Matrizes e Polinômios

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1 Matrizes e oliôios Duas atrizes A, B Mat R) são seelhates quado existe ua atriz ivertível Mat R) tal que B = A Matrizes seelhates possue o eso poliôio característico, já que: det A λ ) = det A λ ) ) = det A 7 Exeplo: As atrizes e são seelhates, pois: 4 7 = 4 Alé disso, = = λ 5λ A B λ ) = det B λ ) Ua atriz A pode ser diagoalizada quado existir ua atriz ivertível Mat R) tal que A atriz A seja ua atriz diagoal Esta atriz é ua atriz de autovetores do operador relativo à =, os autoespaços V = { x), x R} e V = {,, y R}, e ua base de autovetores {,),,) } Assi, =, = e [ ] = = Exeplo: Cosidere [ ] Cosiderado B = A, teos que B = A) = 4A 4 K 4 4 A = A, co Z + Se a fatores atriz A é diagoalizável etão Exeplo: D = A A = D = = ) 5949 = Cosidere p x) = a x + + a x + a R[ ] u poliôio e ua atriz quadrada A Mat R) x Etão p A) é a atriz quadrada a A + + a A + a Diz-se que o poliôio p x) aula a atriz A quado p A) = Exeplo: Seja p x) = x 9, q x) = x + e a atriz A =

2 p A) = 9 = 8 q A) = + = 4 5 Assi, o poliôio p x) aula a atriz A, as q x) ão Diz-se que u poliôio p x) R[ x] aula o operador liear quado p[ ] ) =, para toda base de V Seja V u R-espaço vetorial diesioal, : V V u operador liear e p x) = a x + + a x + a R[ ] u poliôio Defie-se o operador liear p ) : V V tal que X p ) v) = a + + a + a V ) v) Se λ é u autovalor do operador etão p λ ) é u autovalor do operador liear p ) Exeplo: Seja : R R tal que = 8x, cujos autovalores são e Cosidere o poliôio p x) = x 4x x + e o operador p ) : R R tal que p ) = 4 + ) Assi, p ) = ) 4 ) + ) = ) 4 ) + ) = 7x,56x 496x + 8x + = 547x,x 664x + 4 8x + = 84x Etão, os autovalores de p ) são 8 e eorea de Cayley-Hailto CH) Seja V u R-espaço vetorial -diesioal e : V V u operador liear Etão [ ] ) = para toda base de V de: Seja λ ) = λ + a λ + + aλ + a Deotareos por A a atriz adjuta clássica da atriz [ λ ] Os eleetos de A são os cofatores desta atri sedo etão poliôios e λ de grau eor ou igual a A λ ) = A λ + + A λ + A sedo A,, A Mat R) ela propriedade fudaetal da adjuta clássica: [ λ ] A = det[ λ] [ λ] A = [ λ ] A λ + + Aλ + A ) = λ + a λ + + aλ + a ) A λ + [ ] A A ) λ + + [ ] A A ) λ + [ ] A = λ + a λ + + aλ + a ) ) A =

3 -) -) [ ] A A = a [ ] A A = a ) [ ] A A = a ) [ ] A = a Multiplicado-se a equação ) por [ ],-) por [ ], e ) por [ ], te-se: Soado-se as equações atriciais, oliôio Miial ) [ ] A = [ ] - [ ] A [ ] A = a [ ] ) - [ ] A [ ] A = a [ ] ) ) [ ] A [ ] A = a[ ] ) [ ] A = a = [ + = [ ] ) ] + a [ ] + + a[ ] a Seja V u R-espaço vetorial -diesioal e : V V u operador liear Defie-se o poliôio iial ou íio do operador liear, R[ λ], coo sedo o poliôio ôico de eor grau possível tal que [ ] ) = Exeplos: ) : R R tal que = x + y 5x + 7y 5 x + y 4 = λ ) λ ) = λ ) λ ) ) ) : R R tal que 4 y = λ + ) λ ) = λ + ) λ ) = 4 4 tal que t) x 4y + 5 t) : R R = λ ) λ ) = λ ) λ ) = CorolárioCH: O poliôio iial de divide o poliôio característico de, isto é, eo87 λ ) ) eo88 Os poliôios característico e iial possue os esos fatores irredutíveis e as esas raízes eo89 Seja λ, λ,, λr autovalores distitos de Etão é diagoalizável se e soete se = λ λ ) λ λ ) λ λ ) r

4 Exercícios ) Verificar, utilizado a defiição, se os vetores dados são autovetores: a),) para [ ] = b),,) para [ ] = ) Os vetores,) e, ) são autovetores de u operador liear autovalores λ = 5 e λ =, respectivaete Deteriar 4,) : R R associados aos ) Deteriar o operador liear : R R cujos autovalores são λ = e λ = associados aos autoespaços V = {, y } e V = {,, y } R R 4) Deteriar os autovalores e os autovetores dos seguites operadores lieares o R a) = x + x + 4 b) = x) 5) Dado o operador liear o R tal que = x 5, ecotrar ua base de autovetores 6) Verificar se existe ua base de autovetores para: a) : R R tal que = x + y + y + y + b) c) : R R tal que = x x + y + : R R tal que = x + y 4y + 7) Seja : R R tal que = 4x + 5x + Ecotrar ua base que diagoalize o operador 8) O operador liear é diagoalizável? : R 4 4 R tal que t) = x + y + z + t, x + y + y + z + t, x + 9) Deterie o poliôio iial do operador ) Dada a atriz, verifique se é diagoalizável 4

5 a b c ) Seja a atriz triagular superior d e, co todos os seus eleetos acia da diagoal f distitos e ão ulos dique os autovalores e os autoespaços ) ara que valores de a e b as atrizes a e b são diagoalizáveis? ) Se ua atriz A quadrada é diagoalizável etão o deteriate de A é o produto de seus autovalores? 4) Utilize a fora diagoal para ecotrar A os seguites casos atural): 7 6 a) b) 4 5) Diz-se que u operador : V V é idepotete se = a) Seja idepotete Ache seus autovalores b) Dê exeplo de u operador ão ulo : R R idepotete c) Mostre que todo operador liear idepotete é diagoalizável 6) Seja V u espaço -diesioal Qual é o poliôio iial do operador idetidade? Qual é o poliôio iial do operador ulo? 7) Verifique se a atriz é diagoalizável 8) Deteriar ua atriz de orde cujo poliôio iial seja λ 9) dique o poliôio iial dos operadores cosiderado a, b, c, d e e costates ão ulas 5 5 a) : R R tal que t, w) = ax + b ay + b az + bt, at + bw, aw) 5 5 b) : R R tal que t, w) = aw, x bw, y cw, z dw, t ew) 5