, respectivamente, pode-se afirmar que 5 x

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1 00 ITA "A matemática é o alfabeto com que Deus escreveu o mudo" Galileu Galilei NOTAÇÕES ` ^,,!` \ : cojuto dos úmeros reais > a, ^ \; a d d b` > a, b> ^ \; a d b> ^ \; a b` A\B ^ ; A e B` k a a a! ak, k ` k a 0 a0 a! ak k, k ` ^ : cojuto dos úmeros compleos i : uidade imagiária: i = z : módulo do úmero z ^ z : cojugado do úmero z ^ M mu \ : cojuto das matrizes reais m u det A : determiate da matriz A At : trasposta da matriz A A : iversa da matriz iversível A ((A) : cojuto de todos os subcojutos do cojuto A (A) : úmero de elemetos do cojuto fiito A Arg z : argumeto pricipal de z ^ \{0}, Arg z > 0, S> f D g : fução composta das fuções f e g f g : produto das fuções f e g Observação: Os sistemas de coordeadas cosiderados são cartesiaos retagulares Questão 0 Cosidere as afirmações abaio relativas a cojutos A, B e C quaisquer: I A egação de A B é: A ou B II A (B C) = (A B) (A C) III (A\B) (B\A) = (A B)\(A B) Destas, é (são) falsa(s) A) apeas I B) apeas II C) apeas III D) apeas I e III E) ehuma I A egação de A B é A B A B A B A B A ou B A ou B II Aplicação direta da propriedade distributiva III Se A \ B B \ A, etão A \ B ou B \ A Se A \ B, etão A e B, logo A \ A B Se B \ A, etão B e A, logo B \ A B

2 De e coclui-se que AB \ A B, o que implica em A\ B B\ A AB \ A B Se AB \ A B, etão A B e A B, logo A e A B ou B e A B B ou B e A, ou seja A\ B B\ A, cocluido que AB \ AB A\ B B\ A De e temos A B \ A B A\ B B\ A, o que implica em A e Alterativa E Cosidere cojutos A, B e C (A B) Se A B, A C e B C são os domíios das fuções reais defiidas por I, Questão 0 A) C, B) C, C) C, D) C, E) C ão é itervalo 8 e, respectivamete, pode-se afirmar que, g 8 e h Sedo f l A B Domíio de f / 0 / AB A C Domíio de g / 8 0 / AC B C Domíio de h BC / 0 / Como A B C AC B C, temos: A BC / AB, Logo Portato C / [,[ C AB C, temos: Alterativa C Questão 0 Se z é uma solução da equação em, pode-se afirmar que A) izz 0 B) iz z 0 C) z, D) z, 7 E) z 8 z zz z i i,

3 Sedo z = + i, e, temos: zz z i i i i i i Portato i 0 0 z 8 8 z z 8 8 i i ii i Alterativa E Questão 0 Os argumetos pricipais das soluções da equação em z, pertecem a A), B), C), 7 D),, 7 E) 0,, iz z z z i 0, Sedo z = + i, com e reais, temos: iz z z z i 0 i i i i i i 0 i i i 0 i 0 Deste resultado segue que 0 0

4 Isolado em () e substituido em () temos: ', que tem como par ou '', que tem como par 7 7 Portato, z i e z i são as soluções da equação 8 8 z e z pertecem ao terceiro quadrate, 7 tgarg z tg arg z arg z, e tgarg z tg arg z Logo, arg z e arg z pertecem a, Alterativa C Cosidere a progressão aritmética (a, a,, a 0 ) de razão d Se A) B) C) 9 D) E) Questão 0 0 a 0 d e 0 a 0, etão d a é igual a 0 a 0 d 0 a a0 0 0 d a a d a d (I) 0 a 0 0 a a0 0 0 a a 8 a 9d 8 (II) De (I) e (II): d 9d 8 d Substituido em (I): a a 7 Etão: d a 7 Alterativa D

5 Sejam f, g : R R tais que f é par e g é ímpar Das seguites afirmações: I f g é ímpar, II f Questão 0 g é par, III g f é ímpar, é (são) verdadeira(s) A) apeas I B) apeas II C) apeas III D) apeas I e II E) todas Defiições: Se f é par, etão f f Se g é ímpar, etão g g Julgado os ites: I f g é impar (V) Seja h f g Etão: h f g h f g hf g hh h é ímpar II f g é par (V) Seja w f g Etão: w f g w f g w f g w w w é par III g f é ímpar (F) Seja u g f Etão: u g f u g f uu u é par Alterativa D

6 Questão 07 A equação em, e arctge arccotg e A) admite ifiitas soluções, todas positivas B) admite uma úica solução, e esta é positiva C) admite três soluções que se ecotram o itervalo, D) admite apeas soluções egativas E) ão admite solução Chamado e e aplicado tagete aos dois lados da equação: tg arctg( ) arcotg tg tg arctg( ) arcotg tg tg arctg( ) arcotg 0 Como é raiz: , \ 0, 0 " "' ' e''' ão covém pois são egativas e Assim e, como, é real positivo, solução úica e, com real, ão pode ser egaivo Alterativa B Questão 08 Sabe-se que o poliômio p() = a + a, a, admite a raiz i Cosidere as seguites afirmações sobre as raízes de p: I Quatro das raízes são imagiárias puras II Uma das raízes tem multiplicidade dois III Apeas uma das raízes é real Destas, é (são) verdadeira(s) apeas A) I B) II C) III D) I e III E) II e III

7 p a a p i 0 i a i a i 0 iaia 0 a a i 0 a0a Portato: p p p p Para obtermos todas as raízes de p, temos: p ou 0 ou 0 De segue que De segue que i ou i De segue que i ou i Alterativa C Questão 09 Um poliômio real p a, com a 0, tem três raízes reais distitas, a, b e c, que satisfazem o sistema a bc 0 a b c a b c Sabedo que a maior das raízes é simples e as demais têm multiplicidade dois, pode-se afirmar que p é igual a A) B) C) D) E) 7

8 a b c 0 () Resolvedo o sistema: a b c () a b c () De () e () temos: bc De () e () temos: bc 7 bc () bc 7 () De () e () temos: c c Substituido em () temos b e substituido em () temos a De acordo com o teto a têm multiplicidade e as outras duas raízes tem multiplicidade, logo ( ) ( ) ( ) P () () ( ) P P() Alterativa A Cosidere o poliômio I p, p II p,,, III a8 a, é (são) verdadeira(s) apeas A) I B) II C) III D) I e II E) II e III Questão 0 a com coeficietes 0 0 a e a ia,,,, Das afirmações: Como a i a e a0, podemos calcular algus coeficietes: a i i a i i i a i i i a ii Ora, como a a0, teremos a a, a a etc Assim a a O poliômio pode ser reescrito: p a a a a fica p a a a a Aalisado os ites: I F p a a a a p 0 p i i i p i i i 8

9 II V Devemos usar a igualdade triagular, que garate que a b a b, e, mais especificamete, a bcd a b c d Assim p a0 a a a temos, Para, Aida, as propriedades de módulo garatem 0 p a a a a p p III V a a, posto que já sabemos que 8 a a Alterativa E Questão A epressão é igual a A) 0 B) 90 C) 7 D) 8 E) 0 Epadido a epressão A, vem A A A A 90 Alterativa B Questão Um palco possui refletores de ilumiação Num certo istate de um espetáculo modero os refletores são acioados aleatoriamete de modo que, para cada um dos refletores, seja de a probabilidade de ser aceso Etão, a probabilidade de que, este istate, ou refletores sejam acesos simultaeamete, é igual a A) 7 B) 9 8 C) D) E) 9

10 Fazedo os dois casos em que se pede, colocado-se S para sucesso (lâmpada acesa) e F para fracasso (lâmpada apagada), teremos dois casos: caso: colocado-se sucessos e fracassos, a lei de distribuição biomial de probabilidade os forece:! 80 P, e!! 79 º caso: colocado-se sucessos e fracasso, a lei de distribuição biomial de probabilidade os forece:! P!! 79 A probabilidade pedida será P PP 7 Alterativa A Questão Cosidere a matriz a a a A 0 a a M, 0 0 a em que a 0, det A 000 e a, a, a, a, a e a formam, esta ordem, uma progressão aritmética de razão d 0 Pode-se afirmar que A) B) C) D) E) a d é igual a det A000 0aa 000 a 0 a a d 00 0 a a d d De (I) e (II): 0 a a a00 0 a 0a 00 0 a da 00 (I) 0 (II) a a 0 ou a Para a 0 : d, ão covém Para a : 0 d a d Alterativa D 0

11 Sobre os elemetos da matriz A M Sabe-se que (,,, ) e (,,, ) são progressões geométricas de razão e e de soma 80 e, respectivamete Etão, det(a ) e o elemeto (A ) valem, respectivamete A) 7 e Questão B) e 7 C) e 7 D) e 7 E) 7 e Como, i,,, é uma PG de razão e soma 80, temos: i Como, i,,,é uma PG de razão e soma, temos: i det A det A det A det A 7 A A Alterativa C 80 Questão O valor da soma se se, para todo, é igual a A) cos cos 79 B) se se 79 C) cos cos 79 D) cos cos 79 E) cos cos 79

12 se se cos cos, temos: Usado se se cos cos se se cos cos cos cos cos cos cos cos 79 Alterativa A Questão Se os úmeros reais e, com a A) B) C) D) 8 E) 7,0, maimizam a soma se se, etão é igual a Sabe-se que se se se cos Substituido em (), vem: sese se cos sese cos O máimo de seseocorre quado: cos Como 0, etão: 0 () Alterativa B

13 Cosidere as circuferêcias C e C : : 0 9 Seja r uma reta tagete itera a C e C, isto é, r tagecia C e C e itercepta o segmeto de reta OO defiido pelos cetros O de C e O de C Os potos de tagêcia defiem um segmeto sobre r que mede: A) B) C) D) E) 9 Questão 7 cetro (,) C : Raio cetro (0,) C : Raio O O A distâcia etre os cetros é doo doo 8 doo 0 Aplicado Pitágoras o AOO temos: 00 d OO Alterativa A Questão 8 Um cilidro reta de altura cm está iscrito um tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro Se as arestas do tetraedro medem cm, o volume do cilidro, em cm, é igual a A) B) C) D) 9 E)

14 Dados a cm e D PT cm T A M P O B C a OD DOM TPM PM PT OM OD PM OM a PM OP OM PM Seja V o volume do cilidro: V OP PT V cm 9 Alterativa D Um triâgulo equilátero tem os vértices os potos A, B e C do plao O, sedo B, e C, afirmações: I A se ecotra sobre a reta, II A está a itersecção da reta 8 com a circuferêcia III A pertece às circuferêcias e é (são) verdadeira(s) apeas A) I B) II C) III D) I e II E) II e III Questão 9, 7 7, Das seguites

15 C M B r BC mbc mr 7 m 7 M, m 7 r: r: 8 Como o triâgulo ABC é equilátero, A r Seja C, a circuferêcia de cetro C e raio BC : C : A C Seja C a circuferêcia de cetro M e raio 7 7 C : A C BC : Seja C a circuferêcia de cetro B e raio BC : C : A C Alterativa E Questão 0 Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro regular cujas arestas medem cm Se M é o poto médio do segmeto AB e N é o poto médio do segmeto CD, etão a área do triâgulo MND, em cm, é igual a A) B) C) D) E) 8 8 9

16 D A M B N cm AC MD MC cm C O triâgulo MDC é isósceles de base DC e N é poto médio de DC, logo MN é perpedicular a DC No triâgulo MND: MD MN ND MN MN cm Seja S a área do triâgulo MND: S MN ND S cm 8 Alterativa B Questão Sejam, A, B, e C cojutos tais que C uma progressão geométrica de razão r 0 C A) Determie B) Determie \ P B C, AB e,, B, B\ C B C A B C A B é A) Notado que B C, o diagrama de Ve fica: A B C Adotemos C É dado que B\ C BC A B Como B C C, B C C A B Daí obtemos: I BC II A B AB

17 III Logo: B BC C B B Como C, A, B, A, é uma PG: A Assim, temos: AB B AB Como A B C B) PB C, : B C tem elemetos C P B 09 C B Questão A progressão geométrica ifiita a, a,, a, tem razão 0 soma 8 e a progressão ifiita,,,, r Sabe-se que a progressão ifiita,,,, a a a tem soma Determie a soma da progressão ifiita a, a,, a, 0 a a a tem a, a,, a, é uma PG de razão S a r a 8 8 r a, a,, a, é uma PG de razão 0 a r Lembrado que a a r : S a r r 8r r Como r 0, devemos ter Voltado em : a 8 8 a Seja S ' a soma pedida: S ' a r S ' 7 r, logo: r, logo: r, ou seja: r 7

18 Questão Aalise se a fução f :, f é bijetora e, em caso afirmativo, determie a fução iversa de f Ao provarmos que a fução f é estritamete crescete, fica provado que a fução é ijetora Etão otado que f, provemos que f é crescete Sejam a, b reais, a > b A difereça f a f b a b f a f b a b a b f a f b a b a b f a f b b a a b a b f a f b a b a b a b Como, temos 0 f a f b f é crescete 0 f é ijetora é: Para provar que é subjetora basta mostrar que: lim f e lim f De fato, lim também lim 0 e, e lim 0 lim Etão quado assume valores muito grades, lim lim = lim = lim lim lim f tora-se muito grade Logo f é sobrejetora Determiado a iversa: seja, etão, adotado a troca de variáveis para determiação de f f temos: Logo: 0, aplicado Báskara: Notado que é impossível ter logo, log f log, pois, 0e, 0 8

19 Questão Seja f : bijetora e ímpar Mostre que a fução iversa f : também é impar Seja f a iversa da fução f dada o euciado Queremos provar que f f, Como f é bijetora, dado eiste um úico a, tal que Por defiição, f f, Assim, f f f a a Aalisemos f f f f a f f a a ( f é ímpar) Assim, f a f f f cqd f a Cosidere o poliômio p a, com coeficietes reais, sedo também é raiz de p Aalise a veracidade ou falsidade das afirmações: I Se r e r, r r, são raízes reais e r é raiz ão real de p, etão r é imagiário puro II Se r é raiz dupla de p, etão r é real ou imagiário puro III a0 0 Questão a e a Sabe-se que se r é raiz de p, r Nas codições do euciado, se a0 0 garate-se que 0 ão é raiz Adicioalmete, como os coeficietes são reais vale o teorema das raízes compleas cojugadas: r r I (V) Como r r garate-se r r Etão r, r, r, r Se r a bi é raiz, temos p são quatro raízes distitas de a bi é raiz ( cojugado) a bi é raiz ( r ) Como são raízes, a 0 e r bi 0 (imagiário puro) II (F) Supohamos r a bi como uma raiz dupla de p, com a 0, b 0, a e b reais Etão r ' a bi também é raiz dupla Nas codições do problema, r '' a bi e r ''' a bi também devem ser raízes do poliômio Ora, como r'' r''', ehuma codição do problema é violada Assim é possível r ser raiz dupla de p, sem ser real ou imagiário puro Um cotra-eemplo adequado seria a escolha de raízes: r i r i r i r i r i r i Que dá origem a p 8 8 III (F) Para provar que o item é falso basta um cotra-eemplo No item aterior obtivemos a0 8 o que já ega a afirmação Podemos também supor raízes: r, r, r, r reais e distitas r i, r i Assim, por relações de Girard, a0 r r i a rr a 0 a Como a temos: a r r 0 0 9

20 Questão Uma ura de sorteio cotém 90 bolas umeradas de a 90, sedo que a retirada de uma bola é equiprovável à retirada de cada uma das demais A) Retira-se aleatoriamete uma das 90 bolas desta ura Calcule a probabilidade de o úmero desta bola ser um múltiplo de ou de B) Retira-se aleatoriamete uma das 90 bolas desta ura e, sem repô-la, retira-se uma seguda bola Calcule a probabilidade de o úmero da seguda bola retirada ão ser um múltiplo de A) Probabilidade da uião de dois evetos PAB P A PB P A B PAB B) Temos dois casos, a primeira bola retirada ser um múltiplo de e a seguda ão ser (caso ) ou a primeira ão ser e a seguda ão ser (caso ) Seja P a probabilidade pedida: P P Questão 7 Cosidere as matrizes A M ( ) e X, B M ( ): a b b b a 0 A ; X b e B z b a b w b A) Ecotre todos os valores reais de a e b tais que a equação matricial AX B teha solução úica B) Se a b 0, a 0 e B t, ecotre X tal que AX B A) AX B a bzw b b az0w b 00z0w b a bzw b (-) + a bz w b b az 0w b 00z0wb a 0z 0w b b b b Das lihas e cocluímos que e que a b b Fazedo a 0 : b bb a Voltado em e : b b az b b z a w b a bz Do eposto, basta termos a 0 para que o sistema admita solução úica 0

21 B) Do item A temos: a a a b a b z a a b a b wa b a a a t b a b X a a a Lembrado que a b 0 temos: t X 0 a a, para b a ou t X 0 a a, para b a Questão 8 Cosidere a equação ( cos ) tg tg 0 A) Determie todas as soluções o itervalo [0, [ B) Para as soluções ecotradas em a ), determie cot g A) Substituido tg em cos cos tg tg 0 cos se cos cos cos se cos cos se vem: Substituido cos se em (), vem se se se se0 se se ou se ou B) cotg 0 cotg cotg

22 Questão 9 Determie uma equação da circuferêcia iscrita o triâgulo cujos vértices são A (,), B (, 7) e C (, ) o plao O 7 A B O r C Usado S r 8r r p r, temos: O cetro da circuferêcia é O,, e sua equação é Questão 0 As superfícies de duas esferas se iterceptam ortogoalmete (isto é, em cada poto de itersecção os respectivos plaos tagetes são perpediculares) Sabedo que os raios destas esferas medem cm e cm, respectivamete, calcule A) a distâcia etre os cetros das duas esferas B) a área da superfície do sólido obtido pela itersecção das duas esferas Cosidere um plao que coteha os cetros das esferas, este plao determia as esferas a secção abaio: O R A m H S O d OO d OO 9

23 Com mais duas relações métricas o triâgulo A, OO temos: 9 0 m m 8 8 h RH m 9 h HS 0 Logo, a soma das áreas das duas calotas será: A A A R h rh A 8 9 A 7 cm A

24 Professores Bruo Wereck Douglas Oliveira Lafaette Luís Marcelo Moraes Ne Marcodes Digitação e Diagramação Leadro Bessa Mariaa Fiusa Valdivia Piheiro Viícius Eduardo Ilustrações Natasha Xavier Projeto Gráfico Mariaa Fiusa Viícius Eduardo Supervisão Editorial José Diogo Rodrigo Beradelli Copright Olimpo009 As escolhas que você fez essa prova, assim como outras escolhas a vida, depedem de cohecimetos, competêcias e habilidades específicos Esteja preparado wwwcursoolimpocombr