Sequências e progressões

Transcrição

1 Sequêcias e progressões 6 Ates de ler o capítulo Os tópicos apresetados esse capítulo evolvem fuções (Seção 3.5), com destaque para a fução liear (Seção 3.7) e a expoecial (Seção 5.). Além disso, maipularemos equações, particularmete as exploradas as Seções.4,.10 e 5.4. O que a disposição das cadeiras em uma sala de cocertos circular e os empréstimos bacários têm em comum? Ambos formam sequêcias, ou listas de úmeros com uma certa ordem. Nesse capítulo, apresetaremos as sequêcias, dado êfase aos dois tipos pricipais: as progressões aritméticas e geométricas. Além disso, itroduziremos a otação de somatório, que facilitará a soma dos termos das sequêcias, bem como a defiição de série. As sequêcias têm muitas aplicações, tato em osso cotidiao como detro da própria matemática. Para cocluir esse capítulo, aalisaremos as aplicações fiaceiras, um assuto de grade impacto em um país como o Brasil, o qual as taxas de juros costumam ser elevadas. 6.1 Sequêcias No Capítulo 5, o exemplo que usamos para itroduzir a fução expoecial evolvia o cálculo de uma dívida bacária. Voltaremos, agora, ao problema para dizer que, de fato, a fução expoecial ão é a melhor alterativa para represetar o aumeto da dívida. Exemplo 1. Dívida bacária Como vimos o Exemplo 1 do Capítulo 5, se uma pessoa cotrai uma empréstimo de R$ 1.000,00 com um baco que cobra uma taxa de juros de 6% ao mês, etão a dívida após x meses pode ser calculada usado-se a fução d(x) = ,06 x. Etretato, essa fução só forece o valor correto da dívida quado o valor de x é um úmero iteiro ão egativo. Ou seja, ão podemos dizer que, passados quatro meses e meio da data do empréstimo, a dívida seja igual a d(4,5) = ,06 4,5 = R$ 199,80. A Errado! Na verdade, como o baco só atualiza a dívida uma vez por mês, o valor devido após quatro meses e meio é igual àquele obtido após quatro meses, isto é d(4) = ,06 4 = R$ 16,48. Já que o argumeto x da fução só pode assumir valores iteiros, podemos apresetálo como um subídice, em lugar de mostrá-lo etre parêteses. Assim, atribuido a x os úmeros aturais 1,, 3,..., essa ordem, o valor da dívida a partir do primeiro mês pode ser descrito pela lista

2 536 Capítulo 6. Sequêcias e progressões d 1 = ,06 1 = 1060,00; d = ,06 = 113,60; d 3 = ,06 3 = 1191,0; d 4 = ,06 4 = 16,48; d 5 = ,06 5 = 1338,3; Essa lista ordeada forma o que chamamos de sequêcia dos valores mesais da dívida. Como vimos o exemplo acima, uma lista de úmeros que possuem uma ordem pode ser represetada por meio de uma sequêcia, que ada mais é que uma fução que só admite úmeros aturais como argumeto. Em algus casos, é coveiete começar a sequêcia pelo termo a 0, de modo que precisamos icluir o zero o domíio. Sequêcia Uma sequêcia é uma fução a cujo domíio é o cojuto de úmeros aturais N = {1,, 3,...}. Se é um úmero atural, o valor da fução em é expresso por a (em lugar de a()). Como os úmeros aturais são ordeados, podemos represetar os valores da fução por meio da lista de termos a 1, a, a 3,..., a,... Assim, a 1 (o valor da fução em 1) é o primeiro termo, a (o valor em ) é o segudo termo, e a é o eésimo termo da sequêcia. Se o domíio da sequêcia é composto apeas pelos primeiros úmeros aturais, ou seja, D = {1,, 3,..., }, dizemos tratar-se de uma sequêcia fiita. Caso cotrário, a sequêcia é dita ifiita. Nesse livro, estamos iteressados apeas as sequêcias que possuem um padrão, ou lei de formação. Um exemplo simples desse tipo de lista é dado o exemplo a seguir. Exemplo. Múltiplos de 3 A lista 3, 6, 9, 1, 15, 18, 1,... é a sequêcia dos múltiplos de 3. As reticêcias ao fial idicam que a lista é ifiita. Observado os quatro primeiros termos da sequêcia, otamos que a 1 = 3 1 = 3 a = 3 = 6 a 3 = 3 3 = 9 a 4 = 3 4 = 1 a 5 = 3 5 = 15 Com base esses termos, podemos ituir facilmete que o eésimo termo é dado por a = 3. Esse eésimo termo, chamado termo geral, é o que defie a lei de formação da sequêcia. Com ele coseguimos calcular, por exemplo, o milésimo e o milioésimo termo, como mostrado abaixo. a 1000 = = 3000 e a = =

3 Seção 6.1. Sequêcias 537 Problema 3. Escrevedo termos da sequêcia a partir do termo geral Ache os cico primeiros termos e o vigésimo termo das sequêcias dadas por a) a i = 5i 100 b) a i = 1 i c) a i = i d) a i = ( 1)i 4i a) Para a i = 5i 100, temos a 1 = = 95 a 4 = = 80 a = = 90 a 5 = = 75 a 3 = = 85 a 0 = = 0 b) Para a i = 1 i, temos a 1 = 1 1 = 1 a 4 = 1 4 a = 1 a 5 = 1 5 a 3 = 1 3 a 0 = 1 0 c) Para a i = i, temos a 1 = 1 = a 4 = 4 = 16 a = = 4 a 5 = 5 = 3 a 3 = 3 = 8 a 0 = 0 = d) Para a i = ( 1)i, temos 4i a 1 = ( 1)1 4 1 = 1 4 a = ( 1) 4 = 1 8 a 3 = ( 1)3 4 3 = 1 1 a 4 = ( 1)4 4 4 = 1 16 a 5 = ( 1)5 4 5 = 1 0 a 0 = ( 1)0 4 0 = 1 80 Note que, esse problema, os termos da sequêcia têm siais alterados, já que, ( 1) i = { 1, se i é ímpar; 1, se i é par. O termo ( 1) i aparece, explícita ou implicitamete, em todas a sequêcias com siais alterados. Agora, tete o Exercício 1.

4 538 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Os pares ordeados associados à sequêcia do Problema 3(d) são (1, 1 4 ), (, 1 8 ), (3, 1 1 ),... Por serem fuções, as sequêcias podem ser facilmete represetadas o plao Cartesiao, bastado para isso que associemos ao i-ésimo termo o par ordeado (i, a i ). A Figura 6.1a mostra o gráfico da sequêcia com siais alterados do Problema 3(d). Note que, como o domíio da fução só iclui úmeros aturais, os valores da sequêcia são represetados por potos isolados o plao, ão sedo adequado ligá-los. Outra opção para a represetação gráfica de sequêcias particularmete aquelas as quais todos os termos são positivos é o emprego de gráficos de barras, como mostrado a Figura 6.1b, que retrata a sequêcia do Problema 3(b). (a) a i = ( 1) i /(4i) (b) a i = 1/i Figura 6.1: Gráficos de sequêcias. Sequêcias defiidas recursivamete Ateção Cuidado para ão cofudir a i 1 com a i 1. Você cosegue explicar a difereça que há etre essas duas expressões? Já vimos como defiir uma sequêcia apresetado o termo geral a como uma fução de. Como alterativa, também é possível defiir uma sequêcia forecedo o termo geral com relação a um ou mais termos ateriores. Como exemplo, a sequêcia apresetada o Problema 3(a) também pode ser defiida por a i = a i 1 + 5, em que a i 1 é o termo da sequecia imediatamete aterior a a i. Nesse caso, dizemos que a sequêcia é defiida recursivamete. Observe, etretato, que as sequêcias recursivas ão podem ser defiidas apeas pelo termo geral, já que a lei de formação acima gera tato 95, 90, 85, 80, 75,... como 5, 10, 15, 0, 5,... Para que a defiição de uma sequêcia recursiva seja úica, também é preciso defiir um ou mais termos iiciais. Assim, a primeira sequêcia acima tem a 1 = 95, equato a seguda tem a 1 = 5. Problema 4. Sequêcia defiida recursivamete Calcule o décimo segudo termo da sequêcia defiida por a i = a i 1 e a 1 =.

5 Seção 6.1. Sequêcias 539 Se a i = a i 1 e a 1 =, etão temos a 1 = a 5 = 3 a 9 = 51 a = 4 a 6 = 64 a 10 = 104 a 3 = 8 a 7 = 18 a 11 = 048 a 4 = 16 a 8 = 56 a 1 = 4096 Agora, tete o Exercício 3. Como vimos o exemplo acima, as sequêcias recursivas têm a grade desvatagem de ão permitirem que calculemos um termo sem cohecer os ateriores. Aida assim, há sequêcias importates que só são defiidas recursivamete, como mostram os exemplos abaixo. Exemplo 5. Fatorial Cosidere a sequêcia defiida por a = a 1 com a 1 = 1. Os primeiros termos dessa sequêcia, que cresce muito rapidamete, são a = a 1 = 1 = a 5 = 5 a 4 = 5 4 = 10 a 3 = 3 a = 3 = 6 a 6 = 6 a 5 = 6 10 = 70 a 4 = 4 a 3 = 4 6 = 4 a 7 = 7 a 6 = 7 70 = 5040 Como essa sequêcia é muito usada em matemática, ela recebe o ome particular de fatorial e seu eésimo termo ter uma otação especial:!. Assim, 1! = 1,! =, 3! = 6, 4! = 4, 5! = 10, 6! = 70, 7! = 5040,... Agora, tete o Exercício 6. Fatorial O fatorial de um úmero iteiro ão egativo é dado por! = ( 1)! ou! = ( 1) ( ) 3 1. Além disso, covecioa-se que 0! = 1. Exemplo 6. Sequêcia de Fiboacci Leoardo Boacci era filho de Guglielmo dei Boacci, um rico mercador Pisao. Da corruptela de filius Boacci surgiu o cogome pelo qual esse matemático do século XIII acabou cohecido: Fiboacci. Seu livro mais importate, deomiado Liber Abaci, escrito em 10, itroduziu a Europa o sistema de umeração hidu-arábico ou de base 10, que usa os algarismos 0 9 e a otação posicioal. Nos dias de hoje, Fiboacci é mais cohecido pela sequêcia que usou para descrever o crescimeto de uma população de coelhos. A sequêcia de Fiboacci é formada

6 540 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Embora tivesse sido descrita séculos ates pelos idiaos, a sequêcia de Fiboacci acabou recebedo o ome de seu ilustre divulgador o ocidete. partido-se de a 1 = 1 e a = 1 e defiido-se o -ésimo termo como a soma dos dois termos imediatamete ateriores, ou seja, Assim, temos a = a 1 + a. a 3 = a + a 1 = = a 7 = a 6 + a 5 = = 13 a 4 = a 3 + a = + 1 = 3 a 8 = a 7 + a 6 = = 1 a 5 = a 4 + a 3 = 3 + = 5 a 9 = a 8 + a 7 = = 34 a 6 = a 5 + a 4 = = 8 a 10 = a 9 + a 8 = = 55 Apesar de essa sequêcia ter vários usos em matemática, os deteremos apeas em sua aplicação mais divertida, que é a geração de uma espiral ecotrada com frequêcia a atureza, deomiada espiral de Fiboacci. Para costruir essa espiral, dispomos lado a lado dois quadrados de lado 1. Em seguida, desehamos um quadrado de lado que tem uma aresta comum com os dois quadrados ateriores. Cotiuado esse processo com quadrados cujos lados têm as mesmas medidas dos úmeros de Fiboacci, obtemos a pilha de blocos mostrada a Figura 6.. Fialmete, usado arcos de circuferêcia para uir vértices opostos de cada quadrado, traçamos a espiral preta que aparece a mesma figura. Figura 6.: Espiral de Fiboacci. Cada termo da sequêcia de Fiboacci é igual à medida do lado do quadrado correspodete. Determiação do termo geral Há situações em que ão cohecemos a lei de formação da sequêcia, mas apeas algus de seus termos. Cosidere, por exemplo, a lista ordeada abaixo, da qual são cohecidos os quatro primeiros termos: 3, 9, 7, 81,... Observado essa lista, somos tetados a supor que se trata da sequêcia das potêcias de 3, já que 3 1 = 3, 3 = 9, 3 3 = 7, 3 4 = 81. Assim, uma possível expressão para o termo geral seria a = 3.

7 Seção 6.1. Sequêcias 541 Etretato, se defiíssemos a = i 18i + 4i 3 Dado qualquer úmero fiito de úmeros reais, a 1, a, a 3,..., a, sempre é possível ecotrar um poliômio que passe pelos potos (1, a 1), (, a ), (3, a 3),..., (,a ). obteríamos a mesma sequêcia. Dessa forma, ão há uma fórmula úica para o termo geral de uma sequêcia cujos primeiros quatro termos são 3, 9, 7 e 81. De fato, é possível afirmar que Não se pode defiir de forma úica o termo geral de uma sequêcia da qual se cohece us poucos termos iiciais. Aida assim, há casos em que a determiação de uma possível expressão para o termo geral é útil. O problema abaixo mostra como esse termo geral pode ser obtido para sequecias simples. Voltaremos a esse assuto as Seções 6.3 e 6.4, as quais trataremos das progressões aritméticas e geométricas. Problema 7. Determiação do termo geral Ecotre um possível termo geral para as sequêcias cujos primeiros termos são dados abaixo. a), 8, 14, 0, 6,... b) 1, 1 4, 1 9, 1 16, 1 5,... a) Observado a sequêcia, otamos que cada termo pode ser obtido somado seis uidades ao termo aterior, ou seja, a = a De fato, a 1 = a = a = + 6 a 3 = a + 6 = + 6 a + 6 = + 6 a 4 = a = + 6 a = a 5 = a = a = Note que, este problema, forecemos duas fórmulas para o termo geral a, uma recursiva (ou seja, evolvedo a 1) e outra direta (ou seja, evolvedo apeas ). Reparado, etão, que o valor que multiplica 6 em cada termo (úmero destacado em vermelho) é igual ao ídice do termo (em verde) meos 1, também podemos escrever o termo geral como a = + ( 1) 6. b) Nesse exemplo, vamos examiar em separado o valor absoluto e o sial de cada termo. No que diz respeito ao valor absoluto, observamos que a 1 = 1 1, a = 1 4 = 1, a 3 = 1 9 = 1 3, a 4 = 1 16 = 1 4, a 5 = 1 5 = 1 5. Portato, temos a = 1/. Além disso, otamos que o sial dos termos altera, sedo egativo os termos ímpares e positivo os termos pares. Assim, a exemplo do que vimos o Problema 3, podemos multiplicar o valor absoluto do termo geral por ( 1), obtedo a = ( 1) 1. Agora, tete o Exercício 4.

8 54 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Exercícios Escreva os cico primeiros termos de cada sequêcia (supodo que comece em 1). a) a = 50 5 b) a = 3 c) a = 3 d) a = 3 e) a = 3 f) a = 1 g) a = 1 h) a = ( 1 ) i) a = 1 1 j) a = ( 1) ( +1 ) k) a = ( 3) 1 l) a = π + π( 1) m) a = (+1) ) a = o) a = ( 1) + p) a = 4 b. Usado os valores que você obteve o Exercício 1, esboce os gráficos das sequêcias dadas por a) a = 50 5i b) a = 1 1 c) a = ( 1) ( +1 ) d) a = + 3. Escreva os cico primeiros termos das sequêcias abaixo. a) a 1 =, a i = a i b) a 1 = 50, a i = a i 1 3 c) a 1 = 5, a i = a i 1 d) a 1 = 1, a i = a i 1 4. Escreva uma fórmula para o termo geral de cada sequêcia do Exercício Escreva os cico primeiros termos das sequêcias abaixo. a) a 1 = 0, a i = 10 5a i 1 b) a 1 = 104, a i = ai 1 4 c) a 1 = 3, a i = 1 a i 1 d) a 1 =, a i = a i 1 6. Escreva os cico primeiros termos de cada sequêcia (supodo que comece em 1). a) a = 1! b) a =! 7. Simplifique as expressões abaixo. a) 6! 4! b) 5! 8! c) 7! 4! 3! d) 8! 3! 4! 6! c) a = ( 1) ()! e)! (+1)! f) (+1)! ( 1)! 8. Determie os décimo quito termo da sequêcia de Fiboacci. 9. Escreva uma fórmula para o termo geral das sequêcias abaixo. a), 7, 1, 17,... b) 1000, 975, 950, 900,... c) 5, 15, 45, 135, 405,... d) 1000, 100, 10, 1, 1 10, Coforme visto o Exercício 17 da Seção 1.9, dado um úmero real positivo b, os termos da sequêcia defiida recursivamete por a k+1 = a k + b a k forecem estimativas cada vez melhores de b. Assim, é possível obter um valor aproximado para b partido de um termo iicial qualquer (por exemplo, a 1 = 1) e calculado os termos seguites da sequêcia até que a difereça etre a k+1 e a k seja pequea. Determie os oito primeiros termos da sequêcia obtida aplicado-se esse método para calcular 100, partido de a 1 = 1. Respostas dos Exercícios a) 45, 40, 35, 30, 5 b) 3, 6, 9, 1, 15 c) 1, 8, 7, 64, 15 d) 3, 9, 7, 81, 43 e) 1/3, 1/9, 1/7, 1/81, 1/43 f) 0, 3, 8, 15, 4 g) 1, 3, 7, 15, 1 h) 1/, 1/4, 1/8, 1/16, 1/3 i) 0, 1/, /3, 3/4, 4/5 j) 1/, /3, 3/4, 4/5, 5/6 k) 1, 3, 9, 7, 81 l) π/, 5π/, 9π/, 13π/, 17π/ m) 1, 3, 6, 10, 15 ),,, 4, 4 o) 0, 4, 0, 4, 0 p) b, b, 3b, 4b, 5b. a) b) c) d) 3. a), 6, 10, 14, 18 b) 50, 47, 44, 41, 38

9 Seção 6.. Somatórios 543 c) 5, 10, 0, 40, 80 d) 1,, 4, 8, a) a = + 4( 1) b) a = 50 3( 1) c) a = 5 1 d) a = ( ) 1 5. a) 0, 10, 40, 10, 1040 b) 104, 56, 64, 16, 4 c) 3, 1/3, 3, 1/3, 3 d), 4, 16, 56, a) 1, 1, 1 6, 1 4, b) 1,, 3, 3, 4 5 c) 1, 1 4, 1 70, , a) 30 b) c) 35 d) 14 e) 1 f) ( + 1) a) a = + 5( 1) b) a = ( 1) c) a = d) a = 1000 ( 1 10 ) ; 50,5; 6, ; 15,055301; 10, ; 10, ; 10, ; 10, Somatórios A defiição formal da semicircuferêcia será dada o segudo volume desse livro, em um capítulo dedicado à geometria plaa. Por hora, é suficiete saber que ela correspode à metade da circuferêcia. Para itroduzir a otação de somatório, vamos usar como exemplo uma curva espiral composta por semicircuferêcias. Exemplo 1. Comprimeto de uma curva espiral Uma curva em formato espiral é formada uido-se semicircuferêcias cujos raios, em cetímetros, são dados pela sequêcia 1,, 3, 4,.... A Figura 6.3 mostra os quatro primeiros arcos que compõem a espiral, idetificado-os com cores diferetes. O úmero que acompaha cada arco idica o raio da semicircuferêcia correspodete. Usado ossos cohecimetos de geometria, defiimos o comprimeto de uma semicircuferêcia cujo raio é r através da fórmula πr. Assim, o comprimeto da eésima semicircuferêcia que forma a curva é dado por a = π, e a sequêcia dos comprimetos de arcos é composta pelos termos π, π, 3π, 4π, 5π, 6π,..., π,... Figura 6.3: Espiral do Exemplo 1. Supoha que, esse exemplo, estejamos iteressados em cohecer o comprimeto total, C, da espiral formada pelos primeiros 0 arcos. Naturalmete, o valor de C pode ser obtido somado-se os termos da sequêcia acima, ou seja, C = π + π + 3π + 4π + 5π + 6π + 7π + 8π + 9π + 10π + 11π + 1π + 13π + 14π + 15π + 16π + 17π + 18π + 19π + 0π. Efetuado essa soma, descobrimos que C = 10π cetímetros. Você sabia? A letra grega sigma, que origiou o osso S, tem uma forma maiúscula, Σ, e duas formas miúsculas, σ e ς, das quais a última só aparece ao fial das palavras. O Exemplo acima evidecia os problemas que ecotramos ao calcular a soma dos termos de uma sequêcia. Além de ão ser prático escrever a soma por exteso, o cálculo dessa soma pode ser muito trabalhoso se o úmero de termos for grade. Vejamos como miimizar essas dificuldades, começado por defiir uma otação especial para as somas, que evolve o uso da legra grega Σ (sigma maiúsculo). Somatório A soma dos primeiros termos de uma sequêcia cujo i-ésimo termo é a i é represetada por a i = a 1 + a + a a, e é lida como o somatório de a i, para i (variado) de 1 a.

10 544 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Na otação de somatório, o Σ represeta a soma; a expressão que segue o Σ é o termo geral da sequêcia; o ídice do primeiro termo da soma aparece abaixo do Σ (quado escrevemos i = 1, por exemplo, a soma começa por a 1 ); o ídice do último termo da soma é apresetado acima do Σ (o somatório da Figura 6.4, por exemplo, o último termo é a ). Figura 6.4: Notação de somatório. Empregado a ova otação, a soma das vite semicircuferêcias do Exemplo 1 pode ser escrita como 0 πi. Outros exemplos de somatório são dados o problema abaixo. Problema. Somatórios a) Calcule os somatórios 6 i b) 5 k=1 1 k a) O termo geral desse somatório é a i = i. Calculado, etão, a 1 = 1, a =, a 3 = 3, a 4 = 4, a 5 = 5, a 6 = 6, obtemos 6 i = = 91. b) Nesse caso, devemos somar os cico primeiros termos da sequêcia com termo geral a k = 1/(k). Portato, temos 5 k=1 1 k = = = Agora, tete o Exercício 1. A razão de idicarmos o ídice do termo iicial do somatório logo abaixo da letra sigma é que isso os permite defiir somas que começam por a m, com m 1, como mostram os exemplos a seguir. Você sabia? No Exemplo 3(b), otamos que 5 i=0 i = 6 1. De uma forma mais geral, podemos dizer que, para qualquer iteiro positivo i=0 i = Exemplo 3. Somatórios que ão começam por a 1 a) b) 8 i=4 5 i=0 5 i = (5 4) + (5 5) + (5 6) + (5 7) + (5 8) = 35. i = = = 63.

11 Seção 6.. Somatórios 545 A otação sigma é a forma mais prática de represetar um somatório, de modo que é comum coverter a essa otação as somas dadas por exteso. Podemos fazer essa coversão usado os cohecimetos que já adquirimos sobre sequêcias, bastado para isso que ecotremos uma fórmula para o termo geral a i ; determiemos o valor iicial e o valor fial de i. Problema 4. Coversão à otação sigma Coverta à otação de somatório as seguites somas: a) b) 1,05 + 1,05 + 1, ,05 1. a) Notamos que os termos da soma são os úmeros pares etre e 00, ou seja, a 1 =, a = 4, a 3 = 6, a 4 = 8, O termo geral dessa sequêcia é a i = i. Naturalmete, o primeiro termo da soma é a 1. Para descobrir o ídice i correspodete ao último termo, resolvemos a equação a i = 00: i = 00 i = 00/ = 100. Logo, o último ídice é 100, de modo que a soma pode ser escrita como 100 i. b) Os termos da soma 1,05 + 1,05 + 1, ,05 1 são a 1 = 1,05 1, a = 1,05, a 3 = 1,05 3, a 4 = 1,05 4, a 1 = 1,05 1 Nesse caso, claramete, devemos somar os doze primeiros termos da sequêcia cujo termo geral é a i = 1,05 i. Assim, temos 1 1,05 i. Agora, tete o Exercício. Propriedades do somatório As propriedades da soma e da multiplicação, vistas o Capítulo 1, podem ser empregadas para reescrever um somatório de forma a facilitar seu cálculo. Tomado como exemplo o comprimeto da curva espiral do Exemplo 1, que é dada por C = π + π + 3π + 4π + 5π π + 17π + 18π + 19π + 0π,

12 546 Capítulo 6. Sequêcias e progressões observamos que todos os vite termos icluem a costate π, de modo que podemos pô-la em evidêcia, obtedo Assim, temos C = π( ). C = 0 0 π i = π ( i). Geeralizado essa propriedade para uma soma a forma ca i, obtemos uma das três propriedades pricipais dos somatórios, as quais apresetamos o quadro abaixo. Propriedades dos somatórios Sejam a i e b i os termos gerais de duas sequêcias, c uma costate real e um úmero iteiro positivo. Etão, 1.. (a i + b i ) = (a i b i ) = a i + a i b i b i 3. ca i = c ( a i ) Todas essas propriedades são fáceis de demostrar expadido os somatórios. Para provar que a Propriedade 1 é válida, por exemplo, basta escrever Nessa demostração, usamos duas propriedades da soma: a comutatividade, que diz que a + b = b + a, e a associatividade, segudo a qual (a + b) + c = a + (b + c). (a i + b i ) = a 1 + b 1 + a + b + a 3 + b a 1 + b 1 + a + b = a 1 + a + a a 1 + a + b 1 + b + b b 1 + b = a i + b i. Embora o mesmo expediete possa ser usado para provar a Propriedade, vamos empregar as Propriedade 1 e 3 para obter a demostração: (a i b i ) = [a i + ( 1) b i ] = a b=a+( 1) b a i + ( 1) b i = Propriedade 1 a i b i Propriedade 3 Voltemos, agora, à curva espiral do Exemplo 1, cuja soma, como vimos, foi alterada coforme descrito abaixo. C = 0 0 πi C = π ( i). Aida que essa mudaça pareça sutil, a fórmula da esquerda exige 0 multiplicações e 19 somas, equato a da direita requer apeas 19 somas e uma multiplicação, permitido uma ecoomia de 19 multiplicações. Etretato, seria aida melhor se cohecêssemos o valor da soma , pois isso os permitiria calcular C quase sem esforço. Felizmete, os valores de i e de somas semelhates são cohecidos. Algus desses somatórios são apresetados a seguir..

13 Seção 6.. Somatórios 547 Pricipais somatórios de potêcias (cot.) = i = i = ( + 1) ( + 1)( + 1) 6 i 3 = ( + 1) 4 5. i 4 = ( + 1)( + 1) ( ) 30 Embora algumas dessas fórmulas sejam difíceis de obter, a demostração dos dois primeiros somatórios é simples. Para provar que 1 =, por exemplo, basta expadir o somatório, como mostrado abaixo. 1 = =. termos Já para demostrar que i = ( + 1)/ adotamos uma estratégia mais egehosa. Nesse caso, supodo que queiramos calcular ( i), defiimos ( i) = i + i. Escrevedo, agora, os termos da primeira soma em ordem crescete e os termos da seguda em ordem decrescete, e somado termo a termo, obtemos i = ( ) + ( 1) + + i = + ( 1) + ( ) i = ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) Logo, i = ( + 1), de modo que Exemplo 5. i = ( + 1). Comprimeto de uma curva espiral Agora que sabemos que o comprimeto da curva espiral da Figura 6.3 é dado por C = π ( 0 i), podemos usar a Fórmula do quadro acima para calcular o somatório: 0 C = π ( i) = π [ 0(0 + 1) ] = π [ 0 1 ] = 10π cm. Problema 6. Cálculo de somas Calcule

14 548 Capítulo 6. Sequêcias e progressões a) b) k=1 50 (3i ) c) d) 30 k=1 40 k=1 5 (k 10 3 ) k e) 15 i i=6 a) 100 k=1 8 = 100 k= é o elemeto eutro da multiplicação. 100 = 8 ( 1) Propriedade 3. k=1 = Aplicação da fórmula 1 =. = 800 Simplificação do resultado. b) 50 (3i ) = i Propriedade. 50 = 3 ( 50 i) ( 1) Propriedade 3. i = ( + 1) e 1 = = 3 [ 50(50 + 1) ] (50) Aplicação de fórmulas. = Cálculo dos produtos. = 375 Cálculo da difereça. c) 30 k=1 5 (k 10 3 ) = 30 5 [ (k 10 )] Propriedade 3. k=1 3 = 5 [ 30 k=1 k 30 k=1 10 ] Propriedade. 3 = 5 [ 30 k=1 k ( 1)] Propriedade 3. k=1 i = ( + 1) e 1 = = 5 [30(30 + 1) 10 3 (30)] Aplicação de fórmulas. = [ ] Cálculo dos produtos. 5 = 146 Simplificação do resultado. d) 40 k=1 k = 1 40 ( k ) Propriedade 3. k=1 i = ( + 1)( + 1) 6 = 1 + 1)( ) (40(40 ) Aplicação de fórmula. 6 = Simplificação do resultado.

15 Seção 6.. Somatórios 549 e) Observe que o somatório 15 i=6 i ão começa pelo ídice i = 1, de modo que ão podemos calculá-lo aplicado diretamete a fórmula apresetada o quadro acima. Etretato, felizmete, é possível obter o somatório o itervalo correto somado todos os termos de 1 a 15 e subtraido do resultado os termos idesejados, ou seja, aqueles com ídice de 1 a 5: i=6 i = i = i = Usado, etão, a fórmula do somatório de i, obtemos i = ( + 1) 15 i=6 15 i = i i = 5 15(15 + 1) 5(5 + 1) = = 105. Agora, tete o Exercício 3. O artifício itroduzido o último item do Problema 6 pode ser usado para calcular qualquer soma que comece em um termo a m, com m 1, ou seja, i=m a i = m 1 a i a i. ou a i = m 1 a i + i=m a i. Nesse quadro, a fórmula da esquerda mostra como calcular um somatório através da difereça de outros dois, equato a fórmula da direita mostra como obter um somatório a partir da soma de outros dois. Problema 7. Somatório que ão começa o termo de ídice 1 Calcule 60 ( k k= ). Usado a fórmula do quadro acima, escrevemos 60 k=31 ( k ) = 60 k=1 ( k ) ( k k= ). O cálculo do primeiro somatório é dado abaixo. 60 k=1 ( k ) = 60 k=1 60 k 3 + k=1 1 4 Propriedade 1. = k Propriedade 3. k=1 4 k=1 i = ( + 1) e 1 = = ) (60(60 ) + 1 (60) Aplicação de fórmulas. 4 = 65 Simplificação do resultado.

16 550 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Aplicado a mesma sequêcia de passos, obtemos facilmete o segudo somatório: 30 k=1 ( k ) = 30 k=1 30 k 3 + k=1 1 4 = k + 1 k= = 1 k= ) (30(30 ) + 1 (30) = 16,5. 4 Logo, 60 ( k k= ) = 65 16,5 = 46,5. 4 Agora, tete o Exercício 4. Exercícios Calcule os somatórios abaixo escrevedo os termos e somado-os. a) b) 4 i 3 c) 4 1 4i d) 4 i+ e) 5 i 1 i+1 f) 0 j=1( 1) j g) 5 j=1( ) j h) 4 j=1( 1) j ( j 1 j +1 ) i) 5 k=1( k k ) j) 5 i [1 + ( 1)i ]. Escreva as somas abaixo usado a otação de somatório. a) b) c) d) e) f) g) h) 1 +! + 3 3! + 4 4! + 5 5! ! i) (3 + 5) + (3 + 10) + (3 + 15) + (3 + 0) + + (3 + 50) j) 1 x + x x 3 + x 4 x 5 + x 6 x 7 + x 8 x 9 3. Usado as propriedades dos somatórios e os valores cohecidos de k=1 1, k=1 k e k=1 k, calcule as somas. a) 100 (i 1) b) 100 (i 1) c) 100 ( i + 5 ) d) (i 5 ) e) 80 3 (i 0) f) 45 3 (i 5 9 ) g) 15 (i 16) h) 10 (i 1)(i + ) 4. Usado as propriedades dos somatórios e os valores cohecidos de k=1 1 e k=1 k, calcule as somas. a) 80 i=1 i b) 100 i=50(3i + 1) c) 50 i=1 4(i ) d) (i 1 4 ) 5. Calcule a soma dos múltiplos de 5 o itervalo [5,1000]. 6. Resolva as equações a) i = 35 b) i = +4 c) (i 5) = 10 d) (4i + 9) = Escreva todos os termos do somatório telescópico abaixo e determie o valor da soma. 6 a i a i Com base o resultado que você obteve o Exercício 7, calcule 6 1 i 1 i + 1. (Dica: supoha que a i = 1 i ). 9. O coeficiete de redimeto (CR) dos aluos da UNI- CAMP é calculado pela fórmula CR = ( N i C i ) (10 C i ), em que N i e C i são, respectivamete, a ota e o úmero de créditos relativos à i-ésima disciplia, e é o úmero de disciplias cursadas. Usado as otas que você acredita que terá ao fial do semestre, calcule o seu CR. Respostas dos Exercícios a) b) 100 c) 5/48 d) 19/10 e) 1/10 f) 0 g) h) 3/17 i) 7 j) 6. a) 00 i b) 00 i c) 100 i d) 00 ( 1)i i e) 10 i f) 5 3i g) 50 1 i(i+1) h) 10 i i! i) 10 (3 + 5i) j) 10 ( x)i 1 3. a) b) 9900 c) a) 3030 b) d) e) 460 f) 3030 c) 400 d) 4545 g) 1000 h) 40

17 Seção 6.3. Progressões aritméticas a) 5 b) c) 5 d) 0 7. a 1 a A soma é igual a Progressões aritméticas Há dois tipos pricipais de sequêcias, cada qual associado a uma fução real. O primeiro deles, chamado progressão aritmética é a versão discreta da fução afim (ou liear), como mostra o exemplo abaixo. Problema 1. Poltroas de um teatro Em um pequeo teatro, a primeira fileira tem 10 poltroas, a seguda fileira tem poltroas a mais que a primeira, a terceira tem poltroas a mais que a seguda, e assim por diate. Quatas poltroas tem a sexta fileira? E quatas poltroas tem uma fileira qualquer? Figura 6.5: Exemplo 1. Plata do teatro do O euciado desse problema descreve uma sequêcia defiida recursivamete, da qual cohecemos o primeiro termo a 1 = 10 e a fórmula do termo geral, que é Aplicado essa fórmula, obtemos a i = a i 1 +, para i. a = a 1 + = 10 + = 1 a 3 = a + = 1 + = 14 a 4 = a 3 + = 14 + = 16 a 5 = a 4 + = 16 + = 18 a 6 = a 5 + = 18 + = 0 Logo, a sexta fileira tem 0 poltroas. Usado a mesma fórmula recursiva do termo geral, podemos ecotrar o úmero de poltroas de qualquer fileira. Etretato, essa estratégia é icoveiete, pois seu uso para a determiação de a exige o cálculo de todos os termos ateriores, ou seja, de a, a 3,..., a 1. Tetemos, etão, defiir uma fórmula para o termo geral que depeda apeas de a 1 e de, e ão de a 1, seguido a mesma ideia apresetada o Problema 7 da Seção 6.1. Comecemos escrevedo os termos da sequêcia em relação a a 1. Para o segudo termo ão há mistério, já que a fórmula recursiva os diz diretamete que a = a 1 +. Para escrever o terceiro termo em fução de a 1, combiamos a fórmula recursiva com a expressão de a dada acima, obtedo a 3 = a + = a = a 1 +. fórmula a recursiva Repetido esse procedimeto para os termos a 4, a 5 e a 6, ecotramos a 4 = a 3 + = a = a = 16 a 5 = a 4 + = a = a = 18 a 6 = a 5 + = a = a = 0

18 55 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Observado atetamete os úmeros destacados em vermelho as expressões acima, otamos que cada um deles é exatamete uma uidade meor que o ídice do termo correspodete, de modo que, a = a 1 + ( 1) a 3 = a 1 + (3 1) a 4 = a 1 + (4 1) a 5 = a 1 + (5 1) a 6 = a 1 + (6 1) Geeralizado essa ideia para a, o eésimo termo da sequêcia que correspode ao úmero de poltroas a eésima fileira obtemos a = a 1 + ( 1). Logo, a fórmula do termo geral é a = 10 + ( 1). Sequêcias as quais a difereça etre dois termos sucessivos é costate, como ocorre o exemplo acima, são chamadas progressões aritméticas. Progressão aritmética Uma progressão aritmética é uma sequêcia a forma a 1, a 1 + r, a 1 + r, a 1 + 3r, a 1 + 4r, a 1 + 5r, em que a 1 é o primeiro termo e r é a razão da sequêcia. O termo geral de uma progressão aritmética é a = a 1 + ( 1)r. A Figura 6.6 mostra o gráfico da progressão aritmética do Problema 1. Note que o gráfico é formado apeas pelos potos vermelhos. Além disso, a coordeada vertical de cada poto forece o úmero de cadeiras da fileira do teatro cujo úmero é dado pela coordeada horizotal: (1, 10), (, 1), (3, 14), (4, 16), (5, 18), (6, 0),... Figura 6.6: Número de poltroas em fução da fileira do teatro. A liha tracejada que aparece o gráfico serve apeas para idicar que a progressão aritmética é a versão discreta da fução liear (ou afim), a qual a variável que aqui deomiamos só pode assumir os valores iteiros positivos 1,, 3,... A razão r da sequêcia é a forma discreta da icliação da reta associada à fução afim. Coforme idicado em verde a Figura 6.6, o valor de r correspode à razão etre a variação do úmero de cadeiras e a variação do úmero da fileira do teatro. Uma vez que a variação de uma uidade a horizotal provoca uma variação de duas uidades a vertical, temos r = a = 1 =. Vejamos, agora, algus exercícios relacioados a progressões aritméticas. Problema. Progressão com razão e termo iicial dados Ache o termo geral da progressão que começa em 1 e tem razão 3. Calcule a 100. Segudo o euciado, a 1 = 1 e r = 3. Logo,

19 Seção 6.3. Progressões aritméticas 553 Você pode simplificar essa expressão e escrever a = + 3. a = a 1 + ( 1)r = 1 + 3( 1). A partir da expressão acima, ecotramos a 100 = 1 + 3(100 1) = = = 98. Agora, tete o Exercício 1. Problema 3. Progressão dada pelos dois primeiros termos Ache o termo geral da progressão aritmética 104, 101,... e calcule o vigésimo termos da sequêcia. O euciado do problema os forece a 1 = 104. Para determiar a razão, basta lembrar que a = a 1 + r, de modo que Assim, r = a a 1 = = 1 a = a 1 + ( 1)r = 104 1( 1). Fialmete, o vigésimo termo da progresão é a 0 = 104 1(0 1) = = 796. Agora, tete o Exercício. Problema 4. Gráfico de uma progressão aritmética Um grupo de atletas decidiu criar um clube e espera obter a adesão de 40 sócios já o mês de iauguração. Além disso, o grupo pretede atrair sócios a uma taxa costate até atigir a marca de 400 pessoas o décimo segudo mês de fucioameto do clube. Escreva o termo geral da progressão que forece o úmero de sócios do clube a cada mês (desde sua fudação) e trace o gráfico dessa progressão. Como a taxa de crescimeto do úmero de sócios é costate, podemos modelar o problema usado uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a 1 = 40. Para ecotrar a razão r, basta dividir a variação do úmero de sócios pela variação do úmero de meses. Como o úmero de sócios deverá crescer o equivalete a pessoas em 1 1 meses, temos r = a = = = 180. Logo, espera-se que o clube teha 180 adesões por mês, o que sigifica que, o mês, o úmero de sócios será dado por a = 40 + ( 1)180. Figura 6.7: Número de sócios de um clube. O gráfico que mostra o úmero de sócios a cada mês do primeiro ao de fucioameto do clube é dado a Figura 6.7. Observe que iserimos dez termos etre o primeiro e

20 554 Capítulo 6. Sequêcias e progressões o décimo segudo termos da progressão, que são cohecidos. A esse tipo de problema o qual se itroduz termos em um itervalo dá-se o ome de iterpolação aritmética. Agora, tete o Exercício 7. Problema 5. Progressão dada por dois termos quaisquer Ache o termo geral da progressão aritmética cujo quito termo é 16 e cujo 13 o termo é 10. Para escrever o termo geral de uma progressão aritmética, é preciso determiar seu termo iicial, a 1, e sua razão, r. Para tato, podemos usar o fato de que os termos a 5 = 16 e a 13 = 10 são cohecidos e motar o sistema liear { a 5 = a 1 + (5 1)r a 13 = a 1 + (13 1)r { a 1 + 4r = 16 a 1 + 1r = 10 Isolado a 1 a primeira equação, obtemos a 1 = 16 4r. Substituido, etão, essa expressão a seguda equação do sistema, chegamos a (16 4r) + 1r = 10 8r = 86 r = 86/8 = 10,75. Fialmete, lembrado que a 5 = 16, temos a ,75 = 16 a 1 = = 7, de modo que a = ,75( 1). Agora, tete os Exercícios 3 e 4. Problema 6. Progressão que evolve uma variável Sabe-se que os três primeiros termos de uma progressão aritmética são x 1, 3x + 4 e 6x +. Determie x e o termo geral da progressão. Como os três termos acima estão em progressão aritmética, é correto supor que a difereça etre dois valores sucessivos seja costate e igual à razão r. Logo, Resolvedo a equação em x obtemos: r = (3x + 4) (x 1) = (6x + ) (3x + 4). (3x + 4) (x 1) = (6x + ) (3x + 4) x + 5 = 3x x = 7. Uma vez descoberto o valor de x, determiamos a 1 e r fazedo a 1 = x 1 = 7 1 = 6, r = (3x + 4) (x 1) = x + 5 = = 19.

21 Seção 6.3. Progressões aritméticas 555 Assim, a = ( 1). Agora, tete o Exercício 11. Problema 7. Progressão a partir de uma soma e um produto A soma dos três primeiros termos de uma progressão aritmética crescete é igual a 18 e o produto desses termos é 10. Determie esses três úmeros e o termo geral da sequêcia. Supohamos que os três primeiros termos da progressão sejam a 1, a e a 3. Segudo o euciado, temos { a 1 + a + a 3 = 18 a 1 a a 3 = 10 Como ão cohecemos a razão, r, que defie a progressão, reescrevemos os três primeiros termos a forma a 1, a = a 1 + r, a 3 = a 1 + r. Substituido, etão, as expressões de a e a 3 o sistema acima, chegamos a { a 1 + (a 1 + r) + (a 1 + r) = 18 a 1 (a 1 + r) (a 1 + r) = 10 Isolado a 1 a primeira equação desse sistema, temos 3a 1 + 3r = 18 3a 1 = 18 3r a 1 = 6 r. Fialmete, substituido a expressão de a 1 a seguda equação do sistema, obtemos (6 r) (6 r + r) (6 r + r) = 10 (6 r) 6 (6 + r) = 10 6 (36 r ) = r = 10 6r = 96 r = 16 r = ± 16 = ±4. Como o auciado afirma que a progressão é crescete, abadoamos a razão egativa r = 4 e adotamos r = 4. Assim, a 1 = 6 r = 6 4 = a = a 1 + r = + 4 = 6 a 3 = a + r = = 10 e o termo geral é a = a 1 + r( 1) = + 4( 1). Agora, tete o Exercício 1. Problema 8. Estações de rádio FM A ANATEL determia que as emissoras de rádio FM utilizem as frequêcias de 87,9 a 107,9 MHz, e que haja uma difereça de 0, MHz etre emissoras com frequêcias vizihas.

22 556 Capítulo 6. Sequêcias e progressões a) Escreva o termo que forece a frequêcia da i-ésima rádio. b) A 86 a frequêcia é reservada a uma rádio comuitária. Determie a frequêcia dessa rádio. c) Determie quatas emissoras FM podem fucioar em uma mesma região. a) As frequêcias das emissoras FM formam uma progressão aritmética com razão igual a 0, MHz e frequêcia iicial de 87,9 MHz. Assim, a i = 87,9 + 0,(i 1). b) a 86 = 87,9 + 0,(86 1) = 87,9 + 17,0 = 104,9 MHz. c) A eésima e última emissora tem frequêcia a = 107,9 MHz, de modo que Observe que há 0/0, = 100 itervalos de 0, MHz etre as frequêcias de 87,9 MHz e 107,9 MHz. Dessa forma, o úmero de emissoras é igual a ,9 + 0,( 1) = 107,9 0,( 1) = 0 1 = 100 = 101. Logo, podem existir 101 emissoras em cada região. Agora, tete os Exercícios 17 e 31. Soma dos termos de uma progressão aritmética No Problema 1, o úmero de poltroas da i-ésima fileira de um teatro era dado pelo termo geral a i = 10 + (i 1). Nesse caso, se quiséssemos descobrir a capacidade do teatro, supodo que ele tivesse 1 fileiras de assetos, teríamos que calcular 1 [10 + (i 1)]. Não seria difícil determiar o valor desse somatório usado as propriedades apresetadas a Seção 6.. Etretato, como somas desse tipo são muito frequetes, é mais prático estabelecer uma fórmula geral para a soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética qualquer e aplicá-la sempre que ecessário. Cosideremos, etão, a progressão com termo geral a i = a 1 + r(i 1), cuja soma dos primeiros termos é dada por a i = a 1 + r(i 1). Aplicado as propriedades do somatório, obtemos

23 Seção 6.3. Progressões aritméticas 557 a 1 + r(i 1) = a 1 + r(i 1) Propriedade 1. = a 1 [ 1] + r [ (i 1)] Propriedade 3. = a 1 [ 1] + r [ i] r [ 1] Propriedade. i = ( + 1) e 1 = = a 1 + r ( + 1) r Aplicado as fórmulas de somatório. = a 1 + r( + 1) r Adotado um deomiador comum. = [a 1 + r( + 1) r] Podo em evidêcia. = [a 1 + r( 1)] Simplificado o resultado. O quadro abaixo resume o resultado que acabamos de obter. Soma dos termos de uma progressão aritmética A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética de termo geral a i = a 1 + (i 1)r é Observe que, usado a expressão de a, é fácil obter a seguda fórmula a partir da primeira. S = [a 1 + ( 1)r] ou S = [ a 1 + a ]. Proto! Agora que dispomos de uma fórmula geral, podemos aplicá-la ao problema do teatro, bastado para isso que defiamos = 1, a 1 = 10, e r = : 1 a i = 1 [ 10 + (1 1)] = 6 [0 + 11] = 5. Logo, o teatro tem capacidade para 5 espectadores. Exemplo 9. Soma dos termos de uma progressão aritmética Para determiar a soma dos 0 primeiros termos da progressão cujo termo geral é a i = 3 + (i 1)5, basta substituir a 1 = 3, r = 5 e = 0 a fórmula acima, o que forece S 0 = 0 [ 3 + (0 1) 5] = 10 [ ] = Problema 10. Figuras com palitos Cosidere a sucessão de figuras apresetada a Figura 6.8. figura é formada por um cojuto de palitos de fósforo. Observe que cada

24 558 Capítulo 6. Sequêcias e progressões (1) () (3) Figura 6.8: Figuras formadas por palitos. a) Supoha que essas figuras represetem os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Supoha também que F 1, F e F 3 idiquem, respectivamete, o úmero de palitos usados para produzir as Figuras 6.8(1), 6.8() e 6.8(3). Escreva a expressão geral de F, que forece o úmero de fósforos utilizados para formar a eésima figura dessa sucessão. b) Calcule o úmero de fósforos da décima figura da sequêcia. c) Determie o úmero de fósforos ecessários para que seja possível exibir cocomitatemete todas as primeiras 50 figuras. a) Cotado os palitos mostrados a Figura 6.8, observamos que F 1 = 4, F = 3 4 = 1 e F 3 = 5 4 = 0. Cocluímos, etão, que, etre duas figuras sucessivas, há um aumeto de dois quadrados formados por 4 palitos, o que forece um total de 8 palitos. Sedo assim, o úmero de palitos da eésima figura será dado pelo termo geral de uma progressão aritmética de razão 8 e termo iicial 4, ou seja, F = 4 + ( 1) 8. b) Aplicado a fórmula obtida o item acima, obtemos F 10 = 4 + (10 1) 8 = 76. Logo, a décima figura tem 76 palitos de fósforo. c) A soma do úmero de palitos empregados para exibir cada uma das primeiras 50 figuras é dada por 50 F = 50 [ 4 + (50 1)8] = 5[ ] = =1 Portato, são ecessários palitos de fósforo para exibir cocomitatemete as 50 figuras. Agora, tete os Exercícios e 4.

25 Seção 6.3. Progressões aritméticas 559 Problema 11. Soma dos úmeros ímpares Calcule Notamos que os valores somados correspodem aos úmeros ímpares de 1 a 99, os quais podem ser descritos pela progressão aritmética que tem termo iicial a 1 = 1 e razão. Nesse caso, o termo geral é a i = 1 + (i 1). Embora saibamos que os termos iicial e fial da sequêcia são, respectivamete, a 1 = 1 e a = 99, aida ão cohecemos o valor de, ou seja ão sabemos quatos termos devem ser somados. Felizmete, esse valor pode ser facilmete ecotrado igualado a expressão de a a 99: a = 1+( 1) = = 99 = 100 = 50. Logo, a soma desejada correspode a 50 1 ( 1). Usado, etão, seguda fórmula apresetada o quadro acima, obtemos Agora, tete o Exercício 16. S = [ a 1 + a ] = 50 [ ] = = 500. Problema 1. Número de fileiras de um teatro Pretede-se costruir um teatro de modo que sua sala teha 10 poltroas a primeira fila, 1 a seguda, 14 a terceira, e assim por diate. Quatas fileiras o teatro deve ter para que comporte, ao meos, 500 pessoas setadas? Temos, aqui, um teatro similar àquele apresetado o Problema 1, já que a primeira fileira tem 10 poltroas e há um acréscimo de assetos etre fileiras sucessivas. Nesse caso, o úmero de poltroas da i-ésima fila é dado pelo termo geral da progressão aritmética com termo iicial a 1 = 10 e razão, ou seja, a i = 10 + (i 1). Etretato, o objetivo do problema ão é apeas o cálculo do úmero total de poltroas do teatro, mas a determiação de um úmero de fileiras,, que faça com que o teatro comporte o míimo 500 espectadores. Assim, otado que o total de poltroas das fileiras correspode a S = [ 10 + ( 1) ] = [0 + ] = 9 +, determiamos o valor de exigido que a expressão acima seja maior ou igual ao úmero desejado de poltroas, ou seja, S Para resolver essa iequação, determiamos o discrimiate da equação = 0, = ( 500) = 081

26 560 Capítulo 6. Sequêcias e progressões e usamos a fórmula de Bháskara para obter as suas raízes: = 9 ± ± 45,618. Portato, as raízes da equação associada são = 18,309 e = 7,309. Voltado, etão, à iequação origial, podemos ecotrar sua solução usado a estratégia apresetada a Seção 4.1, que cosiste em esboçar o gráfico da fução f() = e, a partir dele, determiar os valores de para os quais f() 0. Observado que o termo que multiplica é positivo (ou seja, a > 0), cocluímos que o gráfico de f() tem cocavidade para cima, como mostra a Figura 6.9, de modo que a solução da iequação é dada por Figura 6.9: Esboço do gráfico de f() = ,309 ou 18,309. Fialmete, como deve ser um úmero iteiro e positivo, cocluímos que 19, ou seja, a sala precisa ter ao meos 19 fileiras de poltroas. Agora, tete os Exercícios 9 e 3. Exercícios O termo iicial e a razão de algumas progressões aritméticas são dados abaixo. Escreva o termo geral e determie o termo idicado. a) a 1 = 500, r = 5. a 1? b) a 1 = 1/3, r = 1/6. a 35? c) a 1 = 100, r = 4. a 51? d) a 1 =, r = 3. a 18?. Os dois primeiros termos de algumas progressões aritméticas são dados abaixo. Escreva o termo geral e determie o termo idicado. a) 4, 1,... a 1? b) 1,5; 7;... a 10? c) 3, 1,... a 0? d) π, 6π,... a 5? 3. Determie o termo geral de uma progressão aritmética sabedo que seu quarto termo é 5 e seu décimo termo é Determie o termo geral de uma progressão aritmética sabedo que seu sexto termo é 00 e seu décimo quarto termo é Determie o termo geral de uma progressão aritmética sabedo que seu 100 termo é 500 e seu 110 termo é Determie o termo geral de uma progressão aritmética sabedo que seu 10 termo é 3 e seu termo é Trace o gráfico da progressão defiida por a = 10 ( 1) Trace o gráfico da progressão defiida por a = 4 + ( 1). 9. Trace um gráfico de barras que represete a progressão defiida por a = 4 + ( 1). 10. Sabedo que os três primeiros termos de uma progressão aritmética valem x, x + 3 e 7x 4, determie o termo geral da progressão. 11. Supodo que os três primeiros termos de uma progressão aritmética sejam 5 + x, x e x, determie x e o termo geral da progressão. 1. A soma dos três primeiros termos de uma progressão aritmética decrescete é,5 e o produto do primeiro pelo terceiro termo é igual a 14. Determie os três primeiros termos e o termo geral da sequêcia. 13. A soma dos três primeiros termos de uma progressão aritmética crescete é 36 e a soma dos quadrados desses termos é 530. Determie os três termos e o termo geral da sequêcia. 14. A soma dos três primeiros termos de uma progressão aritmética decrescete é 7 e o produto desses termos é 405. Determie os três termos e o termo geral da sequêcia. 15. Em uma progressão aritmética crescete, a soma dos dois primeiros termos é igual ao terceiro termo, e o produto dos dois primeiros termos é 18. Determie o termo geral da sequêcia. 16. Calcule as somas abaixo. a) Todos os iteiros pares meores ou iguais a 100. b) Os 100 primeiros iteiros positivos pares. c) Os primeiros 0 termos da progressão aritmética 3, 8,...

27 Seção 6.3. Progressões aritméticas No mês correte, uma empresa registrou uma receita de R$ 600 mil e uma despesa de R$ 800 mil. Para voltar a ter lucro, a empresa pretede mater costate a receita, e reduzir suas despesas, mesalmete, em exatos R$ 45 mil. a) Escreva a expressão do termo geral da progressão aritmética que forece o valor da despesa em fução de, o úmero de meses trascorridos, cosiderado como mês iicial o correte. b) Calcule em quatos meses a despesa será meor que a receita. 18. No cetro de um mosaico formado apeas por pequeos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos ciza. Em toro dos ladrilhos cetrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos bracos, seguida por uma camada de ladrilhos ciza, e assim sucessivamete, alterado camadas de ladrilhos bracos e ciza, como ilustra a figura abaixo, que mostra apeas a parte cetral do mosaico. a) Determie o úmero de ladrilhos da 10ª camada ciza. b) Supodo que o mosaico teha exatamete 10 camadas de cada cor, calcule o úmero de ladrilhos bracos e o úmero de ladrilhos ciza empregados a sua costrução. 19. Um site de relacioameto tem 00 membros e plaeja aumetar o úmero de itegrates usado uma estratégia agressiva de propagada. O site espera que 100 ovos membros etrem a primeira semaa após a propagada, 00 etrem a seguda semaa, 300 etrem a terceira semaa, etc. Caso essa estratégia dê certo, determie em quatas semaas o site terá membros. 0. Um auditório tem poltroas orgaizadas em fileiras. A terceira fileira tem 8 poltroas e a quarta tem 3 poltroas. Sabedo que o úmero de poltroas aumeta de forma costate etre fileiras sucessivas, e que o auditório tem 30 fileiras de poltroas, a) Determie o úmero de poltroas da 1 a fileira. b) Determie o úmero de poltroas da -ésima fileira, em que é um úmero atural etre 1 e 30. c) Determie o úmero de poltroas do auditório. 1. A seguda fileira de um teatro tem 0 poltroas e a quita tem 6 poltroas. Sabedo que o úmero de poltroas aumeta de forma costate etre fileiras sucessivas e que o auditório possui 740 poltroas, determie o úmero total de fileiras do auditório.. Um barco será usado para recolher 0 boias que foram colocadas em liha reta, como mostra a figura abaixo. A primeira boia está a 00 m do píer de ode partirá o barco, e cada uma das demais boias está a uma distâcia de 100 m da aterior. Como o barco é muito pequeo, só é possível trasportar uma boia por vez. Desse modo, o barqueiro pegará a primeira boia e retorará ao píer. Em seguida, ele buscará a seguda boia, retorado ovamete ao píer. Esse processo será repetido até que todas as boias teham sido recolhidas. a) Determie a distâcia percorrida pelo barco (ida e volta) para buscar cada uma das quatro primeiras boias. b) Escreva a fórmula do termo geral, a, da progressão que forece a distâcia percorrida pelo barco (ida e volta) para resgatar apeas a -ésima boia. c) Determie a distâcia total percorrida pelo barco para recolher todas as boias. 3. Um atleta que está se preparado para a maratoa pretede correr 15 km diariamete a primeira semaa de treio, e aumetar a distâcia em 1,5 km a cada semaa, até atigir a marca de 4 km. a) Escreva o termo geral da progressão que forece a distâcia diária percorrida pelo atleta a i-ésima semaa. b) Determie qual será a última semaa de preparação do atleta, que é aquela em que ele estará corredo os 4 km. c) Lembrado que cada semaa é composta por 7 dias, determie quatos quilômetros o atleta correrá, ao todo, em sua preparação. 4. Cosidere as figuras apresetadas a seguir, que represetam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras formadas por palitos de fósforo. a) Supoha que F 1, F e F 3 idiquem, respectivamete, o úmero de palitos usados para produzir as Figuras 1, e 3. Escreva a expressão geral de F i (o úmero de fósforos usados para formar a Figura i) e calcule F 10.

28 56 Capítulo 6. Sequêcias e progressões b) Supoha que você deseje exibir cocomitatemete as figuras dessa sucessão, começado pela primeira. Quatas figuras é possível exibir com 360 fósforos? 5. Uma pessoa emite um som de 60 decibéis em um local em que há eco. a) Se que cada eco tem 3,98 decibéis a meos que o som aterior, escreva a progressão que descreve a altura (em decibéis) do i-ésimo som, começado pelo som origial e icluido os ecos. b) Se o som mais baixo que o ouvido humao cosegue perceber tem 0 decibel, quatos ecos o som de 60 decibéis produz? 6. Uma pilha de toras de madeira tem 30 trocos a camada iferior, 9 trocos a seguda camada, 8 a terceira, e assim sucessivamete, até a última camada, que tem 1 toras. Calcule o úmero total de toras da pilha. 7. Os participates da maratoa de Ipatiga têm uma razão a mais para correr: os vultosos prêmios da prova. O primeiro colocado fatura R$ 1.500, o segudo recebe R$ 1.45, o terceiro embolsa R$ 1.350, e assim por diate, até o 0 o colocado. a) Escreva o termo geral da progressão que forece o prêmio recebido em relação à posição de chegada do participate. b) Determie o valor a ser recebido pelo 1 o colocado. c) Calcule o valor gasto pela orgaização da prova para pagar os 0 prêmios. 8. Para cobrir o piso de uma sala que tiha formato trapezoidal, João cortou várias tábuas de madeira. A primeira tábua tiha 1, m de comprimeto, a seguda tiha 1,4 m, a terceira tiha 1,6 m, e assim por diate. a) Escreva a fórmula de a i, o termo geral da progressão, que forece o comprimeto da i-ésima tábua. b) Se João gastou um total de 39 m em tábuas, calcule o úmero de tábuas usadas para cobrir o piso. 9. Um órgão de proteção do meio ambiete vem acompahado o ritmo de desmatameto em uma determiada região do país. A tabela abaixo forece a área desmatada aualmete desde o iício do moitorameto. Ao Área (km ) a) Escreva uma progressão que foreça a área desmatada o ao i, em km. b) Sem eumerar o que acotece ao a ao, determie a área desmatada o ao 11. c) Determie em que ao a área total desmatada (somado o desflorestameto ao a ao) atigirá 1800 km. 30. A tabela abaixo forece a expectativa de sobrevida dos brasileiros, segudo os dados de 013 do IBGE. Idade (aos) Sobrevida (aos) 1 75,0 74,1 3 73, a) Escreva a fórmula de a, o termo geral da progressão que forece a sobrevida de um brasileiro com aos. b) Calcule a sobrevida aproximada de uma pessoa com 50 aos. c) Essa progressão só forece uma boa aproximação da sobrevida para quem tem até 60 aos. Supodo que ela valesse para > 60, calcule em que idade a sobrevida seria aproximadamete igual a zero. 31. Cada caal de TV UHF tem uma frequêcia fixa. A frequêcia do caal 14, por exemplo, é 471,5 MHz, equato a do caal 15 é 477,5 MHz, e a do caal 16 é 483,5 MHz. Com base esses dados, a) Escreva a fórmula de a, o termo geral da progressão que forece a frequêcia (em MHz) do caal. b) Determie a frequêcia do caal 5. c) Em breve, a faixa que vai de 700 a 800 MHz será destiada à telefoia com tecologia 4G. Sem eumerar as frequêcias, determie o primeiro caal de TV UHF que será suprimido quado isso ocorrer. 3. Uma curva é composta por segmetos de reta. A figura abaixo ilustra a parte da curva composta pelos 1 primeiros segmetos. Sabe-se que o primeiro segmeto mede 1 cm, o segudo mede 1,5 cm, o terceiro mede cm, e assim por diate. a) Quato mede o i-ésimo trecho da curva? b) Se a curva é formada por 30 segmetos, qual é o seu comprimeto total? c) Quatos trechos tem uma curva com comprimeto total de 540 cm? 33. Joaquim faz uma revisão de seu carro a cada km. O custo das revisões do carro de Joaquim varia de acordo com a tabela abaixo. Revisão Preço (R$)

29 Seção 6.4. Progressões geométricas 563 a) Escreva o termo geral da progressão que forece o custo aproximado da -ésima revisão. b) Sem eumerar os preços das revisões, determie o custo da revisão dos km. c) Sem eumerar os preços das revisões, determie com que quilometragem o carro estará quado o gasto acumulado com as revisões atigir R$ 7.800, Em seu primeiro ao de fucioameto, uma empresa de ôibus trasportou 80 mil passageiros. A partir de etão, a empresa tem coseguido 10 mil ovos passageiros a cada ao. a) Escreva o termo geral da progressão que forece o úmero de passageiros trasportados aualmete pela empresa, desde o seu ao de iauguração. b) Determie em quato tempo a empresa atigirá a marca de 5 milhões de passageiros trasportados, isto é, em quatos aos a soma dos passageiros trasportados desde a estreia da empresa atigirá 5 milhões. Respostas dos Exercícios a) a = 500 5( 1), a 1 = 0 b) a = , a35 = 6 c) a = ( 1), a 51 = 100 d) a = + 3 ( 1), a 18 = 55. a) a = 4 3( 1). a 1 = 9 b) a = 1,5 + 5,5( 1). a 10 = 37 c) a = ( 1). a0 = 46 d) a = π + 4π( 1). a 5 = 10π 3. a = ( 1) 4. a = 0 4( 1) 5. a = ( 1) 6. a = a = ( 1) 11. x =, a = ( 1) 1. 14; 7,5; 1 a = ( 1) 13. 5, 1, 19 a = 5 + 7( 1) , 9, 3 a = 15 6( 1) 15. a = 8 + 8( 1) 16. a) 550 b) c) a) a = ( 1) b) No sexto mês, ou seja, daqui a cico meses. 18. a) 148 b) 760 ladrilhos ciza e 840 ladrilhos bracos. 19. O site terá membros em 1 semaas. 0. a) 0 poltroas b) a = c) 340 poltroas 1. 0 fileiras. a) 400 m, 600 m, 800 m e 1000 m b) a = c) S 0 = 46 km 3. a) a i = ,5(i 1) b) 19 semaas c) 3790,5 km 4. a) F i = 3i. F 10 = 30 b) 15 figuras 5. a) a i = 60 3,98(i 1) b) 15 ecos, ou seja, o 16 som toras 7. a) a = ( 1) b) R$ 675,00 c) R$ ,00 8. a) a = 1, + 0,( 1) b) 15 tábuas 9. a) a i = (i 1) b) 156 km c) 15 aos 30. a) a = 75 0,9( 1) b) 30,9 aos c) Aos 84 aos 31. a) a = 393,5 + 6( 1) b) 537,5 MHz c) O caal a) 1 + 0,5(i 1) cm b) 47,5 cm c) 45 segmetos 33. a) a i = ( 1) b) R$ 680,00 c) km 34. a) a i = (i 1) b) Em 5 aos 6.4 Progressões geométricas Além das progressões aritméticas, que são a versão discreta da fução afim, há um segudo tipo importate de sequêcia, deomiado progressão geométrica, que está associado à fução expoecial. Essa ova classe de sequêcias ão só possui muitas aplicações cietíficas, como também forma a base dos modelos usados em fiaças, como se verá a Seção 6.5. Para itroduzi-la, vamos usar como exemplo um problema associado à progressão salarial dos fucioários de uma empresa.

30 564 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Problema 1. Salário aual Uma empresa que está cotratado fucioários oferece um salário iicial de quareta mil reais por ao (icluido os pagametos mesais, o décimo terceiro salário e o adicioal de férias). Além disso, a empresa iforma que, a cada ao de trabalho, seus fucioários têm um aumeto de salário correspodete a 3% do valor recebido o ao aterior (desprezado-se a correção da iflação, que também é cosiderada o reajuste salarial). Determie o salário aual de um fucioário em cada um dos três primeiros aos a empresa e calcule o salário que ele receberá o eésimo ao de emprego. Digamos que o salário o ao i seja represetado por a i. Como, a cada ao, o salário aumeta 3% em relação ao valor recebido o ao aterior, o salário o segudo ao é igual a a = a a 1 = a 1 (1 + 0,03) = 1,03a 1 = 1, = R$ 41.00,00. Da mesma forma, como o salário do terceiro ao é 3% maior que o salário do segudo ao, o motate recebilo pelo fucioário o terceiro ao de emprego correspode a a 3 = a a = a (1 + 0,03) = 1,03a = 1, = R$ 4.436,00. Observado que a = 1,03a 1 e a 3 = 1,03a, percebemos que, ao dividir o salário de um ao pelo valor recebido o ao aterior, obtemos um valor costate, ou seja, a = a 3 = 1,03. a 1 a Sequêcias as quais a razão etre dois termos sucessivos é costate são chamadas progressões geométricas. Por sua vez, a costate adimesioal obtida a divisão é chamada razão. Nesse exemplo, a razão é igual a 1,03. Usado a letra r para represetar a razão, podemos dizer que, em qualquer ao i, temos a i = a i 1 r, que é a forma recursiva do termo geral da progressão geométrica. Para obter uma fórmula equivalete, mas que depeda apeas de r e a 1, vamos tetar calcular algus termos iiciais da sequêcia, começado por a 3 : a 3 = a r = a 1 r r = a 1 r fórmula a recursiva Repetido o procedimeto para os três termos seguites, obtemos a 4 = a 3 r = a 1 r r = a 1 r 3, a 5 = a 4 r = a 1 r 3 r = a 1 r 4, a 6 = a 5 r = a 1 r 4 r = a 1 r 5. Observado atetamete as fórmulas acima, otamos que, em todas, o expoete de r (mostrado em vermelho) é uma uidade meor que o ídice do termo. Assim, cocluímos que a = a 1 r 1. Portato, o salário de um fucioário em seu eésimo ao a empresa é dado por a = ,03 1.

31 Seção 6.4. Progressões geométricas 565 Um resumo do que foi visto esse problema é apresetado o quadro a seguir. Progressão geométrica Uma progressão geométrica é uma sequêcia a forma a 1, a 1 r, a 1 r, a 1 r 3, a 1 r 4, a 1 r 5, Quado r > 0 e r 1, a progressão geométrica é a versão discreta da fução expoecial. Além disso, a progressão é crescete se r > 1 e decrescete se 0 < r < 1. em que a 1 é o primeiro termo e r é a razão da sequêcia. O termo geral de uma progressão geométrica é a = a 1 r 1. Problema. Progressão com razão e termo iicial cohecidos Ache o termo geral da progressão que tem razão 3 e começa em 7. Calcule a 9. Como a 1 = 7 e r = 3, temos a = a 1 r 1 = Além disso, a 9 = = = Agora, tete o Exercício 1. Problema 3. Progressão com os primeiros termos cohecidos Ache o termo geral da progressão geométrica abaixo e calcule a 10. 5, 10, 0,... Para determiar a razão de uma progressão geométrica, basta dividir um termo pelo seu atecessor, de modo que, por exemplo, Como, além disso, a 1 = 5, temos r = a a 1 = 10 5 =. a = a 1 r 1 = 5 ( ) 1. Fialmete, a 10 = 5 ( ) 10 1 = 5 ( ) 9 = 560. Agora, tete o Exercício 3. Figura 6.10: a = Quado r > 0, o gráfico da progressão geométrica é composto pelos potos da curva defiida pela fução expoecial a() = a 1 r 1, os quais é um úmero iteiro positivo. A Figura 6.10 mostra o gráfico da progressão do Problema, que é crescete pois r > 1. Note que o gráfico é formado apeas pelos potos vermelhos. A liha tracejada foi icluída apeas para salietar a relação etre a progressão e a fução expoecial.

32 566 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Por outro lado, se r < 0, a sequêcia é oscilate, a exemplo do que vimos o Problema 3. Nesse caso, a coordeada vertical dos potos do gráfico ora é positiva, ora é egativa, como mostrado a Figura Problema 4. Progressão da qual se cohece dois termos Ache o termo geral da progressão geométrica cujo 3 o termo é 48 e que tem 6 o termo igual a 307. Sabemos que Figura 6.11: a = 5 ( ) 1. a 3 = a 1 r 3 1 = a 1 r = 48 a 6 = a 1 r 6 1 = a 1 r 5 = 307 Dividido o sexto termo pelo terceiro, obtemos a 1 r 5 a 1 r = Cálculo de a 6 a 3. r 3 = 64 r = 3 64 Simplificação da equação. Extração da raiz cúbica. Tabela 6.1 i a i r = 4 Lembrado que a 3 = 48, temos Logo, a = Agora, tete o Exercício 4. Problema 5. Simplificação do resultado. a 1 4 = 48 a 1 = = 3. Gráfico de um progressão geométrica Uma etidade ambietalista vem registrado o declíio acetuado da população de jacarés-de-papo-amarelo em uma região sujeita a desmatameto itesivo. Segudo a etidade, a espécie cotava com 100 jacarés o primeiro ao de acompahameto e, desde etão, tem sofrido uma redução de 0% dos aimais a cada ao. Trace um gráfico que mostre o tamaho da população em fução do ao de moitorameto da espécie, supodo que ão haja qualquer ação para coter dimiuição do úmero de jacarés. Figura 6.1: a i = 100 0,8 i 1. Agora, tete o Exercício 1. Se o úmero de jacarés cai 0% a cada ao, etão a população o ao i, deomiada a i, pode ser defiida por a i = a i 1 0,a i 1 a i = 0,8a i 1. Logo, temos uma progressão geométrica de razão r = 0,8 e termo iicial a 1 = 100. O termo geral dessa progressão é a i = 100 0,8 i 1. Os valores aproximados dos dez primeiros termos da sequêcia são dados a Tabela 6.1. Com base esses potos, traçamos o gráfico mostrado a Figura 6.1.

33 Seção 6.4. Progressões geométricas 567 Problema 6. Iterpolação geométrica Isira 5 úmeros reais etre 7 e 8.67 de modo a obter uma progressão geométrica. Nesse problema, temos uma progressão com sete termos, dos quais o primeiro e o último são dados, e os cico itermediários são descohecidos. Logo, a progressão geométrica é 7, a, a 3, a 4, a 5, a 6, 867. a1 a7 À semelhaça do que foi feito o Problema 4, ecotramos a razão da sequêcia dividido a 7 por a 1 : a = a 1 r 1 a 1 r 6 = 867 a 1 7 r 6 = 4096 r = = 4. Assim, os temos desejados são a = a 1 r = 7 4 = 8, a 3 = a r = 8 4 = 11, a 4 = a 3 r = 11 4 = 448, a 5 = a 4 r = = 179, a 6 = a 5 r = = Agora, tete o Exercício 6. Problema 7. Floco de eve Para costruir uma curva floco de eve, divide-se um segmeto de reta em três partes iguais (Figura 6.13a). Em seguida, o segmeto cetral sofre uma rotação e acresceta-se um ovo segmeto de mesmo comprimeto dos demais, como o que aparece tracejado a Figura 6.13b. Nas etapas seguites, o mesmo procedimeto é aplicado a cada segmeto da liha poligoal, como está ilustrado as Figuras 6.13c e 6.13d. Sabedo que o segmeto iicial mede 1 cm, determie o comprimeto da curva obtida a décima figura. (a) (b) (c) (d) Figura 6.13: Etapas da criação de uma curva floco de eve.

34 568 Capítulo 6. Sequêcias e progressões A Figura 6.13 mostra uma sequêcia de curvas formadas por segmetos de reta. Para facilitar a ossa aálise, deomiaremos a i o comprimeto da i-ésima curva, de modo que a 1 = 1 cm é o comprimeto da primeira curva da sequêcia. Etre a primeira curva e a seguda, o úmero de segmetos cresce, passado de 1 a 4. Por outro lado, o comprimeto de cada segmeto é reduzido a 1 do comprimeto 3 origial. Dessa forma, a = 4 Número de segmetos ( a 1 3 ) Comprimeto do segmeto = a Para a costrução da terceira curva, o úmero de segmetos é ovamete multiplicado por quatro, dividido-se, em cotrapartida, cada trecho por três. Logo, a 3 = 4 4 Número de segmetos ( a ) Comprimeto do segmeto = a Seguido o mesmo procedimeto de multiplicação do úmero de segmetos por quatro e de divisão de cada segmeto em três, obtemos o comprimeto da quarta figura, que é dado por a 4 = Número de segmetos ( a ) Comprimeto do segmeto = a Note que cada termo é obtido multiplicado-se o aterior por 4 3, de modo que a 1, a, a 3 e a 4 formam uma progressão geométrica de razão 4 3 e termo iicial a 1 = 1 cm. Portato, o comprimeto da curva da eésima figura é igual a e a curva da décima figura mede a = a 1 r 1 = ( 4 3 ) 1 a 10 = ( ) 13,3 cm. cm, Agora, tete o Exercício 11. Problema 8. Progressão evolvedo uma variável Seja dada a progressão geométrica x + 3, x + 8, x + 14,... Determie o termo geral da sequêcia. Para determiar o valor do termo iicial, a 1, e a razão, r, da sequêcia, devemos lembrar que r = a = a 3. a 1 a

35 Seção 6.4. Progressões geométricas 569 Logo, x + 8 x + 3 = x + 14 x + 8 Equação a a 1 = a 3 a. (x + 3)(x + 14) = (x + 8) Produto cruzado. x + 17x + 4 = x + 16x + 64 (a + b) = a + ab + b. x = Simplificação do resultado. Agora que dispomos do valor de x, podemos calcular e Portato, a = 5 ( 6 5 ) 1. Agora, tete o Exercício 9. r = a a 1 = x + 8 x + 3 = = 30 5 = 6 5 a 1 = x + 3 = + 3 = 5. Soma dos termos de uma progressão geométrica Assim como ocorre com as progressões aritméticas, é útil cohecer uma fórmula para a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica, pois isso evita que tehamos que efetuar a soma termo a termo. Vamos tetar ecotrar essa fórmula escrevedo, primeiramete, a soma que deomiamos S a otação usual das progressões geométricas: S = a 1 + a 1 r + a 1 r + a 1 r a 1 r + a 1 r 1. Agora, vamos usar um artifício que cosiste em defiir o produto S r = a 1 r + a 1 r + a 1 r 3 + a 1 r a 1 r 1 + a 1 r e, em seguida, calcular S r S : S r = a 1 r + a 1 r a 1 r + a 1 r 1 + a 1 r S = a 1 a 1 r a 1 r... a 1 r a 1 r 1 S r S = a 1 + a 1 r Com esse truque, elimiamos todos os termos do lado direito, exceto dois, de modo que S r S = a 1 r a 1 S (r 1) = a 1 (r 1) S = a 1(r 1). r 1 O quadro abaixo resume esse resultado, além de apresetar uma fórmula equivalete para S, levado em cota que a = a 1 r 1. Soma dos termos de uma progressão geométrica A soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica de termo geral a i = a 1 r i 1 é S = a 1(r 1) r 1 ou S = a r a 1 r 1.

36 570 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Exemplo 9. Soma dos salários auais No Problema 1, o salário que um fucioário recebia o eésimo ao de trabalho a empresa era dado por a = ,03 1. Observado que, essa fórmula, a 1 = e r = 1,03, cocluímos que, em seus 0 primeiros aos de empresa, um fucioário recebe um total de S 0 = a 1(r 1) r 1 Agora, tete os Exercícios 13 e 14. = 40000(1,030 1) 1,03 1 R$ ,98. Problema 10. Correte de mesages Berardo deu iício a uma correte de , eviado uma mesagem a 5 colegas, e pedido que cada um a eviasse a 5 pessoas diferetes, e que esse procedimeto fosse repetido ad aeterum. Supodo que ehum destiatário teha recebido a mesagem mais de uma vez, a) determie quatas pessoas receberam a mesagem a eésima geração da correte; b) determie o úmero total de pessoas que receberam a mesagem até a sexta geração da correte; c) determie quatas gerações seriam ecessárias para que a mesagem atigisse ao meos um milhão de pessoas. Também podemos escrever a = 5. a) Como cico pessoas receberam a mesagem origial de Berardo, temos a 1 = 5. Além disso, a cada geração, o úmero de destiatários da mesagem foi multiplicado por 5, de modo que r = 5. Usado essas iformações, cocluímos que, a eésima geração da correte, a mesagem atigiu a = destiatários. b) Somado todos aqueles que receberam a mesagem da primeira à sexta geração da correte, obtemos S 6 = 5(56 1) 5 1 = = pessoas. c) Para descobrir em que geração a correte atige ao meos um milhão de iterautas, vamos resolver a equação S = Usado, etão, ossos cohecimetos sobre equações expoeciais, escrevemos 5(5 1) 5 1 = Equação origial 5 1 = Multiplicado por 4/5 5 = Isolado a potêcia log(5 ) = log(800001) log(5) = log(800001) = log(800001)/ log(5) = 8,445 Aplicado o logaritmo Propriedade 7 do logaritmo Isolado Fazedo as cotas

37 Seção 6.4. Progressões geométricas 571 Como deve ser um úmero iteiro maior ou igual a 8,445, cocluímos que, se a correte chegar à 9 a geração, mais de pessoas terão recebido o . Agora, tete os Exercícios 7 e 8. Séries Como boa parte das sequêcias e progressões com as quais se lida em matemática são ifiitas, imagio que o leitor já teha se pergutado se é possível calcular a soma ão dos primeiros termos, mas de todos os ifiitos termos de uma sequêcia. Naturalmete, ão seríamos capazes de somar os termos um a um, já isso cosumiria um tempo ifiito. Etretato, curiosamete, há sequêcias ifiitas cujo somatório é um úmero real fiito. Por cota desses casos iteressates, os matemáticos decidiram batizar a soma de sequêcias ifiitas com o ome de série. Série Dada a sequêcia ifiita a 1, a, a 3,..., a i,..., deomiamos série ifiita ou simplesmete série a soma de todo os seus termos, ou seja, a 1 + a + a a i + = a i. Além disso, à soma dos primeiros termos de uma sequêcia, isto é, a 1 + a + a a = a i, damos o ome de eésima soma parcial. Exemplo 11. Séries a) Cosidere a sequêcia 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001; 0,000001; 0, ; que é equivalete a 1 10, 1 100, , , , , Notado que essa lista pode ser reescrita como ( 1 10 ) 1, ( 1 10 ), ( 1 10 ) 3, ( 1 10 ) 4, ( 1 10 ) 5, ( 1 10 ) 6, cocluímos que o termo geral da sequêcia é a = ( 1 10 ). Somado, etão, os ifiitos termos da sequêcia, obtemos a série ( 1 =1 10 ).

38 57 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Vejamos se essa série forece um úmero real fiito, ou seja, se a soma ão cresce ou decresce ilimitadamete. Para tato, calculemos as somas parciais passo a passo, observado o que acotece à medida que icluímos um ovo termo: ( 1 =1 10 ) = 0,1 + 0,01 = 0,11 3 ( 1 =1 10 ) = 0,1 + 0,01 + 0,001 = 0,111 4 ( 1 =1 10 ) = 0,1 + 0,01 + 0, ,0001 = 0, ( 1 =1 10 ) = 0,1 + 0,01 + 0, , ,00001 = 0, ( 1 =1 10 ) = 0,1 + 0,01 + 0, , , ,00001 = 0, Como se vê, a adição de um ovo termo à soma provoca a iclusão do algarismo 1 à direita do úmero a forma decimal. Desse modo, somado todos os termos obtemos o úmero real fiito 0, , o qual as reticêcias idicam a existêcia de ifiitos algarismos à direita da vírgula. Lembrado, etão, que 0, é a forma decimal do úmero 1/9, cocluímos que =1 ( 1 10 ) = 1 9. b) Como um segudo exemplo, tetaremos somar os termos da sequêcia cujo termo geral é 1 0!, 1 1!, 1!, 1 3!, 1 4!, 1 5!, 1 6!, 1 7!, 1 8!, 1 9!, a = 1!. Nesse caso, escrevedo explicitamete os dez primeiros termos do somatório, obtemos =0 1! = =, Você sabia? Apesar de Leohard Euler ter sido o primeiro matemático a empregar a letra e para represetar esse úmero, o século 18, ele já havia sido usado, embora de forma idireta, por Joh Neper o século aterior. Por esse motivo, o úmero e também é chamado de costate de Neper. Se cotiuássemos a somar os termos dessa sequêcia ifiita, otaríamos que o valor obtido se aproxima do úmero irracioal e, cohecido como úmero de Euler. Como vimos as Seções 5. e 5.3, essa costate real é usada para defiir fuções expoeciais, além de ser empregada a defiição do logaritmo atural. Agora, você já sabe que é possível defiir o úmero de Euler como e = =0 1!. Séries geométricas Cosidere a progressão geométrica defiida por a = ( 1 ) 1,

39 Seção 6.4. Progressões geométricas 573 S = a1(r 1) r 1 = a1(1 r ) 1 r a qual temos a 1 = 1 e r = 1/. Calculado a soma dos 5, 10 e 0 primeiros termos dessa progressão, obtemos S 5 = 1(1 0,55 ) 1 0,5 S 10 = 1(1 0,510 ) 1 0,5 S 0 = 1(1 0,50 ) 1 0,5 = 1 0,0315 0,5 = 1,9375 = 1 0, ,5 = 1, = 1 0, ,5 = 1, Note que o resultado se aproxima de à medida que icluímos termos o somatório. De fato, somado os ifiitos termos, obtemos ( 1 1 =1 ) =. Dizemos, etão, que a soma coverge para. Se, por outro lado, a soma ão se aproximasse de um úmero fiito, diríamos que ela diverge. A soma dos termos de uma progressão geométrica ifiita é chamada série geométrica. A covergêcia de uma série geométrica ocorre sempre que r < 1, já que, esse caso, o valor de r se tora arbitrariamete próximo de zero quado. Série geométrica Seja dada a série geométrica Se r < 1, a série coverge para a 1 r 1 = a 1 + a 1 r + a 1 r + a 1 r 3 + a 1 r 4 + =1 S = a 1 1 r. Por outro lado, se r 1, a série diverge. Problema 1. Cálculo de séries geométricas Calcule as séries geométricas abaixo, caso sejam covergetes. a) = b) 6 ( 1 1 =1 5 ) c) 1 =1 4 (4 3 ) a) Essa é a série associada à progressão geométrica de termo geral a = 1 ( 1 3 ) 1, a qual a 1 = 1 e r = 1 3. Uma vez que 1 < 1, a série é covergete, e seu valor é 3 dado por 1 S = 1 1/3 = 1 /3 = 3. b) Nesse caso, temos a 1 = 6 e r = 1 5. Como 1 < 1, a série é covergete. Além 5 disso, 6 S = 1 ( 1/5) = 6 6/5 = = 5.

40 574 Capítulo 6. Sequêcias e progressões c) Essa série geométrica tem a 1 = 1 4 e r = 4 3. Como 4 > 1, a série diverge, ou seja, 3 ão possui um valor real fiito. Agora, tete o Exercício 3. Muitos úmeros racioais, quado expressos a forma decimal, apresetam depois da vírgula um grupo de algarismos que se repete idefiidamete, como mostrado o problema abaixo. Nesse caso, dizemos que o úmero é uma dízima periódica, e podemos usar séries para covertê-lo à forma fracioária. Problema 13. Dízima periódica Coverta em fração as dízimas periódicas abaixo. a) 0, b) 0, c) 1, a) Notamos que 0, = 0,7 + 0,07 + 0, , , = = ( 1 10 ) ( 1 10 ) ( 1 10 ) ( 1 10 ) = = ( ). Temos, portato, uma série com termo iicial e razão dados por a 1 = 7 10 Como r < 1, a série é covergete e vale Logo, 0, = 7 9. S = e r = /10 1 1/10 = 7/10 9/10 = = 7 9. b) Nesse caso, temos 0, = 0, , , = = ( ) ( ) +... = = ( ) 1. Essa série tem a 1 = 45/1000 e r = 1/100, sedo também covergete. Assim, a forma fracioária da dízima é S = 45/ /100 = 45/ /100 = = = 1.

41 Seção 6.4. Progressões geométricas 575 c) Nesse exemplo, é preciso separar a parte do úmero que é periódica daquela que ão se repete. Assim, escrevemos 1, = 1,5 + 0, Deixado de lado temporariamete a parte que ão se repete, covertemos a parte periódica a otação de somatório aplicado a mesma estratégia apresetada o item aterior: 0, = 0, , , = = ( ) ( ) +... = = ( ) 1. Observado que essa série tem a 1 = 18/1000 e r = 1/100, obtemos S = 18/ /100 = 18/ /100 = = = Fialmete, somado essa fração à parte ão periódica do úmero, cocluímos que 0, = 1, = = = Agora, tete o Exercício 34. Exercícios Para cada item abaixo, escreva os quatro primeiros termos e o termo geral da progressão geométrica cujo primeiro termo e cuja razão são dados. a) 3, 15,... a 7? b) 4, 1,... a 5? c),,... a 100? d) 10, 5,... a 10? e) 3, 1,... a 8? f) 6, 3,... a 6? a) a 1 = 3, r = 4 b) a 1 =, r = 3 c) a 1 = 1, r = 1/ d) a 1 = 3, r =. Idique quais sequêcias abaixo são progressões geométricas. Para as que forem progressões geométricas, ecotre a razão. a) 3, 9, 7, 81,... b) 3, 6, 1, 4, 48,... c) a, a, a 3, a 4,... d) a, a 4, a 8, a 16,... e) a, a 3, a 5, a 7,... f) 1 3, 1 6, 1 9, 1 1, Em cada item abaixo, são dados os primeiros termos de uma progressão geométrica. Escreva o termo geral e determie o termo idicado. 4. Em cada item abaixo são dados dois termos de uma progressão geométrica. Escreva o termo geral e determie o termo idicado. a) a = 1, a 3 = 36,... a 10? b) a = 1, a 4 = 5,... a 7? c) a 1 =, a 4 = 1 4,... a 10? d) a 3 = 5 9, a 5 = 5 81,... a 8? 5. Isira 5 termos reais etre 5 e 65 de modo a obter uma progressão geométrica crescete. 6. Isira 4 termos reais etre 6 e 1458 de modo a obter uma progressão geométrica. 7. Sabedo que x, x + 4, x + 1,... é uma progressão geométrica, determie x e o termo geral da sequêcia.

42 576 Capítulo 6. Sequêcias e progressões 8. Seja dada a progressão geométrica x, 3x, x 14,... Determie x e o termo geral da sequêcia. 9. Sabedo que x + 5, x + 1, x,... é uma progressão geométrica, determie x e o termo geral da sequêcia. 10. Determie o termo geral de uma progressão geométrica decrescete sabedo que a soma de seus dois primeiros termos é 4 e o produto desses dois termos é Na figura abaixo, o maior quadrado tem lado a, o segudo tem lado b = a e o terceiro tem lado c = a. Determie a medida do lado do décimo quadrado. 1. Ecotre os seis primeiros termos e esboce o gráfico das progressões geométricas cujos termos gerais são dados abaixo. a) a = c) a = 3 ( ) b) a = 3 1 d) a = 3 ( 1 ) Calcule a soma dos 10 primeiros termos das progressões do Exercício Calcule a soma dos primeiros 6 termos das progressões geométricas do Exercício Calcule a soma dos primeiros 10 e dos primeiros 0 termos da sequêcia 1, 1, 1 4, 1,... O que você acha que 8 acotecerá se somarmos um úmero cada vez maior de termos dessa progressão? 16. Determie o valor de tal que a soma dos termos da progressão geométrica seja igual a , 15, 45, Sabedo que a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão geométrica de razão é igual a 7161, determie o termo iicial. 18. Neste ao, uma empresa espera registrar um lucro de R$ 1,6 milhões. A empresa também espera que, a cada ao, o lucro aumete 10% com relação ao ao aterior. a) Ecotre o termo geral da progressão que represeta o lucro a cada ao, começado pelo ao atual. b) Sem cotar o úmero de casos ao a ao, determie o lucro acumulado em 10 aos, começado pelo ao atual. c) Sem cotar o úmero de casos ao a ao, determie em que ao o lucro aual superará R$ 6 milhões. 19. Por orma, uma folha de papel A4 deve ter 10 mm 97 mm. Cosidere que uma folha A4 com 0,1 mm de espessura é seguidamete dobrada ao meio, de forma que a dobra é sempre perpedicular à sua maior dimesão. a) Escreva a expressão do termo geral da progressão geométrica que represeta a espessura do papel dobrado em fução do úmero, k, de dobras feitas. b) Cosidere que, idealmete, o papel dobrado tem o formato de um paralelepípedo. Nesse caso, após dobrar o papel seis vezes, quais serão as dimesões do paralelepípedo? 0. Um capital de R$ 5.000,00 é ivestido em uma aplicação fiaceira que rede 8,1% ao ao. Cosiderado que ão foram feitas ovas aplicações ou retiradas, determie o úmero iteiro míimo de aos ecessários para que o capital aplicado seja maior que o dobro do capital iicial. 1. Peri pegou um empréstimo de R$ 1.00,00 há um ao, e aida ão teve codições de saldá-lo sequer parcialmete. Respoda às questões abaixo, sabedo que o baco de Peri cobra 3,9% de juros mesais. a) Escreva o termo geral da progressão que forece a dívida de Peri desde o mometo do empréstimo. b) Sem calcular os valores mês a mês, determie a dívida atual de Peri. c) Sem eumerar os valores mês a mês, determie em que mês (cotado desde o iício do empréstimo) a dívida superará R$ 4.000,00, caso Peri cotiue sem codições de saldá-la.. Uma idústria usa uma máquia ova por 104 dias. Após esse período, a máquia é reformada e reutilizada. Etretato, após cada reforma, a máquia só é usada por metade do tempo de uso aterior. Ou seja, ates da primeira reforma, ele é usada por 104 dias. Ates da seguda reforma, ela é usada por 51 dias. Ates da terceira reforma seu tempo de uso cai para 56 dias, e assim por diate. a) Escreva o termo geral, a, da progressão que forece o tempo de uso da máquia ates de cada reforma. b) A máquia é descartada sempre que o tempo de uso após uma reforma é meor ou igual a 3 dias. Usado a resposta do item (a), determie quatas reformas ela sofrerá até deixar de ser usada. 3. A progressista cidade de Chopotó da Serra cota hoje com habitates. Previsões estatísticas idicam

43 Seção 6.4. Progressões geométricas 577 que a população da cidade crescerá a uma taxa de 3% ao ao os próximos aos. a) Escreva a expressão do termo geral da progressão que forece o úmero de habitates da cidade em relação a, o úmero de aos decorridos a partir de hoje. b) Sem calcular a população ao a ao, determie a população daqui a 10 aos. c) Sem calcular a população ao a ao, determie em quatos aos a população da cidade será 50% maior que a atual. 4. Uma empresa pretede cotratar técicos, pagado um salário iicial de R$ 5.000,00 por mês. Detre os beefícios oferecidos pela empresa, há uma promessa de aumeto real de % ao ao. Com base esses dados, e descotado a iflação, a) Escreva a fórmula de a, o termo geral da progressão que forece o salário mesal do técico após aos. b) Determie com quatos aos de serviço o técico passará a receber cerca de o dobro de seu salário iicial. 5. Recém cotratado, João recebe um salário mesal de R$ 3000,00. Na empresa de João, todo empregado gaha um aumeto de 5% a cada 5 aos de trabalho. Se João permaecer o mesmo posto essa empresa, qual deverá ser seu salário daqui a 30 aos, desprezado a iflação? 6. Uma bola pula-pula foi largada de uma altura de 1,75 m. Depois de bater o chão, a bola voltou a subir, atigido 1,4 m. Esse processo se repetiu várias vezes e, em todas elas, a bola subiu apeas 80% da altura alcaçada após a quicada aterior. a) Escreva a fórmula de a k, o termo geral da progressão que represeta a altura alcaçada pela bola depois de bater k vezes o chão. b) Determie a altura alcaçada pela bola após 0 batidas o chão, sem calcular a altura após cada quicada. 7. A cidade de Quiproquó vive uma epidemia de degue, tedo sido registrados casos da doeça a presete semaa. Em decorrêcia das medidas de combate à doeça, o prefeito da cidade espera que, a cada semaa, o úmero de ovos ifectados seja reduzido a /3 do úmero de casos ovos registrados a semaa aterior. a) Escreva o termo geral da progressão que forece o úmero aproximado de ovas ifecções por semaa, a partir da semaa atual. b) Determie em que semaa, cotada a partir da atual, o úmero de casos ovos da doeça será reduzido a meos de 10. c) Determie o úmero total (aproximado) de ifectados etre a semaa atual e a primeira a qual teremos meos de 10 casos ovos da doeça, determiada o item (b). 8. Uma reserva florestal possui 100 micos. Em virtude das políticas de coservação do local, estima-se que, a cada ao, essa população irá crescer 5%. a) Escreva o termo geral da progressão que forece o tamaho da população de micos o ao i, supodo que, o ao correte, tehamos. b) Determie a população de micos daqui a 10 aos. c) Determie em que ao a população de micos atigirá 1000 aimais. 9. Em seu primeiro ao de fucioameto, uma empresa aérea trasportou 00 mil passageiros. Desde etão, a cada ao, o úmero de passageiros trasportados tem sido 1% maior que a quatidade do ao aterior. a) Escreva o termo geral da progressão que forece o úmero de passageiros trasportados pela empresa o ao i, supodo que i = 1 o primeiro ao. b) Sem calcular o úmero de passageiros trasportados ao a ao, determie quatos passageiros viajarão pela empresa em seu vigésimo ao de fucioameto. c) Determie quatos passageiros a empresa trasportará os seus primeiros 0 aos de fucioameto. 30. A prefeitura de uma cidade quer reduzir, a cada ao, 8% das mortes violetas o muicípio, em relação ao úmero observado o ao aterior. a) Sabedo que o muicípio registrou 100 mortes violetas esse ao, calcule o úmero previsto de mortes violetas os próximos aos. b) Escreva o termo geral da progressão que forece o úmero de mortes violetas o ao, começado pelo ao correte. c) Sem calcular os valores ao a ao, determie a partir de que ao a prefeitura espera que haja meos de 400 mortes violetas o muicípio. 31. O valor presete, V p, de uma parcela de um fiaciameto, a ser paga daqui a meses é dado pela fórmula abaixo, em que r é o percetual mesal de juros (0 r 100) e p é o valor da parcela. V p = p [1 + r 100 ] a) Supoha que uma mercadoria seja vedida em duas parcelas iguais de R$ 00,00, uma a ser paga à vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 mês). Calcule o valor presete da mercadoria, V p, supodo uma taxa de juros de 1% ao mês. b) Imagie que outra mercadoria, de preço p, seja vedida em duas parcelas iguais a p, sem etrada, com o primeiro pagameto em 30 dias (ou seja, 1 mês) e o segudo em 60 dias (ou meses). Supodo, ovamete, que a taxa mesal de juros seja

44 578 Capítulo 6. Sequêcias e progressões igual a 1%, determie o valor presete da mercadoria, V p, e o percetual míimo de descoto que a loja deve dar para que seja vatajoso, para o cliete, comprar à vista. 3. Calcule as séries geométricas abaixo, caso sejam covergetes. a) =1 3 ( 1 4 ) 1 b) =1 9 ( 1 ) 1 c) =1 3 ( 6 5 ) 1 d) =1 7 ( 3 4 ) 1 e) =1 ( 7 10 ) 1 f) =1 5 ( ) Calcule as séries geométricas abaixo. a) b) c) Coverta em fração as dízimas periódicas abaixo. a) 0,0... b) 0, c) 0, d), Respostas dos Exercícios a) 3, 1, 48, 19 b),?6, 18,?54 c) 1, 1/, 1/4, 1/8 d) 3, 3, 6, 6. a) É uma p.g. de razão 3 b) É uma p.g. de razão c) É uma p.g. de razão a d) Não é uma p.g e) É uma p.g. de razão a f) Não é uma p.g 3. a) a = 3 5 1, a 7 = b) a = 4 3 1, a 5 = 34 c) a = ( 1) 1, a 100 = d) a = 10 ( 1 ) 1, a 10 = = 5 51 e) a = 3 ( 3 ) 1, a 8 = f) a = 6 ( 3) 1, a 6 = 7 4. a) a = 4 3 1, a 10 = 7873 b) a = ( 1 5 ) 5 1, a 7 = 315 c) a = ( 1 ) 1, a 10 = 1 56 d) a = 5 ( 1 3 ) 1, a 8 = ,5 5,5,5 5,15,15 5, , 18, 54, 16, 486, x = 4, a = x =, a = x = 11, a = 16 ( 3 4 ) a = 16 ( 1 ) /16 1. a) b) c) d) 13. a) S 10 = b) S 10 = 954 c) S 10 = d) S 10 = a) S 6 = 5859 b) S 6 = 1456 c) S 6 = 0 d) S 6 = = 19,6875 e) S 6 = = 0,80988 f) S 6 86, S 10 = 1, , S 10 = 1, Se somarmos mais termos, obteremos um valor cada vez mais próximo de. 16. = a 1 = a) a = 1,6 1,1 1 b) Cerca de R$ 5,5 milhões c) Daqui a 15 aos 19. a) a = 0, aos b) 37,15 mm, 6,5 mm e 6,4 mm 1. a) a = 100 1,039 1 b) R$ 1.889,19 c) No 3 o mês. a) a = 104 ( 1 ) b) 5 reformas 3. a) a = ,03 b) a 10 = 0159 habitates c) Em pouco mais de 13 aos 4. a) a = ,0 1 b) Em 36 aos 5. R$ 400,9 6. a) a k = 1,4 0,8 k 1 b) cm 7. a) a i = 1000 ( 3 )i 1 b) 13 a semaa c) 988 pessoas 8. a) a i = 100 1,05 i 1 b) 155 micos c) Em 48 aos 9. a) ,1 i 1 b) passageiros c) passageiros 30. a) a = 1104 mortes, a 3 = 1016 mortes b) a = 100 0,9 1 c) No 14 o ao 31. a) R$ 398,0 b) O descoto ão deve ser iferior a 1,5% 3. a) b) 6 c) Diverge d) 4 e) 0 3 f) Diverge 33. a) 9 b) 9 c) a) 45 b) c) 44 d) 13 6

45 Seção 6.5. Aplicações fiaceiras Aplicações fiaceiras Há que se mecioar, também, que as taxas de juros que pagamos por ossas dívidas são muito maiores que as taxas de retoro que recebemos quado aplicamos diheiro. Quado ivestimos em uma aplicação fiaceira ou deixamos de pagar em dia uma cota, por exemplo, estamos sujeitos a uma taxa de juros. O que difere as aplicações das dívidas é o fato de o osso patrimôio aumetar o primeiro caso e dimiuir o segudo. O cálculo de dívidas e redimetos fiaceiros sujeitos a juros é uma das aplicações mais iteressates das progressões geométricas. Para itroduzir o assuto, vamos supor que tehamos esquecido de pagar uma cota de R$ 00,00, e que a taxa de juros mesal seja de 4%. Nesse caso, após um mês, ossa dívida aumeta em 0,04 00 = 8 reais, de modo que passamos a dever R$ 08,00. E o que acotece se deixamos de pagar a cota por mais um mês, será que ela sobe os mesmos R$ 8,00? Defiitivamete, ão. Nesse caso, os juros ão icidem apeas sobre o valor origial da dívida (R$ 00,00), e sim sobre o valor corrigido, ou seja, sobre R$ 08,00. Essa icidêcia de juros sobre juros dá origem ao que chamamos de juros compostos, que é a forma predomiate de aplicação de juros o Brasil. Nessa seção, veremos várias situações práticas em que estamos sujeitos a juros compostos. Nosso objetivo será aplicar os cohecimetos sobre progressões geométricas adquiridos a Seção 6.4 à resolução de problemas fiaceiros, adaptado as fórmulas já vistas quado ecessário. Nos exemplos apresetados abaixo, vamos cosiderar que as dívidas e o redimeto das aplicações fiaceiras são atualizados mesalmete. Isso ão quer dizer que os mesmos coceitos ão possam ser aplicados a situações práticas as quais a variação do crédito ou débito ocorra diariamete, por exemplo. Optamos pela correção mesal apeas porque ela é comumete ecotrada as propagadas e as otícias de jorais e revistas. Apesar de a taxa de juros ser geralmete forecida em porcetagem, é mais fácil trabalhar com seu valor a forma decimal. Sedo assim, é bom lembrar que uma taxa de p porceto pode ser represetada por p% ou p 100 ou 0,01 p. Se quisermos, por exemplo, represetar uma taxa de 6% a forma decimal, escrevemos 6 = 0,01 6 = 0, Valor futuro Quado depositamos diheiro em um aplicação fiaceira uma cadereta de poupaça, por exemplo e matemos o diheiro aplicado por vários meses, sem resgates ou ovas aplicações, o valor total dispoível ao fial do período pode ser calculado usado juros compostos. O mesmo acotece quado deixamos de pagar uma cota detro do prazo de vecimeto, ou quado tomamos um empréstimo bacário (mesmo que seja através do sistema de cheque especial). Usemos, etão, um pequeo exemplo para destacar a ideia por trás dos juros compostos. Problema 1. Aplicado em um fudo de ivestimeto Vamos supor que Joaquim teha acabado de aplicar R$ 500,00 em um fudo de ivestimeto que rede 1% ao mês. Quato diheiro Joaquim terá daqui a seis meses, se ão resgatar parte do ivestimeto ou aplicar qualquer valor adicioal? Os R$ 500,00 que Joaquim aplicou hoje são o que chamamos de valor presete do ivestimeto, que doravate represetaremos abreviadamete por V p.

46 580 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Se a aplicação fiaceira tem uma taxa de retoro de 1%, ou seja, de 0,01 ao mês, ao fial de um mês, Joaquim terá R$ 500,00 + 0,01 R$ 500,00 V p redimeto = R$ 505,00 V 1 Passado mais um mês, o redimeto de Joaquim ão será calculado sobre os R$ 500,00 iiciais (V p ), mas sobre o valor atualizado, V 1. Assim, ao fial do segudo mês, ele terá R$ 505,00 + 0,01 R$ 505,00 V 1 redimeto = R$ 510,05 V Podo em evidêcia o valor dispoível o iício de cada mês, obtemos V 1 = V p + 0,01V p = V p (1 + 0,01) = 500,00 1,01; V = V 1 + 0,01V 1 = V 1 (1 + 0,01) = 505,00 1,01. Substituido, agora, o valor de V 1 obtido a primeira equação, podemos reescrever a última equação como V = V 1 (1 + 0,01) = V p (1 + 0,01) = 500 1,01. Estededo esse raciocíio para os meses seguites, obtemos V 3 = V p (1 + 0,01) 3 = 500,00 1, ,15. V 4 = V p (1 + 0,01) 4 = 500,00 1, ,30. V 5 = V p (1 + 0,01) 5 = 500,00 1, ,51. V 6 = V p (1 + 0,01) 6 = 500,00 1, ,76. Assim, após 6 meses, Joaquim terá R$ 530,76. Podemos geeralizar a ideia apresetada esse exercício para qualquer ivestimeto feito por um período, a uma taxa de juros r, como mostra o quadro abaixo. Lembrado que a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é a = a 1q 1, observamos que V f pode ser obtido a partir de a, defiido-se q = (1 + r) e a 1 = V p(1 + r). Valor futuro Se V p é o valor iicial de um ivestimeto (ou de uma dívida) que cresce mesalmete a uma taxa r, etão, ao fial de meses, o valor ivestido (ou a dívida) será igual a V f = V p (1 + r). No Problema 1, há uma difereça de apeas R$ 0,76 etre o valor ecotrado e aquele que seria obtido somado simplesmete R$ 5,00 (ou seja, 1% de R$ 500,00) a cada mês. Essa difereça é pequea porque o período de aplicação é curto e a taxa de redimeto da aplicação é baixa. Como veremos o problema a seguir, é mais fácil perceber o efeito dos juros compostos trabalhado com dívidas, particularmete aquelas cotraída através do sistema de cheque especial. Problema. Etrado o cheque especial Vamos supor que Ferado esteja passado por dificulades fiaceiras e sua cota bacária teha acabado de ficar egativa em R$ 1.000,00. Para cobrir suas dívidas

47 Seção 6.5. Aplicações fiaceiras 581 pessoais, Ferado recorreu ao sistema de cheque especial de seu baco, pelo qual terá que pagar uma taxa de juros de 8% ao mês. Nesse caso, se ão tiver como saldar sua dívida, em mesmo parcialmete, quato Ferado deverá ao fial de 6 meses? Nessa caso, temos r = 8/100 = 0,08. Seguido o raciocíio do exercício aterior, após seis meses, a dívida de Ferado será igual a V f = V p (1 + 0,08) 6 = 1000,00 1,08 6 R$ 1.586,87. Se o baco ão corrigisse a dívida usado juros compostos, Ferado teria que pagar, ao fial de seis meses, apeas 1000, ,00 0,08 6 = 1000, = R$ 1480,00. Assim, a dívida real é R$ 106,87 superior ao valor que seria pago se os juros fossem aplicados apeas sobre valor origial da dívida, ou seja, se Ferado pagasse R$ 80,00 a cada mês. Agora, tete o Exercício. Problema 3. Depreciação Uma empresa acaba de adquirir uma máquia de R$ ,00. Sabedo que a máquia perde 5% de seu valor a cada ao, determie o quato a máquia valerá após 6 aos. Boa parte dos bes que adquirimos sofre uma depreciação, ou seja, uma perda de valor com o tempo. Isso ocorre porque há um desgaste do bem com o uso, além da obsolescêcia com o passar dos aos. Para calcular o valor de uma máquia levado em cota sua depreciação, usamos a mesma fórmula do valor futuro, mas adotamos uma taxa r egativa, idicado que há uma desvalorização do bem. Nesse exemplo, como há uma perda de 5% ao ao, defiimos r = 0,5, de modo que o valor da máquia após seis aos é V f = (1 0,5) 6 = ,75 6 = R$ 6.696,78. Agora, tete o Exercício 4. Como vimos, há três fatores que determiam V f, o valor futuro de um ivestimeto: o valor aplicado, V p, a taxa de juros, r, e o período da aplicação,. Em muitos problemas práticos, etretato, a taxa de juros iformada por um baco, fiaceira ou loja ão é aquela efetivamete praticada. Essa difereça pode decorrer tato da variação mesal dos juros (os casos em que eles ão são prefixados), como da existêcia de taxas de admiistração e ecargos fiaceiros. No próximo problema, vamos usar a fórmula do valor futuro para descobrir qual foi o redimeto real de uma aplicação. Problema 4. Descobrido o redimeto mesal de uma aplicação Há exatamete um ao, Lucida ivestiu diheiro em uma aplicação a qual os redimetos eram atualizados mesalmete. Hoje, o motate dispoível é 14% maior

48 58 Capítulo 6. Sequêcias e progressões que o valor por ela ivestido. Qual foi a taxa mesal de retoro da aplicação esse período? Dica Observe que ão é preciso cohecer V p e V f, mas apeas a relação etre esses valores. Se o ivestimeto cresceu 14%, etão V f = V p + ( ) V p = 1,14V p. Igualado essa expressão à fórmula de V f dada acima, obtemos V p (1 + r) 1 = 1,14V p (1 + r) 1 = 1,14 1 (1 + r) 1 = 1 1, r = 1,011 r = 1,011 1 = 0,011 Se r = 0,01p, etão p = r/0,01 = 100r. Para ecotrar o redimeto percetual, basta multiplicar r por 100. aplicação redeu 0, = 1,1% ao mês. Agora, tete o Exercício 6. Logo, a Valor presete Outra aplicação iteressate da fórmula de juros compostos cosiste em ecotrar o valor presete, uma vez cohecido o valor futuro. Podemos obter trivialmete a formula correta do valor presete, bastado para isso isolar o termo V p a fórmula do valor futuro, dada acima. Valor presete Se V f é o valor futuro de um ivestimeto que cresce a uma taxa mesal r, etão, para alcaçá-lo em meses, é preciso ivestir, hoje, o correspodete a V p = V f (1 + r). Problema 5. Ivestido para obter um valor o futuro Quato devemos ivestir, hoje, para que o valor aplicado atija R$5.000,00 daqui a cico aos? Supoha que ão faremos ovas aplicações ou resgates e que osso fudo de ivestimeto teha um redimeto de 1,5% ao mês. Observamos, iicialmete, que cico aos correspodem a 60 meses. Para obter R$ 5.000,00 em 60 meses, aplicado a uma taxa mesal de 1,5/100 = 0,015, é preciso ivestir V p = 5000(1 + 0,015) 60 = R$.046,48. Assim, se fizermos um depósito de R$.046,48, hoje, teremos a quatia desejada daqui a exatos 5 aos. Agora, tete o Exercício 8.

49 Seção 6.5. Aplicações fiaceiras 583 Valor futuro de um ivestimeto costate mesal No Problema 5, fizemos uma úica aplicação de osso diheiro para obter um valor o futuro. Naturalmete, essa ão é uma atitude corriqueira. Na maioria das vezes, quado queremos jutar diheiro para efetuar uma compra futura, poupamos um pouquiho a cada mês. Vejamos, etão, um exemplo mais realista. Problema 6. Poupado a mesma quatia por algus meses João pretede guardar 100 reais por mês, durate 6 meses seguidos, a partir de hoje. Para aumetar seus redimetos, o valor poupado os 5 primeiros meses será depositado em uma aplicação fiaceira com taxa de retoro de 1 % ao mês. Quato João terá ao fial do período, se ão fizer ehum resgate? Fórmula do valor futuro: V f = V p(1 + r) João reservará o diheiro correspodete à primeira das 6 parcelas aida hoje, e repetirá esse procedimeto o mesmo dia do mês, durate os próximos 5 meses. Em lugar de calcular o valor que João terá a cada mês, o que seria muito trabalhoso, vamos determiar o redimeto que cada parcela terá ao fial dos seis meses. A primeira parcela ficará aplicada por 5 meses. Já a seguda rederá apeas por 4 meses. A terceira será aplicada por três meses, e assim por diate, até que a sexta parcela ão terá redimeto algum, pois estamos cosiderado que o período de aplicação do diheiro termiará a data em que ela for depositada por João. Usado, etão, a fórmula do valor futuro com V p = 100 e r = 0,01, e fazedo variar de 0 a 5, podemos calcular o valor de cada parcela ao fial do período: 1 a parcela: V 1 = 100 1,01 5 = R$ 105,10. a parcela: V = 100 1,01 4 = R$ 104,06. 3 a parcela: V 3 = 100 1,01 3 = R$ 103,03. 4 a parcela: V 4 = 100 1,01 = R$ 10,01. 5 a parcela: V 5 = 100 1,01 1 = R$ 101,00. 6 a parcela: V 6 = 100 1,01 0 = R$ 100,00. O valor futuro total será igual à soma dos valores futuros das seis parcelas, como mostrado a Figura Somado os valores das parcelas a ordem iversa, ou seja, começado em V 6 e termiado em V 1, obtemos , , , , ,01 5, Fórmula da soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica: em que q = 1 + r. S = a1(q 1), q 1 que correspode à soma dos 6 primeiros termos de uma progressão geométrica cujo termo iicial é R$ 100,00, e que tem razão q = 1,01. Logo, o valor futuro total é dado por 6 V f = V i = 100(1,016 1) 1,01 1 R$615,0. Assim, a poupaça de João rederá R$ 15,0 a mais do que ele obteria deixado o diheiro debaixo do colchão. Geeralizado o procedimeto adotado o Problema 6, de modo que ele possa ser aplicado a qualquer problema, vamos supor que parcelas de P reais serão depositadas mesalmete, a partir de hoje, em uma aplicação fiaceira que rede r ao mês. Nesse caso, se ão houver resgate do diheiro ao logo do período, os valores futuros

50 584 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Figura 6.14: Valor futuro de cada parcela do Problema 6. das parcelas serão dados por V 1 = P (1 + r) 1. V = P (1 + r). V 3 = P (1 + r) 3. V 1 = P (1 + r) 1. V = P. O valor futuro da soma de todos esses termos pode ser facilmete ecotrado empregado-se a fórmula da soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica que começa por P e tem razão r. A fórmula ao lado pode ser usada para depósitos com outra periodicidade (diária, aual etc), cotato que a taxa de juros se refira ao mesmo período. Valor futuro de depósitos iguais parcelados Depositado mesalmete parcelas iguais a P em uma aplicação fiaceira com taxa de juros mesal igual a r, o valor total dispoível o mometo do depósito da última parcela é igual a V f = P [(1 + r) 1]. r Problema 7. Poupado 300 reais por um ao. Depositado R$ 300,00 o iício de cada mês, por um ao ou seja, fazedo 1 depósitos, em uma aplicação fiaceira que rede 1,3% ao mês, quato teremos ao fial do período, se ão fizermos resgates?

51 Seção 6.5. Aplicações fiaceiras 585 Na calculadora ( 1, y x 1 1 ) 0, = Nesse problema, temos P = 300 reais, r = 1,3/100 = 0,013 e = 1 meses. Logo, V f = 300 [(1 + 0,013)1 1] 0, ,89. Assim, o mometo em que depositarmos a 1 a parcela, o valor aplicado atigirá R$ 3868,89. Agora, tete o Exercício 10. Problema 8. Poupado para comprar um computador Simoe decidiu jutar diheiro por dois aos para comprar um computador que ela estima que custará R$.500,00. Quato Simoe deve depositar mesalmete, sabedo que sua aplicação fiaceira favorita rede 1,% ao mês? Nesse problema, cohecemos o valor futuro V f = 500 reais e queremos determiar a parcela mesal P, sabedo que r = 1,/100 = 0,01 (%) e que = 4 meses. Vamos, etão, usar a fórmula do valor futuro apresetada o quadro acima para motar uma equação em P : 500 = P [(1 + 0,01)4 1] 0, = 7,67P P = 500 7,954 = 90,51. Portato, Simoe deve poupar R$ 90,51 por mês, os próximos aos. Agora, tete o Exercício 13. Problema 9. Cotado os meses Carolia decidiu trocar sua máquia de lavar roupas, mas ão quer pagar os juros elevados dos crediários de lojas. Tedo escolhido um modelo que custa R$.40,00, ela pretede aplicar R$ 10,00 por mês até jutar o diheiro ecessário para a compra. Sabedo que a aplicação de Carolia rede 1,% ao mês, determie quato tempo ela terá que esperar para atigir seu objetivo. O euciado do problema os forece as seguites iformações: V f = 40 reais, P = 10 reais, e r = 1 + 1, 100 = 1,01. Substituido esses valores a fórmula apresetada o quadro acima, obtemos 40 = 10 [(1 + 0,01) 1] 0,01 Observe que a úica variável ão defiida essa equação é justamete a ossa icógita, ou seja, o úmero de meses que Carolia deverá esperar para coseguir adquirir a lavadora. Para ecotrar o valor de, isolamos essa variável a equação, coforme mostrado a seguir.

52 586 Capítulo 6. Sequêcias e progressões 40 = 10000[1,01 1] Dividido 10 por 0,01. 0,4 = 1,01 1 Dividido ambos os lados por ,4 = 1,01 Somado 1 a ambos os lados log(1,4) = log(1,01 ) log(1,4) = log(1,01) log(1,4) log(1,01) = Extraido o logaritmo dos dois lados. Aplicado uma propriedade dos logaritmos. Dividido ambos os lados por log(1,01). = 16,9445 Ivertedo os lados e simplificado o resultado. Logo, Carolia deverá poupar por 17 meses para poder comprar a máquia de lavar ova. Agora, tete o Exercício 15. Valor presete de prestações Para a aquisição de produtos caros, as lojas sempre oferecem duas opções de pagameto: à vista ou através do crediário. Para descobrir qual dessas essas alterativas é a mais vatajosa, ou mesmo para comparar os parcelametos propostos por lojas distitas, precisamos determiar o valor presete do bem que queremos adquirir. Vejamos como usar as progressões geométricas para determiar o valor presete de compras parceladas, tato os casos em que o primeiro pagameto é feito o ato da compra, como quado a loja tem um plao sem etrada. Problema 10. Pagado 100 reais por seis meses, com etrada Uma loja oferece um produto em seis parcelas mesais de R$ 100,00, exigido que o primeiro pagameto seja feito o ato da compra. Sabedo que a loja trabalha com uma taxa de juros de 4% ao mês, determie o valor do bem, ou seja, quato ele deveria custar se o pagameto fosse feito à vista. V p = V f (1 + r) Apesar de a loja oferecer o produto em seis parcelas de R$ 100,00, seu valor à vista ão é igual a = R$ 600,00, uma vez que, as compras parceladas, há embutida uma taxa de juros. Nesse problema, essa taxa correspode a 4%, de modo que r = 4/100 = 0,04. Para descobrir o valor presete do bem, precisamos elimiar os juros das parcelas. Para tato, adotamos uma estratégia similar àquela empregada o Problema 6, com a difereça de que, agora, estamos iteressados o valor presete, em lugar do valor futuro. Nessa compra parcelada, a loja ão cobrará juros sobre a primeira parcela, cobrará um mês de juros sobre a seguda parcela, dois meses sobre a terceira, e assim sucessivamete, até atigir cico meses de juros sobre a sexta e última parcela. Dessa forma, aplicado a fórmula do valor presete para elimiar os juros, temos 1 a parcela: V 1 = 100 1,04 0 = R$ 100,00. a parcela: V = 100 1,04 1 = R$ 96,15. 3 a parcela: V 3 = 100 1,04 = R$ 9,46. 4 a parcela: V 4 = 100 1,04 3 = R$ 88,90. 5 a parcela: V 5 = 100 1,04 4 = R$ 85,48. 6 a parcela: V 6 = 100 1,04 5 = R$ 8,19.

53 Seção 6.5. Aplicações fiaceiras 587 Figura 6.15: Valor presete de cada parcela do Problema 10. O valor presete do produto é a soma das seis parcelas, depois de descotados os juros, ou seja, V p = 100, ,15 + 9, , ,48 + 8,19 = R$ 545,18, Logo, quado comprado à vista, o produto deve custar R$ 54,8 a meos que o valor a prazo. Como mostra a Figura 6.15, o valor presete do produto mecioado o Problema 10 é a soma dos 6 primeiros termos de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é V 1 = 100 e que tem como razão O termo geral dessa progressão é Desse modo, temos V i = V1(1 q ) 6 1 q V p = q = (1 + r) 1 = 1,04 1. V i = V 1 q i 1 = 100 (1,04 1 ) (i 1) = 100 1,04 (i 1). V i = 100 [1 (1,04 1 ) 6 ] 1 1,04 1 = R$ 545,18. Geeralizado o raciocíio adotado acima para qualquer compra parcelada, podemos escrever V p = P [1 (1 + r) ] 1 (1 + r) 1, em que P é o valor da parcela, é o úmero de meses e r é a taxa de juros mesal. Maipulado essa fórmula para torá-la um pouco mais simples, chegamos ao resultado apresetado o quadro a seguir.

54 588 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Também esse caso, pode-se substituir o pagameto mesal por parcelas diárias, auais etc, Valor presete de pagametos parcelados, com etrada Supoha que um fiaciameto teha sido dividido em parcelas mesais iguais a P, com o primeiro pagameto a data da cotratação. Se a taxa mesal de juros empregada é igual a r, etão o valor presete do fiaciameto é dado por (1 + r) V p = P [1 (1 + r) ]. r Problema 11. Comprar à vista ou o crediário? Rogério pode comprar uma TV por R$ 1.100,00 à vista ou em dez parcelas mesais de R$10, pagado a primeira o ato da compra. Qual é a melhor opção, supodo que a aplicação fiaceira favorita de Rogério reda 1,% ao mês? Observe que, apesar de o valor a prazo correspoder a = R$ 1.00,00, Rogério só precisaria gastar R$ 1.137,99, pois ele poderia pagar a primeira parcela e aplicar o resto, e o redimeto da aplicação seria suficiete para que fossem atigidos os R$ 1.00,00. Para comparar o valor à vista com a compra a crédito, temos que calcular o valor presete das parcelas, usado a taxa de juros da aplicação favorita de Rogério, que correspode a 1,% ao mês. Nesse caso, = 10 meses, r = 1, = 0,01 e P = 10 reais. 100 Usado, etão, a fórmula do valor presete de compras parceladas com etrada, obtemos (1 + 0,01) V p = 10 [1 (1 + 0,01) 10 ] = 1010(1 0,88755) = 1137,99. 0,01 Portato, Rogério gastaria R$ 1.137,99 para pagar as 10 parcelas do crediário. Como esse valor é superior a R$ 1.100,00, é preferível comprar à vista. Agora, tete o Exercício 18. Problema 1. Descoto para pagameto à vista Se sua aplicação favorita rede 1,% ao mês e uma loja lhe oferece uma máquia fotográfica em 6 parcelas mesais de R$110,00, com o primeiro pagameto o ato da compra, que descoto você deve pedir para pagar à vista? Segudo o euciado, temos = 6 meses, r = 1, = 0,01 e P = 110 reais. 100 Assim, o valor presete da compra parcelada é V p = 110 (1 + 0,01) [1 (1 + 0,01) 6 ] = 976,67(1 0,93093) = 640,74. 0,01 Como 6 R$ 110,00 = R$ 660,00, você deve pedir um descoto de 660,00 640,74 = R$ 19,6. Esse descoto correspode a 19,6/660 =,9% do valor cobrado pelo produto. Agora, tete o Exercício 19.

55 Seção 6.5. Aplicações fiaceiras 589 Problema 13. Saido do cheque especial Sua cota bacária está egativa em R$ 1.000,00 e você quer quitar essa dívida em seis parcelas mesais, pagado a primeira hoje mesmo. Se a taxa de juros de seu cheque especial é de 9% ao mês, qual será o valor de cada parcela? Qual será o valor total pago? Nesse caso, cohecemos o valor presete, V p, e queremos determiar a parcela, P. Substituido a fórmula de V p, obtemos V p = reais, = 6 meses e r = = 0, = P (1 + 0,09) [1 (1 + 0,09) 6 ]. 0,09 Isolado a parcela P essa equação, chegamos a 1000 = 4,88965P P = ,88965 = 04,51. Portato, você desembolsará R$ 04,51 por mês, de modo que o total pago atigirá 6 04,51 = R$ 1.7,06. Agora, tete o Exercício 1. Cosideremos, agora, as formas de crédito sem etrada, ou seja, que ão evolvem pagameto o ato da cotratação. Problema 14. Pagado 10 reais por cico meses, sem etrada Uma loja oferece um produto em cico parcelas mesais de R$ 10,00, sem etrada. Sabedo que a loja trabalha com uma taxa de juros de 4% ao mês, determie o valor do bem para pagameto à vista. V p = V f (1 + r) Assim como fizemos o problema 10, vamos determiar o valor presete do bem calculado isoladamete o valor presete de cada parcela, usado r = = 0,04. Por se tratar de uma compra sem etrada, a loja cobrará um mês de juros sobre a primeira parcela, dois meses de juros sobre a seguda, e assim sucessivamete, até atigir cico meses de juros sobre a quita parcela. Aplicado a fórmula do valor presete a cada parcela, obtemos 1 a parcela: V = 10 1,04 1 = R$ 115,38. a parcela: V 3 = 10 1,04 = R$ 110,95. 3 a parcela: V 4 = 10 1,04 3 = R$ 106,68. 4 a parcela: V 5 = 10 1,04 4 = R$ 10,58. 5 a parcela: V 6 = 10 1,04 5 = R$ 98,63. O valor presete do produto é a soma dos valores presetes das parcelas, ou seja, V p = 115, , , , ,63 = 534,.

56 590 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Portato, o valor do produto correspode a R$ 534,, ou R$ 65,78 a meos que o total parcelado. No problema acima, obtivemos o valor presete somado os 5 primeiros termos de uma progressão geométrica que tem como primeiro termo V 1 = P (1 + r) 1, em que P correspode ao valor da parcela e r é a taxa de juros. Observado que a razão da sequêcia é q = (1 + r) 1, podemos escrever o termo geral como V i = V 1 q i 1 = P (1 + r) 1 (1 + r) (i 1) = P (1 + r) i. Somado, etão, os primeiros termos dessa progressão geométrica, chegamos a V i = V1(1 q ) 1 q V p = V i = P (1 + r) 1 [1 (1 + r) ]. 1 (1 + r) 1 Maipulado essa expressão de modo a simplificar o deomiador, obtemos a fórmula apresetada abaixo. Valor presete de pagametos parcelados, sem etrada Supoha que um fiaciameto teha sido dividido em parcelas mesais iguais a P, sem pagameto o ato da cotratação. Se a taxa mesal de juros empregada é igual a r, etão o valor presete do fiaciameto é dado por V p = P [1 (1 + r) ]. r Problema 15. Comprar à vista ou o crediário? Visitado uma loja de eletrodomésticos, Valter recebeu duas propostas para a aquisição de um fogão: pagar R$ 1.300,00 à vista, ou fazer um crediário de 10 parcelas mesais de R$145, sem etrada. Supodo que Valter cosiga um redimeto de 1,1% ao mês ivestido seu diheiro em uma aplicação fiaceira, qual é a melhor opção de pagameto do fogão? Substituido = 10 meses, r = 1,1 = 0,011 e P = 145 reais, 100 a fórmula do valor presete de fiaciametos sem etrada, obtemos V p = 145 [1 (1 + 0,011) 10 ] 0,011 = 13181,8(1 0,89637) = R$ 1366,00. Como esse valor é superior a R$ 1.300,00, é preferível adquirir o fogão à vista. Agora, tete o Exercício 4.

57 Seção 6.5. Aplicações fiaceiras 591 Problema 16. Parcela mesal de um empréstimo imobiliário A taxa efetiva de juros iclui os custos de admiistração e seguro. Lívia quer obter um empréstimo de R$50.000,00 para comprar uma casa. Supoha que o fiaciameto vá ser feito em 10 aos e que o baco de Lívia cobre uma taxa efetiva de juros de 1% ao mês. Quato ela terá que pagar mesalmete se todas as parcelas tiverem o mesmo valor e o primeiro desembolso ocorrer um mês após o empréstimo? Nesse caso, precisamos determiar o valor da parcela mesal, P, cohecedo V p = reais, = 10 meses e r = = 0,01. Substituido os dados acima a fórmula do valor presete de empréstimos sem etrada, obtemos = P [1 (1 + 0,01) 10 ]. 0,01 Isolado P essa equação, temos = 69,7P P = ,7 = 717,36. Portato, o baco cobrará de Lívia uma parcela mesal de R$ 717,36, excluída a iflação (ou seja, a parcela aida pode sofrer reajustes periódicos em fução da iflação). Agora, tete o Exercício 5. Exercícios José aplicou R$.000,00 em um fudo de ivestimeto que rede 0,9% ao mês. Supodo que José ão faça qualquer ova aplicação ou retirada de diheiro do fudo, determie o motate que José terá após meses?. Aplicado R$ 1.00,00 em um fudo de ivestimeto que rede 1,% ao mês, quato diheiro você espera ter após dois aos, se ão resgatar ou aplicar qualquer valor adicioal? Quato você lucrará este período com a aplicação? 3. Marta possui uma dívida bacária de R$ 500,00. Sabedo que o baco de Marta adota uma taxa de juros de 4,6% ao mês, quato ela deverá ao fial de um ao, caso ão cosiga saldar sequer uma parte de sua dívida? 4. Paulo acaba de pagar R$ ,00 por um carro ovo. Se o modelo adquirido por Paulo sofre uma desvalorização de 0% ao ao, quado valerá o carro daqui a 4 aos? 5. Um determiado país troca de moeda sempre que a iflação acumulada ultrapassa 900%. Tedo acabado de trocar a moeda, esse país vem sofredo com uma iflação de 16% ao ao. Nesse caso, em quatos aos haverá ova troca de moeda? 6. Há um ao e meio, você ivestiu diheiro em uma aplicação que tem redimeto mesal. Passado este ao, você costatou que seus redimetos aumetaram em 19%. Qual é a taxa mesal de redimeto da aplicação? 7. Rogério adquiriu uma máquia de lavar roupas por R$ 1.600,00 há quatro aos e a vedeu por R$ 400,00 após quatro aos de uso. Qual foi a taxa de depreciação aual média da máquia? 8. Em virtude das ações judiciais em que é ré, a prefeitura de um muicípio estima que terá que pagar R$ ,00 daqui a um ao. Para quitar essa dívida, a prefeitura pretede usar o diheiro que tem em caixa, oriudo do recolhimeto de IPTU, fazedo uma aplicação úica em um fudo com redimeto de 1,4 ao mês. Que valor a prefeitura deve aplicar? 9. Jaaía gahou de sua mãe um ael de ouro que vale, atualmete, R$.50,00. Se o ael foi adquirido há cico aos e o ouro teve uma valorização média de 13,4% ao ao esse período, qual foi o valor pago pelo ael? 10. Mariaa vai passar dois aos poupado R$ 00,00 por mês para fazer a viagem de seus sohos. Supodo que Mariaa aplicará seu diheiro em um fudo de ivesti-

58 59 Capítulo 6. Sequêcias e progressões meto que rede 1,1% ao mês, quato diheiro ela terá daqui a aos? 11. A partir de hoje, você pretede passar um ao poupado R$ 90,00 por mês para comprar uma TV. Se sua aplicação fiaceira favorita rede 1,% ao mês, quato diheiro você terá ao fial dos doze meses? 1. Quato é preciso aplicar mesalmete em um fudo de ivestimetos que rede 1,05% ao mês para obter R$ 5.000,00 ao fial de 3 aos? 13. Quicas pretede pretede poupar um valor fixo mesal para comprar uma moto de R$ 9.500,00 daqui a quatro aos. Se a cadereta de poupaça de Quicas rede 0,9% ao mês, quato ele deve depositar mesalmete? 14. Depositado R$ 10,00 por mês em uma aplicação que rede 1,% ao mês, quato tempo você gastará para jutar R$ 7.500,00? 15. Mariao decidiu que pedirá Cristia em casameto o dia em que coseguir comprar as aliaças, que custam R$ 1.50,00. Para sua ifelicidade, Mariao só cosegue poupar R$ 80,00 por mês, os quais pretede aplicar em uma cadereta de poupaça tem redimeto mesal de 0,8%. Quato tempo o oivo terá que aguardar para fazer o covite? 16. Uma TV custa R$ 1.400,00. Para poder comprá-la em um ao, quato você deve depositar mesalmete a sua aplicação que rede 1,1% ao mês? 17. Uma loja oferece dois plaos de pagameto de uma geladeira: ou o cliete paga R$ 1000,00 à vista ou paga 11 prestações de R$ 100,00, com o primeiro desembolso o ato da compra. Se sua aplicação fiaceira favorita rede 1,% ao mês, qual é a opção mais vatajosa? 18. Lucas leu uma propagada que dizia que um aparelho de som custava R$ 1.800,00 à vista, mas que o cliete poderia comprar o mesmo modelo pagado R$ 140,00 em 15 parcelas mesais. Sabedo que Lucas possui diheiro aplicado em um fudo de ivestimeto que rede 1,4% ao mês, determie se ele deve efetuar a compra à vista ou a prazo. 19. A escola da filha de Liliae cobra R$ 780,00 por mês (uma etrada e 11 pagametos mesais). Se Liliae iveste seu diheiro em uma aplicação fiaceira de rede 1,5% ao mês, quato deve pedir de descoto para pagar a auidade da escola em uma úica parcela? 0. Uma loja de computadores vede um otebook em 10 prestações de R$ 50,00, sem etrada. Supodo que esse preço esteja embutida uma taxa de juros de %, determie o descoto que um cliete deve pedir se quiser comprar o computador à vista. 1. Uma loja vede um produto por R$.000,00 se o cliete paga à vista. Quato ela deve cobrar pelo pagameto em 1 parcelas mesais, com etrada, se sua taxa de juros correspode a 3,3% ao mês?. Hélio tem uma dívida de R$ 3.600,00 com uma fiaceira e quer quitá-la em aos, pagado já a primeira parcela. Se a fiaceira cobra uma taxa de juros de 6,7% ao mês, qual será o valor de cada parcela? 3. Uma loja vede um colar em 10 parcelas de R$ 530,00, sem etrada. Se a loja cobra 3,1% de juros ao mês, qual é o valor do colar. 4. Você recebeu uma propagada idicado que é possível comprar uma moto pagado R$ 000,00 o ato da compra e fiaciado o resto em 36 meses. A propagada diz que as parcelas mesais são de R$ 150,00 e que a loja cobra mesalmete % de juros e outras despesas. Calcule o preço à vista da moto. Calcule o total cobrado pelos juros. Dica: some ao valor pago o ato da compra o valor presete do restate do pagameto. 5. Uma loja que cobra,9% de juros ao mês quer veder um produto que custa R$ 1.750,00 em 1 parcelas mesais, sem etrada. Qual valor ela deve atribuir às parcelas? 6. Um produto é vedido em 1 parcelas de R$ 300, com o primeiro pagameto à vista, ou em 11 parcelas de R$ 36, sem etrada. Se a taxa de juros mesal correspode a 3,4% os dois casos, qual é a opção mais vatajosa? Respostas dos Exercícios V f = R$ 1.597,77, com um lucro de R$ 397, R$ 857,73 4. R$ 4.166,40 5. Em 14 aos e 10 meses 6. 0,971% 7. 9,3% 8. R$ R$ 1.199,8 10. R$ 5.459, R$ 1.154,1 1. R$ 115, R$ 159, R$ 109, meses meses 17. Comprar à vista é mais vatajoso, pois se você aplicasse seu diheiro e pagasse as 11 parcelas, mês a mês, desembolsaria, em valores atuais, R$ 1037, Comprar à vista é mais vatajoso, pois o valor preseta da compra parcelada correspode a R$ 1908, Liliae deve pagar, o máximo, R$ 8635,47, o que correspode a um descoto (míimo) de R$ 74, O valor presete da compra parcelada correspode a R$ 90,56, de modo que o cliete deve obter um descoto de, o míimo R$ 09, R$ 376,00 ou 1 parcelas de R$ 198,00.. R$ 86,47 3. R$ 4498,0 4. Preço à vista: R$ 583,33 Juros: R$ 1576,67 5. R$ 03,07 6. O pagameto em 1 parcelas, com etrada.