Métodos Quantitativos para Ciência da Computação Experimental

Transcrição

1 Métodos Quatitativos para Ciêcia da Computação Experimetal -Aula #b- Virgílio A. F. Almeida Março 008 Departameto de Ciêcia da Computação Uiversidade Federal de Mias Gerais

2 Material de Estatistica

3 Probabilidade Se o eveto E cosiste de k potos e S é o úmero de potos do espaço amostral, etão: umero de potos em E P E umero de potos em S E S

4 Exercício 1 em Aula Se um úmero decimal de três digitos é escolhido aleatoriamete, determie a probabilidade que exatamete k dígitos são 5, para 0 k 3 Solução: k 0, 5 3 /10 3 1/ k k 1,, 3*5* / k 3, 0.15

5 Exercício em Aula Cosidere uma caixa com 15 chips VLSI, sedo 5 deles defituosos. Se uma amostra aleatória de 3 chips é retirada da caixa, qual a probabilidade de todos os três terem defeitos? Solução: S E 10 3 E P E S *10

6 Exercício 3 em Aula Cosidere que você está ivestigado um caso de phishig evolvedo 5 arquivos dowloaded o ao passado. Preccisamos saber qual a probabilidade que pelos meos dois desses arquivos foram baixados o mesmo dia, assumido que o ao tem 365 dias. Solução: S { x 1, x S 365 E E 5, x "pelo meos dois dowloads "ehum dowload ocorre a E 365! 360!, x, x } ! 1 P[ E] 1 360! x i {1,, }} o mesmo dia" data de outro" 0.07

7 Exercício 4 em Aula a Uma série de jobs chega a um sistema multiprocessador com processadores. Assuma que cada um dos possiveis vetores de atribuição i.e., processador para job 1,... Processador para job são igualmete provaveis. Ecotre a probabilidade de que exatamete um processador ão será assigado a um job. Para efeitos de exemplo, cosidere 3 e calcule, mas mostre a forma geral para. Solução: Espaço amostral S, ode i j é o processador para o qual job j é dirigido. Vamos chamar a solução de Peveto processador ocioso S { i1, i,..., i i j {1,,... }}

8 Exercício 4 em Aula b S Primeiro, vamos calcular a probabilidade que o processador ``1 esta ocioso, deomiado este eveto de A 1. Seja B j processador j, j tem jobs B j { i 1, i,..., i i k {,3,..., } e i k1 i k j para k 1 k ; e i j1 i j, caso cotrario A U 1 j B j

9 Exercício 4 em Aula c j B P! 1!! 1 1 A P 1 1 1! * 1 * i i A P A P eveto P U 3 3 eveto P para

10 População e Amostra População ou uiverso: todos os N membros de uma classe ou grupo. Ex.: todos os processos executados uma máquia durate o período que esteve ativa. Amostra é uma parte da população, deotada por. Ex.: todos processos executados pela máquia em 18/03/006

11 Evetos Idepedetes Ocorrêcia de um eveto ão afeta a probabilidade do outro. Examples: Jogar moedas dados de etrada de usuários separados Acidetes de tráfego ão relacioados O que voce acha de bater um pealty, depois de perder o primeiro uma melhor três.?

12 Probabilidade Codicioal A probabilidade codicioal de A dado que o eveto B ocorreu, deotada por PA B, é defiida como: B P B A P B A P A P B A P A B P

13 Regra de Bayes e o Teorema da Probabilidade Total Prob. Total: Seja A 1,,A k uma partição e B um eveto qualquer do espaço S. Etão: P B i 1 P A * P B i A i Regra Bayes: Sejam os evetos A 1,,A k uma partição do espaço S tal que PA j > 0 j e seja B um eveto tal PB > 0. Etão para i 1,..,k: P A i B P Ai P B Ai PA PB A k k k

14 Exercício Usado a Regra de Bayes Um caal de comuicação trasporta dois tipos de siais, deotados por 0 e 1. Devido ao ruido, um 0 trasmitido é recebido como 1 e 1 como 0. Para um dado caal, assuma a probabilidade de 0.94 que um 0 trasmitido é corretamet recebido como 0 e a probabilidade de 0.91 que um 1 é recebido como 1. Assuma também a probabilidade 0.45 de trasmitir um 0. Determie: Probabilidade que um 1 é recebido Probabilidade que um 0 é recebido Probabilidade que um 1 foi trasmitido dado que um 1 foi recebido Probabilidade que um 0 foi trasmitido dado que um 0 foi recebido Probabilidade de um erro.

15 Variável Aleatória Radômica Variável que assume valores de acordo com uma certa probabilidade. Variável usualmete deotada por letras maiúsculas, e valores particulares por letra miúscula. Exemplos: Número mostrado o lado de um dado Tempo que um usuário leva para eteder uma iterface de uma perguta Tempo de desevolvimeto e teste de um módulo software Atraso uma rede Tempo de execução de uma trasação de cosulta E o tempo de seek um disco?

16 Variável Aleatória Uma variável aleatória X mapeia cada resultado s o espaço amostral S para um úmero real Xs Uma variável aleatória é assim uma medida de um experimeto Discreta: úmero de pacotes que chegaram em 10 mi. Cotíua: tempo etre chegada de pacotes a rede X : S R que atribui um real X s para cada s S

17 Fução de Distribuição Cumulativa CDF - cumulative distributio fuctio Mapeia um valor para uma probabilidade cujo resultado é meor ou igual a a: F x a P X a Válida para variaveis cotíuas e discretas Mootoicamete rescete Fácil de especificar, calcular, medir...

18 Exemplos Jogada de uma moeda T 1, H : Tempo etrechegadas de pacotes Expoetial:

19 Fução de Desidade de Probabilidade pdf Derivada da CDF cotíua: f x df x dx Útil para determiar itervalos de probabilidades : P x < x x F x F x 1 1 x x 1 f x dx

20 pdf: CDF: f F Exemplo: v.a. expoecial λx x λe, x x 1 e λx 0 fx pdf v.a. muito frequetemete usada Modelos: Tempo etre duas submissões de queries a uma maquia de busca Tempo de execução de processos Tempo etrechegadas de pacotes em um roteador x

21 pdf Expoecial

22 Fução de Massa de Probabilidade pmf ou fução de probabilidade CDFs ão são difereciáveis para variáveis aleatórias discretas pmf serve com substituto: fx i p i ode p i é a probabilidade que X irá assumir o valor x i P x x x F x F x 1 1 p i x < x x 1 i

23 Exemplos de pmf Jogada de moeda: Tamaho típico de uma turma de Pós:

24 a F b F dy y f I X b a P b a dy y f b x a P a b x fx Para um itervalo I [a, b]: CDF s e PDF s

25 Expectâcia, Média ou Esperaça Matemática Média µ E X p x xf x dx i 1 i i Somatório se discreto Itegral se cotíuo

26 Variâcia & Desvio Padrão VarX Usualmete deotada por σ Raíz quadrada σ é chamado de desvio padrão + dx x f x x p X E i i i i ] [ 1 µ µ µ

27 Coeficiete de Variação C.O.V. ou C.V. Quociete do desvio padrão pela média: C.V. σ µ Idica qão bem a média represeta a variável

28 Covariâcia Dados x, y com médias µ x e µ y, sua covariâcia é: Cov x, y σ E [ x µ y µ ] xy x y E xy E x E y Alta covariâcia implica que y afasta da média sempre que x também o faz.

29 Covariâcia Para variáveis idepedetes, Exy ExEy etão Covx,y 0 Reverso ão é verdade: Covx,y 0 ão implica em idepedêcia. Se y x, covariâcia reduz-se à variâcia

30 Coeficiete de Correlação Covariâcia ormalizada: Correlação x, y ρ xy σ σ x xy σ y Sempre varia etre -1 e 1 Correlação de 1 x ~ y, -1 x ~ 1 y

31 Média e Variâcia de Somas Para qq variável aleatória, E a x + a x + L+ a x 1 1 a E x + a E x + L+ a E x 1 1 k k k k Para variáveis idepedetes, Var a x + a x + L + a x 1 1 k a Var x + a Var x + L + a Var x 1 1 k k k

32 Quatil Valor de x o qual a CDF assume um valor α é chamado quatil or α-percetil, deoted by x α. P X x F x α α α Se 90-percetil escore o GRE foi 1500, etão 90% da população obteve 1500 ou meos.

33 Exemplo de Quatil α-quatil 0.5-quatil

34 Mediaa 50-percetil 0.5-quatil de uma variável aleatória Alterativa a média Por defiição, 50% da população é sub-mediaa, 50% super-mediaa Muitos queries rápidos letos Muitas pessoas ricas pobres?

35 Moda Valor mais provável, i.e., x i com a maior probabilidade p i, or x o qual pdf/pmf é maximo Não ecessariamete defiido empate Algumas distribuições são bi-modais ex: altura dos humaos tem uma moda para homes e uma moda para mulheres.

36 Exemplos de Moda Dois dados: Moda Peso de um humao: Moda Sub-moda