COMENTÁRIO DA PROVA. I. Se a expansão decimal de x é infinita e periódica, então x é um número racional. é um número racional.

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1 COMENTÁRIO DA PROVA Como já er esperdo, prov de Mtemátic presetou um bom úmero de questões com gru reltivmete lto de dificuldde, s quis crcterístic fudmetl foi mescl de dois ou mis tems em um mesm questão Isto premi o luo que sbe relcior diferetes tópicos mtemáticos, mesmo que, ão rro, cd um deles teh sido solicitdo de modo imedito Assim, embor ão teh presetdo qulquer questão icomum, creditmos que prov vi, relmete, selecior os cdidtos mis bem preprdos Professores de Mtemátic do Curso Positivo ) Cosidere s seguites firmções sobre úmeros reis: I Se expsão deciml de x é ifiit e periódic, etão x é um úmero rciol II III e log 9 log é um úmero rciol É (são) verddeir(s): ) ehum b) pes II c) pes I e II d) pes I e III e) I, II e III I Verddeir Se um úmero é rciol, etão correspodete expsão deciml é fiit ou é ifiit e periódic II Fls III Verddeir log log 9 e log log 9 log e e log Q Gbrito: D

2 ) Sejm A, B e C os subcojutos de C defiidos por A C : i 9, B = { C: + i < 7/} e C = { C : = } Etão, (A \ B) C é o cojuto: ) { i, + i} ) { i, + i} c) { + i} d) { i} e) { + i} C = { C: = } = = - ( + ) = - + = i = - i Logo, C = {- + i; - i} Observe que (- + i) A, pois (- + i) + ( i) = - i = 9 Por outro ldo, (- + i) B, pois (- + i) + i = - + i = 7 Assim, (- + i) (A \ B ) C Etretto, (- i) (A \ B ) C, pois (- i) B Portto, (A \ B ) C = { - + i } Gbrito: C

3 ) Se i i, etão o vlor de rcse(re()) + rctg( Im()) é igul : ) b) c) d) e) i i i i i i i cos i se cos cos i se i se i Re e Im Logo, tem-se: rc se Re rc tg rc se 6 Im rc tg rc tg Portto: rc sere rc tg Im Gbrito: D

4 ) Sej C um circuferêci tgete simultemete às rets r: x + y = e s: x + y 9 =, A áre do círculo determido por C é igul : ) b) c) d) e) As rets r e s são prlels, pois presetm os mesmos coeficietes gulres Assim, distâci etre s rets é o diâmetro d circuferêci Logo: R R 9 A áre do círculo determido por C é dd por: S 9 S Gbrito: E

5 ) Sej (,,, ) sequêci defiid d seguite form: =, = e = pr > Cosidere s firmções seguir: I Existem três termos cosecutivos, p, p+, p+, que, est ordem, formm um progressão geométric II 7 é um úmero primo III Se é múltiplo de, etão é pr ) pes II b) pes I e II c) pes I e III d) pes II e III e) I, II e III I Fls Se ( p, p+, p+ ) formm, est ordem um PG, etão: ( p+ ) = ( p ) ( p+ ) Ms, p+ = p+ p, etão: ( p+ p ) = ( p ) ( p+ ) ( p+ ) ( p+ ) ( p ) + ( p ) = p p p p, pois p+ > p Como p+ e p são ecessrimete úmeros iteiros positivos, o quociete ão pode ser um úmero irrciol Logo, ão existem três termos cosecutivos que estejm em progressão geométric II Verddeir A sequêci presetd é de Fibocci: (,,,,, 8,,,,, 89,, ) Logo, 7 = e é um úmero primo III Verddeir Sej k um úmero turl ão ulo Os termos d form k- são ímpres Os termos d form k- são ímpres Como k = k- + k-, os termos d form k, com k turl ão ulo, são pres Gbrito: D

6 b 6) Cosidere equção, com e b úmeros iteiros positivos x x Ds firmções: I Se = e b =, etão x = é um solução d equção II Se x é solução d equção, etão x, x e x III x ão pode ser solução d equção ) É (são) verddeir(s) ) pes II b) pes I e II c) pes I e III d) pes II e III e) I, II e III x x I Verddeir b x b x x b x x x x b + bx = (x x + x ) x b + bx = x x + x x + (b ) x + ( ) x + ( b) = Se = e b =, etão: x x 8x = x (8x x 8) = x = ou 8x x 8 = Logo, x = é um solução d equção 6

7 II Verddeir Devido às codições de existêci dos termos d equção, temos x, x e x III Verddeir Se x, etão: b b b b Como e b são úmeros iteiros positivos, ecessrimete, ( b) é um úmero múltiplo de Porém, ão é múltiplo de, de modo que x ão pode ser solução d equção Gbrito: E 7

8 7) Cosidere o poliômio p ddo por p(x) = x + x + bx 6, com, b IR Sbedo-se que p dmite ri dupl e que é um ri de p, etão o vlor de b é igul : ) -6 b) - c) 66 d) e) Se fosse ri dupl, pel relção de Girrd do produto ds ríes, outr ri seri tmbém igul, ou sej, seri ri tripl Logo, ão pode ser ri dupl Dest form, sejm, e s ríes de p Pelo produto ds ríes, temos: = 8 = = Como é ri dupl, ecessrimete, = Assim, p(x) = (x + ) (x ) p(x) = x + x 8x 6 Dest form, = e b = 8, ou sej, b = 8 = Gbrito: B 8

9 8) Sej p o poliômio ddo por x p x j j, com j IR, j =,,,, e j Sbedo-se que i é um ri de p e que p() =, etão o resto d divisão de p pelo poliômio q, ddo por q(x) = x x + x, é igul ) b) c) d) e) x x x x x Observe que q(x) = (x ) (x + ) Assim, se o divisor possui gru, o gru máximo do resto é, ou sej, o resto é d form R(x) = x + bx + c Logo: De (II), tem-se: p(x) = (x ) (x + ) M(x) + x + bx + c, em que M(x) é o quociete p() = + b + c = (I) p(i) = - + bi + c = (II) p(-i) = - bi + c = (III) (c ) + bi = + i c = e b = Substituido e (I), tem-se: + + = = c Portto, R x x Gbrito: B 9

10 9) Cosidere todos os triâgulos retâgulos com ldos medido, e Detre esses triâgulos, o de mior hipoteus tem seu meor âgulo, em rdios, igul : ) rctg d) rctg b) rctg e) rctg c) rctg Como, pois >, hipoteus pode ter medid ou Se hipoteus tiver medid, por Pitágors, temos: = + ( ) = = ou = (ão covém) Neste cso, os ldos do triâgulo medirim, e Se hipoteus tiver medid, por Pitágors, temos: = + ( ) = = ou = (ão covém) Neste cso, os ldos do triâgulo terim medids, e Como, o triâgulo de mior hipoteus possui um meor âgulo, tl que: Gbrito: C tg rctg

11 ) Os vlores de x [, π] que stisfem equção se(x) cos(x) = são: ) rccos e b) rcse e c) rcse e d) rccos e e) rccos e se(x) cos(x) = se(x) = cos(x) [se(x) ] = cos (x) se (x) se(x) + = se (x) se (x) se(x) = se x x ou se Se se(x) =, etão cos(x) = -, ou sej, x = Se se x, etão cos x Portto, os vlores de x são rccos ou Gbrito: A

12 ) Sejm α e β úmeros reis tis que α, β, α + β ], π[ e stisfem s equções cos cos e cos cos Etão, o meor vlor de cos(α + β) é 7 7 igul ) b) c) d) e) Fedo cos x e cos y, temos: x x e y y 7 7 x x + = e y 7y + = x x e y y x ou x e y ou y Logo: cos ou cos e cos ou cos Observdo que cos cos cos cos Além disso:, temos: cos (ão covém, pois α ], π[) cos ou cos cos ou cos

13 ou cos cos cos ou Observe que, se: cos Dest form, coclui-se que: 6 cos Portto, existem dois pres possíveis: e ou e Assim, existem dois vlores possíveis pr cos( + ): 6 7 cos cos cos Ou 6 cos cos cos O meor vlor é cos Gbrito: B

14 ) Sej A = ( ij ) x mtri tl que ij = i (j ), < i, j < Cosidere s firmções seguir: I Os elemetos de cd lih i formm um progressão ritmétic de rão i II Os elemetos de cd colu j formm um progressão geométric de rão III tr A é um úmero primo É (são) verddeir(s) ) pes I b) pes I e II c) pes II e III d) pes I e III e) I, II e III A mtri A é dd por: A I Verddeir A primeir lih é um PA de rão A segud lih é um PA de rão A terceir lih é um PA de rão 8 A qurt lih é um PA de rão 6 A quit lih é um PA de rão II Verddeir Tods s colus formm progressões geométrics de rão III Verddeir Gbrito: E tr(a) = = 7 que é um úmero primo

15 ) Cosidere mtri M = (m ij ) x tl que m ij = j i +, i, j =, Sbedo-se que det k k M, etão o vlor de é igul : ) b) c) 6 d) 7 e) 8 A mtri M é dd por: M M 6 M Por idução, pode-se provr que: k M k, pr todo k turl ão ulo Logo: k k M M M M M 6 M k k M k k Além disso, temos: M k k

16 k Se det M k, etão: ( + ) = + = ( 6) ( ) = Como é iteiro e positivo, coclui-se que = 6 Gbrito: C 6

17 ) Cosidere os potos A = (, ), B = (,) e ret r : x y + 6 = Ds firmções seguir: I d(a,r ) = d(b,r ) II B é simétrico de A em relção à ret r C, ou III AB é bse de um triâgulo equilátero ABC, de vértice C, É (são) verddeir(s) pes: ) I b) II c) I e II d) I e III e) II e III I Verddeir II Fls d A, r d B, r A, r db r d, O coeficiete gulr d ret que pss pelos potos A e B é ddo por: m AB 6 Logo, ret que pss por A e B é verticl e, portto, ão possui coeficiete gulr Como ret r ão é horiotl, pois o correspodete coeficiete gulr é diferete de ero, coclui-se que B ão é simétrico de A em relção à ret r III Verddeir Se os potos A e B são vértices de um triâgulo equilátero e pertecem o eixo ds ordeds, etão o ldo do triâgulo mede ( ) = 6 e bsciss d ltur é dd por: 6 h h h O poto médio d bse tem bsciss dd por y C Portto, AB é bse de, C, um triâgulo equilátero ABC, de vértice C ou Gbrito: D 7

18 ) Ddos o poto A, e ret r: x + y =, cosidere o triâgulo de 6 vértices ABC, cuj bse BC está cotid em r e medid dos ldos AB e AC é igul Etão, áre e o perímetro desse triâgulo são, respectivmete, iguis 6 ) / e / b) / e / c) / e / d) / e / e) / e / A distâci de A té r é igul à ltur do triâgulo reltiv o vértice A: h 6 Aplicdo Pitágors o triâgulo em destque, temos: 6 b 6 b 6 9 b Áre do triâgulo ABC: S Perímetro do triâgulo ABC: Gbrito: E p 6 6 8

19 6) Cosidere s firmções seguir: I O lugr geométrico do poto médio de um segmeto AB, com comprimeto fixdo, cujos extremos se deslocm livremete sobre os eixos coordedos é um circuferêci II O lugr geométrico dos potos (x,y) tis que 6x + x y xy x xy = é um cojuto fiito o plo crtesio IR III Os potos (,), (, -) e (,) pertecem um circuferêci Dests, é (são) verddeir(s) ) Apes I b) Apes II c) Apes III d) I e II e) I e III I Verddeir Utilido o teorem de Pitágors o triâgulo destcdo, temos: x y x y O lugr geométrico é um circuferêci de cetro (, ) e rio II Fls 6x + x y xy x xy = x (x + y) (x y ) = x = ou x + y = ou x y = O lugr geométrico correspode três rets o plo crtesio Como existem ifiitos potos em cd um, o cojuto é ifiito III Fls 9

20 Três potos o plo crtesio só ão pertecem um circuferêci qudo estão lihdos Logo, pr verificr se os três potos pertecem um mesm circuferêci, podemos clculr o coeficiete gulr s rets que pssm por dois desses potos: m m y x y x Os coeficietes gulres iguis idicm que os potos estão lihdos Portto, os potos (,), (, -) e (,) ão pertecem um circuferêci Gbrito: A

21 7) Sej ABCD um trpéio isósceles com bse mior AB medido, o ldo AD medido 9 e o âgulo AD ˆ B reto A distâci etre o ldo AB e o poto E em que s digois se cortm é: ) /8 b) 7/8 c) /8 d) 7/8 e) /8 Utilido o teorem de Pitágors o triâgulo retâgulo ABD, temos: (AB) = (AD) + (BD) = 9 + (BD) BD = Pelo fto de o trpéio ABCD ser isósceles, observ-se que: BD = AC =, AE = BE e DE = CE Utilido o teorem de Pitágors o triâgulo retâgulo ADE, temos: (AE) = (AD) + (DE) (AE) = (AD) + (BD BE) (AE) = (AD) + (BD AE) (AE) = 9 + ( AE) (AE) = 8 + (AE) + (AE) (AE) = AE Utilido o teorem de Pitágors o triâgulo retâgulo AEF, temos: (AE) = (AF) + (EF) EF Gbrito: E 8 EF

22 8) Num triâgulo PQR, cosidere os potos M e N pertecetes os ldos PQ e PR, respectivmete, tis que o segmeto MN sej tgete à circuferêci iscrit o triâgulo PQR Sbedo-se que o perímetro do triâgulo PQR é e que medid de QR é, etão o perímetro do triâgulo PMN é igul : ) b) 6 c) 8 d) e) Pel propriedde geométric ds tgetes um circuferêci determids por um poto exterior, temos: MA = MS, NC = NS, QA = QB e RB = RC Se QR =, etão QB + RB = ou QB + QA + RB + RC = Se o perímetro do triâgulo PQR é igul, etão: QB + QA + RB + RC + PM + MA + PN + NC = + PM + MS + PN + NS = PM + (MS + NS) + PN = PM + MN + PN = Logo, o perímetro do triâgulo PMN é igul Gbrito: A

23 9) Cosidere um circuferêci C, o primeiro qudrte, tgete o eixo Ox e à ret r : x y = Sbedo-se que potêci do poto O = (,) em relção ess circuferêci é igul, etão o cetro e o rio de C são, respectivmete, iguis : e ), b), e e c), d), e), e e Observe ilustrção: Se potêci do poto O em relção à circuferêci é igul, etão: (OT) = OT = Do triâgulo retâgulo OCT, temos: tg, CT OT R R tg,

24 Observdo que tg tg tg tg, tg, tg e fedo =,º, temos: tg, tg, tg, tg, tg, Dest form: R E s coordeds do cetro são, Gbrito: A

25 ) Um tç em form de coe circulr reto cotém um certo volume de um líquido cuj superfície dist h do vértice do coe Adiciodo-se um volume idêtico de líquido tç, superfície do líquido, em relção à origil, subirá de: ) h b) c) h d) h h e) Observe ilustrção: Relciodo os volumes dos dois coes com s respectics lturs, temos: d h V h V d h d h d h Gbrito: C d h

26 ) Cosidere s fuções f, f, f : IR IR, sedo f x x, f x x e f (x) igul o mior vlor etre f (x) e f (x), pr cd x IR Determie: ) Todos os x IR tis que f (x) = f (x) b) O meor vlor ssumido pel fução f c) Tods s soluções d equção f(x) = ) f (x) = f (x) x x x 6 x Pr x <, temos: x + 6 = ( x ) 9 x Pr - < x <, temos: x + 6 = (x + ) x (ão covém, pois < x < ) Pr x >, temos: x + 6 = (x + ) x Logo: 9 S ; b) Observe os gráficos ds fuções f e f : 6

27 Se f(x) ssume o mior vlor etre f (x) e f (x), etão o gráfico de f é o seguite: Dest form, o vlor míimo de f é igul c) Pelo gráfico, observ-se que existem dois vlores de x pr os quis f(x) = Como f (x) > f (x) pr x > /, etão pr f(x) =, tem-se: f (x) = 7 x x Pr -9/ < x <, temos f (x) > f (x) Logo: f (x) = x x 7 Portto, s soluções de f(x) = são x ou x 7

28 ) Cosidere o poliômio p ddo por p() = 8 + β 7 β em que β é um úmero rel ) Determie todos os vlores de β sbedo-se que p tem um ri de módulo igul e prte imgiári ão ul b) Pr cd um dos vlores de β obtidos em ), determie tods s ríes do poliômio p ) Sejm s ríes de p: r; x + yi; x yi, em que x + y = Pels relções de Girrd, temos: r r r x yi x yi x yi r x yi x yi x yi x yi x yi r x 8 7 rx x y 8 r x y 8 r x 8 7 rx 8 r 8 Resolvedo, temos: x 6 r

29 b) Pr =, temos x e x + y =, ou sej, 6 y 6 Neste cso, os eros de p são i ; e i Pr = -, temos x e x + y =, ou sej, 6 y 6 Neste cso, os eros de p são i ; e i

30 ) Sbe-se que, B, C, D e E são cico úmeros reis que stisfem às proprieddes: I) B, C, D, E são dois dois distitos; II) os úmeros, B, C, e os úmeros, C, E, estão, est ordem, em progressão ritmétic; III) os úmeros B, C, D, E, estão est ordem, em progressão geométric Determie B, C, D, E Se (B, C, D, E) estão em PG, etão C = Bq, D = Bq e E = Bq, em que q é rão d PG Se (, B, C) estão em PA, etão: B = C (I) B = Bq (II) Se (, C, E) estão em PA, etão: C = E (III) Bq = Bq (IV) Fedo (IV) (II), temos: B (q ) = B q (q ) B (q ) [q (q + ) ] = Sbe-se que B e q, logo: q (q + ) = q + q = q = - ou q = (ão covém, pois os vlores são distitos dois dois) Substituido q = - em (II), temos B Substituido B em (I), temos C Substituido C em (III), temos E = - Como D = Bq, temos D =

31 ) Sej M IR ddo por M = { + : C e = }, com IR Determie o mior elemeto de M em fução de Observdo que pr qulquer úmero complexo w, tem-se w w w, temos: Como, temos: Re Como Re() = cos, em que é o rgumeto de, temos: cos Pr que sej máximo é ecessário e suficiete que cos() sej míimo, isto é, cos() = - Dest form, o vlor máximo d expressão (mior elemeto de M), é ddo por

32 ) Sej S o cojuto de todos os poliômios de gru que têm três dos seus coeficietes iguis e os outros dois iguis ) Determie o úmero de elemetos de S b) Determie o subcojuto de S formdo pelos poliômios que têm como um de sus ríes ) Um poliômio de gru possui coeficietes A qutidde de elemetos de S é igul o úmero de meirs de escolher dois coeficietes iguis detre os cico coeficietes que possui o poliômio, ou sej, C b) Sej P(x) um poliômio de gru que possui um ri igul - Assim, podemos escrever: P(x) = (x + ) (x + bx + cx + d) P(x) = x + ( + b)x + (b + c)x + (c + d)x + d Se = d =, etão: P(x) = x + ( + b)x + (b + c)x + (c + )x + Pr que os demis coeficietes sejm iguis, ecessrimete terímos b = c = : P(x) = x + x + x + x + Por outro ldo, se = e d =, etão: P(x) = x + ( + b)x + (b + c)x + (c + )x + Neste cso, terímos, ecessrimete, b = e c = : P(x) = x + x + x + x + Se = e d =, etão: P(x) = x + ( + b)x + (b + c)x + (c + )x + Neste cso, terímos, ecessrimete, b = e c = : P(x) = x + x + x + x + Se = d =, etão: P(x) = x + ( + b)x + (b + c)x + (c + )x + Nest situção, ão existem vlores de b e c pr os quis terímos dois coeficietes de P iguis e três coeficietes de P iguis Logo, os três úicos elemetos de S que têm como um de sus ríes são: P (x) = x + x + x + x + P (x) = x + x + x + x + P (x) = x + x + x + x +

33 6) Três pessos, qui desigds por A, B e C, relim o seguite experimeto: A recebe um crtão em brco e ele ssil sil + ou o sil, pssdo em seguid B, que mtém ou troc o sil mrcdo por A e repss o crtão C Este, por su ve, tmbém opt por mter ou trocr o sil do crtão Sedo / probbilidde de A escrever o sil + e de / s respectivs probbiliddes de B e C trocrem o sil recebido, determie probbilidde de A hver escrito o sil + sbedo-se ter sido este o sil o térmio do experimeto C p C A p C A p / / C B A p C B A p C B A p C B A p C B A p C B A p C A p / / A C p / A C p

34 7) Sej um iteiro positivo tl que se ) Determie b) Determie se ) D relção trigoométric cos(x) = se (x), podemos substituir x e obter: cos se Substituido se e desevolvedo, temos: cos cos 6 6 b) D resolução terior, coclui-se que se se cos cos cos, cos

35 Retordo à equção cos se e substituido =, temos: cos se se se se se, se

36 6 8) Sejm e úmeros reis ão ulos Determie os vlores de b, c, d, bem como relção etre e pr que mbos os sistems lieres S e T seguir sejm comptíveis idetermidos y cx by x S dy x y cx T Cosiderdo que s equções de cd sistem represetm rets em IR, e pr que cd sistem sej comptível e idetermido, s equções devem represetr rets prlels iguis (coicidetes), deve-se, ecessrimete ter: d c b c Observe que c c, ou sej, 8 c e, portto, c Além disso: b b b c d d d c Portto: ; ; ; ; ; ; ; d c b A relção etre e pode ser obtid prtir de: c

37 9) Sbe-se que equção x + xy y x + 8y 6 = represet reuião de dus rets cocorretes, r e s, formdo um âgulo Determie tgete de x + xy y x + 8y 6 = x xy + x + 6xy y + 6y 6x + y 6 = x ( x + y ) y ( x + y ) + ( x + y ) = ( x + y ) ( x y + ) = x + y = ou x y + = y x ou y x Os coeficietes gulres ds rets são iguis e, respectivmete, logo: tg

38 ) N costrução de um tetredro, dobr-se um folh retgulr de ppel, com ldos de cm e cm, o logo de um de sus digois, de modo que esss dus prtes d folh formem um âgulo reto e costitum dus fces do tetredro Num segud etp, de meir dequd, complet-se com outro ppel s fces resttes pr formr o tetredro Obteh s medids ds rests do tetredro Se folh retgulr possui ldos de medids cm e cm, etão pelo teorem de Pitágors, digol mede cm (BD = ) Além disso, se dus fces do tetredro são cogruetes e têm medids cm, cm e cm, etão cico rests têm medids previmete cohecids e rest pes se determir AC: Utilido-se um relção métric do triâgulo retâgulo s fces ABD e BCD, temos: (AB) (AD) = (BD) (AF) = (AF) AF Assim, AF = CE = / Utilido o teorem de Pitágors o triâgulo AFD, temos: AC AF CF Observe que ACE é um triâgulo retâgulo cuj hipoteus mede AC Logo, pelo teorem de Pitágors, temos: AD AF FD FD FD 9 9 FD 8

39 Observe id que BE = FD e BE + EF + FD = BD, logo: 9 EF 9 7 EF Utilido o teorem de Pitágors o triâgulo EFC, temos: CF EF CE CF CF 7 9 Utilido o teorem de Pitágors o triâgulo ACF, temos: AC AF CF AC 9 7 CF cm Logo, dus rests do tetredro medem cm, dus medem cm, um mede cm e um mede 7 cm 9