2.2 Alguns Exemplos de Funções Elementares

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1 Capítulo II: Fuções Reais de Variável Real 3. Algus Eeplos de Fuções Eleetares Fução afi (liear) São as fuções ais siples que aparece: os us gráficos repreta rectas. y + b f () y + b b y declive b ordeada a orige f (0) b Dados dois quaisquer potos distitos da recta P, ) e P, ), o declive da recta que os coté é dado por: ( y ( y y y difereça das ordeadas difereça das abcissas e a equação é: ( ) y y. Nota: Supohaos que θ é o âgulo que a recta faz co o i-eio positivo do s (o tido directo cotrário aos poteiros do relógio) etão tabé podeos calcular o declive pela fórula tg (θ ). O declive dá a aior ou eor icliação da recta: > 0 icliação para a direita 0 horizotal < 0 icliação para a esquerda

2 Capítulo II: Fuções Reais de Variável Real 4 Obrvação: Rectas paralelas tê o eso declive,. s r Se as rectas r e s são paralelas etão r s Ua recta s perpedicular à recta r de equação y r + b te declive s. r s r Se as rectas r e s são perpediculares etão r s Eercícios: ) Deterie o declive e o poto de itercção co o eio dos yy s, das guites rectas: a) 0 4 y 30 0 b) 3 0 c) 4 y ) Eplique porque é que a recta do eercício.b) ão correspode ao gráfico de ua fução. 3) Deterie a equação da recta: a) paralela à recta de equação 3 5y e que passa o poto ( 3, ). b) perpedicular à recta de equação 3 5y e que passa o poto (, 4).

3 Capítulo II: Fuções Reais de Variável Real 5 Fução Quadrática Ua fução quadrática é ua fução defiida por ua epressão do tipo: f ( ) a + b + c, a 0 (Se a 0 obteos ua fução afi caso aterior) As fuções quadráticas repreta parábolas. Se a > 0 a cocavidade é voltada para cia Se a < 0 a cocavidade é voltada para baio A parábola ão te zeros A parábola te u zero (duplo) A parábola te dois zeros

4 Capítulo II: Fuções Reais de Variável Real 6 Zeros de ua parábola Para deteriar os zeros da parábola é preciso resolver a equação ou ja, a + b + c 0 b ± b 4ac a Podeos cocluir que a parábola te: dois zeros distitos b 4ac > 0 u zero duplo b 4ac 0 e ão te zeros reais b 4ac < 0. Notas: As fuções quadráticas são fuções ão ijectivas e ão oótoas. b 4ac b O vértice de ua parábola é o poto de coordeadas, a 4a A ordeada do vértice de ua parábola é u áio (respectivaete íio) a < 0 (respectivaete a > 0 ).. Eercício: Deterie os zeros da fução gráfico. 7 f ( ) + e faça u esboço do u Fuções Polioiais A fução afi (liear) e a fução quadrática são casos particulares de fuções polioiais. As fuções polioiais de grau são do tipo: f ( ) a a + a + + a + ode a, a,, a, a0 são reais, a 0 e é iteiro ão egativo. 0

5 Capítulo II: Fuções Reais de Variável Real 7 Eeplos: 3 f ( ) (grau 3) 5 g ( ) (grau 5) h ( ) (grau 0) i( ) ão é polioial porque... Nota: Para polióios de grau 3 ão eiste ua fórula siples para deteriar os zeros (para grau 3 e 4 eiste as é coplicada). No etato, às vezes é possível deteriar os zeros. Eeplos: Deteriar os zeros do polióio 3 ) ) 0 3 ( ) ± Deterie os zeros do polióio q ( ) (eercício ) Fuções racioais Se p ( ), q( ) são fuções polioiais, a fução f : D IR IR co doíio D { IR : q ( ) 0 } defiida por chaa- fução racioal. R ( ) ) q( )

6 Capítulo II: Fuções Reais de Variável Real 8 Eeplos: f ( ) é racioal + g ( ) é racioal + h ( ) ão é racioal (porque Zeros Se ) R ( ) é ua fução racioal q( ) etão R ( ) 0 ) 0 q( ) 0 Fuções irracioais: Seja p () u polióio. As fuções irracioais são fuções do tipo: ode IN e. [ ] f ( ) ) Eeplos: f ( ) é irracioal 3 ( ) 7 g ( ) + 3 é irracioal Nota: Se é par é ecessário ipor a codição p ( ) > 0 restrições a ipor.. Se é ípar ão há

7 Capítulo II: Fuções Reais de Variável Real 9 Revisão sobre potêcias: Seja IN, Z a) vezes b) ( 0) 0 c) ( 0) d) ( 0 é par) e) ( ) ( 0 é par) Regras para os epoetes: a). + b). y ( y) c) ( 0) d) ( y 0) y y e) ( ) f) ( 0 é par) Fuções defiidas por raos Eeplo: Cosidere a fução: h ( ) l( ) < 0 0 < Notar que o doíio da fução é IR. Ua fução assi defiida sigifica que: ],0[, etão h( ) (por eeplo ( ) ( ) h ) [ 0,[, etão h( ) (por eeplo ( 0) ( 0) h ) [, [, etão h( ) l( ) (por eeplo ( ) l( ) 0 h ) O gráfico desta fução é:

8 Capítulo II: Fuções Reais de Variável Real 0 Eeplo: Outra fução defiida por raos é a fução ódulo: 0 < 0 cujo gráfico é: Eercício: Seja f ( ) l 4 ( ) <. Deterie o u doíio. Resolução: D f { IR : ( 4 0 ) ( > 0 < ) } {( ], ] [, [ ) [, [ } {], [ ], [ } [, [ ], [ ], [ [, [ IR \ [,[