Análise e Controle de Sistemas Lineares

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1 Aálise e Cotrole de Sistemas Apostila de Aálise e Cotrole de Sistemas Prof Valdemir Carrara wwwcarraraus val08@carraraus

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3 Aálise e Cotrole de Sistemas 3 Aálise e Cotrole de Sistemas Ídice Cap Coceitos Fudametais Noções básicas de sistemas Liearizações de sistemas ão lieares 3 Números complexos 4 Séries de fuções com ifiitos termos 5 Fuções descotíuas o tempo 6 Equações difereciais ordiárias a coeficietes costates 7 Movimeto harmôico amortecido Cap Trasformada de Laplace Defiição de trasformada de Laplace Propriedades da trasformada de Laplace 3 Trasformadas de Laplace de fuções simples 4 Fução de trasferêcia 5 Poliômio característico Cap 3 Sistemas diâmicos lieares 3 Elemetos de sistemas diâmicos 3 Mecâico traslacioal 33 Mecâico rotacioal 34 Elétrico 35 Hidráulico 36 Elemetos de etrada fotes 37 Modelagem de sistemas diâmicos pela trasformada de Laplace 38 Elemetos trasformadores e trasdutores Cap 4 Trasformadas iversas de fuções de trasferêcia 4 Trasformada iversa de Laplace para sistemas lieares 4 Decomposição em frações parciais para m < 43 Decomposição em frações parciais quado m 44 Decomposição em frações quado G(s) possui pólos múltiplos 45 Aálise algébrica da fução de trasferêcia Cap 5 Diagrama de blocos 5 Coceito de diagrama de blocos 5 Maipulação de diagrama de blocos Cap 6 Aálise do trasiete de resposta 6 Trasiete de resposta 6 Sistemas de primeira ordem 6 Resposta do sistema de primeira ordem ao degrau uitário 6 Resposta do sistema de primeira ordem ao impulso uitário 63 Resposta do sistema de primeira ordem à rampa 63 Sistemas de seguda ordem Prof Valdemir Carrara

4 4 Aálise e Cotrole de Sistemas 63 Resposta do sistema de seguda ordem para 0 < ζ < 63 Resposta do sistema de seguda ordem para ζ = 633 Resposta do sistema de seguda ordem para ζ > 64 Aálise de desempeho com base a resposta trasiete Cap 7 Cotrole clássico de sistemas 7 Defiições 7 Cotroladores auto-operados 73 Cotrole o-off 74 Cotroladores proporcioais (P) 75 Cotrolador proporcioal-derivativo (PD) 76 Cotroladores itegrais (I) 77 Cotrolador proporcioal-itegral (PI) 78 Cotrolador proporcioal-itegral-derivativo (PID) 79 Difereças etre os cotroladores

5 Aálise e Cotrole de Sistemas 5 Itrodução Esta apostila foi preparada para ateder as ecessidades de disciplias de Sistemas e Cotrole de Sistemas em cursos de Egeharia da Computação Egeharia Elétrica-Eletrôica Egeharia Mecâica e Egeharia de Cotrole e Automação Os capítulos de a 6 cobrem a Aálise de Sistemas e o Cotrole é coberto a partir do capítulo 7 O capítulo faz uma revisão da teoria de equações difereciais lieares cobrido também as ferrametas ecessárias para a sua compreesão como por exemplo as fuções descotíuas (degrau e impulso) e os úmeros complexos A trasformada de Laplace é desevolvida o capítulo e as equações elemetares de sistemas lieares é apresetada o capítulo seguite O capítulo 4 mostra a decomposição de fuções de trasferêcia em frações parciais e os diagramas de blocos são mostrados o capítulo 5 Seguem a aálise da resposta de sistemas lieares às excitações descotíuas e o cotrole clássico (proporcioal derivativo itegral) A bibliografia utilizada é baseada os livros clássicos da área relacioada aqui: Bolto W Egeharia de Cotrole Makro Books do Brasil Editora Ltda São Paulo 995 Che C T Aalog & Digital System Desig Sauders 993 Dazzo J J; Houpis C H Aálise e projeto de sistemas de cotrole lieares Guaabara Dois Rio de Jaeiro 984 Doebeli F Cotrol System: Priciples ad desig Joh Wiley 985 Dorf R C; Bishop R H Sistemas de cotrole moderos 8 a edição Livros Técicos e Cietíficos Editora 998 Frakli G F; Powell J D Emami-Naeii A Feedback Cotrol of Dyamic Systems Pretice Hall; 4 editio 00 Houpis C H & Lamot G B Digital Cotrol Systems MacGraw-Hill 985 Kuo B C Sistemas de cotrole automático Pretice-Hall do Brasil Rio de Jaeiro 985 Martis de Carvalho J L Sistemas de Cotrole Automático Livros Técicos e Cietíficos Editora SA Rio de Jaeiro 000 Ogata K Egeharia de cotrole modera 3ª edição Guaabara Kooga Rio de Jaeiro 997 Phillip; Harbor Sistemas de Cotrole e Realimetação Makro 997

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7 Aálise e Cotrole de Sistemas 7 Noções básicas de sistemas Cap Coceitos Fudametais Sistemas são cojutos de compoetes que atuam jutos realizado determiada fialidade Um sistema pode ser costituído de sub-sistemas e pode também ser parte de um sistema maior O estado de um sistema é o cojuto de valores ecessários e suficietes que permitem saber a cada istate a cofiguração e a situação atual de todo ele Por exemplo para cotrolar a temperatura de uma câmara frigorífica é ecessário que esta temperatura esteja dispoível para o cotrolador de tal forma que ele possa aumetá-la quado a câmara estiver muito fria ou reduzi-la se estiver quete A temperatura (e tudo o mais que for ecessário) costitui uma das variáveis de estado deste sistema O estado de um sistema é caracterizado portato pelas suas variáveis de estado Sistemas diâmicos são sistemas cujas variáveis de estado variam o tempo segudo leis físicas que podem ser modeladas matematicamete Uma plata é também um cojuto de compoetes ou parte de uma máquia ou uma máquia como um todo com a fialidade de desempehar uma determiada operação Uma plata ecessariamete ão egloba o equipameto que efetua o seu cotrole equato que um sistema pode represetar ambos A figura exemplifica a difereça etre uma plata e um sistema Em outras palavras uma plata é um sistema que precisa ser cotrolado Sob este poto de vista a plata pode até coter um cotrolador itero de um ou mais de seus compoetes mas estes cotroladores ão são vistos exteramete Sistema Cotrole Plata Fig Um sistema pode evolver um cotrole que também pode ser cosiderado um sistema e a plata a ser cotrolada Uma perturbação é um esforço ou sial que afeta a resposta do sistema ou de uma plata A perturbação é cosiderada geralmete a forma aditiva à diâmica isto é sobrepõese ao modelo matemático exato da diâmica Cotudo certas perturbações exibem características ão aditivas que depedem do estado da plata e atuam de forma ão-liear Cotrole realimetado ou cotrole em malha fechada é uma operação que reduz a difereça etre a saída (resposta) de um sistema ou plata a uma referêcia extera préestabelecida Um sistema de cotrole de temperatura ambiete por meio de um equipameto de ar-codicioado ou um simples termostato são exemplos de cotrole realimetado A figura ilustra a represetação gráfica de um cotrole realimetado O cotrolador calcula o sial de atuação com base a discrepâcia etre a saída da plata e a referêcia extera

8 8 Aálise e Cotrole de Sistemas Servo-sistemas são cotroladores de posição velocidade ou de aceleração Um servosistema é composto por um elemeto sesor pela lógica de cotrole e pelo atuador (de posição velocidade ou aceleração) Reguladores automáticos são sistemas cotroladores em malha fechada ode o sial de referêcia é costate e ão pode ser alterado referêcia do cotrole Cotrole sial de atuação Plata saída ou estado Fig Cotrole realimetado ou em malha fechada Sistemas em malha aberta ou cotroladores em malha aberta são sistemas o qual o cotrolador ão ecessita da iformação da saída ou do estado da plata para utilizar o sial de atuação (ver figura 3) referêcia do cotrole Cotrole sial de atuação Plata saída ou estado Fig 3 Represetação do cotrole em malha aberta Modelos de sistemas são represetações que permitem estabelecer relações etre causa e efeito de sistemas diâmicos Os modelos podem ser físicos ou matemáticos Modelos físicos assemelham-se a sistemas reais porém são mais simples matedo as características mais importates Os modelos matemáticos procuram represetar o comportameto diâmico dos sistemas por meio de equações matemáticas (equações de derivadas equações de difereças) Pode-se prever o comportameto diâmico de uma plata pela aálise do seu modelo físico ou matemático Por exemplo seja o sistema diâmico mostrado a figura 4 composto por uma massa m uma mola de coeficiete k e um amortecedor com coeficiete de amortecimeto b Este sistema que se desloca a vertical pode represetar um sistema de suspesão de um veículo A equação matemática que descreve o movimeto do cojuto em fução do deslocameto x o da massa e da extremidade do amortecedor e mola x i é também mostrada a figura m x o k b mɺɺ x b( xɺ xɺ ) k ( x x ) = 0 o o i o i x i Fig 4 Um sistema composto por uma massa mola e amortecedor pode represetar a suspesão de um veículo

9 Aálise e Cotrole de Sistemas 9 O diagrama mostrado figura 5 ilustra os diferetes tipos de sistemas e os modelos matemáticos utilizados a sua represetação Sistemas diâmicos estocásticos possuem um comportameto imprevisível e portato ão podem ser modelados Um ruído é um exemplo de uma diâmica estocástica Sistemas determiísticos ao cotrário possuem uma diâmica previsível que pode ser modelada matematicamete Se o sistema for determiístico ele pode ser modelado por parâmetros cocetrados ou distribuídos Sistema a parâmetros cocetrados sigifica que dado as codições do sistema um istate é possível prever a sua codição em qualquer istate Já com parâmetros distribuídos o estado é uma fução de outros parâmetros Um exemplo de um sistema com parâmetros cocetrados é o sistema massa-mola-amortecedor mostrado a figura 4 Este tipo de sistema é descrito por uma equação diferecial o tempo (df/dt) A distribuição de temperatura uma placa aquecida por sua vez é um sistema com parâmetros distribuídos uma vez que a temperatura em cada poto depede da posição ode é medida e do tempo Sistemas a parâmetros distribuídos são goverados por equações difereciais parciais ( f/ x) Quado o sistema possuir parâmetros cocetrados ele poderá ser modelado por fuções cotíuas ou discretas o tempo Sistemas discretos são aqueles que assumem valores apeas em determiados istates de tempo Eles podem evetualmete ser modelados por fuções cotíuas A propriedade discreta pode tato estar o próprio sistema quato a forma de se medir o sistema Se a medição for discreta a itervalos regulares o tempo este sistema é cosiderado discreto Exemplos de sistema discretos são: o úmero de habitates cotamiados a cada ao pelo vírus da gripe a temperatura máxima do dia observada durate um ao um dado local etc Modelos matemáticos Estocásticos comportameto imprevisível Parâmetros cocetrados T = f(t) Determiísticos Parâmetros distribuídos T = f(x y t) Discreto x k = f(x k x k- ) Cotíuo xɺ = f ( x t) Liear Não liear xɺ = A x Bu xɺ = f ( x u t) Variate o tempo A = A(t) (foguete) Parâmetros costates A = cte (m-k-b) Moovariáveis Multivariáveis Fig 5 Sistemas diâmicos e sua represetação por modelos matemáticos

10 0 Aálise e Cotrole de Sistemas Se um sistema diâmico cotíuo for simulado um computador ele passa a ser discreto uma vez que é impossível obter o valor do estado a cada istate de tempo mas somete os potos calculados pelo computador Na prática porém cosidera-se que o cálculo efetuado pelo computador é preciso o suficiete para que o sistema possa ser admitido como cotíuo Sistemas cotíuos o tempo são aqueles os quais é possível cohecer o estado a qualquer istate de tempo Detro de sistemas cotíuos o comportameto diâmico pode ser liear ou ão liear Sistemas lieares são descritos por equações lieares (defiidas logo a seguir) que se assemelham à equação de uma reta ao passo que sistemas ão lieares possuem termos com o quadrado ou o cubo ou o seo ou aida a fução expoecial das variáveis de estado Se o sistema for liear os coeficietes da equação liear podem ser costates (sistema a parâmetros costates) ou etão variar letamete o tempo (sistemas variates o tempo) Se os coeficietes variam rapidamete o tempo é muito provável que este sistema ão seja liear Exemplos de sistemas com parâmetros variates o tempo são aeroaves e foguetes Neles a massa do veículo varia coforme o combustível é cosumido e as características diâmicas sofrem ifluêcia desta variação Fialmete os sistemas podem aida depeder de apeas uma ou de mais de uma variável de estado No primeiro caso tem-se os sistemas moovariáveis e o segudo tem-se sistemas multivariáveis A figura 4 mostra um exemplo de sistema moovariável Porém o cojuto completo de suspesão de um veículo seria um sistema multivariável já que depederia do úmero de rodas presetes o veículo Para cada roda acresceta-se uma equação a mais o modelo matemático e portato mais uma variável de estado Serão utilizados aqui apeas modelos matemáticos uma vez que eles permitem efetuar a aálise do comportameto diâmico dos sistemas bem como sua cotrolabilidade isto é a verificação se estes sistemas podem ou ão ser cotrolados e como deve ser este cotrole Além disso serão abordados sistemas lieares a quase totalidade do curso pricipalmete em virtude de que a teoria de cotrole modera deriva exclusivamete de sistemas lieares Um sistema y = H(x) é liear se obedece à relação: H ( α x β x ) = α H ( x ) β H ( x ) = α y β y Seja por exemplo a equação diferecial ordiária de a ordem y = mɺɺ x b xɺ k x Esta equação é liear pois se x = x x etão y = mɺɺ x b xɺ k x = m ( ɺɺ x ɺɺ x ) b ( xɺ xɺ ) k ( x x ) = mɺɺ x b xɺ k x mɺɺ x b xɺ k x de ode se coclui que y = y y Nem todos os sistemas físicos reais são lieares Na verdade a grade maioria deles é ão liear até um certo grau Isto ão sigifica que a teoria de cotrole de sistemas lieares ão possa ser aplicada a sistemas ão lieares mas sim que se deve proceder a uma liearização (quado possível) do sistema a fim de torar o cotrole meos suscetível às ão liearidades Ifelizmete em sempre esta prática resulta um sistema cotrolável

11 Aálise e Cotrole de Sistemas Liearizações de sistemas ão lieares O comportameto de sistemas ão lieares pode ser aproximado por meio de um sistema liear equivalete em toro de uma região pequea de operação Dado etão um modelo ão liear o modelo liearizado é obtido por expasão em série de Taylor da diâmica e cosidera-se esta expasão apeas o termo costate e o termo de primeiro grau Se y = f(x) represetar uma diâmica ão liear etão a expasão em série de Taylor desta fução forece: 3 df d f d f 3 y f ( xo ) ( xo ) ( x xo ) ( x ) ( ) ( ) ( ) o x xo x 3 o x xo dx dx 3! dx Se cotudo a fução depeder de mais de uma variável como por exemplo y = f(x x x ) etão a série de Taylor com termos até o primeiro grau fica: f f y f ( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) x x O valor f ( x x ) é cohecido como poto de operação A aproximação da série de Taylor é válida portato uma pequea região em toro do poto de operação Quase todos os sistemas diâmicos exibem alguma ão liearidade Felizmete também quase todos podem ser aproximados por meio de equações lieares Algus exemplos destes sistemas são forecidos a seguir Exemplo O arrasto aerodiâmico em um veículo (atrito do ar que tede a deter seu movimeto) mostrado esquematicamete a figura 6 é modelado matematicamete em fução da velocidade xɺ por: Fa = ρ Cd A xɺ ode ρ é a desidade do ar C d é o coeficiete de atrito e A é a área frotal do veículo O atrito aumeta portato com o quadrado da velocidade e ão liearmete com ela Logo tem-se um comportameto ão liear desta força A liearização desta força em toro do poto de operação v leva a Fa ρ Cd A v ρ Cd A v ( v v ) = ρ Cd A v ( v v )

12 Aálise e Cotrole de Sistemas v Fig 6 Arrasto aerodiâmico de um veículo em movimeto Exemplo O movimeto de um pêdulo simples mostrado a figura 7 pode ser obtido pelo equilíbrio dos mometos que atuam ele ou seja: τ θ = ɺɺ θ θ = ( ) ml m g l se 0 Uma vez que seθ ão é liear pode-se etão liearizar a equação em toro do poto de operação θ = 0 que resulta: e fialmete τ θ ɺɺ τ( θ) τ (0) (0) = ml θ m g l cos(0) θ ɺɺ τ( θ) ml θ m g l θ l θ m P = m g Fig 7 Movimeto de um pêdulo simples Os sistemas lieares ocupam lugar de grade destaque a aálise e o estudo de cotroladores Sistemas lieares ivariates o tempo (parâmetros costates) são descritos matematicamete por equações difereciais ordiárias e portato a aálise destas equações difereciais forece iformações sobre a cotrolabilidade de sistemas Ates porém de apresetar-se os sistemas diâmicos lieares covém efetuar-se uma pequea recordação de úmeros complexos séries ifiitas e de fuções descotíuas o tempo que serão vistos as próximas seções

13 Aálise e Cotrole de Sistemas 3 3 Números complexos Números complexos surgem em decorrêcia da solução de equações algébricas a forma: a x a x a x a0 = 0 Pode-se mostrar que se for ímpar uma das raízes é real Além disso se houver raízes complexas etão elas aparecem aos pares formado pares cojugados As raízes complexas surgem quado a solução da equação aparece a raiz quadrada de um úmero egativo Seja por exemplo a equação do o grau: a x b x c = 0 cujas raízes são: x i b ± b 4ac = i = a Se o valor sob a raiz for egativo isto é se = b 4ac < 0 etão esta equação ão possui raízes reais mas sim duas raízes complexas cojugadas dadas por: x b = j e a a x b = j a a ode j é a base dos úmeros complexos e vale j = Um úmero complexo z = x y j pode ser etedido como um poto um plao já que possui duas coordeadas idepedetes ou seja z = (x y) com z C (cojuto dos úmeros complexos) e x e y R (cojuto dos úmeros reais) x é deomiado de parte real: x = Re( z) e y é a parte imagiária do úmero complexo: y = Im( z) O cojugado de um úmero complexo é também um úmero complexo o qual a parte imagiária troca de sial com relação ao úmero complexo origial Represeta-se o cojugado de um úmero complexo por uma barra sobre o símbolo da variável Assim se z = x y j for um úmero complexo seu cojugado é dado por z = x y j É claro que o cojugado do cojugado é o próprio úmero complexo isto é z = z A soma de um úmero complexo com seu cojugado resulta um úmero real: z z = x y j x y j = x

14 4 Aálise e Cotrole de Sistemas Da mesma forma a difereça de um úmero complexo e seu cojugado resulta um úmero imagiário puro: z z = x y j x y j = y j O cojugado da soma de dois úmeros complexos é igual à soma dos cojugados: z z = z z O cojugado de um produto etre dois úmeros complexos é também igual ao produto dos cojugados: z z = z z e o cojugado do iverso de um úmero complexo é igual ao iverso do cojugado: z = z Segue da defiição de base complexa que j = j 3 = j j 4 = j 5 = j e assim em diate Igualmete tem-se também pela defiição que /j = j bastado que se multiplique ambos os membros por j para se provar a idetidade Logo o produto de dois úmeros complexos é também um úmero complexo pois: z = ( x y j)( x y j) = x x ( x y x y ) j y y j = x x y y ( x y x y ) j e o produto de um úmero complexo pelo seu cojugado é um úmero real: z = ( x y j)( x y j) = x x y y j = x x y y Igualmete a razão de úmeros complexos também pode ser reduzida a um úmero complexo bastado que se multiplique o umerador e o deomiador pelo cojugado do deomiador: x y j x y j x y j x x y y x y x y z = = = j = a b j x y x y x y x y x y j j j Com isso tem-se que qualquer úmero a forma: z = aj a j aj aj a0 m m bm j bm j b j b j b0 pode ser reduzido a um úmero complexo z x y = j De fato qualquer poliômio em j pode ser reduzido a um úmero complexo com parte real e parte imagiária uma vez que potêcias da base complexa podem ser reduzidas a um úmero real ou imagiário puro como mostrado o exemplo a seguir

15 Aálise e Cotrole de Sistemas 5 Exemplo 3 Simplificar o úmero complexo dado por z = j j j 3j j 4 Solução Primeiramete simplifica-se o umerador e o deomiador do úmero complexo por meio da defiição de potêcia da base complexa ou seja j = e j 3 = j Tem-se etão que: j 4j 3 5j z = = 3 j 4 j Em seguida multiplica-se o umerador e o deomiador pelo cojugado do deomiador o que resulta: j j j j j z = = = = 3 j j j Números complexos podem ser postos em coordeadas polares (r θ) a forma: z = r(cos θ j se θ ) = r e jθ A prova da expressão acima é dada a próxima seção 4 Séries de fuções com ifiitos termos A relação apresetada a seção aterior e repetida aqui z = r(cos θ j se θ ) = r e jθ é de certa forma de difícil compreesão Afial o que sigifica a fução expoecial de um úmero complexo? Sabe-se por exemplo que e = 788 ode e é a base dos logaritmos eperiaos mas como avaliar a expoecial de um úmero imagiário ou e j ou aida e? Para obter este resultado e algus outros recorre-se à expasão de fuções em séries ifiitas Ao aplicar-se a série de Taylor à fução expoecial em toro do poto x = 0 tem-se que: x x 3 x x 0 d e d e d e 3 e e (0) ( x 0) (0) ( x 0) (0) ( x 0) 3 dx dx 3! dx É coveiete ressaltar que o símbolo! idica o fatorial de um úmero isto é o produto deste úmero por todos os iteiros positivos meores do que ele:! = () () 3 Uma vez que a derivada da fução expoecial é igual a ela própria todas as derivadas acima resultam iguais a e a série fica:

16 6 Aálise e Cotrole de Sistemas x x x x x e x 3! 4! 5! Pode-se mostrar que esta fução e também as séries do seo e do co-seo são covergetes isto é a cada ovo termo calculado da série a fução tede para seu valor real isto é: e portato x lim = 0! e x i x = lim i! i = 0 As fuções seo e co-seo de x podem igualmete ser expadidas em séries ifiitas em toro do poto x = 0 resultado respectivamete: i i x x x x x x se x = ( ) = x ( i )! 3! 5! 7! 9!! i= 0 e i i x x x x x x cos x = ( ) = ( i)!! 4! 6! 8! 0! i= 0 Nota-se que a série do seo possui apeas expoetes ímpares equato que a série do co-seo possui apeas expoetes pares Além disso pode-se mostrar que a derivada destas séries resultam formas corretas ou seja: x d e d x x x x x x x = x = x = e dt dx 3! 4! 3! 4! d se x d x x x x x x = x = = cos x dx dx 3! 5! 7!! 4! 6! e d cos x d x x x x x x = = x = se x dx dx! 4! 6! 3! 5! 7! A partir da defiição da fução expoecial em termos de uma série de fatores ifiita para avaliar agora a expoecial de um úmero complexo basta fazer j j j j j e j 3! 4! 5!

17 Aálise e Cotrole de Sistemas 7 Porém sabe-se que j = j 3 = j j 4 = j 5 = j ou seja j 4k i para i = 0 j para i = = para k = 0 para i = j para i = 3 e substituido estes resultados a fução expoecial tem-se j j j j e j = j 3! 4! 5! 6! 7! 4! 6! 3! 5! 7! que é um úmero complexo A expoecial de um úmero complexo z = x yj pode ser avaliada agora como ou aida j j j j j j x y x y x y y y y e = e e e yj 3! 4! 5! j x y x y y y y y y y y e e j y 4! 6! 8! 3! 5! 7! 9! Vê-se porém que a parte real é uma série de co-seo e a parte imagiária é uma série de seo o que leva a x yj x e = e (cos y j se y) Este coceito leva à famosa equação de Euler tida por muitos como a mais bela fórmula matemática dada a sua simplicidade: e π j = Pode-se agora calcular a expoecial do cojugado de z que vale: x yj x e = e (cos y j se y) Se a parte real do úmero complexo for ula etão as expoeciais do complexo e de seu cojugado ficam: yj e = cos y j se y yj e = cos y j se y A adição de ambas as expressões permite obter o valor do co-seo equato que a subtração permite calcular o seo:

18 8 Aálise e Cotrole de Sistemas y y cos y = (e j e j ) e yj yj j yj yj se y = (e e ) = (e e ) j Estas duas expressões serão utilizadas adiate para calcular a trasformada de Laplace das fuções seo e co-seo 5 Fuções descotíuas o tempo Na solução de problemas diâmicos é freqüete ecotrar-se situações as quais um sistema sofre um impacto ou uma ação descotíua o tempo ou um impulso Exemplos de tais ações são: o choque etre duas bolas (impulso) o qual a força exercida o cotacto é alta e a duração da ação é curta e o brusco acioameto de um sistema elétrico ao ligar-se a chave de alimetação Tais ações são cosideradas descotíuas o tempo pois assumem valores diferetes em istates de tempo muito próximos etre si No mudo real macroscópico cotudo ão existem descotiuidades pois a cada istate pode ser determiado o valor exato da ação Matematicamete porém é coveiete cosiderá-las descotíuas uma vez que é muito difícil estabelecer quais os limites do impulso e da duração do eveto Defie-se com isso algumas fuções típicas que caracterizam evetos descotíuos o tempo Estas fuções são: a fução degrau a fução impulso e a fução rampa a) Fução degrau uitário A fução degrau uitário correspode a uma ação que modifica istataeamete uma determiada codição ou variável de um sistema como a posição ou a velocidade ou a carga elétrica um capacitor ou a vazão em uma tubulação a ativação elétrica de um circuito ou aida o iício da ação de uma força por exemplo A fução degrau uitário é defiida como 0 para t < 0 ( t) para t 0 (t) t b) Fução impulso uitário A fução impulso uitário correspode a uma ação que age sobre um sistema durate um itervalo ifiitesimal de tempo ou seja ela atua por um pequeo itervalo de tempo e depois cessa a atuação Esta fução é também cohecida como fução delta de Dirac Na fução impulso uitário a potêcia e a eergia despedidas a ação são limitados porém a ação ão é Isto se deve ao fato de que o itervalo de tempo que dura o

19 Aálise e Cotrole de Sistemas 9 acioameto é muito pequeo e tede a zero fazedo com que a força este itervalo teda a ifiito Um bom exemplo da aplicação de um impulso uitário é o choque etre duas partes mecâicas A fução impulso uitário é defiida como: 0 para t < 0 δ( t) lim para 0 t < t t 0 t 0 para t t δ (t) t c) Fução rampa A fução rampa correspode a uma ação que cresce liearmete o tempo a partir de uma ação ula Ela é cotíua o tempo porém sua derivada é descotíua a origem Quado o tempo tede a ifiito o valor da ação a fução rampa também tede a ifiito Na prática isto ão ocorre uma vez que ão se cosegue gerar ações de itesidade ifiita A fução rampa é defiida por: 0 para t < 0 ρ( t) t para t 0 ρ(t) t As fuções degrau uitário impulso uitário e rampa são utilizadas as trasformadas de Laplace pois permitem obter a solução de um sistema sujeito a ações descotíuas o tempo 6 Equações difereciais ordiárias a coeficietes costates Um sistema diâmico liear ivariate o tempo y(t) é modelado por uma equação diferecial a forma: m m d y d y dy d x d x dx 0 = m m m m 0 a a a a y b b b b x dt dt dt dt dt dt ode x(t) é cohecido como etrada do sistema ou etão por termo forçate y(t) costitui a saída do sistema ou variável de estado e a i (i = ) e b j (j = m) são costates Se o termo forçate for ulo etão a equação diferecial resultate d y d y dy 0 0 = a a a a y dt dt dt

20 0 Aálise e Cotrole de Sistemas é deomiada de equação homogêea A solução da equação diferecial é composta por uma combiação liear das soluções da equação homogêea adicioada a uma solução (cohecida como solução particular ) da equação diferecial completa Assim tem-se y( t) = c y ( t) c y ( t) c y ( t) y ( t) p ode cada y i (t) é uma das soluções da equação homogêea e y p (t) é uma solução particular (pode haver mais de uma solução particular) Pode-se mostrar sem muita dificuldade que as soluções da equação homogêea são dadas por: λ y ( t) = α e i t i i tal que α i e λ i são costates que depedem da equação homogêea De fato substituido esta solução a equação homogêea tem-se λi t λi t λi t λi t a α λ e a α λ e a α λ e a α e = 0 i i i i i i 0 i que pode ser reescrita como a λ a λ a λ a = i i i 0 0 A equação acima é uma equação algébrica de ordem que irá gerar as raízes ou soluções λ i da equação diferecial homogêea Esta equação é cohecida como equação característica da equação homogêea Esta equação será melhor estudada adiate quado forem vistas as fuções de trasferêcia de sistemas lieares A solução da equação homogêea é etão dada por λ y ( t) = c α e i h i i i= t mas como ão há como obter separadamete os valores de c i e de α i etão fazedo b i = c i α i a solução da equação homogêea fica yh( t) = bi e λi i= t Pode-se agora calcular os valores de b i a partir das codições iiciais que iformam qual é o estado do sistema o istate t = 0 As codições iiciais estabelecem restrições ão apeas ao valor de y mas também ao valor de suas derivadas temporais Num sistema mecâico por exemplo as codições iiciais seriam a posição ocupada pelo sistema o istate iicial sua velocidade e evetualmete também sua aceleração Estas codições levam a um sistema de equações lieares a icógitas: i= b = y(0) y (0) i p

21 Aálise e Cotrole de Sistemas y(0) = b y (0) i= i p i= d y d y p λ i bi = (0) (0) dt dt que permitem determiar todos os coeficietes b i Exemplo 4 Se o termo forçate for uma fução ão liear descotíua ou trascedete (por exemplo f(t) = t set) pode ão existir uma solução geral para a equação diferecial Porém a solução da equação homogêea é sempre possível caso esta seja liear Seja por exemplo o sistema mecâico formado por uma massa e uma mola como mostrado a figura 8 Busca-se uma solução para o movimeto da massa sujeita a uma força f(t) tal que o istate t = 0 a massa está a posição x(0) = x 0 e com velocidade x ɺ (0) = 0 x m f(t) Fig 8 Sistema mecâico massa-mola sujeito à ação da força f(t) A equação diferecial que govera o movimeto é dada pelo equilíbrio de forças a massa m ou seja: f ( t) = mx ɺɺ kx A equação homogêea é dada por mx ɺɺ kx = 0 que escrita a forma k ɺɺ x = x m permite cocluir que a seguda derivada de x(t) é proporcioal ao próprio x(t) Isto leva a solução ivariavelmete para uma combiação de seo e co-seo uma vez que d e igualmete cosω t = ω dt cos ω t

22 Aálise e Cotrole de Sistemas d se ω t = ω dt se ω t Já foi visto que a solução da equação homogêea de uma equação diferecial liear é λ dada por uma combiação liear de α i e it ode os λ i são as raízes da equação característica Neste exemplo a equação característica é dada por: m λ k = 0 cujas raízes são dois úmeros complexos e cojugados com parte real ula uma vez que tato m quato k são positivos: λ = k / mj λ = k / mj A solução da equação homogêea é portato dada por x( t) = α e α e ωtj ωt j ode ω = k / m e é cohecida como a velocidade agular ou freqüêcia atural de oscilação do sistema Pode-se agora exprimir a expoecial em fução do seo e co-seo resultado em x( t) = α (cos ω t jse ω t) α (cos ωt j se ωt) ou aida x( t) = ( α α ) cos ω t ( α α ) j se ωt Uma vez que α e α são costates pode-se fazer c = α α e c = α α resultado x( t) = c cos ω t c j se ωt Ates de prosseguir será mostrado que x(t) é realmete solução da equação homogêea Tomado etão a seguda derivada de x(t) ɺɺ x( t) = c ω cos ωt c ω jse ωt e substituido a equação homogêea tem-se k k m( c cos t c se t) k( c cos t c se t) 0 m ω j m ω ω j ω = ou seja x(t) é solução da equação homogêea As duas costates c e c podem agora ser determiadas pela aplicação das codições iiciais: x(0) = c

23 Aálise e Cotrole de Sistemas 3 e portato c = x 0 Da mesma forma xɺ ( t) = c se ω t c jcos ωt que resulta xɺ (0) = c j e pela codição iicial tem-se c = 0 Isto leva a solução da equação homogêea para x( t) = x cos ω t 0 A figura 9 mostra o deslocameto x da massa em fução do tempo Veja que a equação diferecial do pêdulo liearizado (Seção ) é igual ao da massa-mola e portato possui a mesma solução x 0 x(t) π ω t Fig 9 Deslocameto x do sistema massa-mola em fução do tempo Exemplo 5 Cosidera-se agora um sistema massa-amortecedor idicado a figura 0 sujeito às codições iiciais: deslocameto x(0) = 0 e velocidade xɺ (0) = v0 v 0 b m Fig 0 Sistema massa-amortecedor sob codições iiciais ão ulas Aplicado ovamete o equilíbrio de forças a massa m tem-se a equação diferecial mɺɺ x b xɺ = 0 Uma vez que este sistema ão possui termo forçate etão a equação homogêea coicide com a equação diferecial Neste caso admitido-se ovamete que a solução é da forma e λt pode-se escrever a equação característica: m λ b λ = 0 que idica que o sistema possui duas raízes das quais uma é ula e a outra vale

24 4 Aálise e Cotrole de Sistemas b λ = m o que sigifica que a solução procurada é da forma bt m x( t) = α e α e = α α e 0 bt m Pode-se verificar que x(t) é solução da equação homogêea pois b xɺ ( t) = α e bt m m e b ɺɺ x( t) = α e bt m m que substituídos a equação homogêea resulta b bt m b bt m m α e b α e = 0 m m As costates α e α podem agora ser obtidas por meio das codições iiciais: x (0) = α α e portato α α = 0 A codição da velocidade forece b xɺ (0) = α m que resulta m α = v 0 b e assim m α = v 0 b A solução do movimeto do sistema é portato m x( t) = v e bt m b 0 ( ) cujo comportameto em fução do tempo é mostrado a figura

25 Aálise e Cotrole de Sistemas 5 m v0 b x(t) t Fig Deslocameto x do sistema massa-amortecedor em fução do tempo 7 Movimeto harmôico amortecido Cosidera-se agora a equação diferecial de um sistema liear de seguda ordem a forma: ay ɺɺ byɺ cy = f ( t) Equações semelhates a esta resultam do movimeto mecâico de um sistema massamola-amortecedor bem como de sistemas elétricos e fluidos Deseja-se estudar o comportameto diâmico deste sistema quado o termo forçate f(t) for ulo ou seja a solução da equação homogêea Já foi visto que a solução da equação homogêea de sistemas lieares é dada por λ t λ t y( t) = α e α e ode λ e λ são as raízes da equação característica dada por: λ λ = 0 a b c Sabe-se que as raízes de uma equação do segudo grau podem ser reais ou complexas e o segudo caso serão sempre complexas cojugadas Será visto agora como esta raiz iflui o comportameto diâmico do sistema As raízes são obtidas pela resolução da equação característica (este caso do segudo grau) dadas por: b b 4ac λ = a e b b 4ac λ = a e podem portato serem ambas reais ou complexas cojugadas depededo do valor do discrimiate = b 4ac a) Duas raízes reais e distitas

26 6 Aálise e Cotrole de Sistemas Se o discrimiate for positivo etão a equação característica apreseta duas raízes reais e distitas Neste caso o sistema pode apresetar dois tipos de comportameto diâmico Ambas as raízes são egativas (λ < 0 e λ < 0) A solução é dada etão por k t y( t) = α e α e k t ode k e k são positivos Esta equação idica que o comportameto do sistema aproxima-se da origem coforme o tempo avaça tededo a um estado estacioário e costate cohecido como poto de equilíbrio mostrado esquematicamete a figura Um pêdulo fortemete amortecido isto é com atrito elevado é um exemplo de um sistema com este comportameto Fig Sistema amortecido Uma ou ambas as raízes são positivas (λ > 0) A solução é dada etão por λ t y( t) = α e α e λ t cujo comportameto é uma expoecial que tede para o ifiito (figura 3a) Neste caso o sistema é istável isto é ão atige um poto de equilíbrio Nota-se que a solução é istável mesmo que uma das raízes seja egativa (estável) Um pêdulo ivertido é um exemplo de sistema com comportameto istável Qualquer desvio com relação ao poto de equilíbrio (âgulo θ = 0 figura 3b) leva o pêdulo a se afastar cada vez mais É claro que quado o pêdulo aproxima-se do poto de míima altura ele tora-se um pêdulo ormal com um poto de equilíbrio estável Porém as equações obtidas aqui são liearizadas e portato ão são válidas quado o âgulo θ for muito grade θ m l (a) (b) Fig 3 Sistema istável (a) e um pêdulo ivertido (b) b) Uma raiz de multiplicidade dois

27 Aálise e Cotrole de Sistemas 7 Se o discrimiate for ulo etão tem-se uma raiz dupla ou de multiplicidade dois Isto acotece quado a equação característica puder ser posta a forma de um quadrado perfeito: ( aλ c) = 0 Neste caso tem-se um sistema estável se a raiz for egativa (figura ) ou istável se a raiz for positiva (figura 3) c) Duas raízes complexas e cojugadas Se o discrimiate for egativo etão surgem duas raízes complexas e cojugadas a forma λ = σ ωj e λ = σ ωj A solução da equação diferecial é portato dada por: y( t) = α e α e ( σωj) t ( σωj) t que pode ser colocada a forma σt y( t) = ( α α )e cos ω t j ( α α ) e se ωt σ t Fazedo α α = A e (α α )j = B tem-se etão que σ ( ) e t σt y t = A cosω t B e se ω t Nota-se que aparetemete B é complexo Cotudo se α e α forem complexos cojugados etão tato A quato B serão reais Supodo etão que A = C se ϕ e B = C cos ϕ resulta para y(t) σt y( t) = C e se( ω t ϕ ) ode C e ϕ valem: C = A B ϕ = arcta A B O comportameto do sistema depede agora do valor da parte real da raiz ou seja de σ Se a parte real for positiva etão o sistema será istável e a amplitude de oscilação irá aumetar com o tempo como mostra a figura 4a Se a parte real for ula tem-se um sistema oscilatório puro semelhate àquele mostrado o exemplo 3 Se a parte real for egativa o sistema é estável e amortecido Com o passar do tempo ele tede para o repouso em y(t) = 0 como ilustra a figura 4b

28 8 Aálise e Cotrole de Sistemas (a) (b) Fig 4 A resposta da equação homogêea de um sistema liear de seguda ordem é um sistema oscilatório istável (a) ou estável (b)

29 Aálise e Cotrole de Sistemas 9 Exercícios ) Liearizar o sistema composto por um cojuto biela-pistão mostrado a figura a supodo que o âgulo α fique próximo de 0 o e que o comprimeto h da biela seja muito maior do que o raio r do virabrequim α r h x R: x = r α Fig a Cojuto biela-pistão do exercício ) Simplificar o úmero complexo: z = j j j j j j j R: 5 3 z = j 8 8 3) Reduzir a fução mostrada a seguir a uma úica fração G( s) = s s j s j R: 3 s G( s) = 3 s

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31 Aálise e Cotrole de Sistemas S 3 Defiição de trasformada de Laplace Cap Trasformada de Laplace A trasformada de Laplace é um operador fucioal (isto é que opera e trasforma fuções) utilizado para resolver de forma sistemática equações difereciais lieares que represetam sistemas diâmicos A trasformada de Laplace modifica as fuções o tempo y(t) passado a represetá-las em fução de uma variável s cohecida como freqüêcia complexa A fução trasformada é represetada por Y(s) Por coveção represeta-se a diâmica em fução do tempo com letras miúsculas (y(t) x(t) g(t) f(t)) e suas trasformadas por letras maiúsculas (Y(s) X(s) G(s) F(s)) A trasformada de Laplace é defiida como F( s) = L( f ( t)) f ( t) e st dt 0 Nota-se que F é uma fução que depede da variável s e ão mais do tempo t L( ) represeta por sua vez o operador da trasformada de Laplace A itegração é realizada etre os extremos 0 e Para idicar que o limite iferior deve icluir ecessariamete o valor zero (e ão um valor positivo próximo de zero) idica-se este limite por 0 O operador da trasformada de Laplace pode ser ivertido isto é dada a fução trasformada pode-se obter a diâmica em fução do tempo por meio de: st f ( t) = L ( F( s)) = F( s) e ds π j σ j ω σ jω ode j é a base dos úmeros complexos ( j = ) Propriedades da trasformada de Laplace A trasformada de Laplace apreseta diversas propriedades que são úteis a sua aplicação Porém estas propriedades ão serão demostradas aqui e algumas delas sequer serão apresetadas O leitor deverá buscar a bibliografia material adicioal para complemetar este estudo Mecioa-se cotudo que as demostrações seguem diretamete da defiição forecida acima As propriedades mais importates são: a) Liearidade Se F ( s) = L ( f( t)) e F ( s) = L ( f( t)) isto é se a trasformada de Laplace de f (t) for F (s) e se a trasformada de f (t) for F (s) etão L ( α f ( t) α f ( t)) = α F ( s) α F ( s) Aalogamete a trasformada iversa é também liear pois L ( α F ( s) α F ( s)) = α f ( t) α f ( t)

32 3 Aálise e Cotrole de Sistemas S b) Mudaça a escala do tempo Se a trasformada de Laplace de f(t) for F(s) ou F( s) = L ( f ( t)) etão L ( f ( t / α )) = α F( α s) c) Trasformada da covolução A covolução de duas fuções do tempo f (t) e f (t) é defiida como sedo uma operação dada por f ( t) f ( t) f ( t τ) f ( τ) dτ 0 ode o símbolo * idica a covolução de f e f por defiição A trasformada de Laplace da covolução de f e f vale etão L ( f ( t) f ( t)) = F ( s) F ( s) d) Traslação real Uma traslação o domíio do tempo cosiste em adicioar ou subtrair uma costate ao tempo Correspode portato a um atraso ou a uma atecipação de um eveto Etão se F( s) = L ( f ( t)) a trasformada de Laplace da traslação real (isto é o domíio do tempo) vale: a s L ( f ( t a) ( t a)) = e F( s) ode a é uma costate real Na traslação real é ecessário itroduzir a fução degrau uitário (t) para evitar que a fução f assuma valores diferetes de zero quado t for meor do que a e) Traslação complexa Na traslação complexa adicioa-se ou subtrai-se uma costate a fução trasformada Novamete se F( s) = L ( f ( t)) etão a traslação complexa afirma que at F( s a) = L (e f ( t)) ode a é uma costate complexa f) Difereciação real A difereciação real permite obter a trasformada da derivada temporal de uma fução Esta propriedade é muito importate porque permite a costrução da equação característica a partir da equação de derivadas como será visto adiate Supodo que F( s) = L ( f ( t)) a difereciação real resulta em

33 Aálise e Cotrole de Sistemas S 33 df L = L( f ɺ ) = s F( s) f (0 ) dt sedo que f(0 ) é o resultado da avaliação de f(t) com t tededo a 0 egativamete (pela esquerda) O coceito de difereciação real pode ser estedido para derivadas de maior ordem resultado d f df d f d f L s F( s) s f (0 ) s (0 ) s (0 ) (0 ) = dt dt dt dt Nota-se que a fução f e suas derivadas temporais quado avaliadas o istate 0 represetam as codições iiciais do sistema Por exemplo cosiderado o movimeto de um pêdulo as codições iiciais irão estabelecer a posição iicial do pêdulo (isto é a posição θ que ele ocupa o istate t = 0) a sua velocidade θ ɺ iicial g) Itegração real A itegração real permite obter a trasformada de Laplace da itegral da fução f(t) Se F( s) = L ( f ( t)) a itegração real leva ao resultado L ( ( ) F( s) f t dt) f ( t ) dt = t 0 h) Limite do valor fial s s = O limite do valor fial permite estabelecer uma correspodêcia etre o comportameto do sistema em regime permaete (isto é coforme t tede ao ifiito) e o valor da trasformada de Laplace da fução avaliada coforme s tede a zero isto é: lim f ( t) = lim s F( s) t s 0 Uma vez que o valor de f(t) o regime permaete está relacioado com a estabilidade da diâmica a relação apresetada acima é utilizada a aálise desta estabilidade Cotudo esta expressão é válida somete se F(s) ão apresetar pólos com parte real positiva (ver Seção 4) 3 Trasformadas de Laplace de fuções simples Embora existam ifiitas fuções matemáticas o comportameto diâmico de sistemas lieares é goverado por apeas uma pequea fração destas fuções Por outro lado o termo forçate em geral possui também um comportameto diâmico que pode ser expresso por meio de fuções simples o que limita também o uiverso de fuções dispoíveis para serem trasformadas Assim a aplicação da trasformada de Laplace em sistemas diâmicos comus levou a um úmero restrito de exemplos que podem ser relacioados sem a ecessidade de se efetuar a trasformação a cada ovo problema Em outras palavras a quase totalidade de problemas ecotrados pode ser resolvida por um pequeo cojuto de trasformadas que já se ecotram tabeladas Assim ão é ecessário efetuar a trasformação mas tão somete aplicar as tabelas de trasformadas

34 34 Aálise e Cotrole de Sistemas S Na verdade a maipulação de sistemas diâmicos e o projeto de sistemas de cotrole são facilitados quado se trabalha o domíio da trasformada de Laplace Por outro lado a visualização do comportameto diâmico o tempo é obscurecida ao se utilizar a trasformada pelo meos por aqueles que aida ão se adaptaram com a variável complexa Por isso é freqüete que problemas sejam elaborados o domíio do tempo resolvidos o domíio da trasformada de Laplace e a seguir trasformados de volta ao domíio do tempo Logo ão apeas as trasformações para o domíio da variável complexa são importates mas igualmete importates são suas iversas que permitem retorar ao domíio do tempo A Tabela apreseta a trasformada de Laplace das pricipais fuções utilizadas em sistemas lieares Tabela Trasformadas de Laplace das pricipais fuções -Fução degrau uitário ( t) -Fução impulso ( t) 3-Derivada do impulso f ( t ) F( s ) s δ dδ( t) s dt 4-Fução rampa t s t 5 ( )! s 6 e at s a 7 at bt ( e e ) b a ( s a) ( s b) 8 ( e at a t ) a s ( s a) 9 se ω t ω s ω 0 cos ω t s s ω at e se ω t ω ( s a) ω at e cos ω t s a ( s a) ω 3 ω e se ( ) ζω t ζ ω ζ t ω s ζω s ω se ωt ωt cosωt 4 3 ω 5 t cos ω t ( s ω ) s ω ( s ω )

35 Aálise e Cotrole de Sistemas S 35 4 Fução de trasferêcia Cosidera-se um sistema diâmico regido por uma equação diferecial liear a coeficietes costates a variável y(t) tal que x(t) é a fução forçate m m d y d y dy d x d x dx 0 = m m m m 0 a a a a y b b b b x dt dt dt dt dt dt Supodo agora que seja cohecida a trasformada de Laplace de ambas as fuções isto é L(y(t)) = Y(s) e L(x(t)) = X(s) etão ao aplicar-se a trasformada a equação diferecial tem-se: m d y dy d x dx L a a L L a0 y = L bm b m L L b0 x dt dt dt dt ( ) ( ) Aplicado a seguir a propriedade de difereciação real resulta que: i i i d y i d y a s Y ( s) s (0 ) a s Y ( s) s (0 ) i i i= dt i= dt m i m mi d x a sy ( s) y(0 ) a0y ( s) = bm s X ( s) s (0 ) i i= dt m i m mi d x bm s X ( s) s (0 ) i b s X ( s) x(0 ) b0 X ( s) i= dt Agrupado os termos em Y(s) e X(s) a equação fica ( 0 ) a s a s a s a Y ( s) d y d y a s (0 ) a s (0 ) a y(0 ) = i i i i i i i= dt i= dt m m ( m m 0 ) = b s b s b s b X ( s) d x d x b s (0 ) b s (0 ) b x(0 ) m i m i mi mi m i m i i= dt i= dt Isolado agora o termo Y(s) tem-se que:

36 36 Aálise e Cotrole de Sistemas S m bm s b s b s b Y( s) = X ( s) a s a s a s a m m 0 0 d y d y a s (0 ) a s (0 ) a y(0 ) i i i i i i i= dt i= dt a s a s a s a0 d x d x b s (0 ) b s (0 ) b x(0 ) m i m i mi mi m i m i i= dt i= dt a s a s a s a0 Se o termo forçate for ulo isto é se x(t) = 0 etão X(s) é também ulo e tem-se com isso a resposta do sistema à etrada ula ou estado ulo isto é: Y d y d y (0 ) (0 ) (0 ) = i i i i a s a i s a i y i= dt i= dt X = 0( s) a s a s a s a0 d x d x b s (0 ) b s (0 ) b x(0 ) m i m i mi mi m i m i i= dt i= dt a s a s a s a0 A resposta do sistema à etrada ula idica como o sistema evolui por si só após ser abadoado sem a aplicação de agetes exteros Por exemplo um pêdulo ao ser deixado um poto fora da posição de equilíbrio irá oscilar até amortecer por completo seu movimeto pedular Por outro lado se as codições iiciais forem todas ulas ou seja se y(t) e todas as suas derivadas temporais até a ordem forem ulos etão se pode obter a resposta do sistema às codições iiciais ulas: b s b s b s b Y ( s) X ( s) m m m m 0 y(0) = 0 = a s a s a s a0 Codições iiciais ulas sigificam que o iício da cotagem do tempo (t = 0) o sistema ecotra-se em equilíbrio e em repouso Num sistema mecâico isto correspode a posição e velocidades iiciais ulas Num sistema elétrico estas codições sigificam que os capacitores e idutores estão descarregados e a correte iicial é ula A resposta de um sistema é dada a trasformada de Laplace pela soma da resposta a codições iiciais ulas e da resposta à etrada ula: Y ( s) = Y ( s) Y ( s) X = 0 y(0) = 0 Com base a resposta do sistema à codições iiciais ulas defie-se a fução de trasferêcia G(s) do sistema dada por: Y ( s) b s b s b s b G( s) = = m m y(0) = 0 m m 0 X ( s) a s a s a s a0

37 Aálise e Cotrole de Sistemas S 37 A fução de trasferêcia traduz o comportameto do sistema com relação a uma dada excitação aplicada pelo termo forçate Em outras palavras a fução de trasferêcia correspode à trasformada de Laplace da saída apresetada pelo sistema Y(s) com relação à trasformada da etrada X(s) sob codições iiciais ulas Ela só pode ser obtida para sistemas lieares Em resumo a fução de trasferêcia pode ser etedida como Fução de trasferêcia Saida = Etrada Exemplo Obter a fução de trasferêcia do sistema elétrico dado pela equação diferecial d i di d u R C L Ri = LC u dt dt dt ode a fução forçate é a tesão u(t) e a variável é a correte i(t) Solução: A trasformada de Laplace da correte i(t) é I(s) equato que a trasformada da tesão u(t) é U(s) Aplicado a trasformada de Laplace em ambos os membros fica-se com d i di d u L RC L R i LC u = L dt dt dt que pela propriedade de liearidade forece d i di d u R C L L R L L ( i) = LC L L ( u) dt dt dt e pela propriedade da difereciação real tem-se que di R C s I ( s) s i(0 ) (0 ) L s I ( s) i(0 ) R I ( s) dt = du = L C s U ( s) s u(0 ) (0 ) U ( s) dt Como a fução de trasferêcia assume codições iiciais ulas etão resulta R C s I s L s I s R I s LC s U s U s ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ou RC s L s R I ( s) = LC s U ( s)

38 38 Aálise e Cotrole de Sistemas S e a fução de trasferêcia fica I ( s) L C s U ( s) RC s L s R G( s) = = Exemplo Obter a fução f(t) cuja trasformada de Laplace é dada por Solução: 4 4 F( s) = s s 6 Pela propriedade de liearidade a trasformada iversa de uma soma é a soma das trasformadas iversas ou seja 4 f ( t) = 4 s s 6 L L que correspode com base a tabela de trasformadas a f t t ( ) = 4e se 4 t A figura mostra a fução f em fução do tempo t 4 3 f(t) t (s) Fig Fução f(t) do exemplo 5 Poliômio característico Seja ovamete a equação diferecial de um sistema liear a coeficietes costates tal que o termo forçate x(t) seja ulo dada pela equação homogêea:

39 Aálise e Cotrole de Sistemas S 39 d y d y dy 0 0 = a a a a y dt dt dt Aplicado a trasformada de Laplace a esta equação (supodo que a trasformada de y(t) seja Y(s)) tem-se o poliômio característico da equação diferecial: P( s) = a s a s a s a 0 Nota-se que o poliômio característico é igual à equação característica com a difereça que o poliômio é expresso a variável complexa s De fato a equação característica este caso é dada por P(s) Y(s) = 0 Percebe-se também que o poliômio característico é o próprio deomiador da fução de trasferêcia Exemplo 3 Obter a resposta à etrada ula do sistema cuja equação diferecial é d y t dy t du t y t dt dt dt ( ) ( ) ( ) 3 ( ) = 3 u( t) sujeita às codições iiciais y(0 ) = e yɺ (0 ) = Idicar também o poliômio característico da equação Solução: Aplicado a trasformada de Laplace com codições iiciais ão ulas a equação diferecial tem-se: ɺ [ s Y ( s) s y(0 ) y(0 )] 3[ s Y ( s) y(0 )] Y ( s) = 3[ s U ( s) u(0 )] U ( s) que resulta após agrupar os termos: ɺ ( s 3s ) Y ( s) s y(0 ) y(0 ) 3 y(0 ) = (3s ) U ( s) 3 u(0 ) Uma vez que a etrada é ula etão u(t) = 0 para t 0 que implica em U(s) = 0 Logo a equação trasformada fica ( s 3s ) YX 0( s) s y(0 ) y(0 ) 3 y(0 = = ) ɺ O poliômio característico é portato P s s s ( ) = 3 e a resposta à etrada ula será dada por: Y ( s 3) y(0 ) yɺ (0 ) ( s) = s 3s X = 0

40 40 Aálise e Cotrole de Sistemas S Substituido os valores das codições iiciais e sabedo-se que as raízes do poliômio característico são e pode-se etão separar a fração em dois termos (a decomposição de uma fração em frações parciais será estudada o capítulo 4): Y ( s) = s X = 0 s 4 3s 3 = s s A trasformada iversa de Laplace aplicada à equação acima resulta: y( t) 3 e e t t = cujo gráfico é mostrado a figura Nota-se que o sistema tede para a origem coforme cresce o tempo 0 08 y(t) t (seg) Fig Comportameto diâmico do sistema do exemplo 3 à etrada ula

41 Aálise e Cotrole de Sistemas S 4 3 Elemetos de sistemas diâmicos Cap 3 Sistemas diâmicos lieares Os sistemas diâmicos são compostos por diversos elemetos que iteragem etre si trocado eergia e trasmitido potêcia Um motor de combustão itera por exemplo coverte eergia química presete o combustível em eergia térmica a câmara de combustão A eergia térmica é covertida em pressão que por sua vez é covertida em força A força move o pistão do motor liearmete mas este movimeto é a seguir trasformado um movimeto rotativo do eixo do motor Parte da potêcia gerada o eixo é cosumida por um alterador que coverte a eergia mecâica rotacioal em eergia elétrica que será utilizada para disparar a cetelha a vela Esta cetelha provoca a queima do combustível com o ar a câmara de combustão do motor Tem-se assim um motor um sistema composto por elemetos térmicos mecâicos elétricos e peumáticos A aálise de um sistema como este é bastate complexa mas pode ser simplificada mediate a adoção de compoetes com comportameto liear e pela geeralização de regras para a composição destes elemetos em sistemas escaloados isto é sistemas complexos compostos por sistemas mais simples e estes compostos por elemetos Cada elemeto por sua vez é descrito por equações elemetares que traduzem de forma matemática a lei que govera seu comportameto diâmico Os compoetes com comportameto liear podem ser agrupados em: mecâico traslacioal mecâico rotacioal elétrico hidráulico e térmico Sistemas peumáticos ão são lieares em virtude da compressibilidade do ar Isto ão sigifica porém que estes sistemas ão possam ser utilizados em cotrole Deve-se apeas cuidar para que sua utilização seja restrita a problemas ode a liearidade seja garatida Sistemas diâmicos devem possuir uma ou mais etradas e apresetar uma ou mais saídas Etradas e saídas são em geral termos forçates ou variáveis de estado As etradas são também cohecidas como fotes em virtude de sua característica de gerar siais que excitam o sistema ou prover eergia para ele Logo adiate serão vistas as pricipais fotes associadas aos sistemas lieares A saída de um sistema pode servir de etrada para outro e ão raro os sistemas podem trasformar um tipo de variável em outro Uma turbia hidráulica é um sistema que trasforma eergia hidráulica em movimeto mecâico rotacioal Elemetos que trasformam a variável ou que amplificam um sial sem trasformá-lo em outro são geericamete cohecidos com elemetos a quatro termiais 3 Mecâico traslacioal Sistemas mecâicos traslacioais são aqueles os quais os deslocametos seguem lihas retas Existem 3 compoetes lieares os sistemas mecâicos traslacioais: a massa a mola e o amortecedor Cada um deles possui uma equação que defie seu comportameto diâmico Aplicado-se a lei de Newto uma massa m por exemplo tem-se que f = m a = mvɺ = mɺɺ y que pode ser iterpretada a forma: a força aplicada à massa é igual ao produto da massa pela aceleração Nota-se que a aceleração pode ser expressa por meio da derivada temporal da

42 4 Aálise e Cotrole de Sistemas S velocidade v ou etão pela seguda derivada do deslocameto y A massa pode estar submetida a mais de uma força e este caso a equação pode ser geeralizada a forma f = m a = mvɺ = mɺɺ y i Aplicado-se a trasformada de Laplace esta relação tem-se o resultado F ( s i ) = m A ( s ) = m sv ( s ) = m s Y ( s ) ode A(s) V(s) e Y(s) represetam a trasformada de Laplace da aceleração velocidade e deslocameto respectivamete A figura 3 mostra a represetação esquemática de uma massa sujeito à ação de forças Σ f i m v ou y y y f k k v v f b b Fig 3 Represetação de uma massa m submetida a ação de forças de uma mola de coeficiete k e de um amortecedor b A equação da mola é dada pela lei de Hook: f = k y ode k é a costate da mola Nota-se que a força gerada pela mola é sempre cotrária ao deslocameto isto é se o deslocameto for positivo a força é egativa e vice-versa As extremidades da mola podem estar submetidas a deslocametos distitos como mostra a represetação da mola a figura 6 e portato a equação fica: f = k ( y y ) Nota-se que a mola é admitida como ideal o que sigifica que sua massa é ula e que a força as suas extremidades são iguais e cotrárias A força a mola pode ser posta também em fução da velocidade das suas extremidades: ( ) f = k ( y y ) = k v dt v dt k Aplicado agora a trasformada de Laplace a esta equação tem-se k Fk ( s) = k [ Y ( s) Y ( s)] = [ V ( s) V ( s)] s Um amortecedor é um compoete capaz de resistir ao movimeto de seus termiais Um amortecedor automotivo é um bom exemplo deste compoete e sua fução é dissipar a eergia de oscilação do veículo causada pela mola A força o amortecedor é proporcioal à velocidade com que as sua extremidades se aproximam ou se afastam como mostra o esquema da figura 3 ou seja

43 Aálise e Cotrole de Sistemas S 43 f = b( v v ) = b ( yɺ yɺ ) b A trasformada de Laplace da equação acima resulta em F ( s) = b[ V ( s) V ( s)] = b s[ Y ( s) Y ( s)] b É claro que amortecedores mecâicos são também idealizados isto é admite-se que possuem massa ula 33 Mecâico rotacioal Sistemas mecâicos rotacioais são bastate semelhates a sistemas traslacioais A lei de Newto pode ser aplicada também a elemetos que giram como rotores freios e molas torcioais O equivalete da massa traslacioal em sistemas mecâicos rotacioais é a iércia ou mometo de iércia É igual ao produto da massa pelo quadrado do raio de giro Portato o mometo de iércia depede da massa do corpo e também da direção do eixo de rotação Um cilidro por exemplo possui diferetes mometos de iércia para eixos paralelos ou perpediculares ao seu eixo de simetria O mometo de iércia de um corpo qualquer é defiido como I = r ρ dv V ode r é o raio de giro do elemeto de volume dv e ρ é a desidade do material a posição r A itegral deve ser efetuada em todo o volume V da massa O raio de giro r é a distâcia do elemeto de volume dv ao eixo de rotação O mometo de iércia de um cilidro de raio r e massa m com relação ao seu eixo de simetria vale I cil r = m Uma esfera de raio r e massa m possui mometo de iércia com relação a um eixo que passa pelo seu cetro igual a I esf r = m 5 A lei de Newto aplicada a uma iércia rotacioal é τ i = I α = I ω ɺ = Iɺɺ θ ode τ i é um dos torques aplicados a iércia I e causa a aceleração agular α ω e θ represetam respectivamete a velocidade agular e o âgulo de rotação da iércia A represetação esquemática da iércia é mostrada a Figura 3 A trasformada de Laplace do torque aplicado à iércia I gera Τ ( s ) = I Α ( s ) = I s Ω ( s ) = I s Θ( s ) i

44 44 Aálise e Cotrole de Sistemas S sedo que Τ(s) Α(s) Ω(s) e Θ(s) são as trasformadas do torque τ da aceleração agular α da velocidade agular ω e do deslocameto agular θ respectivamete ω ou θ θ θ ω ω Στ i I Fig 3 Represetação do mometo de iércia I da mola torcioal e do amortecedor rotacioal A mola torcioal (semelhate à mola de um relógio) e o amortecedor rotacioal (dois discos face a face em fricção como a embreagem de um veículo) mostrados também a figura 9 seguem expressões aálogas aos equivaletes traslacioais: e ( ) τ = θ θ = ω ω k k ( ) k dt dt k b τ b = b( ω ω ) = b ( θɺ θɺ ) Aplicado a trasformada de Laplace estas expressões tem-se: e k Τ k ( s) = k [ Θ( s) Θ ( s)] = [ Ω( s) Ω ( s)] s 34 Elétrico Τ = [ Ω ( ) Ω ( )] = [ Θ ( ) Θ ( )] b b s s b s s s Os compoetes de circuitos elétricos são: o capacitor o idutor e a resistêcia Estes compoetes são elemetos passivos isto é ão ecessitam de suprimeto de eergia para fucioarem adequadamete Existem é claro diversos outros elemetos de circuitos elétricos como trasistores amplificadores operacioais chaves de potêcia etc Todos eles porém ecessitam de suprimeto extero de eergia e são ão lieares São portato tratados diferetemete dos circuitos passivos Da mesma forma que a força estabelece as relações diâmicas os sistemas mecâicos os sistemas elétricos é a correte que faz este papel Porém é mais prático represetar esta diâmica ão em termos da correte mas sim da tesão elétrica (voltagem) Há de fato uma grade aalogia etre os sistemas elétricos e mecâicos (e também etre estes e os sistemas hidráulicos) A mudaça da represetação de correte para tesão ão altera esta aalogia Nos elemetos dos circuitos elétricos a tesão varia os termiais do elemeto coforme mostra a figura 33 seja ele um idutor um capacitor ou uma resistêcia (ou resistor) A correte que o atravessa cotudo é a mesma em qualquer um dos seus termiais Um idutor de idutâcia L submetido a tesões u e u (u > u ) em seus termiais apreseta uma variação a correte proporcioal a esta tesão ou seja

45 Aálise e Cotrole de Sistemas S 45 di( t) u( t) u( t) = L dt L u u C u u R u u i(t) i(t) i(t) Figura 33 Represetação dos elemetos elétricos: idutor L capacitor C e resistor R Por sua vez a correte elétrica um capacitor é proporcioal à variação da tesão em seus termiais ou u( t) u( t) = i( t) dt C No resistor por sua vez a correte é proporcioal à tesão: u ( t) u ( t) = R i( t) Pode-se agora efetuar a trasformada de Laplace destas relações supodo é claro que a trasformada da correte é I(s) e a trasformada da tesão é U(s) Tem-se com isso as impedâcias complexas do idutor capacitor e resistor respectivamete: U ( s) U ( s) = L s I( s) e U( s) U ( s) = I( s) C s U ( s) U ( s) = R I( s) A correte elétrica é defiida como sedo igual ao fluxo de carga que passa um codutor por uidade de tempo Em outras palavras dq( t) i( t) = dt ode q(t) é a carga das partículas elétricas Efetuado a trasformada de Laplace da correte em fução da carga tem-se I(s) = s Q(s) o que permite relacioar as trasformadas elemetares também em termos da carga que passa pelos elemetos: U s U s = L s Q s ( ) ( ) ( ) U( s) U ( s) = Q( s) C U ( s) U ( s) = R s Q( s)

46 46 Aálise e Cotrole de Sistemas S Capacitores resistores e idutores reais possuem comportameto diâmico diferete deste apresetado aqui Eles são lieares até certo poto a partir do qual as ão liearidades passam a domiar Além disso ão existem elemetos totalmete puros Um capacitor apreseta uma certa resistêcia e uma certa idutâcia O mesmo é válido para os outros elemetos Em geral a capacitâcia e a idutâcia exibida por um resistor real é suficietemete baixa para que possa ser desprezada os cálculos Isto também acotece os capacitores e os idutores reais 35 - Hidráulico Aalogamete aos demais elemetos dos sistemas lieares sistemas hidráulicos possuem 3 elemetos básicos: a idutâcia fluida ou iertâcia L f a capacitâcia fluida C f e a resistêcia fluida R f Uma idutâcia fluida ocorre quado se tem uma grade quatidade de líquido fluido por uma tubulação loga e de grade diâmetro como mostra a figura 34 Como ocorre com uma iércia qualquer ao se tetar frear ou acelerar esta grade massa de líquido é ecessário prover uma grade pressão (força) e eergia Portato a difereça de pressão as extremidades da tubulação será a resposável pela variação a vazão de líquido q(t) (em uidades de volume por uidade de tempo) a forma: p ( t) p( t) = L f dq( t) dt Lf p p q(t) q (t) C f p q (t) R f p p Fig 34 Represetação esquemática da iertâcia fluida L f capacitâcia fluida C f e resistâcia fluida R f Uma capacitâcia fluida é a verdade um taque de líquido o qual a capacitâcia depede da área da seção trasversal Neste taque a pressão o fudo depede exclusivamete da altura do líquido e é a mesma tato a saída como a etrada coforme idica a figura 34 Porém as vazões de líquido podem ser diferetes fazedo com que o ível do líquido aumete se a vazão de etrada for maior do que a vazão de saída isto é se q (t) > q (t) ou dimiua caso cotrário A relação que govera a diâmica do capacitor fluido é etão q(t) q ( t) q( t) = C f dp( t) dt Esta relação resulta da costatação de que a pressão um poto depede da altura da colua de líquido sobre este poto Em outras palavras a força f exercida sobre uma área A é fução do peso do líquido acima desta área ou f ρvg p = = A A pois a massa do líquido é igual ao produto da desidade ρ pelo volume (g é a aceleração da gravidade) Por sua vez o volume de líquido sobre a área é dado pelo produto da área A pela altura h deste líquido até a superfície de ode:

47 Aálise e Cotrole de Sistemas S 47 p = ρ g h Porém se q (t) q (t) represetar a vazão que etra o taque etão o volume dv de líquido acrescetado o itervalo de tempo dt será igual a [q (t) q (t)] dt Neste itervalo de tempo este volume causou uma variação dh da altura da colua de água do taque de tal forma que dv = A dh Igualado os volumes tem-se dh A q t q t ( ) ( ) dt = Derivado agora a relação que forece a pressão em fução da altura h e substituido a expressão acima chega-se a dp ρg = [ q ( t ) q ( t )] dt A Comparado-se agora esta relação com a equação do capacitor fluido obtém-se que C f A = ρ g Por sua vez uma resistêcia fluida é simplesmete um registro ou uma toreira semiaberta Neste elemeto é possível ajustar o valor da resistêcia fluida R f abrido ou fechado o registro Nos circuitos hidráulicos assume-se que este valor da resistêcia é fixo caso cotrário o sistema já ão seria liear a coeficietes costates Na resistêcia fluida a vazão que passa por ela é proporcioal à difereça de pressão em seus termiais: p ( t) p ( t) = R q( t) f Esta relação permite aalisar um feômeo pouco compreedido o cotidiao Percebe-se por ela que uma toreira cosegue ajustar a vazão mas ão a pressão Em outras palavras ajustado-se o registro coveietemete pode-se dosar a quatidade de líquido que jorra da toreira Porém ão se cosegue ajustar a pressão por meio dela Isto sigifica que se uma toreira apresetar um pequeo vazameto (pigado) depededo da pressão a tubulação ão se cosegue deter este vazameto com a mão por meor que seja ele Aplicado agora a trasformada de Laplace as equações acima tem-se para a iertâcia capacitâcia fluida e resistêcia fluida respectivamete P ( s) P ( s) = L s Q( s) f Q ( s) Q ( s) = C s P( s) f P ( s) P ( s) = R Q( s) f ode P(s) é a trasformada de Laplace da pressão hidráulica p(t) e Q(s) é a trasformada da vazão q(t) Pode-se também obter a trasformada de Laplace do capacitor fluido em fução da altura de líquido h(t):

48 48 Aálise e Cotrole de Sistemas S Q ( s) Q ( s) = A s H ( s) = C s H ( s) f ode C f = ρ g C f A tabela 3 apreseta um resumo dos elemetos vistos até agora e a relação que estabelece seu comportameto diâmico Tabela 3 Elemetos de sistemas diâmicos lieares Sistema Elemeto S f ( t ) F( s ) Mecâico traslacioal y: desloc v: veloc Mecâico rotacioal Elétrico Hidráulico Massa Mola m k Amortecedor b Iércia Mola torcioal Amortecedor rotacioal Idutor I k b L k f ( t) = mɺɺ y( t) i f ( t) = m vɺ ( t) i f ( t) = k [ y ( t) y ( t)] k ( ( ) ( ) ) f = k v t dt v t dt f t b yɺ t yɺ t ( ) b = [ ( ) ( )] f ( b t ) = b [ v ( ) ( )] t v t τ i ( t) = Iɺɺ θ( t) τ i ( t) = I ωɺ ( t) i ( ) = m s Y ( s) F s F ( s) = m sv ( s) i F ( s) = k [ Y ( s) Y ( s)] k k Fk ( s) = [ V ( s) V ( s)] s F ( b s ) = b s [ Y ( ) ( )] s Y s F ( b s ) = b [ V ( ) ( )] s V s ( ) ( ) Τ i s = I s Θ s Τ i ( s) = I s Ω( s) τ ( t ) = k [ θ k ( t ) θ ( t )] Τ k ( s) = k [ Θ( s) Θ ( s)] k τ k ( t) = k ( ω ( t) dt ω( t) dt) Τ k ( s) = [ Ω( s) Ω ( s)] s τ ( t ) = b [ θ ɺ b ( t ) θ ɺ ( t )] Τ b = b s [ Θ( s) Θ ( s)] τ b ( t ) = b [ ω ( t ) ω ( t )] Τ b = b[ Ω( s) Ω ( s)] di( t) d q( t) ( ) ( ) = = u t u t L L dt Capacitor C u( t) u( t) = i( t) dt q( t) C = C dq( t) Resistor R u( t) u( t) = R i( t) = R dt dt U s U s L s Q s ( ) ( ) = ( ) U ( s) U ( s) = L s I ( s) U( s) U ( s) = Q( s) C U( s) U ( s) = I( s) C s U ( s) U ( s) = R s Q( s) U ( s) U ( s) = R I( s) dq( t) Iertâcia L f p ( t) p( t) = L P f ( s) P ( s) = Lf s Q( s) dt dp( t) q ( t) q( t) = C f Capacitâcia C f dt Q ( s) Q ( s) = C f s P( s) fluida A dh( t) Q q ( t) q( t) = A ( s) Q ( s) = A s H ( s) dt Resistêcia fluida R f p ( t) p ( t) = Rf q( t) P ( s) P ( s) = R f Q( s)

49 Aálise e Cotrole de Sistemas S Elemetos de etrada fotes Como já foi dito sistemas ecessitam ser abastecidos de siais que trasmitam eergia ou iformação Estas etradas são cohecidas como fotes e existem basicamete dois tipos delas: fotes de fluxo e fotes de potecial São também cohecidas respectivamete por fotes de variável-através e fotes de variável-etre As fotes e sua simbologia são apresetadas a Tabela 3 Tabela 3 Fotes de sistemas diâmicos lieares Sistema Tipo Fote Símbolo Represetação f(t) fluxo força f(t) Mecâico traslacioal potecial velocidade v(t) v(t) Mecâico rotacioal fluxo torque τ(t) τ(t) potecial velocidade agular ω(t) ω(t) Elétrico Hidráulico fluxo correte elétrica i(t) i(t) potecial tesão u(t) e(t) fluxo vazão q(t) potecial pressão p(t) p(t) u(t) q(t) 37 Modelagem de sistemas diâmicos pela trasformada de Laplace A modelagem matemática de sistemas físicos em sempre é uma tarefa fácil O grau de realismo do modelo matemático depede da completa represetação dos elemetos físicos reais e do ajuste de seus parâmetros Ifelizmete os elemetos físicos ão são ideais e muitas vezes os requisitos de liearização são desobedecidos Um pêdulo real por exemplo é sempre amortecido mesmo que ão haja explicitamete um amortecedor o eixo Um oscilador elétrico formado por um capacitor e um idutor também amortece as oscilações uma vez que ambos os elemetos possuem resistêcia mesmo que pequea Existem diversas ferrametas e procedimetos utilizados em modelagem de sistemas físicos lieares Etre estas citam-se o diagrama de grafos e o diagrama de blocos este último visto adiate A modelagem de sistemas é realizada idetificado-se os elemetos físicos presetes e suas equações elemetares (supostamete lieares) Aplicam-se a seguir relações de cotiuidade ou de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio de forças uma massa e a soma de corretes elétricas um circuito fechado De posse destas equações pode-se obter quer a equação diferecial do sistema quer a fução de trasferêcia Uma vez que tato a

50 50 Aálise e Cotrole de Sistemas S maipulação do sistema quato seu cotrole é realizado de maeira mais proveitosa o domíio da variável complexa etão é desejável obter diretamete a fução de trasferêcia como mostrado os exemplos a seguir Exemplo 3 Obter a fução de trasferêcia do sistema mecâico mostrado a figura 35 cosiderado que o termo forçate f(t) é a etrada e a posição da massa x(t) é a saída Solução: As forças que atuam a massa m são o termo forçate f(t) a força da mola e a força do amortecedor Aplicado a lei de Newto esta massa tem-se: f ( t) kx( t) bxɺ ( t) = mx ɺɺ ( t) Nota-se que para deslocametos positivos isto é deslocametos da massa o setido positivo de x as forças tato da mola quato do amortecedor são egativas (direção cotrária à de x) Em virtude disso deve-se acrescetar o sial egativo estas forças quado se calcula a resultate Aplicado a trasformada de Laplace a equação acima tem-se F( s) = ms X ( s) bsx ( s) kx ( s) A fução de trasferêcia é etão dada por: X ( s) G( s) = = F( s) ms bs k x(t) k f(t) m b Fig 35 Sistema mecâico do exemplo 3 Exemplo 3 Obter a fução de trasferêcia do sistema elétrico mostrado a figura 36 cosiderado que a etrada é a tesão de alimetação u(t) e a saída é a carga y(t) os termiais do capacitor Solução: Como todos os elemetos estão em série a correte i(t) que passa pelo circuito é úica A tesão u(t) é etão dividida etre os diversos elemetos ou seja a soma das tesões os termiais dos 3 elemetos é igual à tesão de alimetação Aplicado as relações elemetares tem-se etão dy t u( t) = R L y( t) ( ) d y( t) dt dt C

51 Aálise e Cotrole de Sistemas S 5 cuja trasformada de Laplace é U ( s) = R sy ( s) L s Y ( s) Y ( s) C Pode-se agora obter a fução de trasferêcia do sistema por meio de: Y ( s) C G( s) = = U s CLs CRs ( ) u(t) R L C y(t) Fig 36 Sistema elétrico do exemplo 3 Exemplo 33 Obter a fução de trasferêcia do sistema elétrico mostrado a figura 37 cosiderado que a etrada é a tesão de alimetação u(t) e a saída é a correte i(t) do circuito Solução: Se v(t) for a tesão os termiais do capacitor e do idutor e i C (t) e i L (t) forem as corretes o capacitor e idutor respectivamete etão pode-se escrever as equações trasformadas dos três elemetos formadores do circuito: U ( s) V ( s) = R I( s) V ( s) = IC ( s) C s V ( s) = L s I ( s) L A cotiuidade da correte forece uma equação suplemetar: I ( s) = I ( s) I ( s) C L que Elimiado-se agora as variáveis V(s) I C (s) e I L (s) do sistema de 4 equações resulta I( s) CLs U s RCLs Ls R G( s) = = ( )

52 5 Aálise e Cotrole de Sistemas S i(t) u(t) R v(t) C L Fig 37 Sistema elétrico do exemplo 33 Nota-se que a tesão o termial egativo das fotes de tesão deomiada de terra deve ser cosiderada ula os cálculos Esta é a causa das equações do capacitor e do idutor o exemplo 33 estarem submetidos à tesão v(t) 0 = v(t) Quado a fução de trasferêcia de um circuito elétrico represetar a relação etre a correte total o circuito e a tesão aplicada a ele como mostrado o exemplo 33 etão ela pode ser obtida por meio da impedâcia equivalete Neste caso os elemetos são substituídos por suas impedâcias equivaletes ou seja pela trasformada de Laplace das equações elemetares Em seguida calcula-se a impedâcia total do circuito pela adição das impedâcias em série e pela média geométrica das impedâcias em paralelo de maeira semelhate àquela realizada com um circuito composto exclusivamete por elemetos resistivos A fução de trasferêcia será dada este caso pelo iverso da impedâcia total O exemplo 34 ilustra este coceito Exemplo 34 Obter a fução de trasferêcia do sistema elétrico da figura 37 por meio da impedâcia equivalete Solução: Substituido os elemetos pelas suas impedâcias equivaletes tem-se o circuito mostrado a figura 38 (a) A seguir combiado-se em paralelo as impedâcias do capacitor e do idutor obtém-se o diagrama da figura 38 (b) Fialmete juta-se a impedâcia do resistor em série para obter o diagrama mostrado a figura 38 (c) A fução de trasferêcia será portato igual ao iverso da impedâcia do circuito ou seja: I( s) CLs U s RCLs Ls R G( s) = = ( ) R R (a) CsC Ls (b) Ls LCs (c) LCs RLCs Ls R Fig 38 Seqüêcia de cálculo da impedâcia equivalete do exemplo 34 O cálculo da impedâcia pode ajudar a simplificar a resolução do problema mas em sempre ela leva diretamete à resposta Isto acotece porque é ecessário que o circuito simplificado apresete aida os termiais relativos à etrada e à saída ou seja a simplificação ão pode elimiar estes termiais Isto em geral acotece quado os siais de etrada e saída estiverem em locais distitos do circuito As impedâcias do circuito devem etão ser agrupadas etre si porém matedo sempre os siais de etrada e saída presetes ele No

53 Aálise e Cotrole de Sistemas S 53 exemplo a seguir a impedâcia foi utilizada para reduzir o circuito ao meor possível A partir deste poto utiliza-se a forma covecioal da elimiação de variáveis Exemplo 35 Obter a fução de trasferêcia mostrada a figura 39(a) ode a etrada é a tesão e i (t) e a saída é a tesão e o (t) Simplificar o circuito por meio de impedâcia equivalete Solução: Percebe-se que este circuito há um cojuto de resistores e capacitores arrajados em paralelo e em série Pode-se agrupar as impedâcias equivaletes de cada um destes cojutos porém ão se deve calcular a impedâcia completa do circuito pois este caso a saída e o irá desaparecer A figura 39(b) ilustra como se pode obter a impedâcia equivalete deste circuito sem perder o sial de saída Para obter a fução de trasferêcia agora basta aplicar a lei de Ohm o circuito supodo que a correte que o circula é i(t): R E s E s I s i ( ) o ( ) = ( ) RC s R C s E s I s C s ( ) ( ) o = A elimiação da correte I(s) forece a fução de trasferêcia: Eo ( s) R R C C s ( R C R C ) s G( s) = = E ( s) R R C C s ( R C R C R C ) s i R R R C s e i (a) C C R e o e i (b) RCs C s e o Fig 39 Sistema elétrico do exemplo 35 (a) e impedâcia equivalete (b) Ifelizmete em sempre a simplificação do circuito por impedâcia equivalete é eficiete a solução O exemplo a seguir ilustra um caso o qual ão há vatagem alguma o uso da impedâcia equivalete uma vez que ão se cosegue agrupar os compoetes em ehum local do circuito Exemplo 36 A figura 30 mostra um filtro elétrico Deseja-se cohecer a fução de trasferêcia etre a correte de etrada i i (t) e a correte de saída i o (t) Solução:

54 54 Aálise e Cotrole de Sistemas S Uma vez que as equações dos elemetos ecessitam das tesões os termiais etão admite-se que u seja a tesão o termial comum de R e C e u seja a tesão o termial comum de R e C Admite-se igualmete que a correte através de C seja i e através de C seja i Disto resulta que a correte sobre R será i i i As equações elemetares dos capacitores C e C e dos resistores R e R ficam etão respectivamete I I = C s U = C s U U U = R ( I I ) U i = R I o A cotiuidade das corretes os codutores estabelece mais uma equação: a correte em R é igual à soma das corretes o capacitor C e o resistor R ou seja I I = I I i o o que permite elimiar I = I i I I o das equações A correte I pode ser elimiada em seguida substituido-se a primeira equação as demais o que resulta C s U = I C s U I i ( CR s) U U = R Ii U = R I o o Elimia-se agora a tesão U pela substituição da terceira equação as outras ( CRs) I o = I i Cs U ( C R s) U R Io = R Ii Por último elimia-se a tesão U para obter a fução de trasferêcia Io G( s) = = I C R C R s ( C R C R C R ) s i i i (t) R R i o C C Fig 30 Sistema elétrico do exemplo 36 Exemplo 37 Seja o sistema hidráulico mostrado a figura 3 Deseja-se obter a fução de trasferêcia etre a vazão de saída q o (t) e a vazão de etrada q i (t) Solução:

55 Aálise e Cotrole de Sistemas S 55 Iicialmete admite-se que a pressão o fudo do capacitor fluido C seja p e aalogamete a pressão o capacitor C seja p É ecessário aida admitir que a vazão que passa pela resistêcia R seja q r como já idicado a figura 3 Pode-se agora escrever as equações dos elemetos pois todos os parâmetros já foram defiidos As equações do capacitor C resistêcia R capacitor C e resistêcia R são respectivamete Q Q = C s P i r P P = R Q r Q Q = C s P P r o = R Q o Substituido P da quarta equação as demais tem-se Q Q = C s P i r P = R Q R Q r Q r = ( C R s) Q o o Substituido agora P da seguda equação a primeira Q = ( C R s) Q C R s Q Q i r o r = ( C R s) Q o Fialmete elimiado Q r obtém-se a fução de trasferêcia Qo G( s) = = Q C R C R s C R s C R s C R s i C R C R q i p p q r Fig 3 Sistema hidráulico do exemplo 37 q o Deve-se otar que sempre que a saída de uma capacitâcia iertâcia ou resistêcia fluida estiver aberta (ão coectada com outro elemeto) etão a pressão este poto deve ser cosiderada ula No exemplo 37 a saída da resistêcia R está aberta e portato a pressão este poto é ula Outro poto importate a ser otado é que as fuções de trasferêcia dos exemplos 36 e 37 são idêticas Sistemas distitos que apresetam a mesma fução de trasferêcia são deomiados de aálogos Estes sistemas exibem o mesmo comportameto diâmico quado sujeitos à mesma etrada Isto permite compreeder portato que o sistema hidráulico do exemplo 37 é também um filtro cuja fução é reduzir as oscilações a saída causadas por mudaças a etrada

56 56 Aálise e Cotrole de Sistemas S 38 Elemetos trasformadores e trasdutores Elemetos trasformadores são elemetos (mecâicos elétricos hidráulicos etc) que amplificam ou reduzem a magitude de determiada variável Elemetos trasdutores por sua vez além de amplificar ou reduzir a magitude também modificam o tipo de variável Assim um sistema mecâico pode ser trasformado um sistema elétrico este um sistema hidráulico e assim por diate Tato os elemetos trasformadores quato os trasdutores possuem uma úica etrada e uma úica saída Por defiição elemetos trasformadores são ideais ou seja ão dissipam calor em cosomem eergia Em outras palavras tais elemetos ão ecessitam de fote adicioal de potêcia para operarem Estes elemetos são também cohecidos como elemetos a quatro termiais (em virtude da similaridade com trasformadores elétricos) a) Elemetos trasformadores O equivalete ao trasformador de um sistema mecâico traslacioal é a alavaca (figura 3) Supodo que a massa e coseqüetemete o mometo de iércia da alavaca são egligeciáveis etão uma alavaca em equilíbrio estático os cojugados (torques) são ulos o que sigifica que: f o a = b f i ode f o é a reação da força exercida pela alavaca e f i é a força aplicada a alavaca Além disso supodo pequeos deslocametos dos potos ode as forças são aplicadas etão as seguites relações são também válidas: x o b = a x i e b xɺ o = xɺ i a as quais x i e x o são os deslocametos lieares da alavaca os potos ode as forças f i e f o são aplicadas respectivamete f i f i a a f o f o b b Fig 3 Elemeto de trasformação mecâico traslacioal: alavaca

57 Aálise e Cotrole de Sistemas S 57 Existem dois elemetos trasformadores de um sistema mecâico rotacioal: o acoplameto por egreages e o acoplameto por polias e correia (figura 33) A relação do elemeto trasformador é idêtica em ambos os casos e vale: d τ o = d o i τ i ode τ represeta o torque e d o diâmetro O subscrito i idetifica a etrada e o subscrito o represeta a saída Se o trasformador for um cojuto de egreages pode-se igualmete utilizar a relação o τ o = τ i i ode i e o são os úmeros de detes das egreages de etrada e de saída respectivamete Os deslocametos θ e as velocidades agulares ω dos eixos de etrada e saída relacioam-se etre si por meio de: θ θ ω d = = = ω d i i o o o o i i τ i τ i τ o τ o Fig 33 Elemetos trasformadores em sistemas mecâicos rotacioais: egreages e polias O trasformador elétrico é bastate cohecido e pode ser represetado pela figura 34 Ele cosiste de dois erolametos de cobre sobre um úcleo de material ferromagético Na verdade o trasformador elétrico é um trasdutor duplo uma vez que trasforma correte elétrica da etrada em desidade magética e esta em correte elétrica de saída Em fução desta comutação para desidade magética um trasformador elétrico ão opera quado a tesão (ou correte) de alimetação for costate mas somete quado varia o tempo Assim pode-se dizer que a amplitude da tesão de saída u o é proporcioal à tesão de etrada u i : u o i = ui o ode i é o úmero de espiras ou erolametos do primário (etrada) e o é o úmero de espiras do secudário (saída) A correte efetiva ou equivalete de saída relacioa-se com a correte efetiva de etrada por meio de: i o o = ii i Portato um trasformador elétrico (válido também para os demais trasformadores) o produto da correte pela tesão é costate isto é u o i o = u i i i

58 58 Aálise e Cotrole de Sistemas S u i u o i i i o Fig 34 Trasformador elétrico O trasformador hidráulico é também um trasdutor duplo já que coverte pressão hidráulica em força (mecâico traslacioal) e esta ovamete em pressão hidráulica coforme pode ser observado a Figura 35 As equações que goveram este trasformador são: q o A o = qi Ai ode A i e A o são as áreas das seções trasversais dos cilidros de etrada e de saída respectivamete Como a força exercida o pistão é igual em ambos os lados (assumido que a massa do pistão seja desprezível) etão a pressão p o o cilidro de saída relacioa-se com a pressão p i o cilidro de etrada por meio de: p o A i = pi Ao q i p i p o q o Fig 35 Trasformador hidráulico: pistão e cilidro duplo Os elemetos trasformadores mecioados até aqui ão são úicos De fato uma vez que outros elemetos podem ser icorporados ao trasformador (como o pistão o trasformador hidráulico ou o úcleo ferromagético o trasformador elétrico) etão diversas outras composições podem ser realizadas Cosidere-se por exemplo o trasformador mecâico traslacioal mostrado a figura 36 que icorpora um trasformador hidráulico a sua cocepção Embora tato a etrada quato a saída do trasformador sejam forças (ou deslocametos lieares) ão se pode cotudo deomiá-lo de alavaca embora o pricípio de fucioameto seja semelhate Este esquema de trasformação é empregado em macacos hidráulicos Logo os trasformadores apresetados até aqui costituem os exemplos mais simples etre as diversas possibilidades Como ficará evidete mais adiate o úmero de trasdutores será aida maior em virtude das diversas possibilidades de combiação dos elemetos idividuais

59 Aálise e Cotrole de Sistemas S 59 f i f o Fig 36 Trasformador mecâico traslacioal: macaco hidráulico Exemplo 38 Determiar a fução de trasferêcia do sistema mostrado a figura 37 composto por uma fote de tesão e um trasformador cuja relação de trasformação vale N = o / i Solução: Aplica-se iicialmete as relações dos elemetos o circuito coectado ao primário do trasformador: U U = R I i U U = L s I i i ode U e U são as tesões os termiais do idutor L A relação de trasformação forece as equações: I o U = N I 3 i = N U ode U 3 é a tesão a saída do trasformador Por sua vez o circuito o secudário apreseta as relações: I = C s ( U U ) o U o = R I o 3 o Elimia-se agora a tesão U das equações de forma que U = ( R L s) I U i i e substituido agora as relações de trasformação tem-se Io Ui = ( R L s) N U3 N Isolado o valor de U 3 da relação do capacitor e substituido a equação acima

60 60 Aálise e Cotrole de Sistemas S N C s U = [ C s ( R L s) N ] I N C s U i o o A correte I o é isolada da relação do resistor R e depois de substituída resulta N R C s U = [ C s ( R L s) N ( R C s)] U i o Fialmete a fução de trasferêcia fica Uo N R C s G( s) = = U C s ( R L s) N ( R C s) i u i (t) R L N C R u o (t) b) Elemetos trasdutores Fig 37 Circuito elétrico do exemplo 38 Como dito ateriormete um elemeto trasdutor cosiste de um trasformador a 4 termiais que trasforma um tipo de eergia em outro O emprego usual de trasdutores é a coversão de siais mecâicos elétricos peumáticos hidráulicos e térmicos em sial elétrico com propósitos de mesuração Em virtude da alta aplicabilidade destes elemetos com tais fialidades o termo trasdutor acabou sedo erroeamete utilizado como forma geral de desigar um elemeto sesor Será matida aqui a defiição usual de trasdutor: um elemeto que coverte uma forma de eergia em outra e este caso um trasdutor tato pode ser um sesor como um acioador (um motor elétrico por exemplo que coverte eletricidade em movimeto rotacioal) Da mesma forma que ocorre com os trasformadores é também bastate comum que os trasdutores covertam a eergia uma forma itermediária ates de obtê-la a saída O motor elétrico por exemplo coverte a correte elétrica em campo magético e este é covertido em torque o eixo A Tabela 3 forece os exemplos mais importates de trasdutores em fução do tipo de etrada e do tipo de saída É claro que outros exemplos além daqueles apresetados a tabela podem ser ecotrados Um cristal piezo-elétrico coverte eergia mecâica traslacioal (choque mecâico) diretamete em eletricidade (acededores de fogão e isqueiros) Como o processo é reversível pode-se fazer um oscilador mecâico usado um cristal piezo-elétrico como os cristais de clock usados em circuitos eletrôicos digitais Exceto a cremalheira que é um dispositivo composto por duas egreages ode uma delas é plaa (diâmetro ifiito) os demais trasdutores possuem equacioameto complexo em geral ão-liear Existem dois motivos para este aumeto a complexidade: a ecessidade de haver uma forma itermediária de eergia para trasmitir a força e a diâmica de fluidos turbuletos Embora seja possível obter uma liearização das equações elemetares dos trasdutores será visto aqui apeas o caso específico da cremalheira

61 Aálise e Cotrole de Sistemas S 6 Tabela 3 Pricipais trasdutores e trasformadores Saída: Mecâico Mecâico Elétrico Hidráulico Etrada: traslacioal rotacioal Mecâico alavaca cremalheira eletro-imã e pistão-cilidro traslacioal úcleo Mecâico cremalheira egreagem gerador elétrico bomba hidráulica rotacioal Elétrico motor liear motor elétrico trasformador elétrico cojuto motorbomba Hidráulico pistão-cilidro turbia cojuto turbiagerador pistão-cilidro duplo A relação etrada-saída de um sistema cremalheira (reversível) mostrada a figura 38 é dada por: f c = τ e r ode f c é a força exercida pela ou a cremalheira τ e é o torque exercido a ou pela egreagem e r é o raio médio da egreagem O deslocameto x c e a velocidade v c da cremalheira relacioam-se com o deslocameto α e ou velocidade agular ω e da egreagem por meio de: αe ωe = = x v r c c τ e Fig 38 Elemeto trasdutor etre sistema mecâico traslacioal e rotacioal: egreagem-cremalheira f c Exemplo 39 Determiar a fução de trasferêcia do sistema composto por uma cremalheira cujo raio da egreagem é r como mostrado a figura 39 com atrito o macal de deslizameto liear de b de massa m e velocidade de saída v(t) Solução: As equações dos elemetos mecâicos rotacioais levam a Τ i ( s) T = I s Ω K T = ( Ω Ω ) s

62 6 Aálise e Cotrole de Sistemas S equato que a trasformação imposta pela cremalheira impõe T V = r F 3 o = r Ω Os elemetos mecâicos traslacioais possuem as seguites equações F3 Fk Fb = m s Vo k Fk = Vo s F = b V b o Nas equações acima T é a trasformada do torque trasmitido pela mola rotacioal K Ω é a trasformada da velocidade agular a jução etre a iércia I e a mola rotacioal Ω refere-se à velocidade agular a jução etre a mola e a egreagem e F 3 é a trasformada da força aplicada pela egreagem a cremalheira As quatro primeiras equações forecem r K i I K s Vo r ( K I s ) F3 Τ = equato que as três seguites resultam k F = m s b V s 3 o fica: Substituido esta última a aterior e agrupado os termos a fução de trasferêcia Vo r K s G( s) = = Τ I K s r ( K I s ) ( m s b s k) i τ i (t) I K r m b v o (t) k Fig 39 Sistema mecâico composto por uma cremalheira referete ao exemplo 39

63 Aálise e Cotrole de Sistemas S 63 Exercícios ) Obter a fução de trasferêcia do circuito elétrico mostrado a figura 3a por meio da impedâcia equivalete A etrada é a tesão u(t) e a saída é a correte i(t) que passa pela fote de tesão i(t) u(t) Ω F Ω 3H Fig 3a Sistema elétrico do exercício R: G( s) = 6s 4s 6s 7s 3 ) Obter a fução de trasferêcia do sistema hidráulico mostrado a figura 3b composto por uma capacitâcia fluida C em série com uma iertâcia fluida I e uma resistêcia R A etrada é a vazão q e (t) e a saída é a vazão q s (t) C p p q e (t) q s (t) Fig 3b Sistema hidráulico do exercício Qs R: G( s) = = Q ICs RCs e I 3) Cosiderar o sistema mecâico mostrado a figura 3c Calcular a fução de trasferêcia do sistema supodo como etrada a força f(t) aplicada à massa m e como saída a velocidade v(t) desta massa O atrito etre as massas m e m é dado por b etre as massas m e m 3 é b e etre as massas m e e m 3 é b 3 Não há atrito etre a massa m e o solo R f(t) m m k m 3 b b k v(t) b 3 Fig 3c Sistema mecâico do exercício 3

64 64 Aálise e Cotrole de Sistemas S R: G ( m m b ) s = [ m ( m m b ) m b m b b b b ] s ( m b k m b k b b k b b k ) s ( m k m k b k k ) 3 4) Obter a trasformada de Laplace do sistema mecâico massa-mola-amortecedor mostrado a figura 3d cuja etrada é a força u(t) e a saída é o deslocameto liear y(t) u(t) m y(t) k b Fig 3d Sistema mecâico massa-mola-amortecedor Y ( s) R: G( s) = = U ( s) ms bs k 5) Obter a trasformada de Laplace do sistema mecâico massa-mola-amortecedor mostrado a figura 3e os seguites casos: a) A etrada e(t) é o deslocameto x(t) provocado a mola-amortecedor e a saída r(t) é igual à posição y(t) da massa m b) A etrada e(t) é a velocidade v(t) da extremidade mola-amortecedor e a saída r(t) é a posição y(t) da massa m c) A etrada e(t) é o deslocameto x(t) da extremidade mola-amortecedor e a saída r(t) é a velocidade w(t) da massa m d) A etrada e(t) é a velocidade v(t) da extremidade mola-amortecedor e a saída r(t) é a velocidade w(t) da massa m Porque este exemplo a extremidade mola-amortecedor ão pode represetar a saída a forma de deslocameto ou de velocidade? r(t) m b e(t) R: R( s) bs k a) = E( s) ms bs k k Fig 3e Sistema mecâico do exemplo 5

65 Aálise e Cotrole de Sistemas S 65 R( s) bs k b) = E( s) s( ms bs k) R( s) s( bs k) c) = E( s) ms bs k R( s) bs k d) = E( s) ms bs k 6) Obter a fução de trasferêcia do circuito elétrico mostrado a figura 3f por meio da impedâcia equivalete A etrada é a tesão u(t) e a saída é a correte i(t) que passa pela fote de tesão L i(t) u(t) C L R R Fig 3f Sistema elétrico do exercício 6 R: [ ] U ( s) L L C s ( R R ) L R L C s ( L L R R C) s R = I( s) L C s ( R R ) C s 3 7) Calcular a fução de trasferêcia do circuito elétrico mostrado a figura 3g por meio da resolução de sistema de equações lieares A etrada é a tesão u(t) e a saída é a tesão v(t) u(t) R L R C v(t) Fig 3g Sistema elétrico do exercício 7 V ( s) R R: = U ( s) LCR s ( R R C L) s R R

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67 Aálise e Cotrole de Sistemas S 67 Cap 4 Trasformadas iversas de fuções de trasferêcia 4 Trasformada iversa de Laplace para sistemas lieares Até este poto mostrou-se que a trasformada de Laplace é uma ótima ferrameta de aálise de sistemas diâmicos Neste capítulo será mostrado como reverter esta trasformação para retorar ao domíio do tempo Como foi mostrado um sistema liear a coeficietes costates possui fução de trasferêcia a codições iiciais ulas dada por m Y( s) bm s b s b s b G( s) = = X ( s) a s a s a s a m m 0 0 Se a fução G(s) puder ser posta a forma G( s) = G ( s) G ( s) G ( s) etão pela propriedade da liearidade da trasformada de Laplace a trasformada iversa será obtida de g( t) = L ( G ( s)) L ( G ( s)) L ( G ( s)) ou g( t) = g ( t) g ( t) g ( t) Será mostrado a seção seguite como decompor a fução de trasferêcia em parcelas idividuais 4 Decomposição em frações parciais para m < Para que G(s) possa ser decomposta uma soma G G G será ecessário decompô-la em frações parciais Por sua vez a decomposição em frações parciais requer que se coheçam atecipadamete as raízes do poliômio do deomiador ou seja as raízes de X(s) Cosidera-se etão que as raízes deste poliômio sejam p p p Estas raízes são deomiadas de pólos da fução de trasferêcia Aalogamete as raízes de Y(s) z z z m são cohecidas como zeros da fução de trasferêcia Nota-se que tato quato os pólos também os zeros são em geral úmeros complexos A decomposição em frações parciais requer também que m < ou seja o grau do poliômio do umerador deve ser meor do que o grau do poliômio do deomiador Posteriormete o processo de decomposição em frações parciais será estedido para o caso em que m Exprimido a fução de trasferêcia em termos de seus pólos e zeros tem-se ( s z) ( s z) ( s zm) G( s) = ( s p ) ( s p ) ( s p ) Como os termos s p i são submúltiplos do deomiador pode-se escrever a fução de trasferêcia a forma de uma soma de frações parciais:

68 68 Aálise e Cotrole de Sistemas S G( s) c c c ( s p ) ( s p ) ( s p ) = ode os coeficietes c i são costates Na verdade estes parâmetros são também poliômios em s com grau iferior ao grau do deomiador de cada fração Como o grau do deomiador das frações é uitário etão o grau do umerador é ulo ou seja uma costate Estas costates serão determiadas uma a uma multiplicado-se a fução de trasferêcia por cada um dos deomiadores das frações Para o pólo p k este processo leva a ( s p ) ( s p ) ( s p ) ( s p ) G( s) = c c c c k k k k k ( s p ) ( s p ) ( s p ) Se agora for feito s = p k a expressão acima todos os termos do segudo membro serão aulados exceto aquele a que pertece o pólo k ou seja: [( ) ( )] c = s p G s para k = k k s= p k Para obter estes coeficietes ão é ecessário a verdade calcular os zeros da fução de trasferêcia bastado apeas colocá-la a forma: Y ( s) G( s) = ( s p ) ( s p ) ( s p ) Desta forma para cada coeficiete deve-se calcular apeas a relação c k Y ( s) = ( s p ) ( s p ) ( s p ) ( s p ) k k s= p k ou simplesmete c k Y ( pk ) = ( p p ) ( p p ) ( p p ) ( p p ) k k k k k k Vários métodos podem ser usados para se ecotrar os pólos e zeros da fução de trasferêcia Pode-se por exemplo traçar o gráfico da fução e verificar os locais ode a curva cruza o eixo das abscissas Este método forece uma forma eficiete de se ecotrar as raízes reais porém ão é muito apropriado as raízes complexas Métodos baseados em soluções aalíticas (como a fórmula atribuída a Bhaskara para equações quadráticas) coseguem resolver as raízes até poliômios de quarta ordem porém com aumeto crescete da complexidade com o aumeto da ordem Métodos uméricos usam algoritmos de busca como o de Newto-Raphso e forecem as raízes detro de um limite de precisão Além disso deixam de ecotrar raízes se o poliômio apresetar derivadas acetuadas em certos valores do argumeto Se o poliômio apresetar grau ímpar etão uma das raízes será certamete real equato que as outras poderão ou ão ser complexas cojugadas Para ecotrar esta raiz real basta fazer uma busca por substituição de valores a fução Pode ser que um destes valores aule o poliômio ou etão que a fução mude de sial o que idica haver uma raiz etre os dois últimos argumetos testados Uma vez que uma raiz teha sido ecotrada procede-se à redução da ordem do poliômio que cosiste em ecotrar um ovo

69 Aálise e Cotrole de Sistemas S 69 poliômio cuja ordem seja uma uidade meor do que o poliômio origial Seja etão o poliômio X(s) dado por: X ( s) = a s a s a s a 0 e seja também p uma raiz ecotrada para este poliômio Neste caso deve haver um poliômio de grau que satisfaz a igualdade: X ( s) = ( s p)( d s d s d s d ) 0 Expadido este último e igualado-se os poliômios tem-se: d s ( d p d ) s ( d p d ) s p d = a s a s a s a Para que os dois poliômios sejam iguais seus coeficietes devem ser todos iguais o que leva ao resultado: d = a d = a p d d = a p d 3 d = a p d 0 0 = / 0 d a p que forece um cojuto de equações que permite ecotrar todos os coeficietes do ovo poliômio Este sistema pode ser facilmete resolvido iiciado pelo primeiro elemeto d e utilizado este para o cálculo do seguite (d ) e assim por diate Nota-se que a última equação é redudate uma vez que d 0 já havia sido ecotrado a igualdade aterior Pode-se etão utiliza-la para verificar se ão ocorreu erro os cálculos Após ecotrar o ovo poliômio deve-se etão repetir o processo de busca de uma raiz e uma ova redução da ordem até que se teha um poliômio quadrático cujas raízes podem ser ecotradas com a fórmula de Bhaskara Exemplo 4 Decompor a fução de trasferêcia G( s) = 4s 3 s s s em frações parciais Solução: Deve-se iicialmete obter as raízes do deomiador (pólos da fução de trasferêcia) Como o poliômio do deomiador é cúbico pode-se utilizar a solução de equações cúbicas para obter estas raízes Porém é mais ituitivo examiar a equação e costatar que s = é uma das raízes Caso ão fosse pode-se tetar ovos valores etre os

70 70 Aálise e Cotrole de Sistemas S úmeros aturais ( 3 ) até que um deles aule o poliômio o deomiador ou etão até que um deles altere o sial de G(s) (de positivo para egativo ou vice-versa) Neste caso existe uma raíz etre os dois últimos valores testados e deve-se etão testar ovos valores detro deste itervalo Agora que uma das raízes é cohecida etão deve existir um poliômio do segudo grau cujos coeficietes são aida descohecidos que se multiplicado pela raíz ecotrada (s ) origia o poliômio do terceiro grau isto é: 3 ( s )( a s b s c) s s s = ou 3 3 a s b a s c b s c s s s ( ) ( ) = A igualdade etre os coeficietes de mesma potêcia permite obter cada um dos coeficietes do poliômio do segudo grau: a = b a = c b = c = Nota-se que existem 4 equações e 3 icógitas o que sigifica que uma das equações é descartável A solução deste sistema leva a a = b = e c = o que resulta para a fução de trasferêcia: G( s) = 4s s s s ( )( ) As raízes do poliômio quadrático podem agora ser obtidas facilmete resultado: e b b ac 4 8 s = = = a s b b ac 4 9 = = = a Como coseqüêcia a fução de trasferêcia pode ser escrita como: 4s G( s) = ( s )( s )( s ) A separação desta fução em frações parciais irá produzir c c c G( s) = s s s 3

71 Aálise e Cotrole de Sistemas S 7 Os coeficietes c c e c 3 podem agora ser obtidos pela formulação apresetada ateriormete [( ) ( )] c = s p G s k k s= p k ode os p k são os pólos ecotrados: p = p = e p 3 = Com isso tem-se 4s 8 c = [( s ) G( s) ] = s= = = ( s )( s ) 3 s= 4s 4 c = [( s ) G( s) ] = s= = = ( s )( s ) 6 s= 4s 4 c3 = [( s ) G( s) ] = s= = = ( s )( s ) o que resulta para a fução de trasferêcia: G( s) = s s s s= 43 Decomposição em frações parciais quado m Quado o grau do poliômio do umerador é maior ou igual ao grau do poliômio do deomiador deve-se iicialmete ecotrar um poliômio que resulte da divisão de Y(s) por X(s) Uma vez que o resultado desta divisão ão é exato surge um poliômio de resto cujo grau é meor do que Em outras palavras deve-se ecotrar Q(s) e R(s) tais que Y ( s) = Q( s) X ( s) R( s) ode o grau de Q(s) deve ser a difereça etre os graus de de Y(s) e X(s) ou m e o grau de R(s) é o máximo igual a Seja etão Q(s) e R(s) dados por: m Q( s) = q s q s q s q m m m 0 e R( s) = r s r s r s r 0 Ao multiplicar-se Q(s) por X(s) e somar-se com R(s) obtém-se um poliômio de grau m cujos coeficietes devem ser iguais aos de Y(s) Isto permite calcular os coeficietes tato de Q(s) quato de R(s) um a um igualado-se os coeficietes de mesma potêcia em s A ova fução de trasferêcia fica etão dada por:

72 7 Aálise e Cotrole de Sistemas S Y( s) R( s) G( s) = = Q( s) X ( s) X ( s) Exemplo 4 Reduzir a fução de trasferêcia G(s) dada a seguir em frações parciais Y s s s s G( s) = = X ( s) ( s )( s ) 3 ( ) Solução: Para reduzir G(s) em frações parciais deve-se obter os poliômios Q(s) e R(s) uma vez que m = 3 > = O grau de Q(s) será de m = e de R(s) será = Logo estes poliômios são formados por Q( s) = q s q 0 e R( s) = r s r 0 Disto tira-se que Y ( s) = ( q s q ) X ( s) r s r 0 0 ou s 5s 9s 7 = q s (3 q q ) s (q 3 q r ) s q r Comparado-se os coeficietes de mesmo grau em s tem-se as equações: q = 3q q = 5 0 q 3q r = 9 0 q r = que permite obter q = q 0 = r = r 0 = 3 Fialmete a fução de trasferêcia fica s 3 G( s) = s ( s )( s ) e decompodo a fração restate em frações parciais tem-se s 3 c c H ( s) = = ( s )( s ) s s cujos coeficietes c e c valem:

73 Aálise e Cotrole de Sistemas S 73 s 3 s 3 3 c = [( s ) H ( s) ] = ( s ) s= ( s )( s ) = s = = s= s= s= s 3 3 c = [( s ) H ( s) ] == s= s = = resultado para G(s) a relação G( s) = s s s Nota-se que é muito difícil ecotrar uma trasformada iversa quado G(s) é expressa a forma de uma úica fração Porém quado decomposta em frações parciais a trasformada iversa para cada uma das frações é bem mais simples e é fácil ecotrá-la a tabela das trasformadas de Laplace Aplicado estas trasformadas iversas e supodo codições iiciais ulas tem-se: dδ( t) t g( t) = δ ( t) e e dt t 44 Decomposição em frações quado G(s) possui pólos múltiplos A decomposição em frações parciais vista até agora é válida apeas quado as raízes do deomiador são simples Se estas raízes forem duplas ou triplas ou se elas possuírem multiplicidade maior do que etão a formulação utilizada já ão se aplica uma vez que geraria frações idêticas estas raízes Portato se um dado pólo p k possuir multiplicidade l isto é se l X ( s) = ( s p ) ( s p ) ( s p ) ( s p ) k etão o método de expasão em frações parciais deve ser modificado da seguite forma: G( s) c c c c c c k k kl = l s p s p s pk ( s pk ) ( s pk ) s p ou seja surgem frações que depedem de potêcias de s p k de até a potêcia l O cálculo das frações cujos pólos possuem multiplicidade isto é c i com i = i k é feito de forma covecioal como estabelecido a seção aterior Resta portato aalisar como são calculados os coeficietes c kj j = l Multiplicado G(s) por (s p k ) l tem-se ( s p ) ( s p ) G( s) = c ( s p ) c ( s p ) c l k l k l l k k k s p k ( s p ) ( s p ) c c c l k k k ( l) kl s p

74 74 Aálise e Cotrole de Sistemas S ou aida Avaliado-se esta expressão o poto s = p k resulta que l ckl = ( s pk ) G( s) s= pk c kl Y( pk ) = ( p p ) ( p p ) ( p p ) ( p p ) k k k k k k Para se obter os outros termos deriva-se o produto (s p k ) l G(s) com relação a s que resulta: l l d l l( s pk ) ( s p ) k l ( s pk ) G( s) c ( l )( s pk ) ck ds = s p ( s p ) l l l( s pk ) ( s pk ) ( s pk ) ck ( l) ck ( l) c s p ( s p ) e ovamete fazedo-se s = p k o coeficiete c k(l) resulta d l ck ( l) = ( s pk ) G( s) ds s= p k Para obter o coeficiete seguite deriva-se pela seguda vez (s p k ) l G(s) e seguido o mesmo raciocíio tem-se até que d c s p G s ds k ( l) = l ( ) ( ) k s= pk l d l ck = ( s p ) ( ) l k G s ( l )! ds s= pk Exemplo 43 Reduzir em frações parciais a fução G(s): G( s) = 4 ( s ) ( s ) Solução: Esta fução possui um pólo s = de multiplicidade um pólo complexo s = j e seu cojugado s 3 = j Portato deseja-se desevolver G(s) em frações parciais a forma c c c c3 G( s) = ( s ) s s j s j

75 Aálise e Cotrole de Sistemas S 75 O coeficiete c será obtido de c = s G s ( ) ( ) s = ou seja c 4 = = ( s ) s = Por sua vez o coeficiete c é obtido por meio de d c = s G s ( ) ( ) ds s = ou c e portato d 4 8s = = = ds ( s ) ( s ) s= s= Os demais coeficietes valem: 4 c = [( s j) G( s) ] = s= = j ( s ) ( s j) s= j 4 c3 = [( s j) G( s) ] = s= = j ( s ) ( s j) s= j G( s) = ( s ) s s j s j Exemplo 44 Reduzir a fução de trasferêcia dada abaixo em frações parciais s 3 G( s) = s 4s 5s s Solução: Uma vez que o deomiador é múltiplo de s etão a fução acima pode ser colocada a forma

76 76 Aálise e Cotrole de Sistemas S G( s) = s 3 ( 4 5 ) 3 s s s s que permite cocluir que esta fução possui dois pólos iguais a zero As raízes do poliômio restate do terceiro grau são cotudo descohecidas Podem-se empregar as fórmulas para solução de equação do terceiro grau mas é mais coveiete tetar descobrir pelo meos uma das raízes De fato é fácil verificar que é uma das raízes do poliômio do deomiador Isto sigifica que o poliômio cúbico é múltiplo de s e portato o produto de s por um poliômio de segudo grau (com coeficietes aida descohecidos) deve origiar o poliômio cúbico ou seja: 3 ( s )( as bs c) = s 4s 5s Expadido o poliômio à esquerda resulta: 3 3 as b a s c b s c s s s ( ) ( ) = 4 5 Como os poliômios são iguais se e apeas se todos os seus coeficietes forem iguais resulta etão o cojuto de equações: a = b a = 4 c b = 5 c = de ode coclui-se que a = b = 3 e c = Logo a fução de trasferêcia fica G( s) = s 3 ( )( 3 ) s s s s e com isso pode-se agora determiar as raízes restates do poliômio do segudo grau que são iguais a e Reescrevedo a fução de trasferêcia e lembrado que a raiz é dupla tem-se G( s) = s 3 ( ) ( ) s s s Com isso a separação em frações parciais será feita a forma: c c c c c G( s) = s s s s s 3 ( ) O coeficiete c é obtido de c s 3 3 = s G( s) = = ( s ) ( s ) s= 0 s= 0

77 Aálise e Cotrole de Sistemas S 77 e c vale c d d s 3 = s G( s) ds = = ds ( s ) ( s ) s= 0 s= 0 = = De modo aálogo ( s 3)[( s )( s ) ( s ) ] 3 ( s ) ( s ) [( s ) ( s )] 4 s= 0 s 3 c = ( s ) G( s) = s= = s ( s ) s= d ( s 3)[ s( s ) s ] c = ( s ) G( s) 3 s ds = = = s ( s ) [ s ( s )] e o último coeficiete fica s= s 3 c3 = ( s ) G( s) = s= = s ( s ) 4 s= A decomposição de G(s) em frações parciais fica etão: G( s) = s 4 s ( s ) s 4( s ) 45 Aálise algébrica da fução de trasferêcia Embora a decomposição em frações parciais sempre leve a uma forma simplificada da fução de trasferêcia de tal forma a viabilizar sua trasformada iversa em sempre este processo é o mais simples e rápido Em algumas situações um simples arrajo os termos da fução de trasferêcia pode colocá-la uma forma de fácil iversão Logo ates de decompor é coveiete examiar a fução em busca de possíveis alterações visado colocála em formas já previamete tabuladas de fuções iversas Cosidere o exemplo abaixo Exemplo 45 Obter a trasformada iversa de Laplace para codições iiciais ulas da fução de trasferêcia mostrada a seguir Determiar seus pólos e zeros G( s) = s ( s ) Solução: Percebe-se que esta fução é semelhate (mas ão igual) às trasformadas do produto de uma expoecial pelo seo ou pelo co-seo (ver trasformadas e da Tabela )

78 78 Aálise e Cotrole de Sistemas S sugerido que talvez seja possível colocá-la uma combiação destas duas De fato pode-se trasformar a fução de trasferêcia sem alterá-la separado-a em dois termos a forma s s G( s) = = ( s ) ( s ) ( s ) A trasformada iversa agora é imediata resultado ( ) e t t g t = cos t e se t Esta fução apreseta como zero o valor z = e uma vez que o deomiador é um poliômio do segudo grau (s 4s 5) tem-se os pólos p = j e p = j

79 Aálise e Cotrole de Sistemas S 79 Exercícios ) Expadir em frações parciais as trasformadas dadas por: s a) G( s) = s 4s 3 s b) G( s) = s 4s 5 Quais são os pólos e os zeros destas fuções? R: a) G( s) = s 6 s pólos: 3 ; zeros: b) G( s) = ( s j) ( s j) pólos: j j; zeros: 4) Expadir em frações parciais a fução: G( s) = s s 3s s ( ) ( s ) 3 5 R: G( s) = s ( s ) 4 ( s ) 4 ( s )

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81 Aálise e Cotrole de Sistemas S 8 5 Coceito de diagrama de blocos Cap 5 Diagrama de blocos Fuções de trasferêcia de sistemas diâmicos podem ser represetadas graficamete por meio de diagrama de blocos Estes diagramas permitem compor fuções de trasferêcia complexas a partir do agrupameto de outros diagramas mais simples ou mesmo de blocos cotedo as equações elemetares Hoje existem diversos programas computacioais capazes de simular sistemas cuja diâmica é forecida por meio de diagramas de blocos Exemplos de programas desta atureza são o Matlab-Simulik e o Matrix-X A represetação gráfica de um bloco é mostrada a figura 5 e a relação que ele represeta o domíio da trasformada de Laplace (variável complexa) é: Y ( s) = G( s) U ( s) Ou seja a fução de trasferêcia de um bloco G(s) traduz a relação etre a trasformada de Laplace da sua saída Y(s) e a trasformada de Laplace da etrada U(s) De outra forma a saída de um bloco é igual ao produto da etrada pela fução de trasferêcia que o bloco abriga Nota-se cotudo que por defiição as etradas e saídas de um bloco devem ser postas graficamete o domíio do tempo ou seja u(t) e y(t) Quado o coteúdo de um bloco (ou seja sua fução de trasferêcia) for uma costate deomia-se etão esta costate de gaho do bloco u(t) G(s) y(t) Fig 5 Represetação de uma fução de trasferêcia G(s) por meio de diagrama de blocos As ligações etre os blocos são ecessariamete orietadas idicado o fluxo de iformação ou a relação etre causa e efeito ou aida a defiição de qual sial é a saída e qual sial é a etrada Logo toda e qualquer ligação etre blocos deve ser orietada caso cotrário ão se cosegue defiir qual é a etrada e qual é a saída do bloco Da defiição dos blocos coclui-se também que cada bloco deve apresetar uma e apeas uma etrada e uma e apeas uma saída Blocos com múltiplas etradas ou múltiplas saídas são permitidos apeas quado o sistema for multivariável e este caso a fução de trasferêcia é dada por uma matriz A grade vatagem dos diagramas de blocos é a composição de vários blocos e igualmete a simplificação de vários blocos em somete um o que permite obter a fução de trasferêcia total do sistema Cosiderado por exemplo a composição de dois blocos cujas fuções de trasferêcia são G (s) e G (s) em série como mostrado a figura 5 resulta Y ( s) = G ( s) X ( s) X ( s) = G ( s) U ( s) e substituido a seguda equação a primeira para elimiar a variável X(s) tem-se que: Y ( s) = G ( s) G ( s) U ( s)

82 8 Aálise e Cotrole de Sistemas S de ode tira-se que a fução de trasferêcia de dois blocos em série é dada por: G( s) = G ( s) G ( s) ou seja a fução de trasferêcia equivalete de dois blocos arrajados em série é dada pelo produto das fuções de trasferêcia dos blocos u(t) G (s) x(t) G (s) y(t) u(t) G (s) G (s) y(t) Fig 5 Combiação de dois blocos arrajados em série As ligações etre blocos podem sofrer um úmero qualquer de derivações isto é o sial trasportado por elas pode ser iserido em um ou mais blocos como ilustra a figura 53 Obviamete estas derivações idicam que a etrada em cada um dos blocos que as recebem é a mesma u(t) G(s) y(t) G (s) G 3 (s) G (s) Fig 53 Derivações das ligações etre blocos Dois siais que trasitam por ligações distitas podem ser combiados por meio de adição ou subtração idicada por um bloco com o formato de um círculo cohecido como somador como mostrado a figura 54 Se y(t) e x(t) forem siais combiados um somador etão a saída apresetada pelo somador será y(t) x(t) ou etão y(t) x(t) A adição ou subtração é idicada ao lado do somador como mostra as figuras 54(a) e 54(b) ou etão detro do somador como idica 54(c) y(t) (a) y(t) x(t) y(t) y(t) x(t) (b) Fig 54 Bloco somador: adição (a) subtração (b) e outra forma de represetação gráfica (c) A iversão do sial de uma ligação pode ser coseguida iserido-se um bloco de gaho uitário e egativo ou seja um bloco cuja fução de trasferêcia é igual a como mostrado a figura 55 x(t) (c)

83 Aálise e Cotrole de Sistemas S 83 u(t) u(t) Fig 55 Iversão de um sial É bastate comum que sistemas exibam uma realimetação do sial formado assim uma malha fechada ou um loop Nem sempre tais malhas resultam da realimetação de siais de cotrole mas podem ser resultado da composição de equações elemetares como será mostrado adiate em algus exemplos Cosiderado a malha fechada mostrada a figura 56(a) tem-se as relações do somador e do bloco que itegram a malha: E( s) = R( s) Y ( s) Y ( s) = G( s) E( s) Elimiado agora o sial E(s) (itero à malha) das equações dos blocos chega-se a Y ( s) = G( s) R( s) G( s) Y ( s) que pode ser resolvida para Y(s) resultado G( s) Y ( s) = R( s) G ( s ) r(t) (a) e(t) G(s) y(t) r(t) (b) G( s) G( s) Fig 56 Realimetação um diagrama de blocos (a) e bloco equivalete (b) Nota-se que este resultado idica que a malha fechada pode ser substituída por um bloco equivalete cuja fução de trasferêcia é dada por: Y ( s) G = R( s) G como idicado a figura 56(b) Se o somador idicasse uma soma etre y(t) e r(t) ao cotrário da subtração etão a fução de trasferêcia seria alterada para Y ( s) G = R( s) G É bastate comum que a saída y(t) teha que ser trasformada ates de ser adicioada ou subtraída da referêcia r(t) Em geral esta trasformação é uma simples mudaça de escala ou seja trata-se de um bloco com um gaho costate Pode acotecer porém que este bloco de realimetação possua uma fução de trasferêcia mais complexa como idica a figura 57 Um procedimeto similar àquele realizado ateriormete permite obter a fução de trasferêcia da malha fechada este caso resultado: y(t)

84 84 Aálise e Cotrole de Sistemas S Y ( s) G = R( s) ± G H ode a adição é utilizada caso o somador apresete uma difereça etre r(t) e y(t) e a subtração é adotada caso cotrário r(t) (a) e(t) G(s) H(s) y(t) r(t) (b) G G H Fig 57 Diagrama com uma fução de trasferêcia a malha de realimetação (a) e bloco equivalete (b) 5 Maipulação de diagrama de blocos Diagramas de blocos podem ser sempre simplificados e reduzidos a um úico bloco desde que se coheça qual é a etrada e qual é a saída do diagrama O processo de redução é realizado aplicado-se as defiições das operações realizadas pelos blocos de maeira semelhate àquela realizada a seção 5 Algumas cofigurações são cotudo bastate típicas (ocorrem com freqüêcia um grade úmero de diagramas) e isto tora mais eficiete mater uma tabela das simplificações e equivalêcias do que obter esta equivalêcia a cada ovo problema Relacioam-se a Tabela 5 portato as situações mais comus e suas respectivas equivalêcias Tabela 5 Equivalêcias etre diagramas de blocos y(t) u y u y ± u ± u 3 ± u 3 ± u u G(s) y y u G(s) y y 3 u ± u G(s) y u u G(s) G(s) ± y 4 u u G(s) ± y u u G( s) ± G(s) y

85 Aálise e Cotrole de Sistemas S 85 5 u G(s) y y u G(s) G(s) y y 6 u G(s) y y u G(s) G( s) y y u y u 7 G G G G y 8 u G y u ± G ± G G y 9 u ± G H y u G G H y Além de sitetizar a diâmica e facilitar o projeto de sistemas de cotrole os diagramas de blocos podem também ser utilizados a obteção da fução de trasferêcia de platas razoavelmete complexas Para obter a fução de trasferêcia de um sistema por meio de diagramas de blocos basta seguir algumas regras simples: defiir as variáveis ecessárias para escrever as equações de cada elemeto da plata com base em regras de cotiuidade e equilíbrio de forças costruir blocos com as equações fucioais de cada elemeto costruir blocos adicioais para cada codição de cotiuidade e equilíbrio garatir que a etrada de pelo meos um bloco seja a própria etrada do sistema garatir que um bloco apresete como saída a própria saída da plata costruir o diagrama de blocos fazedo ligações etre eles simplificar o diagrama para obter a fução de trasferêcia Exemplo 5 Obter a fução de trasferêcia do filtro elétrico mostrado a figura 30 por meio de simplificação de diagrama de bloco Solução: A primeira regra recomeda que se defiam as tesões os termiais de R : u é a tesão o termial comum etre R e C e u é a tesão o termial comum de R e C Admite-se também a correte i através de R As equações elemetares os capacitores ficam etão:

86 86 Aálise e Cotrole de Sistemas S U = ( I I ) i Cs U = ( I I o) Cs equato que os resistores são: U U = R I U = R I o Nota-se que a cotiuidade da correte as juções já foi cosiderada as equações acima elimiado a ecessidade de blocos específicos para isso Como a correte I i (s) só aparece a equação do capacitor C etão o bloco de etrada deve ser a forma idicada a figura 58 (a) O bloco de saída será dado pela equação da resistêcia R coforme visto a figura 58 (b) Com base estes dois blocos percebe-se que os dois blocos adicioais deverão apresetar como saída a correte i (etrada para o bloco de C ) e u (etrada de R ) O primeiro deles será o bloco referete ao resistor R equato que o segudo será o bloco do capacitor C mostrados a figura 58 (c) e (d) O diagrama de blocos pode agora ser costruído partido-se do bloco de etrada (a) e acrescetado-se os demais de tal forma que a saída de um bloco é a etrada do seguite e assim por diate até o bloco de saída A seqüêcia dos blocos é etão C -R -C -R mostrados a figura 59 A figura 50 mostra as simplificações realizadas este diagrama até a obteção da fução de trasferêcia que vale Io ( s) G( s) = = I ( s) R R C C s ( R C R C R C ) s i i i (a) i C s u u (b) R i o u (c) u R i i (d) i o C s Fig 58 Blocos das equações elemetares relativos ao exemplo 5 u i i C s u u R i Cs u R i o i Fig 59 Diagrama de blocos do exemplo 5 i o

87 Aálise e Cotrole de Sistemas S 87 i i (a) i C s u R RCs i Cs u i o R i o i i (b) R C s RCs R C s i o i i (c) R R C C s ( R C R C ) s RCs i o i i (d) R R C C s ( R C R C R C ) s Fig 50 Simplificações sucessivas do diagrama de blocos do exemplo 5 i o Exemplo 5 Obter a fução de trasferêcia do sistema hidráulico mostrado a figura 5 por meio de simplificação de diagrama de blocos A etrada é a vazão q e (t) e a saída é a vazão q s (t) Solução: Nota-se que a vazão de etrada a iertâcia é igual à vazão de saída q e (t) Admitido as pressões a capacitâcia e etrada da iertâcia dada por p e a saída da iertâcia e etrada da resistêcia dada por p etão as equações dos elemetos do sistema hidráulico são para a capacitâcia iertâcia e resistêcia respectivamete: Q Q = Cs P e s P P = I s Q P s = R Q s Os blocos resultates das equações elemetares são mostrados a figura 5 equato que o bloco do sistema e sua simplificação são mostrados a figura 53 A fução de trasferêcia do sistema resulta: Q G( s) = = s Qe ICs RCs

88 88 Aálise e Cotrole de Sistemas S C R I p p q e (t) q s (t) Fig 5 Sistema hidráulico do exemplo 5 q e q s Cs p p p Fig 5 Blocos das equações elemetares relativos ao exemplo 5 I s q s q s R p q e (a) q s Cs p p R I s q s q e (b) q s Cs I s R q s q e (c) IC s RC s Fig 53 Simplificações do diagrama de blocos do exemplo 5 q s

89 Aálise e Cotrole de Sistemas S 89 Exercícios ) Cosiderar o sistema mecâico composto por uma massa uma mola e um amortecedor como mostrado a figura 5a Dispõe-se de um atuador que desloca a extremidade da mola e do amortecedor de uma quatidade u(t) (etrada) causado um deslocameto a massa de y(t) (saída) Obter a fução de trasferêcia do sistema por meio de simplificação de diagrama de blocos u(t) k b m y(t) Y ( s) bs k R: G( s) = = U ( s) ms bs k Fig 5a Sistema mecâico do exercício ) Resolver o sistema mostrado a figura 5b (exemplo 35) por meio de diagrama de blocos A etrada deste sistema é a tesão e i (t) e a saída é a tesão e o (t) R e i C R e o (a) C Fig 5b Circuito elétrico referete ao exercício R: Eo ( s) R R C C s ( R C R C ) s G( s) = = E ( s) R R C C s ( R C R C R C ) s i 3) Simplificar os diagramas de blocos mostrados a figura 5c

90 90 Aálise e Cotrole de Sistemas S r (a) k p k m k s( tms ) k3s y r s( s ) y (b) s s s G 5 r G G G 3 G 4 y G 6 (c) G 7 R: Fig 5c Diagramas de blocos do exercício 3 Y ( s) k k k m R s t s k k k m s k k k m a) G( s) = = ( ) m ( 3 ) Y ( s) s R( s) s 4s 5s b) G( s) = = 3 Y ( s) G G G G G( s) = = R( s) G G G G G G G G G G G c) ) Resolver o sistema mostrado a figura 5d por meio de diagrama de blocos A etrada deste sistema é a força f(t) e a saída é o deslocameto x(t) x(t) f(t) k m b 3 m b b Fig 5d Sistema mecâico do exercício 4

91 Aálise e Cotrole de Sistemas S 9 R: bs k G( s) = s m m s m b m b m b s m m k b b b s k b b 3 { ( 3 ) [( ) ( 3) ] ( 3) }

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93 Aálise e Cotrole de Sistemas S 93 6 Trasiete de resposta Cap 6 Aálise do trasiete de resposta Freqüetemete os sistemas diâmicos submetidos a ações sofrem bruscas alterações um curto itervalo de tempo e depois matêm-se costate por logos períodos O comportameto diâmico destes sistemas quado sujeito a tais ações pode ser visto sob duas perspectivas diferetes e complemetares: o comportameto um curto período logo após a aplicação da ação e o comportameto o logo período quado sua diâmica tora-se estável (ou ão depededo do sistema) ou repetitiva O comportameto de curto período é cohecido como resposta trasitória trasiete de resposta ou simplesmete trasiete O comportameto após o estabelecimeto de codições perees é cohecido resposta em regime permaete Sistemas diâmicos lieares exibem comportametos distitos para diferetes fuções de excitação ou referêcia de etrada O regime permaete pode ser oscilatório ou estático equato que o trasiete pode ser amortecido ou ão É coveiete portato defiir o coceito de erro de regime permaete ou e rp como sedo a difereça etre a referêcia r(t) e a resposta do sistema c(t) quado o tempo tede a ifiito: [ ] e = lim r( t) c( t) rp t Este erro reflete a capacidade do sistema seguir aturalmete a excitação dada ou dela se desviar o regime permaete O erro apresetado pelo sistema pode ser obtido por meio da trasformada de Laplace ou seja: [ ] E( s) = R( s) C( s) = R( s) G( s) ou aida por diagrama de blocos como mostrado a figura 6 r(t) G(s) c(t) e(t) Fig 6 Diagrama de blocos do erro do sistema com relação à etrada O teorema do valor fial (propriedade h da Seção ) permite cocluir que o erro em regime permaete pode ser igualmete obtido a partir de: s 0 s 0 [ ] e = lim se( s) = lim s R( s) C( s) rp Até agora foi visto o comportameto diâmico dos sistemas com base a sua fução de trasferêcia Não foi aalisado porém o efeito da fução de excitação (etrada termo forçate ou referêcia) este comportameto Muito embora este termo possa assumir qualquer valor o comportameto diâmico de um sistema pode ser caracterizado razoavelmete bem ser for assumido que esta etrada possa ser escolhida detro de um pequeo úmero de fuções previamete defiidas Uma vez que sistemas diâmicos são comumete submetidos a fuções descotíuas é coveiete portato aalisar a resposta

94 94 Aálise e Cotrole de Sistemas S com base as fuções já cohecidas como a fução degrau uitário impulso uitário e rampa Estas fuções ademais possuem trasformadas de Laplace cohecidas e simples Cosiderado aida a aalogia que existe etre os sistemas mecâicos elétricos e hidráulicos (e também térmicos) pode-se restrigir a aálise realizada aqui apeas a um deles uma vez que os sistemas aálogos o comportameto diâmico é idêtico Melhor aida a aálise da resposta pode ser feita tedo como base a fução de trasferêcia dos sistemas mais comus de primeira e seguda ordes ou seja os quais o grau do poliômio do deomiador é igual a ou sem se preocupar se o sistema é mecâico ou elétrico Sistemas de grau maior do que possuem comportameto diâmico que se aproxima a maior parte deles aos sistemas de seguda ordem e portato ão ecessitam ser aalisados 6 Sistemas de primeira ordem Sistemas de primeira ordem possuem fução de trasferêcia a forma C( s) G( s) = = R( s) T s ode C(s) é a trasformada de Laplace da saída e R(s) é a trasformada da etrada (referêcia) T é uma costate cohecida como costate de tempo Será aalisado agora o comportameto diâmico desta fução em 3 situações distitas para o sial de etrada R(s): degrau uitário impulso uitário e rampa 6 Resposta do sistema de primeira ordem ao degrau uitário Se o termo forçate ou a etrada do sistema for um degrau uitário r(t) = (t) a resposta do sistema C du (s) fica: Cdu ( s) = s T s ( ) pois a trasformada do degrau uitário é /s Decompodo C du (s) em frações parciais tem-se Cdu ( s) = s s / T cuja trasformada iversa de Laplace vale cdu t T ( t) = e e cujo gráfico é mostrado a figura 6 A resposta parte de c du (0) = 0 e aproxima-se do valor uitário (relativo ao degrau) coforme avaça o tempo Cotudo a resposta jamais atige ou ultrapassa o valor Ela atige 63% de seu valor máximo quado t = T pois c du (T) = e 063 Este é o motivo pelo qual T é cohecido como costate de tempo do sistema O sistema respode mais rapidamete quato meor for o valor de T uma vez que a velocidade de resposta a origem dada pela derivada de c du (t) vale

95 Aálise e Cotrole de Sistemas S 95 dc ( ) du t = dt T t= 0 Quado t = 4T o erro de resposta (isto é a difereça etre a etrada e a resposta do sistema) é meor que % Admite-se para fis práticos que se a resposta ficar cofiada detro de um erro de % o sistema atigiu o regime permaete Ao cotrário se o sistema aida ão estabilizou o suficiete etão ele ecotra-se o regime trasitório ou trasiete Não faz setido defiir o regime permaete com base em um erro ulo uma vez que teoricamete o sistema leva um tempo ifiito para atigir o valor uitário 865% 95% 98% t T T 3T 4T Fig 6 Resposta de um sistema de primeira ordem ao degrau uitário 6 Resposta do sistema de primeira ordem ao impulso uitário Se a fução forçate ou a etrada do sistema for um impulso uitário r(t) = δ(t) etão a resposta será dada por Ciu ( s) = T s cuja trasforma iversa de Laplace é ciu t T ( t) = e T Nota-se que a fução de etrada é ula para t > 0 e portato a resposta do sistema tede para zero quado t tede para ifiito coforme visualizado a figura 6 63 Resposta do sistema de primeira ordem à rampa No caso da etrada ser do tipo fução rampa ou r(t) = t a resposta do sistema C r (s) é dada a trasformada de Laplace por Cr ( s) = s ( T s ) que resulta quado expadido em frações parciais:

96 96 Aálise e Cotrole de Sistemas S T C ( s) = r s s T s T / Fig 6 Resposta de um sistema de primeira ordem ao impulso uitário A resposta o domíio do tempo fica T c ( t) = t T T e r t cujo comportameto é visto a figura 63 Esta resposta cotudo difere das ateriores pois o sistema ão cosegue atigir a referêcia quato t tede ifiito De fato a resposta exibe um erro de regime permaete igual à costate de tempo T r t ( ) t Fig 63 Resposta de um sistema de primeira ordem à rampa Nota-se que a resposta do sistema de primeira ordem à etrada rampa possui o seguite erro de regime permaete: ou aida t T erp = limt e = T t T erp = lim s lim T s 0 = = s s ( Ts ) s 0 Ts

97 Aálise e Cotrole de Sistemas S 97 Há uma importate coclusão a respeito da resposta de sistemas lieares às fuções mostradas aqui (degrau uitário impulso uitário e rampa) De fato percebe-se que a resposta do sistema ao impulso uitário é igual à derivada da resposta ao degrau e a resposta deste é igual à derivada da resposta à rampa ou seja: d d ciu ( t) = cdu ( t) = c ( ) r t dt dt Esta coclusão é válida qualquer que seja o sistema e ão apeas para sistemas de primeira ordem Este resultado permite obter a resposta ao degrau uitário e ao impulso uitário a partir da resposta à rampa 63 Sistemas de seguda ordem Sistemas de seguda ordem possuem o deomiador um poliômio do segudo grau a variável complexa s a forma C( s) G( s) = = ( ) K R s Js Bs K Nota-se que esta fução é bastate semelhate a um sistema mecâico massa-molaamortecedor ou um sistema elétrico idutor-capacitor-resistor com J represetado a massa a iércia a idutâcia ou a iertâcia; B pode ser o amortecedor resistor ou resistêcia fluida; K é a costate de mola capacitor ou capacitâcia fluida Dividido o umerador e o deomiador por J e separado o poliômio as suas raízes tem-se G( s) K J = B B K B B K s s J J J J J J Faz-se agora uma trasformação de variáveis tal que K ω = J e B ζ = JK ode ω (lê-se ômega-ee) é cohecida como freqüêcia atural ão amortecida e ζ (lê-se zeta ver Apêdice A-) é a razão de amortecimeto Além disso Bc = JK é o amortecimeto crítico Substituido estes valores em G(s) tem-se G( s) = s ω ζω ω s

98 98 Aálise e Cotrole de Sistemas S ou em termos das raízes ω G( s) = s ω ( ζ ζ ) s ω ( ζ ζ ) Depededo dos valores de ω e ζ as raízes do poliômio (pólos da fução de trasferêcia) podem ser: duas raízes complexas se 0 < ζ < uma raiz de multiplicidade se ζ = ou duas raízes reais se ζ > Uma vez que a resposta do sistema à excitação degrau uitário rampa ou impulso uitário estão relacioadas etre si como visto a seção aterior será aalisada a resposta do sistema de seguda ordem apeas com relação ao degrau uitário A trasformada de Laplace da resposta do sistema ao degrau uitário é dada por C( s) = s s ω ζω ω ( s ) Esta fução será decomposta em frações parciais mas uma vez que a tabela de trasformadas iversas já apreseta as soluções para fuções de seguda ordem a separação em frações será feita a forma: C( s) a a s a s s ζω s ω = 3 Nota-se que o umerador é um poliômio do primeiro grau e ão apeas um termo costate Isto é ecessário uma vez que o grau do poliômio do deomiador deve ser uma uidade meor do que o grau do deomiador A igualdade das fuções permite obter os coeficietes que resultam a = a = e a 3 = ζω e portato s ζω C( s) = s s ζω s ω Serão aalisadas agora as diferetes alterativas para o valor de ζ 63 Resposta do sistema de seguda ordem para 0 < ζ < Neste caso a resposta do sistema apreseta dois pólos complexos cojugados e é cohecida como movimeto oscilatório sub-amortecido Os pólos são dados respectivamete por s = ζ ω ω ζ e

99 Aálise e Cotrole de Sistemas S 99 s = ζ ω ω ζ Nota-se que a raiz é egativa pois ζ é meor do que a uidade Fazedo etão ω d ser a freqüêcia atural amortecida defiida por ω d = ω ζ etão as raízes ficam s = ζ ω ωd j s = ζ ω ω j d Esta alteração permite escrever a resposta do sistema a forma s ζω C( s) = s ( s ζω ) ω d pois ( s ζω ) ω = s ζω s ζ ω ω ( ζ ) = s ζω s ω d Separado agora o umerador em dois termos a forma s ζω = s ζω ζω a resposta fica s ζω ζω C( s) = s ( s ζω ) ω ( s ζω ) ω d d Pode-se agora efetuar a trasformada iversa de Laplace usado a tabela de trasformadas A resposta do sistema o domíio do tempo resulta ζωt ζω ζωt c( t) = e cos ωdt e se ωdt ω d mas como ω = ω d ζ etão a resposta fica c( t) e ζ = ζω t cos ω dt se ω dt ζ A expressão acima pode igualmete ser posta a forma ( d d ) ζω e t c( t) = ζ cos ω t ζ se ω t ζ

100 00 Aálise e Cotrole de Sistemas S Uma vez que por hipótese 0 < ζ < etão é válido cosiderar que existe um âgulo φ tal que cosφ = ζ e este caso a resposta do sistema tem-se ζω e t c( t) = se φcos ω cos se dt φ ωdt ζ se φ = cos φ = ζ Substituido estas expressões ( ) Lembrado fialmete que se(αβ) = seα cosβ cosα seβ tem-se ζω e t c( t) = se( ω ) dt φ ζ ode a relação ta φ = ζ ζ permite obter o âgulo φ A resposta também pode ser escrita como e c( t) = se ω t arcta ζ ζω t d ζ ζ válida para t 0 ou seja trata-se de uma resposta oscilatória com amplitude amortecida O período da oscilação é π/ω d e o amortecimeto é tato maior quato maior for a freqüêcia atural ão amortecida ω e a costate de amortecimeto ζ O erro da resposta com relação à etrada fica etão dado por e e( t) = r( t) c( t) = se ω t arcta ζ ζω t d ζ ζ e o erro de regime permaete é ulo pois quado o tempo t tede a ifiito o erro tede a se aular: e rp = lim e( t) = 0 t Se porém a costate de amortecimeto for ula isto é se ζ = 0 etão a resposta já ão é amortecida matedo todavia a oscilação com período π/ω Logo para ζ = 0 a resposta vale c( t) = cos ω t Com base a resposta amortecida e ão amortecida fica mais fácil eteder a razão dos omes de ω e ω d Nota-se que a freqüêcia atural amortecida ω d é sempre maior do que a

101 Aálise e Cotrole de Sistemas S 0 freqüêcia atural ão amortecida ω Cotudo coforme a costate de amortecimeto aproxima-se de a resposta tora-se ão oscilatória e mais amortecida como visto a seguir 63 Resposta do sistema de seguda ordem para ζ = Quado ζ = o sistema tora-se criticamete amortecido ou de amortecimeto crítico Substituido este valor da costate de amortecimeto a fução de trasferêcia resulta que ω G( s) = ( s ω ) cuja resposta ao degrau uitário o domíio da variável complexa é: ω C( s) = s s ( ω ) Decompodo a expressão acima em frações parciais tem-se ω C( s) = s s ω s ω ( ) Recorredo à tabela de trasformada de Laplace (a e g) pode-se efetuar agora a trasformada iversa ω ( ) e t ω e t ω c t = ω t = e t ( ω t) que apreseta um erro de regime permaete dado por [ ] ω e = lim r( t) c( t) = lime t ( ω t) = 0 rp t t ou seja o erro em regime permaete é ulo Deve-se otar também a ausêcia de oscilação a resposta do sistema que é puramete uma expoecial assitótica (amortecida) 633 Resposta do sistema de seguda ordem para ζ > Quado a costate de amortecimeto é maior do que tem-se um sistema sobreamortecido ou superamortecido A fução de trasferêcia apreseta agora dois pólos reais e distitos s e s dados por ( ) s = ω ζ ζ e ( ) s = ω ζ ζ A resposta do sistema à ação degrau uitário fica dada por

102 0 Aálise e Cotrole de Sistemas S C( s) = s s ω ( ζ ω ω ζ )( s ζ ω ω ζ ) Separado em frações parciais e aplicado a trasformada iversa a resposta o tempo fica ( ) e c( t) = ( ) ( ) t ζ ζ ω ζ ζ ω ( ) ζ ζ ζ ζ ζ ζ e composta por duas expoeciais com decaimetos diferetes uma vez que os expoetes são distitos Esta expressão pode ser escrita a forma mais compacta t st st ( ) = s s c t ω e e ζ Percebe-se igualmete que o erro em regime permaete é ulo pois se trata de uma soma de duas expoeciais decrescetes uma vez que tato s quato s são positivos: st st ω e e erp = lim [ r( t) c( t) ] = lim = 0 t s s t ζ A figura 64 ilustra o comportameto de um sistema de seguda ordem em fução da costate de amortecimeto ζ e do âgulo ω t para excitação a forma de um degrau uitário Pode ser mostrado que se a costate de amortecimeto estiver limitada etre os extremos / < ζ < (movimeto oscilatório sub-amortecido) etão a resposta apresetará um úico pico isto é ela ultrapassa o valor apeas uma vez e depois aproxima-se de sem etretato cair abaixo deste valor (ver a curva referete a ζ = 075 a figura 64) Nota-se também que todas as curvas apresetam erro de regime permaete ulo (tedem para ) exceto a resposta para uma costate de amortecimeto ula que é oscilatória ζ = ζ = Fig 64 Resposta de um sistema de seguda ordem ao degrau uitário para diferetes valores da costate de amortecimeto ζ 64 Aálise de desempeho com base a resposta trasiete

103 Aálise e Cotrole de Sistemas S 03 Em geral a aálise do desempeho ou das características de um sistema é realizada com base a resposta deste sistema a uma excitação qualquer Como o degrau uitário permite difereciar bem o comportameto diâmico dos diversos sistemas ele é ormalmete escolhido como a excitação de referêcia embora o impulso uitário possa igualmete desempehar este papel Como visto a resposta de um sistema de ordem maior ou igual a ão atige a referêcia imediatamete mas apreseta um trasiete amortecido até atigir o regime estacioário (ou permaete) O comportameto do sistema o trasitório depede é claro das codições iiciais Cotudo para simplificar a aálise é comum adotar-se codições iiciais ulas Assim a resposta destes sistemas possui o comportameto típico mostrado a figura 65 com uma ou outra alteração Com base este comportameto pode-se defiir algumas variáveis com base a resposta ao degrau uitário As mais importates são: tempo de atraso de resposta t d tempo de subida t r istate de pico ou de máxima resposta t p máximo sobre-sial M p tempo de assetameto t s 0 M p t d t r t p Fig 65 Caracterização da resposta de um sistema diâmico O tempo de atraso de resposta t d é o itervalo o qual o sistema atige pela primeira vez 50% do seu valor fial (estacioário) O tempo de subida t r é o tempo que o sistema leva para passar de 0 a 00% do seu valor fial ou etão de 5% a 95% ou aida de 0% a 90% Na figura 6 o tempo de subida está represetado o itervalo 0 a 00% O tempo de pico ou istate de pico ou istate de máxima resposta t p é o itervalo de tempo ecessário até que o sistema atija seu primeiro sobre-sial (ou overshoot) O sobre-sial máximo M p é a difereça etre a resposta o istate de pico e o valor da resposta em regime permaete Pode ser mostrado que o sobre-sial máximo relacioa-se com a estabilidade do sistema O tempo de assetameto t s é o itervalo que o sistema leva até que a resposta caia detro de uma faixa de valores cetrada o valor fial do regime permaete Esta faixa é geralmete escolhida etre % a 5% depededo dos objetivos do projeto O tempo de assetameto é maior do que todos os outros itervalos defiidos aqui Admite-se para fis práticos que após o tempo de assetameto o sistema teha atigido o regime permaete Em sistemas sobre-amortecidos o istate de pico e o sobre-sial máximo ão são defiidos t s Exemplo 6 Classificar o sistema dado pela fução de trasferêcia abaixo quato à forma de amortecimeto para uma excitação degrau Apresetar um gráfico em fução do tempo

104 04 Aálise e Cotrole de Sistemas S C( s) s 5 G( s) = = R s s s ( ) Solução: Os pólos da fução de trasferêcia são dados por ± 4 8 s = = ± j ou seja tem-se dois pólos complexos cojugados e o sistema é portato oscilatório subamortecido Se R(s) for uma excitação degrau etão a resposta do sistema fica: s 6 C( s) = s s s que pode ser decomposta em frações parciais resultado 3 3s 5 C( s) = s s s Pode-se agora obter a freqüêcia atural ão amortecida e a costate de amortecimeto dados respectivamete por: ω = ζ = / Por sua vez a freqüêcia atural amortecida vale ω = ω ζ = d e a resposta posta em fução desta freqüêcia resulta 3 3s 5 3 s / 3 C( s) = = 3 3 s ( s ) s ( s ) ( s ) Recorredo agora à tabela de trasformadas de Laplace a resposta em fução do tempo fica ( ) 3 3e t t c t = cost e se t cujo gráfico é apresetado a figura 66 O valor fial é igual à resposta em regime permaete ou seja:

105 Aálise e Cotrole de Sistemas S 05 t t c = lim(3 3e cost e se t) = 3 rp t O tempo de resposta é etão calculado por: c( t ) = 3 3exp( t )cost exp( t )se( t ) d d d d d que por defiição deve ser igual a 50% do valor fial ou seja 5 Cotudo a fução c(t) ão admite iversa e assim o valor do tempo de resposta pode ser somete obtido por meios gráficos ou etão por métodos uméricos de busca de raízes resultado t d = s De forma aáloga calcula-se o tempo de subida de 0 a 00% do valor fial t s = 587 s o istate de pico t p = 944 s (calculado por meio da raiz da derivada) e o sobre-sial máximo M p = c(t p ) = = 034 Fialmete o tempo de assetameto para % é t s = 4045 s Para o cálculo deste último é ecessário costruir um algoritmo que verifique o istate em que a resposta fica totalmete cofiada o itervalo etre 94 e Resposta c(t) Tempo t (s) Fig 66 Resposta o domíio do tempo do exemplo 6

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107 Aálise e Cotrole de Sistemas S 07 Cap 7 Cotrole clássico de sistemas 7 Defiições Um cotrolador de um sistema é um dispositivo eletrôico peumático hidráulico ou mecâico que compara a situação atual da plata (o estado da plata dado pela sua posição velocidade tesão etc) que se quer cotrolar determia a seguir o desvio ou erro com relação a uma referêcia forecida e produz um sial de cotrole o atuador que por sua vez leva o sistema a reduzir ou aular este erro A figura 7 mostra um esquema simplificado de um cotrolador Num sistema cotrolado pode haver um cojuto de atuadores que trasformam o sial do cotrolador uma ação exercida a plata e um cojuto de sesores que medem o estado da plata e codicioam esta medida para o cotrolador Percebe-se a figura 7 que o cotrolador defie uma malha fechada isto é ele avalia a atuação para modificar o estado da plata a partir do estado dela Embora os cotroladores em malha fechada sejam mais comus existem casos de cotroladores em malha aberta que ão ecessitam cohecer o estado da plata referêcia cotrole automático Cotrolador Atuador Plata Sesor Fig 7 Esquema simplificado do cotrole de uma plata A teoria evolvedo a forma como o cotrolador trasforma o erro (ou etão as iformações do estado e da referêcia um sial de cotrole é bastate vasta e são iúmeros os tipos de cotroladores diferetes (H robusto ão liear adaptativo escaloado fuzzy ou lógica ebulosa eural etc) Porém os pricipais tipos de cotrole utilizados a idústria e que se adaptam facilmete a sistemas lieares são: a) Cotroladores o-off de duas posições ou bag-bag b) Cotroladores proporcioais (P) c) Cotroladores itegrais (I) d) Cotroladores proporcioais-itegrais (PI) e) Cotroladores proporcioais-derivativos (PD) f) Cotroladores proporcioais-itegrais-derivativos (PID) A fução do atuador é trasformar o sial do cotrolador de baixa potêcia um sial ou força de alta potêcia suficiete para modificar o estado da plata Os sesores ou elemetos de medida trasformam a saída da plata (estado) que pode ser posição pressão voltagem etc em outro tipo de sial que seja compatível com a forma utilizada pelo cotrole Em geral os sistemas de cotrole ecessitam de um suprimeto extero de eergia para poderem operar Nos cotrole auto-operados ão há essa ecessidade 7 Cotroladores auto-operados Nos cotroladores auto-operados a eergia ecessária para a operação é retirada do próprio elemeto cotrolado Nem sempre é possível se projetar um cotrolador auto-operado para um sistema qualquer Um exemplo deste tipo de cotrolador é um regulador de pressão

108 08 Aálise e Cotrole de Sistemas S mostrado a figura 7 Neste tipo de regulador uma válvula acioada por um diafragma ajusta a pressão de saída com base a pressão de referêcia e o ajuste de operação Quado a pressão a saída cai abaixo do valor de operação o diafragma desce forçado a abertura da válvula Quado a pressão de saída aumeta a válvula é obrigada a fechar Este tipo de regulador é ecotrado em máquias peumáticas e hidráulicas em sistemas de cotrole de pressão da água em edifícios e os scubas (taques de mergulho) e também os reguladores de botijões de gás GLP (gás liquefeito de petróleo) domésticos ajuste de operação diafragma referêcia etrada saída 73 Cotrole o-off Fig 7 Um regulador automático de pressão auto-operado Num sistema de cotrole liga-desliga o elemeto de atuação pode assumir apeas dois estados ou duas posições; em geral ligado e desligado Uma variação do cotrole liga-desliga é o cotrole bag-bag o qual há uma terceira possibilidade: ligado desligado ou ivertido Nos cotroladores liga-desliga a atuação é obtida em fução do sial do erro por exemplo: u( t) = u = cost para e( t ) > 0 u( t) = u = cost para e( t) 0 cujo gráfico é mostrado a figura 73 (a) ou aida u( t) = U = cost para e( t ) > 0 u( t ) = 0 para e( t ) = 0 u( t) = U para e( t ) < 0 a u u(t) b u u(t) u e(t) e(t) ε ε Fig 73 Cotrole liga-desliga (a) e liga-desliga com zoa morta (b) Exemplos destes cotroladores são válvulas peumáticas operadas por soleóides elétricos válvulas hidráulicas chaves elétricas etc Cosidere por exemplo um sistema de cotrole de ível como idicado a figura 74 Quado o ível do taque é baixo a bóia provoca o fechameto do iterruptor elétrico causado a abertura da válvula operada pelo soleóide e liberado assim a etrada de líquido Se o forecimeto de água (vazão de u

109 Aálise e Cotrole de Sistemas S 09 etrada) for maior do que a retirada (vazão de saída) etão a altura de líquido o taque irá subir Quado for atigido o ível de operação a bóia sobe e abre a chave o que fecha o forecimeto de água Um problema bastate comum em cotroladores do tipo liga-desliga é o rápido chaveameto que ocorre quado o erro está próximo de zero ou seja quado o sistema está operado perto do poto de operação Nesta situação pequeos deslocametos fazem com que o atuador (válvula) ligue e desligue em itervalos curtos de tempo o que provoca um desgaste rápido do atuador Para evitar este chaveameto rápido itroduz-se uma zoa morta ou uma lacua diferecial o poto de operação fazedo com que o cotrole fique desligado sempre que o estado estiver próximo (e ão apeas igual) do poto de operação O cotrole passa a ser dado etão por: u( t) u( t) = u para e( t ) > ε = u para ( ) e t < ε ode ε e ε são costates escolhidas com base a freqüêcia desejada de chaveameto Em geral ε é positivo ε é egativo Nota-se que o cotrole ão é defiido a região itera etre os valores de ε e ε Na verdade detro da zoa morta o cotrole matém-se com o mesmo estado que estava ateriormete e portato ele pode tato estar o ível de u quato de u Como idica a figura 73 (b) detro da zoa morta o cotrole descreve a trajetória idicada pelas setas o que lembra uma curva de histerese magética As represetações em diagrama de blocos de cotroladores liga-desliga sem e com zoa morta são mostradas a figura 75 (a) e (b) respectivamete chave V válvula bóia Fig 74 Cotrole de ível um taque do tipo liga-desliga r e u u (a) u r (b) e u u u Fig 75 Diagrama de blocos de um cotrolador do tipo liga-desliga (a) e liga-desliga com zoa morta (b) Num sistema com cotrolador liga-desliga com zoa morta a resposta fica oscilado etre os valores míimo e máximo da zoa morta e etre os extremos o sistema segue a sua própria diâmica uma vez que ão há atuação detro da zoa morta A figura 76 mostra o comportameto típico de um sistema sujeito a um cotrole liga-desliga com zoa morta No exemplo do cotrolador de ível se h o for a altura a ser cotrolada o cotrole com zoa morta seria a forma: ligar se h < h o ε e desligar se h > h o ε Nota-se também que devido ao fato do cotrole liga-desliga ser ão liear ão há como obter uma solução fechada do problema ou seja ão existe uma fução f(t) que descreva o comportameto do sistema o

110 0 Aálise e Cotrole de Sistemas S tempo já que ele é descotíuo Por isso recorre-se freqüetemete a simulações uméricas para aalisar este tipo de cotrole h o ε h o ε Fig 76 Comportameto diâmico de um sistema com cotrolador liga-desliga com zoamorta 74 Cotroladores proporcioais (P) Num cotrolador com ação proporcioal de cotrole a atuação é proporcioal ao sial do erro e(t) ou seja quato maior o erro maior será a atuação Se o sial do cotrole for represetado por u(t) etão um cotrole proporcioal tem-se: u( t) = K e( t) p ou aplicado a trasformada de Laplace: U ( s) = K E( s) p ode K p é uma costate cohecida como gaho proporcioal A figura 77 represeta o diagrama de bloco de um cotrolador proporcioal Um sistema cotrolado por um cotrolador proporcioal e cuja fução de trasferêcia é dada por G(s) possui um diagrama de blocos semelhate ao mostrado a figura 78 A fução resultate do sistema cotrolado fica etão C( s) K p G( s) = R( s) K G( s) p t r(t) c(t) e(t) K p u(t) Fig 77 Diagrama de blocos de um cotrole proporcioal r(t) e(t) K p u(t) G(s) Fig 78 Diagrama de blocos de um sistema com cotrole proporcioal Ates de aalisar os demais tipos de cotroladores é coveiete ivestigar o comportameto dos sistemas sujeitos ao cotrole proporcioal No capítulo 6 foram vistos os c(t)

111 Aálise e Cotrole de Sistemas S comportametos de sistemas diâmicos com base as fuções de trasferêcia Uma vez que um sistema cotrolado possui também uma fução de trasferêcia a aálise realizada ateriormete pode ser aplicada aqui Esta aálise é apresetada os exemplos a seguir para o cotrole proporcioal Exemplo 7 Cosidere uma massa deslizado sobre uma superfície com coeficiete de atrito b como idicado a figura 79 Dispõe-se de um atuador capaz de aplicar uma força variável f(t) a massa m Deseja-se cotrolar a posição desta massa de forma a matê-la próximo da origem em x = 0 usado para isso um cotrolador proporcioal agido a força f Qual é o erro em regime permaete da plata cosiderado-se um sial de referêcia do tipo degrau uitário? Solução: O equilíbrio de forças agido sobre a massa impõe que mɺɺ x = f ( t) b xɺ e assim a fução de trasferêcia do sistema mecâico composta pela massa m e pelo atrito (amortecedor) b fica: X ( s) = F( s) m s b s por: A fução de trasferêcia em malha fechada do cotrolador proporcioal é etão dada X ( s) = K p R( s) m s b s K p obtida a partir do diagrama de blocos do sistema mostrado a figura 70 Uma vez que o erro o posicioameto da massa é calculado por e(t) = r(t) x(t) etão efetuado-se a trasformada de Laplace do erro e dividido-se por R(s) chega-se a E ( s ) ( ) X s m s = = b s R( s) R( s) m s b s K p mas como a referêcia R(s) é um degrau uitário o erro fica m s b s E( s) = s m s b s K ( p ) de ode se segue que o erro em regime permaete é dado pelo teorema do valor fial ou seja e rp m s b s = lim s E( s) = lim = 0 s 0 s 0 m s b s K p

112 Aálise e Cotrole de Sistemas S ou seja o erro é ulo o regime permaete Isto sigifica que o cotrolador está efetivamete cotrolado a posição da massa desde que a referêcia seja do tipo degrau (uitário ou ão) Ifelizmete esta aálise ão é válida para outros tipos de sial de referêcia e cada caso deve ser aalisado separadamete Nota-se que este sistema é de seguda ordem com costate de amortecimeto ão ula e portato apreseta uma resposta com oscilação amortecida (ver seção 63) O amortecimeto pode ser sub-amortecido ou sobre-amortecido coforme ilustra a figura 7 depededo das costates físicas m b e do valor do gaho proporcioal K p f(t) m x(t) Fig 79 Sistema com deslocameto cotrolado pela força f(t) r(t) e(t) K p f(t) b m s bs Fig 70 Diagrama de blocos do cotrolador proporcioal do exemplo 7 e(t) sobreamortecido sub-amortecido x(t) Fig 7 Comportameto diâmico do sistema do exemplo 7 t Exemplo 7 Cosidera-se agora que a massa do exemplo aterior desliza sem atrito sobre a superfície Qual é o comportameto da massa em regime permaete com base a aálise dos pólos da fução de trasferêcia do sistema? Solução: Novamete parte-se da fução de trasferêcia da plata composta uicamete pela massa m já que a etrada é a força e a saída é o deslocameto x: X ( s) = F( s) m s que apreseta dois pólos reais e iguais a zero O diagrama de blocos deste sistema juto com o cotrolador é apresetado a figura 7 cuja fução de trasferêcia completa é:

113 Aálise e Cotrole de Sistemas S 3 X ( s) = K p R( s) m s K p Esta relação apreseta dois pólos complexos cojugados com parte real ula: s = K mj e s = K / mj Sabe-se este caso (ver seção 63 com costate de p / p amortecimeto ula) que a resposta do sistema é oscilatória (caso a posição iicial seja ão ula) e portato o sistema uca atige o equilíbrio e uca fica estacioado a origem como mostra a figura 73 Uma vez que se deseja mater a massa a origem etão este cotrolador ão é eficiete para cumprir este objetivo r(t) e(t) K p f(t) m s Fig 7 Diagrama de blocos do cotrolador proporcioal do exemplo 7 x(t) Fig 73 Comportameto diâmico do sistema do exemplo 7 Coclui-se com base os dois exemplos ateriores que o cotrole exclusivamete proporcioal é recomedável somete quado o sistema é amortecido aturalmete (possui costate de amortecimeto ão ula) Sistemas ão amortecidos irão oscilar idefiidamete sob a ação de um cotrole exclusivamete proporcioal Neste caso deve-se empregar o cotrole derivativo visto a seguir 75 Cotrolador proporcioal-derivativo (PD) A ação do cotrole derivativo é proporcioal à variação do erro isto é quato maior for a taxa de variação do erro ou a velocidade com que o erro varia maior será a ação derivativa O cotrole PD agrupa o cotrole proporcioal adicioado ao cotrole derivativo a forma: de( t) u( t) = K p e( t) Kd dt O gaho derivativo K d pode ser posto em fução do gaho proporcioal e do tempo derivativo T d = K d / K p A trasformada de Laplace do cotrolador PD é dada por U ( s) K p ( Td s) E( s ) =

114 4 Aálise e Cotrole de Sistemas S O diagrama de blocos mostrado a figura 74 represeta um cotrolador PD de uma plata com fução de trasferêcia dada por G(s) A fução de trasferêcia do sistema completo é C( s) K p ( Td s) G( s) = R( s) K ( T s) G( s) p d r(t) e(t) K p T d s u(t) G(s) c(t) Fig 74 Diagrama de blocos de um sistema com cotrole proporcioal-derivativo Exemplo 73 Aalisar o erro em regime permaete do sistema do exemplo 7 sem atrito com um cotrolador PD (proporcioal-derivativo) sujeito a um degrau uitário a etrada r(t) Solução: A figura 75 apreseta o diagrama de blocos deste exemplo cuja fução de trasferêcia em malha fechada é dada por: X ( s) = K ( T s) p d R( s) m s K ptd s K p ode K p é o gaho proporcioal e T d é o tempo derivativo O erro o posicioameto da massa pode ser ovamete calculado resultado E ( s ) ( ) = X s = m s R s R s m s K T s K ( ) ( ) p d p Quado a etrada é um degrau uitário o erro em regime permaete fica m s = lim ( ) = lim = 0 erp s E s s s 0 s 0 m s K p T d s K p s e ovamete o erro o regime permaete é ulo ou seja o cotrole é estável e leva o sistema à posição de equilíbrio x = 0 A aálise dos pólos permite cocluir que o comportameto diâmico do cotrole será amortecido Ajustado o valor de T d e K d pode-se obter um comportameto sub-amortecido ou sobre-amortecido

115 Aálise e Cotrole de Sistemas S 5 r(t) e(t) K p ( T s) d f(t) m s x(t) Fig 75 Diagrama de blocos do cotrolador PD do exemplo 73 O sistema resultate de uma iércia pura (massa) com um cotrolador PD é semelhate a um sistema de seguda ordem com costate de amortecimeto ão ula portato é equivalete a um sistema aturalmete amortecido com cotrolador P O cotrole derivativo portato itroduz um amortecimeto o comportameto diâmico do sistema É comum ecotrar-se sistemas que sofrem perturbações a diâmica Estas perturbações podem ser estáticas diâmicas ou aleatórias Uma perturbação estática exerce uma ação costate equato que a perturbação diâmica varia o tempo de forma previsível Por sua vez uma perturbação aleatória é imprevisível e assemelha-se a um ruído agido sobre o sistema O exemplo a seguir ilustra o comportameto do cotrolador quado houver uma perturbação agido o sistema Exemplo 74 Será suposto agora que a massa do exemplo 7 esteja submetida à ação de uma força perturbadora de itesidade d(t) a forma de um degrau uitário e o cotrolador é apeas proporcioal Há atrito etre a massa e a superfície Aalisar o erro do sistema com relação à força perturbadora (cosiderar como sedo do tipo degrau uitário) Solução: Este problema pode ser visto como o cotrole de uma massa uma rampa icliada coforme ilustra a figura 76 O peso projetado a direção do movimeto causa a força d(t) No istate t = 0 a massa ateriormete presa é deixada sob a ação do cotrole e do peso O cotrole deverá etão compesar a ação do peso e restaurar a posição iicial da massa A referêcia r(t) este caso é ula O equilíbrio de forças a massa leva a d( t) f ( t) = mɺɺ x b xɺ Aplicado a trasformada de Laplace a esta equação e lembrado que a trasformada de d(t) é D(s) tem-se D s F s m s X s b s X s ( ) ( ) = ( ) ( ) O diagrama de blocos deste problema é mostrado a figura 77 e dele pode-se extrair a saída X(s) em fução do erro: X ( s) = E( s) K D( s) m s p b s Nota-se que devido à preseça da perturbação d(t) ão se pode aplicar a formulação discutida a seção 5 para obter a fução de trasferêcia em malha fechada Ao cotrário deve-se aplicar as defiições para composição de diagramas de blocos

116 6 Aálise e Cotrole de Sistemas S Uma vez que E(s) = R(s) X(s) e como R(s) = 0 etão isolado X(s) e substituido estes valores a fução de trasferêcia tem-se E( s) K p D( s) E( s) = m s b s m s b s que reordeado os termos fica E( s) = D s m s b s K ( ) p Fialmete sabedo-se que D(s) é um degrau uitário o erro em regime permaete será dado por erp = lim s E( s) = lim s = s 0 s 0 m s b s K p s K p Isto sigifica que embora a referêcia para o cotrole seja ula (R(s) = 0) o cotrole proporcioal ão cosegue aular o erro em regime permaete O erro pode ser dimiuído pelo aumeto do valor de K p mas isto faz com que aumetem também as oscilações o regime trasitório b f(t) P m x(t) d(t) Fig 76 Cotrole da posição de uma massa uma rampa icliada com atrito r(t) e(t) K p f(t) d(t) m s b s Fig 77 Diagrama de blocos do cotrolador proporcioal do exemplo 74 Coclui-se com base o último exemplo que um cotrolador proporcioal um sistema aturalmete amortecido ou um cotrolador PD um sistema qualquer e sujeito à ação de forças perturbadoras ão cosegue aular o erro em regime permaete Ademais se a força d(t) for um degrau de itesidade d o etão o erro em regime permaete do exemplo aterior resulta igual a x(t) e rp d = K o p

117 Aálise e Cotrole de Sistemas S 7 e a massa estará a posição x rp = e rp = d o /K p Logo quato maior for a força perturbadora maior será o erro a posição da massa Em resumo cotroladores P ou PD podem ão elimiar o erro apresetado pelo sistema com relação à referêcia quado os sistemas são perturbados Para elimiar este erro será ecessário itroduzir o cotrolador itegral visto a próxima seção 76 Cotroladores itegrais (I) seja A ação de um cotrolador itegral muda de forma proporcioal ao sial de erro ou du( t) = Ki e( t) dt cuja trasformada de Laplace vale: s U ( s) = K E( s) i ode K i é também costate cohecida como gaho itegral Em termos de diagrama de blocos o cotrolador itegral um sistema com fução de trasferêcia G(s) fica como mostrado a figura 78 A fução de trasferêcia do sistema cotrolado fica: C( s) Ki G( s) = R( s) s K G( s) i r(t) e(t) K i s u(t) G(s) c(t) Fig 78 Diagrama de blocos de um sistema com cotrole itegral Exemplo 75 Cosiderar um veículo movedo-se um plao com velocidade v como ilustra a figura 79 A velocidade deve ser cotrolada por uma força u(t) proporcioal à itegral do erro a velocidade Aalisar o comportameto do erro em regime permaete cosiderado uma referêcia a forma de um degrau uitário Solução: A fução de trasferêcia do veículo submetido a uma etrada a forma de uma força u(t) é dada por: V ( s) = U ( s) m s b e como a força é proporcioal à itegral da velocidade etão a fução de trasferêcia do sistema coforme mostra a figura 70 será dada por:

118 8 Aálise e Cotrole de Sistemas S V ( s) = K i R( s) m s b s Ki Pode-se agora obter a fução de trasferêcia do erro com relação ao sial de referêcia que resulta: E( s) R( s) V ( s) m s b s = = R( s) R( s) m s b s Ki e como a referêcia r(t) é um degrau uitário etão usa-se o teorema do valor fial para estimar o erro em regime permaete ou seja: e rp s( m s b s) ( i) = lim s E( s) = lim = 0 s 0 s 0 s m s b s K de ode se coclui que o cotrole itegral cosegue elimiar o erro apresetado a velocidade do veículo u(t) m v(t) Fig 79 Veículo movedo-se com velocidade v um plao r(t) e(t) K i s u(t) b ms b v(t) Fig 70 Diagrama de blocos de um sistema com cotrole itegral Embora o cotrole itegral seja amplamete utilizado ele raramete é empregado isoladamete O pricipal motivo disso é que a sua ação tede a ser leta o que leva a tempos de resposta e assetameto muito logos (ver Seção 64) além de causar trasitórios subamortecidos Sistemas aturalmete amortecidos podem ser cotrolados com um cotrole do tipo PI visto a seguir 77 Cotrolador proporcioal-itegral (PI) Pode-se agrupar o cotrole proporcioal juto com o itegral em um úico cotrolador Este cotrole é deomiado de proporcioal-itegral (PI) e a atuação é a soma das atuações proporcioal e itegral ou seja u( t) = K e( t) K e( t) dt p i É coveiete expressar o gaho itegral K i em termos do tempo itegral T i dado pela relação etre K p e K i Neste caso o cotrole fica

119 Aálise e Cotrole de Sistemas S 9 K p u( t) = K p e( t) e( t) dt T i Aplicado a trasformada de Laplace tem-se U ( s) = K p E( s) Ti s O diagrama de blocos de um cotrole proporcioal itegral de uma plata cuja fução de trasferêcia vale G(s) é apresetado a figura 7(a) A figura 7(b) mostra uma simplificação do cotrole do diagrama aterior A fução de trasferêcia do sistema cotrolado fica C( s) K p ( Ti s) G( s) = R( s) T s K ( T s) G( s) i p i r(t) (a) e(t) K p Ti s r(t) e(t) K p ( Ti s) u(t) c(t) G(s) Ti s (b) Fig 7 Diagrama de blocos de um sistema com cotrole proporcioal-itegral (a) e diagrama simplificado (b) u(t) G(s) c(t) Exemplo 76 Aplicar um cotrolador PI ao problema do exemplo 7 cosiderar que a massa esteja submetida à ação de uma força perturbadora (degrau) de itesidade d e levar em cota o atrito etre a massa e a superfície Aalisar o erro apresetado pelo cotrole PI com relação à força perturbadora Solução: Este problema é semelhate ao aterior porém utiliza um cotrolador PI ao ivés do cotrolador proporcioal O diagrama de blocos do sistema com o cotrolador pode ser visto a figura 7 A saída apresetada pelo sistema em fução do erro E(s) é T s X ( s) = E( s) K p D( s) i Ti s m s b s Fazedo ovamete R(s) = 0 tem-se que E(s) = X(s) e portato Ti s E( s) m s b s K p = D( s) Ti s

120 0 Aálise e Cotrole de Sistemas S de ode tira-se que E( s) T s = D( s) mt s bt s K T s K i 3 i i p i p Se d(t) é um degrau de itesidade d uitário ou seja D(s) = d/s o erro em regime permaete apresetado pelo cotrolador será e rp s s = lim s E( s) = lim = 0 s 0 s 0 3 m s b s K p s K p / Ti s r(t) e(t) K d(t) T s f(t) x(t) T s m s b s i p i Fig 7 Diagrama de blocos do cotrolador proporcioal-itegral do exemplo 76 Isto mostra que o cotrolador PI cosegue elimiar o erro o regime permaete em sistemas sujeitos a uma perturbação o que o cotrolador proporcioal ão coseguia O motivo disto é que o cotrole proporcioal só cosegue gerar uma ação se o erro for diferete de zero pois a ação é proporcioal ao erro Se o sistema estiver submetido a um esforço extero o cotrole proporcioal deixa um erro residual tal que sua resposta cosiga cotrabalaçar esta força Ao se utilizar o cotrolador PI cotudo o cotrolador itegral fará esta ação compesatória deixado para o cotrole proporcioal apeas a elimiação do erro Nota-se que o cotrole itegral pode ser ão ulo mesmo que o erro seja ulo uma vez que ele é a itegral (somatória) dos erros ateriores Sempre que o erro apresetar uma tedêcia uma dada direção o cotrole itegral etra em ação 78 Cotrolador proporcioal-itegral-derivativo (PID) O cotrolador PID é o mais abragete dos cotroladores proporcioais porque egloba as ações proporcioal itegral e derivativa A ação do PID é dada por Ki de( t) u( t) = K p e( t) e( t) dt K ptd T dt cuja trasformada de Laplace fica i U ( s) Td Ti s Ti s = K p Td s = K p E( s) Ti s Ti s Na forma de diagrama de blocos o cotrole PID é mostrado a figura 73 cuja fução de trasferêcia do sistema cotrolado fica dada por C( s) K T T s T s G s = R( s) K ( T T s T s ) G( s) p ( d i i ) ( ) p d i i

121 Aálise e Cotrole de Sistemas S Uma das vatages dos cotroladores PID é que eles cotrolam até sistemas aturalmete istáveis como o pêdulo ivertido mostrado o próximo exemplo r(t) e(t) K p T u(t) d Ti s Ti s c(t) G(s) T s i Fig 73 Diagrama de blocos de um sistema com cotrole proporcioal-itegral-derivativo Exemplo 77 Aplicar um cotrolador PID ao problema pêdulo ivertido cosiderado um macal sem atrito massa m = kg e comprimeto da haste l = m Adotar a aceleração da gravidade g = 0 m/s Cosiderar os gahos do cotrolador iguais a K p = 50 T d = 0 s e duas situações para o tempo itegral: T i = 03 e T i = 0 s Aalisar a resposta do cotrole sob a ação de um degrau uitário as duas situações do tempo itegral Solução: O comportameto do pêdulo ivertido mostrado a figura 74 já foi aalisado a Seção 7 A fução de trasferêcia do pêdulo ivertido mostra que ele possui uma raiz real positiva e portato o sistema é istável Se o pêdulo for abadoado um poto próximo à vertical ele irá se afastar da vertical expoecialmete até iverter A equação diferecial liearizada do pêdulo ivertido forece = ɺɺ θ θ u( t) ml m g l ode g é a aceleração da gravidade Aplicado a trasformada de Laplace resulta a fução de trasferêcia: Θ( s) G( s) = = U ( s) ml s m g l cujos pólos são p = g / l e p = g / l Como um dos pólos é positivo (ou possui parte real positiva) o sistema apresetado é istável Cosiderado agora que o sistema passe a ser cotrolado por um PID etão a fução de trasferêcia em malha fechada fica Θ ( s) K T T s T s G s K T T s T s = = R( s) K ( T T s T s ) G( s) ( ml K T T ) s K T s K m g l p ( d i i ) ( ) p ( d i i ) p d i i p d i p i p Para que o sistema cotrolado seja estável deve-se garatir que ele apresete os pólos com parte real egativa A parte real dos pólos é dada por: Re( p) = K T p i ( ml K ptd Ti )

122 Aálise e Cotrole de Sistemas S que é egativa pois tato K p quato T i e T d são positivos Portato o movimeto istável do pêdulo torou-se estável sob a ação de um cotrole PID Pode-se agora comparar o poliômio característico do pêdulo com o deomiador da fução de trasferêcia de um sistema do segudo grau o que irá forecer os valores da freqüêcia atural e da costate de amortecimeto ou seja ω = K ml p m g l K T T p d i ζ = K T p ( ml K ptd Ti )( K p m g l) i Quado T i = 03 os valores acima resultam: ω = 4 e ζ = 3/4 Para T i = 0 tem-se ω 564 e ζ 037 Portato com base os valores da costate de amortecimeto o sistema é sub-amortecido em ambos os casos Porém quado T i = 03 o pêdulo apreseta apeas uma oscilação pois ζ = 075 > / A resposta do sistema a uma excitação degrau para T i = 03 fica (ver seção 63): 3 t 4 e 7 c( t) = se 7 t arcta 7 3 cujo gráfico é apresetado a figura 75 juto com a resposta para T i = 0 θ m l u(t) Fig 74 Pêdulo ivertido do exemplo 76 Cotroladores exclusivamete itegrais (I) são usados em sistemas de primeira ordem que ão apresetam oscilações como por exemplo o cotrole de ível de líquido um taque Cotroladores PID por sua vez são utilizados em sistemas sujeitos a perturbações (cotrole itegral) e ão aturalmete amortecidos ou com amortecimeto isuficiete para os propósitos do cotrole (cotrole derivativo) Exemplos de sistemas que utilizam cotrole PID são avios aeroaves mísseis e satélites O cotrole PID é também extesivamete utilizado a idústria para cotrole de processos (mecâicos térmicos hidráulicos elétricos e eletrôicos)

123 Aálise e Cotrole de Sistemas S 3 5 T i = 0 c(t) 0 T i = t (s) Fig 75 Resposta do cotrolador PID do pêdulo ivertido do exemplo 77

124 4 Aálise e Cotrole de Sistemas S Exercícios ) Usa-se um cotrolador proporcioal-itegrativo para efetuar o cotrole de velocidade de um motor elétrico cuja fução de trasferêcia em malha aberta vale: Ω( s) G( s) = = I ( s) 4 s a qual Ω(s) é a trasformada de Laplace da velocidade agular ω(t) do motor e I(s) é a trasformada da correte de armadura i(t) Este motor será cotrolado por um cotrole PI com gaho proporcioal K p e tempo itegral T i Obter a fução de trasferêcia em malha fechada do sistema e o erro em regime permaete quado que K p = e T i = R: G PI Ω ( s) 4 s 4 ( s) = = R( s) 4 s 5 s 4 E( s) = R( s)[ G ( s)] = PI 4 s s s erp = lim s E( s) = 0 s ) O modelo diâmico de um foro idustrial resulta a seguite fução de trasferêcia: T ( s) G( s) = Q( s) = s ode T(s) é a trasformada de Laplace da temperatura do foro e Q(s) é a quatidade de calor ijetada por uidade de tempo Deseja-se utilizar um cotrole PI para dosar a quatidade de calor de forma a cotrolar a temperatura deste foro O diagrama de blocos do sistema cotrolado é apresetado a figura abaixo Pede-se: a) A fução de trasferêcia em malha fechada do sistema isto é G PI (s) = T(s)/R(s) em fução de K p e T i b) Discutir o comportameto da temperatura com base o cálculo dos pólos do sistema em malha fechada quado K p = 0 e T i = 0 c) Discutir o comportameto da temperatura com base o cálculo dos pólos do sistema em malha fechada quado K p = 0 e T i = R: T ( s) K pti s K p a) GPI ( s) = = R( s) T s T ( K ) s K i i p p b) Para K p = 0 e T i = 0 tem-se dois pólos complexos cojugados: p = 6 8j p = 6 8j Logo o sistema é estável pois os pólos possuem parte real egativa e o sistema é oscilatório amortecido c) Para K p = 0 e T i = tem-se dois pólos reais:

125 Aálise e Cotrole de Sistemas S 5 p = p = 09 Como ambos são egativos o sistema é estável (assitoticamete) ão oscilatório 3) O diagrama de blocos de um sistema de primeira ordem cotrolado uma malha fechada por um cotrole PD é mostrado abaixo r(t) e(t) K p ( T s) d d(t) f(t) s s 3 y(t) a) Obter a fução de trasferêcia do cotrole com relação ao sial de referêcia isto é G R (s) = Y(s) / R(s) supodo que a perturbação d(t) seja ula b) Obter a fução de trasferêcia do cotrole com relação ao sial de perturbação isto é G D (s) = Y(s) / D(s) quado a referêcia r(t) for ula c) Obter os pólos de G R (s) e G D (s) quado forem adotados T d = seg e K p = 05 d) Supodo os mesmos valores de T d e K p aalisar o erro em regime permaete do sistema quado a referêcia r(t) for um degrau uitário e a perturbação d(t) for ula e) Cosiderado ovamete os mesmos valores de T d e K p aalisar o erro em regime permaete do sistema quado a referêcia for ula e houver uma perturbação a forma de um degrau uitário f) Se T d = seg calcular o itervalo de validade de K p (dado que K p > 0) de forma a garatir que o sistema apresete dois pólos complexos cojugados R: Y ( s) K p Td s K p a) GR ( s) = = R( s) s ( K T ) s K 3 p d p Y ( s) b) GD ( s) = = D( s) s ( K T ) s K 3 p i p c) p = j p = j s d) GR ( s) = e(t) = r(t) y(t) s 3s 4 e rp = 4 e) GD ( s) = s 3s 4 e(t) = y(t) e rp = 4 f) < K p < mas como K p > 0 etão 0 < K p < 4) Certos sistemas diâmicos são istáveis como por exemplo um pêdulo ivertido Aviões militares de alto desempeho são também istáveis do poto de vista

126 6 Aálise e Cotrole de Sistemas S aerodiâmico Para estabilizar tais sistemas pode ser utilizado um cotrolador PD como mostrado o diagrama de blocos abaixo Para este sistema pede-se: a) Obter os pólos do sistema em malha aberta (G(s) = X(s)/F(s)) e discutir sua estabilidade com base estes pólos b) Obter a fução de trasferêcia do sistema em malha fechada isto é G PD (s) = X(s)/R(s) em fução de K p e T d c) Calcular os valores de K p e T d de tal forma que os pólos do sistema cotrolado sejam 3 e O sistema cotrolado será estável? r(t) e(t) K p ( T s) d f(t) s 4 x(t) R: a) Os pólos são e Como um dos pólos é positivo etão o sistema é istável X ( s) K ptd s K p b) GPD ( s) = = R( s) s K T s K 4 p d p c) Um sistema com pólos 3 e tem como poliômio do deomiador a forma: s 4s 3 Comparado com o sistema cotrolado tem-se: K 4 = 3 ou seja K p = Além disso K T = 4 de ode T d = 4/7 p p d

127 Aálise e Cotrole de Sistemas S 7 Apêdice A A- Alfabeto Grego Os símbolos omes e proúcia das letras gregas são mostrados a Tabela A- Tabela A- Símbolos gregos Símbolo maiúsculo Símbolo miúsculo Nome Proúcia Equivalete latio Α α Alfa alfa a Β β Beta beta b Χ χ Chi qui c δ Delta delta d Ε ε Epsilo epsilo e Φ φ ou ϕ Phi fi f Γ γ Gama gama g Η η Eta éta ê Ι ι Iota ióta i Κ κ Kapa capa k Λ λ Lambda lâmbida l Μ µ Mu mi m Ν ν Nu i Ο ο Omicro ômicrom o Π π Pi pi p Θ θ Teta téta tx Ρ ρ Rho rô r Σ σ ou ς Sigma sigma s Τ τ Tau tau t Υ υ Upsilo upsilo u Ω ω ou ϖ Omega ômega ô Ξ ξ Xi xi x Ψ ψ Psi psi ps Ζ ζ Zeta zeta z