NOTAÇÕES. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

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Geovane Oswaldo Frade Amado
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1 R C : cojuto dos úmeros reais : cojuto dos úmeros complexos i : uidade imagiária: i2 = 1 z Re(z) Im(z) det A : módulo do úmero z E C : parte real do úmero z E C : parte imagiária do úmero z E C : determiate da matriz A NOTAÇÕES tr A : traço da matriz quadrada A, que é defiido como a soma dos elemetos da diagoal pricipal de A. Potêcia de matriz : A1 = A, A2 = A A,..., Ak = Ak-1 A, sedo A matriz quadrada e k. d (P, r) AB : distâcia do poto P à reta r : segmeto de extremidades os potos R B [a,b] = {x E R : a < x < b} [a,b[ = {x E R : a < x < b} ]a,b] = {x E R : a < x < b} ]a, b[ = {x E R : a < x < b} X \ Y = {x E Xex E Y} ak = a0 + a1+ a2 + + a, sedo iteiro ão egativo k=0 Observação: Os sistemas de coordeadas cosiderados são os cartesiaos retagulares. Q u estão 1. Cosidere as seguites afirmações sobre úmeros reais: f 1 = ^ 2 _. =o (V2 i)v2ã i 2V2 x x III, l tfê2 + (log3 2)(log4 9) é um úmero racioal, É (são) verdadeira(s): A ( ) ehuma, B ( ) apeas II, C ( ) apeas I e II, D ( ) apeas I e III, E ( ) I, II e III,

2 Q uestão 2. Sejam A, B e C os subcojutos de C defiidos por A = {z E C : z + 2 3i < VT9], B = {z E C : z + i < 7/2} e C = {z E C : z2 + 6z + 10 = 0} Etão, (A \ B) f C é o cojuto A ( ) { 1 3i, 1 + 3i}. B ( ) { 3 i, 3 + i}. C ( ) { 3 + i}. D ( ) { 3 i}. E ( ){ 1 + 3i}. X 10 Q uestão 3. Se z = ^, etão o valor de 2 arcse(re(z)) + 5 aretg(2 Im(z)) é igual a 1 3i A ( ). B ( ) C ( ). D ( ). E ( ) Q uestão 4. Seja C uma circuferêcia tagete simultaeamete às retas r : 3x + 4y 4 = 0 e s : 3x + 4y 19 = 0. A área do círculo determiado por C é igual a A ( ) A B ( ) C C ( ) A D ( ) 2 E ( ) A i ; 4 Q uestão 5. Seja (a1, a2, a3,...) a seqüêcia defiida da seguite forma: a1 = 1 a2 = 1 e a = a-1 + a-2 para > 3, Cosidere as afirmações a seguir: I, Existem três termos cosecutivos, ap, ap+1,ap+2, que, esta ordem, formam uma progressão geométrica, II, a7 é um úmero primo, É (são) verdadeira(s) a A ( ) apeas II, B ( ) apeas I e II, C ( ) apeas I e III, D ( ) apeas II e III, E ( ) I, II e III, a b Q uestão 6. Cosidere a equação = 5, com a e b úmeros iteiros positivos, Das 1 x2 x 1/2 afirmações: I, Se a = 1 e b = 2, ratão x = 0 é uma solução da equação, II, Se x é solução da equação, etão x = 1, x = 1 e x = 1, III, 2 x = - ão pode ser solução da equação, 3 É (são) verdadeira(s) A ( ) apeas II, B ( ) apeas I e II, C ( ) apeas I e III, D ( ) apeas II e III, E ( ) I, II e III, Q uestão 7. Cosidere o poliômio p dado por p(x) = 2x3 + ax2 + bx 16, com a,b E R. Sabedo-se que p admite raiz dupla e que 2 é uma raiz de p, etão o valor de b a é igual a A ( ) 36. B ( ) 12 C ( ) 6. D ( ) 12 E ( ) 24.

3 Q uestão 8. Seja p o poliômio dado por p(x) = ajxj, com aj E R, j = 0,1,..., 15 e a15 = 0. j=0 Sabedo-se que i é uma raiz de p e que p(2) = 1, etão o resto da divisão de p pelo poliômio q, dado por q(x) = x3 2x2 + x 2, é igual a A ( ) 5 x2 5' B < ) 5 x 2 + 5' C ( > 5 x D ( ) 3x2 3 E ( ) 3 x ; 5 5 W Questão 9. Cosidere todos os triâgulos retâgulos com os lados medido y / a, 2y / a e a. Detre esses triâgulos, o de maior hipoteusa tem seu meor âgulo, em radiaos, igual a V^3 '\/ A ( ) aretg B ( ) aretg C ( ) aretg D ( ) aretg E ( ) aretg Questão 10. Os valores de x E [0, 2] que satisfazem a equação 2 se x cos x = 1 são A ( ) areeos ^ 3 ^ e. B ( ) arese ^ 3 ^ e. C ( ) are se ^ 4^ e. D ( ) areeos ( 4 j e. E ( ) areeos f 4 j e. Questão 11. Sejam a e / reais tais que a,/, a + / E ]0, 2[ e satisfazem as equações 2 a 4 4 a 1 2 / 4 4 / 3 cos = - cos e cos = - cos Etão, o meor valor de cos(a + / ) é igual a A( ) 1 B( ) A 3. C( ) 7^. D( ) i E( )0. Questão 12. Seja A = ( a j)5x5 a matriz tal que a j = 2* 1(2j 1 ) 1 < i, j < 5. Cosidere as afirmações a seguir: I. Os elemetos de cada liha i formam uma progressão aritmétiea de razão 2*. A É (são) verdadeira(s) j A ( ) apeas I. B ( ) apeas I e II. C ( ) apeas II e III. D ( ) apeas I e III. E ( ) I, II e III.

4 Q uestão 13. Cosidere a matriz M = (m^ )2x2 tal que m^ = j i + 1 i,j = 1, 2, Sabedo-se que det ^ Mk vk= , 4 5 C Q uestão 14. Cosidere os potos A = (0, 1), B = (0,5) e a reta r : 2x 3y + 6 = 0. Das afirmações a seguir: (A, r) = (B, r) B A r III. AB é base de um triâgulo equilátero ABC, de vértice C = ( 3 ^, 2) ou C = (3v^3, 2). É (são) verdadeira(s) apeas A M I. B M II. C ( ) I e II. D ( ) I e III. II e III. 25 A 4, e a reta r : 3x + 4y 12 = 0, cosidere o triâgulo de 6 25 vértices ABC, cuja base B C está cotida em r e a medida dos lados AB e AC é igual a, Etão, 6 a área e o perímetro desse triâgulo são, respectivamete, iguais a A ( ) e, W e, C e, 3 3 v ; D ) e, W E ( ) e, K J 3 3 Q u estão 16. Cosidere as afirmações a seguir: I, O lugar geométrico do poto médio de um segmeto A B com comprimeto l fixado, cujos extremos se deslocam livremete sobre os eixos coordeados é uma eireuferêeia, fiito o plao eartesiao R 2, (2, 3) (4, 1) (3, 1) Destas, é (são) verdadeira(s) (x, y) 6x3 + x2y xy2 4x2 2xy = 0 A ( ) apeas I, D ( ) I e II. apeas II, I e III. C ( ) apeas III, Q uestão 17. Seja ABCD um trapézio isósceles com base maior AB medido 15, o lado AD medido 9 e o âgulo AD B reto, A distâcia etre o lado AB e o poto E em que as diagoais se cortam é A í ) 21. B ( ), C O 35 D ( ). E ( ) 45. w 8 W 8 i ; 8 W 8 i ; 8

5 Q uestão 18. Num triâgulo PQR, cosidere os potos M e N pertecetes aos lados PQ e P R respectivamete, tais que o segmeto M N seja tagete à circuferêcia iscrita ao triâgulo PQR. Sabedo-se que o perímetro do triâgulo PQ R é 25 e que a medida de QR é 10, etão o perímetro PM N A ( ) 5. B ( ) 6. C ( ) 8. D ( ) 10. E ( ) 15. Q uestão 19. Cosidere uma circuferêcia C, o primeiro quadrate, tagete ao eixo Ox e à reta r : x y = 0, Sabedo-se que a potêcia do poto O = (0, 0) em relação a essa circuferêcia é igual a 4, etão o cetro e o raio de C são, respectivamete, iguais a A ( ) (2, 2^2 2) e 2R2 2. C ( ) (2, V 2 1) e V V 2 V 2 1 2, e D ( ) (2, 2 V2) e 2 V2. E ( ) (2, 4 ^ 4) e 4^2 4. Q uestão 20. Uma taça em forma de coe circular reto cotém um certo volume de um líquido cuja superfície dista h do vértice do coe. Adieioado-se um volume idêtico de líquido a taça, a superfície do líquido, em relação à origial, subirá de h A ()^ 2 h. B()^2 1 C ( ) ( 32 1)h. D ()h. E ( ) h. AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, N U M E R A D A S DE 21 A 30, DEVEM SER RESOLVIDAS E R ESPO N D ID A S NO CADERNO DE SOLUÇÕES. Questão 21. Cosidere as fuções f 1; f 2, f : R ^ R, sedo f 1(x) = 2 x + 3 f 2(x) = x + 1 e f (x) igual ao maior valor etre f 1(x) e f 2(x), para eada x E R. Determie: a) Todos os x E R tais que f 1(x) = f 2(x). f f(x) = 5 Questão 22. Cosidere o poliômio p dado por p(z) = 18z3 + / z 2 7z R em que / é um úmero real. a) Determie todos os valores de / sabedo-se que p tem uma raiz de módulo igual a 1 e parte imagiária ão ula. b) Para cada um dos valores de / obtidos em a), determie todas as raízes do poliômio p. Questão 23. Sabe-se que 1, B, C, D e E são cico úmeros reais que satisfazem às propriedades: (i) B, C, D, E são dois a dois distitos; 1, B, C, 1, C, E, B, C, D, E, B, C, D, E

6 Questão 24. Seja M C R dado por M = { z2 + az 1 : z E C e z = 1}, com a E R. Determie o M a Q uestão 25. Seja S o cojuto de todos os poliômios de grau 4 que têm três dos seus coeficietes iguais a 2 e os outros dois iguais a 1. S b) Determie o subcojuto de S formado pelos poliômios que têm 1 como uma de suas raízes. A B C A recebe um cartão em braco e ele assiala o sial + ou o sial, passado em seguida a B, que A C 1/3 A + 2/3 B C A + Questão 27. Seja um iteiro positivo tal que se = \ , 2 4 b) Determie se. ; 24 Questão 28. Sejam a e fí úmeros reais ão ulos. Determie os valores de b, c, d, bem como a relação etre a e fí para que ambos os sistemas lieares S e T a seguir sejam compatíveis idetermiados. Questão 29. Sabe-se que a equação 3x2 + 5xy 2y2 3x + 8y 6 = 0 represeta a reuião de duas retas cocorretes, r e s, formado um âgulo agudo 6, Determie a tagete de 6, Questão 30. Na costrução de um tetraedro, dobra-se uma folha retagular de papel, com lados de 3 em e 4 em, ao logo de uma de suas diagoais, de modo que essas duas partes da folha formem um âgulo reto e costituam duas faces do tetraedro, Numa seguda etapa, de maeira adequada, eompleta-se com outro papel as faces restates para formar o tetraedro. Obteha as medidas das arestas do tetraedro.

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