A função só está definida se 0, ou seja, quando x. está no intervalo [ π ;5[. Assim, B C = [ π ;5[. Desse modo, temos

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2 OS MELHORES GABARITOS DA INTERNET: wwwelitecampiascombr (9) - O ELITE RESOLVE ITA - MATEMÁTIA MATEMÁTIA VEJA AS NOTAÇÕES ADOTADAS AO FINAL DA PROVA QUESTÃO osidere as afirmações abaio relativas a cojutos A, B e quaisquer: I A egação de A B é: A ou B II A ( B ) ( A B) ( A ) III ( A \ B) ( B\ A) ( A B)\( A B) Destas, é (são) falsa(s) a) apeas I b) apeas II c) apeas III d) apeas I e III e) ehuma Alterativa E Aalisado cada uma das afirmações: I) Verdadeira De fato, egar a afirmação (A B) sigifica afirmar que (A B), o que ocorre se e somete se Aou B II) Verdadeira De fato, costruido os diagramas de Ve correspodetes a cada um dos cojutos temos: A (B ) : ( A B) ( A ): omo os diagramas são iguais, segue que A ( B ) ( A B) ( A ) III) Verdadeira Procededo da mesma maeira que a afirmação aterior, os diagramas são: ( A \ B) ( B\ A) : ( A B)\( A B ): A B Novamete, os diagramas são iguais, de modo que ( A \ B) ( B \ A) ( A B)\( A B) Assim, todas as afirmações são verdadeiras QUESTÃO osidere cojutos A, B A IR e ( A B) Se A B, A e B são os domíios das fuções reais defiidas por l( π ), 8 e π, respectivamete, pode-se afirmar que a) ] π,[ b) [, π ] c) [,[ d) [ π,] e) ão é itervalo Alterativa Admitido-se que os domíios das fuções reais do euciado são os maiores possíveis, temos: omo ( A B), temos que ( A ) ( B ) Assim, para determiarmos basta determiarmos os domíios de 8 π e, respectivamete A fução 8 só está defiida se 8 Assim, A [;] π osidere a razão Estudado o sial dessa fução, temos: B π π π π π A fução só está defiida se, ou seja, quado está o itervalo [ π ;[ Assim, B [ π ;[ Desse modo, temos etão ( A ) ( B ) [;] [ π;[ [;[ Apeas como verificação, ote que a fução l( π ) só está defiida se π> > π Assim, A B [ π ; [ Observe que o itervalo [;[ está cotido o itervalo [ π ; [, de modo que o eercício ão apreseta icosistêcia QUESTÃO Se z é uma solução da equação em, z z z ( i) i pode-se afirmar que a) iz ( z) < b) iz ( z) > c) [,], z d) z [,7] e) z > 8 z Alterativa E Desevolvedo o segudo membro da igualdade, temos: [ i] ( i) ( i) i i Assim, a equação fica z z z hamado z a bi, temos: z z z a bi ( a bi) a b a b a b bi b e a ± 8 b Logo, z ± 8 Assim, z 8 8, > 8 z 8 8 QUESTÃO Os argumetos das soluções da equação em z iz z ( z z) i, pertecem a π π a), b) π π, c) π π, 7 d) π, π π, π e) π 7π,,π Alterativa Fazedo z iy, com e y reais, temos: iz z ( z z) i i ( i y) ( i y) ( i y i y) i i y y i i ( y) i ( y ) omo o úmero compleo do lado esquerdo deve ser ulo, temos etão que sua parte real e sua parte imagiária são ulas Assim: y y

3 OS MELHORES GABARITOS DA INTERNET: wwwelitecampiascombr (9) - O ELITE RESOLVE ITA - MATEMÁTIA Fazedo temos: y e substituido a primeira equação do sistema, ( ) 8 8± 8± Assim, temos ) Se, temos Assim, a primeira solução é ou y y π z i cis, cujo argumeto pricipal é igual a π Em particular observe que esse compleo pertece ao terceiro quadrate 7 ) Se, temos y y 8 Assim, a seguda solução é z 7 i 8 cisθ Observe que 8 8 esse poto também pertece ao terceiro quadrate, pois 78 seθ < e cosθ < Além disso, a tagete do âgulo θ é maior que a do âgulo π 78 7 π Isso fica evidete pois: tgθ > tg Assim, os argumetos das duas soluções da equação pertecem ao π π itervalo, QUESTÃO osidere a progressão aritmética ( a, a,, a ) de razão d Se a d e a, etão d a é igual a a) b) c) 9 d) e) Alterativa D A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por: ( a a ) a Para, temos: ( a a) a d ( a ( a 9 d)) a d Para, temos: ( a a) a ( a ( a 9 d)) a 9 d 8 Resolvedo o sistema: a d a 7 a 9 d 8 d Assim: d a ( 7) d a QUESTÃO Sejam fg, : tais que f é par e g é ímpar Das seguites afirmações: I f g é ímpar, II f g é par, III g f é ímpar, é (são) verdadeiras a) apeas I b) apeas II c) apeas III d) apeas I e II e) todas Alterativa D omo f é par, temos f( ) f, para omo g é ímpar, temos g( ) g, para Assim, julgado cada afirmação: (I) Verdadeira Para : ( f g)( ) f g( ) f g ( f g) [ ] (II) Verdadeira Para : ( f g)( ) f( g( )) f( g) f( g) f g (III) Falsa Tomemos f : tal que f par, e também g : tal que g, de modo que g é ímpar Temos g f g( ), que é uma fução par, mas ão ímpar g f( ) ( ) Por eemplo: g f g f() g f(), de modo que f é QUESTÃO 7 A equação em e π arctg( e ) arc cot g, \ {}, e a) admite ifiitas soluções, todas positivas b) admite uma úica solução, e esta é positiva c) admite três soluções que se ecotram o itervalo, d) admite apeas soluções egativas e) ão admite solução Alterativa B α arctg( e ) tg( α ) e Seja e e β arc cotg tg β e e Reescrevedo a equação iicial utilizado as substituições acima, π temos: α β Aplicado tagete em ambos os lados: π tg( α) tg( β) tg( α β ) tg (I) tg( α) tg( β) Substituido os valores de tg( α ) e tg( β ) em (I): e ( e ) e e e e e ( e ) e Fazedo a substituição de variável y e e substituido em (II): y y y Por ispeção y é uma raiz da equação acima, aplicado Briot- Ruffii: A equação resultate é: y y Resolvedo por Bhasara: y ou y Desta forma, as soluções da equação poliomial em y são,, No etato, como y e, temos que y >, e, portato, a úica solução para o problema do euciado é: y e l >, pois > omo só eiste uma solução e ela é positiva, a alterativa correta é a B (II)

4 OS MELHORES GABARITOS DA INTERNET: wwwelitecampiascombr (9) - O ELITE RESOLVE ITA - MATEMÁTIA QUESTÃO 8 Sabe-se que o poliômio p a a, a IR, admite a raiz i osidere as seguites afirmações sobre as raízes de p: I Quatro raízes são imagiárias puras II Uma das raízes tem multiplicidade dois III Apeas uma das raízes é real Destas, é (são) verdadeira (s) apeas a) I b) II c) III d) I e III e) II e III Alterativa Do euciado temos que i é raiz do poliômio p() omo todos os seus coeficietes de p() são reais, temos pelo teorema das raízes compleas que i também é uma raiz do poliômio Assim: pi () i a i a i ( a ) ( a ) i a Desse modo, temos p() Fatorado p(): p() ( ) ( ) p() ( )( ) Observe que p() p() ou As raízes de determiadas Para resolver a equação fatoração Assim, ou são justamete i e i, que já foram, podemos utilizar a a b (a b)(a ab b ) para a e b : ( ) ou Aalisado agora cada uma das afirmações temos: I) Falsa Apeas i e i são imagiárias puras II) Falsa Todas as raízes têm multiplicidade III) Verdadeira Apeas é uma raiz real QUESTÃO 9 Um poliômio real ± i p a, com a, tem três raízes reais distitas, a, b e c, que satisfazem o sistema a b c a b c a b c Sabedo que a maior das raízes é simples e as demais têm multiplicidade dois, pode-se afirmar que p () é igual a a) b) c) d) e) Alterativa A Resolvedo o sistema as variáveis a, b e c, temos: a a b c a b c b a b c c Assim, a maior raiz é a, que será a raiz simples, equato b e c serão ambas raízes de multiplicidade Pela fatoração do poliômio de grau em termos de suas raízes, temos: p a ( a) ( b) ( c) ( ) Portato: p() ( ) QUESTÃO osidere o poliômio p () p a com coeficietes a e a ia,,,, Das afirmações: I p IR, II p ( ), [,], III a8 a, é (são) verdadeira(s) apeas a) I b) II c) III d) I e II e) II e III Alterativa E A partir da relação de recorrêcia que defie os coeficietes do poliômio, temos: a a i a i a i a i ( i) i a i a i ( i) i a i a i i a Assim, a partir desse coeficiete temos uma repetição que os leva a: a a a8 a; a a a9 a; a a a a; a a7 a9 a Assim, 8 9 p a a 7 a ( ) a ( ) Logo, temos: I) FALSA: p( ) a a ( ) a a ( ) ( ) ( i) ( i) ( i) que é um úmero real II) VERDADEIRA: 8 9 p a a 7 a ( ) a ( ) 8 9 ( ) ( ) 7 a ( ) a ( ) 8 9 ( ) ( ) 7 a ( ) a ( ) p a a p a a omo está etre e, cada soma de epoetes é meor ou igual do que 8 9 p ( a a a a ) Sabedo que: 7 a, a, a e a, temos: omo p () ( ) ( ) III) VERDADEIRA: Pela repetição da relação de recorrêcia, temos que a a8 QUESTÃO A epressão ( ) ( ) é igual a a) b) 9 c) 7 d) 8 e) Alterativa B Temos que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Observe que ao subtrairmos a primeira idetidade da seguda, membro a membro, os termos em, e, sedo iguais as duas, vão se cacelar, sobrado os termos em, e, que tedo siais opostos, aparecerão em dobro: ( ) ( ) 9

5 OS MELHORES GABARITOS DA INTERNET: wwwelitecampiascombr (9) - O ELITE RESOLVE ITA - MATEMÁTIA QUESTÃO Um palco possui refletores de ilumiação Num certo istate de um espetáculo modero os refletores são acioados aleatoriamete de modo que, para cada um dos refletores, seja de a probabilidade de ser aceso Etão, a probabilidade de que, este istate, ou refletores sejam acesos simultaeamete, é igual a a) 7 b) 9 8 c) d) e) Alterativa A Se a probabilidade de um refletor estar aceso é, a probabilidade de um refletor estar apagado é dada por Temos dois casos para aalisar: ou apeas refletores serão acesos ou apeas refletores serão acesos Se apeas refletores forem acesos, temos etão que escolher detre os refletores para aceder Assim, aplicado a lei biomial da probabilidade, temos: p( refletores) p( refletores) 8 9 refletores refletores acesos apagados 8 p( refletores) Se apeas refletores forem acesos, temos etão que escolher detre os refletores para aceder Assim, aplicado ovamete a lei biomial da probabilidade, temos: p( refletores) p( refletores) refletores refletores acesos apagados p( refletores) omo os casos refletores ou refletores são mutuamete eclusivos, temos que a probabilidade de termos apeas ou apeas 8 refletores acesos é dada por 7 QUESTÃO osidere a matriz a a a A a a M( ), a em que a, det A e a, a, a, a, a e a formam, esta ordem, uma progressão aritmética de razão d > Pode-se afirmar a que d é igual a a) b) c) d) e) Alterativa D Sedo a, pelo termo geral da progressão aritmética, temos: a a d a d a a d a d Sedo A uma matriz triagular superior, seu determiate é dado pelo produto dos elemetos da diagoal pricipal: det A a a a ( d) ( d) d d d ou d omo d >, ficamos com d Portato: a d Assim: a a d d QUESTÃO Sobre os elemetos da matriz y y y y A M sabe-se que (,,, ) e (y, y, y, y ) são duas progressões geométricas de razão e e de soma 8 e, respectivamete Etão det A e o elemeto ( A ) valem, respectivamete, a) 7 e b) e - 7 c) e 7 d) e 7 e) 7 e Alterativa Trabalhado com as duas progressões geométricas, e sabedo que a soma de uma PG de razão q e termos é ( a q S ) : q i) (,,, ) é uma PG de razão e soma 8 Logo: ( ) 8 Assim, a PG é: (,, 8, ) ii) (y, y, y, y ) é uma PG de razão e soma Logo: y ( ) y 8 y Assim, a PG é: (,, 8, 9) Portato, a matriz A é: alculado o determiate de A por Laplace a ª liha, temos: 8 det(a) Portato, det(a ) det(a) 7 Podemos obter um elemeto qualquer da iversa de A, sabedo que a esta é dada por A A adj, ode A adj é a matriz adjuta de det( A) A (trasposta da matriz cofatora) Logo, ( ) A, ode é o det A cofator da liha e colua da matriz A Assim, temos: E, fialmete: y y y y A 8 ( ) 8 9 ( 9) 8 ( A ) 8 det A 7 A

6 OS MELHORES GABARITOS DA INTERNET: wwwelitecampiascombr (9) - O ELITE RESOLVE ITA - MATEMÁTIA QUESTÃO O valor da soma α α se se, para todo α, é igual a a) α cos cos α 79 b) α α se se 79 α α c) cos cos 79 d) α α cos cos 79 α e) cos cos α 79 Alterativa A Lembrado a trasformação de soma em produto: se se y [ cos( y) cos( y) ] QUESTÃO 7 osidere as circuferêcias : 9 y e : y Seja r uma reta tagete itera a e, isto é, r tagecia e e itercepta o segmeto de reta OO defiido pelos cetros O de e O de Os potos de tagêcia defiem um segmeto sobre r que mede a) b) c) d) e) 9 Alterativa A Observe a represetação da situação o plao cartesiao: α α Fazedo e y, vem que: α α α α α α se se cos cos α α cos cos Assim, temos: α α α α se se cos cos Observe que se trata de uma soma telescópica, de modo que: α α α α se se cos cos QUESTÃO α α α se se cos cos α 79 Se os úmeros reais α e β, com αβ π, α β, maimizam a soma seα seβ, etão α é igual a π a) b) π π π 7π c) d) e) 8 Alterativa B Aplicado a trasformação da soma em produto, temos: αβ αβ seα seβ se cos π αβ π αβ se cos se cos αβ αβ cos cos Para que tehamos soma máima, devemos impor que o cosseo seja máimo, ou seja, fazemos: cos αβ αβ π, com Assim: π π α π αβ π αβ π β π π π omo α β, temos π π e assim, sabedo que chega-se a e αβ π alculado a distâcia dos cetros das circuferêcias (,) e (,), temos: OO 8 osiderado a figura acima, temos que ΔOPT é semelhate à Δ OPT omo o raio das circuferêcias e são, respectivamete, e, temos: OP OP OT OT OT OT OT osequetemete, OT Aplicado o teorema de Pitágoras em Δ OPT, temos: OT PT O P PT PT Aplicado o teorema de Pitágoras em Δ OPT, temos: OT PT O P PT 9 PT A distâcia desejada é: PT PT QUESTÃO 8 Um cilidro reto de altura cm está iscrito um tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro Se as arestas do tetraedro medem cm, o volume do cilidro, em cm, é igual a π π π π a) b) c) d) 9 π e) Alterativa D osidere a seguite ilustração: D A R M G B

7 OS MELHORES GABARITOS DA INTERNET: wwwelitecampiascombr (9) - O ELITE RESOLVE ITA - MATEMÁTIA Seja H a altura do tetraedro e r o raio do cilidro Dado que suas arestas medem cm, temos que sua altura é dada por: a H H H cm omo o cilidro está iscrito o tetraedro, a altura de cada face lateral do tetraedro é tagete à base superior do cilidro Fazedo etão um corte trasversal o tetraedro cotedo a altura da base e um desses potos de tagêcia, podemos motar a seguite figura, ode G é o baricetro da face iferior do tetraedro: M R r D G P r Observe que o raio da base do cilidro PR r e a altura do tetraedro é DG Além disso, o poto G é o baricetro da base, de modo que: MG MG cm Pela figura, temos: DP DG PG DP cm Os triâgulos DGM e DPR são semelhates Assim: DG GM r cm DP PR r Assim, o volume do cilidro é dado por π cm V π r h V π V 9 QUESTÃO 9 Um triagulo equilátero tem os vértices os potos A, B e do plao Oy, sedo B (,) e (,) Das seguites afirmações: I A se ecotra sobre a reta y, II A está a itersecção da reta y com a circuferêcia 8 ( ) ( y ), III A pertece às circuferêcias ( ) ( y ) e ( y ) 7 7, é (são) verdadeira(s) apeas a) I b) II c) III d) I e II e) II e III Alterativa E A Observe a ilustração acima Por ela podemos ver que há duas possibilidades ode o poto A pode estar situado, para que o triâgulo AB seja equilátero No triâgulo AB, sabemos que a reta suporte da altura relativa à base B, passa pelo poto médio de B (poto M a figura) já que o triâgulo é equilátero, e é perpedicular a este mesmo segmeto Sedo assim, calculemos a equação desta reta, AM Sedo o coeficiete agular de B m B, o valor do coeficiete agular de AM é m AM m 7 omo poto médio de B, M é dado por M,,, de modo que a equação da reta AM é dada por: 7 y ym m ( M) y ( ) y AM 8 Agora aalisemos as afirmações dadas (I) Falsa As duas possibilidades para o poto A se ecotram sobre a reta y, como demostramos acima 8 (II) Verdadeira A equação da circuferêcia dada (λ a figura abaio) se refere a uma circuferêcia que tem cetro em B (,) e raio igual a omo os lados do triâgulo equilátero AB são iguais a B ( ) ( ), podemos dizer que o poto A está situado sobre essa circuferêcia Além disso, como já demostrado acima, ele também pertece à reta de equação y 8 (III) Verdadeira A primeira equação de circuferêcia dada este item (λ a figura) se refere a uma circuferêcia que tem cetro em (,) e raio omo já vimos que o lado do triâgulo mede, podemos afirmar que o poto A está situado sobre esta circuferêcia A seguda equação de circuferêcia dada (λ a figura) se refere a 7 uma circuferêcia que tem cetro em M, e raio 7, que é eatamete a medida da altura do triâgulo eqüilátero AB Sedo assim o poto A pertece a essa circuferêcia também QUESTÃO Sejam A, B, e D os vértices de um tetraedro regular cujas arestas medem cm Se M é o poto médio do segmeto AB e N é o poto médio do segmeto D, etão a área do triâgulo MND, em cm, é igual a a) b) 8 c) d) 8 e) 9 B

8 OS MELHORES GABARITOS DA INTERNET: wwwelitecampiascombr (9) - O ELITE RESOLVE ITA - MATEMÁTIA Alterativa B Pelo euciado, podemos costruir o seguite tetraedro: D A M G B O segmeto MN é perpedicular ao segmeto D De fato, cosidere o triâgulo MD omo o segmeto DM é altura do triâgulo equilátero ABD e o segmeto M é altura do triâgulo equilátero AB, esses segmetos terão a mesma medida, uma vez que os triâgulos AB e ABD são cogruetes com lados de comprimeto cm Assim: DM DM M cm M D N Desse modo, o triâgulo MD é isósceles, com base D Assim, o segmeto MN é tato uma altura quato uma mediaa do triâgulo MD, sedo, portato, perpedicular ao segmeto D Além disso, como o triâgulo MND é retâgulo, temos, pelo teorema de Pitágoras: MD DN MN MN MN MN cm Assim, a área do triâgulo retâgulo MND é dada por: MN DN SMND cm S MND 8 QUESTÃO Sejam A, B e cojutos tais que B, B ( \ ) B ( ) A ( B), A ( B) e (, A, B ) é uma progressão geométrica de razão r > a) Determie b) Determie ( P ( B \ )) a) omo B, temos que B ( B ) ( ) Além disso, temos que ( B \ ) ( B ) ( ) B \ B, já que B temos: Assim, sabedo que B B Também, como (, A, B ) estão em PG, podemos dizer que: (pois ( A) e ( ) são ambos positivos) A B A Também temos:, chegamos em: B ( ) A ( B) ( A B) ( A B) E, como A ( B) ( A) B ( A B) b) Do item aterior, B ( \ ) B ( \ ) Assim, temos que ( ( B \ )) P N P ( ( B \ )) 9 QUESTÃO A progressão geométrica ifiita ( a, a,, a, ) tem razão r < Sabe-se que a progressão ifiita ( a, a,, a,) tem soma 8 e a progressão ifiita ( a, a,, a,) tem soma Determie a soma da progressão ifiita ( a, a,, a, ) a a Sedo r, observe que as progressões geométricas a a a a a e (,,,,) ( a, a,, a,) têm ambas razão q r Por outro lado, o limite da soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica de razão q, quado tede para ifiito, para < q <, é dado por: a S lim S q Assim, para a PG ( a, a,, a,), fazemos: a a S a r q r Já para a PG ( a, a,, a,), fazemos: 8 8 ( ) a a S a r q r Sedo a a r, temos: ( ) ( r ) 8 ( r ) r r r, pois r < Portato: a 8 ( r ) 8 8 Assim, para a PG ( a, a,, a, ), temos: a 8 (8 ) lim S r QUESTÃO lim S Aalise se a fução f :, f é bijetora e, em caso afirmativo, determie a fução iversa f Uma fução f() é bijetora se, e somete se, é sobrejetora e ijetora simultaeamete Assim, vamos verificar essas propriedades para f Iicialmete, vamos verificar se a fução f é ijetora Sejam ab, tais que fa fb Devemos mostrar que a b Para tato: a a b b a b fa fb a b Fazedo a α e b β, temos: ( αβ) α β αβ αβ αβou α β α β α β α β a b a b aso α β, teríamos, o que é impossível, uma vez que a fução epoecial y sempre é positiva Assim, a b resta apeas o caso α β a b, que é o que queríamos demostrar Assim, f é ijetora Vamos verificar se a fução f é sobrejetora Seja y Devemos mostrar que eiste pelo meos um tal que f y Para tato, fazedo z : 7

9 OS MELHORES GABARITOS DA INTERNET: wwwelitecampiascombr (9) - O ELITE RESOLVE ITA - MATEMÁTIA z y f z y z y z z z Tratado a variável y como um úmero cohecido, temos que o discrimiate dessa equação é Δ ( y) ( ) ( y ) Assim y ± ( y ) z z y ± y y ± y omo y y <, para y, descartamos essa possibilidade, já que >, para Por outro lado, como para y, fazemos: y y >, y y log y y Ou seja, para cada y, eiste pelo meos um tal que f y, o que mostra que a fução f é sobrejetora Sedo ijetora e sobrejetora ao mesmo tempo, f é bijetora, admitido assim uma iversa f : tal que, para cada, tem-se f y f ( y) Observe que pelo desevolvimeto acima, utilizado para mostrar que f é sobrejetora, temos que: y log ( y y ) f ( y) log y y QUESTÃO Seja f : bijetora e ímpar Mostre que a fução iversa f : também é ímpar bijetora, ela admite uma iversa Sedo f : f : tal que f f, para Além disso, sedo f também ímpar, temos aida, para, que f( ) f Queremos mostrar que, para y, f ( y) f ( y) Para tato, lembramos que se f é bijetora, para cada y, eiste um e somete um tal que f y, ou aida, f ( y) Assim: Ou seja, f : QUESTÃO osidere o poliômio f y f f f f f y ( ) ( ) também é ímpar p a, com coeficietes reais sedo a e a Sabe-se que se r é raiz de p, -r também é raiz de p Aalise a veracidade ou falsidade das afirmações I Se r e r, r r, são raízes reais e r é raiz ão real de p, etão r é imagiário puro II Se r é raiz dupla de p, etão r é real ou imagiário puro III a < Por hipótese, o cojuto solução da equação p() é: S {r, r, r, r, r, r } Aalisado cada afirmação, temos: I VERDADEIRA: Se r e r são raízes reais, etão r e r também são raízes reais e a soma dessas quatro raízes é ula omo r é uma raiz ão real de p, r a bi, com b Pelo teorema das raízes compleas, como os coeficietes são reais, r a bi também é raiz omo, por hipótese, r a bi é a seta raiz, temos que: r r a bi a bi a a Portato, r é da forma bi, que é um imagiário puro II FALSA: omo um cotra-eemplo, observe que poderíamos ter o cojuto solução { i, i, i, i, - i, - i}, formado por úmeros compleos que ão são em reais em imagiários puros Note que as codições r e r como raízes cotiuam válidas, além da validade do teorema das raízes compleas Observe que o eercício ão afirma que r e r devem ter a mesma multiplicidade III) FALSA: Seja S o cojuto solução de p: {r, r, r, r, r, r } Por Girard, (r )( r )(r )( r )(r )( r ) a o a o (r r r ) omo as raízes são compleas, tome por eemplo, r i, r i e r, e assim, temos: a o (r r r ) (i i), que é positivo 8 QUESTÃO Uma ura de sorteio cotém 9 bolas umeradas de a 9, sedo que a retirada de uma bola é equiprovável à retirada de cada uma das demais a) Retira-se aleatoriamete uma das 9 bolas desta ura alcule a probabilidade de o úmero desta bola ser um múltiplo de ou b) Retira-se aleatoriamete uma das 9 bolas desta ura e, sem repôla, retira-se uma seguda bola alcule a probabilidade de o úmero da seguda bola retirada ão ser múltiplo de a) Sedo o úmero de bolas com úmero múltiplo de ou e P a probabilidade desejada, temos que P Sedo o úmero de 9 múltiplos de etre e 9, o úmero de múltiplos de etre e 9 e o úmero de múltiplos de etre e 9, podemos dizer que Para calcularmos, basta vermos que ele é igual ao úmero de termos da PA (,,,, 9) omo a, a 9 e r, temos que a a ( ) r 9 ( ) 8 De maeira aáloga podemos ver que é igual ao úmero de termos da PA (,, 8,, 9) Nesse caso, a, a 9 e r e, portato, a a ( ) r 9 ( ) O valor de é igual ao úmero de termos da PA (,, 9) que é Portato, a probabilidade pedida é 8 P P b) Sedo P a probabilidade de se retirar uma bola com úmero múltiplo de e, sem repô-la, depois retirar-se uma bola de úmero ão múltiplo de e P a probabilidade de se retirar uma bola com úmero ão múltiplo de e, sem repô-la, depois retirar-se uma bola de úmero ão múltiplo de ovamete, temos que a probabilidade, P, pedida é igual à soma de P com P Sedo assim, ( 7) 7 P P P P QUESTÃO 7 osidere as matrizes A e A M e X, B M : a b b b a A y ; X b e B z b a b w b a) Ecotre todos os valores de a e b tais que a equação matricial AX B teha solução úica b) Se a b, B t, ecotre X tal que AX B a e [ ] Para que AX B teha solução úica, det A Por Laplace a liha, temos: a b a b b a b a ( a a b a b b a b ) a Assim, AX B tem solução úica se e somete se: a a b) O sistema em questão é: a y bz w b y az y a y bz w Se a b a ± b, e lembrado que a b

10 OS MELHORES GABARITOS DA INTERNET: wwwelitecampiascombr (9) - O ELITE RESOLVE ITA - MATEMÁTIA aso : a b a y az w a az w a y az y a az w y a az w a y az w z a az a a az a aso : a b a y az w a az w a y az y a az w y a az w a y az w z a az a a az a Assim, temos: aso a b, aso a b, X a a t, com \{ } X a a t a R, com \{ } a R QUESTÃO 8 osidere a equação ( cos ) tg tg a) Determie todas as soluções o itervalo [,π [ b) Para as soluções ecotradas em a), determie cotg a) Partido da igualdade do euciado, sedo tg >, : tg ( cos ) tg tg ( cos ) tg tg Mas, temos que se ( ) tg Logo: cos se se se se se Resolvedo a equação, o itervalo [,π [ : π se π π se ou Assim, o cojuto verdade da equação é: π π π V,, b) alculado a cotagete para cada uma das soluções obtidas o item (a), chega-se a: π π π cotg ; cotg ; cotg Observação (demostração da idetidade ( )): tg tg ( ) se se cos tg cos sec tg QUESTÃO 9 Determie uma equação da circuferêcia iscrita o triâgulo cujos vétices são A (,), B (,7) e (,) o plao Oy osidere a seguite figura, que represeta a situação: Podemos ver facilmete que o triâgulo AB é isósceles de base AB, já que a altura relativa a esse segmeto passa pelo poto médio dele Além disso, temos que A ( ) ( ) B e que AB 7 Para calcularmos o raio da circuferêcia iscrita a esse triâgulo, lembremos que a área de um triâgulo pode ser dada por A p( pa)( pb)( pc ), sedo a, b e c os lados do triâgulo e p o seu semi-perímetro, e também por A p r, sedo r o raio da circuferêcia iscrita Sedo assim, observado que o triâgulo AB temos p 8, podemos fazer: p( p a)( pb)( p c) p r 8 (8)(8)(8 ) 8 r 8r r Pela simetria do triâgulo isósceles, podemos ver que o cetro da circuferêcia se ecotra sobre a reta suporte da altura relativa a AB, ou seja, y Além disso, podemos ver que a distâcia etre o segmeto AB e o cetro da circuferêcia é igual a r, ou seja, a abscissa do cetro vale Logo, sobre a circuferêcia iscrita, podemos afirmar que o seu cetro é o poto, e seu raio mede e sua equação é: ( y ) QUESTÃO As superfícies de duas esferas se iterceptam ortogoalmete (isto é, em cada poto da itersecção os respectivos plaos tagetes são perpediculares) Sabedo que os raios destas esferas medem cm e cm, respectivamete, calcule a) a distâcia etre os cetros das duas esferas b) a área da superfície do sólido obtido pela itersecção das duas esferas 9

11 OS MELHORES GABARITOS DA INTERNET: wwwelitecampiascombr (9) - O ELITE RESOLVE ITA - MATEMÁTIA Podemos visualizar o seguite esquema: T cm cm O d h P h cm T cm α O O P β O a) Para o cálculo de d temos: d d d b) A área desejada é a soma de duas calotas esféricas cujas alturas estão idicadas por h e h Do triâgulo acima, temos que: ( ) d Utilizado as relações de triâgulo retâgulo, temos: r 9 r 8 e d d Assim: 9 h r h h ; h r 8 h h Uma vez que a área da superfície de uma calota é dada por A π r h Ode r é o raio da esfera e h a altura da calota, a 7π área desejada é: A π rh π rh A π NOTAÇÕES,,, { } : cojuto dos úmeros reais ab, ; a b [ ] { } [ ab, [ { ; a < b} ] ab, [ { ; a< < b} A \ B { ; A e B} a a a a, a a a a, : cojuto dos úmeros compleos i : uidade imagiária: i z : modulo do úmero z Turmas super-reduzidas: só o ELITE Acompahameto idividualizado e projeto persoalizado para a aprovação de cada aluo: só o ELITE Aprovação o ITA e o IME a região de ampias: só o ELITE Quer etrar o ITA? Faça ELITE z : cojugado do úmero z M m : cojuto das matrizes reais m det A : determiate da matriz A t A : trasposta da matriz A A : iversa da matriz iversível A P ( A) : cojuto de todos os subcojutos do cojuto A A : úmero de elemetos do cojuto fiito A Argz : argumeto pricipal de z \{ }, Argz [,π [ f g : fução composta das fuções f e g f g : produto das fuções f e g Observação: Os sistemas de coordeadas cosiderados são cartesiaos retagulares