MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II

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1 MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II Módulo III Neste Módulo apresetaremos um dos pricipais assutos tratados em cocursos públicos e um dos mais temíveis por parte dos aluos: Progressão Aritmética e Progressão Geométrica. Pesquisei sobre a História das Progressões e ecotrei um lik que você deve ler ates de começar ossa aula:

2 Progressões Aritméticas (P.A.) É uma sucessão de termos em que a difereça de cada termo e seu precedete, a partir do segudo, é sempre costate. Essa difereça é chamada razão da progressão aritmética. Na seqüêcia geérica (a,a,a 3...a,a ), temos: a -a = a 3 -a =... = a -a = r = razão da P. A. Exemplo: (3, 8, 3, 8) é uma P.A., ode a = 3 e r = 5 A P.A. é fiita ou limitada, se tiver úmero fiito de termos. A P.A. é ifiita ou ilimitada, se tiver úmero ifiito de termos. Classificação: Quato ao valor da razão, uma P.A., pode ser: - Crescete, se r 0 Exemplo: (, 3, 5, 7, 9) = r = -Decrescete, se r 0 Exemplo: (6, 4,, 0) = r = - - Estacioária ou costate, se r = 0 Exemplo: (5, 5, 5, 5) = r = 0

3 3 Fórmula do termo geral a = a + ( ) r Exemplos: ) Calcular o 0 0 termo da P.A. (, 3, 5,...) a = r = = 0 a 0 =? Esclarecimetos: a = primeiro termo que aparece a P.A. este caso é o úmero. r = razão. Numa P.A. descobre-se a razão subtraido o segudo termo do primeiro ou o terceiro termo do segudo e assim em diate. Neste caso 3 = ou 5 3 =, etão r =. = seria o lugar ode está o termo. Neste caso pede-se o 0 0 termo, quer dizer que o termo procurado está o 0 0 lugar. a 0 = é o termo procurado. Aida ão sei????

4 4 a = a + ( ) r a 0 = + (0-) a 0 = + 9 a 0 = 9 Resposta: O 0 0 termo é o úmero 9. ) Numa P.A., o 0 termo vale e o 6 0 termo vale 7. Calcular a razão. a = a 6 = 7 r =? = 6 a = a + ( ) r a 6 = a + ( ) r 7 = + (6 - ) r 7 = + 4 r -5 r = - 7 r = 5 5 r = 3 Resposta: A razão é 3. Esclarecimetos: Mas de ode eu tirei = 6? O problema está me dizedo que o 0 termo vale, isto é, a = e o 6 0 termo vale 7, isto é, a 6 = lugar está o úmero 7, etão, = 6.

5 5 Poderíamos, também completar a P.A.: - Sabemos que o 0 termo é e que o 6 0 termo (último termo) é 7, etão: P.A. = (,..., 7) Achamos a razão que é 3 r = 3, etão: P.A. = (, 5, 8,, 4, 7) + 3 = = = + 3 = = 7 Propriedades (P.A.) 0 ) Em toda a P.A., um termo qualquer, excetuado-se os extremos, é média aritmética etre o seu atecedete e o seu coseqüete. (, 3, 5, 7, 9) = (a, a, a 3, a 4, a 5 ) a + a = = a a + a = 5 4 = a + 5 a + a = 3 3 = a 4 3

6 6 0 ) Em toda a P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistates dos extremos é igual à soma dos extremos: 3 0 ) Em toda P.A. de um úmero ímpar, o termo cetral ou termo médio é a média aritmética dos extremos. Exercícios ) Calcular x, sabedo-se que (, x, 8) são 3 termos cosecutivos de P.A. Aplicado a propriedade: + 8 = 5 Resposta Podemos provar: (, 5, 8) 5 - = = 3 r = 3

7 7 ) Qual é o valor de x, dados os úmeros ( x +, 0, x + 5) em P.A.? P.A.: ( x +, 0, x + 5) Aplicado a 3 a propriedade x + + x = x + 6 = 0 x = 0 6 x = 4 x = 4 3) Ecotre o valor de a, sabedo-se que a, a + 0, a + 8 formam progressão aritmética esta ordem. PA = ( a, a + 0, a + 8) a + a + 8 = a + 0 a + a + 8 = ( a + 0) 3a + 8 = a + 0 3a a = 0 8 Resposta

8 8 PA = (a, a + 0, a + 8) PA sedo a = (4,, 0) 3) Quato deve valer x a fim de que os úmeros (4 x + ), (x-), ( x - 5), esta ordem fiquem em P.A. 4x + + x 5 x 4x + + x 5 = x 4 4x x + x = 0 x = + x = 0 x( x + ) = 0 x x I II = 0 = Resposta = x = 0 ou x = Iterpolação Iterpolar ou iserir K meios aritméticos etre os termos a e a sigifica determiar K termos que devem formar a P.A. ode a e a sejam os extremos. Podemos observar que a quatidade de termos é = K + e que os falta apeas a razão da P.A. Esta razão é dada por: r = a + a k +

9 9 Soma dos termos ( a + a ) S = Exercícios ) Determie o valor da soma dos vite primeiros termos da sucessão (0, 3, 6, 9,...) a = 0 r = 3 a =? S =? = 0 a = a + ( ) r a 0 = 0 + (0 - ) 3 a 0 = a 0 = 67 S ( a + a ) = S 0 = S 0 = 770

10 0 Resposta: O valor de S 0 = 770. ) Um produtor colheu em 0 dias sua produção de maçãs. No primeiro dia colheu dúzias; o segudo dia dúzias e assim por diate. Qual foi o total da produção colhida? Progressão aritmética r = = 0 a S 0 0 =? =? a = a + ( ). r a a a = + (0 ). = + 9 = 0 Etao,(,,..., 0) S S S ( a + a). = + 0 =.0 = 55dúzias Re sposta. Prova real: Temos uma PA = r = e a 0 =0 PA = (,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0)

11 Somado ( ) temos o total de 55 dúzias. 3) Iscrevedo ove meios aritméticos etre 5 e 45, determie o 6 0 termo da P.A. a = 5 a = a = 45 = último termo fica o 0 lugar r =? a PA existete: a = a + ( ) r a = a + ( ) r 45 = 5 + ( - ) r 45 = 5 + (0) r - 0 r = r = - 30 r = 3 descobrimos a razão etão sempre adicioamos (+3) PA = (5, 8,, 4, 7, 30, 33, 36, 39, 4, 45) = =... Etão logicamete qual é o 6 0 termo da P.A.? É o 0 30

12 Fórmula usada para dois termos quaisquer a = a + ( k) r k Exemplo: Numa PA de razão 3, cujo 8 0 termo vale 0, o valor do 5 0 termo é: a = a k + ( k ) r a 5 = a 8 + (5-8) 3 a 5 = 0 + (5-8) 3 a 5 = a 5 =0 Resposta

13 3 Progressão Geométrica (PG) É uma sucessão de termos ão-ulos em que o quociete de cada termo e seu precedete, a partir do segudo, é sempre costate. Esse quociete é chamado razão da progressão geométrica. Na seqüêcia (a, a, a 3,... a, a ), temos q a a a a a a 3 = = = = q = razão da P.G. Exemplo: (,, 4, 8, 6) é uma P.G. ode a = e q = A P.G. é fiita ou limitada, se tiver um úmero fiito de termos. A P.G. é ifiita ou ilimitada, se tiver um úmero ifiito de termos. Classificação da P.G. Quato ao valor da razão: - Crescete a) se a 0 e q Exemplo: (,, 4, 8, 6)

14 4 b) se a 0 e 0 q Exemplo: (-8, -4, -, -) - Decrescete: a) se a 0 e a q Exemplo: (0, 0, 5) b) se a 0 e q Exemplo: (-, -, -4, -8) - Oscilate, quado q 0 Exemplo: (-, -6, -8, -54) - Estacioária, quado q = Exemplo: (,,,, ) Fórmula do termo geral a = a q Exemplo: Calcular o 0 termo da P.G. cujo 6 0 termo vale e a razão. a =? a 6 = a q a 6 = = a 6 q = = 5 a

15 5 = 6 5 a = 3a = a = 3 Resposta Fórmula para dois termos quaisquer a = a q k k Exemplo: Numa P.G. de razão 3, cujo 5 0 termo vale 8, o valor do 9 0 termo é: q = 3 a 9 = a k k q a k = a 5 = 8 a 9 = k = 5 a 9 = a 9 =? a 9 = 648 Resposta = 9 Propriedades ) Em toda PG, qualquer termo em módulo excetuado-se os extremos, é média geométrica etre o seu atecedete e o seu coseqüete. (3, 6,, 4,...) = 6 = 3

16 6 (a, a, a 3, a 4,...) = a = a a3 ) Em toda PG limitada, o produto de dois termos eqüidistates dos extremos é igual ao produto dos extremos. (,, 4, 8, 6, 3) = 6=.3 (a, a, a 3, a 4, a 5, a 6 ) = a a5 = a a6 3) Em uma PG de úmero ímpar de termos, o termo cetral em módulo é média geométrica etre os extremos. (,, 4, 8, 6) = 4 = 6 (a, a, a 3, a 4, a 5 ) = a 3 = a a5 Iterpolação Iterpolar ou iserir k meios geométricos etre os termos a e a sigifica determiar k termos que devem formar uma PG ode a e a sejam extremos. Podemos observar que a quatidade de termos é = k + e que os falta apeas a razão da PG. Essa razão é dada por: a q = k+ a

17 7 Exercícios ) O 3 0 e o 5 0 termo de uma progressão geométrica crescete valem e 9, respectivamete. Calcule o 4 0 termo: PG = (a, a, a 3, a 4, a 5 ) PG = ( a, a,, a 4,9) 9 = 9 = 3 a 4 = 3 a propriedade ) Calcule x, se x, x + e x + 6 estão em progressão geométrica, esta ordem: PG = ( x, x +, x + 6 ) x ( x + 6) = x + ( Ι ) x + 6x = x + x + ( ΙΙ ) x = 4 4 x = Resposta

18 8 A PG ficaria, x = PG = (, +, +6) PG = (, 4, 8) Observação: Ι ) Para excluir a raiz quadrada do lado esquerdo da igualdade, elevou-se ao quadrado os dois lados da igualdade. ΙΙ ) No lado direito da igualdade foi aplicado produtos otáveis ( o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro, vezes o segudo, mais o segudo termo ao quadrado ). 3) Iterpole 3 meios geométricos etre 3 e 43, sedo a P.G. oscilate: PG oscilate quado q 0 Podemos aplicar diretamete a fórmula para acharmos a razão ( q ). k = meios geométricos = k + q = k + a a

19 9 k = 3 q = = k + q = 4 8 = 3 + = 5 a = 3 a 5 = 43 = 4 3 Sabemos que a razão é 3, etão: PG = (3, 9, 7, 8, 43) 3 3 = = = = 43

20 0 Soma dos termos da PG fiita A soma dos termos de uma PG fiita é dada por: S aq a = q ou ( a q S ) = q Exemplo: Calcular a soma dos 0 primeiros termos da PG (,,...) S 0 =? ( a q S ) = q a 0 =? S 0 = 0 ( ) = 0 S 0 = 03 Resposta a = q = Soma de PG decrescete e ilimitada Uma PG é decrescete e ilimitada se / q / e. Numa PG decrescete e ilimitada, quado, o último termo tede a zero.

21 a S = q Exemplo: ) A soma dos ifiitos termos da PG,,,... 4 é: a S = q S = = a = S = S = q = = S = Resposta Produtos dos termos da PG O produto dos termos da PG (a, a,..., a ) é: P = a q Ou ( ) P = a a ( )

22 Caso a P.G. teha termos egativos, o sial do produto é dado pelo úmero de termos egativos: a) se houver um úmero par de termos egativos, o produto é positivo. b) Se houver um úmero ímpar de termos egativos, o produto é egativo. Exemplo: Calcular o produto dos 8 primeiros termos da PG (,, 4,...). a = q = = 8 P = a q ( ) P 8(8 ) 8 = 8(7) P 8 = 56 P 8 = 8 P 8 = 8 P 8 =

23 3 Profissão Três sujeitos discutiam quem tiha a profissão mais atiga. - Não que eu queira cotar vatagem- disse o marceeiro -, mas os meus atepassados costruíram a Arca de Noé. - Isso ão é ada!- respodeu o jardieiro.- Foram os meus atepassados que plataram o Jardim do Éde. - Tudo bem- disse o eletricista -, mas quado Deus disse Haja luz, quem vocês acham que tiha puxado toda a fiação???? Fote: Exercícios ) Determie a razão da PG cohecedo dois de seus termos: a) a = 6 a 6 = 9 a = a q k k a = a 6 = 9 = 6

24 4 a k = a = 6 q =? k = 6 9 = 6 q 5 9 = 6q 5 6q = q = 6 q = Resposta = 5 ) Determie o úmero de termos da PG (,,..., 56). a = a = 56 q = =? a = a q 56 = = 56 = 8 = 9 Resposta: a PG tem ove termos.

25 5 3) Iterpole 6 meios geométricos etre e 8. a = q =? a 8 = 8 = 8 a = a q 8 a = a q 8 8 = q 7 q = 8 q = 7 7 q = Etão q =, é só multiplicarmos: = 6 = 3 = 4 3 = 64 4 = 8 64 = 8 que é o último termo o a 8. 8 = 6 4) Obteha a soma dos 6 primeiros termos da PG (7, 4,...)

26 6 S S S S S q = a q 6 = 7 64 = 7 = 7 63 = 44 Resposta: A soma dos 6 primeiros termos da PG é 44. 5) Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações crescetes de modo que a a prestação é de 000 uidades moetárias e cada uma das seguites é o dobro da aterior. Qual é o preço do automóvel? PG = (000, 000, 4000, 8000, 6000, 3000, 64000) a, a, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7 a = 000 a 7 = q = = 7 S S = 000 = S = 7000

27 7 Resposta: O automóvel custou R$7000 Observação: bastaria somar: = ) (FUV - 83 Modificado) Calculado um dos âgulos de um triâgulo retâgulo, sabedo que os mesmos estão em P.G. obtemos: 0 a) ( ) 90 0 b) ( 3 ) 45 0 ( ) c) d) ( 7 ) 90 0 e) ( + ) 45 Observação: usar PG de 3 termos (,, ) x xq xq. No triâgulo retâgulo o maior âgulo mede 90 0 ( x = 90 0 q ). Fazer a soma dos termos acima igual a 80 0 um triâgulo). (soma dos âgulos iteros usado a PG de 3 termos (,, ) x xq xq faremos x = 90 0, etão as medidas serão (90 0, 90 0 q, 90 0 q ), ode 0 q, pois o maior Âgulo o triâgulo retâgulo mede Etão: q q = 80 0

28 8 Aplicar Bháskara 90q + 90q + 90 = 80 q + q = 0 ± q = b b 4ac a ( ) ± 4 q = q = ± q Ι = q ΙΙ 5 = (ão covém) Logo, substituido (90 0, 90 0 q, 90 0 q ) ( 90 ( ) ( )) 0, , valores. + os âgulos do triâgulo medirão estes Alterativa c é a correta

29 9 7) (FUV - 83 Modificado) Três úmeros distitos formam uma P.A. crescete, cuja soma é três. Seus quadrados, matedo a respectiva ordem, formam uma PG. Qual é a razão da P.A.? a) b) c ) d) 3 e) Usar a PA de três termos x -r,x,x +r a,a,a 3 Pelo euciado (a ; a ; a ) é PG, etão: a3 a 3 = a a Se a PA é crescete, etão r 0 A razão se calcula, por exemplos, r = a a Usado a PA de três termos ( x r, x, x r) + teremos: x r + x + x + r = 3 (euciado) Ode x = ( ) Logo, PA fica ( r,, + r) mas ( r),, ( r) ( + r ) euciado etão, ( ) r + é PG coforme ( r) ( r ) = + =

30 30 ( r) = ( ) r + r = r + r = 4 + = 4 r r 0 r (- +r ) = 0 r = 0 I r = 0 coloca em evidêcia r + = r 0 r = r ΙΙ = ± Alterativa c é a correta 8) (Colégio Badeirates; Z., A.A.) Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são a, a, a. O quarto termo desta P.A. é: a) b ) 3 c) 4 d) 5 e) 6

31 3 Dados três termos cosecutivos de uma PA, o termo do meio é igual à média aritmética dos outros dois, ou seja, se ( a, b, c ) é PA, etão a + c b =. Como ( a, a, a ) é uma PA, temos: a = ( a) + a a = a + a ( ) ( ) a a + = a a + a + = a a a a a ± = 0 + 3a 0 = 0 b b 4ac a ( ) 3± ± 7 = 0 a Ι = a ΙΙ = 5 = 0

32 3 Substituido: a Ι = ( a, a, a ) = (,, ) a ΙΙ = 5 = (,,3) b + d c = + d 3 = + d = 6 d = 6 + d = 8 falso ( + 5, + 5, + 5) = ( 6,5, 4) a b c d? b + d c = 5 + d 4 = 5 + d = 8 d = 8 5 d = 3 verdadeira Alterativa b é a correta.

33 33 9) (Colégio Badeirates; Z., A. A.) Para todo atural ão ulo, sejam as seqüêcias. (3, 5, 7, 9,..., a,...) (3, 6, 9,,..., b,...) ( C, C, C,..., C,...) 3 Com C = a + b. Nessas codições, C 0 é igual a: a) 5 b) 37 c ) 0 d) 9 e) 49 Observação: a primeira seqüêcia dada é uma PA de razão e a seguda seqüêcia dada é uma P.A. de razão 3. O termo geral de uma PA é a = a + ( ) r A seqüêcia (3, 5, 7, 9,... a,..) é uma PA de razão, etão: a = a + ( ) r a = 3 + ( ) A seqüêcia (3, 6, 9,,... b,...) é uma PA de razão 3, etão: b = b + ( ) r

34 34 b = 3 + ( ) 3 Como C = a + b C0 = a0 + b0 ( ) ( ) C 0 = C 0 = 0 Letra c é a correta.