Sinais de Tempo Discreto

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1 Siais de Tempo Discreto Siais defiidos em istates discretos do tempo t 0, t 1, t 2,..., t,... são siais de tempo-discreto, deotados pelos símbolos f(t ), x(t ), y(t )... (sedo um iteiro). x(t )... t 1 t 5 t 0 t 2 t 3 t 4... Assume-se que os itervalos de tempo discretos são uiformemete espaçados, ou seja, t +1 t = T para todo o. T T TT t 1 t 2 t 3 t 4 t 5

2 Represetação de siais discretos x(t 0 ) x(0.t) x[0] x(t 1 ) x(t 2 ) x(t) x[1] x(t ) x(t) x[] x(2t) x[2] x(t 3 ) x(t 5 ) x(t 4 ) x(3t) x(5t) x(4t) x[3] x[4] x[5] T T T T T T T T T T T T T T T t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 Com espaçameto uiforme etre os istates em que ocorre o sial, o sial pode ser deotado por x(t). A otação pode aida ser mais simplificada fazedo x[], ode fica implícito que x[]=x(t) e que é um iteiro.

3 Sistemas de tempo discreto x[] y[] Sistema Um sistema discreto tem um sial discreto como etrada e gera a sua saída um ovo sial discreto.

4 Exemplo de descrição aalítica de um sistema de tempo discreto Defia como um sistema discreto um modelo simples de balaço uma cota bacária de mês para mês. Deote por y[] o saldo o fim do -ésimo mês, por x[] o depósito líquido (depósitos meos levatametos) durate o - ésimo mês e assuma uma taxa de juro mesal de 1%.

5 Exemplo de descrição de sistema de tempo discreto O resultado será: y [ ] 1.01 y [ 1] = x [ ] Trasformado a equação do sistema para um formato geérico: y [ ] ay [ 1] = bx [ ] Vê-se etão que podemos caracterizar um sistema discreto por uma equação a forma mais geérica de: N a y = bx M = 0 = 0 ode a e b são costates cohecidas Esta equação recebe o ome de equação às difereças. Este ome surge devido ao modo como a descrição de um sistema discreto assume a forma de difereças etre os valores dos siais em diferetes istates.

6 Expasão dos membros da equação Expadido a expressão, obtém-se: y [ ] + a y [ 1] ay [ + 1] + ay [ ] = b x[ ] + b x[ 1] b x[ + 1] + b x[ ] O primeiro membro da equação cosiste da saída em istates, -1, -2,..., -, etc. O segudo membro cosiste a etrada em istates, -1, -2,..., -, etc. Cada valor de saída e cada valor de etrada é pesado com um coeficiete.

7 Equação às s difereças em avaço o ou em atraso Uma equação às difereças pode ser escrita em dois formatos: o primeiro usa termos de atraso como y[-1], x[-1], x[-2],..., etc; o segudo usa termos em avaço como y[+1], y[+3],...,etc. A equação seguite está escrita em operador avaço: y [ + ] + a y [ + 1] ay [ + 1] + ay [ ] = bx [ + ] + b x [ + 1] bx [ + 1] + bx [ ] A mesma equação é represetada em operador atraso como: y [ ] + a y [ 1] ay [ + 1] + ay [ ] = b x[ ] + b x[ 1] b x[ + 1] + b x[ ] 1 1 0

8 Codições iiciais e solução iterativa da equação às difereças A equação aterior pode ser expressa como: y [ ] = a 1y [ 1] a 2y [ 2]... ay 1 [ + 1] ay 0 [ ] + bx [ ] + b x [ 1] bx [ + 1] + bx [ ] y [ ] + a 1y [ 1] ay 1 [ + 1] + ay 0 [ ] = b x[ ] + b x[ 1] b x[ + 1] + b x[ ] Esta equação mostra que y[], a saída o istate, é obtida a partir de 2+1 elemetos de iformação. Estes são os passados valores da saída: y[-1], y[-2],...y[-] e o presete e passados valores da etrada: x[], x[-1], x[-2],...,x[-]. Cohecedo as codições iiciais e a etrada x[], podemos calcular de forma iterativa a resposta y[0], y[1], y[2],etc. Este método basicamete reflecte a forma como um computador resolveria uma equação às difereças, cohecedo a etrada e as codições iiciais.

9 Exemplo de solução iterativa Resolva iterativamete y [ ] 0.5 y [ 1] = x [ ] com as codições iiciais y[-1]=16 e a etrada x[]= 2 u[]. Esta equação pode ser expressa a forma: y [ ] = 0.5 y [ 1] + x [ ] Ode se coloca em evidêcia o facto de a saída um dado istate depeder da saída os istates ateriores e da etrada esse mesmo istate e os ateriores. Se fizermos =0 esta equação, obtém-se y[0] = 0.5 y[ 1] + x[0] = 0.5i = 8

10 Exemplo de solução iterativa Fazedo =1 e utilizado o valor de y[0]=8 (calculado a primeira iteração): y[1] = 0.5 y[0] + x[1] = 0.5i8 + 1 = 5 Fazedo agora =2 e utilizado o valor de y[1]=5 (calculado a seguda iteração): y[2] = 0.5 y[1] + x[2] = 0.5i5 + 4 = 6.5 Cotiuado este procedimeto iterativamete: y y [ ] = 0.5 y [ 1] + x [ ] 2 [3] = 0.5i = y[4] = 0.5i =

11 Resposta do sistema Coclui-se portato que, para um sistema descrito pela equação às difereças: y [ ] 0.5 y [ 1] = x [ ] com a etrada x[]= 2 u[], com as codições iiciais y[-1]=16 A resposta calculada iterativamete é dada por: y[0] = 8 y [1] = 5 y [2] = 6.5 y[3] = y[4] = x[]= 2 u[] 22,125 x[] y[] 12, Sistema ,5

12 Notação do operador E Nas equações às difereças é coveiete o uso de otação de operador semelhate à usada as equações difereciais. Em sistemas de tempo-cotíuo foi usado o operador D para deotar a operação de difereciação. Para sistemas de tempo-discreto usar-se-á o operador E para deotar a operação de avaçar a sequêcia um itervalo de tempo. Etão: f[ + 1] = Ef[ ] f[ + 2] = E 2 f[ ]... f[ + ] = E f[ ] Tedo uma equação às difereças de primeira ordem a forma: y [ + 1] γ y [ ] = x [ + 1] Utilizado a otação de operador, esta equação pode ser expressa como: Ey[ ] γ y[ ] = Ex[ ] ou ( E γ ) y[ ] = Ex[ ]

13 Notação do operador E Uma equação às difereças de seguda ordem, como por exemplo: poderá ser escrita a forma: 1 1 y [ + 2] + y [ + 1] + y [ ] = x [ + 2] E + E + y[ ] = E x[ ] 4 16 Uma forma geral para equações às difereças de ordem será: 1 1 ( ) = ( ) a =1 E a E... ae a y[ ] b E b E... be b x[ ] ou de forma mais compacta: QEy [ ] [ ] = PEx [ ] [ ] ode Q[E] e P[E] são poliómios o operador E de ordem : QE [ ] = E + a E ae+ a PE [ ] = be + b E be+ b

14 Resposta a etrada-ula ula de um sistema discreto Um sistema discreto pode evetualmete apresetar um sial de saída, mesmo ão tedo uma etrada ão-ula aplicada: x[] y 0 [] Sistema Esta situação pode ser descrita aaliticamete por: QEy [ ] [ ] = PEx [ ] [ ] ode x[]=0, e y[] recebe a desgiação y 0 [] ou seja: QEy [ ] [ ] = 0 De forma equivalete (expadido o poliómio Q[E]): 1 ( ) 0 E + a E ae + a y [ ] =

15 Para o caso de primeira ordem: ou que coduz a Caso de primeira ordem 1 ( ) E + a E ae + a y [ ] = 0 a =a 1 = ( E + a0) y0[ ] = 0 y [ + 1] + a y [ ] = y [ + 1] = a y [ ] y0[ + 1] y [ ] 0 = a = γ Isto sigifica que a razão etre y 0 [+1] e y 0 [] é γ=-a 0. Claramete a sequêcia y 0 [] é uma progressão geométrica de razão γ. Assim, y 0 [0]=c y 0 [1]=cγ y 0 [2]=cγ 2 y 0 [3]=cγ 3 e geeralizado y 0 []=cγ ode c é uma costate arbitrária a ser determiada por restrições adicioais, geralmete codições iiciais. 0

16 Caso de ordem N A resposta a etrada ula de um sistema de ordem é obtida resolvedo 1 ( ) E + a E ae + a y [ ] = desta equação obtém-se o poliómio Q[E]: QE [ ] = E + a E ae+ a que facilmete se coverte em Q[γ], poliómio característico: Q[] γ = γ + a γ a γ + a O poliómio aterior é de ordem e pode ser expresso a sua forma factorizada (assumido raízes distitas): ( γ γ1) ( γ γ2 )... ( γ γ)

17 Caso de ordem N Resolvedo a equação característica ( ) ( ) ( ) γ γ γ γ2 γ γ = Verifica-se que γ tem soluções γ 1, γ 2,..., γ que a verificam e cosequetemete também a equação 1 ( ) E + a E ae + a y [ ] = terá soluções desigados por modos característicos. γ, γ,..., γ 1 2 A solução geral é uma combiação liear destas soluções. y [ ] = c γ + c γ c γ As costates c 1,c 2,...,c são costates arbitrárias determiadas por codições auxiliares, geralmete dadas a forma de codições iiciais.

18 Caso de ordem N O poliómio Q[γ] é o poliómio característico do sistema. Q[γ]=0 desiga-se por equação característica do sistema. γ 1, γ 2,..., γ são as raízes características do sistema (ou valores próprios do sistema). As expoeciais γ i ( i = 1,2,..., ) são os modos característicos ou modos aturais do sistema. Existe um modo característico por cada raiz característica do sistema, e a resposta a etrada-ula é uma combiação liear dos modos característicos do sistema: y [ ] = c γ + c γ c γ Qual a cofiguração de cada modo característico?

19 Raízes múltiplasm Se duas ou mais raízes coicidem (raízes repetidas), a forma dos modos característicos vem modificada. Se uma raiz γ se repete r vezes (raiz de multiplicidade r), os modos característicos correspodetes a esta raiz são: 2 r 1 γ, γ, γ,..., γ Etão, se a equação característica de um sistema é ( 1) ( r 1) ( r 2) ( ) r [] γ = γ γ γ γ γ γ... γ γ Q + + a resposta a etrada-ula será uma combiação liear de modos associados a raízes simples e de modos associados à raiz de multiplicidade r. 2 1 ( ) y [ ] = c + c + c c γ + c γ + c γ c γ r r 1 r+ 1 r+ 1 r+ 2 r+ 2

20 Raízes complexas No caso de as raízes características calculadas resultarem complexas, o tipo de aálise a ser desevolvido é próximo do que acotece para sistemas cotíuos. Caso se obteham as raízes: γ=α+ jβ γ=α jβ Dado tratarem-se de raízes simples (apesar de complexas), os modos associados serão: ( α + j β) e ( α j ) Por uma questão de comodidade, as raízes serão covertidas a sua forma polar (isto é útil dado estarmos a tratar de complexos elevados a uma variável ): β ( j ) j γ e ( j ) j γ e γ= α+ β = γ γ= α β = γ Apresetado portato os modos característicos a forma: j γ j γ ( γ e ) e ( γ e )

21 Raízes complexas Sedo os modos característicos dados por: j γ j γ ( γ e ) ( γ e ) e A resposa a etrada-ula será dada pela sua combiação liear: j γ j γ ( ) ( ) y0 = c1 γ e + c2 γ e Como foi já visto para o caso cotíuo, os coeficietes c 1 e c 2 devem ser cojugados para que a resposta seja real, ou seja: * c1 = c2 jθ c1 = c e, c2 = c e 2 2 jθ A resposta a etrada-ula atige assim a forma: ( ) c ( ) y0 = c e γ e + e γ e 2 2 jθ j γ jθ j γ

22 Raízes complexas A dedução da resposta a etrada-ula até à sua forma real será: ( ) c ( ) ( ) ( ) y0 c e e e e 2 2 y 0 c e e e e 2 jθ j γ jθ j γ = γ + γ jθ j γ jθ j γ = γ + γ y c e e e e jθ j γ jθ j γ 0 = γ + γ 2 ( ) ( ) jθ+ j γ jθ j γ y = γ + γ 0 c e e 2 y c e e jθ+ j γ jθ j γ = γ j( θ+ γ) j( θ+ γ) [ ] y = γ + 0 c 1 e e 2 ( ) y0 = c γ cos γ + θ

23 Resposta a etrada-ula ula y 0 [] ( ) y0 = c γ cos γ + θ A cofiguração deste sial é depedete dos parâmetros γ e γ. para γ <1 Dado que estes parâmetros são origiários das raízes características: j γ j γ ( γ e ) ( γ e ) Coclui-se que é o módulo e a fase das raízes características que determiam a taxa de crescimeto ou queda e a frequêcia deste sial

24 Resposta a estado-ulo Vimos já como calcular a resposta a etrada-ula de um sistema. Resta etão saber de que forma se determia a resposta a uma etrada qualquer resposta a estado-ulo. Qualquer sial discreto pode ser iterpretado como sedo uma soma de impulsos deslocados o tempo. δ[] x[] -5 5 x[] = x[-5]δ[+5]+ x[-4]δ[+4] +x[-3]δ[+3]+x[-2]δ[+2]+x[-1]δ[+1]+x[0]δ[] +x[1]δ[-1] + x[2]δ[-2] +x[3]δ[-3] +x[4]δ[-4] +x[5]δ[-5]

25 Resposta a estado-ulo Iterpretado um sial de etrada como sedo uma sequêcia de impulsos, a tarefa de determiar a resposta a esse sial de etrada, é equivalete à de determiar a resposta a uma soma de impulsos deslocados o tempo. x[] y[] -5 5 Sedo x[] dado por: Sistema?????????????????? x[] = x[-5]δ[+5]+ x[-4]δ[+4] +x[-3]δ[+3]+x[-2]δ[+2]+x[-1]δ[+1]+x[0]δ[] +x[1]δ[-1] + x[2]δ[-2] +x[3]δ[-3] +x[4]δ[-4] +x[5]δ[-5] Pela liearidade e pela ivariâcia temporal do sistema, a resposta a estado-ulo para esta etrada será: y[] = x[-5]h[+5]+ x[-4]h[+4] +x[-3]h[+3]+x[-2]h[+2]+x[-1]h[+1]+x[0]h[] +x[1]h[-1] + x[2]h[-2] +x[3]h[-3] +x[4]h[-4] +x[5]h[-5]

26 Resposta a estado-ulo x[] = x[-5]δ[+5]+ x[-4]δ[+4] +x[-3]δ[+3]+x[-2]δ[+2]+x[-1]δ[+1]+x[0]δ[] +x[1]δ[-1] + x[2]δ[-2] y[] = x[-5]h[+5]+ x[-4]h[+4] +x[-3]h[+3]+x[-2]h[+2]+x[-1]h[+1]+x[0]h[] +x[1]h[-1] + x[2]h[-2] Geeralizado as expressões ateriores para um sial qualquer, o que se verifica é que se iterpretarmos um sial de etrada como + sedo: x[ ] = x[ m] δ[ m] m= o sial de saída será dado por: + y [ ] = xm [ ] h [ m] m= +x[3]δ[-3] +x[4]δ[-4] +x[5]δ[-5] +x[3]h[-3] +x[4]h[-4] +x[5]h[-5] Ou seja, se temos a etrada uma combiação liear de impulsos (soma de impulsos deslocados o tempo, cada um deles com um dado peso), a resposta de um sistema liear e ivariate o tempo será ecessariamete um sial que é uma soma de respostas a impulso deslocadas o tempo, cada uma com o peso do impulso que lhe deu origem.

27 Resposta a estado-ulo Se a resposta a impulso de um sistema for: δ[] h[] Sistema Iterpretado um sial de etrada como sedo uma sequêcia de impulsos, a resposta a estado-ulo será uma sequêcia de respostas a impulso: x[] y[] Sistema

28 Resposta a estado-ulo A resposta a estado-ulo de um sistema discreto é etão dada por: + y [ ] = xm [ ] h [ m] m= Esta operação pode ser represetada de forma mais compacta por: y [ ] = x [ ] h [ ] Esta operação recebe a desigação de covolução discreta. Se para determiar a resposta a estado-ulo de um sistema discreto é ecessário covolver o sial de etrada com a resposta a impulso, é fudametal saber como determiar a expressão aalítica de h[] resposta a impulso.

29 Resposta a impulso de um sistema discreto A resposta a impulso de um sistema discreto é dada por: b h [ ] = 0 δ [ ] + y0h[ ] u [ ] a 0 À semelhaça dos sistemas cotíuos, a existêcia ou ão de um impulso a resposta a impulso depede dos coeficietes da equação às difereças. Da resposta a etrada-ula y 0h [] surgem coeficietes que ficam por determiar. Para sistemas cotíuos estes coeficietes eram determiados por codições iiciais especiais. Para sistemas discretos a forma de determiar esses coeficietes é diferete e será vista as aulas teorico-práticas.

30 Resposta total de um sistema discreto A resposta total de um sistema será a soma das compoetes: - resposta a etrada-ula e resposta a estado-ulo Resposta a etrada-ula x[]=0 x[]=u[] Sistema y 0 [] y est. [] y [ ] = c γ 0 i = 1 i i Resposta a estado-ulo (p. exemplo degrau uitário) Sistema y [ ]. = [ ] [ ] est x h x[] y total [] Resposta total Sistema total i i i = 1 y [ ] = c γ + x[ ] h[ ]

31 Estabilidade de um sistema discreto A resposta a etrada-ula forece muita iformação sobre a estabilidade de sistemas. Se um sistema, mesmo com uma etrada ula, vê a sua saída teder para ifiito apeas porque tem armazeada alguma eergia, isto é sitomático de um sistema istável. Por outro lado se um sistema vê a sua resposta a etrada-ula extiguir-se à medida que o tempo passa, ele será um sistema estável. Se um sistema apreseta como resposta a etrada-ula uma saída que ão desaparece com o tempo, mas que também ão tede para ifiito, etão esse sistema é margialmete estável.

32 Estabilidade de um sistema discreto Sedo a cofiguração da resposta a etrada-ula a ditar a estabilidade de um sistema, é ecessário cohecer bem os possíveis formatos dessa resposta. Estes formatos depedem do tipo de raízes características do sistema. Quado a raíz é simples e real, a resposta a etrada-ula será uma combiação de siais a forma γ : y [ ] = c γ + c γ c γ Se as raízes tiverem multiplicidade superior a 1, os modos que 2 r 1 surgem têm a forma γ, γ, γ,..., γ, sedo a resposta a etrada-ula uma combiação deles: 2 r 1 ( r ) y [ ] = c + c + c c γ Para raízes complexas obteremos uma resposta a etrada-ula a forma: ( ) y0 = c γ cos γ + θ

33 Estabilidade de um sistema discreto Localização das raízes características Resposta a etrada-ula Im y 0 [K] Sistema margialmete estável c x Re t Raíz real de módulo uitário positiva γ=1 [ ] y0 = cγ y [ ] 0 = c

34 Estabilidade de um sistema discreto Localização das raízes características Resposta a etrada-ula Im y 0 [K] Sistema margialmete estável c x Re t -c Raíz real de módulo uitário egativa γ= 1 [ ] y0 = cγ ( ) y [ 0 ] = c 1

35 Estabilidade de um sistema discreto Localização das raízes características Resposta a etrada-ula Im c y 0 [K] Sistema estável x Re t [ ] y0 = cγ Raíz real positiva de módulo iferior a 1

36 Estabilidade de um sistema discreto Localização das raízes características Resposta a etrada-ula Im c y 0 [K] Sistema estável x Re t [ ] y0 = cγ Raíz real egativa de módulo iferior a 1

37 Estabilidade de um sistema discreto Localização das raízes características Resposta a etrada-ula Im y 0 [K] Sistema istável x Re c t [ ] y0 = cγ Raíz real positiva de módulo superior a 1

38 Estabilidade de um sistema discreto Localização das raízes características Resposta a etrada-ula Im y 0 [K] Sistema istável x Re c t [ ] y0 = cγ Raíz real egativa de módulo superior a 1

39 Estabilidade de um sistema discreto Localização das raízes características Resposta a etrada-ula Im y 0 [K] Sistema estável x x Re Raízes complexas de módulo iferior a 1 ( ) y0 = c γ cos γ + θ Expoecial discreta decrescete

40 Estabilidade de um sistema discreto Localização das raízes características Resposta a etrada-ula Im x y 0 [K] Sistema istável Re x Raízes complexas de módulo superior a 1 ( ) y0 = c γ cos γ + θ Expoecial discreta crescete

41 Estabilidade de um sistema discreto Localização das raízes características Resposta a etrada-ula Im y 0 [K] Sistema margialmete estável x x Re Raíz complexa de módulo uitário γ =1 ( ) ( ) ( ) y0 = c γ cos γ + θ y0 = c 1 cos γ + θ y0 = ccos γ + θ Siusóide de amplitude costate

42 Estabilidade de um sistema discreto Localização das raízes características Im Resposta a etrada-ula Sistema istável y 0 [K] x Re c 1 Raíz real dupla positiva de módulo uitário γ=1 y [ ] = c γ + c γ y [ ] = c + c 0 1 2

43 Estabilidade de um sistema discreto Localização das raízes características Resposta a etrada-ula Sistema istável Im y 0 [K] x Re t Raíz real dupla egativa de módulo uitário

44 Estabilidade de um sistema discreto Localização das raízes características Resposta Sistema a etrada-ula istável Im y 0 [K] x x Re Raíz complexa dupla de módulo uitário

45 Estabilidade de um sistema discreto resumo Im istável estável Re margialmete estável

46 Quadro resumo de aálise o tempo (cotíuo uo e discreto) Defiição de Sial Defiição de Sistema (Circuito) Caracterização de siais: Cotíuos/Discretos uos/discretos Periódicos/Aperi dicos/aperiódicos Aalógicos/Digitais Trasformações a variável vel idepedete: Traslacção temporal Escaloameto temporal Iversão temporal

47 Sistemas Quadro resumo de aálise o tempo (cotíuo uo e discreto) Cotíuos/Discretos uos/discretos Aalógicos/Digitais Lieares/Não lieares Variates/Ivariates o tempo Com/Sem memória Causais e ão causais Estáveis/Ist veis/istáveis Iversos

48 Quadro resumo de aálise o tempo (cotíuo uo e discreto) Cotíuo Tipo de equação de descrição do sistema: Equação diferecial: N N 1 d y() t d y() t dy() t + an a a0y( t) N N dt dt dt M M 1 d x() t d x() t dx() t = bm + bm b b0x( t) M M dt dt dt Operador utilizado - D: N N ( + 1 N ) D a D... ad a y( t) M M 1 = M + M ( bd b D... bd b) xt ( ) Simplificação utilizado os poliómios: N QD ( ) = D + a D ad+ a N 1 N M PD ( ) = bd + b D bd+ b M Resultado em: M 1 M QD ( ). yt ( ) = PD ( ). xt ( ) Discreto Tipo de equação de descrição do sistema: Equação às difereças: y [ + ] + a y [ + 1] ay [ + 1] + ay [ ] = b x[ + ] + b x[ + 1] b x[ + 1] + b x[ ] Operador utilizado - E: 1 ( E + a 1E + + a1e + a0) y 1 = ( )... [ ] b E b E... b E b x[ ] Simplificação utilizado os poliómios: QE [ ] = E + a E ae+ a PE [ ] = be + b E be+ b Resultado em: QEy [ ] [ ] = PE [ ] x [ ]

49 Quadro resumo de aálise o tempo (cotíuo uo e discreto) Cotíuo Cálculo das raízes características: Discreto Cálculo das raízes características: Q( λ ) = 0 Q[ γ ] = 0 Resposta a etrada-ula: Raízes simples: y t c e c e c e λ1 λ2 λn () = t t t N Raízes múltiplas (multiplicidade r): r 1 λ ( r ) 1 y () t = c + c t c t e Raízes complexas: α y ( 0 t ) = ce t cos( β t + θ A parte real da raíz característica, α, cotrola a expoecial, e β, a parte imagiária, cotrola a frequêcia de oscilação. t Resposta a etrada-ula: Raízes simples: y0[ ] = c1γ 1 + c2γ c γ Raízes múltiplas (multiplicidade r): 2 r 1 ( r ) y [ ] = c + c + c c γ Raízes complexas: y0 = c γ cos ( γ + θ) O módulo da raíz característica, γ, cotrola a expoecial, e a sua fase, γ, cotrola a frequêcia de oscilação.

50 Quadro resumo de aálise o tempo (cotíuo uo e discreto) Cotíuo Cálculo da resposta a impulso: ht () = bδ () t + [ PDy ( ) ()]() t ut Resposta a estado-ulo: + yt () = x()( τ ht τ) dτ Itegral de covolução Resposta total: λ jt j j = 1 Resposta a etrada-ula ce + xt ()* ht () 0 Resposta a estado-ulo Discreto Cálculo resposta a impulso: b h [ ] = 0 δ [ ] + y0[ ] u [ ] a Resposta a estado-ulo: 0 + y[ ] = x[ m] h[ m] m = Somatório de covolução Resposta total: i i i = 1 Resposta a etrada-ula c γ + x[ ] h[ ] Resposta a estado-ulo

51 Quadro resumo de aálise o tempo (cotíuo uo e discreto) Cotíuo Im Discreto Im estável istável istável Re estável Re margialmete estável margialmete estável