Matriz em banda. largura de banda superior: número de diagonais não nulas, acima da diagonal principal X 0 X X 0 X X 0 X X 0 0
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- Kléber Amaro Antas
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1 Matriz em bada X X X X X X X 0 X X X X X X X X X X X X 0 X X 0 X X X X X X X X 0 X X 0 X X 0 X X X X X X X X X X X X X 0 0 X X X X X X X X X X 0 X X X X 0 X X X X X X X X X X 0 X X X X largura de bada iferior: úmero de diagoais ão ulas abaio da diagoal pricipal largura de bada superior: úmero de diagoais ão ulas acima da diagoal pricipal largura de bada largura de bada superior + largura de bada iferior + 1 ou seja largura de bada é o umero total de diagoais ão ulas Matemática Computacioal MEMec LEN MEer
2 Método de Gauss escolha de Pivot Resolva pelo método de Gauss o sistema de equações i) Codesação b b m ? 0 m 10? (1) (1) (2) (2) 42 Troca de lihas (ou seja de equações) para que o pivot ão seja ulo b (2) (2) (2) (2) (3) (3) b b m Matemática Computacioal MEMec LEN MEer
3 Método de Gauss escolha de Pivot m 43 (3) (3) b (4) (4) b ii) Substituição ascedete ( ) ( 2 3 3) Em aritmética em poto flutuate devido aos arredodametos em geral a escolha de pivot é vatajosa mesmo quado o pivot ão é ulo Matemática Computacioal MEMec LEN MEer
4 Método de Gauss importâcia da escolha de Pivot Cosidere o sistema de equações Nota: solução eacta a) Resolva o sistema pelo método de Gauss utilizado uma matissa com 4 dígitos ou seja simulado os cálculos em FP(1042) b) Resolva agora efectuado escolha de pivot (a mesma com uma matissa com 4 dígitos) a) i) Codesação (1) ( 1) b m b (2) (2) 0 a22 b2 (2) (2) m (6) m a (2) (1) (1) 22 a22 m21 a b (2) (1) (1) 2 b2 m21 b Matemática Computacioal MEMec LEN MEer
5 (2) (2) b ii) Substituição ascedete Método de Gauss importâcia da escolha de Pivot (6) solução obtida é equato a solução eacta é Comparado com a solução eacta verifica-se que o valor obtido para 1 possui 33% de erro. Matemática Computacioal MEMec LEN MEer
6 Método de Gauss importâcia da escolha de Pivot b) Uma forma de miimizar os problemas uméricos é efectuar escolha de pivot i) Codesação (1) (1) b (1) (1) b m Troca de lihas (ou seja de equações) para que o pivot teha maior valor absoluto (1) (1) b b (2) (2) 0 a2 2 b2 (2) (2) m m21 (2) (1) (1) 4 a22 a22 m21 a b (2) b (1) m b (1) Matemática Computacioal MEMec LEN MEer
7 (2) (2) b ii) Substituição ascedete Método de Gauss importâcia da escolha de Pivot solução obtida é igual à solução eacta Matemática Computacioal MEMec LEN MEer
8 Tipos de pivot: - pivot parcial -pivot total - pivot diagoal Tipos de Pivot - pivot parcial com patamar ( k) a a a a a a 0 a a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a k k k k 0 0 a a a a ( k) ( k) 11 1 k 1 1 k 1 p 1 q 1 ( k) k 1 k 1 k 1 k k 1 p k 1 q k 1 k k k p k q k p k p p p q p q k q p q q q ( ) ( ) ( ) ( ) k p q submatriz activa Os cadidatos a pivot ecotram-se a submatriz activa Matemática Computacioal MEMec LEN MEer
9 ( k) Pivot parcial a a a a a a 0 a a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a k k k k 0 0 a a a a ( k) ( k) 11 1 k 1 1 k 1 p 1 q 1 ( k) k 1 k 1 k 1 k k 1 p k 1 q k 1 k k k p k q k pk pp pq p q k q p q q q ( ) ( ) ( ) ( ) k p q liha k liha p colua k pivot parcial os cadidatos a pivot são os elemetos da colua k da submatriz activa Escolher: ma a a i k ( k) ( k) ik pk Trocar liha p com liha k Matemática Computacioal MEMec LEN MEer
10 para k 1 até 1 lgoritmo pivot parcial # para todas as coluas a codesar # 1. escolher pivot # iicialização p k # liha pivot k pivot akk # escolha do elemeto pivot para i k+ 1 até # para todos as etradas abaio de akk se aik > pivot etão p i # liha pivot k pivot aik # troca de lihas se p k etão # se p k etão trocar liha p com a liha k para j k até # para todas as etradas ão ulas das lihas a trocar au akj akj apj apj au # 2. codesação para i k+ 1 até # para todas as lihas abaio da liha k m ik aik / akk # factor multiplicativo para j k+ 1 até # para todos as etradas ão ulas dessa liha aij aij mika kj Matemática Computacioal MEMec LEN MEer
11 ( k) Pivot total a a a a a a 0 a a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a k k k k 0 0 a a a a ( k) ( k) 11 1 k 1 1 k 1 p 1 q 1 ( k) k 1 k 1 k 1 k k 1 p k 1 q k 1 k k k p k q k pk pp pq p q k q p q q q ( ) ( ) ( ) ( ) k p q liha k liha p pivot total os cadidatos a pivot são todos os elemetos da submatriz activa Escolher: ma a a colua k ij k ( k) ( k) ik pq colua q Trocar liha p com liha k e trocar colua q com colua k Matemática Computacioal MEMec LEN MEer
12 ( k) Pivot diagoal a a a a a a 0 a a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a k k k k 0 0 a a a a ( k) ( k) 11 1 k 1 1 k 1 p 1 q 1 ( k) k 1 k 1 k 1 k k 1 p k 1 q k 1 k k k p k q k pk pp pq p q k q p q q q ( ) ( ) ( ) ( ) k p q Com pivot diagoal a simetria duma matriz simétrica é matida liha k liha q pivot diagoal os cadidatos a pivot são os elemetos da diagoal da submatriz activa Escolher: ma a a colua k i k ( k) ( k) ii qq colua q Trocar liha q com liha k e trocar colua q com colua k Matemática Computacioal MEMec LEN MEer
13 ( k) Pivot parcial com patamar a a a a a a 0 a a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a k k k k 0 0 a a a a ( k) ( k) 11 1 k 1 1 k 1 p 1 q 1 ( k) k 1 k 1 k 1 k k 1 p k 1 q k 1 k k k p k q k pk pp pq p q k q p q q q ( ) ( ) ( ) ( ) k p q Com patamar a troca só é efectuada se valer a pea i.e. se a pk for fracamete superior a a kk liha k liha p colua k pivot parcial os cadidatos a pivot são os elemetos da colua k da submatriz activa Escolher: ma a a ( k) ( k) i k ik pk ( k) ( k) Trocar liha p com liha k se: τ apk akk 0 τ 1 > τ é o valor do patamar Matemática Computacioal MEMec LEN MEer
14 Normas de matrizes Normas de vectores orma 1 ( 1 2 ) orma Euclideaa 2 ma i 1 i orma do máimo (ou do ifiito) Normas de matrizes (m) m ma 1 1 j i 1 ma 1 i m j 1 a a ij ij 1 2 m 2 ( a ) F ij orma de Frobeius i 1 j 1 Matemática Computacioal MEMec LEN MEer
15 Número de codição (de matrizes) dmitido que eistem perturbações os valores da matriz e do vector b etão resultam perturbações a solução do sistema [ ] { } { b} b ( ) ( ) b + δ + δ b+ δb (i) dmitir que apeas eistem perturbações o 2º membro (e cosequetemete a solução) ( δ ) + b+ δb + δ b+ δb b b b b δ δb (*) 1 δ δb δ δb δ 1 1 δb δb δ 1 δb Matemática Computacioal MEMec LEN MEer
16 Número de codição (de matrizes) Tedo em ateção (*) b δ 1 δb 1 δb b δ 1 cod δb b δ cod δb b O úmero de codição duma matriz traduz em termos relativos a relação etre as perturbações a solução easperturbações o segudo membro b. cod 1 Um úmero de codição elevado idica que as perturbações do segudo membro são ampliadas sobre a solução do sistema (ii) Perturbações a matriz (e cosequetemete a solução) alogamete se demostra que a relação etre as perturbações a solução e as perturbações da matriz também depedem do úmero de codição da matriz Matemática Computacioal MEMec LEN MEer
17 Efeito dos erros de arredodameto Na resolução dum sistema (de dimesão ) em poto flutuate devido aos arredodametos a factorização obtida ão é eactamete igual à matriz origial LU + E matriz dos erros Pode demostrar-se que os elemetos da matriz erro são majorados por: eij u γ α 1 u - costate da ordem da uidade de arredodameto α - maior elemeto (em módulo) de 1 γ - factor de crescimeto dos coef. de durate factorização ij (i) Pivot parcial em certos casos patológicos γ pode ser muito elevado podedo atigir o valor máimo de 2 1. Cotudo estes casos patológicos são raros e a prática a factorização com pivot parcial é em geral umericamete estável (ii) Pivot total o majorate de γ cresce letamete (com o aumeto da dimesão do sistema) ão se cohecedo casos para os quais seja superior a. Logo a utilização de pivot total é umericamete estável. Matemática Computacioal MEMec LEN MEer
18 Efeito dos erros de arredodameto Itroduzido o coceito de resíduo r b (de fácil cálculo após se obter ) ( ) r b δ 1 δ r 1 r δ δ r b tededo a que b b 1 δ r δ 1 r Etão Ou seja δ 1 r δ 1 r b δ cod r b δ 1 cod ode o úmero de codição surge ovamete como factor de ampliação r b Resumido o úmero de codição da matriz desempeha um papel fudametal os erros eistete a solução do sistema de equações Matemática Computacioal MEMec LEN MEer
Propriedades. 1) Combinação linear de linhas duma matriz soma de uma linha com outra linha multiplicada por um factor multiplicativo
ropriedades ) Combiação liear de lihas duma matriz soma de uma liha com outra liha multiplicada por um factor multiplicativo Eemplo: dicioar à liha 3 a liha multiplicada por um factor multiplicativo m
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