) 0 + A temperatura eterior foi superior à temperatura o iterior durate 9 h mi. œ AB cos q œ AB * cos q AB P(q) * œ cos q P(q) œ cos q œ cos q, c. q. m. Pág.. a) P(q) 8œ œ cos q 8œ b) Como 0 < q < 808, tem-se q, logo, q P(q) 8œ6 œ cos q œ cos q 8 œ6 Œ 8 * 6 cos q * œ cos q * œ cos q œ Como 0 < q, dode q 60. < 90, q 0 q œ. a) Sabedo que tg pretede-se calcular, cos q Tem-se + + tg q cos q Como 0 < q, tem-se cos q < 90 > 0 Portato, q cos Logo, P(q) œ * cos q œ * 0œ. b) Atededo à figura, tem-se: OB œ tg q OB œ tg q Área do losago cos q œ cos q 8œ cos q cos q cos q A(q) * 8œ6 9 AC * OB A(q) œ * œ tg q A(q) tg q Logo, se tg q, A(q) * 6.

20 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. AÔB 60 (o triâgulo AOB é equilátero) Pág... h + 6 h 6-9. h œ7 h œ9 * h œ h œ m ),0 m A BCP CB * GP A(a) 6 cos a cos a 9 * 6 cos a A(a) 0 6 cos a 0 cos a 0 6. Raio da roda + altura do triâgulo ( + œ) m ) 9,0 m. 60 : * 0 O Pedro avaçou um arco de amplitude 0, relativamete à posição iicial, ocupado a posição P' :.6.7 a cos 9 ) 6, a a 8 60 * p * 6 * p a < < cos a p 6 p 6 m ),76 m 0 < 6 cos a 6.6 miutos 0 segudos 0 s 60 0 s 86 * * O Pedro avaçou um arco de circuferêcia de amplitude 7 * 0 +, relativamete à posição P. Logo, o Pedro está um pouco ates de [OA].. a) a 0 Pág. A BCP b) a CP 6 GP GP si 8 CP 6 œ GP œ A BCP 6 * PC * CB CB * GP * œ 6 m 8œ A BCP 8œ m ),6 m.8 A(a) 6 cos a cos a 6 a cos - 6 ; a ) 6,0 08 a < 908 (6, 0 ; ), Para a ) 6 obtém-se um triâgulo de área igual a m.. O gráfico faz lembrar o perfil da motaha. Pág. 6. Recorredo à calculadora gráfica foram obtidos os valores máimo e míimo de f : CEXMA Porto Editora. GPˆC a (são iguais dado que são âgulos agudos de lados paralelos). GP CP cos a GP CP * cos a GP 6 cos a a) P(9,;,6) b),66-8,6 ),7 A difereça etre as altitudes dos potos mais alto e mais baio do perfil da motaha é,7 hm. 9

21 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. Calcularam-se as coordeadas dos potos de itersecção do gráfico de f com a recta de equação y. Obtiveram-se os seguites valores: O Nuo pode ocupar qualquer poto P(, y) da liha do perfil da motaha, tal que 0,, 7, ou,88,, 9,7, pois só assim poderá observar uma asa-delta a voar por cima de si a uma altura costate de hm. 6. a(t) p Pág. 7 - p cos (œ9,8t) a(0) p - p 6 cos (0) p - p 6 p No mometo iicial, a distâcia do cetro da esfera à recta OS é dada por PC sedo C o poto da recta OS tal que o triâgulo [OPC] é rectâgulo em C com CÔP a(0) p. PC OP si p PC œ PC œ a(t) p p - p 6 cos (œ9,8t) p p cos (œ9,8t) A difereça etre os comprimetos dos poteiros é igual Pág. 8 à difereça etre as distâcias das etremidades dos poteiros à barra quado forem eactamete zero horas. Logo, o valor pedido é igual a m(0) - h(0). m(0) cos p 800 * * 7 0,7 h(0) + 0 cos p 600 * * 0, m(0) - h(0),7 -, 0, Como 0, m 0 cm, o poteiro dos miutos tem mais 0 cm do que o poteiro das horas. m(0) - h(0) 0, m 0 cm 7. Pretede-se mostrar que: m(t + 600) m(t) m(t + 600) cos p 800 (t + 600) cos p 800 t + 600p cos p 800 t + p cos p 800 t m(t) Iterpretação: hora 60 * 60 segudos 600 segudos. De hora a hora repete-se a distâcia da etremidade do poteiro dos miutos à barra. 7. A recta AB é paralela à barra os istates em que a distâcia da etremidade do poteiro dos miutos à barra é igual à distâcia da etremidade do poteiro das horas à barra. Trata-se portato de determiar as soluções da equação m(t) h(t) com t å 0, 600. Recorredo à calculadora gráfica obtiveram-se os potos de itersecção dos gráficos de h e m. Foram obtidos os seguites valores: cos (œ9,8t) 0 œ9,8t p + kp, k åz p + kp t œ9,8, k åz O istate em que o cetro da esfera passa pela primeira vez a recta r correspode à solução da equação aterior que se obtém para k 0. p + 0 * p p t œ9,8 * ) 0, œ9,8 Etão, t ) 0, s. Podemos etão cofirmar que, a primeira hora do dia, eistiram dois istates em que h(t) m(t), ou seja, em que a recta AB é paralela à barra. O istate pedido ocorre para t 00 s, ou seja, às 0 h mi 0 s. CEXMA Porto Editora 0

22 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO. Pág u. v i u i * i v i * cos u W v * * cos (808) 6 * (-) -6 u. v i u i * i v i * cos u W v * * cos(08) 6 cos(808-08) -6 cos 08-6 * œ -œ Resposta: (C) 60 : 6 60 * 60 0 DˆFB 08 : 608 O heágoo regular pode ser decomposto em seis triâgulos equiláteros cuja altura é igual à medida do apótema, ou seja œ. i FB i i FD i œ FB. FD i FB i * i FD i * cos FB W FD œ * œ * cos 60 * * 6 a. b i a i * i b i * cos(a W b ) -0 * i b i * cos p - -i b i * cos p PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO -0 * i b i * cos p - p - -i b i * i b i Capítulo u. v - i v i 0 - * -8 i BC i * i BD i * cos BC BC. BD W BD 6 * 6 * cos 60 i p i i q i p. i p i * i q i * cos(p W q q -9 ) -9 * * cos(p, q ) -9 cos( p, q ) - (p W q ) 808 Os vectors p e q têm a mesma orma, a mesma direcção e setidos cotrários. Logo, são simétricos. Etão p + q UQ ' TX UQ. TX 0.. v. u - v v. u - v. v 6 * 8 AB. BA AB. -AB -AB. AB -i AB i - - cos(câb) AC AB Pág. 6 Resposta: (C) cos(câb) CEXMA Porto Editora. 6. i u i k ; i v i k, k år + u. (u - v ) + v. (u + v ). (u - v ) (u - v ) u. u - u. v + v. u - v. v u. i u i - i v u - v. v i Resposta: (C) A(, -); B(, ); C(k, ) AB B - A ( -, + ) (, ) BC C - B (k -, - ) (k -, ) AB ' BC AB. BC 0 7. u ' v u. v 0 Pág. 6 i v i k - (k) k - k -k (, ). (k -, ) 0 k k k.. cos AD W AE cos(câb) AD. AE i AD i * i AE i * cos AD W AE * * u. v œ ; i u i ; i v i cos (u W v u. v ) i u i * i v i cos (u W v ) œ * cos (u W v ) œ i a a i i ' b b i a. b 0 (a + b ). (a - b ) i a i + a. b - i b i * * - (u W v ) p rad a. a - a. b + b. a - b. b

23 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. a (, ); b (, k). u. v i u i * i v i * (-) Pág. 67 a. b (, ). (, k) 6 + k a ' b a. b 0 Resposta: (C) 6. AC. CD (AD + DC ). CD -i CD i AB. AC k 0 k - AD. CD + DC. CD 0 - CD. CD i AB i * 8 i AB i 6 i AB i Resposta: (C) i AB i * i AB i * cos Perímetro i AB i * AC AD + DC AD ' CD i AB i * i AC i * cos AB W AC 8 i AB i i AC i u. v -i u i * i v i u. v < 0 u. v i u i * i v i * cos(u W v ) i u i * i v i i u i * i v i * cos(u W v ) cos u W v Logo, u W v 0. Deste modo, u e v têm a mesma direcção e o mesmo setido. u. v i u i * i v i * cos(u W v ) u. v * * cos(u W v ) u. v cos(u W v ) - cos(u W v ) - cos(u W v ) - u. v cos(u W v ) (u W v ) cos u. v i u i * i v i œ * œ - œ ),78 CEXMA Porto Editora. u (0, ) Pág. 66. v (0, -). a (-, œ). z (-, -). w AB, A (, -), B (, ).6 c u - v (, 0) - (0, -). a ' b a. b 0. i c i 6. e. f * * cos p * (-) -... u. -i u v u. (-u) -u. u i - * - i u i œ0 + i v i œ0 + (-) i a i œ(-) + (œ) œ9 + œ i z i œ(-) + (-) œ + 9 œ AB B - A (, 6) i w i œ + 6 œ0 œ * 0 œ0 (, 0) + (0, 6) (, 6) i c i œ + 6 œ7 i d i œ + œ * œ c W d p ; cos(c W d ) œ c. d 6 * œ * œ u. p œ v * 6 * cos 8 * 6 9œ u. p œ v * œ * cos œ * œ6 9. i u i ; i v i ; u. v Pág u. v + v. w + w. u AC. CB + CB. AB + AB. AC -CA. CB + (-BC ). (-BA ) + AB. AC - CA. CB + BC. BA + AB. AC -0 * 0 * cos * 0 cos * 0 * cos * 0 v. (u + v ) v. u + v. v + i v i + u. (-v + u ) -u. v + 6u. u - * + 6i u i * 8 (u + v ). (u - v ) u. u - u. v + v. u - v. v * + - (u - v ). (u + v ) u. u + u. v - v. u - v. v * u. (u + v ) - v. (u - v ) u. u + u. v - v. u + v. v i u i + i v i + 9 i u + v i - i u - v i (u + v ). (u + v ) - (u - v ). (u - v ) u. u + 6u. v + 6v. u + 9v. v - - u. u + 6u. v + 6v. u - 9v. v u. v * 7 i u i + u. v - i v i i u i - i v i 0. i v i ; (u + v ). (u - v )

24 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora 0. (u + v ). (u - v ) C(, y) com + y r, pois C é um poto da circuferêcia. 0. u. v i u i * i v i * cos(u W v ). (u + v ) 0 i u i + i v i 0 i u i - i v i 0 i u i + i v i 0 i u i 0 + i v i 0 + i v i + i v i 0. A(-, ); B(, -); C(, 0). AB B - A (, -). u. u - u. v + v. u - v. v i u i - i v i i u i - i u i 6 i u i 6 6 * * cos p 0 * (u + v ). (u - v ) 0 u. u - u. v + v. u - v. v 0 i u i - i v i 0 (u + v ). (u + v ) 0 u. u + u. v + v. u + v. v 0 i u i + u. v + i v i 0 i u i - * 0 + i v i 0 ± i v i 0 i v i 0 i v i œ0 AC C - A (6, -) AB. AC cos(ab W AC ) AB. AC AB W AC cos -œ0 8 ) 7,98. ABC W BA W BC BA -AB (-, ) BC C - B (, ) i AB i * i AC 8 i œ + 9 * œ6 + 8 œ * œ0 8 œ0 BA. BC cos(ba W BC ) BA. BC i BA i * i BC - i œ + 9 * œ6 + BA W BC cos -œ - ) 08 u. v -0 - œ. Cosideremos um refe- Pág. 69 recial o.. Oy sedo O o cetro da circuferêcia tal que O cotém o diâmetro [AB] da mesma circuferêcia. Seja r o raio da circuferêcia. Tem-se que: A(- r, 0) e B(r, 0)... Logo, AC AB + BC, c. q. d. Logo, AB. AC a, c. q. m. o âgulo ACB é recto. AC AB + BC, logo, AB AB ' BC. BC 0 6. Pág CA A - C (- - r, -y) CB B - C (- + r, -y) CA. CB (- -r)(- + r) + (-y)(-y) - r + y ( + y ) - r r - r 0 CA. CB 0 CA ' CB ± AC AC i AC i. AC (AB + BC ). (AB + BC ) AB. AB + AB. BC + BC. AB + BC. BC i AB i i BC i AB + BC AB. AC AB. (AB + BC ) AB. AB + AB. BC i AB i + 0 a UV. VA (UH + HV ). VA UH. VA + HV. VA 0 + HV. VA HV. VA, c. q. m. UV. SA SA. SA \\SA SA VA. SU VA. (-US ) -VA. VA (VA US ) -\\VA -VA, c. q. p. 7. A(-,, 0); B(-,, ); C(-, 0, 7) AB B - A (0, -, ) ; BA (0,, -) AC C - A (-, -, 7) BC C - B (-, -, ) (SA UV ) i AB i œ œ0 i AC i œ œ6 i BC i œ œ -VA. US O triâgulo [ABC] é escaleo. + y r

25 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora œ0 * œ œ0 A ˆBC - cos œ0 - O triâgulo [ABC] é obtusâgulo. MN e AB são colieares, sedo AB MN. a - 7 (, -, 6) ou a (, -, 6) 7 a - 6 7, Como a 7, ou a 6 7, - 7, 7 7 tem a terceira coordeada egativa, 0. a (,, 0); b (0, œ, ) 0. a. b * 0 + œ + 0 * œ 0. cos(a W a. b b ) i a i * i b i œ œ œ9 + * œ + œ * œ6 0. cos(câb) cos(ac W AB ) AC. AB CÂB cos cos(a ˆBC) cos( BA W BC ) BA. BC A(,, 0); B(, -, ); C(-, -, 0) - M, -, 0 ; M(-, -, 0) - N, - - AB B - A (, -, ) MN N - M, -, b (, -, 6) - a k b e i a i a k (, -, 6) a (k, -k, 6k) œ6 * œ0 œ60 œ60 ),8 i a i œ(k) + (-k) + (6k) œ9k + k + 6k œ9k 7œk 7 \k \ i a i 7 \k \ \k \ 7 k - 7 k 7 a - 6 7, 7, (a W b ) cos - œ œ78 ) 608, + 0 ; N 0, -, i a - b i \\ (,, 0) - (0, œ, ) \\ \\ (, -œ, -) \\ œ + ( - œ) + (-) œ œ œ. A(, ); B(, -) Pág. 7 M +, - ; M 9, - i AC i * i AB i i BA i * i BC i P(, y) é um poto geérico da mediatriz de [AB]. œ œ78 MP - 9, y + AB (, -) MP. AB 0. A(-, -); B(-, ) P(, y) é um poto geérico da mediatriz de [AB]. y A(, ); B(0, ) P(, y) é um poto geérico da circuferêcia de diâmetro [AB]. AP. BP 0 ( -, y - ). (, y - ) 0 ( - ) + (y - ) (y - ) y - y - y y - - 9y A(-, ); B(, -) P(, y) é um poto geérico da circuferêcia de diâmetro [AB]. AP. BP 0 ( +, y - ). ( -, y + ) 0 ( + ) ( - ) + (y - ) (y + ) y + y - y y + + y - 0. ( - ) + (y - ) 0. T(-, ) (- - ) + ( - ) Cetro da circuferêcia: C(, ) T(-, ) y y - 0 y - 7 y M, MP +, y - AB (-, 7) MP. AB 0 CT (-, ) P(, y) é um poto geérico da recta tagete à circuferêcia o poto T. TP ( +, y - ) TP. CT 0 ( +, y - ). (-, ) y y + y ; M -, y y y +

26 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. AB. AC AB. (AB + BC ) AB. AB + AB. BC i ABi + 0 AB, c. q. m.. Tem-se P(r, s) Q (, 0); Q é um poto de O OP (r, s) PQ ( - r, -s) Como a recta t é tagete à circuferêcia o poto P tem-se que, pelo que OP OP ' PQ. PQ 0 (r, s). ( - r, -s) 0 Como P(r, s) pertece à circuferêcia de cetro a origem e raio, tem-se r + s. Logo, r, c. q. p. r. R(, 0), U(, ) Pág. 7 Como [RS] está cotido o eio O, V tem a abcissa igual à de R e a ordeada igual à de U. Logo, V(, ). M +, 0 + ; M, Recta UM m y - ( - ) y - + y r - r - s 0 r r + s - - (U pertece a UM)... MU, ; i MU i Œ + Œ œ MN, - ; i MN i Œ 6 + œ A MNU NÛM cos- œ * œ 6 UN N - U, 0 - (, ) -, - UM M - U, - (, ) -, - UN. UM + i UN i Œ Œ 6 i UM i Œ + Œ œ cos (NÛM) cos ( UN W UN. UM UM ) + - œ * œ œ ) 6,68 T, - ; C: + y 6 proposição verdadeira, logo o poto T + 9, pertece à circuferêcia..6 P (, y) é um poto geérico da recta t. OT. TP 0, -. -, y y y - i UN i * i UM i CEXMA Porto Editora. Logo, a recta UM, passa a origem, ou seja, passa o cetro da circuferêcia. MU U - M, Como N é um poto de O, N tem coordeadas (, 0) MN N - M -, - MU ' MN MU. MN 0 ( - ) + * Deste modo, temos que N c. q. m., 0, N, 0 ; 0 * - 0 0; N å t U(, ); * - ; U å t Como e, t é a recta NU..7 a) VP U å t N å t. SP 0 defie a circuferêcia de diâmetro [VS]; P(, y) é um poto geérico dessa circuferêcia. V(, ), S(, 0) y - VP. SP 0 ( -, y - ). ( -, y) 0 ( - ) ( - ) + (y - ) y y - y 0 + y - - y + 0

27 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO b) VR. MP 0 defie a mediatriz do segmeto de recta [VR]. P(, y) é um poto geérico dessa mediatriz. V(, ); R(, 0); M, VR. MP 0 (0, -). -, y ( - ) - y - 0 y c) OR. RP 0 defie a recta tagete à circuferêcia C o poto R. R(, 0); P(, y) é um poto dessa recta tagete. OR. RP 0 (, 0). ( -, y) A Outro processo: O triâgulo [BOD] é isósceles (OB OD) BÔD a DˆBO O ˆDB Se Logo, DˆBC * 8 08 BĈD BˆDC ED cos a EO si a CD * EB 80 - (90 + a ) - a a 608, OˆBD ED * (OB * EO). a) Se [OAD] é equilátero tem-se a 60. Pág. 7 b) c) Como D é um poto do círculo trigoométrico, as suas coordeadas são (cos a, si a). Dado que e si 608 tem-se D œ., œ cos 60, B(0, -), C -, œ DB B - D - œ, - - DC C - D (-, 0) DB. DC + 0 DB Œ - + i DC i œ + 0 cos(db W DC ) DB. DC C ˆDB cos - BĈD C ˆDB 78 DˆBC * œ - - ŒŒ + i DB i * i DC i ŒŒ + * ŒŒ + ŒŒ + 78 A cos a ( + si a), c. q. m.. Sedo o triâgulo [DEO] isósceles tem-se ED EO e, cosequetemete a 8. A cos 8 ( + si 8) œ + œ œ +. a) DN si a NA - ON - cos a DA DN + NA d si a + ( - cos a) d si a + + cos a - cos a d (si a + cos a) + - cos a d + - cosa d - cos a, + c. q. m. b) + tg a cos a ; tg a Como 08 a < 908, cos a d - cos a d - * d d Œ œ0 cos a 6 cos a cos a 6 CEXMA Porto Editora 6

28 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Capítulo CEXMA Porto Editora.... r : y - + y - + Uma recta perpedicular a r tem declive. a : - - y + z - 0 ; a (-, -, ) a é um vector ormal a a. b : - y + z + y - z - 0 ; b (,, -) b é um vector ormal a b. a - b Como a e b são colieares, a b. - z y - y - - z t (-, 0, ) é um vector director de t. Resposta: (C) - z Poto geérico de s : P y (-, y, ) Um vector director de s é da forma s (0, a, 0), com a 0 0. a Sedo y 0 e a -, vem P(-, 0, ) e s (0, -, 0). Pág. 90. Pág. 9 y - z y + z - z - y - z - ( + z) y + z - z - - z y - z + -z yz y - z + - z Logo, a recta r passa o poto A(-,, 0) e tem a direcção do vector r (,, ). Deste modo, tem-se que: Resposta: (C) 6. Observado a figura tem-se P(0,, ) e Q(,, 0). PQ Q - P (,, 0) - (0,, ) (, 0, -) Logo, uma equação vectorial da recta PQ é: 7. P(0, 0, ); Q(0,, 0) r : (, y, z) (-,, 0) + k (-,, ), k år. PQ Q - P (0,, -) - - z y y - z (, y, z) (,, 0) + k (, 0, ), k år. Poto médio de [PQ] : M(0,, ) Seja a o plao mediador de [PQ]. Etão PQ ' a e M å a, logo: a : 0 + y - z + d 0 M å a : * - * + d 0 d 0 a : y - z 0 y z O úico poto que satisfaz a codição y z é o poto A(, 0, 0). 8. Oz: y 0 Pág. 9 + y 0 Logo, (, 0, 6) são as coordeadas do poto de itersecção da recta r com o plao Oz. Outro processo: r : + A(-,, 0) å r e r (, -, ) é um vector director de r. Uma equação vectorial de r é: Seja R um poto geérico de r: Substituido a equação do plao Oz cuja equação é y 0, vem que: Substituido k por em R tem-se: (- + *, -, * ) (, 0, 6) que são as coordeadas do poto pedido. 9. Seja a a medida da aresta do cubo. As coordeadas do poto D são (a, 0, a). Como D pertece ao plao defiido pela equação + y 0 tem-se a a U(,, ) r : (, y, z) (, 0, ) + k (0, 0, ), k år (, 0, ) são as coordeadas do poto T r é a recta que passa em T e tem a direcção do vector r (0, 0, ), ou seja, do eio Oz. A recta r é, assim, a recta PT. Como P é um poto do plao OUV, P é a itersecção da recta PT com aquele plao.. A recta r é defiida por Pág. 9 Logo, (,, 0) é um poto de r, é um vector director dessa recta e r r (0, 0, ) (0, 0, ) é um vector coliear com r. Deste modo, uma equação vectorial de r é: y - - z y - - z yz + z y 0 y 0 z 6 r : (, y, z) (-,, 0) + k (, -, ), k å R R(- + k, - k, k) - k 0 k y z 6 y 0 (, y, z) (,, 0) + k (0, 0, ), k år. 7

29 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora. a : - y + z ; b : + y - 7z 7. A(,, 0); A a pois - + * 0 0 B(, 0, 0); B b pois * C (0, 0, -); C a pois * (-) 0 D(,, 0); D å a pois - + * 0 e D å b dado que * 0 7 se e só se. A codição 0 defie a recta de itersecção dos plaos de equações 0 (plao yoz) e z. z Resposta: (C). defie uma recta com a direcção do vector u z (0, a, 0), com a 0 0, ou seja, paralela ao eio Oy.. A codição y defie uma recta com a direcção Pág. 9 do vector u (0, 0, a), com a 0 0, portato paralela ao eio Oz. 6. r : - y - z - ; r (,, ) s : (, y, z) (,, ) + k (, 0, ), k å R; s (, 0, ) r e s ão são colieares ( 0 0). Logo, r e s ão são paralelas. r. s Logo, r e s ão são perpediculares. r e s são cocorretes porque o poto de coordeadas (,, ) pertece às duas rectas. 7. AB (-, m, ) r : 8. r : Um poto pertece à recta de itersecção de a com b é um poto que pertece a a e a b. r (,, -) Se AB e r são rectas paralelas etão colieares, ou seja, o AB kr AB e r, k år. (-, m, ) k (,, -) - k m k -k Logo, m -. são vectores Se r e s são rectas coicidetes, todo o poto de r é poto de s. Em particular o poto A(,, 0) que pertece a r terá que pertecer a s: y - - Resposta: (C) y - z - z ; s : k y z k 9. a : - y + z + Pág. 9 0; a (, -, ) ' a b : + y + z + 0; b (,, ) ' b 0 -. y - k - m - z - k k a e b ão são colieares Logo, a e b ão são paralelos.. a b * - * + * 0 0. Logo, a e b ão são perpediculares. Os plaos a e b são cocorretes ão perpediculares. Resposta: (C) 0. a : + y ; u (,, 0) ' a. a : + y 0; u (,, 0) ' a a a b : - + y - z ; v (-,, -) ' b b : + y + z ; v (,, ) ' b v. v ± b ão é perpedicular a b c : - y 0; w (, -, 0) ' c c : z 0; w (0, 0, ) ' c w. w 0 ± c ' c Resposta: (C) a : + y - z - 0 Se b é paralelo a a etão b : + y - z + d 0. Como (0,, ) å b, vem que: 0 + * - + d 0 d 0 b : + y - z y + z 0 Resposta: (C). r : (, y, z) (0,, ) + k (, 0, -), k år r (, 0, -) é um vector director de r Oy : z 0; k é ormal a Oy Oz : y 0; j (0, 0, ); k é ormal a Oz yoz : 0; i (0,, 0); j (, 0, 0); i é ormal a yoz r. j (, 0, -). (0,, 0) 0 r. j 0 ± r Oz. Se a e b são estritamete paralelos, Pág. 96 dada uma recta cotida em a, eistem em b uma ifiidade de rectas que lhe são paralelas.. a : + y + z ; a (,, ) é um vector ormal a a r : y z; r (,, ) é um vector director de r é coliear com a r ± r a Logo, a recta r é perpedicular a a.. a : - z ; a (, 0, -) é ormal a a r : y tem a direcção da recta r z ; r (,, ) P(0,, ) Substituido as coordeadas de P a equação de a (0-0 ) verifica-se que P a. Substituido as coordeadas de P as equações de r 0 0 verifica-se que P r.. a r (, 0, -). (,, ) a r 0, a ' r Como pelo que a recta r é paralela a a. Resposta: (C) 8

30 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora 6. r : y - z Pág. 97. P(, 0, 0) r (,, 0) é um vector director de r k (0, 0, ) é um vector director do eio Oz r. k 0 ± r é perpedicular ao eio Oz ± r é paralela ao plao Oy 7. a : + y ; a (,, 0) é ormal a a Oy : z 0; k (0, 0, ) é ormal a Oy. a k 0 ± a ' k ± a ' Oy 8. a : + y + z 0; a (,, ) é um vector ormal a a r : y - z é um vector director de r m ; r (,, m) a r a ' r a. r 0 9. a : EAD b : ABC a ' b (,, ). (,, m) m 0 m - BG é paralela a a e ão é paralela a b (a opção (A) é falsa). FE é perpedicular a a e FE ão é perpedicular a b (a opção (C) é falsa). FA é perpedicular à itersecção de a com b e ão é perpedicular a b (a opção (D) é falsa). 0. Todos as rectas passam o poto de Pág. 98 coordeadas (,, ) do.8 octate (, y, z) (,, ) + k (, 0, 0), k år Recta paralela ao eio O. Itersecta apeas o plao yoz. (, y, z) (,, ) + k (0,, 0), k år Recta paralela ao eio Oy. Itersecta apeas o plao Oz. (, y, z) (,, ) + k (,, 0), k år Recta perpedicular ao eio Oz. Não itersecta o plao Oy. Q(0,, 0) R(0, 0, ) Vector ormal ao plao PQR : (a, b, c) QP (, -, 0) QR (0, -, ). QP 0. QR 0 (a, b, c). (, -, 0) 0 (a, b, c). (0, -, ) 0 Todo o vector da família (b, b, b), com b 0 0 é ormal ao plao PQR. Em particular, para b, obtém-se o vector (,, ) ormal ao plao PQR. - y - z - defie uma recta r sedo r (,, ) um vector director. Logo, r Y PQR. Resposta: (C). O eio O é perpedicular ao plao yoz. Toda a recta perpedicular ao plao yoz é paralela ao eio O.. Se r e s são perpediculares a um mesmo plao a, etão r s. Resposta: (C). Oz : y 0; j (0,, 0) é um vector ormal Pág. 99 ao plao Oz. Para que a seja perpedicular a Oz terá que ser, sedo. a j 0 a um vector ormal a a. a : z + - z + 0; a (, 0, -) Logo, a é perpedicular a Oz.. O sistema a. j (, 0, -). (0,, 0) 0 defie a itersecção de uma recta com um plao. Como a recta é perpedicular ao plao (o vector director da recta r (,, ) é ormal ao plao) a itersecção é um poto. 6. Uma superfície esférica de cetro em C(, 0, 0) é tagete ao plao yoz se tiver raio igual à abcissa do cetro, ou seja, r. Logo, ( - ) + y + z, defie uma superfície esférica tagete ao plao yoz. Resposta: (C) 7. Uma esfera de cetro o poto C(,, ) é tagete ao plao Oy se o seu raio r for igual à cota de C, ou seja, r. Logo, uma codição que defie a esfera é ( - ) + (y - ) + (z - ) a b c b + y + z y z a - b 0 -b + c 0 9

31 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora 8. Para que a superfície esférica seja tagete aos plaos de equações z e z, a cota do cetro da superfície esférica terá que ser z 0 + ; - o raio terá que ser. Logo + y + (z - ) é uma possível solução. Resposta: (C) 9. Se a superfície esférica é tagete ao plao de equação Pág. 00 y 0, o seu raio terá que ser igual ao valor absoluto da ordeada do cetro, o que só se verifica a opção (A): ( - ) + (y - ) + z com C(,, 0) e r. Como a distâcia do cetro C ao plao de equação é igual a \ - \ r, esta superfície esférica é tagete ao plao de equação. 0. O cetro da superfície esférica E : + (y - ) + z é o poto C(0,, 0) e o raio é. Como a distâcia de C ao plao de equação y é \ - \ raio, a superfície esférica é tagete ao plao a. Logo, a itersecção de E com a é um poto. Outro processo: + (y - ) + z y + (y - ) + z y (Este sistema defie a itersecção de E com o plao a) + + z y + y 0 y (, y, z) (0, 0, ) (0, 0, ) são as coordeadas do poto de itersecção da superfície esférica E com o plao a.. ( - ) + (y - ) + (z - ) y defie a itersecção da superfície esférica de cetro C(,, ) e raio com o plao de equação y que passa o cetro de C (este poto tem-se y). Logo, a itersecção é uma circuferêcia de raio.. ( - ) + (y - ) + (z - ) defie uma superfície esférica S de cetro C(,, ) e raio œ. Um plao de equação a itersecta esta superfície esférica se - œ a + œ. Das hipóteses apresetadas apeas - œ + œ. Resposta: (C). Raio da circuferêcia de perímetro 8 p: pr 8p r 8p r p Atededo a que o triâgulo [OBC] é rectâgulo em C tem-se OB +, ou seja, r. Podemos cocluir que a equação da superfície esférica é + y + z. Resposta: (C) 0 y 0 y. A itersecção da esfera defiida pela codição Pág. 0 + y + z (cetro a origem e raio ) com o plao de equação z é um círculo de raio r. Tem-se que:. As superfícies esféricas têm o mesmo cetro e raios diferetes pelo que ão se itersectam. 6. Trata-se de duas superfícies esféricas de cetros C (0,, 0) e C (0,, 0) com o mesmo raio igual a œ. Como a distâcia etre os cetros é iferior à soma dos raios, pois C C e < œ, a itersecção das duas superfícies esféricas é uma circuferêcia. 7. E : ( - ) + (y - ) + (z - ) 6 defie a esfera de cetro C(,, ) e raio 6. Dado que a recta r passa o cetro da esfera, a itersecção é um segmeto de recta cujo comprimeto é igual ao diâmetro da esfera, ou seja,. Resposta: (C) 8. ( - ) + (y - ) + (z - ) Pág. 0 Cetro da esfera : C (,, ) A(,, ) 9. E : + (y - 7) + z 9 0. r + r A círculo p * r p * 9p r : (, y, z) (,, ) + k (-, 0, ), k år AC C - A (,, ) B C + AC (,, ) + (,, ) (,, 7) A esfera tem raio e cetro sobre o eio Oy o poto C (0, 7, 0). Logo, E itersecta Oy em dois potos: A(0,, 0) e B(0, 0, 0) pois 7 - e a : + y - z b : + y - z Os plaos a e b são estritamete paralelos. A itersecção de a com b é o cojuto vazio. 0

32 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. A(, 0); B(, ); AB é a recta paralela a Oy de equação. CD D - C (0, ) - (, ) (-, -) CB B - C (, ) - (, ) (, -) cos (CD W CD. CB CB ) i CD i * i CD i œ + * œ + DĈB cos- - ) 78 OB (, ) Declive de OB : OC (, ) Declive de OC: Sedo a a icliação de OC, tem-se a tg - ) 6, 8. tg a, dode. Pág y - + y -0 Logo B(, -0).. A codição BP. BC 0 defie a recta perpedicular à recta BC que passa o poto B. Como a recta BC é paralela ao eio O (é a recta de equação y ) e o triâgulo [ABC] é equilátero, vem que: m AB tg 608 œ m AC tg ( ) Recta AB Recta AC -tg (608) -œ m AB œ; B (, ) y - œ ( - ) y œ - œ + m AC -œ; C(-, ) y - -œ ( + ) y -œ - œ + O poto A é a itersecção das rectas AC e AB. Logo, as suas coordeadas são a solução do sistema: y œ - œ + y - œ - œ - CEXMA Porto Editora C ˆBA 0 (âgulo itero do heágoo) Icliação da recta BC :608 Icliação da recta FB : Icliaç ~ ao da recta EC : 08 ( EC FB). O poto B é a itersecção da recta AB com a recta BC. Recta AB AC C - A (0, ) - (-, 0) (, ) m AC Como AB ' AC, m AB - A(-, 0) é um poto da recta AB. AB : y ( + ) y - - Recta BC m BC tg ( ) - C(0, ); é a ordeada a origem. BC : y - + Itersecçao das rectas AB e BC : y - - y y - +. A(, 0, 0); B(0,, ) Pág. 0 p : + y - z + * 0-0 proposição verdadeira; A å p 0 + * - proposição verdadeira; B å p Como A å p e B å p, a recta AB está cotida o plao p.. C(0, 0, z), z > 0 AC C - A (-, 0, z) BC C - B (0, -, z - ) AC ' BC AC. BC 0 z Logo, C(0, 0, ). (-, 0, z). (0, -, z - ) z (z - ) 0 z 0 z. Raio da base: R b OB Altura do coe: h OA œ + œ0 Volume do coe: V * p œ0 * 0p Logo, o volume do coe é 0p z > 0 u.v.

33 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora. O poto P é a itersecção do plaos OPQ, PQV e OPV. Logo, será a solução do sistema: - y 0 + y + z 6 y y + y + z 6 + y - z 0 y + y - z 0 Tem-se P(,, ). O poto Q é a itersecção do plaos Oy (z 0), OPQ e PQV. As coordeadas do poto Q serão a solução do sistema: z 0 - y 0 z 0 y z 0 + y + z 6 y + y y Etão, Q(,, 0).. O âgulo OPQ é recto PO O - P (0, 0, 0) - (,, ) (-, -, -) PQ Q - P (,, 0) - (,, ) (,, -) PO. PQ (-, -, -). (,, -) sedo PO., tem-se PO ' PQ PQ 0.. PV V - P (0,, ) - (,, ) (-,, 0) PV (-,, 0) é um vector director da recta PV OPQ : - y 0 e (, -, 0) é um vector ormal ao plao OPQ. PV (-,, 0) - (, -, 0) - Sedo PV -, PV é coliear com. Logo, PV também é perpedicular ao plao OPQ e, cosequetemete, a recta PV é perpedicular a esse plao. O volume da pirâmide é igual a * A base * altura. Como PV é perpedicular ao plao OPQ podemos tomar para base da pirâmide o triâgulo [OPQ] e PV para altura dessa pirâmide. Área da base: o triâgulo [OPQ] é rectâgulo em P (alíea.), etão y z 6 - y y - + y 0 PO ' PQ A base A OPQ i PO i * i PQ i œ + + * œ + + œ * œ6 z y Altura da pirâmide i PV i œ œ œ7 6œ œ Volume da pirâmide * œ * œ. As rectas AB e BC são cocorretes (itersectam-se o poto B e ão são coicidetes). Logo, as rectas AB e BC são complaares. O plao a, defiido pelas rectas AB e BC é o plao ABC. Para mostrar que + y + 6z 0 é uma equação que defie o plao ABC basta verificar que os potos A, B e C ão são colieares e que as coordeadas de qualquer um destes potos satisfazem aquela equação. Sedo as rectas AB e BC cocorretes em B e ão coicidetes, os potos A, B e C ão são colieares. Por outro lado A(0, 0, 0) : 0 + * * 0 0 (proposição verdadeira) B(0,, ) : 0 + * + 6 * 0 (proposição verdadeira) C(0,, 0) : 0 + * + 6 * 0 0 (proposição verdadeira) Logo, ABC é o plao defiido pela equação + y + 6z 0.. a : + y + 6z 0 Oz : y 0 Seja r a recta de itersecção destes dois plaos. + y + 6z 0 y 0 Equações cartesiaas de r : (0, 0, 0) são as coordeadas de um poto de r e r (-6, 0, ) é um vector director de r. Deste modo, temos que: é uma equação vectorial da recta r.. Tomado para base da pirâmide [OBCA] o triâgulo [OBC], a altura correspodete a essa base é OA. Determiemos a área e base. Cosiderado para base do triâgulo [OBC] o lado [OC], a altura do triâgulo é a cota do poto B, ou seja. A base OC * (, y, z) (0, 0, 0) + k (-6, 0, ), k år * Altura da pirâmide: OA 0 Volume da pirâmide * + 6z z y 0 y z y * 0. (, y, z) (,, -) + k (,, -), k år Pág. 0. Seja P um poto geérico da recta BC z y 0 z y 0 P( + k, + k, - - k), k år. O poto B é a itersecção da recta BC com o plao Oz : y 0. Substituido as coordeadas de P a equação do plao Oz vem + k 0 k -. B é o poto que de obtém substituido em P o valor de k por -. ( + (-), + * (-), - - (-)) (, 0, ) Logo, (, 0, ) são as coordeadas do poto B. De igual modo, o poto C é a itersecção da recta BC com a plao Oy de equação z 0. Substituido as coordeadas do poto geérico de BC esta equação, vem - - k 0 k -. Substituido este valor o poto P obtém-se as coordeadas do poto C : ( + (-), + * (-), - - (-)) (,, 0).

34 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora. O triâgulo [ABC] é rectâgulo em C se for perpedicular a, ou seja, se BC BC BC o vector OT T - O (, y, y) terá que ser perpedicular AC. AC 0 ao plao e, portato, coliear com o vector de coordeadas (,, ). AC C - B (,, 0) - (, 0, ) (,, -) OT k,,, k å R; (, y, y) (k, k, k), k år C - A (,, 0) - (0,, ) (, -, -) k y k k y k k y k y k 6 - k - k k 6 9k BC. AC (,, -). (, -, -) BC Como o vector é perpedicular ao vector AC, o triâgulo [ABC] é rectâgulo em C.. Cetro da superficie esférica: A(0,, ) A distâcia de A ao plao Oy é (cota do poto). Sedo a itersecção da superfície esférica uma circuferêcia de raio, o raio r da superfície esférica pode ser determiado recorredo ao Teorema de Pitágoras. Assim vem que: r + r. Equação da superfície esférica de cetro A e raio œ: + (y - ) + (z - ).. Comecemos por determiar as coordeadas dos potos A, B e P. O poto A é a itersecção do plao ABP com o eio O : y 0 z 0 + y + z 6 y 0 z 0 A(, 0, 0) O poto B é a itersecção do plao ABP com o eio Oy : 0 z 0 + y + z y 6 0 y z 0 z 0 z 0 B(0,, 0) O poto P é a itersecção do plao ABP com o eio Oz : 0 y 0 + y + z 6 0 y 0 P(0, 0, 6) A altura h da pirâmide é OP cota de P 6. A base da pirâmide é um quadrado de lado AB. AB OA + OB 6 y 0 z 0 0 y 0 z 6 AB + AB 8 Logo a área do quadrado é 8. y 0 z 0 V pirâmide área da base * altura * 8 * 6 6 *. A recta r : é perpedicular ao plao ABP de equação y z + y + z 6 porque o vector de coordeadas (,, ), vector director da recta, é perpedicular ao plao. Substituido as coordeadas da origem do referecial (0, 0, 0) as 0 equações da recta, vem que, ou seja, obtém-se igualdades 0 0 verdadeiras. Logo, a origem do referecial é um poto da recta.. Seja T o poto de tagêcia da superfície esférica o plao. Etão T(, y, z) pertece ao plao ABP. Ora como + y + z 6 z y, tem-se T(, y, y). Por outro lado, sedo a origem O o cetro da superfície esférica, a d d b y d d k c Assim, OT,,. O raio da superfície esférica é Equação da superfície esférica: + y + z Para determiar o poto de tagêcia T também se poderia determiar o poto de itersecção da recta r : com o plao ABP. y z 6. A(8, 8, 7); AB abcissa do poto A 8 Pág. 06 O poto V tem coordeadas (,, 0) AV œ œ œ8 9 Perímetro da face lateral da pirâmide * VB B - V (0, 8, 7) - (,, 0) (-,, 7) VD D - V (8, 0, 7) cos(vb W VB - (,, 0) (, -, 7). VD VD ) i VB i * i VD i (-,, 7). (, -, 7) œ * œ VB 8 W VD cos ) 77,9 Logo, DˆVB ) 77, Seja (a, b, c) um vector perpedicular a a. Etão, sedo a paralelo a ABV, é perpedicular a ABV. Temos: AB B - A (0, 8, 7) - (8, 8, 7) (-8, 0, 0) AV V - A (,, 0) - (8, 8, 7) (-, -, -7) sedo perpedicular a ABV tem-se que:. AB 0. AV 0 (a, b, c). (-8, 0, 0) 0 (a, b, c). ( -, -, -7) 0-8a 0 - a - b -7c 0 0, - 7 c, c, c å R\ 06, defie a família de vectores perpediculares a a. Por eemplo, para c, tem-se que (0, -7, ) é um vector ormal a a. Deste modo, vem que a : 0-7y + z + d 0 a 0 b -7c a 0 b - 7 c -7 * + * 7 + d 0 d 0 i OT i Œ E(,, 7) å a AV + AB Logo, -7y + z 0 é uma equação de a. Como todo os potos da forma (, 0, 0), com år, pertecem a a, pois -7 * 0 + * 0 0, o eio O, de equações y 0 z 0, está cotido em a.

35 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora 7. ABV : + y + z 0 7. O poto B é a itersecção do plao ABV com o eio Oy : 0 z 0 + y + z 0 0 y 0 y z 0 z 0 z 0 B(0,, 0) O poto V é a itersecção do plao ABV com o eio Oz : 0 y 0 + y + z 0 0 y 0 0 y 0 y 0 z z V(0, 0, ) Raio da base OB Altura do coe OV 7. O raio da esfera é VB. VB œ0 + + Codição que defie a esfera: + y + (z - ) 7. V(0, 0, ); B(0,, 0); D(0, -, 0) VD D - V (0, -, -) VB B - V (0,, -) cos(vd W VD. VB VB ) cos a 7 cos a + si a 7 + si a si a si a 76 si a 6 Dado que 0, a, p, tem-se que 8. Seja a a aresta do cubo. Pág. 07 As coordeadas de Q são (a, a, 0). Como Q é um poto do plao VTQ : + y + z 6, vem a + a a i VD i * i VB i (0, -, -). (0,, -) œ * œ O volume do cubo é, etão, Coordeadas do poto U : (,, ). Simétrico de U relativamete ao plao Oy : U (,, -). Se o poto Q pertece à superfície esférica de cetro em U (,, -), o seu raio é e uma sua equação é ( - ) + (y - ) + (z + ) Seja (a, b, c) um vector perpedicular ao plao a. Sedo a paralelo ao plao VTQ etão é perpedicular a e a VQ VT. VT T - V (0,, ) - (, 0, ) (-,, 0) VQ Q - V (,, 0) - (, 0, ) (0,, -) (a, b, c). (0,, -) 0 -a + b 0 b - c 0 Y VT Y VQ (a, b, c). (-,, 0) 0 a b c b si a. 9. Assim, (b, b, b), b år \ {0}, defie a família de vectores perpediculares a a. Por eemplo, para b, (,, ). Deste modo, vem que: a : + y + z + d 0 Uma equação de a é + y + z - 0 R(, 0, 0); (proposição verdadeira); R å a P(0,, 0); (proposição verdadeira); P å a Como R [ a e P [ a, a recta RP está cotida em a. E(,, ) O cubo [ABCODEFG] tem aresta. Cada uma das pirâmides tem altura igual a. 9. A superfície esférica de diâmetro [PQ] tem cetro o cetro do cubo, ou seja, em S(,, ), e raio igual à altura da pirâmide mais metade da aresta do cubo, ou seja, r +. Assim, ( - ) + (y - ) + (z - ) 9 é uma equação dessa superfície esférica. Substituido as coordeadas de F(0,, ) a equação da superfície esférica, vem que: (0 - ) + ( - ) + ( - ) 9 A igualdade obtida é falsa, pois 0 9. Logo, o poto F ão pertece à superfície esférica. 9. A(, 0, 0); D(, 0, ); Q(,, ); E(,, ) e G(0, 0, ). EG G - E (-, -, 0) AD D - A (0, 0, ) AQ Q - A (-,, ) EG. AD (-, -, 0). (0, 0, ) EG. AQ (-, -, 0). (-,, ) EG. AD 0 EG. AQ 0 EG ' AD e EG ' AQ Como o vector EG é perpedicular a dois vectores ão colieares do plao ADQ, o vector EG é perpedicular a este plao. Podemos etão cocluir que a recta EG é perpedicular ao plao ADQ. 9. A secção defiida o poliedro pelo plao ADQ é o heágoo [APCFQD]. Mas, pode ser decomposta em dois triâgulos com a mesma área [DFQ] e [APC] e o rectâgulo [ACFD]. Tem-se que: DF + DF œ8 œ Tomado para base do triâgulo [DFQ] o lado [DF], a altura é (é a altura da pirâmide), temos que a área pedida é: área de [DFQ] área de [ACFD] * DF * d 0 d - + DF * DA * œ + œ * 8œ S(0, 0, ) å a

36 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora Pág Se a recta r de equação (, y, z) (7, -, ) + k (6, -8, 0), k år cotém a altura da pirâmide etão é perpedicular ao plao da base. Assim, o vector r (6, -8, 0) é perpedicular ao plao que cotém a base da pirâmide, pelo que, uma equação deste plao é do tipo 6-8y + 0z + d 0. Como este plao passa a origem, tem-se: 6 * 0-8 * d 0 d 0. Logo 6-8y 0 - y 0 é uma equação do plao que cotém a base da pirâmide. 0. Dado tratar-se de uma pirâmide quadragular regular, o cetro da base é a itersecção da recta r, recta que cotém a altura da pirâmide, com o plao da base. Poto geérico de r : (, y, z) (7, -, ) + k (6, -8, 0), k år é o poto R (7 + 6k, - - 8k, ), com k år. Substituido as coordeadas de R a equação do plao da base, ou seja, a equação - y 0, vem: k - Substituido k por - as coordeadas de R obtém-se as coordeadas do cetro da base da pirâmide: (,, ). 0. V(-,, ) Sedo A(,, ) o cetro da base da pirâmide, a altura desta é. (7 + 6k) - (- - 8k) 0 + 8k + + k 0 0k - AV œ( + ) + ( - ) + ( - ) œ Como A é o cetro da base da pirâmide, o comprimeto da diagoal da base da pirâmide é igual a * AO * œ + + œ0 Sedo a medida do lado da base da pirâmide, tem-se + (œ0) * 0 00 Logo, a área da base da pirâmide é igual a 00. Volume da pirâmide * área da base * altura U(,, ); T(, 0, ) * -, * -, TU U - T (0,, 0) * 00 * Equações cartesiaas da recta TU : z ou Equação vectorial da recta TU:. W(,, ); Q(,, 0); V(0,, ) (, y, z) (,, ) + k(0,, 0), k år QW W - Q (,, ) - (,, 0) (-, -, ) QV V - Q (0,, ) - cos(qw W QW (,, 0) (-, 0, ). QV QV ) i QW i * i QV i (-, -, ). (-, 0, ) œ * œ œ8 * œ0 8 œ60 QW W QV cos - 8 œ60 ) 88 W ˆQV ) 8. O plao de equação y passa os potos O, Q, U, W e S. A secção é formada por dois triâgulos [OWS] e [QUW] com a mesma área. A área da secção é igual a metade da área do rectâgulo [OQUS]. OQ + OS Área da secção (y - ) 9 0 z 0 0 y z 0 * œ Pág. 09. O poto G é um dos potos de itersecção da superfície esférica de equação ( - ) + (y - ) + (z - ) com o eio Oy : 0 z 0. Deste modo, temos que: ( -)+(y -)+ (z -) 0 (0 -) + (y -) + (0 -) 0 z 0 z 0 0 y - z 0 Como G tem ordeada egativa, vem G(0, -, 0). O poto H tem abcissa pois tem a mesma abcissa do poto A. A ordeada de H é - por ser igual à ordeada de G. Como H pertece ao plao Oy tem cota igual a zero. Logo as coordeadas de H são (, -, 0).. Os potos A, G e H ão são colieares. Para verificar que y - z + 0 é uma equação do plao AGH, basta verificar que aqueles três potos pertecem a este plao. A(,, ); - * + 0 (verdade); A pertece ao plao. G(0, -, 0); - - * (verdade); G pertece ao plao. H(, -, 0); - - * (verdade); H pertece ao plao. Logo, uma equação do plao AGH é y - z Volume do sólido Volume do paralelepípedo + Volume da pirâmide Volume do paralelepípedo GF * EF * FB * * Volume da pirâmide * área da base * altura Volume do sólido + (c - ) + c. Como o poto R tem ordeada 6 uma equação do plao que cotém a face [QRUT] é y 6. Logo, a ordeada do poto T é 6. Tem-se T(a, 6, b). OT T - O (a, 6, b) ± OQ > 0 OQ œ8 OQ œ y - y z 0 * * * (c - ) c - œ Sedo a : + y + z, o vector a (,, ) é perpedicular a a. Como a recta OT também é perpedicular a a, é coliear com OT k OT a, ou seja a, k å R. k a, 6, b k,,, k a år a k 6 k b k b Logo, T(, 6, ).

37 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora. O plao ABC é o plao a : + y + z. Qualquer plao paralelo a ABC tem uma equação do tipo + y + z d, sabedo que o poto Q(, 6, 0) pertece ao plao, vem: * + * d d 6. Logo, uma equação do plao que passa o poto Q e é paralelo a ABC é + y + z 6.. Os potos D e T têm a mesma ordeada e a mesma cota. Logo, D(a, 6, ). Como D pertece ao plao de equação + y + z, vem a + * 6 + a a. Etão, D(, 6, ).. r : - y + z ou r : (, y, z) (, -, 0) + l(,, ), l år s : (, y, z) (, -, 0) + k (,, -), k år Pág. 0. As rectas r e s defiem um plao se forem estritamete paralelas ou cocorretes. r e s ão são paralelas porque os vectores e s r (,, ) (,, -) ão são colieares. O poto I(, -, 0) pertece às duas rectas. Logo, r e s são cocorretes. Como r e s são cocorretes e ão são coicidetes, defiem um plao.. Seja b : - y + z 0; b (, -, ) é um vector perpedicular ao plao b. b é paralelo ao plao a, defiido pelas rectas r e s se o vector for perpedicular aos vectores r e s b, vectores directores das rectas r e s, respectivamete. b. r (, -, ). (,, ) Logo b ' r. b. s (, -, ). (,, -) Logo b ' s. Como o vector b (, -, ) é perpedicular aos vectores directores das rectas r e s, o vector b é perpedicular ao plao defiido por estas duas rectas. Etão, o plao a defiido pelas rectas r e s é paralelo ao plao b de equação - y + z 0... r (,, ) e s (,, -) são vectores directores das rectas r e s, respectivamete, seja a o âgulo formado pelas rectas r e s. Tem-se, etão: cos a \ r. s \ \\ r * \\ s \ \(,, ). (,, -) œ * œ + + \ œ * œ6 œ8 a cos - œ8 6 ) 98 A amplitude do âgulo formado pelas rectas r e s é 98, aproimadamete.. A(,, 0); B(0,, ). C(98,, 90) Pretede-se provar que os potos A, B e C são colieares. Para isso, vamos provar que os vectores são colieares. AC AC e AB AB C - A (98,, 90) - (,, 0) (96, 0, 80) B - A (0,, ) - (,, 0) (8, 0, ) 96 Como , AC AB. Logo, os vectores AC e AB são colieares.. A distâcia do local ode o projéctil é disparado ao alvo é igual a i AC i.. Dado que i AC i < 00, a trajectória rectilíea está garatida. OB (0,, Dado que OA ) e OB ão são colieares eiste um só plao a que passa em O origem do referecial A e B. Como A, B e C são colieares, C também pertece ao plao a, dado que C é um poto da recta AB cotida em a. Seja (a, b, c) um vector perpedicular a a. Etão, temos que: Assim, c, - \{0}. c, c, c år Por eemplo, para é um vector perpedicular a a, k c, (, -0, ) 0, 0, é um vector perpedicular ao plao Oy : z 0. Tem-se que o plao a é perpedicular ao plao Oy se e só se. k 0. Temos etão, que. k (, -0, ). (0, 0, ) 0 0. Como. k 0 0, o plao a ão é perpedicular ao plao Oy. 6. C(,, ); A(0, 0, ); D(, 0, ) e B(0,, ). Pág. 6. i AC i œ ) 6,7 < 00 OA (,, 0). OA 0. OB 0 (a, b, c). (,, 0) 0 (a, b, c). (0,, ) 0 a + b + 0c 0 0a + b + c 0 -b - 0c a a - b - c -b - 0c + b + c 0 -b - c 0 a - * - c - c a c b - c b - c Como a altura da pirâmide é 6, a cota do poto E é - 6. Assim o poto E tem coordeadas (,, -). DE E - D (,, -) - (, 0, ) (-,, -6) A recta DE tem a direcção do vector (-,, -6) e passa o poto D(, 0, ). Uma codição que defie DE é, portato, - - y z y z -. DE (-,, -6) -(, -, ). a 0 * - b - 0c -b - 0c (, -, ) é um vector director da recta DE sedo, portato, perpedicular ao plao pedido. Uma equação deste plao é, assim, da forma - y + z + d 0. Como B(0,, ) é um poto do plao, tem-se * + d 0 d -8. Uma equação do plao é - y + z b + c 0 6

38 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora 6. A secção produzida a pirâmide pelo plao Oy é um quadrado de lado. 7. Para determiar cosideremos a secção produzida a pirâmide pelo plao de equação. Os triâgulos [PEQ] e [RES] são semelhates. A área da secção produzida a pirâmide pelo plao Oy é igual a: O vértice A, do coe, é o poto de itersecção da recta r com o eio O. Como A pertece a O tem ordeada e cota ulas, ou seja, A(, 0, 0). Determiemos, sabedo que A å r : (, 0, 0) (0,, 0) + k (, -, 0), k å R Tem-se, etão A(9, 0, 0). A altura do coe é 9 porque é igual à abcissa do vértice. 7. Como o plao é perpedicular à recta r, o vector r,, 0 é perpedicular ao plao. Logo, uma equação do plao é do tipo - y + 0z + d 0. Como o vértice A(9, 0, 0) pertece ao plao, vem: Etão, uma equação do plao é - y A itersecção do coe com o plao Oy é o triâgulo [ABC] em que BC * 6 e OA 9. A área do triâgulo é 6 * AD AB 0 : Pág.. PQ ; RS RS PQ r : (, y, z) (0,, 0) + k (, -, 0), k år 0 + k k k 0 0 * d 0 d -7. DB AD + AB DB + HD HD tg q DB tg q œ HD œ tg q V área da base * altura AB * HD * œ tg q œ tg q DB * DB œ si q œ si q + cos q œ + cos q cos q - cos q Como 08 < q < 908, cos q Œ œ œ œ tg q si q cos q œ Œ œ6 œ6 Œ 6 œ V * œ * œ V cm. D(0, 0, 0); A(, 0, 0); B(,, 0); C(0,, 0) HD œ tg q HD œ tg HD œ H (0, 0, œ) a) A(, 0, 0) d Equação do plao: b) A(, 0, 0); G(0,, œ) Poto médio de [AG]: AG G - A (0,, œ) - (, 0, 0) - + y + œ z + d 0 - * + * Equação do plao: c) C(0,, 0); - - y + œ z + d 0 - * - * 0 + œ * 0 + d 0 E(, 0, œ) q BH H - B (0, 0, œ ) - (,, 0) (-, -, œ) Equações cartesiaas da recta CE: A pertece ao plao - - y + œ z y - œ z - 0 M pertece ao plao - + y + œz y - œz + 0 CE E - C (, 0, œ) - (0,, 0) (, -, œ) y - - z œ - y z œ d) O cetro da superfície esférica é o poto de itersecção das diagoais espaciais do prisma, ou seja, o poto médio de [AG],. M,, œ O raio da superfície esférica é r DM. DM Œ œ - 0 Œ Œ 00 Equação da superfície esférica: M,, œ + œ * œ + d 0 d y - + z - œ y - y + + z - œz y - y + z - œ z 0 œ * œ œ6 (-,, œ) 7

39 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora. a) O plao CDE é perpedi- Pág. cular ao eio Oz e passa o poto C(, 0, 8) logo, pode ser defiido pela equação z 8. b) Comecemos por determiar as coordeadas do poto B. Como o triâgulo [OAB] é equilátero e está cotido o plao Oy com [OA] cotido o eio O, as coordeadas de B são (, -h, 0) sedo h a altura do triâgulo [OAB]: h + OB h + h h œ h œ Logo, B(, -œ, 0) e E(, -œ, 8). Plao EAO Os vectores OE e OA têm a direcção do plao EAO. OE E - O (, -œ, 8) - (0, 0, 0) (, -œ, 8) OA A - O (, 0, 0) - (0, 0, 0) (, 0, 0) Seja (a, b, c) um vector perpedicular ao plao EAO. Etão. OE 0 (a, b, c). (, -œ, 8) 0. OA 0 (a, b, c). (, 0, 0) 0 a - œ b + 8c 0 a 0 Família de vectores perpediculares ao plao EAO: œ 0, b,, com b år\{0}. b Por eemplo, para b, vem (0,, œ). Plao EAO: 0 + y + œz + d d 0 O pertece ao plao Equação do plao EAO: y + œz 0. A total A base + A lateral A AOB + A AODC * OA * h * œ + * * 8 8œ + 96 A total 8œ + 96 u.a.. A(, 0, 0) e E(, -œ, 8). AE E - A (-, -œ, 8) Equação da recta AE: - - y -œ z 8 - y 8c œb a 0 œ -z a 0 c œ b + * OA * OD. AE: - y - z œ yoz: 0 y - œ -z 0, y, z 0, œ, 6. t tem a direcção de AE e passa o poto D(0, 0, 8). Deste modo, temos que: t : - y -œ z - 8 y 8 œ 8 - z.6 A(, 0, 0); D(0, 0, 8) e B(, -œ, 0) DA A - D (, 0, -8) DB B - D (, -œ, -8) cos b cos(da ^ DB ) DA. DB * (-8) * (-8) œ * œ œ80 * œ80 b cos ) 68.7 A(, 0, 0) ; B(, œ, 0) e D(0, 0, 8) AD œ( - 0) (0-8) BD œ( - 0) + (œ - 0) + (0-8) AB œ6 + 6 œ80 œ6 * œ œ œ80 œ h + œ h 80 - h œ76 h œ * 9 h œ9 A BAD * œ9 0 y œ - 0 y -œ - z - z 6 i DA i * i DB i œ9 A secção produzida o prisma pelo plao ABD é o triâgulo isósceles [ABD] de área igual a œ9.. O âgulo BAC é recto por ser um âgulo iscrito uma Pág. semicircuferêcia. Se o âgulo BAC é recto, as rectas AB e AC são perpediculares.. A recta r passa o poto B(0,, 0) e, sedo paralela ao eio Oz, tem a direcção do vector v de coordeadas (0, 0, ). Uma equação vectorial da recta r é: (, y, z) (0,, 0) + k (0, 0, ), k å R. 8

40 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora. Para provar que o vector é perpedicular ao plao ABD é suficiete provar que AC AC é perpedicular a dois vectores ão colieares paralelos àquele plao. O vector AB e o vector director da recta r, v 0, 0,, são vectores ão colieares paralelos ao plao ABD. Em. já se justificou que o vector é perpedicular ao vector. Tem-se que AC AC AB C - A (0, -, 0) - (,, 0) (-, -8, 0)... AC. v (-, -8, 0). (0, 0, ) Sedo AC. o vector AC v 0, também é perpedicular ao vector. Podemos etão cocluir que o vector AC v é perpedicular ao plao ABD. Sedo AC (-, -8, 0) um vector perpedicular ao plao ABD, este plao pode ser defiido por uma equação do tipo - - 8y + 0z + d 0. Sabedo que o poto B(0,, 0) pertece a este plao, tem-se que - * 0-8 * d 0 d 0. Uma equação do plao ABD é - - 8y y tg a BD OB tg a BD A altura do cilidro, em fução de a, é dada por tg a. V cilidro A base * altura p * r * tg a V(a) p tg a p V 6 p tg 6 p œ p * œp. Se o poto Q tem coordeadas (,, 0) tem-se que Pág. PQ e a área da base da pirâmide é igual a 6. A cota do poto V é igual à altura, h, da pirâmide. V A base * altura Como o volume da pirâmide é igual a, vem que * 6 h * 6 * h A cota do poto V é, portato, igual a 6.. Como o plao PQR é o plao Oy, pretede-se determiar a equação do plao que passa em V(0, 0, 6) e é paralelo a Oy, ou seja, perpedicular ao eio Oz. Uma equação deste plao é z processo Para mostrar que o plao QRV pode ser defiido pela equação y + z 6, é suficiete verificar que os potos Q, R e V pertecem ao plao defiido por esta equação: Q(,, 0) : * (verdade) R(-,, 0) : * (verdade) V(0, 0, 6) : * (verdade) Fica provado que o plao defiido por y + z 6 é o plao QRV..8 processo BD tg a p * * tg a p tg a h 6 Determiemos uma equação do plao QRV. QR R - Q (-,, 0) - (,, 0) (-, 0, 0) QV V - Q (0, 0, 6) - (,, 0) (-, -, 6) Seja (a, b, c) um vector perpedicular ao plao QRV. Etão,. QR 0. QV 0 (a, b, c). (-, 0, 0) 0 (a, b, c). (-, -, 6) 0 - a 0 -a - b + 6c 0 a 0 b 6c a 0 b c (0, c, c), com c å R \ {0}, é a família de vectores perpediculares ao plao QRV. Por eemplo, para c, tem-se (0,, ). O plao QRV pode ser, portato, defiido por uma equação do tipo 0 + y + z + d 0. Como V(0, 0, 6) pertece a este plao, vem d 0 d -6. Vem, etão, que y + z y + z 6 é uma equação do plao QRV.. Trata-se da recta que passa em O(0, 0, 0) e tem a direcção do vector (0,, ), perpedicular a QRV. Esta recta pode ser defiida pela equação vectorial: (, y, z) (0, 0, 0) + k (0,, ), k år.. Q(,, 0) ; V(0, 0, 6) QV V - Q (-, -, 6) Codição que defie a aresta [QV]: (, y, z) (,, 0) + k (-, -, 6) k å 0, Poto geérico da aresta [QV]: (, y, z) ( - k, - k, 6k), k å 0,. Para determiar a itersecção da aresta [QV] com o plao de equação z, podemos substituir as coordeadas do poto geérico de [QV] a equação do plao: z 6k k z 6k Substituido k por vem as coordeadas do poto geérico de [QV], - *, - *, 6 * (,, ). Logo, M(,, ) é o poto de itersecção da aresta [QV] com o plao de equação z..6 Dado que o plao de equação z é paralelo ao plao Oy, tem-se que a secção que ele determia a pirâmide é um quadrado [JKLM], de lados paralelos aos eios O e Oy, como se observa a figura ao lado. Tem-se que M(,, ) e L(, -, ). Determiemos LM: LM œ( - ) + ( + ) + ( - ). A secção produzida a pirâmide pelo plao de equação z é um quadrado de lado. Sedo assim, a sua área é. 9

41 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora. a) Recta AB: y m + b Pág. 6 Tem-se que m e a recta passa o poto A(-, 0). Etão, 0 * (-) + b b. Equação da recta AB:. a) b) B é o úico poto diferete de A que pertece à recta e à circuferêcia. Para mostrar que B tem coordeadas (, ) basta verificar que este par satisfaz as codições: + y (equação da circuferêcia) e - y + 0 (equação da recta) Ora: + (é verdade) - * (é verdade) Coclusão: (, ) são as coordeadas do poto B. c) Para provar que o triâgulo [ABC] é rectâgulo em B basta provar que BA. BC 0. b) y + y + - y + 0 A(-, 0); B(, ) e C(-, 6) BA A - B (-, 0) - (, ) (-8, -) BC C - B (-, 6) - (, ) (-6, ) BA. BC (-8, -). (-6, ) -8 * (-6) + (-) * 0 Portato, o triâgulo [ABC] é rectâgulo em B. OC cos a OC cos a CB si a CB si a AC AO + OC + cos a Como o triâgulo [ACB] é rectâgulo em C, vem: AB AC + CB d ( + cos a) + ( si a) d + 0 cos a + cos a + si a d + 0 cos a + (cos a + si a) d + 0 cos a + * d cos a tg a œ Sabe-se que + tg a cos a Etão, + ( œ ) cos a + cos a Como a é um âgulo do primeiro quadrate, tem-se cos a. 0, pelo que cos a. Substituido em d cos a, vem d * d 60 d œ60, ou seja, d œ. cos a 6. a) C(,, ) Pág. 7 b) D(,, ) c) F (,, 0) 6. O plao BCD é perpedicular ao eio Oz. Os seus potos têm cota, logo uma equação do plao é z. 6. Seja b o plao que passa em A e é paralelo a BCF. Um vector ormal a b é ecessariamete ormal ao plao BCF. Seja um vector ormal ao plao BCF. (a, b, c) terá que ser perpedicular aos vectores BC e BF. BC C - B (,, ) - (, 0, ) (,, 0) BF F - B (,, 0) - (, 0, ) (0,, -). BC 0 (a, b, c). (,, 0) 0 a + b 0. BF 0 (a, b, c). ( 0,, - ) 0 b - c 0 a -b c b (-b, b, b) defie, para b år \ {0}, a família de vectores perpediculares a BCF e também perpediculares a b dado que b é paralelo a BCF. Para, por eemplo, b -, obtém-se (, -, -) que é um vector ormal a b. Etão, b pode ser defiido por uma equação do tipo - y - z + d 0. Como A(,, ) pertece a b, vem d 0 d. Logo, - y - z + 0 é uma equação do plao que passa em A e é paralelo a BCF. 6. Seja r a recta defiida pela codição r y z y z (,, ) é um vector director da recta r. A recta r será perpedicular ao plao ACD se, e só se, o vector r for perpedicular a dois vectores ão colieares do plao ACD, como, por eemplo AC e CD. AC C - A (,, ) - (,, ) (, 0, -) CD D - C (,, ) - (,, ) (-,, 0) r. AC (,, ). (, 0, -) r. CD (,, ). (-,, 0) Sedo r. AC 0 e r. CD 0, r é perpedicular a AC e a CD e, cosequetemete, a recta defiida pela codição y z é perpedicular ao plao ACD. 6. A superfície esférica que cotém os seis vértices do octaedro tem cetro o poto K(,, ), poto médio das diagoais do octaedro e raio igual a. Deste modo, uma equação da superfície esférica é ( - ) + (y - ) + (z - ). 6.6 O plao a defiido pelo eio Oz e pelo poto A é o plao OFA. A secção determiada por este plao o octaedro é o losago [MFNA] sedo M e N os potos médios de [BE] e [CD], respectivamete. M é o poto médio de [BE]. B(, 0, ) e E(0,, ), logo, M. Um dos lados do losago tem comprimeto AM Como A(,, ) e M,,,,, vem: AM Œ ( - ) Œ + + Œ œ œ * œ œ œ * œ œ6. Logo, o perímetro do losago é * œ6. œ6 0

42 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Capítulo. Pág y 0 y 0 y 6 y 6 + y y - + úmero de rosas ecessárias: 0 * + * 8 80; úmero de violetas ecessárias: 0 * 8 + * 8 0. A proposta da Isabel é viável. A proposta do Diis ão é viável (ão dispõe de 00 margaridas em de 0 violetas).. Desigemos por o úmero de arrajos do tipo A e por y o úmero de arrajos do tipo B. Vamos orgaizar os dados do problema através de uma tabela. Arrajos Quatidade Margaridas Rosas Violetas Lucro ( Æ) A 6 8 B y 8y 8y 8y y Totais 6 8y 8y 8 8y y Dispoibilidade 9 88 Vértice Z y O(0, 0) Z A(, 0) Z 0 B(, ) Z 7 C(, 6) Z 6 9 d Valor máimo D(0, 6) Z Restrições: a 0 d y 0 d b 6 + 8y 9 d + 8y 88 d c 8 + 8y Fução objectivo: L + y Gráfico da região admissível CEXMA Porto Editora. O valor máimo que a fução objectivo pode alcaçar a região represetada é 9. Litros Laraja Maga Lucro ( Æ) Bebida X Bebida Y y y y y Restrições: a d d d b d d d c Totais Limite 0 0 y 0 + y + y 0 Fução objectivo: L + y + y + y y. Proposta da Isabel: Pág. 8 úmero de margaridas ecessárias: 7 * * 8 68; úmero de rosas ecessárias: 7 * + 7 * 8 8; úmero de violetas ecessárias: 7 * * 8. Proposta do Diis: úmero de margaridas ecessárias: 0 * 6 + * 8 00; 6 + 8y 9 + 8y y 0 y 0 Vértices da região admissível: O(0, 0) A(, 0) 8 + 8y 6 + 8y 9 0 y B(0, ) C(6, 8) 8 + 8y 6 + 8y 88 y 8 D(0, ) Valor da fução objectivo os vértices da região admissível: Vértice y L + y O A 0 6 B 0 8 d Solução óptima C y 0 D 0 Para maimizar o lucro devem ser produzidos 0 arrajos do tipo A e quatro arrajos do tipo B. 0 y 0

43 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. Seja o úmero de hectares de trigo e y o úmero de hectares de milho. Etão, temos que: Hectares Custo de produção Lucro Trigo Milho y 0 000y 00y Totais + y y y Limite Restrições: 0 y 0 + y y Fução objectivo: L y Gráfico da região admissível 0 y 0 + y 60, + y 00 Dados: N.8 de bombos N.8 de bombos Embalages N.8 de com recheio com recheio Lucro ( Æ) embalages de amêdoa café Tipo A 8 Tipo B y 8y 6y y Total 8y 8 6y y Restrições: + 8y y y 0 00 Fução objectivo a maimizar: L + y Represetação gráfica das restrições 600 CEXMA Porto Editora + y 60, + y 00 0 y Vértices da região admissível: A(0, 0), + y 00 B y 0 0 0, 0 y 0 C(80, 80) D(0, 0), + y y 60 y y 60 Valor da fução objectivo os vértices da região admissível: Vértices y L y A B C d Solução óptima D Para maimizar o lucro, o agricultor deve semear 80 hectares de milho e 80 hectares de trigo.. Sejam Pág. 9 : úmero de embalages do tipo A a preparar y: úmero de embalages do tipo B a preparar 0 y y 0 + 8y y 600 Vértices da região admissível: O(0, 0) A(7, 0) B(60, 0) C(0, 0) Valor da fução objectivo os vértices da região admissível: Vértice y L + y O A B d valor máimo C O valor máimo do lucro é 0 euros e é obtido com 60 embalages do tipo A e 0 embalages do tipo B.. Sejam 0 y y y y 0 : úmero de foradas de bolihos de chocolate a cofeccioar y: úmero de foradas de biscoitos crocates a cofeccioar Dados: N.8 de foradas Fariha Mateiga Receita ( Æ) Bolihos de chocolate ,7 Biscoitos crocates y 00y y 0,6 6y y Totais 00 00y 0 y 9 0,y 00 90

44 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO Restrições: 0 y y y 90 Fução objectivo a maimizar: L 9 + 0,y Represetação gráfica das restrições: y y y 90 y y 90 y 0 7,6 9 0 Valor da fução objectivo os vértices da região admissível: Vértice y L 9 + 0,y O A B 6 98, d Solução óptima C 0 7,6 79,0 Para que o lucro seja o maior possível devem ser feitos 8 bolihos de chocolate ( foradas) e 96 biscoitos crocates (6 foradas).. Sejam: : o úmero de garrafas do tipo y: o úmero de garrafas do tipo Número de garrafas Uvas A Uvas B Lucro ( Æ) Tipo 0, 0, Tipo y 0,y 0,6y y Restrições: Totais 0, + 0,y 0, + 0,6y + y 0 y 0 0, + 0,y 00 0, + 0,6y 6000 y 6 00 Fução objectivo: L + y Represetação gráfica das restrições: , + 0,y 00 0, + 0,6y 6000 y y ,y 00 0, + 0,6y y 700 Valor da fução objectivo os vértices da região admissível: Vértice y L + y O A B d Lucro máimo C Devem ser produzidas 000 garrafas do primeiro tipo e 700 garrafas do segudo tipo. 6. Pág. 0 N.8 de litros de Sumo Polpa Custo cada tipo cocetrado Tipo A 0,6 0, 0, Tipo B y 0,8y 0,y 0,y Total + y 0,6 + 0,8y 0, + 0,y 0, + 0,y 00 a 0 d y 0 d 6. b + y 00 d 0,6 + 0,8y 7 d c 0, + 0,y 6. 7 Trata-se do segmeto de recta AB. + y 00 0,6 + 0,8y 7 0, + 0,y y y y < A(7,; 6,) 0,6 + 0,8y 7 7, + y 00 y 6, 0, + 0,y 0 B(0, 80) + y 00 y 80 CEXMA Porto Editora

45 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6. Fução objectivo: C 0, + 0,y Valor da fução objectivo os vértices da região admissível: Vértice y C 0, + 0,y A 7, 6, 9,7 d Melhor Solução B 0 80 Devem ser misturados 7, litros de sumo do tipo A com 6, litros de sumo do tipo B. 7. Nihadas N.8 de fragos Custo Área 7. A,8 0, B y,y 0,y Total L + y,8 +,y 0, + 0,y 0 y 0,8 +,y 00 0, + 0,y Seja: Pág. : o úmero de sacos do tipo A; y: o úmero de sacos do tipo B. Dados: Produto N.8 de sacos Substâcia a Substâcia b Custo ( Æ) Tipo A 0 Tipo B y y y 0y Restrições: 0 y 0 + y + y Total + y + y 0 + 0y Fução objectivo a miimizar: C 0 + 0y Represetação gráfica das restrições:,8 +,y 00 0, + 0,y 0 y y ) ,8 +,y 00 0, + 0,y 0 00 y Fução objectivo: L + y Recta de ível zero: 0 + y y - + y + y y y + y, y, y Vértices: A(9, 0); B(,;,) e C 0,. Como e y (úmero de sacos) terão que ser úmeros iteiros, a região admissível é costituída pelos potos de coordeadas iteiras que pertecem à região represetada a figura que se segue. CEXMA Porto Editora Podem ser comprados, o máimo, 00 fragos da ihada A e 00 fragos da ihada B.

46 yz EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO Fução objectivo a miimizar: C 0 + 0y Recta de ível zero: y -y O problema tem quatro soluções que pertecem à recta de ível 0 + 0y 70. As possíveis soluções apresetam-se a tabela seguite: N.8 de sacos do N.8 de sacos do Custo tipo A tipo B 0 + 0y 70Æ 70Æ 70Æ 70Æ Restrições: + y y 00 y y 0 0 Fução objectivo: L + 6y Represetação gráfica das restrições: 9. a) P ( + y) cm b) C ( + y) cm 9. a) b) + y 00 + y 00 y y CEXMA Porto Editora + y 00 y y y 0 y y O(0, 0) A(0, 0) B 00, 0 c) Fução objectivo: L é máimo o vértice A + y 00 - y 0 Comprimeto: 0 cm; largura: y 0 cm 0. Sejam: Pág. : úmero de bilhetes de euros; y: úmero de bilhetes de 6 euros; y + y 00 0 y 0 y + y y 0 + y 600 y y y y 00 7 y y 0 + y y y 00 Vértices: A(7, 0); B(00, 0) ; C(600, 0) e D(00, 00). Valores da fução objectivo os vértices da região admissível: Vértices y L + 6y A B C míimo D d máimo 0. Terão que ser vedidos 7 bilhetes de euros e 0 bilhetes de 6 euros ou qualquer outra solução (, y) sedo o úmero de bilhetes de euros e y o úmero de bilhetes de 6 euros com 7 00 e + 6y Para obter a receita máima (de 00 euros) é ecessário veder 00 bilhetes de euros e 00 bilhetes de 6 euros.. Dados: kg Agola Brasil Lucro( Æ) Marca A 0,7 0, Marca B y 0,y 0,8y y Restrições: Total 0,7 0,y 0, 0,8y y 0,7 + 0,y 00 0, + 0,8y 700 y y Fução objectivo: L + y y 700

47 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO Represetação gráfica das restrições: y y Vértices: A(0, 70), B(800, 70), C(00, 000) e D(0, 7). Valor da fução objectivo os vértices da região admissível: Vértice y L + y A B C d Solução óptima D Devem ser produzidos, por dia, 00 kg de café da marca A e 000 kg de café da marca B para se atigir o maior lucro que é de 600 euros.. Seja: Pág. : úmero de quilos do produto da marca A e y: úmero de quilos do produto da marca B, a cosumir diariamete por cada aimal. Hidratos de Marca N.8 de kg Gorduras carboo Mierais Custo ( Æ) A 0, 0, 0,, B y 0,y 0,y 0,y,y Totais. Restrições:. Fução objectivo: C, +,y. 0,7 + 0,y 00 0,7 + 0,y y 70 y 70 0,7 + 0,y 00 0, + 0,8y y y 0 0, + 0,y 0,8 0, + 0,y 0,8 0, + 0,y 0,7 0, + 0,y 0,8 0, + 0,8y 700 0, + 0,y 0,8 0, + 0,y 0,7, +,y 0, + 0,y 0,8. A(0, 8); D 7, 0.. Valor da fução objectivo os vértices da região admissível: Vértice y C, +,y A 0 8 0, B 6, C,6 d Melhor solução 8 7 D 0,70.6 Devem ser usados, kg da marca A e 0,6 kg da marca B.. Sejam: Pág. : a quatidade de eergia covecioal e y: a quatidade de eergia eólica, em MWh, cosumidas pela autarquia. Restrições: a d d d d d b d d d d d c y y y ,7 8 B 8 7, 6 7 ; C 9, 8 ; 0 y 0 y 0 + y 0 y 0, + 0,y 0,8 0,6 0, 0 8 0, + 0,y 0,8 0, + 0,y 0,8 7 y , + 0,y 0,8 0, + 0,y 0,7 y 8 O forecimeto de eergia eólica ão poderá ultrapassar os 0 MWh. O cosumo aual de eergia ão poderá ser iferior a 0 MWh. A quatidade de eergia covecioal ão ecede a quatidade de eergia eólica. Fução objectivo: C(, y) y Represetação gráfica da região admissível: 0, + 0,y 0,7 CEXMA Porto Editora 6 Valor da fução objectivo os vértices da região admissível: Vértice: (, y) C (, y) y (0, 0) 00 (0, 0) 6800 (0, 0) 600 A fução objectivo é míima para 0 e y 0.

48 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Capítulo 6 CEXMA Porto Editora.. Resposta: (C) - -. Dado que + > 0, A år,.. g() + + D g h år : j R h() h() - + a, b - e c -9 - < 0 - < 0 > 0 år+ + f() D f h år : j R \ h j Pág. - Como a recta de equação y - é uma assimptota -, horizotal do gráfico de f. f() ( - 6) Dado que esta equação é impossível, Etre as opções apresetadas apeas a (A) pode ser verdadeira. f() - + D f h år : j R \ h - j Zeros de f: ( - 6) 0 f() 0-0 å D f ( - ) å D f b + c - a - D 9 f. Logo, a afirmação I é falsa pois - ão é zero de f. Assimptotas verticais: O gráfico de f ão tem assimptota vertical dado que o úico zero do deomiador ( -) também é zero do umerador. Logo, a afirmação II também é falsa. Resposta: (C) Pág O gráfico da fução defiida por y f( + ) - obtém-se do gráfico da fução f por um deslocameto de três uidades a direcção do eio O, o setido egativo, seguida de uma deslocação de uma uidade a direcção de Oy, o setido egativo (traslação associada ao vector u (-, -)). Como as assimptotas sofrem o mesmo deslocameto, as assimptotas do gráfico de y f ( + ) - são e y + y Assimptotas verticais do gráfico de f : Não há porque o úico zero do deomiador também é zero do umerador. Assimptota horizotal do gráfico de f: Pág. 7. O gráfico da fucão f( + ) - resulta do gráfico da fução por uma traslação associada ao vector u f() (-, ) (deslocameto de uma uidade para esquerda e três uidades para baio). Como as assimptotas sofrem a mesma trasformação vem:. P, y S P PS PR * A PS * PR A() * P, PS PR * A PS * PR A() * f() + 6 D f R \ {0} y porque f() + se 0-9 se < 0 f() 0 ( + 0 0) ( < 0) ( + ) y y + y 0 Resposta: (C) 80p. C(p) 00 - p C(0) - C() C(0) , åo - 80 * Q y 0 y S Q P R 0 R 7

49 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6. Por eemplo, uma represetação gráfica de f pode ser: Pág. 8 y y f y f 0 y - f( - ) Simetria relativamete ao eio O. 0 0 y 0 D9 f -, h j D9 \ f \ 0, h j. A equação f() tem eactamete duas soluções. y -f( - ) - Deslocameto de uma uidade para baio (traslação associada ao vector u (0, -)). Logo, g() -f( - ) y 0 g y 0 g 9. a b f y 0 g CEXMA Porto Editora 8 7. f() a + - b Assimptota horizotal: y a; Logo, a > 0. Assimptota vertical: b. Logo, b < 0. a > 0 e b < 0. Pág O gráfico de g pode ser obtido do gráfico de f a partir da seguite composição de trasformações: y y 0 0 y 0 g y f() y f( - ) Deslocameto de uma uidade para a direita (traslação associada ao vector u (, 0)). Desigado por a o zero descohecido da fução quadrática e por b o zero da fução afim, elaborou-se o quadro: Como apeas a alterativa (D) tem esta forma, com a -eb -, é esta a resposta correcta. 0. Se o cojuto-solução da iequação f() 0 é o itervalo y f () [, ], podemos cocluir que e são os zeros de f + 0 e que é a abcissa do vértice da parábola que represeta graficamete a fução f. Cocluímos aida que a parábola tem a cocavidade voltada para baio. Portato, o cotradomíio de f é o itervalo -?, f().. f() g() 0 å a, b 0, +? ( - )( + ) - S {- } a b 0 f() g() f() g() -? d ( - )( + ) ( ) 0 ( - ) 0 - +? Pág. 0

50 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6 CEXMA Porto Editora C. A ( 7) 0 7 S {7} åo S O S S ( - ) - ( - ) 0 ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) 0-9 ( ) - 9 S -, S {0, } ( - )( + ) ( + ) ( - ) 8( + ) + ( - ) - ( - )( + ) ( - )( + ) S - 6, ( - ) ( - )( + ) ( - ) ( - ) œ6-8 7 C. A C. A. - 7 œ œ S {0} S 6 S ] -?, 0[ S R S O S {-} S ] -, [ +, 0 6 ( - )( + ) ( + ) ( - ) ( - )( + ) ( - )( + ) 0 - ( - ) (- 0-0) ( - )( + ) > 0 < 0 - < 0 å ]-?, -[ ], +?[ S ] -?, - [ ], +?[ åo ( - )( + ) < ( + ) - ( - ) ( - )( + ) ( - ) ( + ) - ( - ) - ( + ) 0 ( - )( + ) ( - )( + ) år (codição uiversal) (codição impossível) ( + ) å ] -, [ 0 C. A. +? -? s.s < 0 å -?, - + S -?, C. A. ( - )( + )

51 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO A codição é impossível porque + > 0, A år e > 0, A år \ {0} > 0 dado que + > 0, A år S ]0, +?[ ( - ). 0 ( - ) 0-0. S O 0 -? 0 +? ( - ) ( - ) - S ] -?, 0[ {} ( - œ)( + œ) > 0 s.s å ] -?, - œ [ ]œ, +?[ S ] -?, - œ [ ] œ, +?[ C.A. ( - œ)( + œ) 0 œ - œ ( - )( + ) 0-0 ( - )( + ) 0 - -? ( - )( + ) ( - )( + ) S ] -?, -[ [, [ S [ -, -[ ], ] s.s s.s. - -? œ ? 0 + s.s. - s.s ?. > > 0 å ] -?, - [ ], +?[ S ] -?, - [ ], +?[ C. A œ ? s.s ?. < - < < 0 -? - 0 +? S -?, {} - >- - + > > 0 - > s.s Œ CEXMA Porto Editora. 0 S ] -, 0[ ], +? [ - < < < 0 - -? S -?,, +? - + s.s ? - - < 0 - œ œ -? 0 œ - œ S - œ, 0 œ, +? s.s ?

52 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6 CEXMA Porto Editora ( + ) S -, - 0, +? ( - ) S -, - 0, ( - ) ( - ) < ( + ) ( + ) 0 -? ( + ) ( + ) ( - ) + 0 ( - ) 0-0 ( - ) 0 0 ( - ) 0 0 S ] -?, 0 [ ] 0, [ ], [ - ( - ) ( - ). 0 ( - ) 0 ( - ) s.s. + s.s ? -? ( - ) s.s ? 0 ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) - s.s. - s.s ? + +? 7t + 00 Pág.. T(t), t 0 t +. T(0) O chá foi servido à temperatura de 80 8C.. Um quarto de hora são mi. Deste modo, temos que: 7 * + 00 T(),7 + A temperatura do chá, mi após ser servido era,7 C. 7t T(t) 7, - 7, 0 t + 7t ,t - 7, 0 t + t 0-0,t + 6, 0 t 6, 0, t Decorreram miutos. 7t. 7 t T 7. Com o decorrer do tempo, a temperatura do chá tede a estabilizar em 7 C (provavelmete a temperatura ambiete). 6. Volume do taque: 8 * 7 * 68 V 68 m Como a toreira verte água para o taque à taa de m por hora e 68 :, são ecessárias horas para echer o taque. Atededo à forma do taque, a altura da água é directamete proporcioal ao tempo de echimeto. Assim, tem-se: h m t h h m h t, ou seja, h(t) t, t å 0,. 6. ( - ) 0-0 ( - ) ? 0 ( - ) ( - ) ( - ) - s.s s.s. - S, h(t), t, t, * t h(t), t Decorridas horas após o iício do echimeto a altura da água o taque é, m. + +?

53 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO a) Pág. 8. a) Para, o volume de água correspode ao volume do prisma triagular: V 9 * * 90 V A base * altura * 8 * 0 V 90 m V 0 m b) b) m V 9 * * 80 O prisma triagular está cheio e a altura da água o paralelepípedo V 80 m é de m ( - ). c) 6 d) 7 7. Se 0, a água o depósito ocupa apeas parte do paralelepípedo pelo que o volume é dado por: v() 9 * * v(). Se < 7, o ível da água o depósito já se situa o cubo, pelo que: v() volume do paralelepípedo + volume da água o cubo v() 9 * * + * * (altura da água o cubo) v() 80-9 (altura total - altura do paralelepípedo) Etão, 7. a) v() m 7. v() se 0 < ( - ) se < 7 < 80 A altura da água o depósito é m. b) v() 89 v V 80 + (6 - ) * * 98 V 98 m V V 07 m v() 80-9( - ) ( - ) 89 9( - ) 9-89 > 80 A altura da água o depósito é m. V 80 m 8. V * *, m dm São ecessários litros de água para echer a piscia. 8. Se 0 a água ocupa apeas parte do prisma. A base do prisma é um 8 triâgulo rectâgulo b cujos catetos medem metros e b metros. Atededo à semelhaça de triâgulos, vem: b 8 b 8 Logo, v() * 8 * 0 v() 0. Se <, a água ocupa todo o prisma e a parte do paralelepípedo correspodete à altura ( - ) m. Etão, v() * ( - ) v() 0 se ( - ) se <, 8. v() 08 V * * v() 0 + 0( - ) 0 + 0( - ) <,9 m < 9 cm 08 > 0 Pág. 9. Cosideremos que as duas toreiras são abertas simultaeamete. A fracção do taque que está cheia é proporcioal ao tempo de echimeto: Tempo Fracção do taque h + 7 t h Etão t, ou seja, t CEXMA Porto Editora 0 6 7

54 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6 9. t k k 70 * (67) (67) F t h mi F < 69,8 kg d 70 * (67) d œ70 * 67 d < 0 t ,8 68,8 70 * (67) (68,8) 70 * (67) d Deve estar a 6 97 km. t t + * 60. P(s),90 00 s + 0 -,90 0 No autocarro vão pessoas. c * 80 c 80. Se S0, Se ß0, O comprimeto pode variar etre,6 m e 9, m (valores aproimados).. P c + P(c) c + * 80 c s ,90s s 8,9 s c 80 0 < 9, c 80 0,6 P(c) c * 60,,6 c 9, c 0. F F 0; à medida que a distâcia, d, etre os corpos aumeta a força de gravidade, F, tede a estabilizar em zero. d 0; à medida que a força de gravidade, F, aumeta, a distâcia, d, etre os corpos tede a estabilizar em zero.. *,6,.. F 70 0 A pressão eercida pelo ar o balão é, kg/cm.,6 0, A pressão eercida pelo ar o balão é 0, kg/cm. P(s) 00 s + 0 Pág.. P é o custo, em euros, do trasporte de cada uma das pessoas ão covidadas.. 0 s s 0 Logo, 70 * (67) d 67 D h s åz : 0 s 0 j. d c, ± 80, <, O perímetro é míimo se o terreo tiver a forma de um quadrado de lado, m.. V pr h V pr h h V pr, r cm,8 dm; 0 cm dm V e h,8 r Œ 0,6p r pr *,8 0,6p V e h pr * r p r Œ p r < 0,69 dm r < 6,9 cm O raio varia etre 6,9 cm e 7,8 cm f() 0 + y + 60 r < 0,78 dm r < 7,8 cm Pág. f() é o custo da viagem por pessoa, em fução do úmero de pessoas acima das 0 iiciais. D f h åz : 0 0 j CEXMA Porto Editora. P() 00 <, Æ P(0) < 8, Æ Os valores máimo e míimo que uma pessoa pode pagar são, respectivamete,, Æ e 8, Æ.

55 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6. f(0) f() É ecessário icluir 7 pessoas o grupo. 6. y y P() < 7 P y , ou, seja, f() (0 + ) Trata-se de calcular o valor míimo de P(): y. 0 > ha m + y 7. Usado a calculadora foi obtido o míimo de C: O custo da costrução é míimo para r <, m. 8. V 000 Pág y 000 y 000 A + y A() + * 000 A() A L () 8000 A L () < c(t) c 0,77 t t + y 60p p < 000 > < 000 > 8 y CEXMA Porto Editora 7. O perímetro é míimo para ± y O custo da rede é míimo para 00 m e y 00 m. V A b * h 8p pr * h h 8p pr Área da superfície lateral A L pr * h A L pr * 8 r A L (r) 96p r Custo do material para a superfície lateral C L (r) 96p r Área das bases A b (r) * pr Custo do material para as bases C b (r) pr * 80 60pr, em euros. Portato, h 8 r C(r) 60pr p r ± y 00 * p, em euros. r r h 9. 0,77 * 60, ,77 Cerca de miutos após tomar o medicameto a cocetração o sague é máima. Após este istate a cocetração vai decrescedo com tedêcia para desaparecer com o decorrer do tempo. c(t) 0, t t + - 0, 0 t - 0,9t - 0, 0 t 0,06 * 60 < 0,9t - t + 0, 0 t <,060 t < 0,6,060 h h mi 0,6 h 0 h 0 mi œ - * 0,9 * 0,,8 A cocetração de 0, mg/l é atigida decorridos 0 miutos e ovamete decorridas horas e miutos após o istate em que o medicameto é tomado. t

56 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO Iicialmete foram platados 000 arbustos. Passados 0 aos eistiam cerca de 88 arbustos. Pág. 7 A recta de equação N é uma assimptota horizotal do gráfico da fução. Portato, com o decorrer do tempo, a quatidade de arbustos tede a igualar aquele úmero.. Custo para 9 pessoas: 9 * 8 6 Custo para 0 pessoas: 0 * N(t) N(0) N(0) N(t) 000( + 0,t) + 0,00t 000( + 0, * 0) + 0,00 * 0 00t ,00t ( + 0, * 0) + 0,00 * 0 00t ,00t + O grupo pouparia 6 euros. 8 se < 0 C() 0 se ,08 < 88 Dado que t + 9 0, A t år +, vem: t - t + 9 A percetagem será igual ou superior a % decorridos ove meses após o laçameto do produto, ou seja, a partir do iício de Jaeiro.. P A (0) 0 60t 0 t A recta de equação P A 0 é uma assimptota do gráfico de P A (t). P B (t) P B (0) 0 0t t A recta de equação P B é uma assimptota do gráfico de P B (t). Usado a fórmula resolvete e como t 0, vem t < 8,6. 0,6 * 0 < 0 t - 0 t t > t 9 0t + 0 t +, t 0 60t 0t + 0 P A (t) P B (t) t + 9 t + 60t 0t t + 9 t + 0 0t + 60t - 90t - 0t - 70t - 90 (t + 9)(t + ) t 0 0t - 0t t - 8t CEXMA Porto Editora. Área da piscia: 0 m Área total do terreo:. Itroduzido a fução a calculadora gráfica e calculado o seu valor míimo, foi obtido o resultado ao lado. A área do terreo é míima para ) 9,6 m.. P Pág. 8 A (t) 60t t + 9, t 0 60 *. P A () * y 0 A() ( + + ) * A() (6 + ) * + 0 A() A() A() O produto atigiu, um ao após o laçameto, 6% de mercado. P A (t) > (6 + )( + 0) y 0 60t t + 9 > 60t t t - t - t t - t y 0. P,7 0 8,6 Quado o produto A foi laçado, o produto B tiha uma percetagem de mercado de 0%. A percetagem de mercado do produto A ultrapassa a percetagem de mercado do produto B durate o mês de Dezembro, pelo dia (t < 8,6). Com o decorrer do tempo as percetages de mercado dos produtos A e B tedem a igualar 0% e %, respectivamete. P t (A) - P t (B) Como se viu em., P A P B 60t 0t t + 9 t + P t (A) - P t (B) 0t - 0t - 90 (t + 9)(t + ) 0t - 0t t + t + 8t + 9 0t - 0t t + t + 9 (0t - 80t - 0) (t + 7t + ) 0t - 80t - 0 t + 7t + 0t t A recta de equação y é uma assimptota do gráfico da fução P t (A) - P t (B); sigifica que, com o decorrer do tempo, a difereça etre as quotas de mercado do produto A e do produto B tede a igualar %. t

57 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6 CEXMA Porto Editora. A Aabela acrescetou litros de água aos litros Pág. 9 de sumo. Logo, obteve + litros de bebida. Vamos agora calcular o úmero de litros de água eistetes os + litros de bebida: Como o sumo de laraja puro já cotém 9% de água, cada litro de sumo puro cotém 0,9 litro de água. Logo, em três litros de sumo puro eistem * 0,9 litros de água. Portato, a bebida preparada pela Aabela cotém * 0,9 + litros de água. Podemos usar uma regra de três simples para calcular a percetagem, P(), de água eistete o sumo preparado pela Aabela. Número de Percetagem litros ,9 * + P() Trata-se de resolver a iequação Dado que + > 0, A år + vem. P() (0,9 * + ) * * 97 A quatidade máima de água que a Aabela pode acrescetar aos três litros de sumo de laraja puro, de tal modo que a bebida ão teha mais de 97% de água, é litros. d(t) - 600, t å [0, 0] t Se a Maria sai de casa às 7 h 0 mi, sai 0 miutos depois das sete e meia e, portato, tem-se t 0. A duração da viagem é 600 dada, em miutos, por d(0) Como 7 h 0 mi + mi 7 h 7 mi 8 h mi, a Maria chega à escola às 8 h mi. Se a Maria sair de casa às 7 h mi tem-se t e a duração 600 da viagem é, em miutos, d() < 9 Como 7 h mi + 9 mi 7 h 9 mi 8 h mi, a Maria chega às aulas com um atraso de miutos.. O tempo que decorre etre as sete e meia e as oito e meia é 60 mi. Portato, a soma do tempo que decorre desde as sete e meia até que a Maria sai de casa com o tempo gasto a viagem ão pode eceder 60 miutos. Ou seja, para que a Maria ão chegue atrasada às aulas é ecessário que t + d(t) 60. Na figura apreseta-se o gráfico obtido a calculadora gráfica das fuções y y t , t + 00 e y t + d(t) 60 assim como as coordeadas do poto de itersecção das duas lihas. Para ão chegar atrasada às y aulas, a Maria tem de sair de casa até miutos depois y 60 das sete e meia, ou seja, até às 7 h mi. y O 0 t Pág. 60. Uma recta é perpedicular a um plao se for perpedicular a duas rectas cocorretes cotidas o plao, ou seja, se um vector director da recta for perpedicular a dois vectores ão colieares do plao. Para mostrar que a recta r : 0 y z é perpedicular ao plao STV vamos provar que um vector, vector director da recta r, é perpedicular aos vectores ST e SV r». Vector director da recta r : 0 y z 0 y z 0 y z r (0,, ) é um vector director da recta r. Se a base [RSTU] é um quadrado de área tem-se que o lado do quadrado é, pelo que as coordeadas de S e T são (,, 0) e (-,, 0), respectivamete, para além das coordeadas de V serem (0, 0, ). Portato: ST T - S (-,, 0) - (,, 0) (-, 0, 0) SV V - S (0, 0, ) - (,, 0) (-, -, ) r. ST (0,, ). (-, 0, 0) r. SV (0,, ). (-, -, ) Como r r. ST 0 e. SV 0, podemos cocluir que o vector é perpedicular aos vectores ST e SV r pelo que a recta r é perpedicular ao plao STV. Dado que o vector r (0,, ) é ormal ao plao, este pode ser defiido por uma equação do tipo 0 + y + z + d 0. Como o poto V(0, 0, ) pertece ao plao, tem-se 0 + * d 0 d Portato y + z - 0 é uma equação do plao STV.. a) A cota do poto P varia etre a cota do poto O e a cota do poto V. Como a cota do poto O é 0 e a cota do poto V é, e dado que o poto P uca coicide com o poto O em com o poto V, podemos cocluir que o domíio da fução f é o itervalo ]0, [. Na figura apreseta-se a secção determiada pelo plao yoz a z pirâmide e o cilidro. V Atededo a que os triâgulos [OBV] e [PCV] são semelhates tem-se que: D P C PV OV PC OB - z Mas, como PC é o raio, r, da base do cilidro tem-se, r - z. O volume do cilidro é dado por: V A base * altura PC - z V pr * OP - z Substituido r por cilidro em fução de z: p * z - z + z b) Volume da pirâmide PC V A base * altura * * 8 e OP por z, obtém-se o volume do - z f(z) p * - z + z * z p * * z p z - z + z z z O B y 6

58 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6 CEXMA Porto Editora Quita parte do volume da pirâmide * 8 8 Pretede-se, portato, resolver graficamete a iequação Com a calculadora foram obtidos os gráficos da fução f e da recta de equação y 8 tedo-se determiado as abcissas dos potos de itersecção. Observado os resultados obtidos podemos cocluir que o volume do cilidro é superior à quita parte do volume da pirâmide se a cota do poto P variar etre 0, e,68.. Composto A Composto B Produto fial Tomate 0, * , ,6 Água 0,6 * , , Total A percetagem C de tomate a mistura fial é dada por: C() Dado que , Pág ,6 Temos, etão que b 0,6. Se a quatidade de composto B pudesse aumetar idefiidamete, matedo-se costate a quatidade de composto A, a percetagem de tomate eistete a mistura fial tederia a igualar 60%.. a) % 0, f(z) > 8. C() , C() 0, , , 0 litros b) 80% 0, C() 0, , A equação é impossível. A cocetração de tomate ão pode eceder C(80) 7% C() > 0, > 0, > 70 + Deve ser usada uma quatidade de composto B superior a 0 litros. h(t) t + t + 8 h(0) 8 0, 0 * (60 + 0,6) 0 * (0 + ) 0, > 0 Etão, h(0) 0, m. As árvores são platadas com 0, m de altura. y 8 O 0,,68 z t t A recta de equação y é uma assimptota do gráfico de h. Sigifica que a altura de uma árvore adulta desta espécie tede a igualar metros. h(t) > t + t + 8 > t>0 t + > t + 6 Terão de decorrer 6 aos. 7. N() Pág N() O comerciate terá de ivestir 86 euros. 7. N(0) 0; N() 0; N() 600. Se o comerciate ada ivestir serão vedidas 0 bicicletas, se ivestir mil euros serão vedidas 0 bicicletas e se gastar mil euros em publicidade serão vedidas 600 bicicletas. 7. Lucro obtido se ada ivestir em publicidade: 0 * euros. Lucro obtido se gastar 000 euros em publicidade: N() * * euros Lucro obtido se gastar 000 Æ em publicidade N() * * euros Se ada ivestir em publicidade, terá um lucro de 6000 euros; se ivestir 000 euros, o lucro obtido será de 00 euros; se ivestir 000 euros o lucro é de 6000 euros. Logo, compesa gastar 000 Æ em publicidade mas ão será acoselhável gastar 000 Æ em publicidade. 7. L() 0,0 * N() - a) 0,0 milhares de euros 0 euros é o lucro, por bicicleta sem despesas de publicidade; 0,0 * N() é o lucro obtido pela veda de N bicicletas ão cotado com as despesas de publicidade; 0,0 N() - é o lucro obtido com a veda de N bicicletas depois de deduzido o ivestimeto de milhares de euros em publicidade. b) Itroduziu-se a calculadora gráfica a fução: y 0,0 N() -, ou seja, y 0,0 * e calculou-se o seu máimo. Foi obtido o seguite gráfico, o qual se assiala, com aproimação às uidades, o valor de para o qual L é máima. L,9 t > t > <,86 O 7 Para que o lucro seja máimo devem ser ivestidos 7 milhares de euros. 7

59 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Capítulo 7 CEXMA Porto Editora. h(t) - œ t + 6 Pág O triâgulo [APB] é rectâgulo em P. h(t) 0 - œ t œ t + 6 AB 0... E, + 0. Resposta: (C) 9-0 œ Tem-se que D g ƒ D. Resposta: (C). Pág. 67 œ \, A år Resposta: (C) 6. Decorridas t horas, o barco ecotra-se o poto X, a uma distâcia (t) km de B. 7. (A) é verdadeira pois se f() œ + a, f(-a) œ -a + a t A9P 0 + A9P œ00 + B9P (0 - ) + B9P œ œ L() œ œ f() œ9 - - D f h år : 9-0 j [- œ, œ] g() œf() t + 6 t 7-6 D h år : å D f f() > 0 j ] -, 0 [ ] 0, [ ] -, [ \ {0} (œ) œ, A år + 0 œ, A år (d(t)) + (t) d(t) œ9 + t h() œ - -, å [-, ] \ {0} h() 0 0 œ œ - ± œ Como 0 D h, h ão tem zeros. 0 A 0 A P B B t P d(t) V X + V B F Pág Área do triâgulo [APB] um fucão de.. œ Pág. 69. BP AP + 0 AP œ00 - A() h() Œ g() f() D år : f() 0 g() f() 0 6 D ]a, b[ ± + ( - 6) Verificação: ; ; >0 œ (00 - ) Œ 00 - œ * (falso) œ * (verdadeiro) S {} Œ œ ± œ Verificação: ŒŒ * 6 (verdadeiro) œ S 6 6 BP * AP Œ00 - œ00 - -? 0 a b +? g() f() g() f() -.d. -.d. +.d. - ± B A C. A œ - P 8

60 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 7 CEXMA Porto Editora. - œ - 9 ± ( - ) Verificação: ; 7; - œ * - 9 (verdadeiro) 7 - œ * 7-9 (verdadeiro) S {, 7}. œ ± ( - 6) ( - ) Verificação: - 0 ; Œ Œ 9 ; œ (verdadeiro) S - 0, 6. œ + + œ + ± + + œ œ + + ( + ) - œ + ± ( - ) 6( + ) Verificação: -; œ- + + œ- + (falso) ; (verdadeiro) œ * + + œ + œ (verdadeiro) S {}.6 œ + - œ - œ + + œ - ± œ - + ( - ) ± - 6œ - - œ - ± - + 9( - ) * 6 C. A œ C. A œ6 + * C. A ± œ + * - C. A œ Verificação: ; œ * + - œ - - (verdadeiro) 8; œ * œ8 - - (verdadeiro) S {, 8} - œ + - ± Verificação: ; - * œ + * (verdadeiro) ; S {} - * œ + * - - (falso) œ œ0 - + œ - œ - œ - œ0 - ± 7-0œ * œ œ * œ - ± ( - ) C. A Verificação: ; 87; S {} œ œ (verdadeiro) œ 9œ (falso) œ - - œ - 6 œ œ - ± - - œ œ - 8-6œ ( - ) Verificação: 6; S O œ6 - - œ * (falso) 66; œ œ0 * - + œ * - œ œ7 + œ œ œ + œ œ œ0 * œ * 87 - œ œ867 + œ œ 7œ + œ C. A. œ œ * 66-6 œ6 - œ (falso) œ6-90 œ90 - * 6 87 C. A * * 9

61 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 7 CEXMA Porto Editora. A pr. A(t) 00p + 00t, t em miutos e A em metros quadrados.. km 000 m dia * 60 mi 0 mi Aproimadamete dias. A. Espaço percorrido pelo barco A: t Espaço percorrido pelo barco B:,t Decorridas t horas o barco A ecotra-se um poto X, de [AC], a (0 - t) km de C e o barco B ecotra-se um poto Y, de [BC], a (8 -,t) km de C. Etão,. 0 mi 0, h. A p * 0 00 p m pr 00p + 00t r t p r(t) Œ p t r(t) 000 m Œ p t p t t < 70 mi 70 mi ) 70 0 d XY (0 - t) + (8 -,t) d 6t - 80t ,t - 0t + 6 d(t) œ,t - 0t + 6 d(0,) œ, * (0,) - 0 * 0, + 6 <0,7 km 0 - t 8 -,t,t t hora h + h h 0 mi d Œ, * - 0 * + 6 < 6,60 km Os dois barcos ecotravam-se à mesma distâcia da praia h 0 mi após a partida. Nesse istate a distâcia etre os barcos era 6,60 km.. PC (00 - ) + 0 Pág. 70 PC œ(00 - ) + 0 t dias ) dias Custo MP * 00 + PC * 000 ± p t p 00 t 998p C() œ(00 - ) + 0, 0 00 Itroduziu-se C a calculadora gráfica e calculou-se o seu míimo, tedo-se obtido o seguite gráfico. M t X d 0 t Y,t B P 00 C 8,t C 0 P deverá ficar a 8 m do moiho.. h + 0. Recorredo à calculadora calculou-se o máimo de A o itervalo [0, 0]. Foram obtidos o seguite gráfico e valores. A área é máima para <,777 cm. Comprimeto das barras < *,777 < 7,6 cm h + h œ œ600 - A área é máima se as diagoais medirem 7,6 cm e 89, cm. 6. A y * h 6. h œ600 - A * h h + 80 h œ600 - A h A A + A A() œ œ600 - A() œ œ600 - y + h h - y h œ - y A(h) hœ - h 0 < h < D A ]0, [ C O œ600 - œ600 - A 00 O < 89, cm 0 6. Calculado o máimo da fução A, com recurso à calculadora, verifica-se que para <, km se obtém a área máima de km ,777 <,777 h h y h

62 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 7 CEXMA Porto Editora. hora 60 miutos Pág. 7. a) Q(0, 0, z) * 0, 8 Uma hora depois do iício do derrame o raio da macha é 8 metros. A pr A p * 8 A p m < 08 m r 0,t A(r) pr A(t) p(0,t) A(t) 0,09pt, t em miutos e A em metros quadrados. A(t) 77 0,09pt 77 O barco esteve miutos a derramar óleo o mar.. AP B P 00 + AP œ00 + AC AP + PC d() œ Qual é a distâcia do poto B ao poto P, sabedo que o Atóio percorreu 60 m de A a C seguido o percurso idicado? œ œ ± 00 + ( + 0) < Verificação: Œ Resposta: m t 77 0,09p (Verdade). Equação do plao a Pág. 7 a é perpedicular à recta r defiida por r r : (, y, z) (0,, -) + k(, 0, ), k år (, 0, ) é um vector ormal a a. Portato, tem-se a : + 0y + z + d 0 + z + d 0. Como a passa o poto P(0,, ), vem 0 + * + d 0 d -6. t Œ 77 0,09p 00 Equação do plao a : + z A esfera ( + ) + (y - ) + (z - ) tem cetro o poto de coordeadas (-,, ) que pertece ao plao a dado que - + * Assim, a secção determiada pelo plao a a esfera é um círculo cujo cetro coicide com o cetro da esfera e cujo raio é igual ao raio da esfera, ou seja, é igual a œ. Logo, a área da secção é igual a pr p * ( œ ) p. A t < 00 C OP + QP œ0 + + (z - ) OQ z O perímetro de [OPQ] é igual a OQ + OP + QP. Etão f(z) z + + œz - 6z +. b) f(z) 6 z + + œz - 6z + 6 Verificação: O perímetro do triâgulo [OPQ] é igual a 6 se a cota do poto Q for igual a 6.. f(z) + + œ a) P(0,, ) OP œ6-6 * (verdade) D f h z år : j A equação é impossível em R dado que (-6) - * < 0. Logo, como a e > 0, tem-se: > 0, A år. b) f() œ œ ± œ ( - 6) Verificação: 0; 6; œ (verdade) œ (verdade) Como se 0, e se 6, (0, 0) e (6, 6) são os potos de itersecção do gráfico de f com a recta de equação y + 0. c) f() œ Verificação: œz - 6z + œz - 6z + - z ± z - 6z + ( - z) z - 6z + - z + z -6z + z - 6z 96 z 6 œ ± œ (- - ) (- - ) R œ œ 0 (falso) Logo, a equação f() 0 é impossível em R, daí que a fução ão tem zeros. z Q O P y 6

63 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Capítulo 8 CEXMA Porto Editora. (fog)(-) f(g(-)) f(-) œ -6 - œ -8 - Pág. 79. Como f(0) 0, f tem um zero. Sedo f ijectiva, ão pode ter dois zeros. Logo, f tem eactamete um zero.. h() 0 g() * ( - ) 0 Como os zeros de g são zeros de h, é possível cocluir que eiste um e um só zero egativo. Por outro lado, como é zero de h, de etre os cojutos apresetados, apeas {-,, } pode ser o cojuto dos zeros de h.. As fuções represetadas em II e III são ijectivas. Pág. 80 Logo, têm iversa. Resposta: (C). g 0 ão pertece ao domiio de em ao domíio de f * g por ão f pertecer ao domíio de g. Assim, R ão pode ser o domíio destas fuções. De igual modo, como D fog h år : å D g g() å D f j este também ão pode ser R porque 0 D g. D gof h år : å D f f() å D g j Logo, D gof pode ser R porque œ + tem sigificado para todo år e œ + 0, A år. 6. g tem três zeros: 0, a e b. f Se a fução tem duas e só duas assimptotas verticais etão um e g um só dos zeros de f será também zero de g. Apeas em (C) se verifica esta codição. Resposta: (C) 7. (s * t)() 0 s() * t() 0 Pág. 8 s() 0 t() 0 s() 0 Como o zero de s é egativo, ão é zero de s * t. (sot)() s(t()) s(0) 8. Basta ateder a que - e, por serem zeros de u, ão pertecem ao domíio de h (fica ecluída a opção (A)) e que, sedo s() < 0 para å ] -, [ também terá de ser h(), 0 este itervalo (ficam ecluídas as opções (C) e (D)). 9. D f { år : g() 0 0} 0Rporque g tem dois zeros. Pág. 8 g g() 0 ( - ) 0 g() 0-0 g() 0 f() * g() < 0, A år é falsa porque se f() 0 ou g() 0 tem-se f() * g() 0. f O gráfico de ão tem assimptotas verticais pois g apeas tem g um zero e, esse poto, f também é zero. (f - g)(0) < 0 f(0) - g(0) < 0 f(0) < g(0) (é falso) Resposta: (C) 0. Zeros de f : a, 0, b com a < 0 < b Zero de g :0 f Sial de g : -? a 0 b +? f() g() f g () d O úico gráfico que se ajusta a este resultado é o (D).. Atededo a que f * g tem dois zeros, o cojuto de todos os zeros de f e g tem dois e só dois elemetos distitos (fica ecluída a hipótese (B) ode f e g têm em cojuto quatro zeros). Como etre os zeros a fução f * g é positiva, f e g terão, ecessariamete, o mesmo sial este itervalo, o que apeas se verifica em (A).. t se 0 t 0 g(t) t + 0 se t > 0. m 000 L t()m L 000 * t() t() 000. h() g(t()) * se h() * se 000 > 0 se h() + 0 se > h( 00) Pág. 8 Por um gasto de 00 litros de água a família pagou,0 Æ.. h() > ( ) ( > 0 000) åo ( > 0 000) Um gasto de 800 Æ, em água correspode a L.. Os meses de Juho a Setembro correspodem a dias * , h(7 080) + 0, 00 A cota da água relativa aos meses de Verão é de,0 Æ. 6

64 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 8 CEXMA Porto Editora.... g() Æ foi o lucro obtido pela fábrica referete às uidades fabricadas em g(f(t)) g(000 * t00 ) 000 * 000 * t00 g(f(t)) * t-00 represeta o lucro obtido com as uidades produzidas o ao t, depois de 00.. f(t) -0, + 7t e g(t) -0,8 + 80t Pág. 8. f(0) -0, + 7 * 0 99,70 f(0) 99,70 Æ e g(0) 999,0 Æ represetam o lucro obtido, em milhares de euros, o ao de 90, pelas empresas A e B, respectivamete.. t (f + g)(t) (f - g)(t) f(t) 00 98,90-799,0 99,0. t -, + t 0, - 8t -0,6 + t (f + g)(t) -, + t soma dos lucros das duas empresas A e B o ao t. (f - g)(t) 0, - 8t difereça etre os lucros das empresas A e B o ao t. f(t) -0,6 + t. f(0) * f(t) 000 * t00. f(t) 0,8t + 6 f(00) 000 f(00) 000 * * 000 Ao t f(t) f(00) * ,8 * t f(t) 980 0,8 * ,8 * ,8 * ,8 * g(000) 000 * p f(t) g(000) 000 * g(000) 000 * g() 000 f(006) 000 * * g(f(006)) g(6 000) 000 * g(0) -0, * 0 999,0 f(t) t; t 0 S ao 000 g(t) 0 +,7t g(0) 0 +,7 * 0 dobro do lucro obtido pela empresa A o ao t. No ao 000 foram fabricadas camisas tedo sido obtido um lucro de 000 euros. g h(t) 000 * f (t) 000 * 0 +,7t 0 +,7t t 0 + t 0 +,7t h(t) 0 + t h(t) represeta o custo médio, em euros, por camisa produzida o ao t.. h(0) 0 +,7 * ,8 No ao 000 cada camisa produzida custou, em média,,8 Æ.. f - (0), * 0-7,. p 0,8t + 6 p - 6 0,8t t p - 6 t,p - 7, 0,8 f - (p),p - 7, No ao 00. G() Cosumo de combustível em cada 00 km: G(70) 0 * <,7 Cosumo em 00 km * 00 km: *,7 < 69, L Custo do combustível gasto: 69, *,0<76,06 Æ Tempo gasto a viagem: v e ; t 00 ; t <,87 h t t 70 h Gastos com o motorista:,87 *,86 Æ Custo da viagem (76,06 +,86) Æ8,9 Æ. a) Tempo de viagem h km t 00 km t 00 h 00 Por cada hora o motorista recebe Æ. Etão, por recebe 00 * Æ700 Æ. Pág. 8 horas b) Custo da viagem custo do combustível + custo do motorista Custo do combustível: Dado que 00 * 00, em 00 km são gastos * G() litros de combustível. O custo do combustível é portato, em euros, dado por * G() *,. 700 Salário do motorista, em euros: Etão, o custo da viagem é dado, em euros, por: G() *, C(), * C() 7 * * C() 0 C()

65 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 8 c) 8 00 C() a) > 0 90 œ90 - * * 9 00 * < 8, 80 0 A viagem deve ser feita a uma velocidade de 0 km/h. d) C() < 00 Cálculos auiliares: < 00-7 < < < 0 > < 7, < 7, Área do trapézio [OBPA] Como OA, OB e BP f(), vem A() + f() OA + BP * + œ + * OB b) Para resolver graficamete a equação A() 8 itroduziram-se a calculadora as fuções y A() e y 8 tedo-se determiado a itersecção dos seus gráficos. Foram obtidos os seguites valores. * ( + 0,œ + ) + 0,œ + CEXMA Porto Editora Podemos etão cocluir que, para os custos serem iferiores a 00 euros o veículo terá de mater uma velocidade costate etre 8 km/h e 7 km/h. e) Itroduzido a calculadora a fução y C() calculou-se o seu míimo tedo-se obtido os seguites resultados. O cosumo é míimo para uma velocidade costate de 6km/h.. f() œ + ; D f 0, Pág. 86 g() - ; D g R. f() g() œ + - å 0, ± + ( - ) å 0, å 0, å 0, 7 Verificação: ; œ (falso) 7; œ (verdadeiro) Apeas 7 é solução da equação. f(7) g(7) (7, ) são as coordeadas do poto pedido.. a) A() 8 para <,6 Como as coordeadas de P são (, f()) e f() < œ,6 <,8 tem-se P(,66;,8). f f() () g g() œ + - Df D f D g g h år : g() 0 0 j 0, \ {} f g : ] 0, ] \ {} "R b) (fog)() f(g()) f( - ) œ - + œ - D fog h år : å D g g() å D f j h år : 0 < - j ], 6] fog:, 6 "R c) (gof )() g(f()) f() - œ + - D gof h år : å D f f() å D g j h år : 0, œ + år j ]0, ] gof : 0, œ + - œ - "R œ + - 6

66 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Capítulo 9 CEXMA Porto Editora. g() 0 f() - 0 f() Pág A equação f() tem duas soluções. Logo, g tem dois zeros. f() œ - O declive da recta t, tagete ao gráfico de f o poto de abcissa, é igual a f9. f9() (œ - )9 œ f9 œ * œ Seja a a icliação da recta t. Etão, o declive de t é igual a tg a, ou seja, sedo tg a œ, vem a 608. Resposta: (C) f() f9() g9() f9(-) - * (-) + 6 * (-) g9(-) - - f9(-) * g9(-) (-9) * (-) 9. Variação de f e sial de f9: Pág f Má. f9 + - Atededo ao sial de f9, o seu gráfico apeas pode ser o apresetado em (C). Resposta: (C). O declive da recta tagete ao gráfico de f o poto de abcissa é igual a f9(). f() - - p f9() - - p f9() - * - p - - p 6. (A) ão pode ser porque se o gráfico de f é parte de uma recta, a derivada f9 é costate, o que ão se verifica. (B) ão pode ser porque se f é estritamete decrescete, f9 teria que ser egativa, o que também ão se verifica. Aalisado o gráfico apresetado em (C) podemos cocluir que também ão pode represetar a fução f porque à medida que aumeta, o declive das tagetes ao gráfico também aumeta, pelo que f9 seria crescete, o que ão acotece com a fução f9 cujo gráfico se apreseta. Pág [0, ] está cotido um itervalo I tal que f9(), 0, A å I. Logo, f é estritamete decrescete em [0, ]. Etão podemos cocluir que f() < f(0), ou seja, como f(0) -, o valor de f(), etre os apresetados, apeas pode ser h() g() + h9() (g() + )9 g9() + 0 g9() Dado que h9() g9(), A år, o gráfico de h9 é igual ao gráfico de g9. r : y - A recta t é perpedicular à recta r. Como o declive da recta r é igual a, o declive da recta t é igual a -. Sedo t a recta tagete ao gráfico de f o poto de abcissa -, vem que o declive de t é igual a f9(- ). Etão, f9(-) -. Resposta: (C) 6 Pág p(t) - t + 0,, t 0 p(0) 0 ((A) é falsa) Dado que t 0, p(t) ((B) é falsa) p() - p(0), - 8, 9,7 Resposta: (C). p(t) 0 - t +, t 0 p(0) Quado se iiciou a campaha o produto já tiha % de quota de mercado. Como t 0, p(t) < 0. Logo, (B) é falsa. p() - p(0) 8,7 -,7, Resposta: (C). t.m.v [, ]. Por observação do gráfico verifica-se que f(a) > 0 e que Pág. 00 o declive da recta t é positivo. Logo, também se tem f9(a) > 0. Etão, f(a) * f9(a) > 0. Sial de g9 e variação de g: -? a +? g9 + - g Atededo à variação de g, o seu gráfico só pode ser o apresetado em (D).. h(t) 90t -,9t h9(t) 90-9,8t v() h9() 90-9,8 * 70, v() 70, m/s f() - f() O declive da recta t é positivo. Portato f9() > 0. Pág. 0 Etre os valores apresetados apeas f() > 0. Logo, f9() apeas pode ser igual a f(). Resposta: (C) 6 6

67 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 9 œ 7. O declive da recta t é igual a tg 08, ou seja, é igual a. Como h9() é igual ao declive da recta tagete ao gráfico de h o poto de abcissa, vem 8. Sial de f9 e variação de f: -? 0 +? f f Mí. Má. f é decrescete em [, +?[. Pág. 0.. h9() œ. A derivada é costate. A derivada é crescete. f () + + f9 () f 6 () - + f9 6 () - f 7 () - f9 7 () - f 8 () + f9 8 () f 9 () - f9 9 () -8 f 0 () f 0 9 () - - f () œ + œ f9 () * œ + œ œ + œ f () - œ f9 () - œ f () f9 () * f () f9 () + f () œ f9 () f 6 () f9 6 () A derivada é decrescete. f 7 () - f9 7 () - 9 (- - )9 - (-) -- - CEXMA Porto Editora. Poto f9( i ) F - C - B, E 0 D A. Comparado os declives das tagetes ao gráfico em cada Pág. 0 um dos potos e a recta CG podemos cocluir que:. f () f9 () 0 66 f9( ) < f9( ) < y - y - < f9( 0 ) < f9( ) < f9( ) < f9( ) f () -œ f9 () 0 f () f9 () f () - + f9 () - f 8 () œ f9 8 () œ 9 œ - 9 -œ - - œ f 9 () ( + ) + œ + œ + + œ f9-9 () f 0 () œ f9 0 () œ f () œ f9 () (-) œ - œ + œ + + œ

68 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 9. d(t) -8t + 6t Pág Fução h:. Trata-se de calcular a taa média de variação de f o itervalo [;,]. t.m.v [;,] A velocidade média o itervalo [;,] é igual a - m/s.. A velocidade istatâea para t s é igual a d9(). No istate t s a velocidade da bola era de -6 m/s.. Máimo de d(t): d9(t) -6t + 6 d(,) - d(), , - d9(t) (-8t + 6t)9-6t + 6 d9() -6 * d9(t) 0-6t t -8(,) + 6 *, - (-8 * + 6) 0, A(, 0) e B(0, ) são potos do gráfico de h. 6. Fução i: m h9() -, A år A(, ) e B(-, 0) são potos do gráfico de i. m i9(), A år t 0 +? d9(t) d(t) 0 8 Má. A altura máima atigida pela bola foi de 8 m.. d9(t) -6t + 6. a(t) (-6t + 6)9-6 a(t) -6 d( + h) - d() h -8h -8h h.6 Quado h tede para zero, -8h tede para zero. lim (-8h) 0. Este é o valor de d9() e sigifica que, o istate hs0 t s, a velocidade da bola era ula. 6. Em cada um dos casos o gráfico da fução é uma recta (fução afim). A sua derivada é costate e igual ao declive da recta. 6. Fução f: -8( + h) + 6( + h) - 8 h -8( + h + h) h - 8 h -8-8h - 6h h - 8 h f é costate. f9() 0, A år 7. Fução f: f9() 0, A år f pode ser qualquer fução costate. Por eemplo: 7. Fução g: g9() -, A år g pode ser qualquer fução afim defiida por g() m + b com m -. Por eemplo: 6. Fução g: A(, ) e B(, ) são potos do gráfico de g. m - - g9(), A år 7. Fução h: h9(), A år 9 Dado que ( ) 9,. Etão h pode ser defiida por h() com k costate. + k Por eemplo: CEXMA Porto Editora 67

69 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 9 7. Fução i: O gráfico de i9 é a recta AB sedo A(0, ) e B(, ). m d AB ; b i9() + Como ( )9, 9 e k9 0. i pode ser defiida por qualquer epressão do tipo i(). + + k Por eemplo: b) Poto de tagêcia: P(-, - ) g(-) * (-) - * (-) + - Declive: m g9(-) 9 * (-) - * (-) y m + b - * (-) + b b 9 Equação da tagete: y + 9 c) Poto de tagêcia : Declive: P, 7 8 g * - * m g9 9 * - * 0 y m + b 7 8 * + b b b Equação da recta tagete: y + 9. a) g9() f() œ - œ Pág f() œ * - œ -œ (9 - ) f 9() œ - œ 9 œ 0 9 b) g9() 9 - D f9 R 8. Poto de tagêcia: Declive da tagete: m f9() œ Substituido as coordeadas de P e o valor de m em y m + b, obtém-se b: y m + b P, -œ -œ œ * + b b -œ Equação da recta tagete: y œ - œ f() + œ, år œ6 - * 9 * (-) * 9-9 f( ) f( ) ± + œ + œ g() - + g9() 9 - ± œ œ ± A, år +, f( ) f( ) ±, logo, f é ijectiva. a) Poto de tagêcia: P(, 7) 0. å R + 0 œ 0 + œ g() * - * + 7 D9 f [, +?[ CEXMA Porto Editora Declive: m g9() 9 * - * 8 y m + b 7 8 * + b b -9 Equação da tagete: y Epressão de f - : f() y + œ y œ y - ± (y - ) f () ( - ) f - : [, +?[ "R ( - ) 68

70 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 9 CEXMA Porto Editora 0. Poto de tagêcia: P(, ).... f() + œ Declive: f9() + œ 9 9 m f9() œ * y m + b * + b b Equação da recta tagete: y + f() - + f9() - + f9(-) - * ( -) + - f9() - * f9(-) - e f9() -. f() - f9() - 9 (- - ) 9 - * (-) - f9(-) f9() f9(-) e f9(). f() f9() 9 ( - ) 9 * (-) - -0 f9(-) -0 (-) 0 f9() f9(-) 0 e f9() f() - f9() f9(-) + f9() f9(-) e f9(). (gof)(-) g(f(-)) g(0) Pág. 06. t.m.v. [ -, ] - (-) ()9-9 - ( - ) 9 - (-) - + (-) 8 9. f() - f(-) - (-) œ ( 0-0 ) g O zero de é. f. Atededo a que - e são zeros de f vem que f() a( + )( - ). Dado que f, temos 9 Portato, Vem, etão f9() Poto de tagêcia: P(0, ). Declive: b e m Equação da tagete: y + Poto f f9 A 0 0 B - - C - + D + - E + 0. Por eemplo: Pág. 07. Em A tem-se: g(a) > 0 e g9(a) > 0 (o declive da recta tagete ao gráfico de g este poto é positivo.) Logo, g(a) * g9(a) > 0.. Em B tem-se:. g g() () 0 0 g() 0 f() 0 0 f f() a f(0) f() -( + )( - ) f() m f9(0) - * 0 + g(b) > 0 e g9(b) < 0 (o declive da recta tagete ao gráfico de g este poto é egativo.) Logo, g(b) * g9(b) < 0. h(t), + t - t a * * a 8 a - a 9. h(0), O foguete foi laçado a uma altitude de, metros. 69

71 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 9. h9(t) - t. h9(0) h9() - * A velocidade com que o foguete começou a subir foi m/s e a velocidade atigida dois segudos depois do laçameto foi m/s. h9(t) 0 - t 0 t t, A altura é máima para t,. r9(p) 0 6p 6000 p 000 r(p) 0 ( p)p p 0 p 0 p 0 p 000 r(000) ( ) * * 000 * 0 6 h(,), + *, - * (,) 7 O foguete atigiu a altura máima de 7 m.. h(t) > 70, + t - t > 70 C.A CEXMA Porto Editora. 6, -, O foguete esteve acima dos 70 metros durate segudos. h(t) 0, + t - t 0 O foguete caiu o mar decorridos, após o seu laçameto. h9(,) - *, - O foguete caiu o mar a uma velocidade de m/s. 6. A y Pág y 00 A() (00 - ) A() , 0,, 00 A9() A9() A9() A() y 00 - Má. 00 ± y 00 - * 00 ± y 00 O Vítor deverá vedar um rectâgulo em que o lado paralelo ao rio mede 00 metros e os outros dois lados medem 00 metros. 7. Poto de tagêcia: P(-, ), porque g(-) Declive: m g9(-) - y m + b - * (-) + b - b b y - + t, 7. Dado que g(-) e g é estritamete decrescete em R temos que g() < å ] -, +?[. 8. v(p) p 8. r(p) ( p)p -t + t +, 0 r(p) 6000p - p r9(p) p -t + t - 8, > 0, < t < 6, t 0 -t + t - 8, 0 t, t 6, 8. r é crescete para 0 < p O melhor redimeto é obtido para p r9(0) * r9(0) * 0 00 Ao preço de 0 Æ a taa de crescimeto do redimeto é de 700 Æ por euro de preço. Ao preço de 0 Æ essa taa é de 00 Æ por euro de preço. 9. AC + 6,6 Pág. 09 AC œ,6-6 AC, HB œ + 6 V e t t e v t t HB + t BC t() œ + 6 Recorredo à calculadora gráfica verifica-se que t é míimo para ) 6,., - 8,8 O poto B ecotra-se a, aproimadamete, 6, km do poto A e a 8,8 km do poto C. 0. r é o raio da base do cilidro. h r + 0 r 00 - h Volume do cilidro: V A b * altura V pr * h V p 00 - h * h V(h) ph 00 - h +, - 7 r + h 00 70

72 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 9 CEXMA Porto Editora 0. V(h) 00p h - p h. V9(h) 00p - p h V9(h) 0 00 p - p h 0 0œ h 0 0 V9(h) V(h) Má. O volume do cilidro é máimo para Perímetro da figura limitada pelo semicírculo: pr + r Área do semicírculo: Lado do quadrado: Área do quadrado: - ( - ) 6 Área da figura: p A() (p + ) , 0 < < A9() p A9() (p + ) A9() 0 Como o gráfico de A é uma parábola com a cocavidade voltada para cima, A é míima para ),. -,,6, m cm e,6 m 6 cm. cm de fio para o semicírculo e 6 cm de fio para o quadrado.. y a Pág. 0 y a P + y h h Œ h 0 h 0œ œ p (p + ) * P() + a P9() ( + a - ) 9 pr + r r p + - a - - a pr p * p (p + ) + 8 p h 600p h 0œ r(p + ) p ; ), cm. p (p + ). P9() 0 - a 0 >0 - a 0 0 œa + q P9() P() Mí. O perímetro é míimo para y œa m, ou seja, o rectâgulo é um quadrado de área igual a a m. h + Logo, h œ. Área da jaela: A A + A A * h A() * œ + * - A() œ - + A() œ - + Domíio: > 0 y > 0 > 0 - A9() œ - * + A9() 0 œ ,7 A9() A() + y,7 ± a >0 œa œa ± y a œa œa + y y - Altura do triâgulo: h - h > 0 - > 0 > 0, å 0, (œ - 6) œ ± ),7 m Má. y - * œ - + ) 0,7 A área da jaela é máima para ),7 m e y ) 0,7 m. > 0 7

73 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 9. A ( + )(y + ) b) - 6 A9() 0 > >0 0 +q A9() A() Mí. Se, y 8 6 O gasto de papel é míimo se cm e y 6 cm, ou seja, a folha terá as dimesões de cm por 0 cm.. C() ,0 Pág.. C(00) * ,0 * O custo de produção de 00 peças é igual a 00 Æ e o custo de produção de 0 peças é igual a 08,0 Æ.. C(0) - C(00) 08,0-00 8,0 Æ C(0) - C(00) 8,0 Æ é o custo de produção da peça úmero 0, ou seja, é o custo de produzir mais uma peça depois de se terem produzido 00.. a) C9() 8 + * 0, ,. C(0) * 0 + 0,0 * 0 08,0 b) C9(00) 0, * c) C( + ) - C() C() C() a) y 8 y 8 A() ( + ) A() A9() C9() 0, + 8 C9(00) 8 ) C(0) - C(00) ( + ) + 0,0( + ) ,0 ( + + ) , ,0 + 0, + 0,0-0,0 0, + 8,0 C( + ) - C() 0, + 8,0 C9() 0, + 8 C( + ) - C() ) C9() C(00) C(00) ,0 - ( ,0 ) C(00) 0,0. Se forem produzidas 00 peças o custo médio de cada uma é igual a 0,0 Æ. c) C() < 0,0 C() < 0,0 C.A. Logo C() < 0,0 90 < < 60. Devem ser produzidas etre 90 e 60 peças q C9() C() Mí. C(0) C(0) Æ O custo médio por uidade é míimo quado são produzidas 0 uidades. Esse custo é igual a 0 Æ.. a 0 cm; b 90 cm; c d 0 cm; Pág. e 00 cm; f 0 cm. V 90 * 0 * cm V dm ,0 C9() ,0 9 (70 0, ) , ,0 C9() 0,0-70 C9() 0 > 0 0, , V() (0 - )(6 - ) V() , 0 < < 6 V9() , , ,0-0,0 > 0 0,0 -, + 70 < 0 0,0 -, , œ, - * 0,0 * 70 0, > 0 < 0,0-0,0 < 0 < 0 CEXMA Porto Editora V9() œ0 - * 6 * < < 6 7

74 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO V9() V() Má O volume da caia é máimo se as suas dimesões forem, cm 0 6 e. cm cm. 0 < r O valor máimo de r é cm.. V água V cilidro - V esfera V A base * altura - pr V(r) p * * r - pr V(r) pr - pr V9(r) p - pr V9(r) 0 p - pr 0 r 0 œ V9(r) V(r) Má. Mí. V é máimo para r œ cm. Altura h de um triâgulo equilátero de lado l: h + l l r œ8 r œ h l - l r A9() 0 œ - œ A9() A() Mí. O segmeto deve ser dividido em duas partes iguais ( cm).. v(t) t - t + 6t. v9(t) t - 0t + 6 v9(t) 0 t - 0t t - 0t + 0 t v9(t) t t t 7 0 œ00 - * * v(t) Mí. Má. Mí. Má. A velocidade máima atigida, os primeiros oito miutos da eperiêcia, foi de 8 ceteas de rotações por miuto r.p.m. 60 * 00 r.p.m. Pág. Para dar resposta ao problema é ecessário resolver a iequação v(t) > 60. Recorredo à calculadora gráfica determiaram-se as abcissas dos potos de itersecção do gráfico de v com a recta de equação y 60. Foram obtidos os seguites resultados (com duas casas decimais): CEXMA Porto Editora h l h œ l h œ h œ (0 - ) A A T + A T A() œ A() œ + œ (0 - ) A() œ ( ) A() œ ( ) A() œ - œ + œ A9() œ - œ (0 - ) œ (0 - ) +, -,,08,08 mi mi s (0,08 * 60,8 ) ) A velocidade de rotação do eio do motor foi superior a 6000 rotações por miuto durate miutos e segudos. 6. V pirâmide * A base * altura A base da pirâmide é um quadrado de lado AB. A sua área é, portato, (). A altura da pirâmide é igual a OE c. Como + c 6 vem c 6 - Logo, V() * (6 - ) V() - V() 8-7

75 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 9 CEXMA Porto Editora 6. V9() 6 - V9() ( - ) 0 r 0 œ p +q 0-0 >0 A9(r) A(r) Mí. V9() V() Má. V() 8 * - * O volume da pirâmide é máimo para. 8 O volume máimo é igual a. 6. Se, c 6 -. Etão A(,, 0), B(-,, 0) e E(0, 0, ). Equação do plao ABE: AB B - A (-, 0, 0) AE E - A (-, -, ) Seja (a, b, c) um vector perpedicular ao plao ABE. Etão. AB 0. AE 0 (a, b, c). (-, 0, 0) 0 (a, b, c). (-, -, ) 0 Tem-se, portato,. Para c, (0, c, c) (0,, ) Uma equação do plao ABE é da forma: 0 + y + z + d 0. Como A(,, 0) pertece ao plao, tem-se: * d 0 d Logo, uma equação do plao ABE é y + z V cilidro A base * altura Pág. V cilidro pr * h 000 litros 000 dm m Etão, V cilidro e, portato, pr h h pr 7. A quatidade de material gasto a costrução do depósito é dada pela área total (A T ) do cilidro 7 A T A base + A lateral A T pr + pr * h A(r) pr pr + + pr * pr r A9(r) (pr + * r - )9 A9(r) pr - * r pr - - r A9(r) 0 pr - r 0 pr - r 0 r 0 0 pr - 0 r p r r œ p -a 0 -a - b + c 0 a 0 b c r (p) Œ p Se A área total é míima se r e h. Logo, pr œ œ p r p a área total é míima se h r. 7. Seja C(r) o custo do material em euros. r 0 C9(r) C(r) Mí. r Œ p e h pr h r œ p, h pr p œ p Œ 8 p C(r) A base * + A lateral * C(r) pr pr + * + r * r C9(r) pr + (r - )9 C9(r) pr - r pr - - r C9(r) pr - r C9(r) 0 pr - 0 pr - 0 r 0 0 r p Œ p O custo do material é míimo se r h Œ. p ) 0,68 m 7. a) Em cada segudo é etraído um cilidro de água com 0 litros de capacidade e, cm de altura. 0 L 0 dm, cm 0, dm V pr * h 0 p * r * 0, r 0 0,p ± b) V pr * h r p r Œ p p * œp Œ p r p Œ Œ p 000 p * Œ 0 0,p * h 000 p * 0 0,p * h ± h dm, m p * œ p œ 8 œ p œ p * œ p r r Œ 0 0,p ± œ p p r ), dm, cm h 000 * 0, 0 Œ p Œ p p

76 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Capítulo 0 CEXMA Porto Editora. Como o domíio de uma sucessão é N, cojuto Pág. 0 Pág. dos úmeros aturais, etão a represetação gráfica apresetada em (D) ão pode represetar uma sucessão. 9. (A) e (C) são falsas. Por eemplo C ]0, [ é limitado e ifiito. (D) é falsa. Por eemplo C ]-?, [ é majorado e ão miorado.. u (-) * 0. (A) é falsa pois (b ) ão é limitada. ^ u u + u + u + u + u (B) é falsa. Por eemplo, (a ) é limitada dado que (-) * -, A å N (C) é falsa. Por eemplo, (b ) é estritamete crescete dado que. Se v + - v +, A å N, podemos cocluir que: ( + ) b + - b ( ) v + v + +, A å N Etão para vem v v + + ou seja, v + v.. Dado que A å N, represeta um úmero par, (-), A å N. Etão (-) * u * u u, A å N.. b + Pág (v ) é estritamete crescete pois + > 0, A ån b * () b + ( + ) b + b ^0 u u 0 + u u 0 0 O úmero de parcelas é dado por Logo, k. u * + - * Resposta: (C) v (-) + + v + - v (-) Logo v + - v - v + - v - (-) + - (-) (-) + + (-) (-) ( + ) (-) + + (-) + + * (-) (-) se é par ( + é ímpar) se é ímpar ( + é par)... (D) é verdadeira. d + - d Logo, (d ) é estritamete crescete. (b ) e d são moótoas. -6 a, A å N a (-) * a é limitada, dado que - a <, A å N. f() - se se > a f - Se, - pelo que, para, > a f Se, -, pelo que - 0 a f Logo, a -, A å N Resposta: (C) + N 00 > 0, A å ( + ) - ( + ) - ( - )( + ) ( + ) N ( + ) > 0, A å ±-6 a 6, A å N ± \a 6, A å N - - ( + ) ( - ) ( + ). Por eemplo, se a -, o gráfico de (a ) é costituído por potos de uma parábola e (a ) é moótoa decrescete. Pág. 7

77 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 0 CEXMA Porto Editora. Se u -, u - e (u ) é decrescete. u -, u -8 u - u Se, verifica-se que apesar de u u - se se > u e, (A), (C) e (D) são falsas. u f() - se 0 se > 0 Para, a f( - ) ( - ) a f( - ) f(-) -(-) Para, a a f( - ) f(0) -0 0 Para, a Logo, a - +, A å N a + a * + 7 a + 8 a + a + 0 g se é par - se é ímpar g g - g g - h se - se < h - 0 h - h h ån - > 0 > i (-) ( + ) i (-) ( + ) - i (-) ( + ) i (-) ( + ) - i (-) ( + ) 6 Pág... Se a é par, a + é ímpar. Se b é par, b + é par , -, -,., 8,, 6, *, *, *, *,,. -,, -,, -,, u (-) + * 6 + u (-) + * 6 + u a - u b+ 7 a (-) * 8 + a p + a p+ (-) p * 8 + p + (-)p+ * 8 + (-) p * 8 + (-) p (-) * 8 + p + p + (-) p * 8 - (-) p * 8 + p + + p p(p + ) p + p + p a - a - (-) * (-)- * u - u u (-) 0, 0, 7 0, 9 0,... * + 0 *, * + 0 *, * + u + 0, œ, œ 9, 8,... œ, œ, œ, œ œ,..., u œ, 7,, 7, 6, 7, , 7, +, 7, +, 7,... 7 se é par u + se é ímpar, -,, -6, 7,..., (-) + * ( + ) u (-) + * ( + ) (-) + * 6 + u a (-) a+ * u b+ (-) b++ * 6 + (-) b+ * 6 + * a + a (-) * (-) * p + * * ( - ) 0 *, * + 0 * (-) + * 6 +,...,

78 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 0 CEXMA Porto Editora.8. a - + Pág....., -, 7, - 9,..., (-) + * + u (-) + * a + a + a (- + ) + (- + ) + (-9 + 6) a a -8 a < < 0 (- + ) < 0 ån > A partir do terceiro termo (iclusive). a C.A. Como å N, vem a c - c + - * c +, ån 6. c - c - * (-) + + c - * c - * (-) c - * c -, c, c -, c, c c 9-0 c 0 - * (-0) c - * c -8 + œ c 6 - * (-8) œ N.8 da figura... N.8 de palhihas f() palhihas 8. Pág f(0) 0 + f() f( + ) f() +, A å a - a * - a * - a * 9 - a * 6 - a ån A figura.8 0 tem potos. a + a + - a ( + ) + - ( + ) a + - a > 0, A å N; (a ) é estritamete crescete. b ( + ) b + - b ( + ) ( + 7)( + ) - ( + 7)( + ) - b + - b N ( + 7)( + ) < 0, A å (b ) é estritamete decrescete. se c - se > se,, c + - c - 0 se. c + - c ( + ) - - ( - ) > 0 se c + - c c 6 - c (6 - ) - > 0 c + - c 0, A å N ou a a a - + -, A ou a ou a + * - ou a + * - ou a + * - (c ) é moótoa crescete em setido lato. N Figura 77

79 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO se 000 d - se > 000 se, 000 d + - d - ( + ) - ( - ) < 0 se. 000 d + - d - ( + ) - ( - ) < 0 se 000 d + - d d 00 - d ( - 000) 999 < 0 d + - d < 0, A ån; (d ) é estritamete decrescete. a (-) a -, a, a - a > a e a < a b + (-) + * b + (-) * b + (-) * b 6 + (-) * 9 b, b, b 9; b < b e b > b c \ c 9 \9-0 c 0 \0-0 0 c \ - 0 c 9, c 0 0, c ; c 0 < c 9 e c > c 0 d ( - ) - d + - d ( - - ) - ( + ) - ( - ) + d + - d ( - ), A ån; d + - d 0 se ; d + - d > 0 se >. e + se > 6 - se 6 e - * -9 e 6 - * 6 - e * e -9, e 6 -, e 7 7 ; e 6 < e e e 7 > e 6 + se é par f + se é ímpar f + 6 f + f ( - ) f 6, f, f 8; f < f e f > f. a (-) * a (-) * a (-) * a (-) * a -, a 7, a -8; a > a e a < a (a ) ão é moótoa. a - + ( - ) a + - a - + ( + - ) - (- + ( - ) ) a + - a ( - ) > 0, A å N; (a ) é estritamete crescete. Se é ímpar, + é par. Se é par, + é ímpar. Etão Se é ímpar Se é par a - 6 a + - a - ; a +\ ( - + ) ( - ) a - se é ímpar - se é par a + - a ( + ) - - ( - ) a + - a ( + ) - - ( - ) a + - a se é ímpar se é par a + - a > 0, A ån; (a ) a + - a ( + ) - 6( + ) a + - a < 0; > a + - a > 0; (a ) - 0, a +\ - + a +\ - + a 6 +\ a 7 +\ (a ) ão é moótoa é estritamete crescete ão é moótoa. a, a a 6, a 7 ; a < a e a 7 > a 6. CEXMA Porto Editora. a Pág a + - a ( + )( + ) - ( + )( + ) - a + - a N ( + )( + ) < 0, A å (a ) é estritamete decrescete. 78

80 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 0. A restrição de f ao itervalo, +? é estritamete crescete. Logo a restrição de f a N também é estritamete crescete. (u ) é estritamete crescete. v f () 0 v f () - v f () 0 v < v e v > v ; (v ) ão é moótoa.. A sucessão defiida por f() pode ser moótoa sem que a fução defiida em R por f() o seja como se ilustra o gráfico seguite: 6. a < < + + < a, A å N; (a ) b (-) * se é par b - se é ímpar Para par é limitada. - b, A ån; (b ) é limitada. c (-) * p p - p se é par se é ímpar. a + - a œ v. a + - a ( - )( - ) 0, A ån (a ) é moótoa crescete.. a + - a 0 ( - )( - ) 0 a + - a 0 a + a a a e a a A sucessão (a ) só tem três termos iguais: a a a. Logo, se tem três termos ulos só poderá ser a a a 0.. Por eemplo: < p p Para ímpar 0 < p p -p - p < 0 Etão, -p c p é limitada., A ån; (c ) d + + < d, A ån; (d ) é limitada. Para par < < + + e 6 - (-) * 6 - se é par 6 + se é ímpar 0 < - - < 0 e < 6 Para ímpar < 6 0 < 6 < u \ - (por eemplo) a - Pág < e 7 Etão, é limitada. e 7, A ån; (e ) f - - CEXMA Porto Editora.. a + - a - ( + ) ( + ) a + - a > 0, A ån ( + ) (a ) é estritamete crescete. 0 < - - < < - a <, A ån + - ( + ) < - < - - < f, A ån; (f ) é limitada g + + g + 0 < < < < g, A ån; (g ) é limitada. + 79

81 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO se é par h se é ímpar (h ) ão é limitada porque o cojuto dos termos de ordem par ão é limitado. i + se é par - se é ímpar se é par se é ímpar Etão - i é limitada., A ån; (i ) j si(p) 0, A ån j 0, A ån. (j ) é costate, logo, é limitada. u 0 < < + + < i i p + 0 < p 0 < N + p +, A å Etão, sedo L > p tem-se \u < L, A ån. u 000 se < 0 + (-) * se 0 Se < 0, u 000. Se 0, u - ou u +. Logo, o cojuto dos termos de (u ) tem apeas três elemetos: 0, 0 e 000. Logo, para L > 000, \u < L, A ån. + se é par u - se é ímpar + u - Para par: se é par se é ímpar 8. é crescete ± a a, A ån Pág a a a < 000, A ån ± (a ) é limitada. u + 6 u, + 6, u 0, termos 9. (u ) é a restrição da fução quadrática defiida por f() + 6 a N. Logo, o cojuto dos termos de (u ) ão é majorado pelo que (u ) ão é limitada. 0. A área de T é igual a da área do triâgulo T. A área de T + é igual a da área do triâgulo T. Etão a a + a, A ån 0. Sedo a a sucessão das áreas de T tem-se que a > 0, A ån. Por outro lado, (a ) é decrescete, pelo que a a, A ån. Como a, vem 0 < a, A ån. (a ) é limitada.. Se (a ) é limitada, E L, M å R: L < a < M, A ån L < a < M, A ån - pm <-p * a <-p * L, A ån ± (-pa ) é uma sucessão limitada.. a) C Pág. 0 pr pr C pr ån u > 00 u < > > 97 < 997 ån > < > < 000 CEXMA Porto Editora < < + + < u Para ímpar 0 < - < < u 0 Logo, - < u. Assim, para L >, A ån., \u < L, A ån se 0 u - se < 0 Para 0, u Para < 0-9 u u Etão, para L > 9 0, \u < L, A ån. b) R r C pr pr p * r pr C pr c) r r r C * pr pr p * r pr C pr d) r r 8 r C 8 * pr 8pr 8p * 8 r pr C pr. a) A pr b) A * p(r ) p r pr A pr

82 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 0.. c) A * p(r ) A pr 8 d) A 8 * p(r ) A pr 6 A A 6 pr 6 pr A + A, A ån p r pr 8 p 8 r pr 6 A A * pr 6 pr A 6 A * pr pr 6. a p 0 r 0 0 r 0 - p a p cm ; a 00p 0p - p p 0 p a 0p - 0p - p 00 0p 0p p p a 0p - 0p - p cm ; a 7p. cm p 0p - 7p CEXMA Porto Editora. a Pág a a a 6 a 8 6 a A área do.8 quadrado é. 6 cm A área do 6.8 quadrado é. 6 cm 6 cm a a a a a 6 a a a a a a a + a, A ån a a + a + a ; a ; a. a a ; a a : a, a a +, a a +, a a + a ; a a + 0 ; a a + ; a a + a a + a + -, A ån. AB 0; r 0 Pág.. r 0 8 cm.. (a ) é estritamete crescete.. a é crescete ± a a, A ån±a p, A ån.6 r * 0 a 0p - p a 0p cm r a 0p - ( + ) * 0p - 0p * a 0p + a + - a 0p a + - a + 0p p * ( + )( + ) 0p p * 0 + 0p > 0, A ån ( + )( + ) a < p 0, A ån±a < 0p,A ån p a < 0p, A ån; (a ) é limitada. a 00 0p 00 0 < 9,p p + a 000 0p < 9,9p 0p - 0p 0p 0p - ( + ) * p * 00 ( + ) + 0p - + 0p * ( + )( + ) 0p > 0, A ån ( + )( + ) À medida que tede para +? a área dos semicírculos tede para zero pelo que a área a tede para a área de C, isto é, para 0p cm. 8

83 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Capítulo CEXMA Porto Editora. a -; r Pág a a + ( - ) * r - + ( - ) * a 0; a 8 a a k + ( - k) * r a a + ( - ) * r r r - r - a 0 e r a a 0 + ( - 0) * a a - 7 a a 80 9 a - a + a - 7, A ån a + - a -7, A ån (a ) é uma progressão aritmética de razão r -7. a a + ( - ) * (-7) a a -7 + a -7 * + -0 a - e a + a -, A ån a + a -, A ån a + - a -, A ån (a ) é uma progressão aritmética de razão r -. a a + ( - ) * (-) a a - S a + a * - - * 6. a ; a ; a 7; a 0 Pág. 9 (a ) é uma progressão aritmética de razão. a a + ( - ) * r a + ( - ) * a - a + + a ( + ) - + ( - ) a + + a Em cada ao, o úmero de coelhos eistetes é multiplicado por, (aumeto de 0% 0,). O úmero de coelhos cresce em progressão geométrica, c sedo c 00 e a razão r,. c c * r - c 00 * (,) - Como correspode a 990, o ao de 000 correspode a ( ). c 00 * (,) 0 ) a - a + - a - ( + ) - ( - ) (a ) é uma progressão geométrica de razão. b + b ; b + 7 ; b + 0 b - b b - b b - b 0 b - b (b ) ão é uma progressão aritmética. 9. A sucessão ( ) das medidas dos lados dos quadrados Pág. 0 é uma progressão geométrica de razão r sedo 7. * r - 7 * - * A sucessão das áreas é 0. u ; u ; u ; u Se os termos cohecidos de (u ) estivessem em progressão geométrica de razão r > 0, seria u u k * r -k. u 00 u 000 * r 0 r 0 u 00 r u 00 Œ0 u 000 u 000 u 00 u 00 * r 80 r 80 u 00 r u 00 Œ80 u 00 u 00 Dado que Œ0 u 00 u pelo que (u ) ão é uma progressão geométrica.. Seja ( ) a sucessão das medidas dos lados dos quadrados. Pág. ( é uma progressão geométrica de razão r e ). * r - Œ80 u 00 u 00 * - A sucessão (a ) das áreas é, etão a ( ) * - * - 9 * a ( ) + - ( + ) ( - ) + -. Œ0 u 00 u 000 Œ * * 0 6 ),0 Œ80 u 00 u 00 Œ80 00 * * 0 6 ),006 8

84 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. u AB. (a ) é uma progressão aritmética em que a 6 0 e a 0 9. u * * u u 9 * * 6 9 * u (u é uma progressão geométrica de razão r ) e u. a a k + ( - k) * r a 0 a 6 + (0-6)r r r - a a 0 + ( - 0) * - CEXMA Porto Editora u u * r - u * -. Por observação da figura e cosiderado um dos triâgulos rectâgulos, tem-se Assim, coclui-se que as medidas dos lados dos sucessivos quadrados estão em progressão geométrica de razão Œ sedo o 9 primeiro termo igual a u. Substituido estes valores a epressão do termo geral de uma progressão geométrica, tem-se - u * Œ 9-9 * u 9 - * u.. (a ) é uma progressão aritmética. Pág. a -; r. a a k + ( - k) * r a 0 a + (0 - ) * a * a 0. a a + ( - ) * a a -. (a ) é uma progressão aritmética. a ; a a a k + ( - k) * r a a + ( - ) * r Œ 9 + Œ 9 + 0r 0r 0 r a. (b ) é uma progressão aritmética; b 9eb 7. Cálculo da razão b 0 b + (0 - ) * 0, u - 6. a 9 - b b k + ( - k)r b b + ( - )r r 0r 8 r 0,8 S 0 u + u 0 S 0 80 S -60; b ; r - b + b S -60 * -60 b b + ( - ) * + ( + ( - ) * (-)) * * * ( - ) (a ) é uma progressão aritmética. a 9; S 0; a S * 0,8 b 0 * 0 0 a + a + 9 * Como 0, vem: a 0 9 e a a 0 a + (0 - )r * r 9r 6 r 8. a S a + a * + ( + ) S ( - ) + (0 - ) * * 0 ån ( + ) * 0 8 *

85 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora Sucessão das descidas: Pág. (d ) é uma progressão geométrica de razão e d. Sucessão das subidas: (s ) é uma progressão geométrica de razão sedo s d * a S a + a S + a - S a + a S s 6; s 6 * ; s * 0,96 s 0,96 m s s * r - s 6 * - 0. S a * - r - r 0. S 0 * * S , -, - r S 0 - * -. + é a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica (a ) de razão e a. a * - a S 0 a * r - r * - S * + * * - 9. (b ) é uma progressão geométrica. b 8, b 0, S 78 * ( + ) + * * * b 0 b * r * r - 0 r r r 6 r r 6 () S 78 b * - r - r 78 8 * - r - r 78 - r - r r - r 69 6 r0 - r 69 * ( - r) 6 Substituido () em (), vem - r 6 69 ( - r) r 69-69r r 0 r 0 r Substituido r em (): r 6 r (a ) é uma progressão geométrica de razão r. S a * a a * r - a * - a - + *. (c ) é uma progressão geométrica; r ; c 8 c c r 8 6 S 8 c * - r - r 8 6 * * ( - ) termos r 6 8 a * a 6 8 * 6 a a () 8

86 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora. (a )e(b ) são progressões geométricas de razões Pág. r e r. Seja u a. 6. Em T há um triâgulo braco. Em T há três triâgulos bracos. Cada triâgulo braco dá origem a três triâgulos bracos pelo que em T há * 9 triâgulos bracos. Em T há 9 * 7 triâgulos bracos. Em T haverá 7 * 8 triâgulos bracos * + ( ) é uma progressão geométrica de razão. Como a razão é superior a e > 0, A ån, ( ) é crescete. A área de cada triâgulo braco em T é um quarto da área do triâgulo T. Como o processo se repete, a área de cada triâgulo braco em é um quarto da área de cada triâgulo braco em T : a + a Tem-se etão que (a ) é uma progressão geométrica de razão pois a +, a. Dado que a > 0, A ån e 0 < r <, (a ) é decrescete. ( ) é uma progressão geométrica crescete de razão. (a ) é uma progressão geométrica decrescete de razão. 7. Seja (a ) a sucessão de Galileu 7. u + u r a é uma progressão geométrica de razão. b r a a T + a a a a a A sucessão de Galileu é costate. Todos os termos são iguais a. Pode ser cosiderada uma progressão geométrica de razão ou uma progressão aritmética de razão Valor iicial: v Pág. v 800-0, * * ( - 0,) 800 * 0,8 60 Seja v b a + b + a b v + 0,8 * v v + v 0,8 a + * b a * b + a + a * b + b o valor do equipameto ao fim de aos. Etão, v + v - 0, * v v ( - 0,) 0,8 * v r * r r r (v ) é uma progressão geométrica de razão 0,8. Após cico aos de uso o equipameto vale cerca de 6 euros. (v é uma progressão geométrica de razão 0,8: v 60 * 0,8 ou )v * 0,8. 9. Se a, b, c estão em progressão aritmética, b - a c - b b a + c b a + c 9. Se a, b, c estão em progressão geométrica de termos positivos:.... v v * 0,8 - v 60 * 0,8 - v 60 * 0,8 ) 6 b b ac b œac a c b 0. Vamos admitir que o estudate trabalhava todos os dias do mês de Agosto:. a proposta: 0 libras. a proposta: trata-se da soma de 6 termos de uma progressão geométrica de razão sedo o primeiro termo igual a 0,0. S 0,0 * - 6-0,0 (6 - ) 6, A seguda proposta é mais vatajosa pois receberia 6, libras. u u + u -, A ån u u - * - - u u - * u - e u v u +, A ån v + u + + u u v u u + u + u + (u + ) porque u 0-, A ån v + é uma progressão geométrica de v, A ån±(v ) razão. v v * r - v v v 6 * - v u + 6 * - u + u 6 * - -. a) Área de t Pág. 6 h + h Œ h œ a * œ a œ u.a. œ h - u + u + 8

87 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. c) Área de t 0 Área de t a - a 0 a - a ± (a ) ão é uma progressão aritmética. a) p b) p *.. c) p * d) p 6 * 6. ( ) é uma progressão aritmética de razão 800 sedo Pág. 7. b) Área de t A veda de camisolas foi atigida durate o quarto mês h + h - (Abril). a a - a 9œ p p + - p ( + ) - p + - p, A ån b a * œ a œ u.a. h h 0 œ00 - h 0 œ a 0 a 0 œ u.a. a - a œ - œ œ h + h Œ9-9 Œ 7 œ7 œ p 6 p 9 p 6 8 b 000. b b + ( - ) * 800 b b m œ * œ h œ œ 9œ œ - œ œ O declive é a razão da progressão e represeta o aumeto mesal costate das vedas camisolas. No 9.8 mês, ou seja, em Setembro.. Seja (c ) a sucessão das medidas dos catetos Pág. 8. S b + b b c 8; c ; c ; c. Seja h a hipoteusa de T Medida dos catetos: cm Medida da hipoteusa: œ cm a 8 * 8 cm a * a *. A costrução de T + divide T em triâgulos geometricamete iguais. Logo, a área de é um quarto da área de T. Assim, a +, pelo que (a ) é uma progressão geométrica de razão sedo a. a, A ån Etão, a a * r - a *, ån.. a 0, * h + h œ 8 cm cm a cm ; a 8 cm ; a cm * * a 0, cm * - 0 Em alterativa, usado a calculadora gráfica com u a, verifica-se que a 0,, ou seja, a área do quito triâgulo é 0, cm * T + - ( ) - 0 * CEXMA Porto Editora. S > b + b * > ( ) > > > 0 >0 >, ( c. d.) * > 0 * > r S 0 a 0 - r * - ),67 S 0 ),67 cm.6 a 0, e a 0,. Como a área de cada triâgulo é igual a um quarto da área do triâgulo precedete, para >, as áreas dos triâgulos são iferiores a a. Logo, ão há ehum triâgulo cuja área seja igual a 0,..7 A afirmação é falsa porque (a ) é decrescete. 86

88 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora. Sejam a e f o úmero de págias que a Aa e a Pág. 9 Fátima lêem o eésimo dia, respectivamete. ;(a ) é uma progressão geométrica de razão. a a + a, ån ; (f ) é uma progressão aritmética de razão. f f + f +, ån. Sejam A e F o úmero de págias que a Aa e a Fátima já leram ao fim de dias. A a * - r - r A - F f + f * f f + ( - ) * r + ( - ) * f + F + F f + f. Número de dias que a Aa leva a ler o livro: A Aa leva 8 dias a ler o livro. Número de dias que a Fátima leva a ler o livro: A Fátima leva dias a ler o livro. A Aa e a Fátima levam, respectivamete 8 e dias a ler o livro. Logo, se a Aa acaba de ler o livro o dia 8 de Abril, a Fátima acaba-o o dia de Abril.. Seja f o úmero de cadeiras da eésima fila (f ) uma progressão aritmética de razão k, sedo f 0.. a fila: 0 Última fila: Total de cadeiras: 6 S 6 f + f * A plateia tem filas.. f F + + A a * - r - r * * ån * 6 6 Aplicado a fórmula f f + ( - ) r, vem f + ( - )k * - - * + + ( + ) 0 + k k k * ( + ) * * + - œ + * 6. Se (b ) é uma progressão geométrica de razão r Pág. 0 tem-se 6. Sedo a o capital acumulado as fim de aos a opção A e b o capital acumulado ao fim de aos a opção B, tem-se: Costruiu-se a seguite tabela, usado a calculadora: r b b. b ,0 * * ( + 0,0) 000 *,0 b 000 *,0 + 0,0 * 000 *,0 000 *,0( + 0,0) 000 *,0 b 000 *,0 b 000 *,0 r,0 a b 000 *,0 Capital acumulado Opção A Opção B 00,00 0,00 080,00 07, 0,00 08,7 60,00 7, 00,00 87,69 6 0,00 9,6 7 80,00 7,8 8 0,00 6,8 9 60,00 6, ,00 0,60 A partir do 9.8 ao a opção B é mais vatajosa. 7. Ao João cabe a quatia iicial de 0 euros e um acréscimo mesal costate de 0 euros. Assim, decorridos meses, a quatia, em euros, eistete o mealheiro do João é dada por J O Adré recebe iicialmete 0,0 Æ. As ofertas mesais da tia Beta ao Adré estão em progressão geométrica de razão. Ao fim de meses o que correspode a + ofertas a quatia, em euros, acumulada pelo Adré é dada por S + 0,0 * ,0(+ - ) A equação que traduz o problema é, etão: 0,0 ( + - ) > Resolvedo a iequação com recurso à calculadora, podemos cocluir que o Adré fica com mais diheiro o mealheiro do que o João, ao fim de 6 meses. 87

89 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Capítulo. Pág. 6 a - Logo, ão eiste lim(a ). lim(b ) lim(œ) +? lim(c ) lim(00 - ) -? lim(d ) lim( - p) -?. lim(a ) lim( ) +? 8 lim(b ) lim p +? lim(c ) lim( + ) lim(( ) * ) lim(8 ) +? lim(d ) lim - (-?) -?. lim +? e lim - a - Como lim, ão eiste lim(a ) pelo que (a ) é oscilate. se é par - se é ímpar se é par -?. - se é ímpar +? e lim - -? 7. lim(a ) lim - lim(b ) lim lim(c ) lim lim - - Resposta: (C) lim(a ) lim + lim(b ) lim + 0+ lim a lim b 0 +? + Resposta: (C) lim(u ) lim + - lim(v ) lim + 0- (v < 0, A ån) lim u v 0 -? - 0. lim(a ) lim 0 lim(b ) lim + 0 lim a b lim lim - lim (b > 0, A ån) lim + 6 lim lim(a ) lim lim(b ) lim lim(c ) lim lim(a ) lim œ Œ + + lim +? Œ +? + lim + (œ \ ) Pág. 6 CEXMA Porto Editora. lim(d ) lim lim(a ) lim - œ -? 0 lim(b ) lim - 8 lim -8 lim - -? 0 lim(c ) lim lim + Resposta: (C) 6. lim(a ) lim(- 0,999) 0 Pág. 6 lim(b ) lim 0-0 lim 0 lim(c ) lim - + lim lim 0 + lim + +? 0 lim(d ) lim + lim * lim 8 * Œ + + lim + lim(b ) lim(œ + - œ) œ (œ + - œ)(œ + + œ)?-? lim œ + + œ lim ( + ) - œ + + œ lim œ + + œ? 0. (I) é falsa. Por eemplo, a sucessão (u defiida por u (-) ) ão é moótoa e é covergete. (II) é falsa. Por eemplo a sucessão (u ) defiida por u se é par ão é limitada superiormete e ão se é ímpar é um ifiitamete grade positivo ((u ) é oscilate). 88

90 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. (I) é falsa. Por eemplo a sucessão (u defiida por u - + ) é uma sucessão decrescete de termos egativos e ão é um ifiitamete grade egativo (u S - ). (II) é verdadeira. Se u é um ifiitamete grade, qualquer que seja o úmero positivo L, eiste uma ordem a partir da qual \u > L. Etão, (u ) ão pode ser limitada.. (I) é verdadeira. Pág. 6 Se (u ) é decrescete tem-se que u u, A ån. Logo, se (u ) é decrescete e de termos positivos vem 0 < u u, AåN, pelo que (u ) é limitada. Etão (u ) é covergete porque toda a sucessão moótoa e limitada é covergete. (II) é falsa. Por eemplo a sucessão (u defiida por u + (-) ) é um ifiitamete grade positivo e ão é moótoa. 6. a (0 - ) lim a lim(0 - ) +? (a ) é um ifiitamete grade positivo. 7. a se < se 000 lim(a ) lim + lim 8. (I) é falsa. Por eemplo, as sucessão (u e defiidas por u + ) (v ) e v - são decrescetes e ão são ifiitésimos. (II) é falsa. Por eemplo, sobre a sucessão (a ) defiida por a - se se > lim a lim 0 a 0, A ån é possível afirmar: (a ) ão é decrescete (u, u ) (II) é falsa. Por eemplo, sobre a sucessão (u ), defiida por é possível afirmar que: (u ) é um ifiitamete grade positivo Se é par Se é ímpar 0. (I) é verdadeira. Se a etão lim. a 0 +? > 0, A ån a S 0 + (II) é falsa. Por eemplo, a sucessão (u defiida por u + (-) ) é limitada, tem os termos todos positivos e é divergete. Resposta: (C). Seja (c ) a sucessão dos comprimetos dos arcos. c pr sedo pr... o raio do eésimo arco.. lim(a ) lim ( + ) +? Pág se é par u se é ímpar c p c p u + - u ( + ) > 0 u + - u ( + ) c p * (c ) é uma progressão geométrica de razão. lim S lim c * lim(b ) lim +? lim(c ) lim(p ) +? lim(d ) lim + +? lim(e ) lim(- + + ) -? lim(f ) lim œ - 0 r - - p * +? lim(g ) limœ + +? - 0 p CEXMA Porto Editora 9. (I) é falsa. Pág. 6 Por eemplo a sucessão (u ) defiida por u se é par se é ímpar ão é limitada e ão é um ifiitamete grade..8 lim(h ) lim +. +?.9 lim(i ) lim(-) ; Não eiste.0 lim(j ) lim

91 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO... lim(m ) lim - - lim - -. lim(o ) lim ( - ) +?. Por eemplo:..... (u ) é ão limitada porque a subsucessão dos termos de ordem par é um ifiitamete grade.. (u ) ão é um ifiitamete grade porque a subsucessão dos termos de ordem ímpar é costate.. lim(k ) lim + + lim + lim( ) lim lim - lim 0 a se par se ímpar b - c p + u 8 + (-) * 8 u se é par 8-8 se é ímpar u 6 se é par 0 se é ímpar - se é par a se é ímpar lim(-) -; lim 0 lim +? 6. a) lim(- + ) -? Pág b) lim(6-0 + ) lim(6 ) +? lim(a 0 p + a p a p- + a p ) lim a 0 p + a a a p- a 0 + a p p p- a 0 lim a 0 p * lim + a a a p- a 0 p- + lim a 0 p * ( ) lim a 0 p 7. Por eemplo: u Pág. 68 e v lim u lim 0 lim v lim() +? lim (u * v ) lim * 7. Por eemplo: a e b - lim a lim 0 lim b lim - 0 lim a b lim - lim - - a p p a 0 CEXMA Porto Editora... (a ) ão tem limite. - b lim - lim 0 ± lim b 0 c 0 se é par se é ímpar œ + lim 0 0 lim (b ) e (c ) são ifiitésimos. a lim a lim lim a -8 \u - (-8) < 0,0 \ \ < 00 se é par se é ímpar \ \ < + 0 ± lim c 0 lim \ + \ < 00 ån 9 + < 900 < + > Por eemplo: a e b + 7. Por eemplo: a + e b lim a lim b +? lim(a - b ) lim( - - ) - lim a lim( + ) +? lim b lim(-) -? lim(a + b ) lim( + - ) u (-) * e v lim \u lim (-) * lim +? lim v lim u se é par - se é ímpar se é par + u * v - se é ímpar + lim +? 0 + lim + lim - - lim + - Logo, ão eiste lim(u * v ). 90

92 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora lim porque 0 < 0 < 0. lim porque +? 0. lim(0,8) lim(0,8) lim(0,078) 0 0. lim (,) +? a lim a b lim a lim a - lim b lim -6 0 a lim a + lim lim - lim b lim lim * + * * lim + lim + 6 lim lim (-8) (-8) + lim (-8) * (-8) + 6 * 6 + (-8) + ( ) * lim lim( - œ + ) lim ( - œ + )( + œ + ) + œ + lim - ( + ) + œ + lim lim + Œ + lim + Œ + + œ ; b lim(-) -? - ; b + ; b - 0 * (-8) * 6 + (-8) * lim > lim. Verdadeiro. Se (u ) é decrescete, u u, A ån. Pág. 69. Falso. Por eemplo u -. lim + - lim lim lim + lim * * + Œ +. Falso. Por eemplo u -.. Falso, atededo a... Falso. Por eemplo u - 9 S +? e (u ) ão é moótoa..6 Falso. Por eemplo u - é crescete e limitada..7 Falso. Por eemplo u - é crescete e u S 0..8 Falso. Por eemplo u (-) é um ifiitésimo e ão é moótoa..9 Falso. Se u > 0, A ån, lim u 0, caso eista..0 Falso. Por eemplo u 9 - S -? e ão é moótoa.. Falso. Se eistirem a e b reais tais que a < u < b, A ån etão os termos de (u ) ão podem torar-se defiitivamete superiores (ou iferiores) a qualquer úmero dado.. Verdadeiro. lim(u + v ) lim u + lim v. Verdadeiro. Por eemplo u v S +?. S 0,. Verdadeiro. Por eemplo, se a e b. Verdadeiro. Se u S 0 e v S +?,.6 Verdadeiro. Por eemplo.7 Verdadeiro..8 a) Verdadeiro. b) Falso. a.9 Falso. e lim(u * v ). a b S 0 e b a S +?. - se é par a - se é ímpar - S 0 e - S 0 se é par se é ímpar S e S 0 a + se é par - se é ímpar + S +? e - S -.0 Falso. Por eemplo, se u e v -, (u + v ) S 0. Pág. 70. Falso. Por eemplo, se u (-) + e (u ) e (v ) são divergetes u v S 0. u se é par se é ímpar e (u * v ) v (-), é covergete.. a)falso. Se b., (a * b ) (-) S 0 b) Falso. Se b 0, a + b (-) + 0 é moótoa crescete. 9

93 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. A sucessão (u ) dos úmeros pares, u, é uma progressão 8. Sejam r e r + os raios de dois círculos cosecutivos. aritmética de razão. S * + ( + ) * CEXMA Porto Editora. Se (a ) é uma progressão geométrica de razão r tal que - < r <, a soma de todos os termos de (a ) é dada por lim S lim a * - r. - r a - r.... (a ) é uma progressão geométrica de razão r, sedo - < r <. Etão, lim S a 0 0-0r - r 0 - r 0 0r 8 r 8 0 r. (a ) é uma progressão geométrica , + 0, 0 + 0, lim S lim S + œ + + œ +... lim S a ; lim S 0 r - ; lim S - lim S - a - œ + œ - + œ a - r - 0,... lim S 0,... lim S Pág Trata-se de calcular a soma de todos os termos de uma progressão geométrica (a sedo a e a razão r ) lim S a - r 00 lim S 600 0, - 0, 0, 0, a -8 cm œ - : 999: - œ 0, - 0, 0, 0, r 0, r - r œ œ œ - a - a - * 8 8 0, - 0,00 0, 0, * œœ + œ - œ Aplicado o Teorema de Pitágoras, vem: (r ) r + + r + r r + r + r Os raios dos círculos estão em progressão geométrica de œ razão. 8. Seja (c ) a sucessão das áreas dos círculos. c p(r ) c + c p(r +) ( c ) é uma progressão geométrica de razão sedo c pr. lim S c - r pr 8. Seja Q a área do quadrado iscrito o círculo de raio r. Logo, (Q ) Q ( ) ( ) + ( ) (r ) ( ) (r ) ( ) (r ) Q (r ) Q + Q (r +) é uma progressão geométrica de razão Q (r ) r. r + r r p(r ) r + - (r ) r +, sedo lim S Q - r r - r (-) + * (-) + *, A ån 9. Para ( - ) + * + œ pr r œ œ r + r Œ * (proposição verdadeira) Hipótese: A codição é verdadeira para p ( - ) p+ p ( - ) + p p+ * p r r + r + r 9

94 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora Tese: A codição é verdadeira para p (-) p+ (p + ) p+ + (p + ) (- ) * (p + ) Por hipótese vem, (-) p+ p (-) + p p+ * p Adicioado a ambos os membros (-) p+ * (p + ) (-) p+ p + (-) p+ (p + ) (-) p + + p (-) p+ (p + ) (-) p+ - + p * p + ( - ) p+ (p + ) * p + (p + ) (-) p+ (p + ) (-) p + (p + ) - p + (p + ) (-) p+ (p + ) - p + p + (-) p+ (p + ) (-) p+ (p + ) + (p + ) p+ (-) (p + ) Cocluímos etão que se a codição é verdadeira para p também é verdadeira para p + (é hereditária). Etão, pelo pricípio de idução matemática, ( - ) * (-) , A ån Para, - (proposição verdadeira) 0 Hipótese: A codição é verdadeira para p p- p- Tese: A codição é verdadeira para p p p Por hipótese, vem p- p- Adicioado a ambos os membros, p p- + p - p- + p p - p - p p - - p p - p Logo, se a codição é verdadeira para p também é verdadeira para p +. Pelo pricípio de idução matemática, , A ån - - *, A ån. S Pág. 7 + * + * ( - )( + ).. S S S S S * * + * + 6 * + * + * * + * + * * S ; S ; S 7 ; S * ( - )( + ) +, A ån Para (proposição verdadeira) ( - )( + ) * + Hipótese: A codição é verdadeira para p. + * (p - )(p + ) p p + Tese: A codição é verdadeira para p +. + * (p + )(p + ) p + p + Por hipótese vem: + * (p - )(p + ) p p + Adicioado (p + )(p + ) p p + + (p + )(p + ) a ambos os membros, + * (p - )(p + ) + (p + )(p + ) + * +... p(p + ) + + (p + )(p + ) (p + )(p + ) + * (p + )(p + ) p + p + (p + )(p + ) + * (p + )(p + ) p + p + (p + ) (p + )(p + ) + * +... p(p + ) + (p + ) + (p + )(p + ) (p + )(p + ) + * +... (p + )(p + ) + (p + )(p + ) (p + )(p + ) + * (p + )(p + ) p + p + Podemos assim cocluir que se a codição é verdadeira para p também é verdadeira para p +. Pelo pricípio de idução matemática, + * + * ( - )( + ) +, A ån 9

95 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora.. Hipótese: A codição é verdadeira para p p (p + ) 8 Tese: A codição é verdadeira para p p + (p + ) 8 Partido da hipótese, p (p + ) 8 e adicioado p a ambos os membros vem, Logo, se a codição é verdadeira para p também é verdadeira para p +.. Para vem, ( + ) p + p + 8 (p + ) + p p + 8 (p + p + ) + * 8(p + ) p + 8 (p + p + + 8p + 8) p + 8 (p + p + 9) p + (p + ) 8 ( * + ) 8 8 * 9 9 é uma proposição falsa. 8 A proposição obtida para é falsa. a Para é verdade. Hipótese: A codição é verdadeira para p. p a p p + Tese: A codição é verdadeira para p +. por hipótese Logo, se a codição é verdadeira para p também é verdadeira para p +. Dado que a codição se verifica para e é hereditária, podemos cocluir, pelo pricípio de idução matemática, que é uiversal, ou seja, a a + a - a, A ån + a p+ p + p + a p+ - a p p - p + p + p + - p p + p + +, A ån. p * * ( - 0,0) 980 * 0, p + p * 0,99 p é uma progressão geométrica de razão 0, m correspode a pois * No cimo da motaha a pressão é, aproimadamete, 868,66 hpa.. (c ) é uma progressão aritmética, sedo c, e a Pág. 7 razão igual a 0,9. 6. p p p * r - p 980 * 0,99 * (0,99) - p 980 * 0,99 p 980 * 0,99 ) 868,66 c c + ( - ) * r c, + ( - ) * 0,9 c 0,9 + 0,. c,; c,; c ; c,9; c,8. S 6,7 c + c (, + 0,9-0,9) * * 6,7, + 0,9, 0,9 +, -, 0 -, œ(,) - * 0,9 * (-,) * 0,9 * 6,7 -,,,8 Para segurar pedaços de corda são ecessários suportes. u u u - +, > Pretede-se provar que a codição u + é uiversal em N. Para u + é verdade. Hipótese: A codição é verdadeira para p. u p p + p Tese: A codição é verdadeira para p +. (p + ) + (p + ) u p+ u p+ u p + (p + ) (da fórmula de recorrêcia) p + p + (p + ) (da hipótese) (p + ) + (p + p + ) p + p + p + (p + ) + (p + ) Logo, a codição é hereditária. Dado que a codição se verifica para e é hereditária, podemos cocluir que é uiversal em N, ou seja, u +, A ån., +, + ( - ) * 0,9 ån * 6,7 9

96 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 7. u (-) lim - lim 0 (u ) é covergete e, portato, é limitada. 0 se é ímpar v + (-) * se é par Atededo a que lim 0 0 e lim () +? podemos cocluir que (v ) é divergete. v 0, A ån, logo, (v ) é limitada iferiormete. ( v ) ão é limitada porque a subsucessão dos termos de ordem par é um ifiitamete grade. w + + lim w lim + lim * + lim + ( w ) é covergete. Logo, é limitada. (u ) e (w ) são covergetes, dado que u S 0 e w S. Logo, são limitadas. A sucessão (v ) é divergete (é oscilate), e ão limitada, embora limitada iferiormete (v 0, A ån) se é ímpar a (-) se é par ( a ) é limitada (- a, A ån) e é divergete. b lim b lim (b ) é covergete sedo lim b Logo, (b ) é limitada.. b c a * b (-) * b se é par -b se é ímpar ( ) é divergete porque b S e - b S -. c - se é ímpar se é par lim 9. u Pág. 7 a 9. (u ) é covergete se e só se Recebeu 7000 Æ o ao Ordeado em 00: 00 ( + 0,0) 00 *,0 0 Ordeado em 00: 0 *,0 0,80 No ao de 00 recebia 0,80 Æ de ordeado. 0. Os ordeados etão em progressão geométrica de razão,0 sedo o primeiro termo a 00. O valor pedido correspode a vezes a soma dos primeiros 0 termos de (a )... u Durate 0 aos recebeu, aproimadamete, 08 6, Æ. u + a * * a u * a - < a - < a a å -, 9. (u a ) é divergete e limitada se e só se - a - 0. * * 00 * S 0 * a * - r0 - r u + ) 08 6, Æ u ; u ; u ; u ; u 6 * 00 * -,00 -,0 CEXMA Porto Editora ( c ) é limitada porque (b ) e (-b ) são limitadas dado serem covergetes. d + + lim d lim + lim + + * * (0 +?) +? (d ) é divergete e é limitada dado ser um ifiitamete grade. (a ), (b ) e (c ) são limitadas. ( b ) é covergete, sedo lim (b ). lim u + - u ( + ) u + - u (u ) é moótoa decrescete. u <, A ån - < 0, A ån ( + ) < +, A ån < u, A ån ± (u ) é limitada 9

97 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. lim u lim + lim. Seja f o úmero de flores a figura úmero. CEXMA Porto Editora lim u e a partir do termo de ordem 000 os termos de (u ) são valores aproimados de com erro iferior a 0,00.. Por eemplo, se v - e, portato,, lim v - lim (u + v ) + (-) 0. (por eemplo). (r ) é uma progressão geométrica de razão r Pág. 7 sedo r e r r * r \u - < 0,00 \ + \ + - \ < 000 < 000 > 000 v - r 6 * - r < 0,00 6 * - < 0,00 r < 0,00 > lim S a - r 6 - Soma dos raios cm a p * (r ) a p * 6 * - p * 6 * (-) a 6 p * - (a ) é uma progressão geométrica de razão r sedo a 6 p. A soma das áreas dos círculos de cetros c é dada por lim S a - r 6p Área da parte colorida Área da parte colorida P p(r ) P p * 6 - P p - lim P lim p - p * 0 0 P S 0 > - - \ < 0,00 8p cm * 6p p * - 8p p - 8p 96p 96p cm. (f ) é uma progressão aritmética de razão, sedo f f f f 7 f 0 f f + f +, A ån f f + ( - ) * f + - f -, A ån f 00 * A cetésima figura tem 98 flores. S 00 f + f 00 São ecessárias 90 flores. f > 00 - > 00 > 0 > 0 > 67 A figura ocupa uma posição superior à 67. a. lim * lim - * + + lim - * + * + * lim + * œ - œ + se é par ( œ - œ + )( - ) - ( œ - œ + ) se é ímpar lim(œ - œ + ) (?-? œ - œ + )( œ + œ + ) lim œ + œ + - ( + ) lim œ + œ + lim - (œ - œ + ) -lim(œ - œ + ) Logo, lim (œ - œ + )( - ) 0 a p * p * p a * p * * p * p a 9 * p * 6 9 * p * 9 p a * p * * p * p a p lim a p * lim - - * * lim * * œ + œ + - +? 0 Pág

98 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. Seja ( ) a sucessão das medidas dos raios. ( ) é uma progressão geométrica de razão.. Seja (a ) a sucessão das áreas e (p ) a sucessão dos perímetros dos círculos. Como * é a sucessão dos raios, tem-se: a p * ( ) p * - * 6 p p p * * 6-8p 6 - A sucessão dos perímetros, é uma progressão geométrica de razão e a sucessão das áreas, é uma progressão geométrica de razão. 6. Seja c o comprimeto da eésima semicircuferêcia e Pág. 77 o seu raio: r * 6p * 6 - r e + 6 * r - * 6 - r + 0,9 r (r ) é uma progressão geométrica de razão 0,9. r r * 0,9 - r * 0,9 - Etão, c p * r 6 - c p * (0,9) p * * 0,9 - p * 6 * 6 - p 8p 6 -, 6 ; 6 a 6p * 6 -, (c ) é uma progressão geométrica de razão 0,9 sedo c p. S p * - 0,9 é o comprimeto das primeiras semicircuferêcias. - 0,9 p p * p p lim p lim p 0 a p * a p * a p lim a lim p 0 c - * a c 6 - * p c 6 - p p lim c lim úmero de bilhetes vedidos Pág receita em euros 0,9 6 total do lucro a dividir pelos três grupos 0, a - 00 lucro de cada grupo a, a 00, O lucro é de 60 euros a 970, O lucro é de 6 Æ 8. h 60 mi t h 8 mi t 8 60 h a 0 + < 0,; a 0 + < 0,; a ,; a < 0,; a < 0,7; a < 0,; a < 0,; a 0,; a < 0,; a < 0,7. Estes valores represetam o tempo gasto pelo professor, em horas semaais, com,,, ou aluos, respectivamete. 8. Tempo gasto por aluo: h Tempo total gasto por semaa: a a * 00 ) horas.. S 0 p * - (0,9)0-0,9 lim S < 6,9 cm p - 0,9 p 0p cm 0, 8. horas a No máimo, o professor por ter 7 aluos. CEXMA Porto Editora 6. Na figura há círculo de raio Na figura há círculos de raio Na figura há círculos de raio... Na figura há círculos de raio 9. a 6 - Pág. 79 a ; a 7; a ; a 9 9. Em cada figura a partir da seguda são acrescetados 6 cubos à figura aterior Etão, a é uma progressão aritmética de razão 6. Como a, vem a + ( - ) 6 a

99 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 9. a N. 6 Não é possível porque a equação 6-80 é impossível em N. 9. S 0 a + a 0 0 ( ) cubos 0. A + é a soma S de termos de uma A + A A progressão geométrica (a de razão r ). lim S a - r A - A T 0. Seja h a altura do triâgulo [RST] h + 8 h 8 8 h h œ8 h œ A área de [RST] 8 œ 6œ cm R S Etão, como a área S da região limitada pelo arco de parábola e por [RS] é S, vem A. cm Pág. 80. S 6œ cm 6 + œ8 œ (œ) + (œ) œ + P cm 8 cm A cm cm a + a Œ * a Œ œ a a p a p + œ p + œ a a a a a + œ a a + a a œ cm V V a V a a ; (a ) é uma progressão geométrica de razão.. Soma das áreas: lim S 6 - A soma das áreas dos quadrados é cm. Soma dos perímetros: A soma dos perímetros dos quadrados é ( + 6œ) cm.. Seja f o úmero de flores da figura úmero.. p + œ p œ (p ) é uma progressão geométrica de razão. - p p œ - p 6 œ a + a a a 6 lim S f f f f 8 f 6 f 6. (f ) é uma progressão geométrica de razão. f f - f - œa a a a œ ( + œ) ( - œ)( + œ) + 6œ 6 - œ 6 - œ ( + œ) 6( + œ). S 0 f Na fase são acrescetados m m. Logo, a fase o comprimeto total de todos os ramos da árvore é ( * ) m, ou seja, () metros. CEXMA Porto Editora 98