Estacionariedade e correlação temporal em dados financeiros

Transcrição

1 Estacioariedade e correlação temporal em dados fiaceiros Hoje em dia há uma quatidade imesa de dados fiaceiros sedo armazeados, egócio a egócio, pelo mudo afora. Gratuitamete, é possível coseguir facilmete dados fiaceiros diários. Para a modelagem da diâmica estocástica de preços de um ativo fiaceiro, podemos utilizar várias escalas de tempo e medir várias fuções de preços. Eu, em particular, teho sempre utilizado os preços diários de ações da BM&FBovespa, que também podem ser obtidos gratuitamete. A fução de preços de miha preferêcia é a que dá o retoro relativo, R i+ = S i+ S i S i, e, depededo da aplicação, o logaritmo do quociete etre o preço de fechameto atual e o aterior, Si+ X i+ = l. Além dessas ossas escolhas, o quito capítulo do livro de Rosario Nuzio Matega e de H. Eugee Staley cita várias outras que podem ser usadas. A figura abaixo mostra um gráfico obtido do site muito útil, br.advf.com. Nesse gráfico, vemos as barras de preços correspodetes a cada quize miutos de egociação das ações prefereciais da Petrobras. Na parte de baixo da figura, há os volumes de egociação e podemos otar como o fial do pregão tipicamete cocetra um volume maior do que os outros itervalos de quize miutos do dia. Assim, a quatidade de egócios varia durate o dia e a distribuição de egócios ão é a mesma dia após dia, ão sedo, portato, estacioária. S i Processos estocásticos estacioários A distribuição de probabilidade de preços, em pricípio, para ser cosistete com essas observações da evolução dos preços, pode ser represetada por uma fução depedete do preço e do tempo, f x, t. O valor esperado do preço é, portato, dado por E [x t] = dx xf x, t. Seja a fução f x, x 2 ; t, t a distribuição de probabilidade cojuta de observar o preço x o istate t e o preço x 2 o istate t 2. A fução de autocorrelação é, etão, defiida como: E [x t x 2 t ] = dx dx 2 x x 2 f x, x 2 ; t, t.

2 Um processo estocástico geral, para ser completamete caracterizado, requer a fução f x, x 2,... x ; t, t 2,... t, para todo x i, t i e. A maioria dos estudos aborda apeas até a fução de dois potos, f x, x 2 ; t, t. Um processo estocástico x t é dito estritamete estacioário se sua distribuição de probabilidades é ivariate por traslações temporais. Há, porém, outras defiições meos restritivas de estacioariedade, coforme esia o livro de Rosario Nuzio Matega e de H. Eugee Staley: Defiição ampla de processo estacioário: E [x t] = µ, E [x t x 2 t ] = R τ, ode τ = t 2 t e E [ x 2 t ] = R 0. Para essa defiição, a variâcia é idepedete do tempo. Processos estocásticos assitoticamete estacioários ocorrem quado as previsões estatísticas para x t + c, x 2 t 2 + c,..., x t + c ão depedem de c se c. Processos estocásticos estacioários de N-ésima ordem ocorrem quado f x, x 2,... x ; t, t 2,... t = f x, x 2,... x ; t + c, t 2 + c,... t + c vale apeas para N. Processos estocásticos estacioários em um itervalo acotecem quado f x, x 2,... x ; t, t 2,... t = f x, x 2,... x ; t + c, t 2 + c,... t + c para cada t i e t i + c detro do itervalo cosiderado. Correlação A autocorrelação também é deotada por R t, t = E [x t x 2 t ]. Também temos a defiição da autocovariâcia: C t, t = R t, t E [x t ] E [x 2 t ]. Para processos estacioários, segue: C t, t = C τ = R τ µ 2, com τ = t 2 t. 2

3 Notemos que C 0 = R 0 µ 2 = E [ x 2 t ] µ 2 = σ 2, ode σ 2 é a variâcia do processo. Para itervalos de tempo muito logos, a autocovariâcia tede a zero, isto é, para C τ 0 τ. Isso acotece porque x t e x 2 t tedem a se descorrelacioar para tempos muito distitos e, portato, esse caso, E [x t x 2 t ] E [x t ] E [x 2 t ]. Um típico exemplo é quado o processo tem média ula e Nesse caso, R τ = exp ˆ 0 dτ exp ττc ττc. = e é chamado de tempo de correlação do processo estocástico, que mede a memória típica do valor da variável x. Cosideremos, agora, apeas processos estocásticos estacioários. Seja S a variável estocástica obtida pela soma de variáveis estocásticas, S = x k, ode estamos idicado os istates de tempo cosiderados através do ídice da variável: Etão, podemos escrever: E S = E x k l= x l = l= x t k = x k. E x k x l = E x k + δ kl E x k x l. Como estamos supodo que o processo em cosideração é estacioário, etão, de acordo com o exposto acima, E x k = R 0 e Como segue que E x k x l = R t l t k. E x k x l = E x l x k, R t l t k = R t k t l. Também supohamos que os tempos são separados por um itervalo fixo, isto é, t k+ t k = t. l= 3

4 Assim, t k t l = k l t. Podemos, portato, escrever: E S = R 0 + l= δ kl R [k l t] = R l=k+ R [l k t], isto é, ou seja, ou aida, E S Logo, E S = R E S { s= k = R R [s t], s= 2 R [s t] + R [s t] + + s= 2 R [s t] + s= } R [s t], = R {R [ t] + 2R [ 2 t] R [2 t] + R [ t]}. E S = R k R [k t] = R Para colocarmos essa igualdade a forma do livro de Matega e Staley, usamos: e Assim, s= k R [k t]. R 0 = E x 2 i, para qualquer i {, 2,..., }, R [k t] = E x i x i+k, para qualquer i {, 2,..., }. Notemos que isto é, E S = E x i + 2 k E x i x i+k. k E x i x i+k = E x i x i+ + 2 E x i x i E x i x i+ + E x i x i+, k E x i x i+k = [ E x i x i+ + E x i x i+ + ] + 2 E x ix i+ + E x ix i+. No limite em que é muito grade, temos, aproximadamete, k E x i x i+k [ 0 E x i x i+ + 0 E x i x i E x i x i+ + 0E x i x i+ ], 4

5 isto é, Quado k E x i x i+k E x i x i+k. lim E x i x i+k <, isto é, o limite dessa soma é fiito, dizemos que as variáveis estocásticas têm correlação de curto alcace. Já quado lim E x i x i+k =, dizemos que as variáveis estocásticas têm correlação de logo alcace. No caso cotíuo, ao ivés de verificarmos a fiitude da soma acima, utilizamos a itegral temporal da autocorrelação: quado E x i x i+k ˆ 0. dτ R τ, No caso de uma partícula em movimeto browiao, a autocorrelação é dada por R τ = σ 2 exp τ. A distribuição de frequêcias dessa fução de autocorrelação é obtida pela sua trasformada de Fourier: S ω = dτ R τ exp iωτ = dτ σ 2 exp τ exp iωτ, isto é, ou seja, ou aida, S ω = 0 S ω = dτ σ 2 exp τ iωτ, dτ σ 2 exp τ ˆ 0 τ iωτ + dτ σ 2 exp iωτ = σ2 τ c + iω + σ2 iω, S ω = σ 2 iω + + iω σ 2 = + iω iω ω 2 = 2σ2 + ω 2. Para baixas frequêcias, temos o que se chama ruído braco. Para frequêcias altas, temos o processo de Wieer, caracterizado por uma desidade espectral que varia com o iverso do quadrado da frequêcia. O caso acima ilustra correlação de curto alcace. No caso de correlação de logo alcace, podemos escrever S ω ω η, 5

6 com 0 < η < 2. Nesse caso, a itegral da fução de autocorrelação diverge. Um caso típico de correlação de logo alcace, ecotrada muitas vezes em circuitos eletrôicos, é o do ruído /f; o caso acima, isso ocorre para η =. No caso de escalas de tempo maiores do que o tempo de correlação, para processos com correlação de curto alcace, as desidades de probabilidades codicioais são dadas por f x, x 2,..., x ; t, t 2,..., t x ; t = f x ; t x ; t. Esse tipo de processo é chamado de markoviao; bastam as desidades de probabilidades de primeira ordem e codicioais de seguda ordem para ser completamete determiado. Como exemplo, temos f x, x 2, x 3 ; t, t 2, t 3 = f x ; t f x ; t x 2 ; t f x 2 ; t 2 x 3 ; t 3. 6