(III) Falsa. O caso a b 0, com m 0 e 0

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2 (9) - O ELITE ESOLVE IT - MTEMÁTI NOTÇÕES : cojuto dos úmeros aturais;,, : cojuto dos úmeros iteiros : cojuto dos úmeros racioais : cojuto dos úmeros reais : cojuto dos úmeros compleos i : uidade imagiária : i = - z : módulo do úmero z z : cojugado do úmero z e (z) : parte real do úmero z Det : determiate da matriz t : trasposta da matriz P() : cojuto de todos os subcojutos do cojuto a () : úmero de elemetos do cojuto fiito P() : probabilidade de ocorrêcia do veto f g : fução composta das f e g ab, = ; a b ab, = ; a b ab, = ; a b ab, = ; a b \ = ; e K a = a +a ++ ak, k Observação: Os sistemas de coordeadas cosideradas são cartesiaos retagulares QUESTÃO Das afirmações: I Se, y \, com y, etão y\ ; II Se e y \, etão y \ ; III Sejam abc,,, com a b c Se f : a, c a, b é sobrejetora, etão f ão é ijetora, é (são) verdadeira(s) a) apeas I e II b) apeas I e III c) apeas II e III d) apeas III e) ehuma lterativa E (I) Falsa osidere, por eemplo: y Etão \, y \, y, mas: y y y\ (II) Falsa osidere, por eemplo: Etão, y \, mas: y y y y\ (III) Falsa osidere, por eemplo: a b, c e a fução f :,, tal que f Seu gráfico é: y Observe que tal fução é bijetora, isto é, é tato sobrejetora quato ijetora QUESTÃO osidere as fuções fg, :, f a m, g b, em que abm,, e são costates reais Se e são as images de f e de g, respectivamete, etão, das afirmações abaio: I Se, etão a be m ; II Se, etão a ; III Se abm,,,, com a b e m, etão, é (são) verdadeira(s) a) apeas I b) apeas II c) apeas III d) apeas I e II e) ehuma lterativa E s fuções f e g represetam potos discretos sobre a correspodete reta real Veja o eemplo para a fução f( ) y O Ecotraremos, etão, cotraeemplos para cada caso: (I) Falsa Vamos supor: a, b e m Nesse caso teremos:` de modo que Imf Img Etretato, a b f, g e que, portato, satisfaz (II) Falsa O caso a com m, também permite (III) Falsa O caso a b, com m e m, logo implica m e

3 (9) - O ELITE ESOLVE IT - MTEMÁTI QUESTÃO log/ soma é igual a: log/ 8 a) 8 7 b) c) d) e) lterativa D Temos que: (I) log log ; log 8 log ( ) (II) ssim: log / log 8 6 / 68 8 QUESTÃO Se z, etão a) z z b) log 7 log 8 8 / / 6 6 z z z z z é igual a: 6 z 6 z c) ( z z ) 6 d) ( z z) e) ( zz) ( z z ) lterativa Para resolver essa epressão, precisaremos lembrar que: z Elevado ao quadrado a equação: Substituido a epressão, temos: z z z zz z z z z z z z z z z z z z z Fazedo a distributiva: Veja que: z z z z z z z z z z z z ssim, maipulado a epressão: ab a a bab b z z z z z z z z Portato, z 6 z z z z z QUESTÃO Sejam zw, Das afirmações: I z w z w z w ; II zw zw zw ; III z w z w ezw, é (são) verdadeira(s) a) apeas I b) apeas I e II c) apeas I e III d) apeas II e III e) todas lterativa E Sejam os úmeros compleos: com abcd,,, Temos que: z abi, w c di (I) z w a c b d i z w a c b d ; (II) z w a c b d i z w a c b d ; gora, julgamos cada afirmação I Verdadeira Temos que: z w zw ac bd ac bd a b c d a b c d z w II Verdadeira Fatorado a difereça de quadrados, temos que: z w z w z w z w z w z w zw z w III Verdadeira Novamete pela fatoração da difereça de quadrados: z w zw ac bd ac bd a c ac bd bd a c a ca c a c b d b d b d b d Por outro lado, fazedo cocluímos que: a c b d ac bd z w a bi c di ac bd bc ad i, ac bd zw e Portato, comparado os resultados: zw zw e zw QUESTÃO 6 osidere os poliômios em da forma p a a a s raízes de p costituem uma progressão aritmética de razão quado a, a, a é igual a: a),, d),, e),, b),, c),, lterativa omo temos uma progressão aritmética de razão e um poliômio de grau, suas raízes podem ser escritas como: r, r, r, r, r Pela relação de Girard da soma das raízes, temos: a r r r r r r r a ssim as raízes formam a P: P,,,, Pelo teorema fudametal da álgebra, osso poliômio será etão: p p Etão, pela forma do euciado: a, a, a,,

4 (9) - O ELITE ESOLVE IT - MTEMÁTI QUESTÃO 7 Para os iteiros positivos k e, com k, sabe-se que k k k Etão, o valor de é igual a a) b) d) e) Vamos deotar ossa soma por S : c) S lterativa D impar det, pela cotra-, logo a alterativa é verdadeira Mas etão det, e como positiva vale det par (II) Falsa ão é iversível, etão det det det E como det, devemos ter det Mas a codição ão implica que seja impar Em especial a seguite matriz atisimétrica tem determiate ulo: Multiplicado ossa soma por ( ), obtemos em cada termo a idetidade apresetada o euciado: S Etão, lembrado da soma dos biômios: Temos: S S S QUESTÃO 8 osidere as seguites afirmações sobre as matrizes quadradas e de ordem, com iversível e atissimétrica: I Se o produto for iversível, etão é par; II Se o produto ão for iversível, etão é impar; III Se for iversível, etão é par Destas afirmações, é (são) verdadeira(s): a) peas I b) peas I e II c) peas I e III d) peas II e III e) todas lterativa t Lembrado que uma matriz é dita atisimétrica quado e que uma matriz é iversível quado det Observe que para uma matriz ati-simétrica vale que: t det det det det det ssim, impar sigifica det det det om isso em mete, vamos aalisar as alterativas: (I) Verdadeira é iversível, etão det det det (III) Verdadeira é iversível, logo det det par, logo é par, e pela cotrapositiva ssim, são verdadeiras as afirmações I e III QUESTÃO 9 Sejam y e y y matrizes reais tais que o z z produto é uma matriz atissimétrica Das afirmações abaio: I é atissimétrica; II ão é iversível; t III O sistema X, com X soluções, é (são) verdadeira(s) a) apeas I e II b) apeas II e III c) apeas I d) apeas II e) apeas III Temos que:, admite ifiitas lterativa y z6 y z y y y y z z z z Se é atissimétrica, isto é, T, etão: Portato: y z6 y 6 y z y z y z z z I Falsa Temos que: e 8 8, e, portato, T II Verdadeira Temos que:

5 (9) - O ELITE ESOLVE IT - MTEMÁTI det 8 8 Somado a terceira colua a seguda colua, e somado a terceira colua, multiplicada por a primeira, o determiate ão se altera ssim: det 8 Sedo a primeira colua múltipla da seguda colua, segue que: det III Verdadeira omo já verificado a afirmação aterior, temos que: det ssim, o sistema liear X é um sistema homogêeo (portato sempre possível) com determiate da matriz dos coeficietes ( ) igual a zero, o que sigifica que se trata de um sistema liear possível e idetermiado, admitido, portato, uma ifiidade de soluções QUESTÃO Seja M uma matriz quadrada de ordem, iversível, que satisfaz a igualdade det M det M det M 9 Etão, um valor possível para o determiate da iversa de M é a) b) c) d) e) lterativa Para resolver essa questão, vamos utilizar duas propriedades de determiates: (I) o teorema de iet, que afirma que dadas duas matrizes e quadradas de mesma ordem, etão: det det det Em particular, se,: k det det (II) se é uma matriz quadrada de ordem, etão: det det ssim, para a igualdade dada evolvedo a matriz M,, temos: det M det M det M 9 det M detm detm 9 8 detm detm 6 detm detm detm detm detm ou detm ou detm omo M é iversível, etão detm ssim, os possíveis valores para detm são: detm ou detm gora, como detm, os possíveis valores para detm detm ou detm k detm são: QUESTÃO t X t t, em que osidere a equação, t t t e e, X y z det t e e t Sabedo que t e t, os valores de, y e z são, respectivamete, a),, b),, c),, d),, e),, lterativa Por hipótese, se det( t ( )) e usado o fato de que ao trocar filas paralelas de posição em uma matriz, o valor de seu determiate é multiplicado por, temos que: t e t e t t det t e e t e t e plicado a regra de hió, temos: t t t e e e t t t det t ( ) e e e t t e e det t omo o determiate é igual a, temos que: t t t t t e e e e e t e t e t e t e t e t omo t ão pode ser zero e a fução f( ) e é crescete positiva t para todo real, cocluímos que e Substituido em () t e t (): t t e e t e t om isso, o sistema tx t fica: y z y y z z y z Somado a primeira e a seguda lihas e somado vezes a primeira liha com a terceira, obtemos, y z y z y y y y z z z ssim, os valores são:, y e z QUESTÃO osidere o poliômio compleo p z z az z iz 6, em que a é uma costate complea Sabedo que i é uma das raízes de pz, as outras raízes são a), i, b) i,, i c) i,, i d), i, e), i i,

6 (9) - O ELITE ESOLVE IT - MTEMÁTI Sabedo que i é raiz de pz, temos: p i i a i i i i 6 6 8ai 6 a i ssim, p z z iz z iz 6 Por riot-uffii: Dessa maeira, i i i 6 i i pz pode ser escrito como: p z z i z iz z i Para ecotrarmos as outras três raízes de Fatorado a equação: z iz z i pz, basta que: lterativa z iz z i z z i z i z z i esolvedo: z z i zi z i ou z z Portato, as outras três raízes são, i, Observação: Um erro comum que pode ser cometido é usar o Teorema das aízes ompleas, que diz que se um poliômio com coeficietes reais tem uma raiz complea z com multiplicidade k, etão o cojugado z também é raiz com mesma multiplicidade k Note que este teorema ão é aplicável a essa questão, pois os coeficietes de p z ão são reais QUESTÃO ab, a a b Sabedo que se cossec tg é: a b a) ab a b b) ab a b a b d) e) ab ab Lembrado as relações por tg, temos: ssim, maipulado a epressão: gora: tg se cos tg e b, um possível valor para c) a b ab lterativa E cossec tg tg cotg se Deste modo, ab a b a b a b se se a b a b cossec cotg cotg ab ab a b a b a b a b cotg cotg cotg ab ab ab Portato, a epressão buscada é: a b cossec tg cotg, ab sedo, etão, o úico valor possível das alterativas a b ab QUESTÃO osidere o triâgulo retâgulo em Sejam E e D a altura e a mediaa relativa à hipoteusa, respectivamete Se a medida E é cm e a medida de D é cm, etão mede, em cm, a) b) c) 6 d) e) Veja a ilustração da situação descrita pelo euciado: D E ircuscrevedo uma circuferêcia o triâgulo, temos: D E lterativa Lembre-se que quado circuscrevemos uma circuferêcia em um triâgulo retâgulo, temos que o cetro é o poto médio da hipoteusa (o osso caso, o cetro é o poto D) e o raio, metade do comprimeto da hipoteusa Dessa maeira, segue: D Veja que tato D, quato D e D são raios e que D ssim, D D Desse modo, Sabedo que E, temos que: D DE E DE DE Por Pitágoras o triâgulo ED: E ED D E E Por Pitágoras, ovamete, o triâgulo E: E E 6 E Logo, 6 cm

7 (9) - O ELITE ESOLVE IT - MTEMÁTI QUESTÃO Seja de um triâgulo de vértices (,), (,) e (,) O raio da circuferêcia circuscrita ao triâgulo mede, em uidades de comprimeto, a) 7 b) 8 d) 7 e) Solução : c) 7 lterativa D Dado um triâgulo, de lados a, b e c, temos que a área S deste triâgulo pode ser calculada como: abc S, ode é o raio da circuferêcia circuscrita Também podemos calcular a área S do triâgulo por: y S y S S 6 S 8 y Os comprimetos dos lados do triâgulo são dados por: ssim: Solução : d d d d d d 7 d d d 7 7 S 8 8 Segue a represetação do triâgulo o plao cartesiao: y O Lembre-se que o ecotro das mediatrizes é o cetro da circuferêcia circuscrita Dessa maeira, basta ecotrarmos duas retas mediatrizes dos lados dos triâgulos para que possamos ecotrar o cetro Veja: y s O O N Perceba que o segmeto é paralelo ao eio y e que sua equação é dada por Dessa maeira, a equação da reta r, que é mediatriz M r do segmeto, além de passar pelo poto médio M, paralela ao eio : r : y, será Do mesmo modo, para ecotrar a reta s, mediatriz ao segmeto : m m 9 omo s passa por N, : ms m 9 y yn ms N y s gora, iterseccioado as retas r e s: y 7 8 y y s: y 7 O, 8 Para determiarmos o raio, basta fazer a distâcia etre o cetro e qualquer um dos vértices: Logo, 7 7 do, QUESTÃO 6 Em um triâgulo isósceles, cuja área mede 8 cm, a razão etre as medidas da altura P e da base é igual a Das afirmações abaio: I s mediaas relativas aos lados e medem 97 cm ; II O baricetro dista cm do vértice ; III Se é o âgulo formado pela base com a mediaa M, relativa ao lado, etão cos, 97 é (são) verdadeira(s) a) apeas I b) apeas II c) apeas III d) apeas I e III e) apeas II e III lterativa Sejam h a medida da altura P, a o comprimeto da base e m o comprimeto da mediaa M Observe a figura abaio: M G P a G é o baricetro do triâgulo, pois é o ecotro de P com M e a altura P é também mediaa Pelo euciado, sedo S a área do triâgulo : m a h a h S 8 ah 96 h 6

8 (9) - O ELITE ESOLVE IT - MTEMÁTI E aida: ssim, h a h a ah 96 a a 96 a h a a cm M cm E 9 cm 97 cm h cm h 8 cm (I) Verdadeira Queremos determiar se Observe o poto E, projeção de M a base : M E M é poto médio de : P ME : Observe aida, que: ssim, temos: G m P a = cm M m 97 cm P 8 ME cm ME M ME P E cm E M E E E E E 9 cm M h = 8 cm 9 Daí: cos QUESTÃO 7 osidere o trapézio D de bases e D Sejam M e N os potos médios das diagoais e D, respectivamete Etão, se tem comprimeto e D tem comprimeto y, o comprimeto de MN é igual a: a) y b) y c) y d) y e) y lterativa Observe a ilustração da situação abaio, ode também é traçado o segmeto PQ, correspodete a base média do trapézio y P D M Vamos usar a propriedade da base média de um triâgulo (segmeto que ue os potos médios de dois lados de um triâgulo e paralelo ao terceiro lado) Tal propriedade os diz que se um segmeto é base média de um triâgulo, etão seu comprimeto é metade do lado paralelo a este segmeto N Q E Teorema de Pitágoras: cm m =? 9 cm m 9 m 97 cm Observação: a mediaa relativa ao lado tem mesma medida da mediaa relativa ao lado, devido à simetria do triâgulo isósceles (II) Falsa Queremos saber se G cm Sabe-se que a distâcia do baricetro ao vértice é da medida da mediaa, assim: G 8 cm G cm Também podemos chegar a essa coclusão de outra forma: G GP 8 GP 8 G Observe, pela costrução das figuras, que GP ME, logo GP cm ssim, 8G G cm (III) Falsa Observe a figura: ' ' ' ' ' ' é paralelo à ssim, o osso caso temos que MQ é base média de o triâgulo, portato MQ Do mesmo modo NQ é y base média de D o triâgulo D, etão NQ D Por fim, basta otar que y MN MQ NQ y Obs: O segmeto MN que ue os potos médios das diagoais de um trapézio é chamado de mediaa de Euler 7

9 (9) - O ELITE ESOLVE IT - MTEMÁTI QUESTÃO 8 Uma pirâmide de altura h cm e volume V cm tem como base um polígoo coveo de lados partir de um dos vértices do polígoo traçam-se diagoais que decompõem em triâgulos cujas áreas S i, i,,,, costituem uma progressão aritmética a qual S cm e S6 cm Etão é igual a: a) b) c) 6 d) 8 e) lterativa Primeiramete vamos descobrir a área da base de ossa pirâmide: V base h base base cm gora, vamos represetar a divisão da base descrita o euciado: S S d) y e) y aio da circuferêcia: Área Equações das retas: r : y r : y, m tg r º r s: y s: y m tg s r s º s lterativa D S S S Essas sequêcias de áreas formam uma progressão aritmética, descobrimos a razão dessa progressão pelos dois termos dados: S6 S r r r ssim ossas áreas são: S cm S cm S cm k Sk S k r cm S cm ssim, pela fórmula da soma de progressões aritméticas, temos: SS base Sk k 6 6 ou (ão covém) Portato, 6 QUESTÃO 9 equação do circuito localizado o º quadrate que tem área igual a (uidades de área) e é tagete, simultaeamete, às retas r : y e s: y é a) y b) y c) y omo mr ms, as retas são perpediculares etre si omo r forma com o eio das abscissas e s forma com o eio das abscissas, todos os âgulos agudos destacados a figura abaio serão iguais a º y r s = b (a, b) D º º O c a º Observe que, pela costrução, D é um quadrado de lado e lados com icliação de com a horizotal, portato, o poto (c, b) de ecotro das retas tem a mesma ordeada b do cetro (a, b) da circuferêcia ssim, (diagoal do quadrado) E aida: a c álculo das coordeadas de (c, b), poto do cruzameto r s : r : y,, c s: y y s: y c a y c a b Substituido diretamete os valores de, a e b a equação da circuferêcia: ( a) ( y b) y 8

10 (9) - O ELITE ESOLVE IT - MTEMÁTI QUESTÃO osidere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triâgulo isósceles em toro de uma reta paralela á base que dista, cm do vértice e,7 cm da base Se o lado mede cm, o volume desse sólido, em cm, é igual a a) 9 6 b) 96 Desse modo, a distâcia d do baricetro G à reta r é dada por: 7 d cm O sólido obtido apreseta-se esboçado a figura a seguir: c) 7 d) 9 e) 96 lterativa Seja r a reta em toro da qual o triâgulo será rotacioado, G o baricetro desse triâgulo e H a projeção do poto sobre a reta Temos a figura: r Logo, pelo teorema de Pappus-Guldi, o volume do sólido obtido pela rotação do triâgulo em toro da reta r é dado por:, cm G H 7 7 V Sd cm V QUESTÃO osidere as fuções f :, f e,em que é uma costate real positiva, e g :,, g Determie o cojuto-solução da iequação g f f g Primeiramete vamos defiir as regras de ossas fuções compostas:,7 cm ssim ossa iequação é: f g f e, com g f g e e e, com medida do segmeto H é dada por: H,7, cm Sedo o triâgulo isósceles, H deve ser poto médio do segmeto ssim, pelo Teorema de Pitágoras o triâgulo H, temos: H H H H H cm Sedo medida de um segmeto, segue que: H cm cm H área S do triâgulo, portato, será dada por: H S cm Sedo o triâgulo isósceles, H é uma mediaa e, portato, o baricetro G divide essa mediaa a proporção : a favor do vértice ssim: G H cm e como a fução h e e e, é estritamete crescete os reais, podemos comparar os epoetes e e Ode a ultima equivalêcia ocorre pois é real positivo Etão assim, o cojuto solução é:, : ; S QUESTÃO Determie as soluções reais da equação em, log 6 log log log 6 Usado as propriedades do logaritmo, cada parcela da equação é reescrita da seguite forma: log log ; log 6 log 6 log6 6 log6 log log 6 log 6 9

11 (9) - O ELITE ESOLVE IT - MTEMÁTI ssim, a equação dada fica: log log 6 log log 7log 6 Usado a igualdade: log y, temos a seguite equação cúbica: 6 6 y y y y y y y y y y y y y y y ssim, as raízes dessa equação a variável y são: y, y, y e os valores de são: log log 6 log 6 Portato, o cojuto solução da equação é: S,,6 6 QUESTÃO a) Determie o valor máimo de z i,sabedo que z, z b) Se z o satisfaz (a), determie z a) Da teoria dos úmeros compleos, temos que cada compleo z a bi é represetado o plao rgad-gauss por um poto (o qual chamamos de afio) z a, b e z,imz ssim coseguimos tratar osso problema de compleos como um problema de geometria aalítica Primeiro otemos que a distâcia etre os afios dos compleos z e w é dado por: dist zw, z w Etão a equação em z, zz k, ode k é uma costate real positiva, represeta uma circuferêcia de cetro o afio de z e raio k Sedo assim, quado o euciado os diz para cosiderar os compleos que satisfazem z, isso é equivalete a cosiderar os compleos cujos afios formam uma circuferêcia de cetro em, e raio : Im, e Observe que esse poto tem a distâcia máima, pois se cosiderarmos qualquer outro poto z teremos a seguite situação: Im,, Etão, como qualquer poto, eceto por z, fica iterior à circuferêcia com cetro em, e raio dist i, z, esse poto terá uma distâcia meor do que z a w i ofirmado que z é o poto que maimiza dist z, i escrever essa distâcia como dist z, i dist z, dist, i Im ; dist, i z z dist z, e, podemos : Etão dist z, i dist z, dist, i i z e z i dist, b) Observe que podemos traçar duas alturas o deseho, obtedo dois triâgulos semelhates como idicado: Im omo queremos maimizar o valor de iterpretação geométrica, a maimizar distâcia de um poto ao afio do compleo w z i, isso é equivalete, pela dist z, i Ou seja, a i (distâcia ao poto, ) Isso acotece quado cosideramos o poto diametricamete oposto a w i pelo segmeto que liga ele ao cetro ; : Im,, z e Etão, pela semelhaça temos: y y Etão, osso poto z terá afio de coordeadas Portato, z é o compleo y z, y, z i e

12 (9) - O ELITE ESOLVE IT - MTEMÁTI QUESTÃO Seja o espaço amostral que represeta todos os resultados possíveis do laçameto simultâeo de três dados Se é o eveto para o qual a soma dos resultados dos três dados é igual a 9 e o eveto cuja soma dos resultados é igual a, calcule: a) ; b) e c) P e P a) Veja que para cada laçameto do dado, temos seis possibilidades de resultados, ou seja, pode ser obtido qualquer úmero que perteça ao cojuto S,,,,, 6 três dados, temos: Portato, 6 ssim, o laçameto simultâeo de possibilidades P Portato, P e P 6 7 P P P 8 QUESTÃO Determie quatos paralelepípedos retâgulos diferetes podem ser costruídos de tal maeira que a medida de cada uma de suas arestas seja um úmero iteiro positivo que ão eceda Primeiramete observe que apeas permutado o valor do comprimeto do lado de um paralelepípedo retâgulo, obtemos outro cogruete a ele por rotações: b) Para ecotrarmos a quatidade de elemetos do eveto, descosiderado permutações, temos os seguites casos de soma 9: 6 Note que, para quaisquer valores, podemos fazer a permutação etre os úmeros obtidos ssim, temos: I Para faces com úmeros distitos, temos! possibilidades para cada caso omo são três casos, etão! 8 possibilidades! II Para faces com apeas dois úmeros iguais, temos P,! possibilidades para cada caso omo são dois casos, etão! 6possibilidades! III Para faces com todos úmeros iguais, temos uma úica possibilidade omo eiste somete um caso, etão temos apeas possibilidade Logo, 8 6 Da mesma maeira, podemos repetir o procedimeto para o eveto Os casos, descotado permutação, de soma são: 6 6 a b c otações ssim devemos separar ossa cotagem em três casos () quado temos as três dimesões iguais, () quado temos duas dimesões iguais e uma distita e () quado temos três dimesões distitas aso (): omo as três dimesões são iguais, devemos apeas escolher seu comprimeto, ode temos casos (iteiros positivos de até ) aso (): Devemos escolher um valor para dois lados e um valor distito para outro lado Note que pela simetria descrita o iicio da resolução, ão eiste a ecessidade de se cosiderar quais dimesões vão assumir quais valores ssim temos 9 9 opções aso (): om as três dimesões distitas, escolhemos três valores para as dimesões, e pela simetria descrita o iicio, ão precisamos os preocupar com a ordem, assim temos, casos Etão o úmero de palalelepípedos é 9 QUESTÃO 6 osidere o sistema liear as icógitas, y e z y z se y z,, cosy 6z a) Determie tal que o sistema teha ifiitas soluções b) Para ecotrado em (a), determie o cojuto-solução do sistema b c a Note que, para quaisquer valores, podemos fazer a permutação etre os úmeros obtidos ssim, temos: I Para faces com úmeros distitos, temos! possibilidades para cada caso omo são três casos, etão! 8 possibilidades! II Para faces com apeas dois úmeros iguais, temos! possibilidades para cada caso omo são três casos, etão! 9 possibilidades! Logo, c) omo osso espaço amostral é equiprovável, calculamos as probabilidades pela razão etre o úmero de elemetos do eveto e úmero de elemetos do espaço amostral: a) omo esse sistema é homogêeo, portato sempre possível, para ter o caso de sistema possível e idetermiado, basta impor que o determiate da matriz dos coeficietes seja ulo ssim: se se se cos 6 se 8 se se se Observe que tal determiate é um determiate de Vadermode Logo, temos: se se

13 (9) - O ELITE ESOLVE IT - MTEMÁTI se ou se omo se,, descartamos a possibilidade se ssim, ficamos com: b) Para, temos: ssim, o temos o sistema liear: se, se cos se y z y z y 6z Somado a primeira equação a seguda, temos: 6z z Voltado a qualquer uma das equações, ficamos com: ssim, fazedo, temos: y y y Portato, o cojuto-solução do sistema pode ser descrito como: QUESTÃO 7 V,,, Determie o cojuto de todos os valores de, satisfazem, simultaeamete, a se se cos e que tg cotg cotg Em toda resolução, usaremos o fato de que, Primeira iequação: (I) De iício, observamos que: se se cos cos cos cos omo o deomiador ão pode ser ulo, restrigimos a: (II) partir disso, temos: cos cos, cos cos se se se se esolvedo essa iequação, temos: omo se, a desigualdade se é impossível, de modo que ficamos com: No ciclo trigoométrico: se, 6 6 (III) ssim, a primeira iequação tem cojuto verdade: Seguda iequação: VI,, VI, tg cotg cotg (IV) omo codição de eistêcia para tg e cotg, impomos que: se /6 /6,,,, (V) Lembrado que cotg, temos: tg tg cotg cotg tg tg tg tg tg tg Multiplicado ambos os membros da iequação por tg, que eiste e é sempre positivo para,,,,, temos a mauteção do sial da iequação: tg tg tg tg tg tg tg tg cos alisado o sial de cada fator separadamete, temos: tg / se se ou se tg

14 (9) - O ELITE ESOLVE IT - MTEMÁTI alisado o sial do produto: tg Temos, assim: itersecção de um plao, perpedicular à superfície horizotal, que passa pelo cetro da sétima esfera e por dois vértices opostos do heágoo os forece a seguite imagem: tg ou tg No ciclo trigoométrico, aalisado os itervalos em que essas iequações são satisfeitas, e já impodo a restrição,,,,, temos: tg se / / / / cos Note que a distâcia do cetro da sétima esfera à superfície horizotal é dada por d plicado o Teorema de Pitágoras o triâgulo destacado, temos: Portato, d d / 7/ / / QUESTÃO 9 Três circuferêcias, e são tagetes etre si, duas a duas eteramete Os raios r, r e r destas circuferêcias costituem, esta ordem, uma progressão geométrica de razão soma dos comprimetos de, e é igual a 6 cm (VI) ssim, a seguda iequação tem cojuto verdade: V II 7,,,,,, Sistema formado pelas duas iequações: V VI VII V,,, 6 6 QUESTÃO 8 Seis esferas de mesmo raio são colocadas sobre uma superfície horizotal de tal forma que seus cetros defiam os vértices de um heágoo regular de aresta Sobre estas é colocada uma sétima esfera de raio que tagecia todas as demais Determie a distâcia do cetro da sétima esfera à superfície horizotal Vejamos a figura que ilustra a vista superior das circuferêcias máimas de cada esfera da situação descrita Note também que a distâcia etre um vértice qualquer do heágoo e o seu cetro é, assim, a distâcia etre dois vértices opostos é, deste modo, a superfície da sétima esfera se projeta eatamete sobre os vértices do heágoo Determie: a) a área do triâgulo cujos vértices são os cetros de e b) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triâgulo em toro da reta que cotém o maior lado Dado que os raios das circuferêcias estão em progressão geométrica de razão podemos represetar cada raio por:,, Sabemos, aida, que a soma dos comprimetos das circuferêcias é 6, assim: 6 Logo, os raios das circuferêcias medem 9 cm, 6 cm e cm a) Devemos determiar a área S do triâgulo formado pelos cetros dessas circuferêcias, observe a figura: 9 9 O triâgulo formado tem os lados medido cm, cm, cm e semiperímetro p cm Portato, sua área é: S 9 9 cm

15 (9) - O ELITE ESOLVE IT - MTEMÁTI b) otacioado o triâgulo em toro do seu lado de medida igual a cm, obteremos dois coes Um coe tem altura h e, o outro coe, y y tem altura H ; de tal forma que abaio H h cm, observe a figura O cm cm D H cm h Podemos otar que r cm Em três dimesões, temos o seguite sólido: Vamos determiar o raio D da circuferêcia que é a base dos coes obtidos plicado o Teorema de Pitágoras os triâgulos D e D obtemos sistema: Subtraido as equações obtemos Logo, D D 8 cm 9 D 6 D cm Fialmete, o volume do sólido será a soma dos volumes de cada coe, temos: V VV Sb H Sc h Sb H h 9 V V 9cm QUESTÃO Um cilidro reto de altura h cm tem sua base o plao y defiitiva por y y Um plao, cotedo a reta y e paralelo ao eio do cilidro, o seccioa em dois sólidos alcule a área total da superfície do meor sólido ompletado quadrados para a iequação apresetada acima, temos: Logo, temos que a área total, é: S S S t ase lateral cm área da base é formada por um setor circular de rad meos o triâgulo O e a área lateral é formada pelo retâgulo mais um quarto da superfície lateral de um cilidro reto Deste modo, temos, r r rh Stotal Sase Slateral St h St St cm Nota: para a resolução desta questão foi ecessário supor que e y são medidos em cm, etretato, tal iformação deveria costar o euciado da questão y y y Ou seja, supodo que e y sejam medidos em cm, a base do cilidro é um círculo de cetro O (, ) e raio r cm Sedo e as itersecções da reta y com a circuferêcia que forma a base da superfície cilídrica, temos: y y y cm ou cm Logo, temos (, ) e (, ) alisado a situação o plao y, temos a seguite ilustração:

16 OS MELHOES GITOS D INTENET: wwwelitecampiascombr (9) - O ELITE ESOLVE IT - MTEMÁTI Equipe desta resolução Matemática lessadro Foseca Esteves coelho Darcy Gabriel ugusto de amargo uha odrigo do armo Silva Thais de lmeida Guizellii Viício Merço Poltroieri evisão Edso Vilela Gadbem Eliel arbosa da Silva Fabiao Goçalves Lopes Felipe Eboli Sotorilli Digitação, Diagramação e Publicação lla avalcati de Moura Patrícia eijiho Teieira Luiz dré Mazzarid