ÁLGEBRA. Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores LEEC Ano lectivo de 2002/2003

Transcrição

1 ÁLGEBRA Liceciatura em Egeharia Electrotécica e de Computadores LEEC Ao lectivo de 00/003 Apotametos para a resolução dos exercícios da aula prática 5 MATRIZES ELIMINAÇÃO GAUSSIANA a) Até se obter a forma reduzida de Gauss, a matriz A e a matriz idetidade sofrem as seguites trasformações: Estas trasformações correspodem às seguites operações elemetares: Multiplicação da primeira liha pelo escalar ; Adição à seguda liha da primeira liha multiplicada pelo escalar ; 3 Adição à terceira liha da primeira liha multiplicada pelo escalar ; 4 Adição à terceira liha da seguda liha multiplicada pelo escalar ; 5 Multiplicação da terceira liha pelo escalar ; Estas operações elemetares correspodem aos factores: E = = As iversas destas operações elemetares são precisamete: E = = b) Sedo G a matriz reduzida à forma míima de Gauss obtida a partir da matriz A como determiado a alíea aterior, verifica-se que EA = G, ode E é a trasformação obtida pela sequêcia de operações elemetares Sedo esta trasformação uma matriz ão sigular, tem-se que EA = G A = E EA = E G Assim, coclui-se que a

2 matriz que trasforma G em A é precisamete das trasformações elemetares: 0 0 E 0 = E, ou seja, a iversa da composta Esta matriz é triagular iferior A matriz G é triagular superior Assim, defiido-se L = E e U = G, obtém que A = L U, o produto de uma matriz triagular iferior por outra triagular superior Com efeito, esta decomposição é sempre possível para matrizes quadradas ão sigulares, obtedo-se aida que a diagoal de U tem apeas valores uitários Note-se aida que a matriz L tem como valores de cada colua as etradas do triâgulo iferior da matriz A quado as coluas ateriores desta já foram trasformadas o setido de se obter a forma reduzida de Gauss Fora questões de pivotação, aqui ão abordadas, este procedimeto é o usualmete usado para umericamete resolver sistemas de equações e iversão de matrizes quadradas geéricas c) Cotiuado o procedimeto da alíea a), obtém-se: Obtém-se, portato: A solução de cada uma das alíeas é: a) A = A = 7 8 3

3 b) B = c) A matriz C é sigular, tedo característica 3 (e ão 4) 3 A solução de cada uma das alíeas é: x x 7 a) x = x = 3 65, sedo esta a úica solução A característica de A é 4 x 4 00 b) c) , sedo o sistema impossível, apesar de ter mais icógitas que equações A característica de A é , sedo o sistema idetermiado, apesar de ter mais equações que icógitas A característica de A é As soluções são: x 4 x = 7 x3 x = x :, x x = 5 5x3 + 5x x 3 4 a) A matriz A apeas pode ter iversa à direita, dado ter mais coluas que lihas Aplicado o procedimeto de Gauss-Jorda, obtém-se: Recohecedo uma matriz idetidade de 3 3 as coluas, e 4, tem-se que as matrizes iversas laterais à direita de A são dadas por:

4 3 + a + b + c 3 a 8 b 4 c R = 5 4, a b c abc,, b) Repete-se o procedimeto da alíea aterior, efectuado uma trasposição prévia da matriz B e traspodo o resultado fial ovamete Naturalmete, a existirem, apeas existem iversas laterais à esquerda, viste o úmero de lihas ser superior ao de coluas: Recohecedo uma matriz idetidade de 3 3 as coluas, e 3, tem-se que as matrizes iversas laterais à esquerda de B são dadas por: a a a a R = 7b b b b, abc,, c c c c c) Repete-se o procedimeto da alíea a), otado que, de ovo, apeas podem existir matrizes iversas à direita: Notado que a característica de toda a matriz é 3, valor superior à característica de C, que é, é impossível resolver a equação matricial CR = I Logo, esta matriz ão tem qualquer tipo de iversa 5 Recorredo ao procedimeto de Gauss-Jorda, verifica-se que, para uma matriz geérica triagular superior: a a a a a a aa aa 0 a a a a aa 0 0 a a A iversa de uma matriz triagular superior também é uma matriz triagular superior, tedo a forma descrita acima É codição para que seja ão sigular que todos os elemetos da diagoal pricipal sejam ão ulos, visto que a diagoal pricipal da iversa

5 é composta pelos iversos de cada um dos elemetos homólogos da matriz origial Aplicado a regra da iversa da matriz trasposta, verifica-se que a iversa de uma matriz triagular iferior é uma matriz triagular iferior, sedo obtida tal como apresetado para as triagulares superiores, mutatis mutadis 6 Seja E a matriz quadrada de dimesões e ão sigular que trasforma a matriz A a sua forma reduzida de Gauss (matriz produto de operações elemetares) Verifica-se que A = E EA = E G, ode G represeta a forma reduzida de Gauss Sedo k a característica de A, que verifica ecessariamete a desigualdade k mi(, m), tem-se que G pode aida ser represetado por: G km, G = Z, k, m ode G km, represeta as k lihas ão ulas de G e Z k, m é a matriz ula de dimesões k m Verifica-se etão que: AA E G Z E E E T G km, T G km, Gkm, Z T T T k, k T = km, km, = Z k, m Z k, k Z k, k A característica da matriz do cetral do produto do membro do lado direito da expressão acima tem característica ão superior ao máximo úmero de lihas e de coluas ão ulas, ou seja, k O produto desta matriz por matrizes ão sigulares ( E e E T ) ão altera o valor da característica, ou ão fossem estas matrizes uma composição de operações T elemetares Assim, coclui-se que a característica de AA é, o máximo, k